CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

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1 CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE PER L ISTITUTO TECNICO SETTORE TECNOLOGICO Agraria, Agroalimentare e Agroindustria classe seconda PARTE PRIMA Disegno del rilievo Unità Didattica: Sistemi di coordinate (parte 1 a ) aggiornamento a.s a cura di LABTOPOMOREA

2 Le coordinate cartesiane e polari Per individuare univocamente la posizione di un punto sul piano abbiamo bisogno di due coordinate. Se il punto appartiene ad una retta basta solo una coordinata. Se il punto appartiene invece allo spazio abbiamo bisogno di tre coordinate. Perciò la retta viene detta spazio monodimensionale, il piano viene detto spazio bidimensionale, lo spazio è detto tridimensionale. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONALE ORDINATE ASCISSE È un sistema piano (quindi bidimensionale). Si chiama così perché è stato definito da Cartesio (filosofo del 1600) e gli assi sono tra loro ortogonali (=perpendicolari). E formato da 2 assi orientati (rette dotate di origine e verso) chiamati: - asse delle ascisse (x) - asse delle ordinate (y). Nel sistema cartesiano un punto P viene individuato da 2 coordinate P ( Xp; Yp ) Xp = PP Yp = PP Prof. ing. Fabio Anderlini pag.2 di 20

3 Esempio : il punto P di coordinate cartesiane (Xp = m ; Yp = m) dista dall asse delle y di 23,50 m e dall asse delle x di m. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.3 di 20

4 SISTEMA POLARE ASSE POLARE OP= DISTANZA tra polo O e punto P POLO AZIMUT (angolo di direzione) 0 θop 2π \ E un sistema piano (quindi bidimensionale). E formato da una retta orientata detta asse polare (p) dotata di origine Op (POLO) e verso. Nel sistema polare ci sono sempre due coordinate, la distanza OP e l'angolo. - OP = la distanza del punto P dall origine OP - θop = l'angolo di cui ruota un segmento, in senso orario partendo dall asse polare sino a sovrapporsi al segmento OP. P= punto che viene collimato ( mirato ) a cui si riferisce la misura P O=punto dove è posizionato il centro del goniometro (strumento topografico), 0 θop 2π L angolo, rappresentato con la lettera greca θop, viene chiamato anche AZIMUT (Angolo di direzione), non può essere negativo e non può superare l angolo giro. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.4 di 20

5 Esempio: il punto P di coordinate polari (OP = 35,89 m; θop = 56 g,8978 ) dista dall origine 35,89 m e dall asse polare di 56 g,8978. SCALA DI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Scala : rapporto numerico tra le misure lineari rappresentate nella carta e quelle reali corrispondenti. Esempio : scala 1: > vuol dire che a 1 cm nella carta corrispondono 1x200=200 cm (= 2.00 m) nella realtà. ---> vuol dire che a 15 cm nella carta corrispondono 15x200=3000 cm (= m) nella realtà. ---> vuol dire che a 2,00 m (=2x100=200cm) nella realtà corrispondono 200/200= 1 cm nel disegno. ---> vuol dire che a 58,68 m (=56,68x100=5668cm) nella realtà corrispondono 5668/200= 28,34 cm nel disegno. scala 1: > vuol dire che a 1 cm nella carta corrispondono 1x100=100 cm (= 1,00 m) nella realtà. ---> vuol dire che a 15 cm nella carta corrispondono 15x100=1500 cm (= 15,00 m) nella realtà. ---> vuol dire che a 58,68 m (=56,68x100=5668cm) nella realtà corrispondono 5668/100 = 58,7 cm nel disegno. scala 1: > vuol dire che a 10 mm nella carta corrispondono 10x25000= mm (= m) nella realtà. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.5 di 20

6 ---> vuol dire che a 0,2 mm nella carta corrispondono 0,2x25000=5000 cm (= 5,00 m) nella realtà. ESERCITAZIONI n.1 ESERCITAZIONE SULLE COORDINATE CARTESIANE E POLARI Parte N. 1 (FOGLIO : COORDINATE 1) PROBLEMA : TROVARE LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI DEL PUNTO (1) RIPORTATO IN UN DISEGNO IN SCALA 1:1000 IN CUI SONO INSERITI GLI ASSI CARTESIANI. A) A) Calcolo delle coordinate Cartesiane Sulla tavola sopra riportata (in cui è riportato un piano cartesiano e un goniometro centesimale) si individua un punto n. 1. Di questo si misurano con una squadretta la X1(= 3.0 cm) e la Y1 (= 8.0 cm), riportandole nella tabella posta nella facciata posteriore del foglio. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.6 di 20

