12. Stato limite Ultimo per torsione

12. Stato limite Ultimo per torsione 12.1 Premessa Il comportamento delle strutture in calcestruzzo armato sottoposte a sollecitazioni di torsione, semplice o composta, con flessione e taglio, dopo la fessurazione del calcestruzzo, presenta diverse difficoltà sia per la scarsità di dati sperimentali che per le reali incertezze teoriche. In presenza di sollecitazione torsionale, durante la prima fase non fessurata della struttura, sono ormai accettati come abbastanza aderenti alla realtà i risultati forniti dalla teoria dell elasticità dei solidi omogenei ed isotropi; non altrettanto si può tuttora dire per la fase che segue la prima fessurazione. Infatti, sono stati studiati numerosi metodi e modelli di calcolo per descrivere il comportamento della struttura nello stato fessurato e per determinarne la resistenza ultima. Inoltre, non si può ancora affermare che si sia arrivati ad una sufficiente formulazione del comportamento nel caso di combinazione di flessione, torsione e taglio. Quanto detto è evidenziato dal fatto che le varie normative differiscono sostanzialmente l una dall altra. L analisi di elementi strutturali in calcestruzzo armato soggetti a torsione viene affrontata in maniera molto simile a quella presentata nel metodo delle tensioni ammissibili. Nel metodo n, infatti, qualora venga superato un valore convenzionale dello sforzo di taglio, si fa riferimento ad un meccanismo resistente a traliccio che è lo stesso adottato anche nella teoria degli stati limite. Il modo ricorrente di studiare il comportamento a torsione in fase post-fessurata è quello di fare riferimento ad un modello che consideri la trave come una vera e propria struttura reticolare tridimensionale: traliccio resistente. Questo modello spaziale di struttura a traliccio è costituito, analogamente a quello introdotto per il taglio ultimo, da elementi longitudinali tesi (ferri longitudinali), da elementi trasversali tesi (staffe) e da elementi compressi di parete (bielle di calcestruzzo). La differenza sostanziale fra il calcolo alle tensioni ammissibili ed il calcolo agli stati limite è che nel primo si ammettono sollecitazioni torcenti senza provvedere ad un apposito calcolo delle armature; si fa cioè affidamento sulla resistenza a trazione del calcestruzzo, fino a che la tensione tangenziale massima non supera un certo valore ammissibile. Invece, nel metodo agli stati limite si valuta direttamente il momento torcente che l elemento può sopportare in condizioni ultime e che deve risultare maggiore del momento torcente dovuto alle azioni esterne. Si ha torsione in un elemento ogni qualvolta le forze esterne applicate presentano un vettore momento lungo l asse longitudinale dell elemento stesso, cioè quando la risultante delle forze trasversali non passa per il centro di torsione della sezione. Solo raramente si ha torsione pura, dato che è sufficiente anche il solo peso proprio della struttura per indurre componenti di flessione, taglio ed a volte anche compressione. È necessario fare presente che, anche se l analisi di una struttura viene condotta facendo riferimento a schemi strutturali parziali ridotti a modelli piani, nella realtà ogni struttura è invece articolata in uno spazio tridimensionale, e questo talvolta obbliga a considerare la presenza di momenti torcenti. Infatti, nella realtà costruttiva risulta giustificata l assunzione di modelli piani semplificati solo per alcuni casi, in particolare quando si è in presenza di quella che si può definire torsione secondaria (detta anche di compatibilità ), non necessaria all equilibrio, quindi non legata alla sicurezza della struttura, ma che nasce dall esigenza di rispettare la congruenza (ad esempio, una trave che serve solo da sostegno ad elementi trasversali al suo asse, ad essa uniti in maniera non simmetrica). Va invece attentamente studiata quella che viene detta torsione primaria, necessaria all equilibrio dell elemento (1) (basti pensare ad una trave di bordo che porta sbalzi, ad esempio per i balconi, il cui equilibrio è garantito essenzialmente dalla resistenza torsionale della trave stessa). Facendo riferimento a queste due distinzioni, le normative specificano quali accorgimenti adottare, nei due casi di torsione; in particolare, viene 1 A rigore, per torsione primaria si intende la sollecitazione di torsione relativa alla soluzione del problema elastico presentato dal solido di De Saint Venant (ampiamente trattato dalla Scienza delle Costruzioni), alla quale si aggiunge la torsione secondaria per ingobbamento impedito della sezione o di distorsione. 693

