UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE TESI DI LAUREA IN STATISTICA ECONOMIA E FINANZA STIMA DELLA VOLATILITA NEI MERCATI FINANZIARI CON DATI INFRA-GIORNALIERI: ALCUNI CONFRONTI RELATORE: CH.MO PROF. SILVANO BORDIGNON LAUREANDA: ALESSIA BORGATO ANNO ACCADEMICO 005 006

Ai miei geniori

Indice Premessa Capiolo : I dai ad ala frequenza nei mercai finanziari. Inroduzione. Variabili d ineresse per lo sudio di serie soriche finanziarie.. Tempo.. Prezzo..3 Rendimeni..4 Volailià..5 Spread.3 Le caraerisiche saisiche dei dai finanziari ad ala frequenza.3. La disribuzione del processo dei rendimeni.3. La memoria del processo Capiolo : Gli simaori della volailià. Inroduzione. Simaori giornalieri.. Lo simaore Simple.. Gli simaori Exreme Value.3 Modello di sudio proposo.3. Lo simaore VARHAC.3.. Cosruzione dello simaore Capiolo 3: La serie di dai 3. Inroduzione I

3. I mercai finanziari 3.. Il mercao azionario 3.3 L indice S&P 500 3.3. Analisi preliminare dei dai Capiolo 4: Applicazione degli simaori all indice S&P 500 4. Analisi dei dai 4. Bonà degli simaori 4.. Crierio : Confrono con le sime della volailià semplice 4.. Crierio : Normalià dei rendimeni sandardizzai 4..3 Crierio 3: Varianza dei rendimeni sandardizzai Capiolo 5: Conclusioni 5. Confrono ra gli simaori considerai Appendice Bibliografia II

Premessa Il lavoro presenao in quesa esi si propone di analizzare un conceo fondamenale per lo sudio delle serie soriche finanziarie: la volailià giornaliera realizzaa che conraddisingue i dai ad ala frequenza. La disponibilià di serie emporali ad elevaa numerosià campionaria ha indoo i ricercaori, di vari seori, a sviluppare nuove ecniche di analisi cercando di sfruare la massima quanià di informazione possibile nel modo più efficiene. La possibilià di sfruare quesa enorme mole di informazioni cosiuisce un indubbio vanaggio, uavia, l impiego di ali dai pone dei problemi. Olre a quello di gesire e organizzare numerose osservazioni (si può arrivare ad alcune migliaia di regisrazioni nell arco di una sola giornaa borsisica) si pone quello del raameno di osservazioni a frequenza irregolare, che si riflee sulle variabili uilizzae per le analisi delle serie: rendimeni, volailià, ecc.. Concenriamo l aenzione sulla sima della volailià e sulle assunzioni del processo generaore dei dai, confronando alcuni simaori della volailià giornaliera frequenemene uilizzai con uno simaore, denominao VARHAC (Bollen and Inder, 00), che usa un insieme meno resriivo di assunzioni, enendo cono di alcune caraerisiche ipiche dei rendimeni infra-giornalieri, quali eeroschedasicià e auocorrelazione. La esi è organizzaa in cinque capioli. Il primo descrive le caraerisiche principali dei dai ad ala frequenza, considerando sia aspei economici che saisici. Il secondo si sofferma sul conceo di volailià riassumendo diversi simaori uilizzai in leeraura e presenando un nuovo approccio per la sima della volailià: lo simaore VARHAC. Il erzo presena la serie dei dai uilizzai per l applicazione delle ecniche di sima, l indice S&P 500. Nel quaro capiolo è comparao lo simaore VARHAC con gli simaori ciai usando l indice S&P 500 e dopo un analisi preliminare se ne

verifica la bonà araverso alcuni crieri. Infine, l ulimo capiolo riassume i confroni ra gli simaori e conclude.

Capiolo : I dai ad ala frequenza nei mercai finanziari. Inroduzione La risorsa dei dai ad ala frequenza sono i mercai finanziari. La forma originale dei prezzi di mercao sono i dai ick by ick. Ogni ick è un unià logica di informazione, come una quoa o un prezzo di una ransazione, e ogni giorno d aperura del mercao genera ceninaia e migliaia di icks. Per naura quesi dai sono spaziai irregolarmene nel empo. I dai ad ala frequenza sono uno degli oggei principali di ricerca per coloro che sono ineressai a capire gli andameni di un indice o di un azione nel mercao finanziario, in quano osservando i dai e avendo mole informazioni a disposizioni permee ai professionisi di deerminare le loro decisioni commerciali. La maggior pare degli sudi condoi nel passao ciai nella leeraura raano dai a bassa frequenza spaziai regolarmene nel empo. Le ragioni principali sono due. La prima, era abbasanza cososo in ermini di denaro e di empo, raccogliere, unire e immagazzinare dai ad ala frequenza perché i dai finanziari disponibili erano giornalieri o seimanali. La seconda, la maggior pare degli srumeni saisici era sviluppaa per serie emporali omogenee. Con lo sviluppo delle ecnologie informaiche, la disponibilià dei dai è divenao un problema minore perché si sono ridoi i cosi di rilevazione e memorizzazione dei dai e gli scambi eleronici ci permeono di negoziare in uo il mondo in empo reale permeendo di conrollare l evoluzione dei prezzi e l andameno di un mercao. Grazie lo sviluppo di ecniche informaiche sempre più sofisicae, e ad elevaa diffusione, si è permesso ad un gran numero di ueni di avere a disposizione dai finanziari ad ala frequenza, consenendo ai ricercaori di sviluppare nuovi meodi di analisi e modificare quelli esiseni. 3

