Funzioni Ortogonali in R -

Revisioe dic. 6 Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville cludio mgo www.cm-physmth.et CM_Portle MATH Noteook Series

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville Jcques Chrles Frçois Sturm (83-855) Joseph Liouville (89-88)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville Ortogolità tr fuzioi i modlità vettorile Nell lger vettorile ordiri i uo spzio euclideo e.g. i R 3 Χ Y Ζ i due vettori F e G etrmi soo ortogoli (o perpedicolri) qudo il loro prodotto sclre è ullo F G F G F G F G =. () x x y y z z Com è oto l proprietà di ortogolità vettorile trov u estesioe formlmete legittim eché o ovvi d u puto di vist geometrico o fisico ordiri qudo si cosidero vettori > 3 compoeti. Ci si può spigere oltre iterpretdo l fuzioe (ppliczioe) rele F: x F( x) come u vettore (cmpo) co u umero ifiito cotiuo di compoeti del tipo y F( x) R ciscu otteut pplicdo F ogi vlore dell vriile idipedete x ( ) R. I tl cso medite u estesioe prevediile l regime cotiuo dell somm discret () due fuzioi F e G etrme o-ulle soo ortogoli ell perto ( ) se i esso vle l ullmeto ole del loro prodotto itero (form iliere simmetric o-egtiv defiit i otzioe r-(c)ket di Dirc) F G F( x) G( x) G( x) F( x) G F = () dulmete ssocito e rppresetto d ( ) u itegrle defiito e.g. à-l Riem. U geerlizzzioe dell Eq. () rigurd il cso i cui è { F( x) G( x)} C tipico ell Fisic Qutistic dove ll Eq. () i uo spzio di Hilert H pproprito corrispode l ullmeto (o-le) del prodotto itero complesso (ell u o ell ltr form equivleti sesquilieri) F G F( x) G( x) G( x) F( x) G F = (.) dulmete ssocito u itegrle à-l Leesgue. Comuque per gli scopi di quest discussioe semplifict si ssumerà slvo vviso diverso che si { F( x) G( x)} R co x ( ) R. Acor u vettore geometrico elemetre uitrio ˆφ detto versore (cotrddistito medite u cceto circoflesso) i R h orm pitgoric (o modulo) di vlore el seso che ( ) / k= φk ˆ / ( ˆ ˆ ) = ˆ φ φ = φ. (3) Alogmete medite l Eq. () si ottiee l geerlizzzioe dell Eq. (3) i termii di orm (o metric) itegrle di ordie pproprit i ( ) ( ) / ( ( x)) ˆ ˆ ˆ / ˆ φ φ φ φ = (4) dicedo che l fuzioe ˆφ è ormle o ormlizzt i ( ). Or dlle Eq.i () e (4) precedeti si può idgre sull esistez di u isieme umerile { ˆk φ } (successioe) di fuzioi le quli risultio i ( ) si ortogoli tr loro si ormlizzte ˆ φ ˆ φ ˆ φ ( x) ˆ φ ( x) = δ (5) j m j m j m dove δ j m è il simolo di Kroecker cosueto. U tle successioe di fuzioi se esiste si dice che è orto-ormle i ( ). L ormlizzzioe è coveziolmete sottites.

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 3 Esercizio Si verifichi che l isieme di fuzioi (successioe) umerile vs. l idice k Z / / / { /( λ) } {( / λ ) ( kπx/ λ)( / λ ) ( kπx/ λ)} cos si k è orto-ormle i ogi x-itervllo comptto di mpiezz λ (> ) simmetrico o o. Il cocetto di ortogolità fuziole i ( ) si pprofodisce co l specificzioe di u fuzioe-peso o fuzioe-desità pproprit qudo si vogli geerre uo spzio vettorile ortogole d u isieme-se umerile { ϒ k } di fuzioi o ecessrimete ortogoli tr loro. I ltri termii lo scopo dell fuzioe-peso w è quello di redere ortogole lo spzio vettorile geerto d { ϒ k } i ( ) logmete llo jcoio di u trsformzioe tr sistemi discreti di coordite ortogoli cotiue (e.g. dydz r siθdrdθdϕ). Per quto rigurd l itegrzioe i ( ) i prticolre tutte le crtteristiche lgoritmiche à-l Riem rimgoo ivrite slvo che l elemeto di vrizioe ifiitesim viee sostituito d quello di misur à- l Leesgue-Stieltjes (LS-) dτ dτ( x): = w( x). L situzioe descritt è tipic elle rppresetzioi che coivolgoo più o meo direttmete le fuzioi ϒ k come geertori vettorili dello spzio ortogole corrispodete i ( ). Si x w( x) u fuzioe lmeo Riem-itegrile e geerlmete positiv i ( ). Se ϒ ϒ ϒ ( x) ϒ ( x) w( x) ϒ ( x) ϒ ( x) dτ = δ (6) j m j m x = j m j m (LS-itegrle) si dice che l isieme umerile { ϒ k } di fuzioi è orto-ormle i ( ) vs. l / fuzioe-peso w. I tl cso l isieme di fuzioi { ˆ φ }: = { w ϒ } è orto-ormle i ( ) vs. w χ : ( ) ( ) ( ) x ϑ x ϑ x l fuzioe crtteristic dell itervllo ( ) ot che come fuzioe Grdio Uitrio fiito di Heviside (l più è w = ϑ( x ) qudo ). Così come qulsisi fuzioe vettorile (e.g. 3D) F( r ) può sempre essere esps vs. u se vettorile orto-ormle ritrri (e.g. quell cilidric { ρˆ φˆ ˆz } ell rppresetzioe solit r F ρ ( r) ρˆ F ϕ ( r) φˆ F z ( r) ˆz) si può cosiderre l possiilità di ssocire u fuzioe x f( x) i u itervllo perto e limitto opportuo u WSTK-espsioe (cosiddett di omi dei mtemtici H. Weyl M. H. Stoe E. C. Titchmrsh e K. Kodir) i termii di u certo isiemese umerile { ϒ } di fuzioi mutumete ortogoli i tle itervllo. I questo ioltre si ssum che le ϒ sio orto-ormlizzili vs. u isieme-se { ˆ φ } co fuzioe-peso w geerdo le rppresetzioi f / ( x) = cϒ ( x) = c( w( x)) φ( x) S( x) k ˆ (7) dove x S ( x) è l fuzioe-somm dell WSTK-serie corrispodete i medi ( ) f( x ). Se esiste l serie (7) ess è dett espsioe ortogole di f( x ) ell itervllo perto specificto e costituisce u geerlizzzioe del modello dell Serie di Fourier. Per le Serie Ortogoli\Orto-ormli (vs. l fuzioe-peso i u certo itervllo lmeo perto) che rivestoo si grde rilevz teoric che utilità pplictiv i umerosi modelli dell Fisic e dell Igegeri vle il fodmetle k