normalmente imposto il calcolo completo, sia degli stati limite ultimi, che di esercizio solo nel caso di torsione primaria; mentre nei casi di torsione secondaria il problema rientra in quello dei soli stati limite di esercizio, legato all entità delle deformazioni e delle fessurazioni che si conviene tollerare. 12.2 Comportamento fino a collasso di un elemento strutturale sottoposto a sollecitazione di torsione pura Basandosi sullo studio di indagini sperimentali si è potuto tracciare un grafico sul comportamento qualitativo di una trave sottoposta a momento torcente puro. Sull asse delle ordinate (figura 12.1) si è posto il momento torcente sollecitante ed in quello delle ascisse l angolo di rotazione torsionale. Dalla figura si può vedere che nel tratto OA, che arriva fino al limite di rottura per trazione del calcestruzzo, si ha un andamento sensibilmente lineare. Se l elemento non è provvisto di armatura a torsione, il punto A rappresenta allora la sua resistenza M trc di collasso; se invece è dotato di adeguata armatura, superato tale limite, l elemento inizia a fessurarsi e si instaura un meccanismo resistente che porta all attivazione delle compressioni oblique nei conci di calcestruzzo e delle trazioni nell armatura, con una caduta di rigidezza torsionale della struttura che porta allo stato individuato dal punto A. Nel tratto AB la curva riprende a crescere, poiché nel nuovo meccanismo resistente inizia a prevalere, oltre ad altri fenomeni irrigidenti legati al calcestruzzo, l apporto deformativo delle armature. Infine, dal punto B inizia lo snervamento delle armature e la successiva estensione del diagramma dipende dal grado di duttilità dell elemento. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Diagr di tors (fig 12_1).tif Figura 12.1 Comportamento (qualitativo) sperimentale fino a collasso di un elemento strutturale rettilineo in calcestruzzo armato soggetto a torsione pura. 694

12.3 Schematizzazione di calcolo adottata dalla Normativa Italiana e dall Eurocodice: il modello del traliccio periferico di Raush Tale modello si basa sul noto traliccio piano di Ritter Mörsch, in cui con viene indicato l angolo di inclinazione delle bielle compresse di calcestruzzo rispetto all asse longitudinale dell elemento. Il termine periferico sta ad indicare che, anche nel caso di sezione piena, il traliccio si sviluppa all interno di una parte della sezione stessa, come una sorta di crosta periferica di spessore t (stabilito dalle normative, ma prossimo praticamente al doppio della distanza del baricentro delle barre longitudinali dal più vicino bordo estremo della sezione: figure 12.2 e 12.3), contenente all interno le armature tese, longitudinali e trasversali, e le bielle compresse di calcestruzzo. Secondo tale modello (vedere schemi in figura 12.2 e 12.3), il momento torcente M St produce lungo i quattro lati della staffa (chiusa) una forza costante Z 1s che è pari a: Z 1s = Q c sen ; dove Q c è la forza agente su una sola biella e Z 1s è la forza agente su una sola staffa. Quindi, tenendo presente il triangolo di equilibrio delle forze agenti sul prisma armato di calcestruzzo, si deduce che per l equilibrio del prisma si ottiene anche la risultante della forza sulla barra longitudinale: F = Q c cos. Mentre, per quanto riguarda l equivalenza tra momento torcente sollecitante e forze distribuite sulla sezione trasversale della trave, su cui agisce tale momento, si ha (vedere figura 12.2): 695

Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Traliccio resist (fig 12_2).tif Figura 12.2 Schema del modello del traliccio spaziale periferico di Raush. Sezione trasversale (rettangolare) compresa tra due staffe consecutive poste ad interasse s. Equilibrio di un concio armato di calcestruzzo armato con barre longitudinali e staffe. M St = Q Sh b s + Q Sb H s ; essendo Q Sh b s la quota parte del momento M St che agisce tramite la coppia di forze Q Sh agenti sulle due aree verticali della sezione cava resistente (teoria di Bredt) di spessore t e distanti nella misura pari a b s. Analogamente, il termine Q Sb H s è la rimanente parte del momento torcente sollecitante che agisce sulle due aree orizzontali della sezione cava, distanti H s. La somma di questi due contributi può essere pensata come l espressione dell entità del momento torcente sollecitante M St nella sezione. Se ora si considera una sezione trasversale aa della trave (vedere figura 12.3), si può notare che essa intercetterà un certo numero di bielle compresse inclinate di rispetto all asse longitudinale. Come si può vedere, la forza di compressione Q c della biella agisce sulla sua sezione trasversale A pari a t s sen. Per cui, se la biella è sollecitata dalla tensione di compressione c, allora la forza nella biella è esprimibile come: 696

