Corso Analisi Matematica e Geometria - Laurea Magistrale in Ingegneria Navale Esami scritti e prove intermedie - parte di GEOMETRIA

Transcript

1 Corso Analisi Matematica e Geometria - Laurea Magistrale in Ingegneria Navale Esami scritti e prove intermedie - parte di GEOMETRIA FOGLIO di GEOMETRIA - prova intermedia novembre 003 A) Siano date le rette r : x 3 4 = y = ; s : (x, y, ) = ( + t, t, 6 + t).. r è perpendicolare ad s? [ ] r è parallela ad s? [ ] r ed s sono sghembe? [ ]. Detti P il punto proieione ortogonale del punto H = (, 5, 5) su r, Q il punto di coordinate (0,, 0), ed O l origine delle coordinate, calcolare il volume del tetraedro HOP Q. B) Sia h R, e siano date le quadriche x + y + + hxy + hx = 0. Per h = 0 che tipo di quadrica è? [ ]. Per h = che tipo di quadrica è? [ ] Corso di laurea in Ing.Navale - FOGLIO di GEOMETRIA - febbraio 004 ESEGUIRE CINQUE ESERCIZI A SCELTA.. Scrivere equaioni parametriche { di una retta s (una, a scelta) che sia sghemba con la retta r di x + y = 0 equaioni cartesiane [ ] x + = 4. Determinare l equaione di una quadrica Q non degenere, passante per r e per s del punto ). 3. Studiare la forma quadratica definita dalla parte di secondo grado della quadrica Q trovata nel punto ). [ ] 4. Sia λ R e siano date le quadriche di equaioni cartesiane Q λ : x + ( λ)y + λ + ( λ)xy 4( λ)x = 0. Determinare i valori di λ per i quali la quadrica Q λ è un cono. 5. Per λ = determinare che tipo di quadrica è Q (vedi punto 4)), e trovarne una forma canonica. 6. Per λ = determinare un piano α passante per P = (,, ), che interseca la quadrica Q (vedi punto 4 ), in una circonferena. FOGLIO di GEOMETRIA per Ing. Navale Sia dato il cerchio C ottenuto come interseione del piano α con la sfera S: α : 3x + 4y 5 = 0 S : x + y + x = 0. Determinare l area del cerchio C e il volume del cono che ha come base C e come vertice l origine. infatti... [ area: volume: ]. Determinare equaioni cartesiane per una linea L non piana, giacente sulla sfera S.

2 3. Studiare, al variare di h R la quadrica Q: e per h = trovare una forma canonica per Q. Q : x + (h )xy + y + h = 0 FOGLIO di GEOMETRIA per Ing. Navale SVOLGERE TRE ESERCIZI A SCELTA, TRA I QUATTRO PROPOSTI. Sia h R, e sia Q la quadrica:. Studiare, al variare di h, la quadrica Q. 4x + hy + + 4y y h = 0. Per h = 0 trovare una forma canonica per Q. 3. Per h = 0, sia C la conica ottenuta intersecando la quadrica Q col piano = 0. Determinare equaioni per la superficie ottenuta facendo ruotare la conica C intorno all asse x. 4. Trovare equaioni per la proieione ortogonale della conica C del punto 3) sul piano x = 0. Dati i punti FOGLIO di GEOMETRIA per Ing. Navale A = (, 0, ), B = (,, 0), C = (0,, ). Determinare l equaione della quadrica ottenuta facendo ruotare la retta AB attorno all asse.. Determinate l equaione del piano ABC. 3. Determinare, se esistono, i valori di h per i quali la quadrica e un cilindro. (h + )x 4y + hx = 0 Prova scritta intermedia- 6 novembre Parte di Geometria A. Data al variare di k IR la forma quadratica Q : IR 3 IR, Q(x, y, ) = (x, y, ) x y : 0 k. Determinare il carattere di definiione di Q al variare di k IR.. Per k = trovare una matrice ortogonale P che diagonalia la forma quadratica. 3. Dire per quali valori di k IR esiste almeno un vettore non nullo v IR 3, tale che Q(v) = Sia ora k = e sia S la superficie luogo dei punti dello spaio di equaione Q(x, y, ) = 0. Dire perchè S e superficie rigata. Trovare una rappresentaione parametrica per le due rette di S che incontrano la retta di equaioni x = y = e l area del triangolo individuato dalle interseioni delle tre rette. 5. Sono date la sfera Σ: x + y + 4x y = 0 e la retta r: x = y =. a) Spiegare perche ogni circonferena su Σ complanare con r contiene il punto P (,, ). b) Determinare un piano contenente la retta r che tagli la sfera Σ in una circonferena di raggio 5. c) Trovare la retta tangente a questa circonferena nel punto P. Prova scritta - gennaio Parte di Geometria A. Data la quadrica F di equaione xy + x + y = 0:

