Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie: a) b) c) d) e) f) g) ( + )! ( + 3) + ( + ) log ( ) 4 + ( + )( + ) [] [ ] 8 [] [ log ] [ ] [] [ 4] Svolgimeto a) La serie ( + )! è a termii positivi. Poichè ( + )! ( + )( )! ( + )( )! o, +
Serie umeriche: esercizi svolti ed essedo covergete la serie serie data coverge., per il criterio del cofroto asitotico la Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che k ( + )! + ( + )!! ( + )!. Ne segue che la serie data è telescopica. La somma parziale -esima della serie è k S (k + )! k! (k + )! k! +! 3! + +! ( + )! ( + )!. Ne segue che la somma della serie è Pertato si ha b) La serie ( + 3) S lim S lim ( ( + )!. ed essedo covergete la serie serie data coverge. è a termii positivi. Poichè ). ( + )! ( + 3), + Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che Quidi ( + 3) A + B (A + B) + 3A + 3 ( + 3), per il criterio del cofroto asitotico la ( + 3) ( 3 ). + 3 { A 3 B 3. Ne segue che la serie data o è telescopica. Noostate ciò è possibile calcolare la somma della serie. Si ha che la somma parziale -esima della serie è S k(k + 3) ( 3 k ) k + 3 k k ( 3 4 + 5 + 3 6 + 4 7 + + ) + 3 ( + 3 + 3 ) ( + 3 3 6 ). + 3
Serie umeriche: esercizi svolti 3 Ne segue che la somma della serie è Pertato si ha ( S lim S lim 3 6 ) + 3 8. ( + 3) 8. c) La serie + ( + ) è a termii positivi. Poichè + ( + ) 3, + ed essedo covergete la serie serie data coverge., per il criterio del cofroto asitotico la 3 Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che + ( + ). Quidi si ha che + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ). Ne segue che la serie data è telescopica. La somma parziale -esima della serie è S k k + k (k + ) k k (k + ) 4 + 4 9 + + ( + ) ( + ). Ne segue che la somma della serie è Pertato si ha d) La serie S lim S lim ( + ( + ). log ( ) ) ( + ). è a termii egativi. Cosideriamo la serie [ log ( )]. È ua serie a termii positivi. Poichè log ( + x) x + o(x) per x 0, si ha che log ( ) + o, +
4 Serie umeriche: esercizi svolti ed essedo covergete la serie, per il criterio del cofroto asitotico la [ serie log ( )] coverge. Quidi per l algebra delle serie, la serie data coverge. Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che log ( ) log ( + )( ) log log + log. Ne segue che la serie data è telescopica. La somma parziale -esima della serie è S k log ( ) k k ( log k + ) k log k k log 3 log + log 4 3 log 3 + + log + log log + log +. Ne segue che la somma della serie è Pertato si ha ( S lim S lim log + log + ) log. log ( ) log. e) La serie 4 è a termii positivi. Poichè 4 ) 4, + ed essedo covergete la serie serie data coverge., per il criterio del cofroto asitotico la Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 4 ( )( + ) A + B (A + B) + A B + 4 Quidi { A B. 4 ( ). +
Serie umeriche: esercizi svolti 5 Ne segue che la serie data è telescopica. La somma parziale -esima della serie è S 4k ( k ) k + k k ( 3 + 3 5 + + ) + Ne segue che la somma della serie è Pertato si ha f) La serie S lim S lim 4. + + + + ( ) +. è a termii positivi. Poichè ( ) + + + ( ). + 3, + ed essedo covergete la serie serie data coverge. 3, per il criterio del cofroto asitotico la Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che la serie data è telescopica. La somma parziale -esima della serie è S k k + k + 3 + + Ne segue che la somma della serie è Pertato si ha g) La serie S lim S lim (. + ( + )( + ) + + ). è a termii positivi. Poichè ( + )( + ) 3, + +. ed essedo covergete la serie serie data coverge., per il criterio del cofroto asitotico la 3
6 Serie umeriche: esercizi svolti Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che Quidi ( + )( + ) A ( + ) + ( + )( + ) [ B (A + B) + A ( + )( + ) ( + )( + ) { A B. ( + ) ( + )( + ) Ne segue che la serie data è telescopica. La somma parziale della serie è S k(k + )(k + ) [ ] k(k + ) (k + )(k + ) k k [ 6 + 6 ] + + ( + ) ( + )( + ) [ ]. ( + )( + ) Ne segue che la somma della serie è Pertato si ha S lim S lim ( + )( + ) 4. [ ] ( + )( + ) 4. ]. Esercizio. Determiare il carattere delle segueti serie: a) b) c) d) e) f) log ( + ) log 4 log 3 + log arcta + [diverge positivamete] [coverge] [coverge] [diverge egativamete] [diverge positivamete] [coverge]
Serie umeriche: esercizi svolti 7 g) h) log log 3 [diverge egativamete] [diverge egativamete] k) log [diverge positivamete] i) log 3 [diverge positivamete] j) l) log (!) [coverge] 3 cos (π) [idetermiata] m) ) o) 3 (!) 43 6 ) ( 4 3 [coverge] [coverge] [coverge] p) ( 3+ 3 ) [coverge] q) log [diverge positivamete] r) 0 [coverge] + s) t) u) v) si (4 3 ) ( + ) 5 ( + ) 3 (log ) log [coverge assolutamete] [diverge positivamete] [coverge] [coverge]
8 Serie umeriche: esercizi svolti w) x) y) z) ()! [coverge] + 4 [diverge positivamete] + [diverge positivamete] + ( ) si [coverge] Svolgimeto a) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). log ( + ) Poichè log ( + ) o( + ) per +, si ha che ( ) + o, + log ( + ) ed essedo la serie divergete, per il criterio del cofroto asitotico + ache la serie data è divergete. b) La serie log 4 è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). Poichè log o() per +, si ha che log 4 o 3, + ed essedo la serie covergete, per il criterio del cofroto asitotico ache 3 la serie data è covergete. c) La serie Quidi o coverge o diverge (positivamete). log 3 Poichè log o è a termii positivi. 3 per +, si ha che log 3 o, + 7 6