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 4 Teorem di espsioe (WSTK-formulzioe miimle) (*) L fuzioe x f( x) si limitt e regolre trtti i ( ) i.e.. f C (( )) tre l più che i corrispodez di u umero fiito di puti x j di discotiuità o elimiile o di º tipo ( f( x ) f( x ) j f cotiu trtti);. f i ( ) tre l più che i corrispodez di u umero fiito di puti x k tli che però f ( x ) f ( x ) k (f derivile trtti f cotiu trtti). k k Allor x ( ) u WSTK-serie covergete f i medi i.e. tle che j j f( x) S ( x) ( f( x ) f( x )). (8) I prticolre se f C (( )) l ugugliz i medi (8) si riduce ll ugugliz putule ( x) = c ϒ ( x) ( ( x)) (8.) f = S x ( ) (i reve: f è WSTK-espdiile i ( )). Qudo l WSTK-espdiilità vle ell itervllo comptto [ ] llor l WSTK-serie coverge uiformemete f( x ) i [ ]. Osservzioe Se f è espdiile i T-serie ( Tylor) ell itervllo I R llor i I ess è espdiile che i WSTK-serie. I geerle l sserto iverso (ecessrio) è flso. (*) Si cofroti l eucito del Teorem di espsioe co quello di Dirichlet specifico per l Serie di Fourier (v. e.g. il documeto PDF dell utore: Serie di Fourier - Proprietà e ppliczioi P. 6). Perltro il Teorem di espsioe di WSTK costituisce u geerlizzzioe del celere Teorem di Hilert-Schmidt.

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 5 Form geerle dei coefficieti di u WSTK-espsioe Si f C ([ ]) ed espdiile logmete ll Eq. (8.) dll isieme-se umerile { ϒ } di fuzioi ortogoli tr loro i [ ] vs. l fuzioe-peso w. Moltiplicdo i termii i etrmi i memri dell Eq. (8.) per il prodotto ϒ q w dove ϒ q è u elemeto qulsisi dell se ortogole e itegrdo vs. x [ ] si ottiee f w = ( ) w = = = ( = q) ( q( )) = q ( q( )) x= x = ( x) ϒ ( x) ( x) c ϒ ( x) ϒ ( x) ( x) c ϒ ( x) ϒ ( x) dτ q q x = q c ϒ ϒ q q q c x δ ϒ d τ c ϒ x d τ dll ortogolità tr gli elemeti dell se { ψ k } vs. l fuzioe-peso w. Ioltre l commutilità delle operzioi di somm umerile e di itegrle defiito è lecit dt l cotiuità uiforme di f ell itervllo comptto [ ] di itegrzioe. L espressioe di c q si scrive ( dτ dτ( x): = w( x) ) c q = x= x= f( x) ϒq( x) dτ f ϒq. (9) x dτ ϒq ϒq ( ϒq( )) Si può estedere l vlidità del Teorem di espsioe mteedo l form (9) dei coefficieti di u WSTK-espsioe ssocit i ( ) u fuzioe f qulsisi purché sio mteute le codizioi sufficieti espresse dl Teorem di espsioe (WSTK-formulzioe mssimle) Si i che. f C (( )) slvo l più che i corrispodez di u umero fiito di puti i ( ) di discotiuità di qulsisi tipo per f;. f ( ) ( w( )) / x x < si questo u itegrle defiito ordirio oppure geerlizzto [i.e. el cotesto più tecico e più profodo dell Teori dell Misur si richiede che si / w f L (( )) l clsse delle fuzioi sommili ssolutmete i ( )]. Allor f risult espdiile i WSTK-serie x ( ) che o si u puto di discotiuità di º tipo co il vlore f( x ) espresso cor dll Eq. (8). I corrispodez di u puto i ( ) di discotiuità di º tipo si può ssegre f u vlore fiito qulsisi.

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 6 Approssimzioe per qudrti miimi Si f limitt e regolre trtti i ( ). Qui pertto è defiiile u isieme-se umerile di fuzioi { ϒ } mutumete orto-ormli vs. l fuzioe-peso w il qule geer u espsioe i serie covergete lmeo i medi f( x ) secodo l Eq. (8) e vete somm S ( x). Or dl cofroto co l Eq. (7) l somm fiit di coefficieti ritrri M s ( x): c δ κ ϒ ( x) () M = = q può essere cosidert come u pprossimzioe di f( x ) i ( ) ffett d u errore (scrto) qudrtico medio dipedete d M esprimiile dll LS-itegrle ( dτ w( x) ) σ : = ( f( x) sm( x)) dτ. () x = M Riscrivedo esplicitmete vs. x l fuzioe itegrd coteut ell form () come ( f( x) s ( x)) w( x) (( f( x)) f( x) s ( x) ( s ( x)) ) w( x) M M M = ( f( x)) w( x) M κ f( x) ϒ ( x) w( x) = κ κ ˆ φ ( x) ˆ φ ( x) () M M = j= j j e itegrdo l espsioe qudrtic () tr e si ottiee successivmete (vs. w i ( )) M ( f( x ) s ( x )) d τ = ( f( x )) d τ κ f( x ) ϒ ( x ) d τ x = M x= = x = M M ˆ ( ) ˆ = j= κjκ φj x φ( x) M M M f f κ f ϒ κ κ ˆ φ ˆ φ = = j= j j M M = f f = κc = κ dlle Eq.i (9) e (5) M M f f ( κ c ) c. (3) = = Dll Eq. (3) è immedito cocludere che σ M è miimo qudo si scelg κ c M i.e. qudo i coefficieti κ coicidoo co i WSTK-coefficieti corrispodeti. Tle restrizioe dett regime di qudrti miimi riduce l Eq. (3) ll form x = M ( f( x) s ( x)) d = f f c. (4) M τ = L itegrle el memro siistro dell Eq. (4) se esiste è o-egtivo. Quest circostz implic M l disugugliz tteut c ( f( x)) dτ che essedo f limitt e idipedete d = x = M i ( ) dà luogo per M ll Disugugliz (tteut) geerle di Bessel: = x = c ( f( x)) dτ f f. (5) Qudo vlg l ugugliz l Disugugliz (tteut) geerle di Bessel si riduce ll

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 7 Ugugliz di Prsevl geerlizzt: = x= c = ( f( x)) dτ f f. (6) L vlidità dell Disugugliz (tteut) geerle di Bessel e d quest dell Ugugliz di Prsevl geerlizzt dipede dll presez di tutti gli elemeti dell isieme-se orto-ormle di fuzioi { ˆ φ } essuo escluso! qudo M i s ( x ) i regime di miimi qudrti (i.e. co κ c Z ). Tle codizioe si esprime el fodmetle TEOREMA di Completezz per u Bse orto-ormle Codizioe ecessri e sufficiete ffiché u isieme-se ortogole di fuzioi { ϒ } si completo i ( ) vs. f è che i regime di miimi qudrti (co peso w i ( )) risulti M lim σ M lim ( f( x) sm( x)) dτ M M =. (7) x = I modo equivlete l limite (7) vedo presete l Eq. (8) si icotr tlvolt l scrittur l.i.m. s ( x) = f( x) itededo che l covergez di s ( x ) f( x ) costituisce u processo di M M limite-i-medi. Tecicmete l itegrle coteuto el limite (7) corrispode u itegrle à-l Leesgue. Iftti l ullmeto-limite richiesto dl Teorem di Completezz o rigurd lo scrto reltivo f( x) s ( x) m soltto lo scrto medio (i seso itegrle) qudrtico coeretemete co l M codizioe rilsst (8) di covergez-i-medi f( x ) dell WSTK-espsioe. U coseguez importte dell completezz di { ϒ } i regime di miimi qudrti vs. l fuzioe-peso w è espress dl Teorem di Riem (formulzioe geerlizzt) Se vle l Disugugliz (tteut) geerle di Bessel per f i ( ) llor vle che il limite seguete: Dimostrzioe M lim c lim f( x) ϒ( x) dτ lim f ϒ = x =. (8) L sserto è immeditmete evidete dll Eq. (5) osservdo che se = c < ciò implic che c = o ( ) per.

