Integrli curvilinei e integrli doppi Integrli curvilinei di prim specie Prim di inizire l trttzione di questo rgomento dimo l definizione di curv. Per curv nello 3 3 spzio R intendimo un sottoinsieme di = t, = ( t) e z z ( t) R i cui punti sono definiti d tre funzioni: = con t vriile in un sottoinsieme di R. Qundo prlimo di rco di curv intendimo che t vri in un intervllo [, ] chiuso e limitto. In genere ci si occup di rchi di curv. Il sistem di equzioni () = t = ( t) z z ( t) con t [,] si chim rppresentzione prmetric di. In generle un curv h infinite rppresentzioni p- A,,z B,,z sono detti estremi dell curv. rmetriche. I punti e Un curv si dice chius se ogni rppresentzione prmetric è tle che A B. Un curv si dice semplice se ogni suo punto è estremo di non più di due curve e contenute in. Se si f vrire il prmetro t d, l curv viene percors in un verso; fcendo vrire t d d l curv viene percors in senso opposto. Uno dei due versi si chim positivo, l ltro negtivo. Qundo su di un curv viene fissto un verso positivo (scelt del tutto ritrri), l curv si dice orientt. Sono molte le situzioni in cui è importnte l scelt del verso di percorrenz dell curv. Figur Arco di curv semplice regolre. Figur Curv semplice regolre chis Figur 3 Curv non semplice Figur 4 Curv generlmente regolre Se le funzioni = ( t), = ( t) e z = z ( t) sono derivili in [ ] contempornemente nulle, llor l curv di dice regolre. Si h quindi: ' t + ' t + z' t >., e le derivte non sono tutte In questo cso si diche nche che le () costituiscono un rppresentzione regolre dell curv regolre. Ricordimo inoltre che se P è un punto dell curv regolre, corrispondente l vlore t, in P esiste l tngente ll curv e quest è rppresentt dlle equzioni: ( t ) ( t ) z z ( t ) = = ' t ' t z' t
Si intende che se uno dei denomintori è nullo il rpporto che lo contiene non compre nell cten di uguglinze[ i ]. Qundo l curv è orientt si ttriuisce un orientzione nche ll tngente. Tnto per le idee se l curv è orientt nel verso determinto di vlori crescenti del prmetro, sull tngente ll curv in P si prende come verso positivo quello per il qule i coseni direttori[ ii ] risultno uguli : ' ( t ) ' ( t ) z' ( t ) (),,. ' t + ' t + z' t ' t + ' t + z' t ' t + ' t + z' t Supponimo che l intervllo [, ] in cui sono definite le = ( t), = ( t) e z z ( t) = si poss dividere in un numero finito di intervlli przili medinte i punti: = t < t < t <... < tn < tn =, in modo che l vrire di t in ognuno di questi intervlli przili, l curv si semplice e regolre. Si dice llor che le equzioni rppresentno un curv generlmente regolre. Si or f(,) un funzione continu in un insieme R e si un rco di curv semplice e regolre contenuto in. ividimo in N rchi disgiunti,, 3,, i, N e si l i l lunghezz del generico rco i, indichimo con δ = m{l i, i =,,N}. Si prend sull curv i un punto N i i i i= Q i ( i, i ) e si scriv l quntità N ( i i ) i lim f, l e si scrive δ i = N f, l. Sotto le suddette ipotesi esiste il limite = lim f, l f, ds. i i i δ i = Chimeremo questo integrle: integrle curvilineo dell funzione f (, ) lungo l curv. Se l curv h un rppresentzione prmetric tipo ( ) llor si può scrivere: = t = t con t [,] [ i ] Per esempio, se ' ( t ) = llor l equzione dell tngente è t z z t =. ' t z' t non sono che le componenti del versore ssocito ll rett. Se un rett r è individut dl vettore ( z ) [ ii ] In geometri nlitic i coseni direttori di un rett sono i coseni degli ngoli convessi che l rett form con gli ssi coordinti. I coseni direttori sono individuti in vlore e segno se l rett è orientt. Nello spzio i coseni direttori ltro v = v,v,v, i coseni direttori sono: v cos ( r) = v + v + v v cos ( r) = v + v + v vz cos ( rz ) = v + v + v z z z