7 Quindi si trasforma in scala (1:1000) la misura per ottenere i valori reali : X1 =3.0 x 1000 = 3000 cm Y1=8.0 x 1000 = 8000 cm Poiché nella seconda colonna i valori sono in metri (m) si dividono i valori per 100 X1=3000/100 = m Y1=8000/100 = m E si riportano nella seconda colonna. Si riportano infine affianco al punto 1 le coordinate cartesiane (30,00;80,00) B) calcolo delle coordinate polari. Si unisce con un righello l origine O con il punto 1, e sul goniometro si misura l angolo (espresso in gradi centesimali e crescente in sento orario) e con la squadretta la distanza O1 espressa in cm. Quindi si trasforma in scala (1:1000) la misura della distanza per ottenere i valori reali: Prof. ing. Fabio Anderlini pag.7 di 20

8 O1 =8.5 x 1000 = 8500 cm Poiché nella seconda colonna i valori sono in metri (m) si dividono i valori per 100 O1=8500/100 = m. N.B.: Il valore dell angolo rimane invariato. E si riportano nella seconda colonna. Si riportano infine affianco al punto 1 le coordinate polari (22,8 g ; 85.00). parte N. 2 (FOGLIO : COORDINATE 2) Dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari. PROBLEMA : DATE LE COORDINATE CARTESIANE REALI (ESPRESSE IN METRI) DI UN PUNTO (A) RIPORTARLE IN UN DISEGNO IN SCALA 1:1000 E CALCOLARNE LE COORDINATE POLARI REALI (IN METRI). A) coordinate Cartesiane Prof. ing. Fabio Anderlini pag.8 di 20

9 Sulla tavola sopra riportata (in cui è riportato un piano cartesiano e un goniometro centesimale) deve essere riportato il punto A di coordinate cartesiane reali note. XA = 80,00 m YA =70,00m Quindi si trasforma in scala (1:1000) la misura per ottenere i valori del disegno : XA=80,00/1000 = 0,08 m YA =70,00/1000 = 0,07 m Poiché nella seconda colonna i valori sono in cm si moltiplicano i valori per 100 XA=0,08 x 100 = 8,0 cm YA=0,07 x 100 = 7,0 cm E si riportano nella seconda colonna. Si riporta quindi il punto nel disegno grazie a queste coordinate in cm scrivendo affianco le coordinate reali ( 80,00;70,00). B) calcolo delle coordinate polari. Si procede come nel precedente esercizio. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.9 di 20

10 parte N. 3 (FOGLIO: COORDINATE 3) Dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane. PROBLEMA : DATE LE COORDINATE POLARI REALI (ESPRESSE IN METRI) DI UN PUNTO (A) RIPORTARLE IN UN DISEGNO IN SCALA 1:1000 E CALCOLARNE LE COORDINATE CARTESIANE REALI (IN METRI). (vedi disegno esercizio precedente) A) coordinate polari Sulla tavola sopra riportata (in cui è riportato un piano cartesiano e un goniometro centesimale) deve essere riportato il punto A di coordinate polari reali note. θoa = 68 g,80 0A = m Quindi si trasforma in scala (1:1000) la misura per ottenere i valori del disegno: θoa = 68 g,80 01 = 98,10/1000= 0,098 m Poiché nella seconda colonna i valori sono in cm si moltiplicano i valori per 100 Prof. ing. Fabio Anderlini pag.10 di 20

11 θoa = 68 g,80 0A = x 100 = 9.8 m E si riportano nella seconda colonna. Si riporta quindi il punto nel disegno grazie a queste coordinate (serve una squadretta e si deve usare il goniometro già riportato) in cm e gradi centesimali scrivendo affianco le coordinate reali (68 g,80 ; 98,10 m). B) calcolo delle coordinate cartesiane. Si misurano con una squadretta la XA (= 8,6 cm) e la YA (= 4,6 cm), riportandole nella tabella. Si trasformano quindi le misure del disegno (espresse in cm) in scala 1:1000 e in metri: XA=8,6 x 1000 /100 = 86,00 m YA=4,6 x 1000 /100 = 46,00 m Anche questi valori vengono riportati nella colonna realtà. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.11 di 20

