STATISTICA DEF: La statistica si occupa di raccogliere ed elaborare dati che riguardao eomei collettivi( cioè quelli che si possoo descrivere solo mediate l osservazioe di u umero otevole di casi) li aalizza e trae coclusioi su di essi. La raccolta e l elaborazioe dei dati costituiscoo l idagie statistica. ES: Viee svolta u idagie per stabilire il umero di igli i 0 amiglie. I risultati soo raccolti ella seguete tabella: N igli 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 x x x x x x x x x x x x x 3 x x x x x 4 x x La popolazioe statistica è l isieme degli elemeti oggetto dell idagie: le 0 amiglie elecate ella tabella costituiscoo la popolazioe della ostra idagie statistica. Gli elemeti di ua popolazioe si chiamao ache uità statistiche. Il umero dei igli preseti i ogi amiglia è il carattere dell idagie statistica, cioè quello aspetto del eomeo che si vuole studiare. U carattere è quatitativo se è di tipo umerico ( ad es. l età) ; u carattere è qualitativo i tutti gli altri casi ( ad es. il colore degli occhi). Ogi carattere viee descritto mediate le modalità co cui si può maiestare(es. emmiile o maschile). I dati di u carattere soo le iormazioi acquisite all itero della popolazioe:0,,,3,4 soo i dati osservati ella ostra idagie. Notiamo che 5 amiglie hao u solo iglio. Si dice che 5 è la requeza del dato. DEF: La requeza (o requeza assoluta F) di u dato statistico è il umero delle volte i cui u dato si preseta ell idagie. La seguete tabella riassume ivece il risultato dell idagie eettuata sulle 0 amiglie. N igli 0 3 4 Frequeza La somma delle requeze assolute si chiama requeza totale T. La requeza totale dell idagie tra le amiglie è duque 0. DEF: La requeza relativa è il rapporto tra la requeza assoluta e la requeza totale. F T Nel ostro caso, la requeza relativa al dato è, e quella del dato è.
Aggiugiamo alla tabella precedete la riga delle requeze relativi N igli 0 3 4 Frequeza Frequeza relativa Notiamo che la requeza relativa di ogi dato è u valore compreso tra 0 e e che la somma delle requeze relative dei dati è Moltiplicado la requeza relativa per 00 si ottiee la requeza percetuale. Nel ostro caso, la requeza percetuale del dato 0 è pari al 0% ; calcolare gli altri valori. N igli 0 3 4 Frequeza Frequeza relativa Frequeza percetuale Riassuto delle ormule: F T ormule iverse F T F T Esercizio: U cetro sociale per aziai è requetato da u gruppo di 5 amici che hao le segueti età: 78; 6; 78; 68; 74; 79; 65; 68; 7; 6; 64; 75; 63; 7; 73. Questa idagie è rivolta ai quidici aziai, che costituiscoo dell idagie. L età di ogi persoa è il di tipo da studiare. I soo rappresetati dall età di ogi persoa. Essi soo compresi tra u valore miimo di 6 a u valore massimo di 79. Per redere i dati più leggibili, li raggruppiamo i classi, ad esempio da 60 a 64, da 65 a 69 ect. Ogi classe ha ampiezza 5. Eseguiamo la tabella riportado le classi e le loro requeze:
Età 60-64 65-69 Frequeza Frequeza relativa Frequeza percetuale IL raggruppameto di ua classe orisce meo iormazioe(o sappiamo quate persoe hao 6 ai), ma orisce ua sitesi più leggibile. Di ogi classe è spesso utile calcolare il valore cetrale che si ottiee dividedo per la somma degli estremi della classe. 64 60 Valore cetrale 6 Esercizio: U agezia turistica italiaa ha ricevuto per la otte di Capodao 300 preotazioe per Parigi; 50 preotazioi per Praga ; 75 preotazioi per Lodra; 355 preotazioi per Barcelloa. a) idividuare la popolazioe, il carattere studiato, i dati dell idagie b) calcolare il umero totale di preotazioi c) eseguire la tabella ella quale compaia, per ogi dato, la requeza assoluta, la requeza relativa, la requeza percetuale. Le tabelle statistiche possoo esser di due tipi: le serie e le seriazioi. DEF: Si chiama serie ogi tabella statistica che si ricollega a carattere qualitative. Esempio: Se alcue persoe vegoo itervistate e classiicate i base al titolo di studio posseduto, è possibile raccoglier i dati otteuti i ua tabella statistica del tipo: Titolo di studio Numero persoe Nessuo Diploma di scuola elemetare 8 Diploma di scuola media ieriore 45 Diploma di scuola media superiore 39 Laurea 6 Totale 00 La tabella costituisce ua serie il cui carattere qualitativo è il titolo di studio posseduto, che preseta 5 modalità diverse. Tra le serie statistiche assumoo importaza:
- Le serie storiche i cui il carattere qualitativo del eomeo collettivo è distribuito el tempo(ai, mesi, giori). Es: i matrimoi civili i Italia co rito civile e religioso egli ai 994-997. - Le serie geograiche i cui il carattere qualitativo del eomeo collettivo è distribuito ello spazio (stati, regioi, provicie, comui). Es: le ascite ei paesi dell Uioe Europea ell ao 997. DEF: Si chiama seriazioe ogi tabella statistica che si ricollega a caratteri quatitative. Il carattere quatitativo di ua seriazioe si dice: - discreto se i caratteri possoo essere espressi co u umero iito di valori. Es: umero dei igli - cotiuo se i caratteri possoo assumere qualuque valore i u determiato itervallo(classe). Es: l età degli aziai. LA TABELLA A DOPPIA ENTRATA Nella seguete tabella riportiamo i voti i italiao e i matematica di alcui studeti: N d ordie alui Voto i italiao 6 8 6 6 3 7 6 4 6 6 5 8 7 6 7 7 7 7 6 8 8 8 9 9 8 0 6 7 6 6 6 6 3 7 6 Voto i matematica Per iterpretare l adameto dei due voti compiliamo la seguete tabella che può essere letta sia el seso delle righe sia el seso delle coloe: Voto i matematica Voto i italiao 6 7 8 9 Totale 6 7 8 9 Totale Questa tabella a doppia etrata permette di leggere immediatamete quati soo gli alui che hao u certo voto i matematica e cotemporaeamete u altro voto i italiao. Se vogliamo sapere quati studeti hao 7 i matematica e 6 i italiao leggiamo il valore che si trova tra la prima riga e la secoda coloa.
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI DATI I dati raccolti i u idagie possoo essere rappresetati co dei diagrammi. Tali diagrammi permettoo di iterpretare rapidamete i dati e di paragoabili acilmete tra loro. - Areogramma o Diagrammi circolari Viee disegato u cerchio e lo si divide i tati settori quati soo i dati; gli agoli di ogi settore soo proporzioali alle quatità che essi rappresetao. Esempi ) La tabella seguete idica la ripartizioe dei libri letti da alcui alui i u ao Lettore Aldo Biaca Carlo Diego Elea N libri letti 8 6 6 6 La requeza totale dell idagie sui libri letti è.. I esso ogi settore è proporzioale alla requeza del dato che esso rappreseta. Per determiare l agolo di ogi settore si utilizza la proporzioe seguete: requeza del dato: requeza totale = : 360 Aldo libri = Biaca 8 libri = Carlo 6 libri = Diego e Elea 6 libri = Aldo Biaca Carlo Diego Elea
) La tabella seguete idica come è suddiviso la giorata irasettimaale di Attività Riposo Studio Amici Pasti Scuola Sport Televisioe Totale Tempo Rappresetare co u aerogramma. - Istogramma o Diagramma a barre I u piao cartesiao si pogoo sull asse delle ascisse i dati dell idagie e sull asse delle ordiate le requeze dei dati. A ogi dato corrispode u rettagolo co base sull asse delle ascisse, di altezza proporzioale alla requeza del dato. Esempi: ) La tabella rappreseta la ripartizioe per la tipologia del umero di automobili vedute da u cocessioario ell ultimo mese: Tipo automobile City car Utilitaria Statio wago Moovolume Suv Pezzi veduti 50 5 0 5 60 50 40 30 0 0 0 City car Utilitaria Statio wag Moovolume Suv ) Cosideriamo le due segueti tabelle relative alle importazioi ed esportazioi di u Paese dal 994 al 00 Importazioi Ao 994 995 996 997 998 999 000 00 Migliaia di dollari 3000 9000 5500 000 5000 7000 3000 33000 Esportazioe Ao 994 995 996 997 998 999 000 00 Migliaia di dollari 0000 7000 4000 000 7000 30000 35000 40000
Rappresetare graicamete co u istogramma. Quali iormazioi si possoo trarre dal diagramma? - I diagrammi cartesiai Cosideriamo la seguete distribuzioe di requeze, che descrive quate imprese artigiae hao u certo umero di dipedeti. N dipedeti Frequeze 3 8 4 6 5 Riportiamo sull asse delle ascisse il umero dei dipedeti delle imprese e sull asse delle ordiate le requeze. 9 8 7 6 5 4 Valori Y 3 0 0 3 4 5 6 GLI INDICI DI POSIZIONE CENTRALE Per corotare eomei aaloghi occorre determiare misure che evidezio rapidamete le caratteristiche odametali del eomeo statistico cosiderato. Le medie soo misure che rappresetao siteticamete i valori della distribuzioe cosiderata attoro ai quali soo disposti i dati e, per tale motivo, soo dette idici della posizioe cetrale. Gli idici della posizioe cetrale soo: media aritmetica- media poderata- mediaa- moda La media aritmetica e la media poderata (medie erme) si calcolao teedo coto di tutti i valori della distribuzioe. La mediaa e la moda (idice di posizioe) si calcolao teedo coto solo di alcui valori della distribuzioe. Media aritmetica Cosideriamo la seguete tabella dove soo riportati i voti di sei prove di matematica di tre alui. Bisoga stabilire quale di questi alui avrà il debito i matematica, sapedo che il C.d.C. ha deliberato che si debba otteere u puteggio o ieriore a 5,5.
