I crcu Defnzone: s defnsce crcuo un crcuo elerco n cu al generaore d fem sono collega una ressenza e un condensaore. V cordamo che per un condensaore è possble defnre la capacà come l rapporo ra la carca accumulaa sulle sua armaure e l rapporo ra la dfferenza d poenzale cu è sooposo, coè: arca e scarca d un crcuo. onsderamo ora un crcuo apero, coè ale n cu non crcol correne(perano la carca presene sulle armaure è nulla). V V Se chudamo l crcuo, la correne mpega pù empo a raggungere l nensà d regme, n quano pare dell energa che essa raspora vene ulzzaa dal condensaore per accumulare carca sulle armaure, solano quando le armaure avranno ragguno l valore massmo d carca cumulable, la correne porà crcolare con valore cosane alla velocà d regme sazonaro, perano essa dpenderà dal empo e poremo scrvere per l nensà della correne ( ).
Infa quando s chude l crcuo la carca non sarà pù nulla, ma varerà nel empo (chameremo la carca () per ogn sane ); d conseguenza comparrà una dfferenza d poenzale armaure del condensaore, varable nel empo con la carca. V ra le Ulzzamo l secondo prncpo d Krchhoff per mposare l equazone che descrve le cadue d poenzale del crcuo chuso. V Abbamo, consderando la magla che compone l crcuo: sala d poenzale n corrspondenza del generaore d fem; cadua d poenzale n corrspondenza della ressenza; cadua d poenzale n corrspondenza del condensaore V ( ) Perano possamo scrvere: fem V ( ) 0 che dpende dal empo. La cadua d poenzale è maggore all nzo, n quano l condensaore è scarco e resce ad accumulare una maggore quanà d carca. Vedamo d deermnare l valore della dfferenza d poenzale sulle armaure del condensaore esplcando la dpendenza dal empo sa della correne sa della carca: fem ( ) V ( ) 0 cordando la defnzone d capacà per un condensaore possamo scrvere nel nosro V ( ) ( ) caso, enendo cono della varable empo, V fem ( ) ( ) La correne elerca (meda) è defna come la quanà d carca che passa araverso una sezone (d flo) n un deermnao nervallo d empo, coè: 0
( ) Se consderamo nervall d empo sempre mnor, sno a gungere a 0, possamo scrvere: ( ) lm ( ) 0 he rappresena la correne elerca sananea. onsderamo qund l equazone nzale, quella oenua applcando l secondo prncpo d Krchhoff: fem ( ) ( ) e sosuamo n essa, al poso dell nensà d correne, la defnzone sessa d correne ( ) fem ( ) ( ) andamo perano ad sudare l comporameno del crcuo nell nervallo d empo Poché le quanà: ( ) rappresena la quanà d carca che flusce nel crcuo e deermna l nensà d correne nell nervallo consderao ; rappresena un nervallo d empo (dverso da zero); osservare che allora ( ) dpende da ; Le posso ulzzare fare denomnaore comune nell equazone precedene, coè: raccolgo fem ( ) ( ) fem fem ra l prmo e l ulmo ermne: 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 [ fem ( ) ] ( ) 0 Separo ermn conenen gl ncremen per la varazone d empo : Isolamo le espresson conenen ( ) e ( ) ( ) [ fem ( ) ] ( ) fem ( ). Poché sa sa sono dvers da zero, posso elmnare l denomnaore comune. e per la varazone d carca
L equazone appena oenua rappresena l legame ra un ncremeno ra un nervallo d empo (varable ndpendene) e la rspeva varazone d quanà d carca ( ) (varable dpendene) che s accumula sula armaure del condensaore., sappamo che l comporameno d ( ) Se 0 è ale per cu: ( ) lm ( ) 0 oè l ncremeno nfnesmo per l empo d corrsponde ad un ncremeno nfnesmo per la carca d ale che l loro rapporo all nsane consderao da come rsulao la correne sananea. Allora per un sane d empo generco e possamo consderare le rspeve varazon nfnesme per l empo e per la carca, l equazone d prma dvena: ( ) d fem d ( ) Se l equazone appena scra rappresena l legame ra una varazone d empo nfnesma d e la rspeva varazone d carca d, possamo oenere un blanco ra la varazone d carca che avvene n un cero nervallo d empo [ 0 ;] sommando ra loro u conrbu appora a prmo e a secondo membro dalle varazon che avvengono nell nervallo consderao. Ma sommare d nervall nfnesm sgnfca calcolare l negrale ra due esrem. Poché la quanà d carca fnale dpende dal empo fnale, possamo scrvere che ad un nervallo d empo [ 0 ;] corrsponde una quanà d carca crescene che va da zero (nfa quando l crcuo vene chuso l condensaore è scarco e sulle armaure non c è quanà d carca) ad un valore generco (n funzone del empo ovvamene) [ 0 ;], qund dalla corrspondenza: [ 0; ] [ 0;] possamo scrvere, scrvendo solano e sonendendo ( ), coè la dpendenza della carca dal empo (espressa anche dal legame ra gl nervall appena llusrao): d fem Dove abbamo chamao le varabl da negrare 0 ( ) 0 d negrazone che sono rappresena dalle sesse leere, qund: [ ln( fem )], per non confonderle con gl esrem d 0 ( fem ) + ln( fem) ln 0