Oggi esisono alcuni circuii elemaici (per esempio Tenfore e Reuers) che sono pagai dagli ueni per rilevare le quoazioni in empo reale. Quesi circuii non raccolgono i dai come serie soriche, quindi alcune socieà di ricerca acquisano i dai dai circuii elemaici e si incaricano di ordinarli e filrarli a seconda delle esigenze di analisi. Una di quese socieà di ricerca inernazionale è la Olsen Ld fondaa nel 985 dall economisa Richard Olsen. La Olsen Ld è una dei principali forniori di servizi e ecnologie e-finance, inclusi dai ad ala frequenza, modelli avanzai di previsioni, di amminisrazione dei rischi e di supporo alle decisioni di invesimeno. Inizialmene quesa socieà aveva lo scopo di raccogliere e riordinare gli insiemi di quoazioni ick by ick relaive ai mercai finanziari mondiali. Queso lavoro ha permesso di fornire nuove inuizioni sul meccanismo dei mercai finanziari e sviluppare una nuova eoria finanziaria sviluppando nuovi meodi di analisi e di previsione dei dai ad ala frequenza. I suoi prodoi e i suoi servizi sono uilizzai da più di 00 isiui finanziari in uo il mondo. Le ricerche della Olsen Ld sono basae su insiemi di dai ad ala frequenza raccoli, a parire dal 986, prima dai circuii elemaici Reuers, Knigh-Ridder e Telerae, poi da GTIS e Tenfore. Le più imporani innovazioni inrodoe dalla socieà sono le procedure di filraggio dei dai, la legge di scala per il mercao degli scambi, gli sudi sulle proprieà di lunga memoria della volailià, lo sviluppo di nuovi modelli della volailià e di sofware per l analisi di previsione e lo sviluppo di servizi on-line dei ick nei vari mercai finanziari. L analisi di serie finanziarie ad ala frequenza ha fao emergere la nozione di mercao eerogeneo: l asimmeria di informazione e il differene scopo di invesimeno dei parecipani, pora ques ulimi a comporarsi in maniera diversa secondo le varie noizie che giungono sul mercao causando complesse dinamiche. L uso di dai ad ala frequenza permee di sudiare l influenza delle noizie sui prezzi: ogni operaore inerprea a suo modo le noizie, porando variazioni di rilievo nell aivià del mercao, provocando diverse variazioni 4

dei prezzi, queso pora il mercao ad essere caraerizzao da periodi di ala volailià (in cui gli scambi sono frequeni) e periodi di bassa volailià (dove si regisrano pause fra gli scambi). La conoscenza di quese variazioni è molo imporane per gli invesiori che richiedono rendimeni più elevai come compensazione per deenere aivià più rischiose.. Variabili d ineresse per lo sudio di serie soriche finanziarie Per un adeguaa analisi dei dai ad ala frequenza è opporuno definire alcune variabili di ineresse... Tempo Una delle endenze più moderne della finanza consise nello sudio di osservazioni regisrae in empo reale sui mercai. A differenza degli sudi radizionali, nei quali si ende a considerare dai misurai ad inervalli equispaziai e a bassa frequenza, dee serie omogenee, nel caso dell ala frequenza si regisra ogni singola ransazione che avviene sul mercao. La modernizzazione degli srumeni informaici, che hanno permesso raccola, gesione e archiviazione di un enorme quanià di dai, e lo sviluppo di moderne eorie sulla microsruura del mercao sono coincise con innovazioni nel campo della finanza. L impiego di ale quanià di dai e la conseguene quanià di informazione a disposizione ha dimosrao che ralasciando i movimeni infra-giornalieri del prezzo si rascurano informazioni rilevani ai fini della sima e della previsione. Si evidenzia, difai, che il prezzo derivane da meccanismi di ransazioni è molo sensibile allo scorrere del empo facendo cadere l assunzione che non riiene significaiva la variazione di prezzo in piccoli inervalli di empo. 5

Una delle proprieà fondamenali dei dai ad ala frequenza è la loro spaziaura emporale: le osservazioni rilevae non sono necessariamene equispaziae nel empo, le conraazioni avvengono ad inervalli casuali ra loro perché sono collegae alla volailià del prezzo. Il empo è uno srumeno per capire l aivià finanziaria: lunghe durae di ransazione sono indicaive che il mercao sa aspeando segnali, informazioni, più rilevani; menre scambi coninui indicano l arrivo di noizie imporani... Prezzo Il prezzo al empo, x ( ) ( ) [ log p ( ) log p ( )]/ ask bid, è definio come: x = + (.) dove è la sequenza di passi emporali non ugualmene spaziai. Il prezzo è la più imporane variabile rilevaa in finanza e dipende sia dalla sruura del mercao che dai forniori dei dai. La deerminazione del prezzo avviene ramie gli ageni di cambio che concenrano, in un deerminao momeno, ui gli ordini di compravendia affluii dalla clienela: il prezzo bid ( p bid comprare il iolo, menre il prezzo ask ( disposi a venderlo. Il prezzo ( ) ) è il prezzo al quale si è disposi a p ask ) è il prezzo al quale si è x è basao sulla media geomerica ra il prezzo bid e il prezzo ask piuoso che sui singoli prezzi ask e bid: queso è il meodo migliore per approssimare il vero valore del prezzo. Un risulao rilevane negli sudi dei dai infra-giornalieri è l uso di una scala emporale correa. Conrariamene ai dai giornalieri e a bassa frequenza, i dai ick by ick sono spaziai irregolarmene nel empo isane di empo in cui avviene la ransazione, momeno nel quale si acquisisce l informazione. La maggior pare delle analisi saisiche uilizza serie equispaziae nel empo i, quindi per oenere il valore del prezzo al, 6