Alui 3 4 5 6 Giovai 5 7 6 8 9 7 Riccardo 4 5 6 5 6 Martia 7 7 7 7 7 7 DEF: La media aritmetica M di umeri x., x... x è il quoziete ra la loro somma e il umero. x x... x M i x i 5 7 6 8 9 7 7 6 M G R M M =. L aluo.. avrà il debito i matematica. M =. Es: Il peso e l altezza media dei 7 atleti di ua squadra soo riportati ella seguete tabella: Atleta 3 4 5 6 7 Peso Kg 67 65 7 68 75 8 78 Altezza cm 70 68 7 73 78 8 80 Quali soo il peso medio e l altezza media dei compoeti della squadra? La media poderata La media aritmetica i cui compaioo le requeze viee ache detta media aritmetica poderata per idicare che i dati compaioo u umero diverso di volte, ossia soo pesati i modo diverso. ES: cosideriamo la tabella relativa ai voti otteuti i u compito dagli alui di ua classe e calcoliamo la media poderata Voti 4 5 6 7 8 Frequeza 7 8 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 M posso ache 4 5 7 68 7 3 8 scrivere M 7 8 3 Le requeze rappresetao i diversi pesi che devoo avere i sigoli voti el calcolo della media. Più grade è la requeza di u voto, maggiore è l ilueza che esso ha sul valore medio. Questa tipo di media si chiama media poderata P DEF: Dati i umeri x...,....., x... x e associati ad essi le requeze (detti pesi), chiamiamo media poderata P il quoziete ra la somma dei prodotti dei umeri per le loro requeze(pesi) e la somma delle requeze(pesi).
x P x... x... Se calcoliamo la media aritmetica poderata el caso dei dati raggruppati i classi occorre, per ogi classe, calcolare il valore cetrale come semisomma dei valori estremi dell itervallo e poi moltiplicarlo per la requeze. Es. Calcolare la media poderata relativa alla seguete tabella riguardate classi di statura di 60 atleti: Classi Frequeze Valori cetrali 60-65 8 60 65 6, 5 65-70 70-75 75-80 80-85 0 8 85-90 5 90-95 95-00 4
La mediaa La mediaa è la media di posizioe che rappreseta il valore cetrale di ua distribuzioe di dati di tipo quatitativo, purché tali dati siao disposti i ordie crescete ( o decrescete). De: Si dice mediaa (Me) di ua serie di dati statistici, se tali dati soo i umero dispari e soo posti i ordie crescete, il dato che occupa la posizioe cetrale. Esempio: Gli alui del gruppo A hao otteuto i segueti voti: Aluo 3 4 5 6 7 Voto 3 3 4 6 7 8 9 I dati soo i umero dispari e soo posti i ordie crescete, pertato la mediaa è il dato che occupa la posizioe cetrale Me = 6 De: Si dice mediaa di ua serie di dati statistici, se tali dati soo i umero pari e se soo posti i ordie crescete, il termie semisomma dei due dati che occupao la posizioe cetrale. Esempio: Gli alui del gruppo B hao otteuto i segueti voti, scritti i ordie crescete: Aluo 3 4 5 6 7 8 9 0 Voto 4 4 5 6 6 7 8 8 9 0 6 7 I dati soo i umero pari e soo posti i ordie crescete, quidi la mediaa è uguale Me = 6, 5 Calcoliamo la media aritmetica e la mediaa relativa ai voti degli alui dei gruppi A e B I geerale la media e la mediaa di ua serie di dati statistici o coicidoo. Esercizi ) Calcolare la mediaa dei puteggi otteuti laciado due dadi per 7 volte: ; 9; 6; 5; 8; 0;. ) Determiiamo la mediaa dei cosumi di latte (i litri) durate ua settimaa, da parte di 8 atleti: ;,5; 3; 4,5; 7; 8; 5,5; 6,5
La moda. La moda è ua media di posizioe che serve per rappresetare distribuzioi di requeza di tipo quatitativo o qualitativo. De: Si dice moda (Mo) di ua distribuzioe di requeza la modalità quatitativa o qualitativa che si preseta co la requeza maggiore. Esercizi. ) Determiare la moda della seguete tabella: Età (ai) N di persoe 0 5 7 5 48 8 45 0 60 Mo =. perché è la modalità quatitativa che preseta la massima requeza. ) Determiare la moda della seguete totale co classi di ampiezza costate: Classe di statura(cm) N di atleti 60-65 8 65-70 70-75 0 75-80 80-85 8 85-90 5 90-95 95-00 4 Mo =. Ci soo serie di dati che hao più di ua moda: Voti 4 5 6 7 8 Frequeza 9 3 9 Mo = e Mo=. La distribuzioe risulta bimodale avedo per moda sia e sia GLI INDICI DI VARIABILITA Cosideriamo le due sequeze di valori a) 8, 6,, 9, 37, 49, 57; b) 7, 8, 8, 30, 3, 34, 38; esse soo costituite dallo stesso umero di valori e per etrambe la media è uguale: Ma =.. Mb=.
