Applicazioni della Legge di Gauss Lezione 3 Guscio sfeico di aggio con caica totale distibuita unifomemente sulla supeficie. immetia sfeica, dipende solo da supeficie sfeica di aggio <, caica contenuta zeo ( ) 4π Φ n d quindi, il campo elettico è nullo all inteno della sfea supeficie sfeica di aggio >, caica totale contenuta Φ ( ) 4π quindi ( ) 4 π
Notiamo che il campo elettico all esteno della sfea è uguale a quello geneato da una caica puntifome e questo vaà pe qualsiasi copo con caica distibuita a simmetia sfeica. Potenziale elettico: Pe aggio >, il potenziale (pe quanto detto) deve essee uguale a quello di una caica puntifome: Pe aggio <, il potenziale si calcola dalla definizione: ( ( B) ( A) ) ( ) ( ) ds ( ) ( ) B A ds consideando un pecoso da (estemo A) a (estemo B) veso l inteno della sfea ( < ), il campo è nullo quindi: costante in () ( ) paticola e () ( )
negia elettostatica Lavoo esteno pe ceae una configuazione di caiche elettiche. sempio: lavoo pe potae la caica totale sul guscio sfeico, inizialmente scaico Pe potae sul guscio una caica infinitesima dq : dl ( q) dq; L dl ( q) dq q dq q negia elettostatica del guscio caico elett. ( q) Aggiungendo continuamente dq, sulla sfea si pate da q e si continua fino ad avee la caica (sfea completamente caica); il lavoo totale è (q) elett. dq q [ ] J ( Joule) elett q
Piano esteso caicato unifomemente con densità di caica σ n σ m σ caica pe unità di supeficie [ σ ] Data la simmetia planae il campo elettico è dietto pependicolamente al piano e può dipendee solo dalla distanza dal piano. u un cilindo di base che viene tagliato dal piano: Φ n up. cilindo d + ( ) d up basi n up lateale d ( ) + up basi n d n n n Pe la legge di Gauss: quindi isulta: Φ cont. σ cost. σ e il campo elettico non dipende dalla distanza dal piano
onduttoi: opi in cui vi sono caiche elettiche libee di muovesi (es. nei metalli gli elettoni) onduttoi in equilibio: ) all inteno il campo elettico è sempe nullo, ; ) vicino all esteno il campo elettico è sempe pependicolae alla supeficie; 3) u un conduttoe caico, le caiche si distibuiscono solo sulla supeficie; 4) Induzione elettostatica: su un conduttoe (neuto) in un campo elettico esteno si induce una distibuzione di caiche (positive e negative) che poduce al suo inteno un campo elettico uguale e opposto a quello esteno, in modo che la somma sia zeo. all equilibio est. est. Φ up. n d d up quindi all inteno cont. indotto est. + indotto
chemo elettostatico opo caico cicondato da guscio conduttoe: si fomano caiche indotte, di segno diveso sulle due supefici del guscio, pe equilibae il campo del copo inteno, e annullae il campo all inteno del mateiale del guscio. Il campo podotto all'esteno dipende dalla distibuzione di caiche alla supeficie dello schemo conduttoe Le foze podotte da un campo esteno agiscono sullo schemo ma non sulle caiche intene. La distibuzione delle caiche intene non muta il campo esteno; vicevesa, il campo esteno non influenza le caiche intene (schemo di Faaday, descitto già da Benjamin Fanklin nel 755)
ampo elettico vicino a un conduttoe caico Legge di Gauss su un cilindetto tagliato dalla supeficie del conduttoe caico; all inteno Φ ( ) d ( ) up base ma Φ cont. σ quindi σ σ Potenziale di un conduttoe caico Dato che all inteno, è costante, all inteno sulla supeficie Il conduttoe è equipotenziale x y z x, y, z,, cost
apacità : appoto ta caica e potenziale Pe una sfea conduttice caica di aggio (o pe un guscio caico) 4 π [ ] (dipende dalla geometia dei copi conduttoi caichi) unità di misua F Faad oulomb olt i usano i sottomultipli pechè l unità di misua natuale isulta toppo gande: µf, nf, pf sempio: capacità della Tea (aggio 63 km) 7 4 F
ondensatoe sfeico due gusci metallici concentici di aggi e, con caiche + e - + ()) capacità: ( ) ( ) d campo elettico: pe <, > ( ) pe < < 4 π diffeenza di potenziale ( ) d 4, π Osseviamo che se capacità della sfea isolata
ondensatoe piano due piani metallici di supeficie, affacciati a distanza d, con densità di caica +σ e -σ + σ σ d campo elettico: all esteno capacità: ta le amatue del condensatoe σ σ σ + da caiche + da caiche - diffeenza di potenziale: (con costante) d σ σ d / upeficie distanza d σ d ondensatoe: immagazzinamento di caiche elettiche
3 a b c d d Nel calcolo della capacità del condensatoe occoe sommae la supeficie delle amatue di polaità opposta ta loo affacciate; in questo caso la capacità totale vale 3 negia elettostatica del condensatoe piano uguale al lavoo necessaio pe potae la caica q del condensatoe da a σ d qd dl ( q) dq; ( q) ( q) d Pe spostae la caica infinitesima dq dall amatua negativa a quella positiva: Il pocesso di caica pate da q e continua fino a aggiungee ; il lavoo totale è: d q d d L dl q dq negia del condensatoe [ ] J (Joule) F /
d Densità di enegia del campo elettico condensatoe piano a distanza d con caica d d condensatoe piano a distanza d con caica d L enegia elettostatica è popozionale al volume compeso ta le amatue! Infatti: d Def.: densità di enegia del campo elettico enegia pe unità di volume (J/m 3 ) ( d ) d ol u ol L enegia elettostatica accumulata dal condensatoe è nella foma di una enegia associata al campo elettico pesente nel volume ta le amatue Ogni campo elettico possiede una enegia (pe unità di volume) data dalla fomula pecedente; la fomazione di un campo elettostatico nello spazio ichiede questa spesa enegetica