empo i si uilizza il meodo dell inerpolazione lineare ra il prezzo all isane precedene e quello immediaamene successivo, dove < < i. Il meodo dell inerpolazione lineare permee di cosruire una serie omogenea regolarmene spaziaa e, come ciao in Muller e al. (990), è il meodo più appropriao per un processo casuale che presena incremeni idenicamene e indipendenemene disribuii...3 Rendimeni Il rendimeno al empo i r, r ( ) ( ) = r( ; ) = [ x( ) x( ) ] i i i i i, è definio come: ; (.) dove x ( i ) è la sequenza di logarimi dei prezzi definii nell equazione. e è un inervallo di empo prefissao ( 5 minui, ora, giorno, ). Il rendimeno è soliamene considerao una variabile più adaa per le analisi del prezzo in quano è una misura di successo di un invesimeno e gli invesiori cercano di massimizzarlo nel periodo più breve e perché saisicamene la sua disribuzione presena un andameno sazionario e più simmerico di quello del prezzo...4 Volailià Nella deerminazione del prezzo di un azione, il grado di incerezza dell aivià finanziaria è un elemeno deerminane, ano che posso ricavare dalla velocià delle quoazioni le volailià implicie, corrispondeni ad una valuazione della volailià da pare dei mercai. La volailià è consideraa la principale misura del rischio e saisicamene è associaa ad una misura di variabilià: la varianza (o scaro quadraico medio) dei rendimeni su un periodo sorico. La volailià realizzaa v ( i ) al empo i, è definia come: 7

v n ( ) v( n, p ; ) = r ( ; ) i = p, i i n+ n = p (.3) dove i rendimeni equispaziai r sono definii dall equazione., e n è il numero delle osservazioni dei rendimeni. Ci sono due inervalli di empo: l inervallo di empo prefissao ra i rendimeni,, e il periodo campionario nel quale la volailià è misuraa, n. L esponene p è spesso poso pari a, ale che v è la varianza dei rendimeni soo lo zero, o a. Un esempio, la misura della volailià giornaliera come media della volailià dei rendimeni giornalieri su un campione annuale: usando p=, = giorno lavoraivo, n=50 giorni lavoraivi in un anno, n = 50 periodo campionario. Nei prossimi capioli, saranno approfondii quesa variabile e alcuni simaori della volailià...5 Spread Lo spread relaivo al empo i quoe bid e ask: s ( ) log p ( ) log p ( ) ask bid, s ( ) i, è definio come la differenza ra le = (.4) dove è l indice della serie emporale originale non omogenea. Lo spread relaivo è preferio all equazione dello spread nominale, ( ) p ( ) p ( ) s * =, (.5) ask bid in quano è un equazione adimensionale. Gli spread relaivi dai diversi mercai possono essere direamene confronai con i diversi cambi. Queso indice relaivo è una misura dell efficienza del mercao: in borsa gli individui hanno preferenze dipendeni dal loro livello di informazione, lo spread serve all operaore di borsa per compensare le perdie che subisce nel negoziare con gli individui informai e i guadagni che oiene nello scambiare con i non informai. 8

.3 Le caraerisiche saisiche dei dai finanziari ad ala frequenza.3. La disribuzione del processo dei rendimeni Le serie emporali con dai ad ala frequenza nei mercai finanziari presenano disribuzioni lepocuriche, implicando code più pesani nei rendimeni di quelle di una disribuzione normale. Un campione di rendimeni con ala curosi ende a conenere un numero più alo di valori esremi. Per descrivere quese disribuzioni sono sai impiegai diversi modelli. Quello più adao che è riuscio a cogliere le lepocurosi dei rendimeni è sao il modello GARCH inrodoo da Bollerslev (986)..3. La memoria del processo Una delle sfide pose dallo sudio di dai ad ala frequenza nella finanza è di cosruire modelli che possano spiegare empiricamene il comporameno dei dai con ogni frequenza, sia che quesa sia misuraa in minui o in mesi. I rendimeni di un aivià finanziaria sono generalmene incorrelai e non indipendeni. Quesa dipendenza si manifesa con l auocorrelazione nei momeni secondi dei rendimeni che, condizionaamene all informazione disponibile, variano coninuamene nel empo. I ricercaori hanno inrodoo nuove classi di modelli eeroschedasici ognuno dei quali ha un opporuna equazione per la varianza condizionaa σ. Per sudiare la funzione di auocorrelazione della serie della volailià e il suo raggrupparsi in periodi di ala volailià e di bassa volailià, sono sai sviluppai i modelli Auoregressive Condiional Heeroskedasic Model (ARCH) nel 98 da Engle e la sua generalizzazione Generalized 9

Auoregressive Condiional Heeroskedasic Model (GARCH) nel 986 da Bollerslev. Il modello ARCH modella la serie emporale in queso modo: y = β + ε (.6) x dove x è l insieme di variabili che influenzano la media condizionaa di y e ε è il ermine di errore con media zero e varianza condizionaa σ. Quesa varianza condizionaa al empo è espressa come funzione lineare dei ermini di errore riardai al quadrao: q σ = γ + α ε (.7) i= i i con α i 0 per assicurare la posiivià di σ. In queso modo la variabilià al empo dipende linearmene da quella rilevaa i periodi precedeni, così larghe variazioni endono essere seguie da larghe variazioni, e piccole da piccole variazioni. L aspeo negaivo dell uilizzo dei modelli ARCH è che sono necessari un numero noevole di parameri α i per poer caurare la lunga memoria che i dai manifesano. Il modello GARCH, generalizzazione del modello ARCH, supera queso problema riproducendo la parsimonia del modello ARMA rispeo alle rappresenazioni AR e MA in ermini di numero di parameri uilizzai. Queso modello inroduce i valori riardai della varianza condizionaa, è un modello in cui la varianza al empo è combinazione lineare di q riardi dei residui al quadrao e di p riardi della varianza condizionaa, cioè: q p = + γ α + iε i i= = σ β σ (.8) Il modello è più parsimonioso e presena una sruura dei riardi più flessibile. Gli sudi su serie di dai ad ala frequenza evidenziano la presenza di memoria lunga per la volailià. 0

