Ingegneri dei Sistemi Elettrici_2 (ultim modific 08/03/2010) Prim di definire le grndee di bse e le costnti universli del modello elettromgnetico per poter sviluppre i vri temi dell elettromgnetismo, si intende richimre le regole fondmentli delle operioni dell lgebr e clcolo vettorile. M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 1
lcune grndee elettromgnetiche sono: sclri: criche, corrente e energi, ltre sono vettorili: come l intensità del cmpo elettrico e mgnetico. Entrmbe possono essere funioni del tempo e dell posiione spile (o punto). Per un tempo e un punto dti: un grnde sclre è completmente definit dll su mpie, espress d un numero positivo o negtivo nell unità di misur reltiv. un grnde vettorile richiede l definiione dell su mpie, direione e verso. M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 2
Per specificre l direione di un vettore nello spio tridimensionle sono necessri tre vlori numerici che dipendono dll scelt del sistem di coordinte : sistem di coordinte crtesine sistem di coordinte cilindriche sistem di coordinte sferiche. L scelt del sistem di coordinte è legto lle crtteristiche geometriche del problem che si st esminndo. Le espressioni generli delle leggi e teoremi rigurdnti l elettromgnetismo sono indipendenti dl sistem di coordinte dottto. M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 3
lgebr vettorile Un grnde vettorile può essere scritt come: dove è il vettore di dimensioni unitrie vente l stess direione e verso di e è l mpie o modulo di Grficmente: M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 4
Somm di due vettori e : Può essere ottenut: C + con l regol del prllelogrmm (prllelogrm rule) C con l regol del test-cod (hed-to-til rule) C Per l somm vlgono: l proprietà commuttiv: + + e l proprietà ssoccitiv: + + C + + ( ) ( ) C M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 5
L differen di due vettori può essere definit come l somm del primo vettore più il vettore opposto del secondo: + ( ) M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 6
Prodotto di Vettori Prodotto di un vettore per uno sclre positivo: k ( k) L mpie di cmbi di k volte, mentre l direione e il verso rimngono invrite. Il prodotto tr due vettori può essere di due tipi: prodotto sclre o prodotto vettorile. M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 7
Il prodotto sclre ( sclr or dot product) tr due vettori: cosθ è uno sclre pri l prodotto delle mpiee di e di per il coseno dell ngolo più piccolo tr e che risult minore di 180. θ Esso è positivo per θ < 90 negtivo per θ > 90 ( cosθ ) nullo per θ 90 (vettori perpendicolri) ed è ugule l prodotto dell mpie di un vettore per l proieione dell ltro vettore nell direione del primo. M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 8
M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 9 Evidentemente si h che: Per il prodotto vlgono: l proprietà commuttiv: e l proprietà distributiv: Inoltre risult non definibile il prodotto sclre: ( ) ( ) ( ) C C + + e 2 C
Il prodotto vettorile ( vector or cross product) tr due vettori: è un vettore perpendicolre l pino contente i vettori e L cui mpie è pri sinθ numericmente ugule ll re del prllelogrmm formto di vettori e Il verso e l direione sono deducibili con l regol dell mno destr n sinθ ( ) sinθ n θ M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 10
Per il prodotto vettorile non è vlid l proprietà commuttiv: vle l proprietà distributiv: ( + C) ( ) + ( C) non è vlid l proprietà ssocitiv: ( C) ( ) C M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 11
Si possono definire due tipi di prodotti di tre vettori: Prodotto triplo sclre: ( C ) ( C ) C ( ) Prodotto triplo vettorile: ( C ) ( C ) ( C ) C ( ) ( C ) ( C ) C ( ) M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 12
Sistemi di coordinte Nello spio tridimensionle un punto è loclito dll interseione di tre pini. Qundo le tre superfici sono perpendicolri tr di loro il sistem è chimto sistem coordinte ortogonli e i vettori unitri nelle tre direioni delle coordinte sono chimti vettori bse. Tr i diversi sistemi di coordinte ortogonli, i più comuni sono: sistem di coordinte crtesine o rettngolri sistem di coordinte cilindriche sistem di coordinte sferiche M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 13
Sistem di coordinte crtesine o rettngolri Un punto P( 1, 1, 1 ) in coordinte crtesine è l interseione di tre pini specificti d: 1, 1 e 1, P(,, ) 1 1 1 I versori degli ssi soddisfno le seguenti relioni: M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 14
M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 15 Un vettore in coordinte crtesine può essere scritto come: Il prodotto sclre di due vettori e è: l prodotto vettorile di due vettori e è: + + ) ( ) ( ) ( + + + +
In coordinte crtesine un lunghe differenile è espress d: dl d + d + un re differenile è espress d: ds ds ds e un volume differenile è espresso d: d d d d d d, dv d d d d M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 16
Sistem di coordinte cilindriche In coordinte cilindriche un punto P(r 1, 1, 1 ) è l interseione di un superficie cilindric r r 1 con un semipino contenente l sse, che form un ngolo 1 con il pino e un pino prllelo l pino per 1. 1 r Φ P(r 1, 1, 1 ) r 1 1 M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 17
M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 18 I versori degli ssi soddisfno le seguenti relioni: Un vettore in coordinte cilindriche può essere scritto come In coordinte cilindriche un lunghe differenile è espress d: r r Φ r r r + + d d r dr l d r + +
In coordinte cilindriche un re differenile è espress d: ds ds ds r d d dr d, r dr d e un volume differenile è espresso d: dv r dr d d M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 19
M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 20 Le relioni tr le componenti di un vettore in coordinte cilindriche coordinte crtesine: Le formule di conversione dlle coordinte cilindriche lle coordinte crtesine e inverse sono: r 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos tn r sin r cos r -1 2 2 +
Sistem di coordinte sferiche In cord. c. un punto P(R 1, 1, θ 1 ) è definito dll interseione di: un superficie sferic centrt nell origine di rggio R R 1 con un cono circolre con il vertice nell origine degli ssi e l sse coincidente con l sse e un semingolo pri θθ 1, e un semipinocontenente l sse con un semipino contenente l sse, che form con il pino un ngolo 1. θ θ 1 P(R 1, 1, θ 1 ) R Φ 1 R 1 M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 21
I versori degli ssi soddisfno le seguenti relioni: R θ θ R R θ Un vettore in coordinte sferiche può essere scritto come R R + θ θ + In coordinte sferiche un lunghe differenile è espress d: dl R dr + θ R dθ + R sinθ d M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 22
In coordinte sferiche un re differenile èespress d: ds ds ds R θ R 2 dθ d R sinθ dr d R dr dθ e un volume differenile è espresso d: dv R 2 sinθ dr dθ d M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 23
M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 24 Le formule di conversione dlle coordinte sferiche lle coordinte crtesine e inverse sono: tn θ tn R R cosθ sin sinθ r R sinθ cos 2 2 1-1 2 2 2 + + +
Integrli contenenti funioni vettorili Nell elettromgnetismo sono utiliti integrli che contengono funioni vettorili del tipo: v F dv che si risolve scomponendo d prim l grnde vettorile nelle sue tre componenti reltive l sistem di coordinte dottto e fcendo l somm dei tre integrli sclri. V dl dove V è un funione sclre e dl è un c incremento differenile di lunghe e C è il percorso di integrione. M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 25
In coordinte crtesine: + + V dl V(,,) d d d oppure C C V dl V(,,) d + V(,,) d + V(,,) d C C C C F dl C è un integrle linere nel qule l integrndo rppresent l componente del vettore F nell direione del percorso di integrione. M. Usi Ingegneri dei Sistemi Elettrici_ 2 26