FACOLTA DI INGEGNERIA Laurea Specalstca Igegera Cvle NO Guseppe T Aroca CORSO DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Lezoe X: Scelta d u modello probablstco
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco Prevsoe del quatle GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Aals statstca della gradezza Ifereza statstca su u campoe della varable Il problema dell fereza statstca s traduce ella rcerca del modello probablstco (CDF) pù adatto
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco Prevsoe del quatle rchesto T Tpo d gradezza GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Scelta del modello probablstco teorco (LNII, EV, GEV, ecc) Verfca adattameto (plottg, posto,carte probablstche, test statstc umerostà campoara Stma de parametr del modello probablstco (momet, ML, PWM)
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco S cosder l campoe d dmesoe N e sulla base del tpo d gradezza (ed parte ache sulla base della dmesoe) s selezoo alcu tp d dstrbuzo ragoevolmete pù adatte allo scopo ao 953 (mm) 76 ao 967 (mm) 388 ao 979 (mm) 78 Altezze d pogga orare massme aual (N33) GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA 954 955 956 959 960 96 96 964 965 966 48 606 98 356 43 60 80 408 364 36 968 969 970 97 97 973 974 975 976 978 356 34 364 444 8 98 76 74 48 388 980 98 98 983 984 985 986 987 988 990 350 40 630 86 44 40 84 74 300 0 Gumbel P() ep [ α( u) ] e
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco Aals d frequeza del campoe attraverso l uso d espresso emprche (plottg posto) per la frequeza d o superameto GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Plottg posto F() F() F() F() 044 N + 0 N + 05 N 04 N + 0 Formula d Grgorte Formula d Webull Formula d Haze Formula d Cuae I valor d frequeza d o superameto s ottegoo ordado prelmarmete maera crescete l campoe, assegado u umero d orde a cascu valore e calcolado valor sulla base delle PP Per tutte le relazo F( N ) < Postulato emprco del caso: la frequeza co cu u dato valore s preseta u campoe approssma la probabltà che gl corrspode ella popolazoe, tato meglo quato pù l campoe è umeroso
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco Aals d frequeza del campoe attraverso l uso d espresso emprche (plottg posto) per la frequeza d o superameto 08 GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA F 06 04 0 0 00 00 400 600 800 000 Webull Haze Cuae Grgorte
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco Sulla base della dmesoe del campoe s scelga l metodo pù robusto e meo pesate per la stma de parametr GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Momet 83 83 αˆ s() 3 9 0577 û m() αˆ 0093 6 4 Momet pesat probabltà M 0 35 ; M 974 αˆ l M M0 0577 û M0 αˆ 0099 6 69 y 6 4 0 - Momet PWM 0 0 40 60 80
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Verfca adattameto (plottg posto) Scelta d u modello probablstco S cofrotao la PDF teorca e le frequeze d o superameto calcolate co ua plottg posto 08 F() P() Parametr EV (PWM) Plottg posto (Cuae) GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA F,P 06 04 0 0 00 00 400 600 800 La semplce aals grafca maca d oggettvtà
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Verfca adattameto (carte probablstche) Scelta d u modello probablstco Dagramm e qual le CDF vegoo rappresetate forma rdotta o ormalzzata che molt cas è descrtta da ua retta 6 5 4 F() P() y α ( u) Carta probablstca d Gumbel GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA y 3 0 - - 00 00 400 600 800 I put s dspogoo lugo ua retta solo se seguoo la EV La semplce aals grafca maca d oggettvtà
GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Verfca adattameto (test statstc) Scelta d u modello probablstco U test statstco è ua procedura che cosete verfcare la valdtà d ua potes statstca H 0 e qud d accettarla o rfutarla S defsce regoe d accettazoe del test la porzoe dello spazo W a N dmeso all tero della quale è valda l potes statstca H 0 per l campoe d dmesoe N S chama lvello d sgfcatvtà del test (α) la probabltà che l campoe rcada fuor dalla regoe d accettazoe quado H 0 è vera Test pù utlzzat Test d Kolgomorov-Smrov Test d Pearso o del χ
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Test d Kolgomorov-Smrov Scelta d u modello probablstco Test o parametrco (è ota sa la dstrbuzoe sa suo parametr) È basato su ua msura d devazoe fra la CDF teorca e la frequeza emprca del campoe GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA d ma F() P() d D N, α D N,α è ua varable la cu PDF a parametro N è stata rcavata da Smrov (948) D D N, α N, α 358 N 676 N α α 005 00 Test pù strgete Test meo strgete Valde per > 40 per mor la fuzoe è tabellata
Esempo: Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco potes statstca H 0 campoe esame segua u fssata legge d dstrbuzoe (Gumbel) lvello d sgfcatvtà del test α 005 GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA P()-F() 0 008 006 004 00 0 d 0080 0 0 0 30 40 Per N 33 D N,005 03 D N,00 077 L potes H 0 o è rgettata
