Gavitazione Univesale /0 GRAVITAZIONE UNIVERSALE. La filosofia antica. La concezione filosofica dominante pima del 600 ea che i moti dei copi celesti fosseo pefetti, incouttibili ed eteni mente quelli teesti, detti anche sublunai, fosseo impefetti e vaiabili. Fu Platone (47-347 a.c.) pima ed Aistotele (384-3 a.c.) poi a suggeie questa netta divisione fa cielo e tea, assegnando ai moti delle stelle un obita cicolae unifome di cui la tea ne costituiva il cento fisso e ai moti teesti una caatteistica ettilinea con un inizio ed una fine. Questa concezione geocentica o tolemaica (Tolomeo 00-70 d.c.) dell univeso, fu assunta come popia anche dalla Chiesa cattolica che vedeva in ciò un pivilegio concesso all uomo culmine e coonamento della ceazione divina del mondo. Il cielo, sede della divinità non poteva che essee pefetto eteno e incouttibile; la Tea, casa dell uomo caduco e peccatoe, non poteva che essee il luogo dell impefezione e della pecaietà.. Galileo Galilei. Nel 60 Galilei ovescia completamente il discoso filosofico di Aistotele sostenendo semplicemente che un affemazione cica le leggi della Natua, pe essee accettata deve essee povata dalla sensata espeienza. Non basta cioè il linguaggio ed un agionamento pe quanto logico e affinato a descivee in modo esauiente le leggi fisiche, ma occoe passae le affemazioni fatte al vaglio della veifica speimentale utilizzando la mateia volgae, se occoe, fatta pe esempio di piete levigate, code, piani inclinati, oologi, meti, goniometi ecc. I discosi nosti hanno a essee intono al mondo sensibile e non sopa un mondo di cata. In questo modo Galilei inventa una nuova metodologia di indagine della ealtà che noi oggi chiamiamo scienza (di pimo livello). E dunque scienza galileiana tutto ciò che, scitto in linguaggio matematico, può essee veificato speimentalmente da chiunque. Si badi bene che questo atteggiamento di Galilei iguado la conoscenza del mondo fisico deiva dalla sua pofonda fede nel ceatoe del mondo e da una eale umiltà intellettuale. Galilei diceva infatti che non dobbiamo avee la petesa di capie come Dio ha fatto il mondo semplicemente agionando su di esso, peché Dio è infinitamente più intelligente di noi e potebbe ave peso stade che noi neanche ce le iaginiamo pe ceae e govenae l Univeso. Fa le infinite logiche possibili, Dio ne aveva scelta una sola e stava a noi capie quale, ponendo le domande giuste alla Sua ceazione. Secondo la sua mentalità quindi, l unica via coetta da seguie ea quella di poe domande pecise al Ceatoe attaveso l esecuzione di espeimenti che
Gavitazione Univesale 3/0 mettesseo in evidenza le leggi matematiche che govenano il mondo fisico. Ogni legge tovata, ea quindi pe lui una isposta del Ceatoe all umile ceatua che si mette alla iceca della veità accettando di essee nel buio e nell ignoanza più completa. Pe Galilei infine ea ovvio che fosse il linguaggio della matematica a descivee le leggi fondamentali della Natua peché se Dio, Logica Assoluta, ha ceato il mondo, non può non avelo fatto usando il linguaggio più logico che è la matematica. Questo gandissimo libo che continuamente ci sta apeto innanzi agli occhi (io dico l Univeso), non si può intendee se pima se pima non si impaa a intende la lingua, e conosce i caattei nei quali è scitto. Egli è scitto in lingua matematica, e i caattei son tiangoli, cechi, ed alte figue geometiche, senza i quali mezzi è impossibile a intendene umanamente paola; senza questi è un aggiasi vanamente pe un oscuo