Capiolo : Gli simaori della volailià. Inroduzione Lo sudio della sima del rischio giornaliero, o volailià, nei mercai finanziari è rilevane poiché il conceo di rischio è raao come una variabile laene inosservabile e come un uile cosruo eorico per spiegare il comporameno dei rendimeni aivi. Lo scopo di queso lavoro è di sviluppare un efficiene approccio per la sima della volailià giornaliera uilizzando ue le ransazioni infragiornaliere di cui si dispone. Traando la volailià giornaliera come un osservazione, si ha un poene srumeno per analizzare numerosi problemi nell economia finanziaria. Moli auori hanno uilizzao la nozione di rischio per simare la volailià giornaliera uilizzando dai ad ala frequenza. Beckers (983), Anderson (995), Parkinson (980) e Rogers & Sachell (99) hanno proposo simaori della volailià giornaliera uilizzando i prezzi di aperura, di chiusura, il prezzo più alo e quello più basso giornalieri. Schwer (990), Hsieh (99), Andersen e Bollerslev (998) e Andersen e al. (00) hanno proposo, invece, simaori efficieni della volailià giornaliera incondizionaa basai su serie di rendimeni infra-giornalieri. L analisi dei rendimeni di serie emporali ad ala frequenza hanno mosrao come quesi conengono preziose informazioni per la misurazione della volailià a livello giornaliero e come, i modelli sandard ARCH simai, forniscono accurae previsioni della volailià. Inolre, Andersen e al. (00) uilizzano il conceo di volailià realizzaa per esaminare la cross-correlaion nei vari rendimeni. Moosa e Bollen (00) uilizzano la volailià realizzaa per verificare la relazione ra la volailià e il empo di scadenza nei mercai dei fuures e per verificare l errore sisemaico nelle sime del Value a Risk.

. Simaori giornalieri Sono riporai di seguio alcuni simaori della volailià giornaliera ciai in leeraura. Il rendimeno giornaliero è definio come: ( p ) ln( p ) r (.) = ln dove p è il prezzo di chiusura del giorno e r è oenuo da una disribuzione normale con volailià variabile nel empo ale che r ~ N(0, σ ). (.) Il nosro ineno è di simare il paramero della volailià giornaliera σ... Lo simaore Simple Lo simaore Simple si basa sull osservazione che il valore aeso della disribuzione normale è dao da E[ r ]= σ / π. Queso risulao permee di calcolare lo simaore della volailià semplice come: ˆ ( Simple), σ r = (.3) / π Queso simaore uilizza una sola osservazione per simare ogni σ giornaliere e ciò suggerisce la sua inefficienza. Solo se l equazione. è verificaa, allora lo simaore semplice della volailià sarà non disoro... Gli simaori Exreme Value Gli simaori Exreme Value preparano alcuni usi delle informazioni nei dai infra-giornalieri, uilizzando i prezzi giornalieri di aperura e di chiusura e i valori esremi delle ransazioni giornaliere cioè il prezzo più alo e quello più basso. Si definisce H il prezzo più alo e L il prezzo più basso del giorno.

Parkinson, nel 980, sviluppa lo simaore della volailià giornaliera PARK, basao sull assunzione che i prezzi infra-giornalieri delle azioni seguono un processo generaore di ipo Browniano geomerico. Il corrispondene simaore della volailià giornaliera PARK, soo quesi assuni, è definio come: ( ln( H ) ln( L )) 4ln( ) ˆ σ =. (.4) ( PARK ), Garman e Klass, nel 980, presenano uno simaore che essi affermano sia più efficiene di quello PARK. Anch esso assume un processo generaore dei prezzi di ipo Browniano geomerico, e olre al logarimo del rapporo valori esremi considera anche i logarimi del rapporo ra i prezzi di chiusura. Lo simaore della volailià GK e definio come: ˆ H p σ ( GK ), = 0.5 ln 0.39 ln. (.5) L p Andersen e al.(00) propongono uno simaore della volailià che somma i quadrai dei rendimeni infra-giornalieri, lo simaore della volailià Sum of Square Reurns (SSR) è definio come: ˆ ( SSR), n = σ r (.6) i= i, dove n è il numero dei rendimeni infra-giornalieri ed è l i-esimo rendimeno del giorno di conraazione. Lo simaore SSR non richiede che la serie dei rendimeni infra-giornalieri sia omoschedasica, ma si basa sull assuno che i rendimeni siano incorrelai. Per affronare il problema delle auocorrelazioni nelle serie dei rendimeni infra-giornalieri, Andersen e al. (00b) simano un modello MA() sulla serie dei rendimeni infragiornalieri e usano i residui di ale modello simao nell applicazione dell equazione.6. 3

.3 Modello di sudio proposo Gli simaori descrii precedenemene si basano su assunzioni resriive del processo generaore dei dai per poer essere uilizzai sui dai ad ala frequenza. Lo simaore VARHAC (Bollen and Inder, 00) proposo di seguio, invece, uilizza un se più povero di assunzioni per la sima della volailià giornaliera Precedeni sudi hanno evidenziao cere caraerisiche dei rendimeni infra-giornalieri. Andersen e Bollerslev (997), sudiando i rendimeni infragiornalieri ogni 5 minui dello S&P 500 Index Fuures, propongono una forma funzionale flessibile di Fourier come meodo appropriao per modellare la sagionalià infra-giornaliera della volailià. Roll (984) mosra come i prezzi fluuano ra il bid e l ask dello spread inducendo auocorrelazione di primo ordine nella serie dei rendimeni infra-giornalieri. Hasbrouck e Ho (987) propongono un modello ARMA per il processo dei rendimeni infra-giornalieri, consaando un auocorrelazione negaiva al primo riardo, seguia da auocorrelazioni posiive di grandezza decrescene saisicamene significaive dal quino riardo. Admai e Pfeiderer (988) sviluppano un modello eorico dove ransazioni concenrae in un cero isane erano il risulao di un comporameno commerciale sraegico da pare dei negoziaori informai. Conseguenza di queso modello, applicao ai fini previsivi, è che a periodi prevedibili di volailià infra-giornaliera, si presenano periodi di volailià non prevedibile come risposa all arrivo di nuove informazioni sul mercao. Si conclude da quesi sudi che ogni giorno di ransazioni è caraerizzao sia da periodi di volailià prevedibile che non prevedibile. Conseguenemene, ogni giorno può essere caraerizzao da una differene sruura di auocorrelazione, a periodi di concenraa aivià finanziaria seguono periodi di ala volailià. La presenza di auocorrelazioni a riardi maggiori a uno, rende inappropriai gli simaori della volailià giornaliera, visi nella sezione.. 4