3 . Verificare che F è rigata e scrivere le equaioni delle schiere di rette su F. (Nota: non è richiesta la forma canonica). Verificare che l asse x è contenuta in F e trovare una retta r di F sghemba con l asse x. 3. Calcolare la distana fra le due rette sghembe trovate al punto. B. Data al variare di k IR la quadrica Q di equaione x + xy + y + k = 0 :. Dire per quali valori di k la quadrica è rigata e specificarne il tipo. Svolgere a scelta uno solo fra e :. Per k = 0 riconoscere la quadrica; trovarne il piano tangente nel punto V di interseione con l asse ; disegnare la curva C seione di Q col piano = 0 trovandone forma canonica e assi di simmetria. Utiliando questi dati disegnare anche Q. Per k = 0 riconoscere la quadrica; trovarne il piano tangente nel punto V di interseione con l asse ; trovare le formule di cambiamento di coordinate per ridurla a forma canonica e scrivere la forma canonica dell equaione di Q nel sistema di riferimento trovato. Prova scritta - gennaio Parte di Geometria A. Data la quadrica F di equaione xy + y + x = 0:. Verificare che F è rigata e scrivere le equaioni delle schiere di rette su F.. Verificare che l asse y è contenuta in F e trovare una retta r di F sghemba con l asse y. 3. Calcolare la distana fra le due rette sghembe trovate al punto. B. Data al variare di k IR la quadrica Q di equaione x + xy + y + k = 0 :. Dire per quali valori di k Q è un ellissoide specificando per quali valori è di rotaione e se è punti reali.. Per k = riconoscere la quadrica e scriverne una forma canonica. Trovare il centro di simmetria di Q e scrivere le formule di cambiamento di coordinate per ridurla alla forma canonica scelta. Prova scritta -8 gennaio Parte di Geometria x = u + v Data la superficie F di equaioni parametriche y = u v = uv +. Verificare che F è rigata e dire se è un cilindro.. Trovare una retta r di F che sia parallela al piano π : x = 0. Calcolare la distana fra la retta r e il piano π. 3. Trovare le interseioni P, Q di F con l asse e determinare una retta e una linea L contenute in F che incontrano l asse nel punto P. Scrivere il piano tangente e F in P. 4. Sia C la linea di F ottenuta fissando u =. Dire se C è piana e scrivere l equaione cartesiana del cilindro che proietta C sul piano (x, y); scrivere anche la forma canonica di tale cilindro e riconoscere C. 5. Scrivere delle formule di cambiamento di coordinate tra il sistema di riferimento Oxy e un altro sistema OXY Z scelto in modo che il piano π : x = 0 diventi il piano (X, Y ). Prova scritta -8 gennaio Parte di Geometria x = u + v Data la superficie F di equaioni parametriche y = u v = uv +. Verificare che F è rigata e dire se è un cono.. Trovare una retta r di F che sia parallela al piano π : x + y = 0. Trovare la proieione ortogonale della retta r sul piano π.

