Frequeze STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 3 Dott. Giuseppe Padolfo 20 Ottobre 2014 Esercizio 1 Costruire u grafico a barre e u diagramma a torta per la variabile Sesso rappresetata ella tabella seguete. Variabile qualitativa Sesso Sesso i f i p i M 6 0,3 30% F 14 0,7 70% Totale 20 1 100% I grafici a barre (barplot) soo usati per tutti i caratteri ad esclusioe dei caratteri quatitativi cotiui. Le barre presetao tutte uguale ampiezza e le ordiate rappresetao le frequeze (assolute o relative). 14 Diagramma a barre 12 10 8 6 4 2 0 M F Il diagramma a torta è costituito da u cerchio diviso i tati settori quate soo le percetuali. Ogi arco ha u agolo proporzioale alla corrispodete percetuale. Questo strumeto grafico è utilizzato per rappresetare dati qualitativi.
Diagramma a torta M 30% F 70% Esercizio 2 La tabella seguete riporta le frequeze assolute e relative dell altezza (variabile quatitativa), distribuite i classi di uguale ampiezza. Classe i f i [155,160) 3 0,0882 [160,165) 5 0,1470 [165,170) 9 0,2647 [170,175) 12 0,3529 [175,180) 5 0,1470 Totale 34 1 Costruire u istogramma. Gli istogrammi soo utilizzati per rappresetare caratteri quatitativi cotiui. Le basi di ogi rettagolo rappresetao le ampiezze delle classi, l altezza rappreseta la frequeza (assoluta o relativa) delle classi.
Frequeze 0 2 4 6 8 10 12 Istogramma 155 160 165 170 175 180 Classi Esercizio 3 La seguete tabella riporta relativi al reddito mesile i migliaia di euro: Reddito (i migliaia di euro) Numero di famiglie 1 15 2 16 3 12 4 9 5 23 Totale 75 a) Calcolare il Reddito medio per famiglia. x = 1 x i i = 1 234 15 1 + 16 2 + 12 3 + 9 4 + 23 5 = 75 75 = 3,12 b) Trovare la moda. La moda è 5 (la cui frequeza assoluta è pari a 23). c) Calcolare lo scarto quadratico medio.
Lo scarto quadratico medio è la media quadratica degli scarti dalla media: σ = 1 x i x 2 i La media x è pari a 3,12, duque σ = 1 3,12 2 15 + 2 3,12 2 16 + 3 3,12 2 12 + 4 3,12 2 9 + 5 3,12 2 23 75 = 4,5 + 20,07 + 0,17 + 7 + 81,29 75 = 175,92 75 = 2,34 = 1,53 d) Calcolare la variaza. σ 2 = 1,53 2 = 2,34 Esercizio 4 La tabella riporta i dati relativi all atteggiameto verso il fumo per classi di età. Classi Fumatori No fumatori [16, 18] 4 13 (16, 22] 21 21 (22, 25] 30 9 (25, 30] 11 16 Totale 66 59 a) Calcolare la classe modale.
Classi Fumatori No fumatori Ampiezza classe d i Fumatori d i No fumatori [16, 18] 4 13 2 4/66 2 = 0,03 13/59 = 0,11 2 (18, 22] 21 21 4 21/66 4 (22, 25] 30 9 3 30/66 3 (25, 30] 11 16 5 11/66 5 Totale 66 59 = 0,08 = 0,15 = 0,03 21/59 4 = 0,09 9/59 3 = 0,05 16/59 5 = 0,05 La classe modale per i fumatori è (22, 25], la classe modale per i o fumatori è [16, 18]. Calcoliamo ache la media. Occorre calcolare i valori cetrali delle classi. Classe [16, 18] (18, 22] (22, 25] (25, 30] Valore Cetrale C i Totale classe 17 20 23,5 27,5 17 42 39 27 x = 1 4 C i i. = 17 17 + 20 42 + 23,5 39 + 27,5 27 125 = 2788 125 = 22,304 MEDIA ARITMETICA Utilizzata per variabili quatitative. μ X = μ = x i
Proprietà: 1) La somma dei valori x i assuti da uità statistiche è uguale al valor medio moltiplicato per il umero di uità: x i = μ 2) (Baricetricità) La somma delle differeze tra i valori delle x i e la loro media aritmetica μ è uguale a zero: x i μ = 0 3) La somma degli scarti al quadrato dei valori x i da ua costate c è miima quado c = μ: x i c 2 è miima per c = μ 4) (Associatività) Se u collettivo uità statistiche viee diviso i M sottoisiemi disgiuti di umerosità 1, 2,..., M, tali che h=1 h = co media μ 1, μ 2,, μ M allora la media aritmetica geerale μ è ua media poderata delle medie dei sottoisiemi co pesi uguali alla loro umerosità: μ = 1 M μ h h h=1 5) (Iteralità) La media aritmetica è sempre compresa tra il valore miimo e il valore massimo assuto dalle modalità della distribuzioe: x mi μ x max 6) (Liearità) Data la distribuzioe di ua variabile X co media μ, se moltiplichiamo ogi modalità per ua costate a e aggiugiamo ua costate b, la media della distribuzioe sarà uguale a aμ + b.
Esercizio 5 Di seguito è riportata la tabella dei dati relativi al umero di vai di 100 appartameti: Numero di vai i 1 20 2 19 3 11 4 22 5 15 6 13 Totale 100 Calcoliamo la media aritmetica per la variabile Numero di vai. μ = x i i μ = 1 20 + 2 19 + 3 11 + 4 22 + 5 15 + 6 13 100 = 332 100 = 3,32 La media è 3,32. Verifichiamo le proprietà di iteralità, liearità e baricetricità. Iteralità mi(numero di vai) = 1 max(numero di vai) = 6 1 3,32 6
Liearità Moltiplichiamo le modalità della variabile Numero di vai per a = 2 e aggiugiamo poi ua costate b = 3: Numero di vai i 5 20 7 19 9 11 11 22 13 15 15 13 Totale 100 μ ax + b = 5 20 + 7 19 + 9 11 + 11 22 + 13 15 + 15 13 100 = 9,64 aμ + b = 2 3,32 + 3 = 9,64 Baricetricità 20 1 3,32 + 19 2 3,32 + 11 3 3,32 + 22 4 3,32 + 15 5 3,32 + 13 6 3,32 = 46,4 25,08 3,52 + 14,96 + 25,2 + 34,84 = 0