labeinto. Il Saggiatoe.. Le te leggi (empiiche) di Kepleo. Giovanni Kepleo (57-630) collaboò dal 600 fino alla sua mote con Tycho Bahe (546-60) alle ossevazioni delle posizioni dei pianeti nel cielo, in paticolae di Mate. Anche se non potevano utilizzae il telescopio che fu inventato da Galileo solo nel 600, essi utilizzaono un elaboato sistema di puntamento pe tacciae la posizione pecisa di Mate nella volta stellata. Kepleo fece buon uso del lavoo di tutta una vita di Bahe e, ielaboando i suoi dati così diligentemente accolti, giunse a fomulae le te leggi del moto obitale che oggi conosciamo come leggi di Kepleo.. Le obite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.. Il aggio vettoe che congiunge il Sole con il pianeta, cope aee uguali in tempi uguali (la velocità aeolae è costante): A cos t. (.) t 3. Il appoto fa il quadato del peiodo di ivoluzione (T) ed il cubo del semiasse maggioe dell obita ellittica (a) è costante pe tutti i pianeti: T cos t. 3 a (.) Coenti.. E chiaa la visione eliocentica o copenicana (Nicolo Copenico 473-543) del sistema solae, in netto contasto con quella geocentica alloa dominante. E la tea che si muove attono al Sole fisso nel fuoco dell ellisse e non vicevesa. Fa l alto l obita non è neanche pefetta come un cechio ma schiacciata come una ellisse. Anche Galileo cedeva nel sistema eliocentico e diceva che sostenee che fosse l inteo univeso a giae attono a noi e non vicevesa ea come
Gavitazione Univesale 4/0 pensae che pe ossevae un inteo paese, un ipotetico tuista in cima ad una toe petendesse di stae femo e che qualcuno gli uotasse il paese intono. Egli peò non accettava l idea che le obite non fosseo cicolai pe la sua visione divina ed amonica del mondo deivante dalla suo fede e moì con tale convinzione. C è da die che la visione eliocentica del sistema solae non è nata con Copenico e Kepleo, ma ea già stata ipotizzata e avanzata su agionevoli basi ossevative dall astonomo geco Aistaco di Samo (30-30 a.c.) ma poi dimenticata nel coso dei secoli anche a causa del disastoso incendio della biblioteca di Alessandia d Egitto.. Il significato pofondo di questa legge isiede nella consevazione del momento angolae. Fissato un sistema di ifeimento oxyz, definiamo momento angolae di un copo di massa la quantità: J p dove è il vettoe posizione del copo e p v la sua quantità di moto. E facile dimostae che pe un copo soggetto alla foza di gavità (che è una foza centale) il momento angolae si conseva. Infatti la vaiazione del momento angolae è: d J d d p p F 0 (.3) dt dt dt Il pimo addendo è nullo peché la velocità è paallela alla quantità di moto; il secondo è nullo peché la foza è centale ed è peciò sempe dietta veso il cento di gavità. Quindi, se la vaiazione del momento angolae è nulla esso è costante. Oa, l aea infinitesima spazzata dal aggio vettoe è: A e la sua vaiazione nel tempo è: A J (.4) t t A Alloa da ciò discende che essendo il momento angolae J si t ottiene che la velocità aeolae sia costante. Il motivo fisico ancoa più pofondo pe cui si conseva il momento angolae è stato scopeto solo di ecente da E. Noethe (88-935) nel 97. Esso isiede nell invaianza pe otazione dell enegia totale di un copo ieso in un campo gavitazionale. Ciò a sua volta significa che lo spazio fisico è isotopo, ossia ogni diezione è del tutto identica ad una qualunque alta. Tale tipo di analisi, sebbene estemamente inteessante, ci poteebbe peò toppo lontano pe gli scopi che ci siamo pefissi in queste pagine.