(3) f, ds = f t, t ' t + ' t dt. Se l curv h un rppresentzione crtesin del tipo = h(), con [p,q] llor si può scrivere: (4) q p f, ds = f,h + h' d. Vle l seguente proprietà: se sull rco di curv regolre, di estremi A e B, si fiss un punto P e si indic con ' l rco di estremi A e P e con '' l rco di estremi P e B, si h: = + f, ds f, ds f, ds ' " È fcile cpire che se f(,) =, l integrle curvilineo ltro non è che l lunghezz dell curv e dll (3) si deduce che ds ' t ' t dt = + [ iii ]. Se l integrle curvilineo viene esteso d un curv chius, spesso si utilizz il simolo Prim di fre degli esempi dimo un sistem di coordinte molto utile: il sistem di coordinte polri. Nel pino, un punto P, può essere individuto nche dll coppi di numeri ( ρ, θ) che sono legti d e dlle relzioni: = ρcos θ = ρ sen θ. Nell figur è illustrto il legme tr le grndezze. ρ e θ sono chimte coordinte polri nel pino. le equzioni inverse si ricvno fcilmente e si ottiene: Figur 4 Coordinte polri e coordinte crtesine. [ iii ds ] ciò segue, per un curv nello spzio di equzioni prmetriche (), che ' ( t) ' ( t) z' ( t) dt = + + e quindi i coseni direttori dell sse tngente t in un punto generico dell curv, possono essere scritti nell form: ' ( t ) d dt d cos t = = = ' ( t) ' ( t) z' ( t) dt ds ds + + ' ( t ) d dt d cos ( t ) = = = ' ( t) + ' ( t) + z' ( t) dt ds ds z' ( t ) dz dt dz cos( zt) = = = ' ( t) + ' ( t) + z' ( t) dt ds ds 3
ρ = + tg θ = Nell second equzione si h nche =, > π θ = e =, < 3π θ =. ESEMPIO Clcolre l integrle curvilineo + ds dove è l circonferenz di centro l origine e rggio r. Utilizzndo le coordinte polri, le equzioni prmetriche dell circonferenz sono: = r cos θ = rsen, θ π ; θ ' = rsenθ si h d cui segue, utilizzndo l (3): ' = rcosθ θ + r sen r r cos θ + r sen θ π π ds = r sen θ + r cos θdθ = π sen θ rdθ = r θ senθ cos θ = r = π r ESEMPIO Clcolre l integrle curvilineo ds dove è l rco, contenuto nel primo qudrnte, dell ellisse vente centro nell origine e semissi e. π Le equzioni prmetriche di sono: = cos θ, = sen θ con θ. Si h: π π ds = cos θsenθ sen θ + cos θdθ = cos θsenθ cos θd θ Quest ultimo integrle si clcol ponendo u = cos θ d cui segue che du = cos θsenθd θ e, per π θ =, u = e per θ =, u =. Si h quindi: π cos θsenθ cos θdθ = udu = = ( ) ( ) = u du 3 3 ( + + ) 3 = ( ( )) = + 4
ESEMPIO 3 Clcolre l integrle curvilineo + + 3 ds dove è l rco di prol =, per 3. In questo cso, essendo dt in coordinte crtesine, possimo utilizzre l (3). Essendo quindi ' =, si h: 3 3 + + ds = + + + d = + d =. 3 3 4 4 39 È nturle l estensione d integrli curvilinei su curve nello spzio. Si f (,,z ) un funzione continu in un sottoinsieme equzioni (). Allor 3 R e si un rco di curv semplice e regolre contenuto in, di f (,, z) ds = f ( ( t ), ( t ),z ( t) ) ' ( t) + ' ( t) + z' ( t) dt. ESEMPIO 4 Clcolre l integrle curvilineo z ds dove è l rco di curv di equzioni prme- t = e con t π. triche = cos t, = sent, z Si h: π π 3 π t t t t t f (,, z) ds = e sen t + cos t + e dt = e + e dt = ( + e ) = 3 3 4π ( e ) = + 3 Gli integrli curvilinei di cui si è ppen prlto volte vengono chimti nche di prim specie, per