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 8 Come coclusioe di quest pormic elemetre (e fi troppo reve) sulle proprietà esistezili dei sistemi di fuzioi orto-ormli i u itervllo limitto è propost l costruzioe (semplice) di u dimostrzioe del seguete Teorem Si ( ) u itervllo perto dove soo defiiti u isieme umerile { ϒ } di fuzioi limitte itegrili e mutumete ortogoli vs. l fuzioe-peso w: x w( x) e u fuzioe itegrile x f( x) geerlmete. Se Z ( Z { } ) risult f ϒ f( x) ϒ( x) dτ = (9) x = llor { ϒ } o è completo i ( ) vs. l fuzioe-peso w.

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 9 Geerzioe di u Isieme-se orto-ormle i () Il Metodo di Grm-Schmidt Fi qui l discussioe si è cocetrt sulle proprietà geerli di u se umerile qulsisi { ϒ } di fuzioi mutumete ortogoli i u itervllo perto vs. u fuzioe-peso w. Appre evidete e.g. dlle Eq.i (7) e (8.) che { ϒ } geer dll itervllo ( ) uo spzio ortogole di dimesioe ifiit dotto di prodotto itero. L richiest ulteriore che l se { ϒ } si complet i ( ) grtiree l idoeità di { ϒ } rppresetre i WSTK-serie i ( ) ogi fuzioe che soddisfi le ipotesi del Teorem di espsioe. È oto u rffimeto opertivo cosistete i u procedimeto uto-geertore di u isieme orto-ormle { ˆ φ } i ( ) ftto evolvere d u isieme (umerile) qulsisi { u } di fuzioi ssegte limitte e liermete idipedeti i ( ). L idipedez liere delle fuzioi u è u codizioe ecessri qusi ovvi dt l ortogolità i ( ) tr gli elemeti-se ˆ φ cercti. L origie e l tur dell isieme { u } soo irrilevti; d esempio { u } potree risultre dll ricerc dell soluzioe geerle di u equzioe differezile derivte przili del º ordie ell qule il prmetro uto-vlore si idipedete dll/e costte/i di seprzioe. Il procedimeto uto-geertivo citto proilmete il più celere e semplice dispoiile eché pplicile i modo sistemtico solo co l iuto di u computer è quello oto come il Metodo di Grm-Schmidt. Esso h il suo fodmeto i Alger Liere precismete el TEOREMA Si V { } uo spzio vettorile ell isieme perto Ω C di dimesioe fiit o ifiit e dotto di prodotto itero o-egtivo defiito. Ioltre si { u } u isieme umerile qulsisi i V di vettori limitti (i.e. u < ) e liermete idipedeti i Ω. Allor u se orto-ormle geertrice di V e deduciile d { u }. Costruzioe e verific esistezile di { ˆ φ } i Ω ( ) R : Il Metodo di Grm-Schmidt procede iduttivmete co l costruzioe ricorsiv esplicit degli elemeti dell se orto-ormle richiest ell itervllo perto ( ). Secodo l termiologi dell Alger Liere esso è equivlete u trsformzioe mtricile A (mtrice trigolre) d u isieme umerile o ecessrimete ortogole di vettori l isieme di fuzioi { u } u se orto-ormle di vettori vs. l fuzioe-peso crtteristic i( ) χ ( ) l isieme di fuzioi / { ˆ φ } { w u }. Riferedo { u } ll espsioe i WSTK-serie ell itervllo perto ritrrio ( ) R vs. l fuzioe-peso geeric w si icomici poedo Poi defiit l comizioe liere ˆ u( x) u( x) u( x) φ ( x): =. () u u u ( ( ) ) / / u ( x) w( x)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville Φ ( ): ( ) ˆ ˆ x = u x u φ φ ( x) (.) si verific fcilmete che Φ e ˆφ soo ortogoli. Iftti dll Eq. (.) risult Pertto dopo ver posto Φ ˆ φ u ˆ φ u ˆ φ ˆ φ ˆ = φ. ˆ Φ( x) Φ( x) Φ( x) φ( x): = (.) Φ ( ) / / Φ Φ ( Φ( x)) w( x) si coclude immeditmete che l coppi { ˆ φ ˆ φ } è orto-ormle. L costruzioe di Grm-Schmidt prosegue co l defiizioe Φ ( ): ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ x = u x u φ φ x u φ φ ( x) (.) dll qule verifict l ortogolità di Φ si vs. ˆφ si vs. ˆφ Φ ˆ φ u ˆ φ u ˆ φ ˆ φ ˆ φ u ˆ φ ˆ φ ˆ = φ Φ ˆ φ u ˆ φ u ˆ φ ˆ φ ˆ φ u ˆ φ ˆ φ ˆ = φ si ottiee u uovo elemeto ormlizzto i ( ) ˆ Φ( x) Φ( x) Φ( x) φ( x): = (.) Φ ( ) / / Φ Φ ( Φ( x)) w( x) che isieme co i due precedeti costituisce l ter orto-ormle { ˆ φ ˆ ˆ φ φ }. I geerle dopo ver costruito l -pl orto-ormle { ˆ φ ˆ ˆ ˆ φ φ φ } si defiisce ( x= ) ( ): ( ) ˆ ˆ Φ u u ( ) u ( ) u ( ) ˆ ( ) ˆ x = x k= φk φk x x k= x φk x dτ φk( x) (3.) che si verific fcilmete essere ortogole i ( ) ciscuo degli elemeti ˆk φ dell -pl. Quidi l ( )-esimo elemeto dell isieme orto-ormle successivo { ˆ φ ˆ φ ˆ φ ˆ φ ˆ φ } è dto d ( ) / / Φ Φ ( Φ( x)) dτ x= ˆ Φ( x) Φ( x) Φ( x) φ( x): = (3.) Φ e così vi costruttivmete per.