.3. Lo simaore VARHAC Lo simaore VARHAC considera quese proprieà dei rendimeni infragiornalieri e usa ui i dai infra-giornalieri disponibili. Si assume l osservazione di n rendimeni infra-giornalieri nel giorno, si definisce * r i n / ri,, = cosicché il rendimeno giornaliero è calcolao come: r = n n n / ri = n i= i= *, r (.7) i, Il paramero da simare è la varianza dei rendimeni giornalieri σ = E[ r ]. Queso paramero può essere espresso come funzione dei dai infragiornalieri: [ r ] = E i= [( r ) ] σ = E (.8) i, e può essere riscria come: n n = n i= = * * [ r ] σ E r (.9) i,, per calcolare queso paramero uilizziamo lo simaore VARHAC proposo da den Haan e Levin nel 996. Prima di adoare queso simaore è necessario verificare che soddisfi gli assuni richiesi per un valido uilizzo. Le condizioni, riferie da den Haan e Levin, soo le quali lo simaore VARHAC può essere uilizzao sono: sup i 0 [ r ] < + n E (.0) n i, [ ] > 0 σ = lim E ri, (.) = n = [ r r ] < + sup E,. (.) i i, i+ con r i, sequenza di scalari a media zero. La condizione.0 richiede che i rendimeni infra-giornalieri abbiano una varianza finia e la condizione. esclude la possibilià che roppi valori 5

abbiano varianza uguale a zero. La condizione. conrolla i gradi di dipendenza dalle osservazioni: queso implica che i rendimeni r i, sono asinoicamene indipendeni, e che la somma delle auocovarianze non sia cosane nel empo. Quese condizioni permeono di avere un grado di eerogeneià e auocorrelazione, e forniscono condizioni sufficieni per una valida sima della serie emporale uilizzando lo simaore VARHAC. Seguendo den Haan e Levin (998), si applica lo simaore VARHAC per oenere una sima consisene ed efficiene di informazioni infra-giornaliere di cui si dispone. σ usando ue le.3.. Cosruzione dello simaore I passi per cosruire queso simaore sono i segueni: Sep Selezione degli ordini di riardo per ogni giorno. Consideraa una serie di osservazioni sulle ransazioni dei rendimeni in uno specifico giorno lavoraivo, e avendo dai per un campione S di giorni di lavoraivi, ale che <<S. Per ognuno dei S giorni, si sima il seguene modello con il meodo dei minimi quadrai: K ( K ) r e ( K ) ri, = aˆ k, i k, + ˆi, per i = K +,,n, (.3) k = ˆ =. per ogni ordine di riardo possibile K=,, K. Per K=0 fissiamo e i, ( 0) ri, Poi si calcola la quanià: BIC( K, ) = ln n eˆ i, i= k + n ( K ) ln + n ( n ) K. (.4) Per ogni giorno,l ordine di riardo oimale K è scelo come il valore di K che minimizza il BIC (K,). Sep Calcolo della sima di selezionao K e le sime di ˆ α ( K ) e ˆ ( K ) σ. Per ogni giorno, l ordine di riardo k,.3, possono essere usae per simare: e i,, ricavae dall equazione 6

7 ( ), ˆ ˆ ˆ = = K k k K n α σ σ con ( ) + = = n K i i n K e, / ˆ ˆ σ (.5) Lo simaore definio nell equazione.5 è deo simaore della volailià VARHAC, ), ( ˆ VARHAC σ.

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Capiolo 3: La serie di dai 3. Inroduzione Lo scopo di queso sudio è quello di analizzare la sima della volailià giornaliera realizzaa nei mercai finanziari con dai infra-giornalieri confronando i diversi simaori presenai nel capiolo. Quesa applicazione avviene sulla serie emporale dell indice Sandard and Poor s 500 (S&P 500), un indice che si riferisce ad un mercao nazionale, quello sauniense. La serie di dai è saa fornia dalla Olsen Ld che le ha raccole araverso i circuii elemaici. Il periodo di riferimeno per l analisi va dal 0 Marzo 000 al 8 Febbraio 005 e i dai sono sai rilevai ogni 5 minui secondo l EST (Easern Sandard Time). Il empo di scambio considerao è dalle 3:30 alle 0:30 per il periodo in cui vige l ora solare e dalle 4:30 alle :30 per l ora legale. Il daase originale coneneva 55888 osservazioni ogni 5 minui per l inero arco giornaliero divise in 365 giorni per 5 anni. Per l analisi compiua abbiamo cosruio un nuovo daase di 0008 osservazioni ogni 5 minui divisa in 55 giorni lavoraivi, si sono esclusi dall originale i fine seimana e 50 giorni di fesa infraseimanale dove si verifica assenza di conraazione, e i record delle ransazioni al di fuori del empo di scambio. 3. I mercai finanziari I dai ad ala frequenza sono l informazione direa dai mercai. Le quanià quoae sono i prezzi, ma i mercai forniscono alre informazioni come il volume delle ransazioni, non sono invece disponibili informazioni deagliae sui parecipani che spesso preferiscono manenere l anonimao. 9