Gavitazione Univesale 5/0 3. La teza legge di Kepleo contiene un gande tesoo che Newton seppe scopie e valoizzae. Esso consiste nella legge di Gavitazione Univesale che in foma scalae si scive: F G (.5) R Vediamo come. Un pianeta (pe es. la Tea) di massa tascuabile ispetto al Sole che si muove attono alla sua stella di moto cicolae unifome è soggetto alla foza centipeta: F mt R (.6) che scitta tenendo conto che diventa: T 4 F mt R (.7) T Oa sfuttando la teza legge di Kepleo otteniamo: 4 mt F (.8) K R dove abbiamo indicato con K la costante di popozionalità pesente nella teza legge di Kepleo e abbiamo sostituito il semiasse maggioe dell obita a con il aggio dell obita cicolae unifome R. La foza centipeta che tiene legato il pianeta al Sole non è alto che la foza di gavità, pe cui la (.8) appesenta la foza di gavità con cui il Sole attia il pianeta. Ma pe il 3 pincipio della dinamica di azione e eazione è anche la foza con cui il pianeta attia il Sole, ossia: 4 mt 4 ms FTS F ST (.9) K R K0 R dove K 0 è una costante che dipende solo dal pianeta e non da ciò che ci gia attono ed m S è la massa del Sole. Dalla (.9) deiva che KmS K0mT è una costante fondamentale della fisica che non dipende da nulla, né dal pianeta né dal Sole. Se quindi indichiamo con G la quantità: 4 4 G (.0) Km K m la (.9) diventa: S S T FTS G R 0 T (.) La (.) è la LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE in foma scalae tovata da Newton. Essa affema che due copi si attaggono con una foza che è diettamente popozionale al podotto delle loo masse gavitazionali (ossia caiche gavitazionali!) ed invesamente
Gavitazione Univesale 6/0 popozionale al quadato della loo distanza. La costante G detta di gavitazione univesale vale: 3 m G 6.67 0 (.) s Kg misuata da Cavendish con un ingegnoso espeimento.. La misua di G: Cavendish pesa la Tea (ed il Sole). Gazie ad una bilancia a tosione (Fig. ) Cavendish (798) iuscì a misuae la costante G. Egli pese un filo metallico attaccato ad un estemo al soffitto e all alto estemo legato al cento di un asta igida. Agli estemi dell asta pose due sfee identiche di massa nota e, molto vicino ad esse alte due sfee identiche molto pesanti. In base alla tosione del filo dovuto all attazione della foza gavitazionale agente sulle masse in gioco, Cavendish iuscì a misuae l intensità della foza gavitazionale in maniea indipendente e, conoscendo il valoe esatto di tutte le masse e delle loo distanze icavò G. La otazione della bilancia ea ovviamente piccolissima e quindi Cavendish amplificò l effetto aiutandosi con uno specchietto collegato al filo veticale sul quale faceva incidee un aggio di luce che veniva poi iflesso su una paete lontana gaduata. In questo modo, piccole tosioni della bilancia poducevano effetti facilmente visibili sullo schemo. Con questo espeimento si dice che Cavendish pesò la Tea. Infatti la foza con cui la Tea attia un oggetto è il suo peso: F=mg. Ma la stessa foza è anche espimibile usando la legge di gavitazione univesale (.5) pe cui si ha: 6 m MT Rg (6.4 0 ) 0 4 mg G M 6 0 T Kg (.3) R G 6.67 0 e quindi si iesce a deteminae la massa della Tea conoscendone il aggio.
Gavitazione Univesale 7/0 3 Il poblema dei due copi. 3. Intoduzione. Il poblema più impotante di tutta la meccanica classica è il cosiddetto poblema dei due copi. Esso iguada la deteminazione dell equazione del moto di due copi attatti da una foza centale che vaia come l inveso del quadato della distanza fa i due copi stessi, così com è la foza gavitazionale o elettostatica. 3. Impostazione del poblema. Si consideino due copi puntifomi di massa m e m posti ispettivamente alla distanza e dall oigine di un sistema di ifeimento ineziale oxyz. Sciviamo le equazioni della dinamica pe i due copi: m F G ˆ (.4) m ˆ F G dove F è la foza agente sul copo dovuto al copo ; ˆ è il vesoe che congiunge il copo con il copo, ossia: ˆ. Dalla (.4) è evidente che soando la pima equazione con la seconda si ottiene la consevazione della quantità di moto totale poiché il sistema è isolato. Moltiplicando la equazione pe m e la seconda pe m e sottaendo la seconda dalla pima si ottiene dopo facili calcoli: G ˆ (.5) è la cosiddetta massa idotta dei due copi e isulta essee più m m piccola della più piccola delle due masse coinvolte. è il aggio vettoe del copo ispetto al copo e appesenta quindi la sua posizione elativa. La (.5) è molto impotante peché coinvolge un solo vettoe posizione e appesenta l equazione del moto di una sola paticella di massa idotta soggetta alla foza G ˆ.