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville L espsioe (3.) può essere riscritt i termii di opertori di proiezioe o proiettori P k iterpretdo il coefficiete itegrle geerico u ˆ φk ( l elemeto α k dell mtrice A di trsformzioe) come l proiezioe del vettore u sull direzioe del vettore ˆk φ di riferimeto orto-ormle i.e. come l compoete k-esim del vettore u (vs. w i ( )). Quidi ricorredo ll otzioe vettorile di Dirc f f ( f ) etc. si scrive ( ( ) ˆ ( ) ) ˆ ( ) ˆ u ( )( u ( ) ˆ x φk x dτ φk x φk x x φk( x) dτ x = x = ) vedo defiito il proiettore k - simo del ket -simo ˆ φ u ˆ φ ˆ φ ˆ φ u : = P u P u ( ) k k k k k k x P : ˆ ˆ (4) / / k = φk φk w ϒk w ϒk e teuto coto dell Eq. (). Pertto l rppresetzioe opertorile dell Eq. (3.) è dt d ( I = ) ( P I = P ). (5) Φ ( x) u u ( x) k k k k L sottrzioe delle compoeti k-esime ( k = ) lsci Φ ortogole (i ( )) tutti i vettori ˆk φ. Co il simolo I è idicto l opertore uitrio (idetità) ello spzio liere dei proiettori P k. [U presetzioe semplice m esuriete dell lger r-ket di Dirc è coteut e.g. i C. COHEN-TANNOUDJI B. DIU F. LALOË QUANTUM MECHANICS VOL. CAP. JOHN WILEY] Jorge Pederse Grm (85-96) Erhrd Schmidt (876-959)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville APPLICAZIONI I. Il sistem orto-ormle delle Fuzioi di Bessel J Poiché le Fuzioi di Bessel x J( λx) y e x J ( µ x) y Ordirie di º tipo dello stesso ordie (o rgo) ( ) e di rgometo geerlmete proporziole x soo rispettivmete itegrli prticolri delle equzioi differezili co { λ µ } R λ µ ( ) xy xy ( λ x ) y = xy xy ( µ x ) y = (6.) (6.) ( ) U verific di questo risultto si può trovre e.g. el documeto PDF dell utore: Equzioi Differezili Ordirie Lieri del º ordie coefficieti vriili - Metodi di itegrzioe P. 5 Eq.i (5.) e (5.). Ioltre si ricordi l espsioe fodmetle i serie di poteze J ( αx) k αx ( ) αx = (7) k = k! Γ( k ) k defiit C. Friedrich Wilhelm Bessel (784-846) vlgoo duque le idetità ovvie xy xy ( λ x ) y (8.) xy xy ( µ x ) y. (8.) Applicdo il Metodo di Gree (GEORGE 793-84) si moltiplico i termii ell Id. (7.) per y e quelli ell Id. (8.) per y e si sottrggoo tr loro le espressioi così otteute. Quidi si divide l differez risultte per x rimedo co l ugugliz che è riscriviile i modo equivlete come x( y y y y ) ( y y y y ) ( λ µ ) xy y = d ( µ λ ) xy y = ( x( y y y y )). (9) Qudo ( ) l itegrzioe prmetric tr e x (> ) dell Eq. (8) è lecit x ( µ λ ) y () t y () t tdt = ( t( y () t y () t y () t y ())) t x. (3) Dividedo l Eq. (3) per µ λ e ripristido le espressioi diy e di y risult

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 3 x x( λ J( µ x) J ( λ x) µ J( λ x) J ( µ x)) J( λ t) J( µ t) tdt = (3) µ λ il º Itegrle di Lommel [E. C. J. vo (837-899)] vedosi per cotiuità vs. x che x x( λ J( µ x) J ( λ x) µ J( λ x) J ( µ x)) lim J( λ t) J( µ t) tdt lim =. (3) x x µ λ Se l itegrle (3) è defiito tr e L R risult ( ) (v. che Esercizio ) L L( λ J( µ L) J ( λ L) µ J( λ L) J ( µ L)) J( λ x) J( µ x) x = (33) µ λ Or si cosideri il cso i cui λ e µ soo scelte i modo che λ L e µ L sio due qulsisi delle ifiite rdici positive tutte distite e semplici! dell equzioe C ( x/ L) J ( x) CJ( x) = (34) ell qule i prmetri C e C o soo etrmi ulli. I tl cso deve vlere il sistem liere elle icogite C e C C λj ( λl) CJ( λl) = C µ J ( µ L) CJ( µ L) =. (35) Avedo escluso l soluzioe le { C C} { } llor deve essere ullo il determite dei coefficieti delle Eq.i (35) λj ( λl) J( λl) µ J ( µ L) J ( µ L) = λ J ( µ L) J ( λ L) µ J ( λ L) J ( µ L) =. (36) Pertto se λ L e µ L soo rdici distite qulsisi dell equzioe (34) segue dll Eq. (33) che L J( λ x) J( µ x) x = (37) i.e. che le Fuzioi di Bessel x J ( x) e x J ( x) soo mutumete ortogoli i ( L) λ vs. l fuzioe-peso w x ovvero che le fuzioi µ x x J ( x) / λ e x x J ( x) / µ soo mutumete ortogoli i ( L) vs. l fuzioe-peso (crtteristic) w χ( L) (cfr/c Eq. (6)). L Eq. (37) costituisce il primo psso verso l costruzioe di u se vettorile orto-ormle medite le Fuzioi di Bessel di º tipo e dello stesso ordie ( ). Il secodo psso cosiste ell ormlizzzioe delle fuzioi geeriche x x J ( x) / κ cor ssumedo che κ L si u qulsisi delle ifiite rdici semplici e distite dell Eq. (34). Cosiderdo λ e µ ell itegrle (3) come prmetri cotiui l espressioe fiit di tle itegrle tede ll form di idecisioe [ / ] el limite reltivo µ λ. Allor pplicdo ll itegrle (33) l Regol di de l Hôpitl vs. µ si scrive L ( J ( ) J ( ) J ( ) J ( )) ( J ( x) ) x lim L L L L L λ µ λ µ λ µ λ = µ λ µ µ λ