Q c = c A = c ( t s sen). Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Traliccioresist2 (fig 12_3).tif Figura 12.3 Schema del modello di un elemento strutturale in presenza di lesioni per torsione pura. Schematizzata la forza di compressione agente nella biella convenzionale di conglomerato. Scomposizione della forza risultante di compressione Q c nella biella nelle due componenti trasversale Q c (vert) e longitudinale Q c (orizz) alla sezione dell elemento strutturale. A questo punto, conviene scomporre la forza risultante di compressione Q c della singola biella nelle sue due componenti agenti in senso trasversale e longitudinale della sezione, rispettivamente: Q c (trasv) = Q c sen = ( c t s sen)sen = c t s ( sen) 2 ; Q c (longit) = Q c cos = ( c t s sen)cos = c t s sen cos. È facile riconoscere a questo punto, osservando la figura 12.3 e la figura 12.2, che le forze Q Sh e Q Sb sono le forze trasversali (del tipo Q c (trasv) ) agenti sul calcestruzzo nella sezione in esame. Precisamente, Q Sh agisce sul lato H s della linea media della sezione resistente cava e Q Sb agisce sul lato b s della linea media della sezione resistente cava, spessa t. Quindi, si può scrivere: Q Sh = n h Q c (trasv) ; Q Sb = n b Q c (trasv) ; avendo indicato rispettivamente con n h e n b il numero di bielle incontrate dalla sezione trasversale aa lungo il lato H s e lungo il lato b s. Molto semplicemente i numeri n h e n b si calcolano come: 697

n h = H s ( s tg ); n b = b s ( s tg ). A questo punto si può scrivere: M St = n h Q c (trasv) b s + n b Q c (trasv) H s ; quindi, si arriva alla relazione: M St = n h c t s (sen) 2 b s + n b c t s (sen) 2 H s. Sostituendo poi le espressioni per n h e n b, si ottiene: M St = [ H s (s tg) ] c t s (sen) 2 b s + [ b s (s tg) ] c t s (sen) 2 H s ; che semplificata fornisce l equazione: M St = [ H s (s tg) ]b s c t s (sen) 2 + [ b s (s tg) ] H s c t s (sen) 2 ; uguale, infine, alla: M St = 2 A int c t sen cos ; dove con A int si è indicata l area del prodotto H s b s. La biella compressa di calcestruzzo, quindi, arriva a collasso quando M St è tale da far diventare c = f cd ; per cui il valore del momento sollecitante M St uguaglia il momento torcente M trc massimo sopportabile per la biella di calcestruzzo compressa. (Vedere punto A della figura 12.1). Si ricava, quindi, una formula per il progetto (massima sollecitazione torcente che porta la biella compressa a rottura): M trc = 2 A int f cd t sen cos A questo punto, si deve calcolare il massimo momento torcente sopportabile dalle staffe e dai ferri longitudinali. Sempre dal triangolo di equilibrio delle forze applicate ad un cuneo armato di calcestruzzo (vedere figura 12.2) si ottiene che l armatura longitudinale deve bilanciare la componente longitudinale della forza agente su 1 sola biella compressa: F = Q c cos. Inoltre, si è visto che Q c cos = Q c (longit). Pertanto, estendendo l equilibrio del singolo cuneo all intera trave, si deduce che la risultante di tutte le forze Q c (longit), agenti in punti situati sull intero perimetro della linea media della sezione cava resistente, deve equilibrare la risultante delle forze di trazione in tutte le barre longitudinali presenti. Analogamente alle forze trasversali Q Sh e Q Sb, anche le componenti in direzione longitudinale avranno punti di applicazione posti in parte sul lato H s ed in parte sul lato b s. Se si indicano queste forze rispettivamente con F Sh e F Sb, si otterrà: F Sh = n h Q c (longit) = [ H s (s tg) ]( c t s sen cos); F Sb = n b Q c (longit) = [ b s (s tg) ]( c t s sen cos); dove F Sh e F Sb sono le componenti di compressione longitudinali agenti rispettivamente sul singolo lato H s e sul singolo lato b s della linea media della sezione cava resistente. La risultante longitudinale di questo tipo di forze presenta, però, due volte il contributo di F Sh e di F Sb, in quanto la sezione cava resistente ha una linea media la cui lunghezza p int (vedere figura 12.4) misura il perimetro: p int = 2H s + 2b s. Per l equilibrio alla traslazione lungo l asse longitudinale, esteso a tute le bielle compresse e quindi a tutti i ferri longitudinali, si deve avere che l area totale delle sezioni delle barre longitudinali che intersecano la sezione della trave deve essere sufficiente ad equilibrare la risultante di queste forze longitudinali, agenti lungo tutto il perimetro della linea media della sezione cava resistente. Pertanto, se si indica con F l area totale delle barre longitudinali (essendo F il il la sezione della singola barra longitudinale nella sezione), l equilibrio suddetto porta a scrivere: f F = 2 F il Sh + 2 F Sb = 2 c t (cos) 2 (H s + b s ). Indicando con p int il perimetro della linea media della sezione cava, e sostituendo a c il valore ricavabile dal calcolo dell equilibrio a rottura per le bielle inclinate (M St ), si arriva all equazione: 698