Serie umeriche: esercizi svolti 9 ed essedo la serie 7 6 la serie data è covergete. + d) La serie log o diverge (egativamete). Osserviamo che covergete, per il criterio del cofroto asitotico ache è a termii egativi. Ifatti, + lim + log. <. Quidi o coverge Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che la serie data è divergete. e) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). arcta Poichè arcta x x + o(x) per x 0, si ha che arcta + o ed essedo la serie la serie data è divergete. + f) La serie (positivamete)., + divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge Si ha che + ( 4 ), + + + 3 ed essedo la serie 3 la serie data è covergete. g) La serie covergete, per il criterio del cofroto asitotico ache log è a termii egativi. Ifatti log log. Quidi o coverge o diverge (egativamete). Osserviamo che lim log +. Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che la serie data è divergete.
0 Serie umeriche: esercizi svolti h) La serie log 3 coverge o diverge (egativamete). Osserviamo che è a termii egativi. Ifatti log 3 log 3. Quidi o lim log 3 +. Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che la serie data è divergete. k) La serie log è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). Osserviamo che a, b > 0, a log b b log a. Ifatti, poichè se N > 0 si ha che N e log N, allora se a, b > 0 si ha che a log b e log (alog b ) e log b log a e log (blog a ) b log a. Pertato si ha che log log. Poichè log <, e segue che la serie data è divergete. i) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). log 3 Poichè log o ( ) per +, si ha che log 3 3 log o(), +. Quidi si ha che o, + log 3 ed essedo la serie divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache la serie data è divergete. j) La serie log (!) è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete).
Serie umeriche: esercizi svolti Poichè! per ogi 4, si ha che per ogi 4 Osserviamo che log (!) log ( ) log 4 log. a, b > 0, a log b b log a. Ifatti, poichè se N > 0 si ha che N e log N, allora se a, b > 0 si ha che a log b e log (alog b ) e log b log a e log (blog a ) b log a. Pertato si ha che 4 log log 4. Poichè log 4 >, e segue che questa serie coverge e per il criterio del cofroto la serie data è covergete. l) La serie 3 cos (π) è a termii di sego altero. Ifatti, essedo cos (π) ( ), si ha che 3 cos (π) ( ) 9 ( 9). Ne segue che la serie data è ua serie geometrica co ragioe 9 <. Quidi è idetermiata. m) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). 3 (!) Si ha che lim 3 (!) lim 3! 0 <. Quidi per il criterio della radice la serie data coverge. ) La serie Si ha che 43 6 è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). lim 43 6 lim 43 6 6 <. Quidi per il criterio della radice la serie data coverge.
Serie umeriche: esercizi svolti o) La serie Posto si ha che ) è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). ( 4 3 a + [3( + )]! ( + )! a [4( + )]! a ) ( 4 3 (3)!!, (4)! (4)! (3 + 3)! ( + )! (3)!! (4 + 4)! (4)! (3)!! Ne segue che (3 + 3)(3 + )(3 + ) (3)! ( + )! (4 + 4)(4 + 3)(4 + )(4 + ) (4)! (3 + 3)(3 + )(3 + )( + ) (4 + 4)(4 + 3)(4 + )(4 + ). (4)! (3)!! lim a + a lim (3 + 3)(3 + )(3 + )( + ) (4 + 4)(4 + 3)(4 + )(4 + ) 7 56 <. Quidi per il criterio del rapporto la serie data coverge. p) La serie ) è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). ( 3+ 3 Si ha che ( 3+ 3 ) 4 (3)! (3 + )! 4 (3)! (3 + )(3 + ) (3)! 4 (3 + )(3 + ). Poichè 4 (3 + )(3 + ) 4 9, + ed essedo la serie covergete, per il criterio del cofroto asitotico ache la serie data è covergete. q) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). log Poichè log log, si ha che per ogi log log ed essedo (vedi Eserczio a)) la serie cofroto ache la serie data è divergete. log divergete, per il criterio del
Serie umeriche: esercizi svolti 3 r) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positi- + vamete). Si ha che 0 lim lim + + 0 <. Quidi per il criterio della radice la serie data coverge. s) La serie si (4 3 ) ( + ) è a termii di sego variabile. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie si (4 3 ) ( + ). Essedo si (4 3 ), si ha che per ogi si (4 3 ) ( + ) ( + ). Poichè (+) per + ed essedo covergete la serie, per il criterio del cofroto asitotico ache la serie coverge. Quidi per il ( + ) si (4 3 ) criterio del cofroto ache la serie coverge. Ne segue che la serie ( + ) data coverge assolutamete e di cosegueza coverge. t) La serie 5 (positivamete). ( + ) è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge Si ha che lim + 5 lim 5 ( + ) ( lim + ) e 5 5 >. Quidi per il criterio della radice la serie data diverge. è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (po- ( u) La serie 3 sitivamete). ) Si ha che lim 3 ( ) ( lim 3 lim 3 ) 3 e <. Quidi per il criterio della radice la serie data coverge.