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 4 λ J ( ) J ( ) J ( ) J ( ) J ( ) J ( ) Llim L L L L L L L L µ λ λ µ µ λ µ = µ λ µ L ( ) ( ) ( ( )) J λl J λl = J λl J( λl) J ( λl). (38) λl U espressioe per J ( L) è determiile osservdo che dll Equzioe di Bessel defiit λ ell itervllo ( ) xy xy ( x ) y = segue per x = λl che l idetità umeric è riscriviile come ( λl) J ( λl) ( λl) J ( λl) (( λl) ) J ( λl) J ( λl) J ( λl) ( /( λl) ) J( λl). (39) λl Sostituedo l Id. (39) ell Eq. (38) riportt ll itervllo ( L) si rriv ll itegrle cercto il cosiddetto º Itegrle di Lommel L L ( J( λx)) x = (( J ( λl)) ( /( λl) )( J( λl)) ). (4) Questo su volt forisce protmete l orto-ormlizzzioe i ( L) dett di Dii-Bessel I prticolre se λl x k (k = L (( J ( λl)) ( /( λl) )( J ( λl)) ) L x ( J ( x λ )). (4) Z ) è u delle ifiite rdici positive distite e semplici di J ( x) l orto-ormlizzzioe di Dii-Bessel si riduce quell di Fourier-Bessel L = x( J (( x k/ L) x)) ( LJ ( x )) (4.) k ( LJ ( x )) k L k x( J (( x / L) x)) (4.) fcedo ricorso per l form (4.) ll idetità geerle J ( x) = ( / x) J ( x) J ( x). Or si ssum che l fuzioe f : x f( x) soddisfi le codizioi del Teorem geerlizzto di Dirichlet ell itervllo ( L) e si cosideri l successioe crescete { λ } delle rdici positive (distite e semplici) dell Eq. (34) (duque risult < λl < λ L < λ L < ). Dll Eq. (37) 3 ormlizzt medite l Eq. (4) si determi l se vettorile umerile (di idice ) ortoormle i ( L) vs. l fuzioe-peso w x (co l revizioe J x J ( L) ) { ϒ} L(( ( L)) ( /( L) )( ( L)) ) λ L / λ J λ λ J λ che geer l espsioe di f( x ) i ( L) di Dii-Bessel J λ (43) f( x) c J ( x) (44) = = λ i cui coefficieti soo esprimiili medite le Eq.i (9) e (4)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 5 L c = f( x) J( λx) x L(( J ( λ L)) ( /( λ L) )( J ( λ L)) ). (45) I modo logo se λl x corrispode Z ll -sim rdice positiv di J ( x) dll Eq. (36) ormlizzt co l Eq. (4) si ottiee l se vettorile orto-ormle umerile i ( L) vs. l fuzioe-peso w x { ϒ } J ( ) J L x x / L. (46) Quest geer l espsioe celere di f( x ) cosiddett di Fourier-Bessel o di Hkel i ( L) f( x) c (( x / L) x) (47) = = J i cui coefficieti esprimiili medite le Eq.i (9) e (4.) geerli si scrivoo L c = f( x) J (( x / L) x) x ( LJ ( x )). (48) George Neville Wtso (886-965) Esercizio Si verifichi che l itegrle (33) possiede l form equivlete L ( λ µ ) J( λ x) J( µ x) x = λj ( λ L) J( µ L) µ J ( µ L) J( λl) J( λ L) J( µ L) λ µ x L. Herm Hkel (839-873)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 6 II. Espsioi i Poliomi e i Fuzioi Associte ortogoli Il Metodo di Gree seguito per l determizioe delle si vettorili orto-ormli geertrici delle espsioi di Dii-Bessel e di Fourier-Bessel trov ppliczioe el cso di molte ltre clssi di fuzioi ortogoli i itervlli specifici. L costruzioe delle espsioi corrispodeti per u geeric fuzioe x f( x) che soddisfi le codizioi del Teorem di espsioe è propost egli Esercizi segueti di risoluzioe immedit e decismete meccic: Esercizio 3 L Fuzioe Associt di Legedre x ( x) di º tipo di ordie e di rgo m co P m Z m = è u itegrle prticolre dell Equzioe Differezile Associt di Legedre m ( x ) y xy ( ) y =. (49) x Per m = si ottiee P ( x) P( x) il Poliomio di Legedre di grdo. Or si cosiderio due Fuzioi Associte di Legedre x Pk m( x) Pl m( x) di ordii k e l rispettivi qulsisi m dello stesso rgo m. Teedo preseti le defiizioi fodmetli dette Formule geertrici di Rodrigues (BENJAMIN OLINDE 794-85) P d (5.) dξ m m/ m( ξ): = ( ξ ) P( ξ) m d P( ξ): = ( ξ )! dξ (5.) si ricvi l itegrle di ortogolità ell itervllo ( ) vs. l fuzioe-peso w χ ( ) P ( x) P ( x) ( k m)! = ( k )( k m)! δ k m l m k l. (5) Dll Eq. (5) determit l se vettorile orto-ormle umerile i ( ) ( )( m)! { ϒ } ( m)! / m m P (5) si provi che i coefficieti dell espsioe orto-ormlizzt f( x) = = cp m( x) soo dti d ( )( m)! c = f( x) P m( x) ( m)!. (53) Esercizio 4 Il Poliomio Associto di Lguerre x L ( x) di grdo e di rgo m co Z m m = è u itegrle prticolre dell Equzioe Differezile Associt di Lguerre xy ( m x) y ( m) y =. (54)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 7 Per m = si ottiee L ( x) L( x) il Poliomio Ordirio di Lguerre di grdo. Or si cosiderio due Poliomi Associti di Lguerre x L L ( x) di grdi k e l rispettivi qulsisi m dello stesso rgo m. Teedo preseti le defiizioi fodmetli espresse dlle Formule geertrici di Rodrigues k m m d L m( ξ): = L( ξ) (55.) m dξ ξ d ξ L( ξ): = e ( ξe ) (55.) dξ si ricvi l itegrle di ortogolità ell itervllo ( ) vs. l fuzioe-peso w: ( k!) ( k m)! δ 3 m x k m( ) l m( ) = k l L x L x x e Dll Eq. (56) determit l se vettorile umerile orto-ormle i ( ) l m m x x x e. (56) / ( m)! { ϒ m} L m (!) (57) 3 si provi che i coefficieti dell espsioe orto-ormlizzt f( x) = = cl m( x) soo dti d c ( m)! = (!) 3 m x f( x) L ( x) x e. (58) m Esercizio 5 Il Poliomio di Hermite x Η ( x) di grdo co dell Equzioe Differezile di Hermite Z è u itegrle prticolre y xy y =. (59) Teedo preseti le relzioi fodmetli (Formule geertrici di Rodrigues) x d x Η ( x): = ( ) e e (6.) d ( x) ( x) Η = Η (6.) si ricvi l itegrle di ortogolità ell itervllo ( ) vs. l fuzioe-peso w: x m( x) ( x) e =! m x x e Η Η π δ. (6) Dll Eq. (6) determit l se vettorile orto-ormle umerile i ( ) ϒ π Η (6) / { } {(! ) } si provi che i coefficieti dell espsioe orto-ormlizzt ( x) c Η ( x) soo dti d f = =