f F = M St p int il (2 A int tg). Quando la tensione f raggiunge il valore f yd, allora il valore del momento torcente sollecitante ha raggiunto il massimo momento torcente M trl sopportabile dalle barre longitudinali. In virtù di ciò, l equazione assume l aspetto utile nel progetto: M trl = f yd F 2 A tg int il. p int Per quanto riguarda le staffe, si nota che il tondino di 1 sola staffa di area F 1s, viene sollecitato dalla componente trasversale Q c (trasv) della forza di compressione Q c della singola biella che la interseca (vedere equilibrio cuneo di calcestruzzo armato con barra longitudinale e staffa, in figura 12.2) e su cui poggia per entrare in compressione. Quindi, per l equilibrio della singola staffa si avrà: f F 1s = Z 1s = Q c (trasv) = Q c sen = c t s (sen) 2 ; sostituendo l espressione di c ricavata nel calcolo a rottura della biella compressa, si arriva all espressione: s M f F 1s = St 2 A int cot g. Quando le staffe si avvicinano a rottura, allora si ha f = f yd ed M St tende ad uguagliare il massimo valore del momento torcente M Rts sopportabile dalla singola staffa. Per cui si arriva alla formula utile per il progetto: cot g M Rts = 2 F 1s A int f yd. s Infine, è importante osservare che il modello di Rausch, adottato dalla Normativa Italiana e dall E.C.2, non è esente da critiche, poiché secondo alcuni autori esso porterebbe a sovrastimare l effettiva resistenza torsionale di un elemento. Basta considerare che la normativa americana A.C.I. adotta invece la teoria della flessione obliqua, che porta ad una resistenza torsionale inferiore a quella conseguente l applicazione del modello di Rausch. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_4.tif 699

Figura 12.4 Sezione elemento strutturale sottoposto a sollecitazione di torsione pura: grandezze fondamentali utilizzate nel progetto e nella verifica. 12.4 Procedure per il progetto delle armature a torsione: principali prescrizioni della Normativa Italiana (2) La Normativa Italiana (D.M. 09.01.96) indica precisi valori di resistenza a torsione da usare nel progetto. In particolare, indicando con il simbolo T i momenti torcenti [danm] e con V le sollecitazioni taglianti [dan], le principali grandezze da usare nel progetto e nelle verifiche sono: l angolo d inclinazione medio delle lesioni, valutato rispetto la direzione longitudinale dell elemento strutturale; t spessore della sezione cava equivalente, calcolata nel seguente modo: t = D c / 6 ; dove D c è il diametro del cerchio massimo inscritto nel poligono passante per il baricentro delle armature longitudinali più vicine al bordo esterno della sezione. In particolare, per una sezione rettangolare di dimensioni H > b, le cui armature longitudinali abbiano il loro baricentro distante dal bordo esterno di, lo spessore suddetto si calcola come t = (b 2 )/6, con D c = b 2(vedere figure 12.2, 12.3 e 12.4_b); p int il perimetro della linea media della sezione cava resistente che, per sezione rettangolare b H, si calcola: p int = 2[(b 2 ) + (H 2 )] ; A int l area di tutta la sezione all interno del perimetro p int (comprese, quindi, le cavità interne) che, nel caso particolare di sezione rettangolare, è pari a A int = H s b s con H s = H 2 e con b s = b 2; s il passo, in senso longitudinale, delle lesioni per torsione; F 1s la sezione del tondino della singola staffa reagente alla torsione; F il la sezione del singolo ferro longitudinale reagente alla torsione; H s lato maggiore della linea media della sezione cava resistente (nel caso di sezione rettangolare). Ciò posto, detta con T Sd la sollecitazione torsionale di calcolo, la normativa italiana (D.M. 09.01.96) impone, invece: la verifica a schiacciamento di ciascuna biella convenzionale compressa di calcestruzzo: T trc = 0, 5 A int t f cd > T (3) Sd ; il dimensionamento delle staffe (con s = t s ) (4) tramite la formula; T Rts = 2 F 1s t s A int f yd T Sd ; il dimensionamento delle barre longitudinali per torsione tramite la formula (singola barra di sezione F il ): T trl = 2 F il A int f yd T Sd. p int 2 Nel presentare le principali prescrizioni della Normativa Italiana sulla torsione (e il taglio), si è voluto tenere anche conto di tutte quelle utili indicazioni riportate dal D.M. 9 gennaio 1996; lasciando eventualmente libertà al Progettista di rifarsi integralmente alle indicazioni maggiormente dettagliate contenute nelleurocodice 2. 3 Notare che la massima sollecitazione torcente, che porta il puntone compresso allo schiacciamento, corrisponde ad un angolo di inclinazione pari a = 15 (vedere formule ricavate al paragrafo 12.3). 4 Linterasse delle lesioni s deve coincidere per il modello del traliccio resistente con linterasse ts da assegnare alle staffe. 700