4 3. Verificare che il punto P (0, 0, ) F. Scrivere il piano tangente τ a F in P e determinare delle equaioni cartesiane per le linee interseione di F col piano τ. 4. Sia C la parabola di F ottenuta fissando u = 0. Determinare l asse di simmetria di C e trovare l equaione della quadrica Q ottenuta ruotando C attorno al suo asse. Dire (sena fare conti) cosa è Q. 5. Scrivere delle formule di cambiamento di coordinate tra il sistema di riferimento Oxy e un altro sistema OXY Z scelto in modo che il piano π : x + = 0 diventi il piano (X, Y ). Prova scritta - febbraio Parte di Geometria Sia fissato nello spaio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxy. Data al variare di k IR la quadrica Q di equaione x + ky + 4x + (k )y = 0:. Determinare per quali valori di k la quadrica è rigata, specificandone il tipo.. Per il valore di k per cui Q è un paraboloide, scriverne una rappresentaione parametrica. 3. Dire per quali valori di k la quadrica è di rotaione. Sia ora k =. 4. Determinare l equaione di Q in forma canonica e le relative formule di cambiamento di coordinate. 5. Verificato che Q è rigata e di rotaione, trovare le equaioni dell asse a di rotaione e delle rette di Q nel sistema Oxy iniiale. Scegliere poi una retta r Q e ritrovare l equaione di Q ruotando r attorno alla retta a. Esame scritto - febbraio Parte di Geometria Sia fissato nello spaio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxy. Data al variare di k IR la quadrica Q di equaione x + ky + 4x + (k + )y = 0:. Determinare per quali valori di k la quadrica è rigata, specificandone il tipo.. Per il valore di k per cui Q è un paraboloide, scriverne una rappresentaione parametrica. 3. Dire per quali valori di k la quadrica è di rotaione. Sia ora k =. 4. Determinare l equaione di Q in forma canonica e le relative formule di cambiamento di coordinate. 5. Verificato che Q è rigata e di rotaione, trovare le equaioni dell asse a di rotaione e delle rette di Q nel sistema Oxy iniiale. Scegliere poi una retta r Q e ritrovare l equaione di Q ruotando r attorno alla retta a Foglio di Geometria A) Sia dato il cerchio C ottenuto come interseione del piano α con la sfera S: α : x + y = 0 S : x + y = 0. () Determinare centro e raggio di S e il centro di C.. () Determinare l equaione della retta r tangente a C nel suo punto P (,, ). 3. ()Determinare la circonferena massima di S che ha come tangente in P la retta r del punto. B) Sia h R, e sia Q la quadrica: 4x + hy + h + 4y y h = 0. (4) Studiare, al variare di h, la quadrica Q.. () Per h = 0 scrivere una forma canonica per Q e una matrice ortogonale che diagonalia la matrice B della forma quadratica di Q Foglio di Geometria

5 x = + t Sono date nello spaio le rette a e r di equaioni a : x y = y = 0, r : y = + t = t.. (3) Verificare che le due rette sono sghembe, trovarne la distana e la comune perpendicolare.. () Determinare l equaione della quadrica S ottenuta ruotando r attorno alla retta a. 3. () Determinare una rappresentaione cartesiana per la circonferena γ di S avente raggio minimo e la retta tangente in P (,, 0) a γ. 4. (3) Riconoscere S, scriverne una forma canonica e la matrice P ortogonale di rotaione degli assi corrispondente alla forma canonica trovata. Verificare che la retta a risulta asse di simmetria per S. Prova scritta intermedia - 5 novembre Parte di Geometria A.. Determinare al variare di k IR il carattere di definiione della forma quadratica Q : IR 3 IR, Q(x, y, ) = (x, y, )A x y, A = k k k. Per k =, verificare che λ = e autovalore di A e trovarne la molteplicita (sena calcolare il polinomio caratteristico). Costruire una matrice ortogonale P che diagonalia A e scrivere la relativa forma canonica per Q. 3. Dire per quali valori di k IR esiste almeno un vettore non nullo v IR 3, tale che Q(v) = 0 e per tali k scrivere almeno un vettore v. B. (Facoltativo) Siano date in M n,n (IR) due matrici P, Q ortogonali speciali (cioe con det = +). Dire se il prodotto P Q e ancora ortogonale e speciale e in caso affermativo dimostrare. C. Sono dati il piano π : y + + = 0 e la retta r: y + + = x + y = 0.. Scrivere una rappresentaione cartesiana per la sfera S con centro in C(0,, 0) e tangente a π e determinare il punto P di tangena.. Verificare che la retta r e tangente a S e dire per quali rette a puo esistere una circonferena γ S, tangente a r e avente come asse la retta a. Esame scritto - 3 febbraio 006 A. Data al variare di a IR la quadrica Q a di equaione x + ay + y + a = 0, sia B la matrice simmetrica associata alla forma quadratica di Q a.. (3) Dire per quali a IR il vettore (0,, ) è autovettore per B. Per tali valori di a trovare P invertibile e diagonale tali che P T BP = (si può fare con pochissimi conti!).. (3) Scrivere per ogni a ± una forma canonica per Q a e dire per quali valori di a, Q a è iperboloide a una falda. 3. (4) Per a = 0 scrivere le formule di cambiamento di coordinate corrispondenti alla equaione canonica di Q 0 trovata al punto. Studiare la linea interseione di Q 0 col piano di equaione x = 0, provare che Q 0 è di rotaione e scrivere (nel sistema iniiale Oxy ) delle equaioni per l asse r di rotaione e per una linea che ruotando attorno alla retta r dia Q 0. Scrivere una rappresentaione cartesiana per una circonferena di raggio contenuta in Q 0. R. () A = a 0 0 a B = a 0 a. B 0 0 = 0 0, B 0 = (a+) quindi (, 0, 0) e (0,, ) sono entrambi autovettori con autovalori λ =, λ = a + rispettivamente per ogni a IR. Il tero autovalore si calcola da λ 3 = T r(a) λ λ = a e un tero autovettore con autovalore λ 3 è ortogonale ai primi due per il teorema spettrale, quindi ad esempio 0,