La distribuzioe dei valori itoro al valore medio 3è diversa per le due sequeze: i valori della secoda sequeza soo più vicii al valore medio, metre quelli della prima soo più sparsi. I Statistica, per idicare questo atto, si dice che le due sequeze hao diversa dispersioe o variabilità. Per misurare la variabilità si usao degli idici di variabilità che soo: a) Il campo di variazioe c) Lo scarto quadratico medio b) Lo scarto semplice medio Campo di variazioe DEF. Il campo di variazioe(c.v.) di ua sequeza di umeri è la diereza ra il umero massimo e quello miimo. C.V. = x x. max mi Nella prima sequeza C.V.=.. ella secoda sequeza C.V. =.. Questo idice o è u idice molto accurato, i quato tiee coto soltato del valore maggiore e di quello miore e o di quelli itermedi. Lo scarto semplice medio Ua misura della variabilità, che tiee coto di tutti i valori della distribuzioe cosiderata, è lo scarto semplice medio. Co il termie scarto si itede la diereza tra ogi valore della distribuzioe e la media aritmetica. De: Si chiama scarto semplice medio (S) di ua sequeza di umeri valori assoluti degli scarti. x, x,... x la media aritmetica dei S x M x M... x M Esercizio Calcoliamo lo scarto semplice medio della seguete sequeza: 4; 5; 9; 8; ; 3. Calcoliamo la media aritmetica M =. Calcoliamo lo scarto semplice medio S =.. Se i dati soo raggruppati, occorre calcolare la media aritmetica poderata: S x P x P.... x... P
Esercizio Calcoliamo lo scarto semplice medio relativo alla seguete distribuzioe di dati della tabella: Valori 7 8 3 9 6 Frequeze 3 4 3 Calcoliamo la media aritmetica poderata: P =. S =.. Lo scarto quadratico medio ( deviazioe stadard) Si usa lo scarto quadratico medio perché è u idice più sesibile ache per piccole variazioi ella distribuzioe dei dati. De: Si dice scarto quadratico medio ( sigma) di ua distribuzioe la radice quadrata della media dei quadrati degli scarti x M x M... x M... Esercizio Calcoliamo lo scarto quadratico medio del seguete isieme di valori : 5; 8; 7; 4. Determiiamo la media aritmetica M =. Quidi =.. Nel caso di distribuzioe di requeze, ossia di dati raggruppati, occorre calcolare la media aritmetica poderata:
x P x P... x P... Esercizio Calcoliamo lo scarto quadratico medio relativo alle seguete distribuzioe di valori della seguete tabella: Valori 0 3 4 Frequeza 30 50 6 Calcoliamo la media aritmetica poderata P =. Quidi = Osserviamo, iie, che per il calcolo dello scarto quadratico medio co dati raggruppati i classi, vale la ormula utilizzata per dati raggruppati i cui i dati della distribuzioe ( x i ) vegoo rappresetati co i valori cetrali delle classi. Esercizio Calcoliamo lo scarto quadratico medio relativo alla seguete distribuzioe co dati raggruppati i classi: Classi di valori Frequeze Valori cetrali della classe 00-0 4 (0+00): 0-40 5 40-60 3 60-80 8 80-300 30 300-30 6 30-340 8 340-360 6 Calcoliamo la media poderata P= Quidi =