Simboli di Landau Conducono ad un algebra snella e significativa per il calcolo di iti Procurano un linguaggio tecnico per confrontare il comportamento di due funzioni nell intorno bucato di c (comportamento locale) Equivalenza Definizione (di equivalenza) Siano f e g definite in un I (c) Diciamo che f e g sono equivalenti per x c se g (x) =1 In simboli: f g per x c o f g oanche g (x) per x c, g (x) Esempi (iti notevoli)
Proposizione Se f g per x c, allora I (c) in cui f e g non si annullano mai ed hanno lo stesso segno Dimostrazione g (x) =1> 0 g (x) > 0 in un I (c), per permanenza del segno 2 4 1 3-4 -2 0 0-1 2 x 4 2 1-2 -4-2 0 0 2 x 4 sin x x per x 0 1 cos x 1 2 x2 per x 0 Teorema (principio di sostituzione con termini equivalenti) Nel ite per x c è lecito sostituire: un qualsiasi fattore di un prodotto (anche tutti) numeratore o denominatore di un rapporto (anche entrambi) con funzioni equivalenti per x c In simboli: se f f e g è definita in un I (c), allora g (x) = g (x), g (x) = g (x) e g (x) = g (x), dove si intende anche che i iti a 1 m esistono se e solo se esistono quelli a 2 m
Corollari immediati Sottintendiamo che le equivalenze sono per x c 1) Se f f e g g, allora g (x) = g (x) e g (x) = (basta applicare il principio di equivalenza due volte) Analogamente per il prodotto di un numero finito di fattori g (x) 2) se f f,allora esiste f (x) esiste; in tal caso, i due iti sono uguali (basta applicare il principio di equivalenza con g (x) 1) Dimostrazione (del principio di equivalenza)
Esempio Calcolare 1 modo: x + x 2 (1 + sin x) x 2 +1 2 modo: Esempio Calcolare x 0 + x2 + x sin x x 2 2x 3/2
Controesempio (all applicazione errata del teorema) Calcolare x2 + x x x + Morale: NON si sostituiscono termini equivalenti in somme o di erenze Visti il principio di equivalenza e gli esempi precedenti, è importante sapersi procurare relazioni di equivalenza (locale) tra funzioni 1 Se = finito enonnullo, allora (e viceversa) 2 Combinazioni lineari di potenze nell origine (x 0) e all infinito (x + ) Se =a 1 x p 1 + a 2 x p 2 + + a n x p n con n 2, esponenti reali 0 p 1 <p 2 < < p n e coe cienti a i =0, allora a n x p n per x +, a 1 x p 1 per x 0 + (idem per x e x 0, se gli esponenti sono tali che ha senso per x<0)
3 Limiti notevoli Ciascun ite notevole può essere riscritto come un equivalenza: v tabella «Limiti notevoli e sviluppi accorciati» più avanti 4 Proprietà dell equivalenza Altre equivalenze possono essere dedotte mediante le seguenti proprietà (dove tutti i simboli sono per x c) (i) Se f f 1 e g g 1, allora f g f 1 g 1 e f g f 1 g 1 (ii) Se f g, allora f g per ogni R per cui f,g hanno senso in un I (c) (iii) (proprietà transitiva) Se f g e g h, alloraf h (iv) (proprietà simmetrica) f g g f Dimostrazione Si tratta di semplici verifiche 6 Infatti (tutto per x c): (i) se f f 1 e g g 1, allora fg f 1 g 1 = f f 1 g g 1 1 e f/g f 1 /g 1 = f f 1 1 g/g 1 1; (ii) se f g, allora f = f g g 1 =1; (iii) se f g e g h, allora f(x) = f(x) g(x) h(x) g(x) h(x) (iv) se f g, allora g(x) f(x) = 1 f(x)/g(x) 1; 1 (il viceversa è analogo) 6 Si tenga presente che se f g allora entrambe f e g non si annullano nell intorno bucato di c
sin (sin x)(x + x) Esempio Calcolare x 0 + x 2 cos x Osservazioni finali Attenzione a possibili confusioni sulla definizione di equivalenza: f g non equivale adirechef e g hannolostessoiteperx c Infatti: 1) f g non implica che f e g abbiano separatamente ite per x c (ad esempio (2+sin x)e 1/x = x + 2+sin x x + e1/x =1,ma (2 + sin x) non esiste) x + f(x) 2) se = g (x) = finito e non nullo, alloraf g (infatti = =1); g(x) se invece =0oppure =+, allora non è detto che sia f g (ad esempio x = x 2 x =0,ma 2 =0 = 1) x 0 x 0 x 0 x