Se si osservano con attenzione le ultime due formule per il dimensionamento delle staffe e dei ferri longitudinali aggiuntivi, si evince che la sollecitazione di torsione viene equilibrata metà dalle staffe e metà dai ferri longitudinali aggiuntivi. Infatti, dividendo ambo i membri delle due ultime equazioni per 2 e sommando membro a membro si ha: F 1s A int f yd + t s essendo: F 1s t s A int f yd T Sd 2 ; F il p int A int f yd T Sd ; F il p int A int f yd T Sd 2. Stessa osservazione può farsi anche relativamente alle equazioni proposta dall E.C.2. In questo modo, si deduce che sia la Normativa Italiana che l Eurocodice 2 impongono che almeno il 50% dell intera armature a torsione sia costituita da staffe. Anche se è lasciata libertà di fare assorbire gli effetti torcenti ad oltre il 50% delle staffe, si vuole osservare come sia comunque opportuno ripartire in parti uguali le due armature, poiché ogni esuberanza di una delle due armature risulterebbe inutilizzabile dalla rimanente ai fini della resistenza dell intero elemento strutturale. È opportuno osservare che la Normativa italiana (come anche l E.C.2) non prende esplicitamente in considerazione, ovviamente senza escluderla, la possibilità di utilizzare armature a torsione a forma di spirale. Ciò sembra dovuto, evidentemente, al probabile pericolo che una errata disposizione in cantiere del verso della spirale (che dovrebbe, invece, seguire le isostatiche di trazione) lascerebbe l elemento strutturale del tutto sguarnito alle sollecitazioni torcenti. Inoltre, un motivo più serio per evitare armature a spirale nasce dall attenzione di voler evitare pericoli d instabilità delle armature che, ove avvengano, riducono radicalmente la capacità portante degli elementi. In presenza di forti sollecitazioni taglianti, infatti, può accadere che l armatura a spirale su una faccia dell elemento strutturale risulti compressa; per cui, tenuto conto che una siffatta armatura è disposta esternamente a tutte le altre e che in genere è realizzata con barre di piccolo diametro (per consentirne la piegatura), risulta molto elevato il pericolo di sbandamento per instabilità della stessa. Comunque, detto t spi il passo della spirale (lungo l asse dell elemento strutturale) e detta F 1spi la sezione della spirale stessa, il dimensionamento della spirale (con le spire che procedono inclinate a 45 rispetto all asse longitudinale dell elemento strutturale) deve rispettare la condizione: T Rspi = 2 2 F 1spi t spi A int f yd T Sd. Nota. Per la procedura di dimensionamento a torsione di un elemento strutturale in conglomerato armato, secondo le Norme Tecniche, si rimanda al procedimento indicato dall E.C.2 EN 1992-1-1: 2005. Le Norme Tecniche e il D.M. 09.01.96 impongono, per staffe ad aderenza migliorata, una sezione complessiva maggiore di 0,15 b m cm 2 /m. Il passo delle staffe deve essere minore di p int / 8 e comunque non superiore a 20 cm; dove con p int si intende, in generale, il perimetro del poligono che misura la lunghezza media della sezione cava resistente. Nel caso di sollecitazioni composte (caso di torsione combinata con flessione e sforzo normale) le armature longitudinali per la torsione si sommano a quelle tese disposte per la pressoflessione. Nel caso di torsione e taglio, la verifica impone che risulti: 701

T Sd + V Sd 1 ; T trc V Rc1d dove, se b m è la dimensione minima della sezione resistente, per T Rc1d e per T trc si devono assumere queste particolari espressioni (D.M. 09.01.96): V Rc1d = 0,30 f cd b m h ; T trc = 0, 5 A int t f cd. Secondo le Norme Tecniche, invece, la massima sollecitazione tagliante V Rc1d (considerando il solo taglio, in assenza di torsione) che porta a rottura la biella compressa deve essere calcolata rispettando la limitazione: 1 cotg 2, 5. Infine, con T trc è da intendersi la massima sollecitazione torcente (considerando la sola torsione, in assenza di taglio) che porta a rottura la biella compressa. In particolare, i calcoli per il progetto delle staffe possono effettuarsi separatamente per la torsione e il taglio, assumendo però un medesimo valore medio dell angolo di inclinazione delle fratture (che rispetti il vincolo: 1 cotg 2, 5 ). Secondo il D.M. 09.01.96, la verifica della disuguaglianza: T Sd + V Sd 1 T trc V Rc1d può anche esprimersi come: T Sd 1 V Sd V Rc1d T V t RC = 1 Sd 0, 30 f cd b m h T t RC = V = 1 Sd 0,30 f cd b m h 0, 5 A int t f cd = 0,33 f cd V Sd 1,66 A int t ; b m h ovvero, si dovrà verificare (bielle compresse sottoposte a taglio e torsione contemporaneamente) che risulti: T Sd 0, 33 f cd V Sd 1,66 A int t. b m h Anche in questo caso, il calcolo delle staffe può essere effettuato separatamente per torsione e taglio. L area di armatura longitudinale aggiuntiva per sole sollecitazioni torcenti va calcolata per la sollecitazione di torsione semplice e aggiunta a quella già presente per la flessione o per la presso-tensoflessione. A titolo di notizia, per il taglio in presenza di torsione le Raccomandazioni del Ministero LL. PP. prescrivono, a differenza di altre normative, che il calcolo delle staffe deve essere condotto ponendo in ogni caso V Rcd = 0. 12.5 Procedure per il progetto delle armature a torsione: principali prescrizioni dell Eurocodice 2 Progettazione secondo E.C.2-NAD (ENV 1992-1-1). Secondo l E.C.2-NAD la verifica allo stato limite ultimo per torsione richiede che siano verificate le seguenti disuguaglianze: verifica nei confronti dello schiacciamento delle bielle convenzionali di calcestruzzo compresso (con 1 cot g 2 ): T Sd T Rd1 = 2 f t A cd k cotg + tg ; dove: t è lo spessore della parete cava equivalente (o effettiva, se la sezione è cava) calcolato direttamente come rapporto tra sezione totale A tot dell elemento strutturale e il suo perimetro esterno p est : t = A tot / p est. In particolare, per una sezione rettangolare di dimensioni trasversali b H risulta: t = [b H]/[2(H + b)] ; 702