6 (0,, ). Una matrice ortogonale che diagonalia B è per esempio P = = a a / / 0 / / () La forma canonica per a ± è X + (a )Y + (a + )Z a/(a ) = 0. La quadrica è iperboloide a una falda se ha tre autovalori discordi non nulli e det(a) > 0: questo succede a < 0 e a. La quadrica è paraboloide se ha un autovalore nullo e det(a) 0: questo si verifica a = ± (parab. ellittico per a =, iperbolico per a =. (3) Per a = 0 la quadrica è un cono a falda reale con equaione canonica X Y + Z = 0; che è di rotaione attorno alla retta passante per il vertice V (0,, 0) con vettore direionale (0,, ). la forma quadratica si diagonalia con la P trovata sopra devo solo traslare gli assi nel vertice: le formule sono quindi x y = P X Y Z L interseione con il piano x = 0 è la linea di equaioni x = y = 0 = 0 che risulta essere l unione delle due rette x = = 0, x = y = 0. Ruotando una di queste due rette attorno all asse a : (x = 0, y = + t, = t) otterrò. Una circonferena di raggio { X Y + Z = 0 è Y = Esame scritto - 8 giugno 006 A. Nello spaio, dove è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy, sono date la famiglia di quadriche Q a,b e la retta r : aventi equaioni Q a,b : x + axy + y + b = ; r : x = y = 0.. () Provare che r e l asse sono sghembe e trovarne la comune perpendicolare.. () Determinare, se esistono, a, b IR, tali che si abbia r Q a,b. 3. (3) Scrivere l equaione della quadrica F ottenuta ruotando la retta r attorno all asse e dire se F appartiene alla famiglia Q a,b. 4. () Dire per quali valori di a, b la quadrica è un ellissoide reale. 5. () Riconoscere Q, e scrivere una matrice di rotaione P che diagonalii la forma quadratica di Q,. Esame scritto - luglio 006 A.(3) Dato il sottospaio V = {(x, y, ) tali che x + y = 0}, scrivere una base ortonormale di V e indicare come si può costruire una matrice simmetrica M, 3 3, avente autovalori λ = e λ = 3, con molteplicità µ(λ ) =, µ(λ ) = e avente V come autospaio. B. Nello spaio, dove è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy, sono date la famiglia di quadriche Q a e la retta r : aventi equaioni Q a : 4x ax ay = 0; r : x = = 0.. () Provare che r e l asse y sono complanari e trovare il piano che contiene ebtrambe le rette.. () Determinare, se esiste, a IR, per cui r Q a e, in caso affermativo, riconoscere Q a. 3. () Dire per quali valori di a la quadrica è un iperboloide. 4. () Scrivere l equaione della quadrica F ottenuta ruotando la retta r attorno all asse y e dire se F appartiene alla famiglia Q a. Esame scritto - 4 settembre 006 A. Nello spaio, dove è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy, sono date la famiglia di quadriche S a e la retta r aventi equaioni S a : axy x + 3y + (a 4)y + ax = 0; r : x = 3y + 4 = 0. e