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 8 x c = f( x) Η ( x) e! π. (63) Esercizio 6 Il Poliomio di Cheyshev x Τ ( x) di º tipo e di grdo co prticolre dell Equzioe Differezile di Cheyshev di º tipo Z è u itegrle ( x ) y xy y =. (64) Teedo preseti le relzioi fodmetli (Formule geertrici di Rodrigues) ( / Τ k (65.) = d ( x) ( x ( x) ( x)) Τ = x Τ Τ (65.) / k k ( x): cos( cos x) k= x ( x ) idic l prte iter (floor) di / ) si determii l itegrle di ortogolità ell itervllo ( ) vs. l fuzioe-peso w: x ( ) / x π Τ Τ δ δ / m( x) ( x)( x ) = ( ) m Dll Eq. (66) determit l se vettorile orto-ormle umerile i ( ) { ϒ} π( δ ) /. (66) Τ (67) si deduc che i coefficieti dell espsioe orto-ormlizzt ( x) c Τ ( x) soo dti d f = = / c = f( x) Τ( x)( x ) π( δ ). (68)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 9 INTRODUZIONE ALLA TEORIA DI STURM-LIOUVILLE. Esttezz e uto-ggiutezz di u equzioe differezile liere L equzioe differezile di ordie defiit per x ( ) F ( ) ( ) ( y y y y x) = f( x) (69) si dice essere estt se ess può essere otteut derivdo direttmete l equzioe specific G ( ) ( ) ( ) g( ) di ordie. Nel cso i cui l Eq. (69) è liere y y y y x = x c (69.) α α α α α (7) ( ) ( ) ( ) ( x) y ( x) y ( x) y ( x) y ( x) y = f( x) dove si α( x) (il coefficiete geerico α k( x ) è u fuzioe ot derivile lmeo k volte i ( )) l codizioe ecessri e sufficiete per l su esttezz è espress dll idetità α ( x) α ( x) α ( x) ( ) α ( x) ( ) α ( x). (7) ( ) ( ) ( ) I prticolre per u equzioe liere del º ordie l codizioe (7) divet x ( ) α ( x) α( x) (7.) metre per u equzioe liere coefficieti costti di ordie si h semplicemete α ( ). (7.) x Se l Eq. (7) o è estt i ( ) si può tetre di determire u fttore itegrte µ = µ ( x) tle che se gli ddedi coteuti ei due memri dell Eq. (7) soo moltiplicti per µ α µ α µ α µ α µ α µ = µ f (7) ( ) ( ) ( ) y y y y y l Eq. (7) risultte è u equzioe differezile estt i ( ). I ltri termii dll Eq. (7) si h che µ è u itegrle prticolre dell equzioe differezile liere omogee d d d d ( α u) ( α u) ( α u) ( ) ( α u) ( ) ( αu) = (73) vs. l vriile dipedete icogit u u( x). L Eq. (73) prede il ome di equzioe ggiut dell equzioe omogee ssocit ll Eq. (7). Sostzilmete l su utilità cosiste el costituire uo strumeto di verific se u µ ( x) si o meo u fttore itegrte dell Eq. (7). Perltro l su itegrzioe geerle può presetre difficoltà che superiori che per l itegrzioe dell Eq. (7) stess! Restrigedo l discussioe lle equzioi differezili lieri omogeee del º ordie i ( ) α ( x) y α ( x) y α( x) y = (74) di gr lug le più importti ei modelli feomeologici dell Fisic e dell Igegeri l Eq. ggiut (73) di ordie ssume l form specific del º ordie d d ( αu) ( αu) αu =. (75)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville Qui coviee ricomire l Eq. ggiut (75) ell form seguete: d d = ( α u) d ( α u) α u d ( α u α u ) ( α u α u = ) αu = α u α u ( α u ) α u α u α u ( α u ) ( α α ) u ( α α ) u α u d = ( α u ) (( α α) u) α u. (75.) Nel cso i cui vle l codizioe α = α (76) llor l Eq. ggiut (75) ssume l stess form dell Eq. omogee (74) ( α u ) α u α u α u α u α u α u = αu =. (77) Per quest rgioe l Eq. differezile del º ordie (77) è dett uto-ggiut (o hermiti). D ciò segue l Proposizioe Codizioe ecessri e sufficiete ffiché l Eq. (74) i i ( ) rppresetzioe utoggiut o hermiti è che i tle itervllo risulti geerlmete α( x) α ( x). (78) No trgg i igo l coicidez formle tr l codizioe di uto-ggiutezz (o hermiticità) (78) per u equzioe liere del º ordie e l codizioe di esttezz (7.) per u equzioe liere del º ordie. I otzioe opertorile l Eq. (74) qudo si uto-ggiut si riscrive coforme l Eq. (77) Dll Eq. (79) defiito l opertore differezile (liere) rele d d α ( x) y α ( x) y =. (79) L uto-ggiuto (o hermitio) e quidi d d L : = α ( x) α ( x) (8) si ottiee l rppresetzioe opertorile i ( ) dell Eq. (74)(uto-ggiut o hermiti) L y =. (8) D ltr prte se l Eq. (74) o risult già i form uto-ggiut ell itervllo di iteresse ( ) llor può redersi ecessrio determire u fttore ς = ς( x) di uto-ggiutezz (o di hermiticità) logo u fttore itegrte che rede estt u equzioe differezile o-estt. Ad esempio moltiplicdo i termii ddedi dell Eq. (74) per l qutità icogit ς( x)/ α ( x) ς( x) α( x) ς( x) α( x) ς( x) y y y = (8) α ( x) α ( x)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville e poi impoedo l codizioe ς ( x) ς( x) α ( x) α ( x) (83) si costruisce u trsformt uto-ggiut (hermiti) equivlete dell Eq. (74) ς( x) α( x) ς( x) y ς ( x) y y = (84) α ( x) che risult coforme ll codizioe (78). L espressioe esplicit di ς ( x) segue dll itegrzioe dell form differezile (83) ς( x) = ce α( x) α ( x) (85) essedo c l costte ritrri di itegrzioe. Pertto dlle Eq.i (79) e (85) u trsformt uto-ggiut equivlete di qulsisi equzioe differezile liere omogee del º ordie i form coic (74) prede l espressioe esplicit geerle i u itervllo ( ) pproprito α( x) α( x) ( ) ( ) d x d α α x α ( x) e y e y = (86) α( x) evidezido l struttur dell opertore differezile uto-ggiuto corrispodete ll Eq. (8) α( x) α( x) ( ) ( ) d x d α α x α ( x) : e L = e. (87) α( x) U cotrollo immedito mostr che l Equzioe differezile Associt di Legedre Eq. (49) si preset esplicitmete i form uto-ggiut. No è così per le ltre equzioi soddisftte dlle Fuzioi Specili citte: di Bessel Associt di Lguerre di Hermite di Cheyshev Eq.i (6.) (54)(59) e (64) rispettivmete. Queste ultime comuque possoo essere ricodotte ll form uto-ggiut medite l Eq. (86)(se e suggerisce l verific). Così d esempio per l Eq. di Bessel (6.) rppresetzioe d cosiderrsi sufficietemete geerle essedo soddisftt dlle fuzioi J Y λ (o λ ) di rgometo sclto λ e λ vs. l vriile idipedete l form uto-ggiut si scrive N x x d d λ x x x = e y e y x xy y ( λ / x ) xy. (88)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville. Il Prolem regolre di Sturm-Liouville L teori delle equzioi differezili lieri omogeee del º ordie i rppresetzioe utoggiut si preset come legittimmete geerle. Ess trov le sue ppliczioi più importti i prolemi coessi co l seprzioe delle vriili elle equzioi differezili derivte przili di molti modelli fisici (e.g. di Lplce/Poisso di Helmholtz di Schrödiger di Dirc etc.) e el trttmeto dell cosiddett Fuzioe di Gree. Le equzioi seprte che se e ottegoo vriile idipedete sigol soo ricomiili ell form uto-ggiut geerle tipic d d α ( x) α ( x) y κw( x) y = g( x) (89) Qui κ è u prmetro e w è u fuzioe-peso pproprit vs. l itervllo ( ) el qule l Eq. (89) è defiit. Il ricooscimeto dei termii ell Eq. (89) segue u criterio preciso. L fuzioe α e il prmetro κ soo protmete idetificili; κ deve comprire come fttore i u prodotto co l fuzioe icogit y e l fuzioe-peso. Questo è sufficiete per idividure il fttore w( x ). Tutti i termii rimeti moltiplicti per y vo costituire isieme l fuzioe α. Ad esempio ritordo ll Equzioe di Bessel l su form uto-ggiut (88) si scompoe secodo lo schem dell Eq. (89)(co g( x) ) come d d x y λ xy = x L. (9) È evidete qui che α ( x) x κ λ w( x) x (com er d ttedersi!) e α ( x) / x co u ridefiizioe dell opertore L tle che esso pur coteedo le due derivte rest però seprto dditivmete dl prodotto κw( x) y λ xy. Alogmete medite l Eq. (86) si determio per l Eq. Associt di Legedre (49) α ( x) x α ( x) m /( x ) κ ( ) w( x) ; per l Eq. Associt di Lguerre (54) m x m x α( x) x e α( x) κ m w( x) x e ; per l Eq. di Hermite (59) x x α ( x) e α ( x) κ w( x) e ; per l Eq. di Cheyshev di º tipo (64) α ( x) ( x ) α ( x) κ w( x) ( x ). / / Assegto u vlore l prmetro κ u fuzioe y κ che oltre l Eq. (89) soddisf codizioi di frotier (oudry coditios) prescritte è dett uto-fuzioe corrispodete ll uto-vlore κ. D ltr prte o è grtito che esist u uto-fuzioe y κ sull sol se di u scelt ritrri del vlore di κ. Tlvolt iftti u tle scelt restrige i vlori ccettili di κ u isieme discreto (e.g. umerile) come vviee per tutte le Fuzioi Specili cosiderte i precedez.