distinguerli d quelli detti di second specie di cui trtteremo nel prossimo prgrfo. Un conseguenz importnte è che l'integrle curvilineo di prim specie non dipende dl verso di percorrenz dell curv. Integrli curvilinei di differenzili di coordinte (o di second specie) Si un curv regolre inclus in un dominio di R di equzioni prmetriche ( ) sull qule si si fissto un verso positivo. Si f(,) un funzione definit e continu in R e sino A, B =, gli estremi dell curv. Si considerino inoltre su i punti = ( ) e ( ). Si indichino con P A,P,P,...,P,...,P,P B i n n i, i le coordinte di i P e si Q (, ) = ξ η un i i i punto qulunque dell rco P P ; infine si indichi con λ l mssim lunghezz delle corde P P,PP,...,P n n i i P. Anlogmente qunto ftto in ltre situzioni è possiile scrivere le somme: 5
n n f ( ξi, ηi )( i i ) e f ( ξi, ηi )( i i ) i= Si dimostr che nelle condizioni dte sopr esistono i limiti: (5) (6). nlogmente, se è un segmento orientto vente direzione dell sse, si h: 6 i= n lim f ξi, ηi i i λ i = n lim f i, i i i λ ξ η i = Il limite (5) si chim integrle curvilineo di f indic con, d esteso ll curv regolre orientt e si f, d. Il limite (6) si chim integrle curvilineo di f indic con, d esteso ll curv regolre orientt e si f, d. Se le ( ) forniscono le equzioni prmetriche dell curv regolre, risult: f, d = f t, t ' t dt se il verso positivo fissto su coincide con il verso dei vlori crescenti del prmetro, mentre risult: f, d = f t, t ' t dt se il verso positivo fissto su è l opposto del verso dei vlori crescenti del prmetro. In modo del tutto nlogo si h oppure f, d = f t, t ' t dt f, d = f t, t ' t dt second del verso positivo fissto su e del verso crescente dei vlori del prmetro. PROPRIETÀ EGLI INTEGRALI CURVILINEI I IFFERENZIALI I COORINATE Ι) Se è un curv regolre orientt e l curv orientt in senso opposto, llor: f (, ) d = f (, ) d e f (, ) d = f (, ) d. II) Se è un segmento orientto vente direzione dell sse, si h: f (, ) d =
III) Se cos ( t ) e f (, ) d =. cos ( t ) sono i coseni direttori dell sse tngente positivo t ll curv, llor f (, ) d = f (, ) cos ( t ) ds con indichimo l curv non orientt. = f, d f, cos t ds IV) Se l curv orientt è l somm di due rchi e, si h: = + f, d f, d f, d = + f, d f, d f, d V) Se M(,) e N(,) sono due funzioni continue nel dominio contenente l curv orientt, llor: M (, ) d + N (, ) d = M (, ) d + N (, ) d. ESEMPIO 5 Clcolre d dove è l rco di ellisse di equzione + = situto nel primo qudrnte e percorso 9 4 in senso ntiorrio. Le equzioni prmetriche dell ellisse[ iv ] dt sono: π = 3cost e = sent con t e il senso crescente del prmetro t è concorde con il verso positivo indicto. Si h pertnto: π π π 3 4 ; d = 9 cos t sent cos tdt = 36 cos t sent dt = 36 cos t = 9 4 ESEMPIO 6 Clcolre ( d + d) Figur 5 Curv reltiv ll esempio 5. dove è l curv chius, percors in senso ntiorrio, costituit dl segmento OA dell sse, A(,), dll rco AB dell circonferenz di equzione + =, B, e dl segmento BO (vedi figur 6). [ iv ] Più in generle le equzioni prmetriche di un ellisse di equzione + = sono dte d = cos t, = sent con t π 7