Trascurabilità Definizione (di trascurabilità) Siano f e g definite in un I (c) Diciamo che f è trascurabile rispetto a g per x c se g (x) =0 In simboli: f = o (g) per x c o f = o (g) (leggi f è un o piccolo di g per x c) o anche =o (g (x)) per x c, =o (g (x)) Osserviamo che: la definizione non richiede l esistenza dei iti di f e g separatamente: ad esempio si sin x ha sin x = o (x) x ± (perché =0per confronto), ma sin x non esiste; x ± x x ± nella definizione è implicito 7 che g (x) = 0in un I (c) 7 altrimenti f(x) g(x) non sarebbe definita in un I (c) ed il ite non avrebbe senso (per la definizione che ne abbiamo dato) Esempi (potenze nell origine e all infinito)
NOTA BENE Scrivendof = o (g) non indico un legame tra le espressioni di f e g, bensì una proprietà di f rispetto a g: quella di tendere a 0 se divisa per g (per x c) Allora è più corretto scrivere f o (g),perchéo(g) non è una funzione specifica, bensì rappresenta l insieme delle funzioni che tendono a 0 se divise per g (per x c) ATTENZIONE quindi al significato simbolico del segno di = : sin x = o (x) x + e cos x = o (x) x + sono entrambe VERE, ma sin x e cos x non sono la stessa funzione (NON RISULTA sin x = o (x) x + =cosx), mentre hanno entrambe la proprietà di appartenere all insieme o (x) x + In espressioni complesse che contengano simboli o piccolo, l uguaglianza è (quasi sempre) asimmetrica e valettasolodadestraasinistra Torneremo via via sui significati di tali espressioni Lemma (legame fondamentale tra ed o piccolo) Per x c, siha g (x) seesolose =g (x)+o(g(x)) NOTA BENE Come per tutte le uguaglianze con simboli o piccolo a secondo membro, l ultima scrittura è da intendersi come segue: èdatadallasommadig (x) con un qualche o piccolo dig (x) per x c, cioè una qualche funzione h (x) =o (g (x)), di cui non interessa conoscere l espressione, bensì evidenziare la proprietà di essere trascurabile rispetto g (x) per x c Dimostrazione Si ha: f g =1 def g (x) g (x) 1 g (x) =0 =0 g (x) def di di o f g = o (g) Ciò significa che f = g + o (g)
Esempi(itinotevoliesviluppiaccorciati) Teorema (principio di einazione dei termini trascurabili) che tutti gli o piccolo sono per x c, siha Sottintendendo +o(f) ( +o(f))(g(x)+o(g))= g (x) e g (x)+o(g) = g (x) dove si intende anche che i iti a 1 m esistono se e solo se esistono quelli a 2 m (analogamente per un solo termine o per il prodotto di un numero finito di fattori) NOTA BENE Come per tutte le uguaglianze con funzioni o piccolo a primo membro, si intende che le uguaglianze sono vere per ogni funzione o (f) ed o (g) che possa apparire a primo membro Dimostrazione Segue dal lemma precedente e dal principio di equivalenza, essendo f + o (f) f e g + o (g) g per x c (in alternativa: si raccolgano e g (x))
Esempio Calcolare x + x x +cosx x +sinx Visti il principio di einazione e l esempio precedente, è importante sapersi procurare relazioni di trascurabilità (locale) tra funzioni 1 Se f è itata in un I (c) e g (x) =±, allora f = o (g) (dim esercizio) 2 Potenze nell origine e all infinito Una potenza di x è trascurabile rispetto alle potenze con esponente minore nell origine, a quelle con esponente maggiore all infinito x = o x x 0 + x 0 + x = x x =0 > x 0 + x = o x x + x x + x = x + x =0 < Gli stessi risultati valgono per x 0 e x, sostituendo x con x se le potenze considerate non sono definite sui negativi