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 3 Quest crtteristic tr l ltro si dtt perfettmete i processi di qutizzzioe crtteristici dell Fisic Moder e.g. quelli descritti dll equzioe odultori D di Schrödiger H ψ ( x) Eψ ( x) = E ell qule l opertore hmiltoio H corrispode ll opertore differezile uto-ggiuto L metre l eergi totle E del sistem fisico corrispode formlmete ll opposto dell uto-vlore κ; ioltre vlgoo le idetificzioi α ( x) ħ /( m) l costte feomeologic cietic e E α ( x) U( x) l eergi potezile del sistem. L uto-fuzioe ψ E è dett fuzioe d od di prticell sigol. Diversmete dl Prolem di Cuchy (del º ordie) el qule le codizioi di ordie e soo ssegte ello stesso puto si è già osservto per quto rigurd il Prolem regolre di Sturm- Liouville che codizioi degli stessi ordii soo richieste gli estremi (frotier) di u certo itervllo. Se questo è comptto [ ] e sez perdit di geerlità α( x) R x [ ] llor il complesso delle codizioi fisste i [ ] per l Eq. (89) defiisce il Prolem di Sturm- Liouville cosiddetto regolre (cotrpposto sigolre e.g. qudo α C ([ ]) ).. Il Prolem regolre omogeeo di Sturm-Liouville L equzioe-modello è quell omogee ssocit ll Eq. (89) α ( x) u α ( x) u ( α( x) κw( x)) u = (9) dell qule si suppoe già determito l itegrle geerle reltivo ll uto-vlore κ u ( x) = c u ( x) c u ( x) ( C ([ ])). (9) κ κ κ Al solito gli itegrli prticolri u κ( x) e u κ( x) soo liermete idipedeti metre c e c soo costti ritrrie di itegrzioe. Per il Prolem regolre omogeeo di Sturm-Liouville le codizioi di frotier soo espresse dl sistem geerle ch esso omogeeo γ uκ( ) γ u κ( ) γ uκ( ) γ u 3 4 κ( ) = γ uκ( ) γ u κ( ) γ uκ( ) γ u 3 4 κ( ) =. (93) I esso i coefficieti γ ij soo vlori ssegti. L pprez ridodte del sistem (93) o è tle. I reltà esso iclude u vrietà di vicoli diversificti secodo le tipologie del Prolem regolre omogeeo di Sturm-Liouville. Iftti si possoo icotrre vicoli si semplici che misti e.g. di periodicità del tipo uκ( ) = uκ( ) α ( ) u ( ) = α ( ) u ( ) κ e di regolrità (well-ehvior) iter d [ ] del tipo κ (93.) { u ( ) u κ κ( )} R α( ) = e/o. (93.) { uκ( ) u κ( )} R α( ) = Ad esempio ell secod delle Eq. (93.) può vveire che γ α ( ) = ± γ α () 4.

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 4 Co le Eq.i (9)(9) e l derivt u ( x) c u ( x) c u ( x) le codizioi (93) si riscrivoo κ κ κ h κc h κc = h κc h κc = vs. le icogite c e c. I coefficieti hrs κ soo dti d (94) h κ γ u κ( ) γ u κ( ) γ u κ() γ u 3 4 κ() (94.) h κ γ u κ( ) γ u κ( ) γ u κ( ) γ u 3 4 κ( ) (94.) h κ γ u κ( ) γ u κ( ) γ u κ() γ u 3 4 κ() (94.3) h γ u ( ) γ u ( ) γ u () γ u 3 4 (). (94.4) κ κ κ κ κ Or idicto co det H κ il determite dell mtrice H κ dei coefficieti del sistem omogeeo (94) reltivo ll uto-vlore κ qudo det H κ il sistem (94) mmette come soluzioe solo quell ull ( c c) ( ) e quidi il Prolem regolre omogeeo (9) (93) di Sturm- Liouville mmette l sol soluzioe prticolre ideticmete ull u ( x) = u ( x) u ( x). κ κ κ Ivece se det H = il sistem (94) mmette ifiite soluzioi o-ulle κ ( c κ c κ) ( ). Gli ifiiti itegrli prticolri distiti corrispodeti (cso degeere) u ( x) = c u ( x) c u ( x) κ κ κ κ κ detti uto-soluzioi del Prolem regolre omogeeo (9) (93) di Sturm-Liouville soo tutti ssociti llo stesso uto-vlore κ. Il umero delle uto-soluzioi liermete idipedeti srà l più secod del vlore o del rgo di H κ.. Il Prolem regolre o-omogeeo di Sturm-Liouville L equzioe differezile-modello è l Eq. (89). Il suo itegrle geerle y ( x) C ([ ]) reltivo ll uto-vlore κ si suppoe già determito κ κ κ κ κ y ( x) = cy ( x) cy ( x) υ ( x) (95) essedo υ ( x) u itegrle prticolre qulsisi dell Eq. (o-omogee)(89). κ Per il prolem regolre o-omogeeo di Sturm-Liouville le codizioi di frotier soo espresse dl sistem geerle ch esso o-omogeeo γ yκ( ) γ y κ( ) γ yκ( ) γ y 3 4 κ( ) = β (96) γ yκ( ) γ y κ( ) γ yκ( ) γ y 3 4 κ( ) = β dove β e β soo costti ssegte come le γ ij. Alogmete l cso del sistem omogeeo (94) si riscrive il sistem o-omogeeo (96) i form coic vs. i prmetri icogiti c e c h c h c = σ h c h c = σ κ κ κ κ (97)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 5 dove i coefficieti hrs κ soo dti cor dlle Eq.i (94.) (94.4) metre le espressioi delle costti σ e σ risulto rispettivmete σ β γ υκ( ) γ υ κ( ) γ υκ() γ υ 3 4 κ() (97.) σ β γ υ ( ) γ υ ( ) γ υ () γ υ 3 4 (). (97.) κ κ κ κ Poiché il determite dell mtrice H κ dei coefficieti del sistem o-omogeeo (97) è idetico quello del cso omogeeo llor se det H κ il sistem (97) possiede u uic soluzioe per il Teorem di Crmer { c c} { c κ c κ} dll qule si scrive immeditmete l uic utosoluzioe corrispodete ll uto-vlore κ y ( x) = c y ( x) c y ( x) υ ( x) κ κ κ κ κ κ. Ivece se det H = κ il Teorem di Rouché-Cpelli grtisce l esistez di u o di ifiite (cso degeere) soluzioi ( c κ c κ) del sistem (97) se e solo se H κ e l mtrice umett ssocit H κ h κ h κ σ : = h κ h κ σ ho lo stesso rgo r. Questo fiss l codizioe per l comptiilità del sistem (97) i.e. perché esso si o o risolviile. Se il rgo comue è r = il sistem (97) mmette u sol soluzioe; se r = il sistem (97) mmette rispettivmete soluzioi. D queste codizioi lgeriche fodmetli di comptiilità si deduce il umero e il vlore delle uto-soluzioi ssocite ll uto-vlore κ per il Prolem regolre o-omogeeo (95) (96) di Sturm-Liouville. Pertto si osserv che il teorem di esistez e uicità per le (uto-)soluzioi (95) evetuli dell Eq. differezile (89) risult codizioto d u pricipio di ltertiv fodto sul Teorem di Rouché-Cpelli. Pfuty Lvovich Cheyshev (8-894)