Poiché l curv è costituit d tre trtti si h: ( d d) ( d d) ( d d) + = + + + + OA BO ( d d) + + Il segmento OA dell sse h equzione =, quindi OA ( d d) + = AB Lungo l rco di circonferenz AB, scrivendol in coordinte polri: = cost e = sent con π t, si h: 4 3 3 ( ) ( ) AB π 4 π 4 π 4 d + d = sen t + cos t dt = cos t s entdt + sen t cos tdt = 3 3 5 4 = cos t cos t + sent sen t 3 3 = 6 Lungo il segmento BO, essendo =, si h: Rissumendo: π 4 3 ( d + d) = ( d + d) = d = =. BO 3 6 5 4 ( d + d) = ( d + d) + ( d + d) + ( d + d) = =. OA AB ESEMPIO 7 Clcolre ( d + d + zdz) prmetriche: = t, = t, BO ( ) 6 6 3 dove g è l rco di curv definito dlle equzioni z 3 = t con t, orientt nel senso delle t crescenti. Simo in presenz di un integrle curvilineo nello spzio, non ci sono prticolri difficoltà nell introduzione dell terz coordint, per cui si h: + + = + + = + + 3 = 3 3 4 8 d d zdz t dt t t d t t t t d t t t t dt 3 5 9 = + + = 6 t t 3 t 3 5 9 5 Figur 6 Curv reltiv ll esempio 6 8
3 Integrli contenenti un prmetro Si f(,) un funzione continu in un rettngolo, R :,c d. { } = Assegnto un vlore, l f(,) divent un funzione dell sol vriile. Esiste quindi f, d Questo integrle h un vlore determinto per ogni dell intervllo [c,d]; esso definisce quindi un funzione F() definit in [c,d] e scriveremo: (7) F = f, d Figur 7 ominio rettngolre. Questo integrle prende il nome di integrle definito dipendente dl prmetro. Si clcol considerndo l costnte. ESEMPIO 8 Ad esempio, si h: 3 4 F d 3 5 = + = + 4 = + 4 Per l funzione F ( ) definit dll (7) si hnno i seguenti teoremi: ) Se f(,) è continu nel rettngolo I, nche F ( ) è continu nell intervllo [ c,d ]. ) Se f(,) è un funzione continu insieme ll su derivt przile prim rispetto nel c,d e risult rettngolo I, llor F ( ) è derivile in ogni punto di [ ], d ' F ' ( ) = f (, ) d = f (, ) d d cioè, l derivt dell integrle rispetto l prmetro si ottiene clcolndo l integrle dell derivt rispetto dell funzione integrnd. ESEMPIO 9 Clcolre l derivt dell integrle: visto nell esempio 8. In se l teorem si h: 3 = ( + ) F d d 3 3 F ' ( ) = ( ) d ( ) d ( ) d 3 d + = + = = = 9
Utilizzndo il risultto dell esempio 8, cioè che F = 3 + 5, derivndo rispetto, si ot- 4 tiene: F ' ( ) 3 =. ESEMPIO Clcolre l derivt dell integrle: Si h: = ( + ) F ln d 3. F ' ( ) = ln( + ) d = d = ln( + ) = ln( + ) ln = ln +. + Allo stesso risultto si perviene prim integrndo e poi derivndo. L regol di derivzione dt sopr può essere generlizzt come segue: β due funzioni continue dell vriile nell intervllo [c,d] e supponimo che Sino α e risulti, per ogni di [c,d]: Esiste llor per ogni di [c,d], l integrle: α( ) β( ). β ( ) α ( ) f, d ed è un funzione F() dell sol vriile definit d Sussiste il seguente teorem: β ( ) F ( ) = f (, ) d α ( ) TEOREMA Se f(,) un funzione continu insieme ll su derivt przile prim rispetto β sono derivili nell intervllo [c,d], llor F() è nel rettngolo I e se le funzioni α e derivile e si h: ( ) d ' (8) F ' ( ) = f (, ) d = f (, ) d + f β( ), β' ( ) f α( ), α' ( ). d β α ( ) ( ) β α ( ) ESEMPIO Clcolre l derivt dell funzione:
Si h: tg F ( ) = ( + ) d. sen tg tg d F ' ( ) = ( + ) d = ( + ) d + ( tg + ) ( sen + ) cos = d cos sen sen tg tg + = d + ( tg + ) ( sen + ) cos = tg sen + ( sen + ) cos cos cos sen Se prim integrimo e poi derivimo si h: e derivndo tg tg 3 3 3 F = + d = + tg tg sen sen 3 = + 3 3 ( sen ) sen tg + F ' = tg + tg + sen cos sen cos = tg sen + + cos cos cos cos sen ESEMPIO Clcolre l derivt di: in =. = ( + + ) F ln d Si h: F ' rctg ln rctg ln + + + + = + ( + ) = + ( + ) = +. E quindi F ' ( ) rctg ln( 3) ESEMPIO 3 Clcolre le derivte przili prime dell funzione: ( t) F, = e dt. In questo cso l funzione F dipende d due prmetri (,). Le considerzioni ftte sopr vlgono ncor.