I prodoi finanziari scambiai nei mercai finanziari si disinguono secondo l aivià finanziaria negoziaa. Una disinzione principale è daa dai mercai principali e i mercai dei prodoi derivai. I mercai principali comprendono il mercao azionario e il mercao obbligazionario, enrambi sono mercai ad orizzone nazionale ma differiscono in quano il primo fornisce informazioni e serie soriche relaive ai corsi azionari, ai volumi di scambio e agli indici sineici di borsa; il secondo, invece fornisce informazioni sui prezzi delle obbligazioni e serie soriche per assi d ineresse con varie scadenze. I mercai principali comprendono anche il mercao dei cambi su valua, mercao ad orizzone inernazionale, che fornisce informazioni e serie soriche sui assi di cambio. Il mercao dei prodoi derivai comprende il mercao dei fuures e il mercao delle opzioni. È il mercao dove sono negoziai prodoi finanziari il cui rendimeno è deerminao dall andameno di un prodoo finanziario principale. Un alra classificazione per i mercai finanziari è ra mercai cenralizzai nella forma di scambi o borse, e mercai decenralizzai inerbancari (overhe-couner, OTC), dove i parecipani individuali effeuano ransazioni direamene senza inermediari. I dai dai mercai OTC sono raccoli e fornii in empo reale dai circuii elemaici, come Reuers, Bloomberg, o Bridge. I dai dai mercai cenralizzai sono disponibili dalle foni sesse e qualche vola direamene dagli scambi. Gli archivi di dai sorici sono raccoli in daabase da socieà specializzae nei dai ad ala frequenza, come Olsen Ld, che inizialmene li riuniva in empo reale da differeni foni. 3.. Il mercao azionario I mercai azionari sono la maggior risorsa dei dai ad ala frequenza, poiché gli azionari scambiano ioli di diverso ipo. I dai ad ala frequenza sono principalmene prodoi durane le ore di aperura e di chiusura degli 0

scambi. In alcuni dei mercai principali, ci sono anche ransazioni fuori del normale orario di aperura, che producono alcuni radi dai addizionali. I dai ad ala frequenza sono disponibili dai segueni mercai azionari. Azioni di socieà individuali. Quesi dai sono foremene deerminai dallo specifico comporameno di una singola azienda e da qualche endenza generale del mercao e dell economia. I dividendi disponibili e quelli pagai influiscono sui prezzi delle azioni, e la serie dei prezzi può essere capia considerando ui quesi eveni. Indici azionari. Sono calcolai come la somma dei prezzi di singole azioni concordae secondo una deerminaa formula. Il paniere delle azioni comprende imporani azioni di specifici Paesi o deerminai seori indusriali. Il paniere e i pesi sono adaai secondo i periodi, seguendo i cambiameni dimensionali delle socieà. Gli indici azionari rappresenano un largo segmeno di un economia piuoso delle azioni di socieà individuali e il loro comporameno è meno erraico dello sudio di singole azioni. I dai ad ala frequenza per i principali indici azionari sono disponibili e ineressani oggei di ricerca. Dovui alle loro definizioni maemaiche, essi mosrano spesso auocorrelazioni posiive dei rendimeni a riardi superiori ai 5 minui. Queso porebbe essere una conseguenza della sruura dei riardi ra le principali azioni in esa e le azioni meno liquide del paniere. 3.3 L indice S&P 500 La socieà di analisi finanziaria Sandard and Poor s fornice alcuni indici dell andameno del mercao azionario sauniense, come lo Sandard and Poor s 500. Quesi indici aribuiscono ai ioli facene pari del paniere un peso pari al rapporo ra la capializzazione del iolo e la capializzazione complessiva del paniere dei ioli che enrano nell indice. L indice S&P 500 è calcolao sulla base delle azioni, quoae presso il New York Sock Exchange (NYSE) e l American Sock Exchange (ASE), di 500 ioli delle più imporani socieà americane ad elevaa capializzazione. Le

500 azioni che compongono l indice sono emesse da socieà operani in diversi seori: indusriale, energeico, finanziario, informaico e elecomunicazioni ra i principali. Queso indice è il più noo ra gli indici azionari di Wall Sree, la Borsa di New York: le sue variazioni sono un paramero principale per giudicare l andameno di una giornaa borsisica. Inizialmene l indice S&P 500, inaugurao il 4 Marzo del 957, era composo di 45 imprese indusriali, 5 del seore dei raspori e 50 del seore pubblico e rappresenavano circa il 90% delle indusrie quoae nella Borsa di New York. Dalla fine degli anni Oana, il paniere di riferimeno dell indice è cambiao, le 500 imprese sono periodicamene aggiornae secondo la loro imporanza e del loro peso sul mercao. Difai, queso indice è il principale indicaore dell economia sauniense e mole delle compagnie, oggi, possono non essere più preseni a causa di fusioni o fallimeni, menre alre sono enrae grazie allo sviluppo di nuovi seori che inizialmene erano inesiseni, si pensi al seore dell informaica. L indice S&P 500 è calcolao come media degli andameni borsisici ponderaa con il peso di ogni azienda, che è calcolao in funzione sia del numero di azioni in circolazione che delle conraazioni giornaliere. 3.3. Analisi preliminare Lo sudio prende come riferimeno lo S&P 500 per gli anni ra il 000 e il 005. Di seguio riporiamo i grafici della serie infra-giornaliera, dei rendimeni e dei rendimeni assolui, e la abella che riassume alcune saisiche preliminari, condoe sulla serie dei rendimeni. Il grafico mosra un andameno irregolare della serie e una volailià erraica nel empo, il grafico evidenzia ampie fluuazioni nella prima meà della serie menre la pare erminale della serie ha una variabilià più sabile. Il grafico 3 mosra la volailià.