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 6 Proprietà opertorili di L e tur dei suoi uto-vlori Medite l defiizioe (8) dell opertore differezile liere uto-ggiuto omogee ssocit ll Eq. (89) ell form L si riscriv l Eq. L u κw( x) u = (98) geerlizzdol come segue: { α( x) α( x) w( x)} R i.e. le fuzioi ote coteute i ess mtegoo i loro vlori reli i [ ] m si mmette che si { κ u( x)} C i [ ]. D u( x) Reu( x) iim u( x) seguoo per lierità i risultti Il ftto che u = ( Reu) i( Im u) ( u ) ( u ) u ( Reu) i ( Im u) etc.. L si uto-ggiuto geer lcue cosegueze iteressti. Se { u u} r s C è u coppi di uto-soluzioi distite dell Eq. (98) i [ ] corrispodeti gli uto-vlori distiti κ r e κ s rispettivmete m che soddisfo le stesse codizioi di frotier à-l Sturm-Liouville si può ricorrere cor l Metodo di Gree. Scritt l idetità e quell coiugt vs. u s L ur κrw( x) ur (98.) L us κsw( x) us (98.) si h moltiplicdo i termii ell Id. (98.) per u s e quelli ell Id. (98.) per ur sottredo tr loro le espressioi così otteute e itegrdo queste tr e (cfr/c l Eq. (9)) ( κ s κ ) u r surw( x) = ( u s ur ur u s) L L u s α ur ur u κ α s κ ( ( ) ( )) = α ( u u s r urus ) (99) poiché le fuzioi u r e u s soddisfo le stesse codizioi di frotier à-l Sturm-Liouville i [ ] dove si ricordi è α( x). Allor dll Eq. (99) si rriv ll codizioe ecessri e sufficiete di uto-ggiutezz di espress medite il prodotto itero i C i otzioe di Dirc (cfr/c l Eq. (.)) u s r surw x u s ur u s u r L ( κ κ ) ( ) L L = () che forisce immeditmete l proprietà fodmetle di uto-ggiutezz u s ur u s ur L = L. (.) Duque ritordo l memro siistro dell Eq. () si coclude che due uto-soluzioi distite qulsisi dell Eq. (98) soddisfcedo le stesse codizioi di frotier à-l Sturm-Liouville ed essedo reltive d uto-vlori distiti soo ortogoli i [ ] vs. l fuzioe-peso w. I ltri

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 7 termii co r s si h (cfr/c l Eq. (.)) u u s r =. () Ivece ell ipotesi che le due uto-soluzioi distite precedeti corrispodo llo stesso utovlore κ llor risult che L L us ur ur us = us( αur) ur( αus ) = d ( ( u u u u )) s r r s α =. i.e. α ( usu r urus ) = c u costte i [ ]. Per qulsisi codizioe di frotier (96) slvo quell di periodicità (93.) quest espressioe si ull gli estremi x = e x =. D ltr prte poiché è α( x) i [ ] risult qui ecessrimete usu r urus i.e. u / u = u / u. Itegrdo si ottiee r r s s u = u. r Quest ugugliz implic che per uo stesso vlore di κ si { κ u ( x) u ( x)} R così che u r ( x ) e u s ( x ) o possoo essere liermete idipedeti i [ ] eccetto che per il cso di codizioi di frotier periodiche. Come esempio di quest circostz oml si cosideri il modello dell oscilltore rmoico qutizzto c y κy = co κ ( π/ L). Per esso si determio le uto-soluzioi idipedeti x cos( πx/ L) x si( πx/ L) ell itervllo [ ] [ L]. s r s e Se r s l itegrle ell Eq. () o può ullrsi (è w( x ) > geerlmete) slvo che per il cso le u r ideticmete i [ ]. Allor è il coefficiete ( κ κ ) d ullrsi i.e. r r r κ κ. () I risultti espressi dlle Eq. () e () soo sitetizzti dl seguete fodmetle Teorem Se il Prolem regolre omogeeo (9) (93) di Sturm-Liouville è uto-ggiuto llor tutti gli uto-vlori soo reli per l Eq. (). Essi soo di umero ifiito e possoo essere disposti i sequez crescete divergete ifiito-cotiu o -umerile. I questo secodo cso si determi l successioe divergete { κ }; le uto-fuzioi corrispodeti d uto-vlori distiti soo ortogoli tr loro i [ ] vs. l fuzioe-peso w pproprit. Le cosegueze del Teorem precedete soo crucili: qudo le uto-fuzioi costituiscoo u isieme umerile come effetto di codizioi di frotier (tipicmete quelle periodiche) che discretizzo l sequez delle uto-fuzioi mmissiili d tle fmigli ortogole può essere estrtt i modo evidete u se vettorile orto-ormle di espsioe i serie secodo le codizioi fisste dl Teorem di espsioe (v. P. -3). r

Fuzioi Ortogoli i R - Metodi e risultti co u itroduzioe ll Teori di Sturm-Liouville 8 L questioe dell ortogolità o può cor riteersi risolt defiitivmete. Iftti che co r s esiste l evetulità che risulti κr κse pertto che l itegrle ell Eq. () o si ullo ecessrimete. Questo feomeo idicto tecicmete come degeerzioe degli uto-vlori ppre che ttrverso l possiilità che uto-fuzioi liermete idipedeti o sio ortogoli tr loro e che si riveli ecessrio ricorrere u procedimeto di orto-ormlizzzioe del sotto-spzio d esse costituito e.g. l Metodo di Grm-Schmidt (v. P. 7-9). Chrles Hermite (8-9) Edmod Nicols Lguerre (834-886) Pul Adrie Murice Dirc (9-984)