Gavitazione Univesale 8/0 3.3 Soluzione del poblema. Pe la soluzione del poblema consideiamo dappima che c è una quantità consevata (o integale pimo del moto) molto impotante. Esso è il momento angolae del sistema ossia: J v zˆ (.6) Questo peché la foza è di tipo centale (ad un livello più pofondo si può dimostae che J è consevato peché l enegia totale del sistema, ossia l Hamiltoniana, è invaiante pe otazione). Ciò implica che il moto dei due copi avviene in un piano fomato dal vettoe posizione e velocità iniziali. In questo piano scegliamo come sistema di coodinate quelle polai e. Possiamo quindi limitaci a consideae l equazione pe il solo scalae che dipendeà dall angolo. Ricodiamoci anche che se desciviamo un fenomeno da un sistema otante (non ineziale) di assi coodinati, si oigina una foza centifuga fittizia. In questo sistema otante l equazione del moto è: G (.7) In questa equazione sia che vaiano con ed ovviamente nel tempo. La (.6) pemette di icavaci in funzione di J ed : J 4 (.8) pe cui la (.7) diventa: J G (.9) 3 dove oa solo vaia col tempo poiché J è costante. La soluzione della (.9) è di impotanza fondamentale nella stoia della meccanica celeste: essa govena il movimento dei pianeti, delle stelle doppie e dei satelliti. A questo punto è oppotuno iscivee la (.7) tenendo pesente che è una funzione di, =( ) e che quindi la deivata pima ispetto al tempo diventa: d d d d J d (.0) dt d dt d d Un pocedimento simile si utilizza pe la deivata seconda. Intoducendo poi la funzione w( ) ( ) otteniamo pe la (.7): Gm m d J (.) dw w Il membo di desta è una costante peciò l equazione diffeenziale aette una soluzione molto semplice. Infatti il pimo membo non è alto che
Gavitazione Univesale 9/0 l equazione diffeenziale di un oscillatoe amonico pe l inveso della distanza! La soluzione è dunque: G ww0 cos (.) J Ricodandoci che w otteniamo l equazione di una CONICA in coodinate polai: cos (.3) s dove abbiamo posto: G A ; W 0 (.4) s J s è l eccenticità della conica secondo lo schema: =0 0< < = > Cechio Ellisse Paabola Ipebole Tabella s il fattoe di scala della taiettoia fisica e A una costante molto impotante che ha le dimensioni di un inveso di lunghezza. L inveso dell equazione (.3) è ipotata nella Fig. in cui si è scelto s e si sono plottate 6 cuve con eccenticità compese fa 0 e.5, passando da un cechio ad una ipebole attaveso una paabola con eccenticità =. Pe il sistema Sole-Tea si avebbe s.5 0 m che appesenta la distanza media Sole-Tea ossia cica 50 milioni di Km. Il cento di massa del sistema Sole-Tea (paticamente il cento del Sole) è nell oigine del sistema di ifeimento catesiano che appesenta quindi il cento di foza. Un coento molto impotante: la soluzione dell equazione del moto (.3) pe 0< < appesenta obite chiuse! Ossia obite in cui peieli consecutivi sono distanziati dall angolo costante ( e 3 ). Nella teoia di Newton non c è assolutamente spazio pe il ben noto effetto che va sotto il nome di Pecessione degli Equinozi pevisto teoicamente dalla teoia geneale della elatività e misuato speimentalmente pe l obita di Mecuio. Avemo modo più avanti di appofondie l agomento. Pima di vedee qualche esempio di taiettoia, icodiamoci che il campo di gavità è un campo consevativo pe l enegia meccanica totale (ad un livello più pofondo ciò è veo peché l enegia totale del sistema non dipende dal tempo), ossia si conseva la quantità: J Gm m J Gm m E T U U min min max max (.5)
Gavitazione Univesale 0/0 dove abbiamo sfuttato il fatto che la componente adiale (ossia lungo ) del vettoe velocità è 0 al peielio o all afelio. Dall equazione del moto (.3), si ha pe = (al peielio) e =0 (all afelio): ; s s (.6) min Sostituendo queste espessioni nella (.5) otteniamo l espessione dell enegia totale del sistema in funzione dell eccenticità e vicevesa: max EJ ; J G m m G m m E (.7) A questo punto è utile iassumee la elazione esistente fa l enegia totale dei due copi, l eccenticità dell obita e la sua foma geometica espessa dall equazione (.7) nella tabella sottostante: Foma dell obita Eccenticità Enegia totale E STATO Cechio =0 G m m E, minima! J Legato Ellisse 0< < G m m E < 0 J Legato Paabola = E=0 Asintoticamente libeo Ipebole > G m m E > 0 J Non legato Tabella. Pe la Tea si ha: J.7 0 Kg m s 40 G m m Gm 33 E.7 0 J J R dove si è appossimata l obita della Tea con una ciconfeenza e questo è veo a meno di 3 pati su 0000 pe quanto iguada l enegia totale. (.8) Un alta impotante elazione si può dedue dalla (.6): s s s max min a + A a (.9)