600 400 00 000 800 600 0000 40000 60000 80000 00000 S&P500 Grafico 3.. Serie dell indice S&P 500 (0/03/000 8/0/005) 0.04 0.0 0.00-0.0-0.04-0.06 0000 40000 60000 80000 00000 RENDIMENTI Grafico 3.. Rendimeni della serie dell indice S&P 500 (0/03/000 8/0/005) 0.0030 0.005 0.000 0.005 0.000 0.0005 0.0000 0000 40000 60000 80000 00000 RENDIMENTI ASSOLUTI Grafico 3.3. Rendimeni assolui della serie dell indice S&P 500 (0/03/000 8/0/005) 3

La abella 3., riporaa di seguio, mosra le principali proprieà saisiche dei dai finanziari ad ala frequenza, quali la non normalià dei dai. La non normalià dei dai è dimosraa dall indice di simmeria, di curosi e dal es di Jarque-Bera. L indice di simmeria è calcolao come SK = T T = ( y y) 3 T ( y y) T = e l indice di curosi come: k = ( ˆ σ ) 4. La maggior pare dei rendimeni infra-giornalieri mosrano lepocurosi (k>3) e spesso disribuzione asimmerica (SK 0). Nel nosro sudio, la serie dei rendimeni presena una leggera asimmeria, SK= -0.47958, e lepocurosi, k=66.63. Il es di normalià Jarque-Bera è cosruio basandosi sugli indici di simmeria e di curosi campionari: T JB = SK + ( kˆ 3) 6 4 ~ χ. Queso es verifica simulaneamene se la simmeria e la curosi sono coereni con i valori che dovrebbero assumere soo l ipoesi nulla di normalià. Dalla abella, JB=66.3 e il es rifiua chiaramene l ipoesi di normalià per la serie in esame. 50000 40000 30000 0000 0000 0-0.050-0.05 0.000 0.05 Series: REND Sample 00080 Observaions 00079 Mean -.7E-06 Median 0.000000 Maximum 0.0949 Minimum -0.05384 Sd. Dev. 0.0048 Skewness -0.47958 Kurosis 66.63 Jarque-Bera 663 Probabiliy 0.000000 Tabella 3.. Saisiche descriive riassunive della serie dei rendimeni 4

Un alra proprieà dei dai finanziari ad ala frequenza è la correlazione seriale dei livelli nulla o prossima a zero; calcolando il correlogramma della T ˆ ρ = y T = + y y / ˆ σ serie dei rendimeni: ( )( ) oiene y con =0,, si ρˆ che misura la memoria dei rendimeni, in alre parole la correlazione ra y e y -. Si verifica la significaivià di ale correlazione uilizzando il es di Liung-Box: H H 0 : ρ = ρ =... = ρ = 0 : ρ 0 and / or ρ 0... ρ 0 Q = T ( T + ) T = ( T ˆ ρ r ) ~ χ (r ). r Nel nosro caso, il grafico 3.4 (in appendice) mosra la funzione di auocorrelazione dei rendimeni e il es Q che conduce a rifiuare H. Inolre, nelle serie con dai ad ala frequenza, spesso vi è la presenza di correlazione seriale nella serie dei rendimeni al quadrao, vedi grafico 3.5 (in appendice). Queso può essere verificao dal es di Liung-Box che ci conduce a rifiuare Ho. La correlazione ra i quadrai dei rendimeni è un sinomo della proprieà che la volailià non è cosane nel empo. 5

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Capiolo 4: Applicazione dello simaore VARHAC all indice S&P 500 in queso capiolo, saranno applicai gli simaori della volailià, presenai nel capiolo, ai dai delle ransazioni dello S&P 500 per il periodo da marzo 000 a febbraio 005. 4. Analisi dei dai I grafici delle volailià giornaliere dei 55 giorni di scambio sono simae dai dai infra-giornalieri usando lo simaore della volailià giornaliera Simple, PARK, e GK. Lo simaore SSR è sao calcolao in ogni giorno di scambio usando i dai delle ransazioni ogni 5 minui, i rendimeni infragiornalieri sono sai filrai simando un processo MA(). La figura 4., riporaa di seguio, mosra i grafici delle volailià simae compresa la sima della volailià VARHAC. Un ispezione visiva della figura 4. rivela che le sime della volailià Simple sono molo più variabili degli alri simaori, queso probabilmene è dovuo all inefficienza di queso simaore. Tue le sime sembrano muoversi secondo una srada comune nel empo, e sembrano disinguere disinamene i periodi di ala e bassa volailià negli sessi periodi. Gli simaori PARK e GK, di andameno simile, sembrano mosrare gradi di rumore più numerosi che gli simaori della volailià SSR e VARHAC. Queso è dovuo probabilmene perché gli simaori della volailià PARK e GK uilizza informazioni infra-giornaliere molo piccole, e conseguenemene sono anche inefficieni. Le sime della volailià giornaliera sembrano mosrare oulier il 6/0/00, giorno di ala e inusuale volailià, anche se il rendimeno giornaliero di quesi giorno non è alo. 7

simple 0.080000 0.070000 0.060000 0.050000 0.040000 0.030000 0.00000 0.00000 0.000000 5 03 54 05 56 307 358 409 460 5 56 63 664 75 766 87 868 99 970 0 07 3 74 5 park 0.003000 0.00500 0.00000 0.00500 0.00000 0.000500 0.000000 5 03 54 05 56 307 358 409 460 5 56 63 664 75 766 87 868 99 970 0 07 3 74 5 gk 0.003000 0.00500 0.00000 0.00500 0.00000 0.000500 0.000000 5 03 54 05 56 307 358 409 460 5 56 63 664 75 766 87 868 99 970 0 07 3 74 5 ssr 0.003000 0.00500 0.00000 0.00500 0.00000 0.000500 0.000000 5 03 54 05 56 307 358 409 460 5 56 63 664 75 766 87 868 99 970 0 07 3 74 5 varhac 0.003000 0.00500 0.00000 0.00500 0.00000 0.000500 0.000000 5 03 54 05 56 307 358 409 460 5 56 63 664 75 766 87 868 99 970 0 07 3 74 5 Figura 4.. Sime della volailià giornaliera dell indice S&P 500 (0/03/000 8/0/005) 8