A k è l area racchiusa dalla linea media della sezione trasversale di perimetro u k. In particolare, per la generica sezione rettangolare di area A tot = b H si calcola: A k = (H t)(b t) e anche u k = 2 [( H t)+ (b t)] ; è un opportuno parametro che dipende dalla geometria delle armature e precisamente: se le staffe sono disposte prossime al perimetro esterno della sezione (sezione effettiva non cava): = 0,7 (0,7 f ck [N / mm 2 ]/ 200) 0, 35 ; se l armatura è disposta su entrambe le facce di ciascun elemento di una sezione cava effettiva (sezione a cassone): = (0,7 f ck [N / mm 2 ]/200) 0,5. verifica del momento resistente torsionale ultimo portato dalle armature trasversali (staffe): T Sd T Rd 2 = 2 A k F 1s f yd cotg ; t s in cui si possono considerare tutti quei valori di che verificano la disuguaglianza 1 cot g 2 ; avendo indicato con F 1s l area della sezione trasversale di un singolo (5) braccio della staffa e con t s il suo interasse. Analogamente, nel caso di armatura a spirale (con le spire che procedono inclinate a 45 rispetto all asse longitudinale dell elemento strutturale) bisogna verificare: T Sd T Rd 2 = 2 2A k F 1spi f yd cotg. t spi verifica del momento torsionale ultimo equilibrato dalle ulteriori armature longitudinali per sola torsione (singola barra di sezione F il ): T Sd T Rd 2 = 2 A k F il u k cotg f yd ; avendo indicato con F il la somma complessiva delle sezioni trasversali delle barre disposte ulteriormente in senso longitudinale per la sola torsione. Anche per l E.C.2, le verifiche per la torsione e taglio possono essere condotte anche separatamente, assumendo però per ciascuna verifica il medesimo valore dell angolo convenzionale medio di inclinazione delle fratture. Nel caso di contemporanea presenza di sollecitazioni taglianti e torcenti, la verifica di resistenza può essere condotta verificando che risulti: 2 T Sd + V 2 Sd 1 ; T Rd 1 V Rd2 dove, si ricorda: T Rd1 è il momento torcente ultimo che può sopportare la biella compressa quando l elemento strutturale è pensato sottoposto a sola sollecitazione di torsione (torsione pura: prescindendo dagli effetti per solo taglio); V Rd 2 è il massimo taglio ultimo che possono sopportare le bielle di conglomerato compresso, quando l elemento strutturale è pensato sottoposto a sole sollecitazioni taglianti (taglio puro: prescindendo dagli effetti per sola torsione). 5 È assolutamente fondamentale tenere in considerazione il fatto che, nella torsione, ciascuna staffa a due bracci contribuisce alla resistenza del traliccio resistente con un solo braccio; mentre, nel caso del taglio, ogni staffa a due bracci contribuisce alla resistenza del traliccio con tutti e due i bracci. 703

