Prof.. Di Muro Moto rettilineo uniformemente ccelerto ( m.r.u.. ) Il moto rettilineo uniformemente ccelerto è un moto che iene su un rett con ccelerzione costnte. Dll definizione di ccelerzione t t t t con = costnte e con t = Considerimo l rppresentzione grfic del moto: Prtimo quest olt prim dll legge orri dell elocità: ( m / s ) t t = costnte si ric l legge orri dell elocità: L semirett ross h un pendenz, il coefficiente ngolre di quest rett è proprio l ccelerzione inftti m tn l tngente goniometric dell ngolo lph è t proprio l ccelerzione. Mggiore è l ngolo mggiore è l ccelerzione. L re sottes dll rett e l sse dei tempi, come isto prim, è lo spzio percorso. Quest re è costituit d due prti, l re del rettngolo gillo che corrisponde llo spzio percorso procedendo ll elocità inizile costnte più lo spzio dell re del tringolo che corrisponde l contributo dell ccelerzione. Lo spzio totle è quindi l re del trpezio: ( )t ( t )t 1 t t. In generle se l posizione inizile è si h: ( m ) t = + t + 1 t Considerimo or l legge orri dell posizione: quest legge è rppresentt d un prbol in qunto l = + t + 1 t tn = è un cur di secondo grdo. l pendenz dell rett tngente è l elocità inizile. L re del trpezio ist prim corrisponde l trtto. L line orri trtteggit costituisce l ndmento del moto prim di t che è stto posto ugule zero.
Prof.. Di Muro Considerimo infine l legge orri dell ccelerzione: essendo l ccelerzione costnte l rett h pendenz null ed h equzione = tn. ( m / s ) Rissumendo le leggi del moto sono: t = + t + 1 t Se dll prim ricimo t e lo sostituimo nell second si h: t 1 e ( ) e dopo semplici pssggi ricimo: ( ) quest è un relzione pri del tempo ed è prticolrmente importnte nche nell risoluzione degli esercizi. Moti ccelerti e decelerti Considerimo un ettore elocità, se il ettore ccelerzione si proiett nello stesso erso di, come 1, il moto è ccelerto perché l ccelerzione forisce il moto ed ument il lore dell elocità. Se il ettore ccelerzione si proiett nel erso opposto di, come, il moto è decelerto perché l ccelerzione ostcol il moto e diminuisce il lore dell elocità. Se infine il ettore ccelerzione è perpendicolre, come 3, il moto non è né ccelerto né decelerto. Un criterio per stbilire se un moto è ccelerto o meno è quello di fre il prodotto sclre tr i ettori elocità ed ccelerzione: > il moto è ccelerto 3 1 < il moto è decelerto = il moto non è né ccelerto né decelerto per il moto rettilineo, isto che ed hnno l stess direzione, è sufficiente fre il prodotto tr l elocità e l ccelerzione.
Prof.. Di Muro Esempio: ( m / s ) 4 6 8 F E 3 C D Nel trtto il moto è m.r.u. lo spostmento è t.. 4. m che corrisponde ll re del qudrto zzurro. ( considerimo cifre significtie ) Nel trtto C il moto è decelerto fino d F perché il corpo con un elocità inizile di. m / s si ferm in F, poi ument il modulo dell su elocità fino C per cui il moto è ccelerto, l elocità tutti dient negti, ciò signific che il corpo st tornndo indietro percorrendo uno spzio negtio. L ccelerzione è dt d 3.. C t t 4...5 m / s 1 1 C ( t t) ( t t).(4..) (.5)(4..) 1. m ; per trore il tempo t F pplichimo l legge del moto l trtto F: mentre lo spostmento totle è dto d ( t t ) cioè. (.5)(.) d cui t.8 s F t F F lo spostmento nel trtto F è 1 1 F ( t t) ( t t).(.8.) (.5)(.8.).8 m che corrisponde ll re del tringolo erde; lo spostmento nel trtto F è 1 1 FC ( t t) ( t t) (.5)(4..8) 1.8 m che corrisponde ll re del tringolo rncione; edimo che.8 1.8 1. m. C F FC
Prof.. Di Muro Nel trtto CD il moto è m.r.u. lo spostmento è CD C ( t t) 3.(6. 4.) 6. m che corrisponde ll re del qudrto ros. Nel trtto DE il moto è decelerto perché ll fine il corpo si ferm, l ccelerzione è ( 3.) DE t t 8. 6. 1.5 m / s ; lo spostmento è 1 1 DE ( t t) ( t t) 3.(8. 6.) 1.5(8. 6.) 3. m che corrisponde ll re del tringolo gillo. Lo spzio totle percorso è dto d s 15.6 16 m mentre lo spostmento totle è dto d 6. m. C CD DE F FC CD DE 6. L elocità medi sull intero percorso è dt d: M.75 m / s t t t 8. Segue l legge orri dell ccelerzione: ( m / s ) DE 4 6 8 CD 3 F FC Come si ede nel trtto F l ccelerzione è negti mentre l elocità è positi per cui il prodotto tr le due è negtio ed il moto è rettilineo uniformemente decelerto, mentre nel trtto FC l ccelerzione e l elocità sono entrmbe negtie per cui il prodotto tr le due è positio ed il moto è rettilineo uniformemente ccelerto. Nel trtto DE inece l ccelerzione è positi mentre l elocità è negti per cui il prodotto tr le due è negtio ed il moto è rettilineo uniformemente decelerto.