4. Bonà degli simaori Per valuare quali di quese sime sia la migliore, dao che la vera volailià è inosservabile, si cosruiscono i segueni crieri di riferimeno per verificare la bonà dei differeni simaori. 4.. Crierio : Confrono con le sime della volailià semplice Ricordando che lo simaore della volailià Simple è uno simaore non disoro della volailià giornaliera se i rendimeni giornalieri sono incorrelai, segue che la media delle sime della volailià uilizzando lo simaore Simple sui 55 giorni di scambi può essere uno simaore non disoro delle medie delle vere volailià giornaliere σ. Conseguenemene, se un alro simaore produce una media delle sime significaivamene differene dalla media oenua usando lo simaore della volailià semplice, allora chiaramene quesi alri simaori mosrano un errore sisemaico. Quesa ipoesi è verificaa dal confrono ra S X = ˆ ( Simple) ( Simple), σ e X = ˆ (.) σ (.), usando un es semplice per la S differenza di due medie, dove realizzaa giornaliera proposi nel capiolo. ˆ(.), σ è una delle sime della volailià 4.. Crierio : Normalià dei rendimeni sandardizzai Il modello per i rendimeni giornalieri può essere scrio come r =σ z dove z ~ iid N(0,). 9

I rendimeni sandardizzai per un dao simaore della volailià sono definii come: z (.), r σˆ = (4.) (.), Se σ é simaa adeguaamene, z (.), porebbe essere disribuia normalmene con varianza uniaria. Possiamo verificare la normalià uilizzando il es di Jarque-Bera sulle S osservazioni per z (.), per ogni simaore scelo. 4..3 Crierio 3: Varianza dei rendimeni sandardizzai Dall equazione 4., è chiaro che ogni errore sisemaico inerene a uno simaore della volailià giornaliera dovrebbe produrre rendimeni sandardizzai con varianza differene per ognuno. Un es è compiuo sulla varianza dei rendimeni sandardizzai per ognuno degli simaori della volailià. La saisica es è daa da: Y (.) ˆ σ Y / (.) S, (4.) =, Y e σ Y (.) sono la media e la deviazione sandard dove Y ( z ) (.) (.), z(.) (.) ˆ del campione di Y (.). Quesa saisica segue una disribuzione normale sandard se la vera varianza è pari a. La abella 4., riporaa di seguio, coniene i risulai per i dai dello S&P 500 rilevai per ognuno dei 3 crieri uilizzando ui gli simaori proposi. La saisica nella erza riga dei risulai mosra che Ho è rigeaa per ui gli simaori della volailià. Il es di normalià di Jarque-Bera, condoo sui rendimeni sandardizzai, suggerisce che gli simaori PARK e SSR non producono rendimeni normali sandardizzai. La condizione di normalià non può essere rifiuaa per lo simaore GK e per lo simaore VARHAC. 30

L ulima riga della abella 4., indica che non si può rifiuare, ai limii del livello di significaivià, l ipoesi che i rendimeni sandardizzai per gli simaori della volailià PARK, GK hanno varianza pari a. Lo simaore SSR ha una varianza significaivamene diversa da, queso risulao indica che lo simaore SSR è uno simaore sisemaicamene influenzao dalla volailià giornaliera. Una conclusione di queso genere può essere spiegaa noando che il processo filrao MA() non si aggiusa adeguaamene per ali ordini di auocorrelazioni nelle serie di rendimeni delle ransazioni. Anche lo simaore VARHAC rifiua l ipoesi nulla. Riassumendo, nel daase in sudio, nessun simaore della volailià passa sia il bias es (crierio e 3) e il es di normalià condizionaa (crierio ). Lo simaore della volailià VARHAC, che passa solo il crierio, può comunque essere rienuo uno simaore robuso e efficiene, in quano graficamene modella bene la serie facendo pieno uso dei dai dei rendimeni infra-gionalieri a disposizione. Sime della volailià Simaori della volailià Simple PARK GK SSR VARHAC Mean 0.0635 0.009439 0.00887 0.008474 0.008689 Sandard Deviaion 0.00554 0.005384 0.004966 0.004858 0.00439 -Tes for difference beween means 6.46 8.44.40 9.3 Rendimeni Sandardizzai Mean 0.0680 0.036378 0.04677 0.03406 Sandard Deviaion.0404.39080.805644.43688 Skewness -0.0090 0.08379 0.33387 0.5568 Kurosis.67894.55663 8.637988 3.606033 Tes Jarque-Bera 9.907.7056 56.67 4.9758 Z (.) Tes for uni variance 3.37869 3.389966 8.879565 7.896805 Tabella 4.. Applicazione dei re crieri ai differeni simaori della volailià I dai in grasseo indicano valori significaivi al livello % 3

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Capiolo 5: Conclusioni 5. Confrono ra gli simaori considerai Gli simaori della volailià presenai, nascono da uno sudio di fai silizzai che riguardano la microsruura del mercao, in paricolare l auocorrelazione e l eeroschedasicià nei rendimeni infra-giornalieri. Da ques analisi, è sao proposo un nuovo simaore della volailià giornaliera, lo simaore VARHAC. Tui gli simaori della volailià, proposi nei capioli, sono sai applicai sullo S&P 500. Per valuare lo simaore più adeguao sono sai proposi re crieri. L uso dello simaore VARHAC è ragionevole perché impone pochi assuni sulla naura del processo generaore dei dai per i rendimeni infra-giornalieri, e fa uso di ue le informazioni e di ui i dai che si hanno a disposizione: uilizza ua la popolazione e non un campione dei rendimeni infra-giornalieri. Le sime VARHAC basae sui rendimeni delle ransazioni possono essere vise come la vera osservazione della volailià. 33

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Appendice Di seguio sono riporai alcuni grafici discussi nei capioli precedeni. Capiolo 3. La serie dei dai Grafico 3.4. Correlogramma della serie dei rendimeni dell indice S&P 500 (0/03/000 8/0/005) 35

Grafico 3.5. Correlogramma della serie dei rendimeni al quadrao dell indice S&P 500 (0/03/000 8/0/005) 36

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