Principali prescrizioni sulle armature a torsione secondo E.C.2 (NAD). Inoltre, l E.C.2 impone che tutte le staffe per la torsione siano chiuse e disposte lungo piani ortogonali all asse longitudinale dell elemento strutturale, con un passo delle staffe massimo pari al valore u k / 8. Inoltre, deve porsi sempre almeno una barra in ogni spigolo della sezione e le rimanenti devono essere distribuite uniformemente lungo il resto del perimetro, curando che due barre consecutive non distino tra loro più di 35 cm. La normativa E.C.2 impone, inoltre, che la tensione nel conglomerato per la presenza contemporanea di sollecitazioni di taglio e torsione sia sempre inferiore al valore f cd e che risulti sempre t = A tot / p est > 2 C = 2 (c + staffe ) ; dove C = c + staffe è il copriferro delle armature longitudinali, pari alla distanza fra la superficie esterna dell armatura longitudinale (comprese le staffe di diametro staffe ) e la superficie esterna del calcestruzzo più vicina. Progettazione secondo E.C.2 (EN 1992-1-1). Secondo l E.C.2 (EN 1992-1-1), la resistenza a torsione di una sezione trasversale di area A di un elemento strutturale può essere calcolata sulla base di una sezione chiusa in parete sottile, nella quale l equilibrio è soddisfatto con un flusso di tensioni tangenziali chiuso su se stesso. Analogamente a quanto visto per il taglio, l E.C.2 (EN 1992-1-1) chiama con il simbolo T Rdmax quello che nella precedente versione dell E.C.2 era stato indicato con il simbolo T Rd1 e indicante la massima sollecitazione ultima torsionale che i puntoni compressi del traliccio resistente possono assorbire. Secondo la Norma, sezioni compatte possono essere modellate come sezioni equivalenti in parete sottile. Forme di sezioni complesse, quali le sezioni a T possono essere suddivise in sottosezioni ciascuna delle quali è modellata come una sezione equivalente in parete sottile e la resistenza torsionale totale può essere calcolata come la somma delle capacità dei singoli elementi. La Norma raccomanda che la distribuzione dei momenti torcenti agenti sulle sottosezioni sia proporzionale alle rispettive rigidezze torsionali in assenza di fessurazione. Per sezioni non piene, la Norma raccomanda che lo spessore equivalente della parete non sia ovviamente maggiore dello spessore effettivo della parete. La tensione tangenziale in una parete di una sezione soggetta esclusivamente a momento torcente può essere stimata con la formula: t,i t i = T Sd. 2 A k Inoltre, la forza di taglio V Sd,i in una parete i, dovuta alla torsione, è data da: V Sd,i = t,i t i z i ; dove: T Sd è il momento torcente di calcolo applicato sulla sezione dell elemento strutturale; A k è l area della zona piana racchiusa dalla linea media delle pareti connesse, inclusa l area della cavità; t,i è la tensione tangenziale di taglio nella parete i; A tot è l area totale della sezione trasversale interna al perimetro esterno della sezione dell elemento strutturale, comprese le aree cave interne; p est è lo sviluppo del perimetro esterno della sezione trasversale A tot ; t i è lo spessore efficace della parete (nel seguito, riferendoci alla sezione rettangolare piena si porrà: t i t ). Esso può essere assunto come A/u ma si raccomanda che venga assunto come non meno di due volte la distanza fra il bordo e il centro dell armatura longitudinale. Ad esempio, per sezione rettangolare piena: t 2h. Per sezioni cave, lo spessore reale costituisce il limite superiore; 704

z i è la lunghezza del lato della parete i definita dalla distanza fra i punti intersezione con le pareti adiacenti. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_4_b.tif Figura 12.4_b Sezione elemento strutturale sottoposto a sollecitazione di torsione pura: grandezze fondamentali utilizzate nel progetto e nella verifica secondo E.C.2 (EN 1992-1-1). Gli effetti di torsione e taglio in elementi pieni o cavi possono essere sovrapposti, a patto di assumere il medesimo valore dell inclinazione dei puntoni compressi. I limiti imposti sono analoghi a quelli per il solo taglio: 1,0 cotg 2,5. Nel caso di presenza di sola torsione, la procedura di progetto e verifica si riconduce alla: verifica nei confronti dello schiacciamento dei puntoni compressi per azione torcente. Deve risultare: T Sd T Rd max = 2 cw f cd A k t sin cos = cw f cd A k t sin 2. Volendo utilizzare questa equazione, si ha che per 1,0 cotg 2,5 risulta il seguente intervallo di valori: [21 48 ; 45 ] a cui corrispondono: cotg = 2,5 = 21 48 sin 2 = 0,69 ; cotg = 1,0 = 45 sin 2 = 1,00. Ma tenendo conto della relazione trigonometrica: 1 = sin cos, cotg + tan si può utilizzare la nota espressione: T Sd T Rd max = 2 f A t cw cd k ; cotg + tan dove, più semplicemente: cotg = 2,5 tan = 0, 4 ; 705