Prof.. Di Muro Vedimo or l legge orri dell posizione sorppost quell dell elocità. ( m ) 4.8 4 3 Spzio percorso: 4. +.8 + 1.8 + 6. + 3. = 16 m F E 3 C D r Spostmento: r = 6. m 6 Nel trtto il moto è rettilineo uniforme, si h l rett di equzione: ( t t ).( t ). t Nel trtto C il moto è ccelerto e si h l prbol di equzione: 1 1 C t t t t t t t t ( ) ( ) 4..(.).5(.) 1.3 7. 5. Nel trtto CD il moto è rettilineo uniforme, si h l rett di equzione: ( t t ) 3. 3.( t 4.) 3. t 15 CD Nel trtto DE il moto è ccelerto e si h l prbol di equzione: 1 1 DE t t t t t t t t ( ) ( ) 3. 3.( 6.) 1.5( 6.).75 1 4 ricordndo che l pendenz dell prbol corrisponde ll elocità, si ede che nel trtto F l pendenz è positi, l pendenz si nnull nel ertice dell prbol ( inftti l elocità in quell istnte è null ) e quindi nel trtto FC dient negti. Nel trtto DE l pendenz dell ltr prbol è negti e si nnull fine percorso. Il moto del punto mterile iene lungo l sse delle ordinte con gli spzi percorsi e lo spostmento totle come in figur.
Prof.. Di Muro Il problem dell inseguimento: Due punti mterili e distnti 8 m si muoono sull stess rett e nello stesso erso. precede e si muoe con elocità inizile di. m / s ed ccelerzione costnte di. m / s. prte d fermo con ccelerzione costnte di 4. m / s. Dopo qunto tempo rggiunge? Qunto spzio hnno percorso i due corpi qundo rggiunge? Questi tipi di problemi si possono risolere geolmente con il digrmm elocità-tempo. ( m / s ) t t t Se t è l istnte del rggiungimento, lo spzio percorso d è l re del trpezio erde mentre lo spzio percorso d è l re del tringolo zzurro. L differenz delle due ree dee essere eidentemente ugule 8 m. 8 m incontro 1 1 Per cui 8 t t ( t ) t d cui t. t 8 e l soluzione positi dà t = 4. s con = 4 m ed = 3 m. D notre che l intersezione tr le due leggi orrie dell elocità h solo il significto che in quell istnte i due punti hnno l stess elocità.
Prof.. Di Muro Esercizio : Risolimo or un problem simile senz l usilio del digrmm. Due punti mterili e distnti 1 m si muoono sull stess rett, m in erso opposto. si muoe con elocità inizile di 3. m / s e st frenndo con decelerzione costnte di. m / s. si muoe con elocità inizile di. m / s con ccelerzione costnte di 4. m / s. Dopo qunto tempo rggiunge? Qunto spzio hnno percorso i due corpi qundo rggiunge? 1 m incontro Scelto p. es. un sistem di coordinte con l sse positio nel erso di, l elocità srà negti, m l su decelerzione positi. ccorre innnzitutto chiedersi se rggiunge qundo questo è fermo o in moto. ( 3.) Il corpo si ferm dopo t 15. s. e percorre 9 4. 5 m lo spzio è negtio perché contto nel erso negtio delle. 1 Il corpo in 15. s percorre s t t 3 45 75 m Visto che l somm dei moduli degli spzi è minore di 1, rggiungerà qundo quest ultimo è fermo. L somm delle due ree dee essere eidentemente ugule 1 m. Il corpo percorre in definiti = 1 5 = 975 m, l elocità finle di, dll srà: 9.55. = 9.55 = 9.6 m / s ed il tempo necessrio è t 17.64 17.6 s 4.