4 Serie umeriche: esercizi svolti v) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). (log ) log Osserviamo che per ogi α 0 si ha che α o (log ) log, per +. Ifatti, lim α (log ) log lim e α log (log ) log posto t log, e αt lim t + t t lim t + Ne segue che per ogi α 0 ( e α t ) t e α log lim et t lim t + t + et(α log t) 0. (log ) log o α, +. Cosiderado α >, essedo la serie covergete, per il criterio del cofroto asitotico ache la serie data è α covergete. w) La serie Quidi o coverge o diverge (positivamete). Posto a ()! ()!, si ha che è a termii positivi. a + a ( + )(+) [( + )]! ()! ( + ) ( + ) ()! ( + )! Ne segue che ( + ) ( + ) ( + )( + ) ()! ()! + + ( + )( + ). lim a + a lim + + ( + )( + ) 0 <. Quidi per il criterio del rapporto la serie data coverge. x) La serie + 4 3 è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). Osserviamo che lim + 4 3 +. Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che la serie data è divergete.
Serie umeriche: esercizi svolti 5 y) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positi- + vamete). Osserviamo che + lim + ( + ) lim + ( ) lim + ( + ). Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che la serie data è divergete. ( z) La serie ) si è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). Poichè si x x 6 x3 + o(x 3 ), x 0, si ha che si [ ] 6 3 + o 3 6 3 + o 3 6 3, + ed essedo la serie covergete, per il criterio del cofroto asitotico ache 3 la serie data è covergete. Esercizio 3. Stabilire se covergoo, covergoo assolutamete o o covergoo le segueti serie: a) b) c) d) e) ( ) log ( + ) ( ) log 4 ( ) log 3 + ( ) log ( ) arcta [coverge ma o assolutamete] [coverge assolutamete] [coverge assolutamete] [o coverge] [coverge ma o assolutamete]
6 Serie umeriche: esercizi svolti f) g) h) ( ) log ( ) + + cos ( + )π + log 3 [o coverge] [coverge ma o assolutamete] [coverge ma o assolutamete] k) ( ) ( + ) [coverge ma o assolutamete] i) j) l) ( ) log ( + ) log ( ) ta 3 cos π (!) [o coverge] [coverge ma o assolutamete] [coverge assolutamete] m) ) ( ) 43 6 [coverge asssolutamete] ( ) ( 3+ ) [coverge asssolutamete] 3 o) p) q) r) *s) *t) *u) 3 ( ) [ ] arcta ( + ) π cos [( + )π] ( ) + + si π + cos (π) log + ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) [coverge asssolutamete] [coverge ma o assolutamete] [coverge ma o assolutamete] [coverge ma o assolutamete] [coverge ma o assolutamete] [coverge ma o assolutamete] [o coverge]
Serie umeriche: esercizi svolti 7 *v) { se è pari, ( ) b, b se è dispari [o coverge] Svolgimeto a) La serie ( ) è a termii di sego altero. log ( + ) Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie. Per l Esercizio a) questa serie diverge. Quidi la serie data log ( + ) o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Posto b log (+), si ha che: ) lim b lim log ( + ) 0; ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, log ( + ) < log ( + ) b + Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. log ( + ) < log ( + ) b. b) La serie ( ) log 4 è a termii di sego altero. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie log. Per l Esercizio b) questa serie coverge. Quidi la serie data coverge assolutamete e di cosegueza 4 coverge. c) La serie ( ) log è a termii di sego altero. 3 Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie log. Per l Esercizio c) questa serie coverge. Quidi la serie data coverge assolutamete e di cosegueza coverge. 3 + d) La serie ( ) log è a termii di sego altero. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie [ ] + + log log. Per l Esercizio d) questa serie diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Osserviamo che + lim( ) log.