F ( t) ( ) ( t) ( t) ( ) = e dt + e = t e dt + = e + = e F = e dt e = dt e = e ( t) ( ) ( ) ( ) ESEMPIO 4 imostrre che l funzione: π sen F e d = h un minimo reltivo nel punto =. Bisogn dimostrre che per = l funzione F() h derivt prim null e derivt second positiv. Si h: Inoltre: e 4 Integrli doppi π π sen sen F ' = e d = sene d π π = = sen sen F '' sene d sen e d π π sen [ ] F ' = sene d = send = cos = π π π sen sen cos = = = = π > F '' sen e d sen d È intuitiv l estensione del concetto di integrle per le funzioni in due vriili considerte in un rettngolo: { } =, R : ;c d. Considerimo un funzione f(,) continu nel dominio ; come imo visto nel prgrfo precedente, se considerimo come un prmetro, possimo definire l funzione su volt l funzione F = f, d. Se F è integrile nell intervllo [c,d], llor definimo l integrle doppio sul dominio nel modo seguente: d d f (, ) dd = d f (, ) d = d f (, ) d. c c In questo cso l ordine con cui viene svolt l integrzione non è importnte. π Figur 8 ominio normle rispetto ll sse Si or R un dominio normle rispetto ll sse, cioè: { } =, : ; α β R ;
e si funzione f(,) continu nel dominio, sempre in relzione qunto detto nel prgrfo precedente, possimo definire l integrle doppio sul dominio come: In modo nlogo, se ( ) f (, ) dd = d f (, ) d. α β R è un dominio normle rispetto ll sse (vedi figur 3), cioè: { } =, : ; α β R ; e f(,) un funzione continu in, si h: ( ) f (, ) dd = d f (, ) d. α Più in generle: si R un insieme limitto, chiuso, non vuoto e misurile[ v ] e f(,) un funzione continu in. Considerimo or un decomposizione dell insieme in n porzioni chiuse, limitte e misurili:,,, i, n, non venti due due punti interni comuni. In ciscuno di questi sceglimo un punto ritrrio P ξ, η (i =,,, n) e considerimo l somm: i i (9) ( ξ η ) β n f i, i misi. i= È evidente che ssegnto un numero positivo δ, minore del dimetro[ vi ] di, l insieme può essere decomposto in infiniti modi, tr loro diversi, in insieme przili chiusi e misurili, non venti punti in comune che mmettono δ come mssimo dimetro. L somm (9) è pertnto un funzione di δ, si h quindi l seguente definizione: EFINIZIONE Se esiste finito il limite n lim f ( ξi, ηi ) misi δ i = l funzione f(,) si dice integrile secondo Riemnn, nell insieme, e il vlore di questo limite si chim integrle doppio dell funzione f(,) esteso ll insieme e si indic: PROPRIETA EGLI INTEGRALI OPPI. f (, ) dd. I) Se k è un numero qulsisi e un insieme limitto chiuso e misurile, risult: d cui segue che l re di si ottiene d: kdd = k mis Figur 9 ominio normle rispetto ll sse [ v ] Il concetto di misurilità per un insieme è stnz complesso ed esistono diverse teorie dell misur. Per i nostri scopi è sufficiente un concetto elementre di misur di un insieme che deriv dll teori di Peno e Jordn. Un insieme è misurile se è possiile determinrne l re; l geometri elementre ci permette di determinre le ree di lcune figure pine (tutte quelle decomponiili in un numero finito di tringoli) e con l uso degli integrli definiti imo clcolto l re di trpezoidi e di figure più complesse. Indicheremo con mis l misur dell re dell insieme. [ vi ] Il dimetro di un insieme è l mssim distnz tr due punti di. 3
dd = re II) Se k e h sono due costnti e f (, ) e kf (, ) + hg (, ) dd = k f (, ) dd + h g (, ) dd. g, due funzioni integrili nell insieme, llor: III) Se f (, ) è integrile nell insieme limitto chiuso e misurile, nche f, è integrile in, e si h: f (, ) dd f (, ) dd. IV) Se f (, ) è integrile nell insieme limitto chiuso e misurile che è unione degli insiemi e nch essi limitti chiusi e misurili, privi di punti interni comuni, si h: f (, ) dd = f (, ) dd + f (, ) dd V) Teorem dell medi Se f limitto chiuso e misurile, risult:, è integrile nell insieme f, dd = λ mis ove λ è un opportuno numero compreso tr l estremo inferiore e superiore dell f(,) in. Se f(,) è un funzione continu e non negtiv in un insieme limitto chiuso e misurile, l integrle