cotg = 1,0 tan = 1,0. Infine, i parametri e cw presentano, rispettivamente, le medesime espressioni definite per il taglio: = 0,6 1 f [MPa] ck ; 250 1,0 per strutture non precompresse (1+ cp / f cd ) per 0 f cd cp 0, 25 f cd cw = 1,25 per 0, 25 f cd cp 0, 5 f cd 2,5 (1 cp / f cd ) per 0, 5 f cd cp f cd dove, si ricorda, cw è un coefficiente che tiene conto dell interazione tra la tensione nel corrente compresso e qualsiasi tensione di compressione assiale. In particolare, si è indicato con cp la tensione media sulla sezione trasversale dell elemento strutturale (considerata positiva se di compressione, negativa se di trazione) dovuta alla forza assiale di progetto N Sd, e computata come valore medio tenendo conto anche delle armature. verifica del momento resistente torsionale ultimo portato dalle armature trasversali (staffe): T Sd 2 A k F 1s f yd cotg ; t s in cui si possono considerare tutti quei valori di che verificano la disuguaglianza 1,0 cotg 2,5 ; avendo indicato con F 1s l area della sezione trasversale di un singolo (6) braccio della staffa e con t s il suo interasse. In particolare, nel caso di armatura a spirale (con le spire che procedono inclinate a 45 rispetto all asse longitudinale dell elemento strutturale) bisogna verificare: T Sd 2 2A k F 1spi f yd cotg. t spi verifica del momento torsionale ultimo equilibrato dalle ulteriori armature longitudinali per sola torsione (singola barra di sezione F il ): T Sd 2 A k F il u k cotg f yd ; avendo indicato con F il la somma complessiva delle sezioni trasversali delle barre disposte ulteriormente in senso longitudinale per la sola torsione. In particolare, l armatura longitudinale di torsione deve essere aggiunta alle altre armature e deve essere distribuita sulla lunghezza del lato z i (vedere schema in figura 12.4_b); ma per sezioni relativamente piccole può essere concentrata al termine di questa lunghezza. Nel caso, invece, di contemporanea presenza di sollecitazioni torcenti e taglianti, la verifica di non schiacciamento del puntone compresso del traliccio assume l aspetto generale: T Sd + V Sd 1,0 ; T Rdmax V Rd max dove: T Sd è il valore di progetto del momento torcente agente sulla sezione A; 6 È assolutamente fondamentale tenere in considerazione il fatto che, nella torsione, ciascuna staffa a due bracci contribuisce alla resistenza del traliccio resistente con un solo braccio; mentre, nel caso del taglio, ogni staffa a due bracci contribuisce alla resistenza del traliccio con tutti e due i bracci. 706

V Sd è il valore di progetto della forza di taglio puro agente sulla sezione A; V Rd max è il taglio resistente di progetto che porta a schiacciamento il puntone compresso in un traliccio resistente ideale in cui sono pensati assenti sollecitazioni di torsione pura (T Sd 0 ). Nel caso di sezioni compatte, tutta la larghezza dell anima b m può essere utilizzata per determinare V Rd max ; T Rdmax è il momento torcente resistente di progetto che porta a schiacciamento il puntone compresso, in un traliccio resistente ideale in cui siano assenti sollecitazioni di taglio puro (V Sd 0 ). In particolare, il valore di T Rdmax è dato sempre dalla seguente formulazione: T Sd T Rd max = 2 f A t cw cd k. cotg + tan Nei casi di sezioni in parete sottile chiusa e di sezioni compatte, la torsione di ingobbamento può essere generalmente trascurata. Nel caso di membrature aventi sezione in parete sottile aperta, può essere necessario considerare la torsione di ingobbamento. Per sezioni trasversali molto snelle, la Norma raccomanda che il calcolo sia sviluppato sulla base di un modello costituito da un grigliato di travi e in altri casi sulla base di un modello a traliccio. In ogni caso, si raccomanda di sviluppare il progetto secondo le regole di calcolo per flessione e sforzo normale longitudinale e per taglio. Principali prescrizioni sulle armature a torsione secondo EN 1992-1-1. La Norma raccomanda che le staffe per la torsione siano chiuse e ancorate per sovrapposizione o per mezzo di uncini alle estremità e formare un angolo di 90 con l asse dell elemento strutturale. Si raccomanda che la distanza longitudinale t s delle staffe per la torsione rispetti il vincolo: 0,75h (1+ cotg ) t s minore dimensione della sezione A tot p est 8. Le barre longitudinali devono risultare in modo tale che via sia almeno una barra per angolo, essendo le rimanenti uniformemente distribuite lungo il perimetro interno delle staffe e distanti tra loro al massimo di 35 cm. Infine, sono generalmente sufficienti le prescrizioni ai punti 9.2.2(5) e (6) della Norma per disporre il quantitativo minimo di staffe richiesto per torsione. In particolare, la percentuale di armatura al taglio (e/o a torione) è data dall espressione: A w = sw s b m sin ; dove: w è la percentuale di armatura al taglio; A sw è l area dell armatura al taglio sulla lunghezza s; s è il passo dell armatura al taglio, misurato lungo l asse longitudinale dell elemento strutturale; b m è la larghezza dell anima dell elemento; è l angolo tra l armatura al taglio e l asse longitudinale dell elemento strutturale. Deve, quindi, essere sempre verificato il vincolo: 0, 08 w w min = f [MPa] ck. f yk [MPa] 707

Detta con h l altezza utile della sezione resistente, il passo longitudinale s st delle staffe (o di insiemi di staffe) deve rispettare il vincolo: s st s l max = 0,75 h (1+ cotg) essendo l inclinazione dell armatura al taglio (e/o a torsione) rispetto all asse longitudinale della trave. 708