Gavitazione Univesale /0 Fig. Gafico delle taiettoie di un sistema binaio tipo Sole Tea con fattoe s e con eccenticità e vaiabile da 0 (cechio) a (paabola) e.5 (ipebole). L oigine degli assi (posizione del cento di foza) è il cento dell obita cicolae, oppue un fuoco pe le ellissi; oppue il fuoco pe la taiettoia paabolica. 3.4 L enegia potenziale. Inteessante è anche un coento alla equazione (.9) che ci fonisce la foza nella diezione adiale in funzione della distanza. Come ben sappiamo, data la funzione enegia potenziale U(), la foza da essa podotta è: U () F (.30) dunque l enegia potenziale totale (o efficace) che genea il moto di un sistema a copi soggetto ad una foza centale tipo quella gavitazionale è: J Ueff.( ) G U gav. ( ) U ep. ( ) (.3) Come si vede, essa è composto da temini: il pimo è quello popiamente dovuto all inteazione gavitazionale, mente il secondo è un temine epulsivo poiché dà oigine ad una foza positiva. Questo secondo contibuto all enegia potenziale deiva dalla otazione del copo e più pecisamente dalla consevazione del momento angolae J: più il copo tende ad avvicinasi al copo (e vicevesa) e più il temine epulsivo domina su quello attattivo: il isultato è che, da una ceta distanza in poi, i due copi si espingono, ossia si allontanano. Ovviamente questo è stettamente veo pe
Gavitazione Univesale /0 copi puntifomi. Pe copi sfeici estesi come lo sono due copi celesti, ciò non succede se il paameto dell uto è infeioe alla soa dei aggi dei due oggetti. In questo caso ci saà l uto. A gandi distanze invece, domina il temine attattivo gavitazionale ed i due copi tendono ad avvicinasi. L enegia potenziale gavitazionale, quella epulsiva e quella efficace, sono ipotate nella Fig. 3 sottostante. Fig. 3 L enegia potenziale gavitazionale In viola), quella epulsiva (in blu) e quella efficace (in osso, soa delle ), pe un sistema a due copi legati dalla foza di gavità. Le unità di misua sono abitaie. 3.5 Effetto Fionda Se uno dei due copi è molto più leggeo dell alto (tipo una sonda spaziale ed un pianeta) accade che venga scaaventato violentemente nello spazio pofondo deteminando una sota di effetto fionda. Questo è il pincipio usato nei viaggi spaziali pe acceleae le sonde senza accendee i motoi e specae cabuante pezioso. Pe la sonda Galileo pe esempio, destinata a aggiungee Giove, pima la si è lanciata veso Venee, dalla pate opposta! pe sfuttae il suo violento effetto fionda e diigela con gande velocità veso il pianeta desideato. Spesso questo pocedimento viene ipetuto pe amplificae gli effetti. E questo uno dei più gandi successi della meccanica celeste che si basa sulla legge di gavitazione univesale di Newton scopeta
Gavitazione Univesale 3/0 e studiata 300 anni fa! Si iesce con estema pecisione a pevedee la posizione e la velocità dei copi celesti anche a distanza di decine di anni e a miliadi di chilometi! 3.6 Enegia totale e tipo di obite. Abbiamo già visto nei paagafi pecedenti e nella tabella che c è una coispondenza ben pecisa fa il tipo di obita pecosa dal copo di massa e l enegia totale del sistema. Ciò può essee messo ben in evidenza nel gafico di fig. nel modo seguente. L enegia totale E (vedi eq. (.5)) è data da un temine dovuto al potenziale efficace ipotato nella (.3) e da un temine adiale cinetico T=. Quindi l enegia totale E deve essee sempe maggioe o al massimo uguale all enegia potenziale efficace. Il caso di uguaglianza coisponde al caso limite in cui T=0 e quindi 0. Ma se 0 alloa si ha che lungo la taiettoia il copo mantiene costante la sua distanza dal cento di foza, ossia il moto avviene su una ciconfeenza! Se invece 0 T 0 e l enegia totale E U eff. può essee negativa, 0 o positiva. Pe ciascuno di questi 3 casi si ha ispettivamente un moto ellittico compeso fa un peielio ( min. ) ed un afelio ( max. ); un moto paabolico che si invete all infinito ed un moto ipebolico apeto, senza itono. Pe una miglioe compensione di quanto detto facciamo ifeimento alla Fig. 4 sottostante. Fig. 4 Il valoe di enegia in osso coisponde al caso di obite cicolai e l coispondente al punto di tangenza è il valoe del aggio dell obita. L enegia blu dà oigine ad obite ellittiche chiuse compese fa un _min (peielio) ed un _max (afelio). L enegia viola E=0 è quella di un moto paabolico mente quella vede caatteizza un obita ipebolica apeta, non peiodica con un solo punto di minima distanza.