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco Test d Pearso o del χ Test o parametrco (è ota sa la dstrbuzoe sa suo parametr) È basato sull uso della varable χ per cotrollare l potes che l campoe provega da ua data dstrbuzoe GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Sa la varable aleatora d cu è ota la PDF P() Cosderamo u campoe d dmesoe N suddvso u umero fto d tervall d dmesoe N Idchamo co p la probabltà che u valore qualsas della rcada ell -esmo tervallo S può allora defre ua varable casuale: X k ( N Np ) Np Test: P[X χ ] -α X χα Al crescere d N la gradezza X è dstrbuta come u χ co k- grad d lbertà
Esempo: Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Scelta d u modello probablstco potes statstca H 0 campoe esame segua u fssata legge d dstrbuzoe (Gumbel) lvello d sgfcatvtà del test α 005 GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA p P( ) 0 0 0 04 0 06 0 08 0 0 Np 5 k 4 9 76 335 48 + N 6 9 4 9 5 33 Np 66 66 66 66 66 (N -Np ) 04 58 68 58 6 0055 0873 04 0873 0388 3 X k ( N Np ) Np χ 005 949 L potes H 0 o è rgettata 3
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv I MODELLI SINTETICI REGRESSIVI y(t) f [ (t), (t),, (t)] + (t) ε GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Parte determstca Parte stocastca La fuzoe f s defsce fuzoe d regressoe della varable y sulle varabl,, Il legame espresso dalla fuzoe f èd tpo statstco el seso che ad ua eupla d valor,, o corrspode uo ed u solo valore del deflusso, cosa che avverrebbe se l legame fosse d tpo fuzoale, besì possoo corrspodere ft valor d y
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv La covaraza LA CORRELAZIONE S defsce covaraza della y sulla l mometo del prmo orde per etrambe le varabl calcolato rspetto alle propre mede GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA σ(y,) {[ y µ (y)] [ ( ]} µ Il coeffcete d correlazoe leare ) σ(y,) ρ(,y) σ() σ(y) Vara tra 0 (varabl o correlate) e (varabl perfettamete correlate)
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE Defzoe del modello y 0 b + b + ε GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA b 0 e b soo parametr cogt, coeffcet d regressoe; b 0 è l tercetta e b è l coeffcete agolare (relazoe leare tra y e ); y varable dpedete, varable dpedete; La varable stocastca ε rappreseta la dffereza tra la varable aleatora y e la compoete determstca (terme d errore) dstrbuta co legge Gaussaa (rumore baco); E[ε] 0 e Var[ε] σ, costate e dpedete da
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE Stma de parametr determstc 70 GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA E possble stmare parametr della regressoe leare traccado la retta che meglo approssma l cluster d put Mmzzare la somma delle dffereze valore assoluto tra la lea retta e le osservazo y Mmzzare la somma de quadrat delle dffereze tra la lea retta e le osservazo ( Gauss, Legedre, Eulero, 800), Metodo de mm quadrat o Least Squares Method 60 50 $ε l $ε j 40 400 40 440 460 480 500 $ε $ε k 3
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE Metodo de mm quadrat S ε (y b 0 b ) GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA bˆ [ ] S 0 b 0 [ ] S 0 b (y y)( ) ( ) bˆ bˆ 0 bˆ ) 0 (y bˆ 0 bˆ ) 0 (y y bˆ dove 0 y y / /
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE Esempo: Affluss e defluss total au msurat alla stazoe d Oreto a Parco (93-990) GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA D (mm) 00 900 700 500 300 00 500 700 900 00 300 500 700 900 A (mm) D b0 + ba,,, ρ(a, D) 0696 b 0-957 b 0595 R 04846 σ (ε) 47697
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE L dce d regressoe (coeffcete d correlazoe) ( ) R σ ε σ(y) GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA dove: σ( ε) y ŷ ( ) σ(y) ( y y) Costtusce u msura del legame tra la varable dpedete e quella dpedete attraverso la fuzoe d regressoe R perfetto adattameto del modello a dat R 0 essu adattameto del modello a dat
Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA Y è la varable da spegare,,,, p- soo p- varabl esplcatve, β 0, β, β,, β p- soo p parametr (coeffcet d regressoe) I parametr β, β,, β p- soo chamat coeffcet d regressoe parzale ε rappreseta l terme d errore, ε Ν(0, σ ) GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Y β 0 + β + β + + β p- p- + ε Regressoe Leare Multpla: stma de parametr attraverso l metodo de mm quadrat S rappreset p parametr cogt β 0, β, β,, β p- attraverso l vettore coloa β d dmesoe (p ) β β β 0
GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA Regressoe Leare Multpla: stma de parametr X p p p y y y y Le osservazo j soo coteute ella matrce d dmesoe ( p) Gl term d errore ε e le osservazo della varable Y soo coteut e vettor ε ad Y d dmesoe ( ) Il modello d regressoe multpla può essere scrtto forma matrcale come y Xβ + ε ε ε ε ε
GT Aroca, IDROLOGIA TECNICA Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche I modell regressv REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA Il valore medo E[Y] d Y è E[Y] Xβ Regressoe Leare Multpla: stma de parametr p p 0 ) (y S β β β ε S / β 0 0 S / β 0 S / β p- 0 + β + + β + β β p p y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ p p y + β + + β + β β 0 ˆ ˆ ˆ ˆ + β + β + β β p p p p p p p y X T X X T y βˆ (X T X) - X T y βˆ