ln Passando al equazone esponenzale: ( fem ) + ln( fem) fem e + ln ( fem) fem + e e ln ( fem) fem e fem 1 e fem he rappresena al quanà d carca presene sulle armaure del condensaore nel momeno n cu s chude l crcuo e le lasre vengono carcae. Poché ( ) lm ( ) 0 oè l nensà d correne è la dervaa della quanà d carca rspeo al empo possamo deermnare l nensà d correne del crcuo dervando la relazone precedene rspeo al empo: 1 fem ( ) fem e e fem ( ) e Processo d carca d un condensaore n un crcuo Inensà d correne d carca d un condensaore n un crcuo Defnzone: la cosane che compare è la cosane caraersca d empo del crcuo, essa nfa ha le dmenson d un empo: V V [ ] [ ] Osservazone In realà l fenomeno d carca d un condensaore dura pochssmo come s verfca se s prende 5 10Ω e 1µF; allora la cosane d empo è dell ordne d 10 s. Dopo un empo T 5 s assume che l condensaore sa carco. und consderando da preceden s ha che l condensaore s carca n un empo T 5 10 5 s Vedamo un grafco che smul la carca d un condensaore quando l crcuo vene chuso.
Sa 2 e l valore fem 1, allora l equazone per la carca d un condensaore dvena: Il cu grafco è: 1 1 e 2 1 e 2 Il grafco è asnoco alla rea y 1 dopo un empo lmao (crca 10 second) con nosr da, nfa la carca deposaa sul condensaore ende ad un valore massmo asnoco come s deduce dal grafco e dal lme: 2 lm 1 e 1 + S può generalzzare quano deo per la carca deposaa sulle armaure del condensaore, coè essa ende ad un valore massmo al rascorrere del empo: lm fem e 1 + fem he dpende esclusvamene dalle grandezze che compongono l crcuo. A cap del condensaore, anche l nensà della correne è varable e dpende dal empo, nfa abbamo oenuo: fem ( ) e arca massma cumulable sulle armaure d un condensaore n un crcuo
on da dell esempo precedene abbamo: lm e 2 0 + oè la correne a cap delle armaure d un condensaore n un crcuo chuso ha nensà decrescene esponenzalmene nel empo, che ende asnocamene a zero. Il processo d scarca Una vola escluso l generaore d fem dal crcuo, l condensaore ulzzerà la V accumulaa sulle armaure per far crcolare correne nel crcuo, ale nensà però, sceglendo come verso della correne quello oraro (come n precedenza) crcola n verso opposo, rsulerà qund una correne negava. Imposando l equazone ulzzando prncp d Krchhoff s ha allora: oene: 0 0
d La carca però decresce dal valore massmo accumulao sulle armaure al corrspondene valore ( ), perano, rcordando la dpendenza ra carca e empo vsa prma per la carca s ha: M d [ ln( )] o d d M 0 ( ) ln( ) ln M ( ) ln ( ) ln M ( ) M e ln e M Se l processo d scarca avvene dopo un processo d carca, l valore accumulaa, coè fem, allora possamo scrvere: ( ) fem e M equvale alla carca Processo d scarca d un condensaore n un crcuo Per l nensà d correne possamo scrvere, dervando rspeo al empo: fem ( ) e Inensà d correne d scarca d un condensaore n un crcuo Esempo Ulzzando da dell esempo preceden per al carca, rappresenamo la scarca per un crcuo. uanà d carca presene sulle armaure del condensaore:
ome nel processo d carca, anche nella scarca, la quanà d correne dmnusce molo rapdamene, sno a gungere n breve empo a zero dopo un empo lmao, che d solo possamo consderare par a T 5. Andameno dell nensà d correne:
Il grafco mee n evdenza che la correne è negava, coè crcola n verso conraro a quella generaa dalla fem nzale, e la sua nensà dmnusce rapdamene nel empo, sno ad annullars dopo un empo lmao, che come prma possamo consderare par a T 5. Osservazone Nella rsoluzone del crcuo s è dovuo cercare per ( ) una funzone dpendene dal empo ale per cu la propra dervaa verfch un equazone n cu compare anche la sua dervaa ( ). Defnzone: s defnsce equazone dfferenzale del prmo ordne un equazone n cu una funzone ncogna ( ) e la relava dervaa prma ( ) condzone. devono soddsfare una deermnaa