Gavitazione Univesale 4/0 4 Coenti. Nel paagafo. abbiamo enunciato le 3 leggi di Kepleo. Dopo ave isolto l equazione del moto dei due copi legati dalla foza di gavità, tutto è diventato più chiao. ) La foma dell obita ellittica scatuisce spontaneamente dalla soluzione matematica del poblema e dipende stettamente dall enegia totale del pianeta; ) La costanza della velocità aeolae deiva dalla consevazione di J ; 4. Deivazione della teza legge di Kepleo. La teza legge di Kepleo peò non è stata ancoa deivata dalla teoia di Newton. E quello che cecheemo di dimostae oa. Innanzitutto consideiamo il caso più semplice di un obita cicolae. Pe essa si ha, pe definizione, che la distanza fa la paticella di massa ed il cento di foza è costante, pe cui dalla (.9) si ha: J 0 G (.3) 3 ossia: T 4 (.33) 3 G( m m ) dove abbiamo sfuttato le omai ben note espessioni di J ed. Come si T vede da quest ultima elazione, il appoto non è esattamente costante 3 pe tutti i pianeti, ma dipende dalla massa del pianeta, anche se pu molto debolmente peché essa viene soata alla massa del sole che è almeno da 000 ad milione di volte maggioe di qualunque pianeta del sistema solae pe cui la massa del pianeta può essee del tutto tascuata. E pe questo che Kepleo non se ne accose (fotunatamente). Risciviamo comunque l equazione (.33) mettendo in evidenza il appoto fa le masse degli oggetti coinvolti ( m è la massa del Sole, m quella del pianeta): T 4 m m 9 m m s O 3 0 O 3 (.34) 3 Gm m m m m m Pe le obite ellittiche la deivazione è più complicata. Si pate dall equazione (.4). Integando entambi i membi si ottiene: J A ab A T T (.35) J J dove A è l aea dell ellisse ossia A ab. Pe una ellisse, l asse maggioe a a e quindi dalla (.6) si ottiene: è: min max
Gavitazione Univesale 5/0 se J a e e (.36) G Sostituendo questa espessione nella (.35) ed elevando entambi membi al quadato, dopo facili calcoli si ottiene: 3 4 a T (.37) G( m m) che è fomalmente identica alla (.33) con a=. Nella tabella 3 sottostante sono ipotati i dati elativi ai semiassi maggioi, peiodo di ivoluzione, l eccenticità, l inclinazione del piano di ivoluzione, e la massa dei pianeti del sistema solae. Tabella 3. Dati astonomici elativi ai pianeti del sistema Solae. Nella Fig. 4 è ipotato un gafico che mosta i quadati dei tempi di ivoluzione dei pianeti del sistema solae veso il cubo dei semiassi maggioi; i dati di tale gafico sono iassunti nella tabella 4. E del tutto evidente la legge di Kepleo (.37).