8 Serie umeriche: esercizi svolti Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che la serie data o coverge. e) La serie ( ) arcta è a termii di sego altero. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie arcta. Per l Esercizio e) questa serie diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Posto b arcta, si ha che: ) lim b lim arcta 0; ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti < b + arcta < arcta b. + + Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. f) La serie ( ) log è a termii di sego altero. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie ( log ) log. Per l Esercizio g) questa serie diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Osserviamo che lim ( ) log. Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che la serie data o coverge. g) La serie ( ) + è a termii di sego altero. + Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie +. È ua serie a termii positivi. Poichè + ed essedo la serie la serie + + + +, + divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Posto b +, si ha che: +
Serie umeriche: esercizi svolti 9 ) lim b lim + + 0; ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, se cosideriamo la fuzioe f associata alla successioe (b ), f(x) x+ ristretta all itervallo [, + ), si ha x + che f è derivabile co f (x) x x + (x + ). Poichè per ogi x [, + ) si ha f (x) < 0, allora f è decrescete su [, + ). Ne segue che la successioe (b ) è decrescete. Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. h) La serie ( ) +, la serie è cos ( + )π è a termii di sego altero. Ifatti, essedo cos ( + )π + log 3 ( ) + + log 3. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie + log 3. È ua serie a termii positivi. Poichè log 3 o ( ) per +, si ha che ed essedo la serie la serie + log 3 + o ( ), + + log 3 divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Posto b +log 3 +3 log, si ha che: ) lim b lim + 3 log 0; ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, +3 log < + +3 log ( + ) implica b + + + 3 log ( + ) < Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. + 3 log b. k) La serie ( ) è a termii di sego altero. ( + ) Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie. È ua serie a termii positivi. Poichè ( + ) ( + ) 4, +
0 Serie umeriche: esercizi svolti ed essedo la serie la serie 4 divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. ( + ) Studiamo ora la covergeza. Posto b (+), si ha che: ) lim b lim ( + ) 0; ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, se cosideriamo la fuzioe f associata alla successioe (b ), f(x) ha che f è derivabile co f (x) x (x+) x (x + ) 3. ristretta all itervallo [, + ), si Poichè per ogi x [, + ) si ha f (x) < 0, allora f è decrescete su [, + ). Ne segue che la successioe (b ) è decrescete. Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. i) La serie ( ) è a termii di sego altero. log ( + ) log Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie log ( + ) log log +. Osserviamo che lim log + +. Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che questa serie diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Per quato appea osservato, ache la serie di parteza o verifica la codizioe ecessaria per la covergeza della serie. Ifatti, lim( ) log + Ne segue che la serie data o coverge. j) La serie ( ) ta è a termii di sego altero. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie ta. È ua serie a termii positivi. Poichè ta x x + o(x) per x 0, si ha che ta + o, +.
Serie umeriche: esercizi svolti ed essedo la serie divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache la serie ta diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Posto b ta, si ha che: ) lim b lim ta 0; ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, essedo 0 < < π si ha che < + ta + < ta. Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. per ogi, 3 l) La serie cos π è a termii di sego altero. Ifatti, essedo cos π (!) ( ), la serie è ( ) 3 (!). Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie 3. Per l Esercizio m) questa serie coverge. Quidi la serie data coverge (!) assolutamete e di cosegueza coverge. m) La serie ( ) 43 è a termii di sego altero. 6 Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie 43. Per l Esercizio ) questa serie coverge. Quidi la serie data coverge 6 assolutamete e di cosegueza coverge. ( ) ) La serie ( 3+ ) è a termii di sego altero. 3 Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie ( 3+ ). Per l Esercizio p) questa serie coverge. Quidi la serie data coverge 3 assolutamete e di cosegueza coverge. 3 o) La serie è a termii di sego altero. Ifatti, si può scrivere come ( ) ( ) 3. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie 3.
Serie umeriche: esercizi svolti È ua serie a termii positivi. Si ha che lim 3 lim 3 <. 3 Quidi per il criterio della radice la serie coverge. Ne segue che la serie data coverge assolutamete e di cosegueza coverge. [ ] p) La serie arcta ( + ) π cos [( + )π] è a termii di sego altero. Ifatti, essedo cos ( + )π ( ) +, la serie è ( ) +[ ] arcta ( + ) π ( ) [ ] π arcta ( + ). Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie [ ] π arcta ( + ). Si ha che arcta ( + ) π arcta +. Poichè arcta x x + o(x) per x 0, e segue che π arcta ( + ) arcta + + +o + +, +. Essedo la serie divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache + [ ] la serie π arcta ( + ) è divergete. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Posto b π arcta ( + ) arcta +, si ha che: ) lim b lim arcta + 0; ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, < + b + arcta + < arcta + b. Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. ( ) + + q) La serie si π è a termii di sego altero. Ifatti, + ( ) + + si π + ( si π + π ) π cos (π) si ( ) si + + π +.