doppio, geometricmente, è il volume del cilindroide compreso tr l funzione f(,) e il dominio del pino. Si h nche che, se f(,) e g(,) sono due funzioni integrili sull insieme limitto chiuso e misurile e se f(,) < g(,) in, llor l integrle doppio Figur Significto geometrico dell integrle doppio. è il volume dell insieme f, g, dd { 3 } T =,,z R :, e g, z f,. ESEMPIO 5 Clcolre ( + ) dd dove è il tringolo di vertici O(,), A(,), B(,). Il dominio è normle si rispetto ll sse, si rispetto ll sse, e possimo scriverlo, considerndolo normle rispetto : { R } =, : e ( ) ( ) + dd = d + d = d + = Figur ominio reltivo ll esempio 5. 4
= ( ) + ( ) d = + + d = [ ] d = = ESEMPIO 6 Clcolre. dd dove è il qudrto di vertici + O(,), A(,), B(,), C(,). Il dominio è normle si rispetto ll sse, si rispetto ll sse ; si h: dd = d d = d ln( + ) = ln( + ) d = + + = + ln + = ln Figur ominio reltivo ll esempio 6. ESEMPIO 7 Clcolre dd dove è l prte di pino rc- chius tr le prole di equzione = 4 e = 4. Il dominio è normle si rispetto ll sse, si rispetto ll sse ; le due prole si intersecno nei punti = e = 4; il dominio è quindi definito dlle limitzioni: Si h quindi: 4, 4 4 4 4 4 5 3 6 64 dd = d d = d = d = = 3 3 9 3 4 4 Figur 3 ominio reltivo ll esempio 7. ESEMPIO 8 Clcolre dd dove è il cerchio di cen- tro (,) e rggio. Considerimo il dominio è normle rispetto ll sse. L equzione dell circonferenz è + = e quindi = e = +. Il dominio è quindi definito dlle limitzioni: Si h quindi:, + Figur 4 ominio reltivo ll esempio 8. 5
+ + + [ ] [ ] dd = d d = d = d = 3 8 = + d = d = = 3 3 CAMBIAMENTO I VARIABILE vriili in un dominio T, nch esso limitto chiuso e misurile. E sino ( u,v ) e Il prolem del cmimento di vriili nel cso degli integrli doppi è en più complesso del cso delle funzioni un vriile. Considerimo quindi un funzione f(,) definit in un insieme limitto chiuso e misurile e supponimo che le vriili e dipendno dll coppi di vriili u, v, cioè = ( u,v) = ( u,v) u,v funzioni continue con le derivte przili prime in T. Si definisce determinnte jcoino delle trsformzioni l funzione u v J ( u,v) = = u v v u u v e lo si suppong sempre diverso d zero in T. Si h llor: ESEMPIO 9 Clcolre f (, ) dd = f ( u,v ), ( u,v) J ( u,v) dudv. T + dd dove è l semicoron circolre di ordinte non neg- tive di centro nell origine e rggi e 3. Effettuimo un trsformzione in coordinte polri: = ρcos θ e = ρsenθ. Il determinnte jcoino è quindi: cos θ ρsenθ J ( ρ, θ ) = = ρ( cos θ + sen θ ) = ρ. Il dominio senθ ρcos θ viene trsformto nel dominio T delimitto d: ρ 3 e θ π. Si h quindi: d cui segue: dd d d + = ρ ρ θ T 3 π 3 3 π 9 ρ dρ dθ = ρ [ θ ] = ( 7 8) π = π. 3 3 3 Figur 5 ominio reltivo ll esempio 9. Si osservi come in questo cso le due vriili sino seprili e quindi gli integrli sono indipendenti, ciò signific che possono essere clcolti indipendentemente l uno dll ltro. 6
ESEMPIO Clcolre ( + ) dd dove è l re- gione pin dt in figur, ovvero l regione limit dll sse, dll circonferenz di centro l origine e rggio e dll circonferenz di centro (,) e rggio. Effettuimo un trsformzione in coordinte polri. L circonferenz di centro (,) e rggio h equzione polre ρ = cos θ, quell di centro l origine e rggio h equzione polre ρ = ; inoltre il punto B h coordinte polri, π 3, si ρ = cos θ ricvno risolvendo il sistem. ρ = ρ θ = ρ si h: Ricordndo che J (, ) π 3 cosθ π 3 cosθ π 3 π 3 3 4 4 4 Ricordndo che + dd = dθ ρ dρ = dθ ρ = cos θdθ dθ 4 4 4 3 3 3 cos θdθ = cos θsenθ + senθ cos θ + θ si h: 4 8 8 π 3 3 3 π 3 7 3 5π 4 4 8 8 4 6 3 ( ) dd cos sen sen cos [ ] + = θ θ + θ θ + θ θ = + Come nel cso degli integrli in un sol vriile, è possiile clcolre nche integrli doppi impropri, si per funzioni che non sono continue in tutti i punti del dominio (è sufficiente che l insieme in cui l funzione non è continu i misur null, per esempio un insieme costituito d un numero finito di punti, m non ci occuperemo di queste situzioni), si nel cso in cui il dominio non si limitto. i questo secondo cso dremo un esempio importnte. ESEMPIO Clcolre Clcolimo prim In coordinte polri si h: È intuitivo che ( + ) e dd dove è tutto il pino. ( + ) e dd dove C è il cerchio di centro l origine e rggio r. C π r r ρ ρ r [ ]. C ( + ) π e dd = dθ e ρdρ = θ e e = π ( ) ( ) e + dd = lim e + dd, quindi r + C ( + ) r e dd = lim π( e ) = π. r + Figur 6 ominio reltivo ll esempio. OSSERVAZIONE Il risultto ottenuto nell esempio precedente consente di clcolre il vlore dell integrle di Guss:. 7