T^ (0^4 s^) Gavitazione Univesale 6/0 Teza legge di Kepleo 000000 00000 0000 000 00 0 0,0 0, 0 00 000 0000 00000 0, a^3 (Ua^3 ) Mecuio Venee Tea Mate Giove Satuno Uano Nettuno Plutone Fig. 4 Il gafico della teza legge di Kepleo pe tutti i pianeti del sistema T solae in scala doppiamente logaitmica. E evidente che il appoto è 3 a costante pe tutti i pianeti poiché tutti i punti sono allineati su una etta. Pianeta a (UA) T (0^4 s) a^3 (UA^3) T^ (s^) T^/ a^3 Mecuio 0,387 0,76 0,0580 0,5776 9.97 Venee 0,73,94 0,378 3,7636 9.96 Tea 3,6 9,9856 9.99 Mate,53 5,94 3,533 35,836 9.99 Giove 5,0 37,4 40,8 398,76 9.94 Satuno 9,554 93 87, 8649 9.9 Uano 9,8 66 7097,8 70756 9.97 Nettuno 30,09 50 795 70400 9.9 Plutone 39,6 78 600 654 9.85 Tabella 4
Gavitazione Univesale 7/0 5. Relatività geneale. La meccanica celeste newtoniana è stato ed è tuttoa un gandissimo successo dell ingegno umano. E gazie ad essa che iusciamo a pogettae e potae a temine con estema pecisione missioni spaziali delicatissime e difficilissime come lo sbaco dell uomo sulla Luna o come quella di inviae una sonda sulla supeficie ghiacciata di una cometa che si muove a 50 km/s! Ma la teoia della gavitazione univesale di Newton non è completamente esatta. Einstein, dopo ave fomulato nel 905 la teoia della elatività cosiddetta Ristetta, pensava con una ceta ossessione alla stana coincidenza che la massa gavitazionale ea numeicamente equivalente a quella ineziale di un copo, pu appesentando due ealtà completamente diffeenti. Non cedendo al caso, si ese poi conto che come pe la elatività istetta il pincipio fisico di base ea la costanza della velocità della luce misuata da un qualunque sistema di ifeimento ineziale e l invaianza delle leggi della fisica pe questa classe di ifeimenti, così l equivalenza della massa ineziale e quella gavitazionale assieme alla ichiesta che le leggi della fisica fosseo invaianti ispetto ad un qualunque sistema di ifeimento anche acceleato, dovevano essee assunti come pincipi di una nuova teoia della elatività che si definì poi Geneale. 5. Soluzioni dell equazione di Einstein nel vuoto. E in questo contesto matematicamente molto complicato che Einstein tova la sua famosa equazione del campo gavitazionale: R Rg 8 T (.38) dove R è il tensoe di Ricci, R lo scalae di cuvatua di Riemann, g è il tensoe metico e T è il tensoe enegia-impulso. Se isolviamo questa equazione nel vuoto (T =0) otteniamo l equazione R =0 (Ricci nullo) essa ci fonisce la soluzione di Scwazschild: m m ds dt d d sin d GM m c (.39) dove m è il aggio di Scwazschild o di Buco Neo. Anche se a pima vista =m può sembae una singolaità, essa è peò solo una singolaità fittizia, ossia dovuta alla paticolae scelta di coodinate utilizzate pe descivee la vaietà. Notiamo che la metica espessa dalla (.39) è asintoticamente
Gavitazione Univesale 8/0 minkowskiana, ossia piatta! E così deve essee peché questo ci ipota al limite di Newton secondo il quale lo spazio tempo è piatto, euclideo. Cambiando sistema di coodinate e passando all estensione di Kuskall (metica in coodinate doppiamente nulle) si ottiene: 3 3m ds dt dx d (.40) che appesenta una metica confomemente piatta pe una funzione di. In essa =m non è più una singolaità ma =0 si! =0 è una singolaità FISICA non emovibile con un semplice cambio di coodinate! Con questa metica si tovano due soluzioni sietiche: una iguadante il nosto univeso (>m) e la egione cosiddetta di buco neo (0<<m) che ha nel suo futuo una singolaità fisica in =0; l alta soluzione descive un ipotetico univeso specchio (o paallelo) del tutto simile al nosto (sempe con >m) caatteizzato da una egione di Buco Bianco e da una singolaità fisica in =0 nel suo PASSATO! I due univesi paalleli sono collegati da ciò che viene chiamato Ponte di Einstein Penose. Vale la pena icodae che l equazione di Einstein (.38) venne modificata da Einstein stesso intoducendo una costante cosmologica (una sota di foza epulsiva) pe endee l univeso stazionaio. L intoduzione di questa costante fu in seguito alla scopeta di Hubble nel 99 sulla ecesione delle galassie definita da Einstein il più gande eoe della mia vita (beato lui!). La nuova equazione di Einstein nel vuoto diventò quindi: R Rg g 0 (.4) che fonisce l equazione (si contae pe g ): >0 Univeso di De Sitte ( R 4 ) R = g 0 Univeso di Anti-De Sitte detti anche UNIVERSI a CURVATURA COSTANTE la cui soluzione è: ds dt d d sin d >0 3 3 ds dt d d sin d 0 3 3 Queste metiche sono egolai pe =0! (.4) Fa le soluzioni di questa equazione, c è anche la metica che descive l UNIVERSO INFLAZIONARIO: (.43)