Serie umeriche: esercizi svolti 3 Quidi la serie è ( ) π si +. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie π si. È ua serie a termii positivi. Poichè si x x + o(x) per x 0, si + ha che π si + π + + o π + +, + ed essedo la serie divergete, per il criterio del cofroto asitotico a- che la serie si π + π diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. + Studiamo ora la covergeza. Posto b si ) lim b lim si π + 0; π +, si ha che: ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, essedo 0 < π + π, si ha che < + si π + < si π +. Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. per ogi r) La serie cos (π) log è a termii di sego altero. Ifatti, essedo cos (π) + ( ), la serie è ( ) log +. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie log. È ua serie a termii positivi. Poichè + ed essedo la serie ache la serie log + o, + + + divergete, per il criterio del cofroto asitotico log diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. + Studiamo ora la covergeza. Posto b log +, si ha che: ) lim b lim log + 0;
4 Serie umeriche: esercizi svolti ) la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, se cosideriamo la fuzioe f associata alla successioe (b ), f(x) log x x+ che f è derivabile co Poichè f (x) x+ x ristretta all itervallo [, + ), si ha log x (x + ). x + lim log x, x + x esiste N N tale che per ogi x N si ha f (x) < 0. Quidi f è decrescete su [N, + ). Ne segue che la successioe (b ) è decrescete per ogi N. Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge. *s) La serie ( ) è a termii di sego altero. + ( ) Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie. Si ha che + ( ) ed essedo la serie la serie + ( ), + divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. + ( ) Studiamo ora la covergeza. Posto b +( ), si ha che: ) lim b lim + ( ) 0; ) la successioe (b ) o è decrescete. Ifatti, b + + + ( ) + > + + ( ) b. Quidi o si può applicare il criterio di Leibiiz. Per stabilire se la serie data coverge, osserviamo che ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Allora la serie data diveta ( ) + ( ) ( ( ) ).
Serie umeriche: esercizi svolti 5 La serie ( ) è covergete. altero che o coverge assolutamete, essedo coverge per il criterio di Leibiiz, essedo Ifatti, è ua serie a termii di sego per +, ma 0 per + e la successioe a decrescete (si osservi che la fuzioe associata f(x) x f (x) x + < 0 su [, + )). Ioltre la serie (x ) ha derivata x è covergete, essedo per +. Poichè il termie geerale della serie data è differeza del termie geerale di due serie covergeti, per l algebra delle serie e segue che la serie data coverge e possiamo scrivere ( ) + ( ) ( ). *t) La serie ( ) + ( ) è a termii di sego altero. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie + ( ). Si ha che + ( ), + ed essedo la serie divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache la serie + ( ) diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Osserviamo che ( ) + ( ) ( ( ) + ). ( ) Le serie e covergoo etrambe. Quidi per l algebra delle serie, ache la serie data coverge. Osservazioe a) I questo caso o si può applicare il criterio di Leibiiz. Ifatti, posto b + ( ), si ha che: ) lim b lim ( + ( ) ) 0;
6 Serie umeriche: esercizi svolti ) la successioe (b ) o è decrescete. Ifatti, b + ( ) () + () + (), b + + + ( )+ ( + ) + ( + ) ( + ), b + + 3 ( + ). Ne segue che b + < b ma b + > b +. b) Abbiamo osservato che b per +. Di cosegueza si ha che ( ) ( ) b ( ) per +. È errato dire che poichè la serie è covergete, allora per il criterio del cofroto asitotico ache la serie ( ) b è covergete. Ifatti, il criterio del cofroto asitotico si applica solo alle serie a termii positivi. *u) La serie ( ) + ( ) è a termii di sego altero. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, cioè la covergeza della serie + ( ). Si ha che + ( ), + ed essedo la serie divergete, per il criterio del cofroto asitotico ache la serie + ( ) diverge. Quidi la serie data o coverge assolutamete. Studiamo ora la covergeza. Osserviamo che ( ) + ( ) ( ( ) + ). ( ) La serie coverge, metre la serie delle serie, la serie data diverge. diverge. Quidi per l algebra Osservazioe a) I questo caso o si può applicare il criterio di Leibiiz. Ifatti, posto b + ( ), si ha che:
Serie umeriche: esercizi svolti 7 ) lim b lim + ( ) 0; ) la successioe (b ) o è decrescete. Ifatti, b + b + ( ) + +, + ( )+ + + + + +, + + + b +. + Ne segue che b + < b ma b + > b +. b) Abbiamo osservato che b per +. Di cosegueza si ha che ( ) ( ) b ( ) per +. La serie coverge, metre la serie ( ) b o coverge. Ciò è i accordo col fatto che il criterio del cofroto asitotico si applica solo alle serie a termii positivi. { se è pari, *v) La serie ( ) b, dove b è a termii di sego altero. se è dispari Studiamo la covergeza. Per stabilire se la serie data coverge, cosideriamo la somma parziale -esima della serie S ( ) k b k. k Studiamo la covergeza della successioe (S ). Osserviamo che S m Poichè la serie m k ( ) k b k + 4 3 + 6 + m + (m) ( + ) ( 3 + + + m 4 + 6 + + ) (m) k k m k m k + (k). k diverge, allora la successioe S m m k k