+ e d. Indichimo con Q l il qudrto del pino che h come estremi opposti i punti ( l, l) e (l,l), tenendo conto del risultto dell esempio precedente, possimo nche scrivere: ( + ) ( + ) Quindi = l + Ql e dd lim e dd l l l l l + + e dd = d e d = e d e d = e d Ql l l l l l m per definizione: +, l ( + ) ( + ) ( + ) e d = lim e d = lim e dd = lim e dd = e dd = π. l + l + l + Essendo poi l Ql Ql + + e d = e d si h: + π e d =. 5 Formule di Green nel pino e teorem dell divergenz Un insieme R si chim dominio regolre rispetto ll sse qundo: ) è decomponiile in un numero finito di domini normli i rispetto ll sse, due due senz punti in comune, cioè: n = e i j = se i j; i= i ) l frontier di ciscun dominio i (che indicheremo con ) è un curv generlmente regolre; i 3) l intersezione delle frontiere di due qulsisi fr i domini i, se non è vuot, è costituit l più d un numero finito di curve generlmente regolri o d un numero finito di punti isolti. Nell figur 7 è dto un esempio di dominio regolre rispetto ll sse. Figur 7 ominio regolre rispetto ll sse. Scmindo l con l si può introdurre il concetto di dominio regolre rispetto ll sse. Un dominio si dirà regolre se è regolre si rispetto ll sse si rispetto ll sse. L frontier di un dominio regolre (rispetto ll sse o rispetto ll sse ) è sempre costituit d un numero finito di curve generlmente regolri. 8
Ogni curv di può essere percors in due versi, quello positivo è quello secondo il qule deve muoversi un osservtore per vere sempre ll su sinistr l interno del dominio (nell figur il verso positivo dell frontier è indicto dlle frecce. TEOREMA Se è un dominio regolre rispetto ll sse e f(,) un funzione continu in ssieme ll su derivt przile rispetto, frontier inclus, sussiste l seguente formul di Green:. () = f dd f, d Anlogmente, se è un dominio regolre rispetto ll sse e g(,) un funzione continu in ssieme ll su derivt przile rispetto, frontier inclus, vle l formul: + g dd g, d. () = IMOSTRAZIONE Considerimo per prim cos il dominio normle rispetto ll sse e supponimo che i un frontier costituit d curve generlmente regolri: con α() < β() internmente d [,,]. Si h: ( ) f f β( ) dd = d d = f (, ) d = α( ) α β ( ) + :, α() β() ( ) = f, f, β α d = = f β, d f α, d L frontier di, percors in senso positivo prtire dl punto A Figur 8 Figur reltiv ll dimostrzione delle formule di Green. (vedi figur 8) si compone delle curve: σ : il segmento AB di equzione = con che vri tr α() e β(), in cui si h σ (,) d = f perchè su σ d = ; σ : il trtto di curv di equzione = β() con che vri tr e, in cui si h σ f (,) d = f ( β( ),) d ; σ 3 : il segmento EF di equzione = con che vri tr β() e α(), in cui si h σ (,) d = f perchè su σ 3 d = ; 3 σ 4 : il trtto di curv di equzione = α() con che vri tr e, in cui si h 9
σ Pertnto 4 f (,) d = f ( α( ),) d. f, d = f, d + f, d + f, d + f, d = + σ σ σ3 σ4 ( ) ( ) ( ) = f β, d + f α, d = f β, d f α, d Ciò dimostr l () nel cso in cui il dominio è normle rispetto ll sse. Rest d dimostrre che l () continu vlere per un qulunque dominio regolre rispetto ll sse. Per fre ciò, st osservre che un dominio regolre rispetto ll sse può essere decomposto in domini i normli rispetto ll sse, e che ci sono trtti delle frontiere dei vri i che vendono percorsi un volt in un senso, un ltr volt in senso opposto. Per rendersi conto di ciò considerimo il dominio dell figur 8, inftti, pplicndo le formule di Green i domini normli,, 3, 4, si h: f dd = f (, ) d = f (, ) d + f (, ) d + f (, ) d ; + AB BC C f dd f, d f, d f, d f, d f, d = = + + + ; + BF FG GC CB f dd f, d f, d f, d f, d = = + + ; 3 + 3 GF FE EG f dd f, d f, d f, d f, d f, d = = + + +. 