3 Limiti notevoli e sviluppi accorciati Ciascun ite notevole può essere riscritto come un equivalenza e quindi come una relazione di trascurabilità (v Lemma) sin x x 0 x =1 sin x x 0 x sin x = x + o (x) x 0 1 cos x = 1 x 0 x 2 2 1 1 cos x x 0 2 x2 1 cos x = 1 2 x2 + o (x 2 ) x 0 cos x =1 1 2 x2 + o (x 2 ) x 0 log (1 + x) x 0 x e x 1 x 0 x =1 log (1 + x) x 0 x log (1 + x) =x + o (x) x 0 =1 e x 1 x 0 x e x 1=x + o (x) x 0 e x =1+x + o (x) x 0 (1 + x) 1 = x 0 x (1 + x) 1 x x 0 (1 + x) 1= x + o (x) x 0 ( = 0) (1+x) =1+ x + o (x) x 0 NotaBene: non si possono spostare termini a destra o sinistra del segno di (ad esempio per x + si ha x 3 + x x 3 +1,max 1 èfalso) 4 Confrontidicrescita Ogni confronto di crescita notevole equivale a una relazione di trascurabilità e x R si ha x + x =+ cioè x = o (e x ) x + log x > 0 si ha x + x =0 cioè log x = o (x ) x + R si ha x x e x =0 cioè 1 e x = o x x > 0 si ha log x =0 x 0 + cioè 1 log x = o x x 0 +
5 Proprietà dell o piccolo Altre trascurabilità possono essere dedotte mediante le seguenti proprietà (dove tutti i simboli sono per x c) (i) o (f) ± o (f) =o (f) (cioè la somma algebrica di più o (f) èancorauno (f)) NOTA BENE Come per tutte le uguaglianze con simboli o piccolo adamboimembri, si intende che per ogni funzione o piccolo che possa apparire a primo membro, l uguaglianza èveraper qualche funzione che soddisfa gli o piccolo a secondo membro (ii) = 0: o ( f) =o (f) e viceversa, o (f) =o (f) e viceversa (iii) g o (f) =o (g f) se g (x) = 0in un I (c) (iv) o (g) o (f) =o (g f) (v) [o (f)] = o (f ) per ogni > 0 per cui le potenze hanno senso in un I (c) (vi) [f + o (f)] = f +o (f ) per ogni R per cui le potenze hanno senso in un I (c) (vii) (proprietà transitiva) Se f = o (g), allora o (f) =o (g) (cioè se f = o (g) allora ogni o (f) è anche un o (g)) (viii) Se f g, allorao (f) =o (g) Dimostrazione Si tratta solo di eseguire facili verifiche Ad esempio (tutto per x c): (ii) o( f) f = o( f) f 0=0(analogamente negli altri casi); (v) [o(f)] f = o(f) f (vii) se f = o (g), allora o(f) g (viii) se f g, allora o(f) g 0 =0(perché > 0); = o(f) f = o(f) f f g f = o(f) o(g) 0 0=0; g f g 0 1=0 Si noti inoltre che, tramite il Lemma, la (vi) equivale proprietà (iii) dell equivalenza
Esempio Calcolare x 0 e x cos x log (1 + 3x) Esempio Calcolare x + 5 1+x x x +sinx
Esempio Calcolare x + x + 5x3 +1 2 x 3 +logx Osservazioni finali 1) =o (1) equivale a =0 2) = + o (1) equivale a = (entrambe significano f(x) 1 =0) (entrambe significano f(x) 1 =0) 3) Attenzione a possibili confusioni sulla nozione di o piccolo : se 0,ognio (f) è infinitesimo per x c (infatti o (f) = o(f) f 0 0 =0); f 0, alloranonèdettoche un o (f) sia infinitesimo per x c se (ad esempio x = o (x 2 ) per x +, ma x =+ ) x +
Sostituzioni in e o piccolo Il teorema di sostituzione consente di operare cambi di variabile nei simboli di Landau: se (x) = (= y 0,y 0 ±, ± ) con (x) = in un I (c), allora f (y) g (y) per y = f ( (x)) g ( (x)) per x c f (y) =o (g (y)) per y = f ( (x)) = o (g ( (x))) per x c Infatti, per il teorema di sostituzione, risulta f ( (x)) g ( (x)) = f (y) y g (y), dove il secondo ite esiste e vale 1 o 0 asecondachef g oppure f = o (g) Nota L ipotesi «(x) = in un I (c)» può essere sostituita con «f/g continua in» Esempio Verificare che e 3x2 =1+3x 2 + o (x 2 ) per x 0 Sappiamo che e y =1+y + h (y) con h (y) =o (y) y 0,dacuisegue e 3x2 =1+3x 2 + h 3x 2 Poiché (x) =3x 2 ètaleche x 0 (x) =0con (x) = 0nell intorno bucato di 0, si ha che h (y) =o (y) y 0 implica h 3x 2 = o 3x 2 x 0 = o x 2 x 0 Dunque risulta e 3x2 =1+3x 2 + o (x 2 ) x 0 In sintesi: il risultato segue dallo sviluppo accorciato e y =1+y + o (y) y 0 mediante la sostituzione y =3x 2 0 x 0
Altri simboli di Landau Definizione (di equigrandezza e di controllo) Siano f e g definite in un I (c) 3) Diciamo che f e g sono equigrandi per x c se g (x) In simboli: f g per x c o f g = finito non nullo 4) Diciamo che f è controllata da g per x c se = finito g (x) In simboli: f = O (g) per x c o f = O (g) (f è un O grande di g per x c) Osserviamo solo che: f g equivale a f g; se f = O (g) allora C >0 costante tale che C g (x) in un qualche I (c) (basta applicare il teorema di itatezza locale a /g (x) )