8 Serie umeriche: esercizi svolti diverge a ; poichè la serie k coverge, allora la successioe (k) S m m k (k) coverge. Ne segue che la successioe S m S m + S m diverge a. Ioltre, si ha che Quidi ache Poichè la successioe (S ) è S S m+ S m m +. lim m S m+. { Sm se m, S m+ se m +, si ha che Quidi la serie data diverge. lim S. Osservazioe a) I questo caso o si può applicare il criterio di Leibiiz. Ifatti, si ha che: ) lim b 0; ) la successioe (b ) o è decrescete. Ifatti, b) Ache se b + + > () b. b è errato dire che ( ) ( ) b ( ) { se è pari, se è dispari, se è pari, se è dispari e cocludere di cosegueza che la serie diverge. c) Si osserva che b e b per +. () + coverge, diverge
Serie umeriche: esercizi svolti 9 Esercizio 4. Determiare per quali valori del parametro α R covergoo o covergoo assolutamete le segueti serie: a) b) c) d) e) *f) g) h) k) 0 cos (α) ( + ) [coverge assolutamete per ogi α R] + si α [coverge, ache assolutamete, se α > ] log α [coverge, ache assolutamete, se α > ] π arcta ( + ) α [coverge, ache assolutamete, se α > 0] + α [coverge, ache assolutamete, se α < ] ( ) α e ( ) (ta α) 0 [ coverge assolutamete se α < 0, coverge ma o assolutamete se 0 α < [ coverge, ache assolutamete, se π 4 + kπ < α < π 4 + kπ, k Z ( ) α [ coverge assolutamete se α <, 5 coverge ma o assolutamete se α < 0 e 4 +α 0 [coverge assolutamete per ogi α R] ] ] ] Svolgimeto a) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). cos (α) ( + ) Poichè cos (α) per ogi e per ogi α, si ha che cos (α) ( + ) ( + ), +. Essedo covergete la serie, per il criterio del cofroto asitotico ache la serie coverge. Per il criterio del cofroto la serie data coverge ( + ) per ogi α R.
30 Serie umeriche: esercizi svolti b) La serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). + si α Poichè + si 3 per ogi, si ha che α + si α 3 α. Essedo la serie covergete se α > e divergete se α, per il criterio α del cofroto la serie data coverge se α >. c) La serie log α Poichè log o Essedo la serie è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). ( β) per + per ogi β > 0, si ha che α β log α o α β, +. covergete se e solo se α β >, per il criterio del cofroto asitotico la serie data coverge se α > + β, per ogi β > 0. Quidi per ogi α > if{ + β : Cosideriamo ora 0 < α. Poichè ed essedo divergete la serie asitotico la serie data diverge. β > 0} la serie data coverge. log α o α, + α co α, per il criterio del cofroto Ifie se α 0 o è verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie e di cosegueza la serie data diverge. Quidi la serie data coverge se α >. d) La serie 0 π arcta ( + ) α è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). Si ha che arcta π arcta. Poichè arcta x x + o(x) per x 0, e segue che π arcta ( + ) α arcta ( + ) α α+ + o α+ α+, +.
Serie umeriche: esercizi svolti 3 Essedo la serie covergete se e solo se α > 0, per il criterio del cofroto α+ asitotico la serie data coverge se α > 0. e) La serie + α è a termii positivi se α > 0, è ulla se α 0 ed è a termii di sego altero se α < 0. Cosideriamo quidi α 0. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, ossia la covergeza della serie + α. Poichè + α α, + ed essedo la serie geometrica α covergete se e solo se α <, per il criterio del cofroto asitotico la serie + α coverge se e solo se α <. Quidi la serie data coverge assolutamete se e solo se α <. Cosideriamo ora α e studiamo la covergeza. Osserviamo che se α, lim + α + se α >, se α. Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, e segue che per α la serie data o coverge. Quidi la serie data coverge se α <. *f) La serie ) ( ) α e altero. ( ) + α e è a termii di sego Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, ossia la covergeza della serie ( α e ). Poichè e x + x + o(x) per x 0, si ha che [ ] α e α + o α + o α α, +. Essedo la serie covergete se e solo se α < 0, per il criterio del cofroto α asitotico la serie α e coverge se e solo se α < 0. Quidi la serie data coverge assolutamete se e solo se α < 0.
3 Serie umeriche: esercizi svolti Cosideriamo ora α 0 e studiamo la covergeza. Poiamo b α e. Per quato osservato i precedeza, si ha che b α ha che: 0 se 0 α <, ) lim b se α, + se α >. per +. Allora si Quidi se α o è verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie e di cosegueza la serie data o coverge. Limitiamoci ora a cosiderare il caso 0 α <. ) Per 0 α < la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, ( se cosideriamo ) la fuzioe f associata alla successioe (b ), f(x) x α e x ristretta all itervallo [, + ), si ha che f è derivabile co f (x) x α [ e x (αx ) αx ]. Poichè e t + t + o(t) per t 0, si osserva che ] [( lim [e x (αx ) αx lim + ) ] x + x + x + o (αx ) αx x lim [αx + α ] x + x + o() αx α < 0. Ne segue che esiste N N tale che per ogi x N si ha e x (αx ) αx < 0. Di cosegueza per ogi x N si ha f (x) < 0 e quidi f è decrescete su [N, + ). Ne segue che la successioe (b ) è decrescete per ogi N. Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge, o assolutamete, se 0 α <. I defiitiva coverge se α <. g) La serie ( ) (ta α) è a termii di sego altero. 0 Osserviamo che ( ( ) (ta α) ta α). 0 0 Quidi è ua serie geometrica co ragioe ta α. Pertato coverge, ache assolutamete, se e solo se ta α <, cioè per π 4 + kπ < α < π 4 + kπ, per ogi k Z.