4 + 4 BA AE EF Sommndo memro memro e ricordndo che = 3 4 AB FB f, d f, d si h: + f f f f f dd = dd + dd + dd + dd = = f (, ) d + f (, ) d + + + BC C BF FG f, d f, d f, d + f (, ) d f (, ) d + f (, ) d + f (, ) d f + + + GC BA CB f (, ) d + f (, ) d + f (, ) d + f AE GF EF FE FB +, d + C BF GC EG AE FB +, d EG = f, d + f, d + f, d + f, d + f, d + f, d = = f, d In ogni punto non ngoloso di si consideri l tngente t orientt secondo il verso positivo e l
normle n orientt verso l interno di. Si h, ovvimente tn = 9. ll geometri elementre, sugli ngoli, si h: t = n e t = n 8 ; e quindi: cos t = cos n e cos t = cos n 8 = cos n. ll definizione dei coseni direttori di un sse orientto segue: d cos n = cos t = ds cos n = cos t = d ds L () e l () possono quindi essere scritte nell form: () f dd = f (, ) cos n ds. g dd = g, cos n ds. (3) NOTA: in questo cso l frontier di non è orientt. ALCUNE CONSEGUENZE ELLE FORMULE I GREEN NEL PIANO TEOREMA ELLA IVERGENZA Se il dominio è regolre e se vlgono simultnemente l () e l () [o l () e l (3)], llor sommndo memro memro si ottiene: f g (4) + dd = f (, ) d g (, ) d oppure (5) + f g + dd = f, cos n + g, cos n ds. Se u è un vettore, pplicto l punto P(,), di componenti f(,) e g(,), l funzione f g + chim divergenz del vettore u, e si indic con divu. Ricordndo l definizione dell opertore f g nl, si h nche divu = u = + (dove il punto st per il prodotto sclre). Se indichimo con n il versore normle, in P, ll frontier di, orientto verso l interno di, si h: n = ( cos n,cos n). Ne consegue che il prodotto sclre tr u e n è dto d: u n = f, cos n + g, cos n. L espressione (5) divent: (6) divu dd = u n ds. L relzione (6) esprime il teorem dell IVERGENZA nel pino. Il secondo memro dell (6) si chim flusso del vettore u uscente d. Figur 9 Asse tngente ed sse normle ll frontier di un dominio. si
INTEGRAZIONE PER PARTI Si può scrivere un sort di espressione per l integrzione per prti per gli integrli doppi. Inftti dll relzione ( uv) v u dd = u + v dd = u (, ) v (, ) d segue: Anlogmente d segue: + v u u dd = u (, ) v (, ) d v dd. + + uv v u dd = u + v dd = u (, ) v(, ) d v u u dd = u (, ) v(, ) d v dd. + FORMULA I RIUZIONE PER GLI INTEGRALI OPPI Se f(,) è un funzione continu in regolre rispetto ll sse e se si conosce un primitiv F F(,) rispetto, cioè se = f (, ) in tutto, llor: F f (, ) dd = dd e quindi f (, ) dd = F (, ) d. Anlogmente se è regolre rispetto ll sse e dell f(,) si conosce un primitiv G(,) rispetto, cioè se = f (, ) in tutto, llor: G CALCOLO ELLE AREE ll () e dll () si h: re = dd = d + f (, ) dd = G (, ) d. + d cui segue, sommndo memro memro: (7) re = ( d d ). + ESEMPIO Clcolre ( + ) e + re = dd = d dd dove è il domi- nio limitto dll sse delle e dll rco di cicloide di equzioni prmetriche con t π. = t sent = cos t ll () segue: Figur Reltiv ll esempio. +
( + ) = ( + ) = ( + ) ( + ) dd d d d + dove è il segmento orientto OP e l rco di cicloide percorso nel senso PAO. Tenendo conto che su è =, si h: ( ) + dd = + d = π = t sent cos t + cos t cos t dt = 5π + 3π ESEMPIO Clcolre l re dell ellisse di semissi e. Le equzioni prmetriche dell ellisse sono: = cos t e = sent con t π. ll (7) si h: π π re = d d = cos t cos t + sent sent dt = dt = π + ESEMPIO 3 Clcolre dd dove è l regione fini- + t di pino compres tr le prole di equzione =. Si osserv che =, per cui: + + dd = dd = + + dove è l prol curv di equzione = d = d d + + + = e + = percors nel senso delle crescenti e è l prol =, percors nel senso delle decrescenti. Si h quindi: d = d = + d = + ln( + ) = + ln + + + t π d = d = dt = dt = [ t rctgt] = + + + + t + t nel secondo integrle si è effettut l sostituzione: t =. Si h quindi: π 5 π dd = + ln + = ln +. Figur Reltiv ll esempio 3. =, ovvero l 3