Gavitazione Univesale 9/0 T ds dt e ( dx dy dz ) (.44) Le supefici a T cos t. sono delle 3-sfee con aggio che aumenta esponenzialmente nel tempo! Si è calcolato che all inizio dell Univeso in un 30 tempo bevissimo di cica t 0 s l Univeso abbia aumentato il suo 8 aggio di un fattoe 0! Un espansione davveo podigiosa che equivale a espandee un atomo di idogeno in una bolla di 00 anni luce! Questa soluzione poposta da A. Guth nel 980, è oggi accettata dalla maggio pate dei cosmologi pe divesi motivi: ) essa è in accodo con le teoie di gande unificazione delle inteazioni fondamentali (GUT) poposte dai fisici delle paticelle elementai, ) essa è una valida spiegazione del fatto che l Univeso attuale sia sostanzialmente piatto (il cosiddetto Flatness poblem ); 3) esso dà una spiegazione del peché la adiazione cosmica di fondo a.7 K sia così isotopa a meno di /00000 ( Hoizon poblem ); 5. Coezioni alla soluzione di Newton: la pecessione del peielio. Nell intoduzione al capitolo 5 abbiamo detto che la meccanica celeste di Newton è solo una (ottima) appossimazione della elatività geneale valida paticamente dovunque nello spazio odinaio, a patto che non si abbia a che fae con masse toppo gandi e concentate, tipo stelle a neutoni o buchi nei. A diffeenza della soluzione di Newton ipotata nella (.), quella di Einstein è: dw G 3Gm w w d J c (.45) 3Gm il temine w è in genee tascuabile a gande distanza dalle sogenti c di campo gavitazionale sia a causa della sua dipendenza come dalla Gm distanza, sia peché il aggio di Schwazschild associato alla sogente c è in genee piccolissimo (pe la Tea è solo cica cm!! mente pe il Sole è di cica 3 Km). Quindi in pima appossimazione possiamo scegliee come soluzione quella di Newton e sostituie tale espessione nella (.45) al posto del temine coettivo talasciando tutti i temini in poiché. Dopo alcuni semplici calcoli si ottiene pe la (.45) l equazione: dw G G m m Gm 3 w 4 cos d J J c (.46) la cui soluzione è:
Gavitazione Univesale 0/0 RS A cos 3A G Gm con A= ed R 964 m Raggio di Schwazschild S J c Questa soluzione pesenta una gossa novità ispetto a quella tovata da Newton: LE ORBITE NON SONO CHIUSE! Infatti se il pimo peielio si ha pe: p 3A R, il peielio successivo si ottiene non dopo, ma pe: S 3 p 3A R ossia con una diffeenza angolae ispetto a di: S RS RS ( p p) 3A 6 A R S 3A (.48) La quantità espessa dalla (.48) è la famosa pecessione degli equinozi. G Dato che la quantità A è: A= ) A essa diventa J e a impotante solo pe i pianeti vicini al Sole ed in paticolae pe Mecuio, che ha il minimo semiasse obitale. Pe esempio, il appoto delle distanze dal Sole fa Giove e Mecuio è di cica 3 pe cui l effetto è molto piccolo pe i pianeti esteni ispetto a quelli inteni. Vediamo quanto vale nel caso di Mecuio. 6 A 43'' al secolo R S A=.80 0 m - (.49) cioè solo 43 d aco al secolo (in un secolo Mecuio compie 45 obite attono al Sole peché il suo peiodo obitale è di soli 88 gioni). Pu essendo una piccolissima quantità, è stato misuato ed il isultato tovato di 43 d aco è in pefetto accodo con il dato teoico ipotato nella (.49). Questo decetò il successo finale della teoia della Relatività Geneale. Il moto del pianeta descitto dalla (.47) è chiamato a ROSETTA peché le obite non sono chiuse, ma fomano delle ellissi lentamente otanti nello stesso senso di otazione del pianeta (è pe questo che si chiama PRECESSIONE) che disegnano una bella figua che icoda i petali di una osa! (.47)