12 Nel disegno si riportano affianco anche le coordinate cartesiane (86,00;46,00). N.B.: QUEST ULTIMA ESERCITAZIONE VERRÀ UTILIZZATA PER IL DISEGNO DI RILIEVO DEL CORTILE DELLA SCUOLA. PER L OCCASIONE SI USERÀ IL TEODOLITE PER MISURARE GLI ANGOLI E UNA RULLETTA METRICA PER MISURARE LA DISTANZA. n.4 RILIEVO TRAMITE COORDINATE POLARI Esercitazione in campagna Lo scopo dell esercitazione è quello di effettuare il rilievo di un piccolo appezzamento di terreno (per. es. il campo di calcetto, il cortile della scuola). Si fa stazione col teodolite al centro S del terreno e si mettono le paline nei vertici 1, 2, 3, 4. Ogni alunno batte un vertice col teodolite e misura l angolo azimutale(orizzontale) e la distanza della stazione dal punto battuto, riportando i dati sul quaderno di campagna secondo lo schema di seguito riportato. Esercitazione in classe Con la matita e su un foglio di carta in scala adeguata si riporta il rilievo utilizzando goniometro e squadretta. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.12 di 20

13 Lo stesso si fa con il CAD. Redazione della relazione (vedi schema) sull esercitazione per consegnarla al docente. Approfondimento n.3 : SCHEMA RELAZIONE ILLUSTRATIVA I dati del rilievo vengono elaborati in classe nella relazione da presentare al docente secondo lo schema seguente. n.2 UTILIZZO DEL TEODOLITE Esercitazione in campagna L esercitazione consiste nel saper usare il teodolite (= goniometro dotato di cannocchiale). Si passa attraverso le seguenti fasi : 1. messa in stazione del teodolite tramite livella torica 2. messa a fuoco dell oggetto 3. messa a fuoco del reticolo 4. utilizzo viti di bloccaggio e piccoli spostamenti 5. lettura angolo orizzontale (Hr= angolo orizzontale (H) gradazione destrorsa ( r )) Ogni alunno deve saper fare le suddette operazioni. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.13 di 20

14 TRASFORMAZIONE DI COORDINATE Nella pratica è ricorrente la necessità di passare dalle coordinate polari di un punto, alle coordinate cartesiane dello stesso punto. In fase di rilievo, in campagna (all esterno dello studio) la posizione dei punti viene acquisita in COORDINATE POLARI, mentre nella fase di restituzione, a tavolino (nello studio, in ufficio), la rappresentazione grafica (disegno della MAPPA) avviene per COORDINATE CARTESIANE (si riesce a disegnare con maggior precisione un segmento che degli angoli). Trasformazione da coordinate polari a cartesiane Imponiamo le seguenti semplificazioni, facciamo coincidere: il POLO del sistema polare con l ORIGINE del sistema cartesiano l ASSE POLARE del sistema polare con asse delle ORDINATE (asse Y) Prof. ing. Fabio Anderlini pag.14 di 20

15 Si può sintetizzare il problema nel seguente modo: DATI INCOGNITE θop AZIMUT OP DISTANZA XP=PP YP=OP Osserviamo che nel TRIANGOLO OPP i cateti PP =XP e OP =YP rappresentano le coordinate del punto P, quindi risolvendo lo stesso triangolo utilizzando le formule di definizione del seno e coseno di un angolo si ha: X Y P P = OP senϑ = OP cosϑ OP OP Queste formule valgono perfettamente anche quando il punto P si trova negli altri quadranti, le coordinate avranno segno positivo o negativo in funzione del seno e coseno dell azimut del punto. Quadrante Sen θop XP Cos θop YP I II III IV Trasformazione da coordinate polari a cartesiane Si può sintetizzare il problema nel seguente modo: DATI INCOGNITE XP=PP YP=OP θop AZIMUT OP DISTANZA Osserviamo che dal TRIANGOLO OPP i cateti PP =XP e OP =YP rappresentano le coordinate del punto P, mentre il lato OP rappresenta l ipotenusa e l angolo θop rappresenta l angolo nel vertice O. Quindi risolvendo lo stesso triangolo utilizzando le seguenti formule di si ha: Prof. ing. Fabio Anderlini pag.15 di 20

