ESERCIZIO 1 Si consideri la radiazione emessa da un laser elio-neon, costituita da un fascio gaussiano al waist con = 0,5 mm e lunghezza d onda λ = 633 nm. Si calcolino: - la divergenza del fascio; - il raggio w dopo una distanza di propagazione z = 1 km; - il valore iniziale (in z = 0) della derivata della fase di Gouy e della costante di propagazione efficace. Dapprima valutiamo la distanza di Rayleigh: = w 0 # 3,14 $ (0,5) = mm = 1,4 m. %3 0,633$10 L angolo di divergenza vale poi d = # $ = = 0,5%10&3 1,4 = 0,4 mrad. Dopo una distanza di propagazione z = 1 km, il raggio dello spot size vale ( z = ) d z = 40 cm. Al beam waist (z = 0) la derivata della fase di Gouy vale d G dz (0) = 1 # 0,8 rad/m # 0,5 / cm, mentre la costante di propagazione efficace vale eff (0) = k # 1 = $ % # 1 = ' $ &106 ) ( 0,633 # 0,8 *, m -1-10 7 # 0,8 + La variazione relativa di eff (0) rispetto a k è quindi ( ) m -1. = # $ k k % $ 0,8 10 7 & $10$7 cioè una diminuzione (per effetto Gouy) dell ordine di una parte su dieci milioni!
ESERCIZIO Si applichi un espansore di fascio 10x al fascio gaussiano dell esercizio precedente, ottenendo un waist con = 5 mm. Si calcolino: - il valore iniziale (in z = 0) della derivata della fase di Gouy; - il raggio w dopo una distanza di propagazione z = 1 km. La distanza di Rayleigh è proporzionale al quadrato di, quindi un espansione 10x del fascio comporta un aumento di un fattore 100 della distanza di Rayleigh, rispetto all esercizio precedente: = w 0 # = 100 $1,4 m = 14 m. Al beam waist (z = 0) la derivata della fase di Gouy vale d G dz (0) = 1 # 8 mrad/m # 0,5 / m. Dopo una distanza di propagazione z = 1 km (grande rispetto alla distanza di Rayleigh): ( z ( 4 cm.
ESERCIZIO 3 Si determini il raggio al waist per un fascio gaussiano con lunghezza d onda λ = 633 nm e distanza di Rayleigh = 1 km. Si calcoli anche il raggio w dopo una distanza di propagazione pari proprio alla distanza di Rayleigh, cioè z =. Si ottiene = # = 0,633$10%3 3,14 m & 1,4 cm. = ( cm
ESERCIZIO 4 Si consideri un fascio gaussiano generato da un laser elio-neon alla lunghezza d onda λ = 633 nm e con un raggio al waist = 0,5 mm. L accoppiamento ottimale di tale fascio con il modo fondamentale di una fibra ottica prevede d impiegare una lente di focale f per ottenere un nuovo waist con = µm. Si calcolino: - l angolo di divergenza, la derivata della fase di Gouy e la costante di propagazione efficace al waist in prossimità della fibra ottica; - la focale f della lente. La distanza di Rayleigh associata al nuovo waist all ingresso della fibra ottica è = # ( w 0 ) $ = 3,14 % 4 0,633 µm & 0 µm e l angolo di divergenza vale # d = $ = w 0 = % 0 = 0,1 rad & 6. La derivata della fase di Gouy è poi d # G dz (0) = 1 = 1 0 $10 %6 rad/m = 5$10 4 rad / m e la costante di propagazione efficace vale # eff (0) = k $ 1 = % & $ 1 = ( % '106 0,633 $ + * ) 5'104 - m -1. 10 7 $ 5'10 4, La variazione relativa di eff (0) rispetto a k è quindi ( ) m -1. = # $ k k % $ 5&10$4 10 7 = $5&10 $3 = $0.5%. Si noti come l angolo di divergenza e la variazione della costante di propagazione efficace siano in questo caso piccoli, ma non piccolissimi, dato che il raggio del waist è di soli micron (quindi più grande della lunghezza d onda, ma non di molto)
Vogliamo ora determinare la focale della lente f per trasformare il waist iniziale con = 0,5 mm nel waist finale con = µm. Mettendo una lente in corrispondenza del waist iniziale, si ottiene un nuovo waist dopo una distanza di propagazione pari circa alla focale f nell ipotesi che sia f << z R o equivalentemente f >>. In tale condizione vale la relazione approssimata # # $ %f da cui f # w $ 0 $ % = w $ 0 = 0,5 & d $ 0,1 mm = 5 mm. Il valore approssimato così ottenuto per la focale è valido, dato che risulta f 5 mm >> # = 0 µm.