Serie umeriche: esercizi svolti 33 h) La serie ( ) α 5 è a termii di sego altero. Studiamo iizialmete la covergeza assoluta, ossia la covergeza della serie α 5 α+ 5. Poichè α+ 5 α, + ed essedo la serie α covergete se e solo se α <, per il criterio del cofroto asitotico la serie α+ 5 coverge se e solo se α < e di cosegueza la serie data coverge assolutamete se e solo se α <. Cosideriamo ora α e studiamo la covergeza. Poiamo b α 5 α+ 5. Per quato osservato i precedeza, si ha che b α per +. Allora si ha che: 0 se α < 0, ) lim b se α 0, + se α > 0. Quidi se α 0 o è verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie e di cosegueza la serie data o coverge. Limitiamoci ora a cosiderare il caso α < 0. ) Per α < 0 la successioe (b ) è decrescete. Ifatti, se cosideriamo la fuzioe f associata alla successioe (b ), f(x) x α+ 5 x [, + ), si ha che f è derivabile co [ f (x) x α+ 5 5 x x ( log x) + α ]. x ristretta all itervallo Essedo α < 0 si ha che si ha f (x) < 0 per x 3. Quidi f è decrescete su [3, + ). Ne segue che la successioe (b ) è decrescete per ogi 3. Quidi per il criterio di Leibiiz la serie data coverge, o assolutamete, se α < 0. I defiitiva coverge se α < 0. k) La serie e 4 +α è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). 0 Poichè per ogi α R si ha che e 4 +α o ( ), +
34 Serie umeriche: esercizi svolti ed essedo covergete la serie serie data coverge per ogi α R., per il criterio del cofroto asitotico la Esercizio 5. Determiare per quali valori di x R covergoo le segueti serie e per tali valori calcolare la somma: a) b) c) d) e) 0 3 x (x 6) x ( x) ( ) log x (3x) x 0 (6 x) (x ) coverge se x < 3 3, 3 6 < x < 3 + 6, x > 3 + 3; x 6x somma: x 6x 3 coverge se x < ; x somma: x coverge se x < e, < x < 0, 0 < x <, x > e ; somma: log x log x coverge se 0 < x < 3 ; somma: (3x) x (3x) x coverge se x <, x >, (x ) somma: x x Svolgimeto 3 a) La serie x 0 (x 6) [ ] 3 è ua serie di poteze co ragioe x(x 6) 0 3. Quidi coverge quado 3 x(x 6) x(x 6) <, cioè se x < 3 3, 3 6 < x < 3 + 6, x > 3 + 3. Per tali x si ha che la somma è [ ] 3 S(x) x(x 6) 0 3 x(x 6) x 6x x 6x 3.
Serie umeriche: esercizi svolti 35 x b) La serie ( x) x x è ua serie di poteze co ragioe x x. Quidi coverge quado x x <, cioè se x <. Per tali x si ha che la somma è x x S(x) x x 0 x x x. x c) La serie è ua serie di poteze co ragioe log x coverge quado log x <, cioè se x < e, < x < 0, 0 < x <, x > e. log x. Quidi Per tali x si ha che la somma è S(x) log x log x 0 log x log x. log x d) La serie (3x) x [(3x) x ] è ua serie di poteze co ragioe (3x) x. Quidi coverge quado (3x) x <, cioè se 0 < x < 3. Per tali x si ha che la somma è S(x) (3x) x (3x) x 0 (3x) x (3x)x (3x) x. (6 x) e) La serie 0 (x ) [ ] 3 x (x ) 0 è ua serie di poteze co ragioe 3 x. Quidi coverge quado 3 x (x ) (x ) <, cioè se x <, x >. Per tali x si ha che la somma è S(x) 0 [ ] 3 x (x ) 3 x (x ) (x ) x x. Esercizio 6. Sia (a ) ua successioe positiva e crescete. Stabilire se covergoo o o covergoo le segueti serie:
36 Serie umeriche: esercizi svolti a) b) a 0 ( ) a 0 [diverge] [o coverge] Svolgimeto a) La serie a è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). 0 Poichè (a ) è crescete, per le proprietà delle successioi mootoe si ha che lim a l > 0. Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, si ha che la serie data diverge. b) La serie ( ) a è a termii di sego altero. Poichè (a ) è crescete, per le 0 proprietà delle successioi mootoe si ha che lim a l > 0. Ne segue che lim( ) a 0. Quidi o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, si ha che la serie data o coverge. Osservazioe Essedo ua serie a termii di sego altero, ua codizioe sufficiete per la covergeza è il criterio di Leibiiz, i base al quale se lim a 0 e la successioe (a ) è decrescete, allora la serie data coverge. Poichè questo criterio costituisce ua codizioe sufficiete, è errato dire che la serie data o coverge perchè la successioe (a ) o è decrescete. Ioltre, egli Esercizi 3 s) e t) le serie covergoo ache se (a ) o è decrescete. * Esercizio 7. Sia (a ) ua successioe positiva tale che lim Determiare il carattere della serie a 0 α ]0, + ]. e a. [coverge]