16 OP = 2 ( X + 2 P Y P ) ϑ OP X = arctan( ) Y P P + K Per la seconda formula (θop) il valore della costante K è determinato dai segni del numeratore e denominatore della frazione (che determina il quadrante), nella tabella sottostante si può ricavare tale valore di K (attenzione per π si intende l angolo piatto espresso nel sistema angolare in uso. Quadrante XP YP K I II + - π III - - π IV - + 2π Coordinate parziali e totali. Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano di assi X,Y e origine O che chiameremo sistema principale. Sia A un punto definito dalle sue coordinate cartesiane XA e YA. Assumiamo poi un altro sistema di riferimento con origine in A e assi coordinati paralleli a quelli del sistema principale; chiameremo tale sistema di riferimento sistema secondario e indicheremo i suoi assi con le lettere minuscole x, y. Un generico punto B potrà essere riferito tanto al sistema principale, quanto a quello secondario. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.16 di 20

17 Le coordinate di B nel sistema principale: XB, YB - coordinate totali Le coordinate di B nel sistema secondario con origine in A: (xb)a, (yb)a si leggono: ascissa di B rispetto ad A ordinata di B rispetto ad A - coordinate parziali Tra le coordinate totali e parziali si possono scrivere le seguenti relazioni: (xb)a=xb-xa (yb)a=yb-ya XB = XA+(xB)A e anche: YB = YA+(yB)A Tutti gli elementi sono numeri relativi, occorrerà tenere ben conto dei rispettivi segni, le somme sono da intendere in senso algebrico (il risultato può essere positivo o negativo). Se immaginiamo di assumere anche un sistema polare con polo in A e asse polare coincidente con y, θab (AZIMUT) e AB (DISTANZA) sono le coordinate polari di B rispetto a questo sistema che ha origine in A, c è relazione tra θab (AZIMUT) e AB (DISTANZA e (xb)a, (yb)a, in quanto elementi dello stesso triangolo rettangolo ABM. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.17 di 20

18 Si ha: ( x ) = AB senϑ XB = XA+AB x senθab B A AB ( y ) = AB cosϑ e anche: YB = YA+AB x cosθab B A AB Tutti gli elementi sono numeri relativi, occorrerà tenere ben conto dei rispettivi segni, le somme sono da intendere in senso algebrico (il risultato può essere positivo o negativo). Distanza tra due punti di coordinate cartesiane note Si può sintetizzare il problema nel seguente modo: DATI INCOGNITE XA ; YA XB ; YB θab AZIMUT AB DISTANZA Prof. ing. Fabio Anderlini pag.18 di 20

19 Osserviamo che dal TRIANGOLO ABM i cateti BM=(XB)A e AM=(yB)A rappresentano le coordinate del punto B, mentre il lato A B rappresenta l ipotenusa e l angolo θab rappresenta l angolo nel vertice A. Quindi risolvendo lo stesso triangolo utilizzando le seguenti formule di si ha: A B = + 2 (( X B X A) + ( YB YA ) 2 ϑ AB X + X A = arctan( ) Y + Y B + B A K Per la seconda formula (θab) il valore della costante K è determinato dai segni del numeratore e denominatore della frazione (che determina il quadrante), nella tabella sottostante si può ricavare tale valore di K (attenzione per π si intende l angolo piatto espresso nel sistema angolare in uso). Quadrante XP YP K I II + - π III - - π IV - + 2π Un segmento AB ha due angoli di direzione (uno per estremo) che differiscono di un angolo piatto: θba=θab ± π Dove π è inteso come angolo piatto nel sistema angolare in uso. Si usa il segno più quandoθab è minore dell angolo piatto. Si usa il meno quandoθab è maggiore dell angolo piatto. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.19 di 20

20 Si può anche calcolare un angolo per differenza di angoli di direzione: α=θac-θab l angolo α si calcola facendo la differenza tra l angolo di direzione a destra meno l angolo di direzione a sinistra, se il risultato è negativo (l angolo di direzione più a destra inferiore a quello a sinistra, cioè lo zero sta in mezzo all angolo), al risultato si aggiunge l angolo giro. α=θac-θab+2π Se si riscontrano errori nel testo si prega informare l autore che provvederà alla relativa correzione. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.20 di 20