Serie umeriche: esercizi svolti 37 Svolgimeto La serie e 0 a a è a termii positivi. Poichè lim α ]0, + ], allora si ha che lim + per ogi p > 0. Distiguiamo due casi: Quidi o coverge o diverge (positivamete). a +. Quidi a p o (e a ) per ) se α +, allora a α per +. Quidi α a o (e a ) e a o, +. Poichè la serie serie data coverge. coverge, per il criterio del cofroto asitotico ache la ) se α +, allora o(a ) per +. Quidi o(a ) o (e a ) e a o, +. Poichè la serie serie data coverge. coverge, per il criterio del cofroto asitotico ache la Osservazioe Nel caso i cui α 0 o si può cocludere ulla, come mostra l Esercizio 8. * Esercizio 8. Sia (a ) ua successioe positiva tale che lim a α [0, + ]. log Dimostrare che la serie e 0 a o si può cocludere ulla. diverge se α <, coverge se α >, metre per α Svolgimeto La serie e 0 a Distiguiamo due casi: è a termii positivi. Quidi o coverge o diverge (positivamete). ) se α +, allora per la defiizioe di limite, esiste N > tale che per ogi N si ha a log >. Quidi a > log per N e di cosegueza e a <, N.
38 Serie umeriche: esercizi svolti Poichè la serie coverge. coverge, per il criterio del cofroto ache la serie data ) se α +, allora per la defiizioe di limite, preso ε > 0 esiste N ε > tale che per ogi N ε si ha α ε < a log < α+ε. Quidi (α ε) log < a < (α+ε) log per N ε e di cosegueza α+ε < e a < α ε, N ε. Cosideriamo separatamete i casi α <, α > e α. a) Se α <, allora per 0 < ε < α si ha che α + ε <. Poichè la serie diverge, per il criterio del cofroto ache la serie data diverge. α+ε b) Se α >, allora per 0 < ε < α si ha che α ε >. Poichè la serie coverge, per il criterio del cofroto ache la serie data coverge. α ε c) Se α, allora per ε > 0 si ha che +ε < e a < ε, N ε. La serie ε diverge metre la serie coverge, ma o è possibile +ε applicare il criterio del cofroto. I questo caso si ha che a log per +. Quidi a log +o(log ) per + e di cosegueza e a e log +o(log ) e o(log ) e log o() o() +o(), + da cui e a +o(), +. Tutto ciò o cosete di cocludere ulla sull ordie di ifiitesimo di e a per + e quidi o è sufficiete per stabilire é che la serie coverge é che la serie diverge. Se per esempio si cosidera a log (log ) /, allora a log +o(log ) per + e e a e log (log )/ e (log )/ o(), +.
Serie umeriche: esercizi svolti 39 Quidi Poichè la serie serie data diverge. o, +. e a diverge, per il criterio del cofroto asitotico ache la Se ivece si cosidera a log + (log ) /, allora a log + o(log ) per + e e a e log +(log )/ e (log )/. Essedo x p o(e x ) per x + per ogi p > 0, si ha ache che ( log p o e (log )/), +, p > 0. Quidi per ogi p > 0 si ha La serie e a e (log )/ ( o log p ), +. log p coverge se e solo se p >. Ifatti, posto b log p cosideriamo la fuzioe f(x) x log p x associata a b, cioè tale che f() b per ogi N,. Si ha che f è positiva e decrescete su [, + ). Quidi per il criterio di McLauri la serie b coverge se e solo se l itegrale improprio + + f(x) dx coverge. Si ha che f(x) dx + x log p x dx posto t log x, da cui dt x dx, si ottiee log c lim c + log t p dt + log t p dt : c lim c + x log p x dx { diverge se p, Quidi se si cosidera p >, essedo e o a log p, +, coverge se p >. e la serie log p covergete, per il criterio del cofroto asitotico la serie data coverge. a Questi due esempi mostrao che se lim o possiamo cocludere log ulla.
40 Serie umeriche: esercizi svolti Osservazioe No è vero che a b, + e a e b, +. Ifatti, ei due esempi visti precedetemete si ha log (log ) / log + (log ) /, + e ( e log (log )/ o e log +(log )/), +. Quidi se 0 < α < + o è vero che a α log, + e a e α log α, +. Pertato è errato dire che se 0 < α < +, allora a α log, + e a e α log α, + e di cosegueza cocludere che e a α, +.