7 . (3) Determinare, se esiste, a IR, tale che il vettore v = (, 0, ) sia autovettore per la matrice A associata alla forma quadratica Q a (x, y, ) = axy x + 3y + (a 4)y di S a. Per tale valore di a (se esiste) diagonaliare la matrice A trovando P ortogonale speciale e diagonale tali che P T AP =.. (3) Per a =, riconoscere S a scriverne una equaione canonica e le corrispondenti formule di rototraslaione degli assi. 3. () Dire per quali valori di a la quadrica contiene l asse e per quali contiene la retta r. 4. () Determinare la retta simmetrica di r rispetto all asse. Prova scritta intermedia - 5 novembre Parte di Geometria A. Data al variare di k IR la forma quadratica Q di equaione Q(x, y, ) = x xy+y +ky k :. Riconoscere il carattere di definiione di Q al variare di k in IR.. Dire se esiste un valore di k IR tale che il vettore w = (,, ) sia autovettore per la matrice simmetrica A associata a Q. 3. Per k = scrvere, se esiste, un vettore v 0 tale che Q(v) = 0. B. Nello spaio sono date le due rette r, s e la superficie. S aventi rispettivamente equaioni: r : x y = = o, s : x = t + y = t =, S : x = u v + y = u + uv. = u v Dire se le due rette sono sghembe o complanari. Determinare la loro distanae, se esiste determinare il piano che le contiene. Verificare che S è rigata, dire se è cono, cilindro oppure nessuno di questi. Determinare, se esiste una retta di S parallela a r. Esame scritto - 9 gennaio Parte di Geometria A. Data al variare di k IR la quadrica Q di equaione x y + k 8x + 9 = 0:. (3) Determinare per quali valori di k la quadrica è un cilindro, scrivere la retta r di Q passante per A(0, 3, 0) Q e il piano tangente a Q in A. Verificare che r π.. (7) Per k = 7 riconoscere la quadrica, trovarne una forma canonica e assi di simmetria. (Cioè una matrice di rotaione opportuna). Verificare che dati i punti B(,, ), C(, 3, ), Q è la superficie che si ottiene ruotando la retta BC attorno alla retta a : x + = y = 0. Indicare un metodo per trovare una circonferena di raggio 3 su Q. [R] () La quadrica è un cilindro se detb = 0, Rho(A) = 3. Questo accade se k = 6. In questo caso l equaione è (x 4) y 9 = 0, cioè del tipo F (x 4, y) = 0 quindi è cilindro luogo di rette parallele alla retta x 4 = y = 0. La retta del cilindro passante per A è r > x 4 = y 3 = 0. Il piano tangente π in A ha vettore normale n = (x 8, y, 3 8x)(A) = (0, 6, 0) quindi π ha equaione: y 3 = 0 e ovviamente r π. () La quadrica per k = 7 ha autovalori 9,, quindi un equaione canonica è 9X Y Z +9 = 0 e Q è iperboloide a una falda (di rotaione perchè ha autovalori uguali). Gli autospai di B sono V = {(, y, )} =< (/ 5, 0, / 5); (0,, 0) >, V 8 =< (/ 5, 0, / 5) >. Gli assi di simmetria sono le rette passanti per il centro di simmetria di Q che è l origine e aventi come direioni gli autovettori di B. Retta (BC) : x = + t, y = t, = retta { a : x = t, y = 0, = t. La superficie di x rotaione si ottiene eliminando t dalle equaioni + y + = ( + t) + ( t) + Quindi la x = t forma... B. (Facoltativo) Dimostrare che data una qualsiasi matrice M m n la forma quadratica associata alla matrice M T M è sempre semi definita positiva o definita positiva. Sia v T = (x,..., x n ) IR n. Allora la forma quadratica manda v v t M T Mv = (Mv) T (Mv) = Mv 0 v IR n, quindi è definita o semidefinita positiva.

8 Esame scritto - 3 gennaio 007 A. Nello spaio, dove è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy, sono dati la sfera S e il piano π aventi equaioni S : x + y + 6x + = 0; π : x = 0.. (3) Trovare centro e raggio della circonfrena γ = S π. [Centro (,0,), raggio 5] Dire se (, 0, 0) e/o (0,, 0) possono essere versori per una retta tangente a γ e se possibile determinare una di tali tangenti. R L equaione della sfera si riscrive (x 3) +y +( +) = 0 = centro di S è C = (3, 0, ) e raggio di S = 0. Il centro A di γ si trova proiettando C su π cioè come interseione dell asse x = 3 + t y = 0 a di γ col piano π: = A = (, 0, ), raggio = AO = 5 (infatti O γ). = t x = 0 Una tangente s a γ è contenuta in π quindi v s n π = solo (0,, 0) va bene. Per trovare il punto di tangena interseco γ con la retta passante per A e vettore direionale (, 0, ) (0,, 0); ottengo O(0, 0, 0) e P (4, 0, ). Una delle due tangenti richieste è quindi x = = 0.. () Trovare una rappresentaione cartesiana per la circonferena massima γ della sfera S che è contenuta in un piano parallelo al piano π e determinare il vertice del cono contenente le due circonferene γ e γ. { x R γ : + y + 6x + = 0 interseione di S col piano //π e passante per C. Per x = 5 trovare il vertice V del cono che appartiene all asse a delle due circonferene, dalla similitudine dei triangoli V OA e V CB dove B è il punto di interseione della retta V A con γ si deduce che V A = () Scrivere una rappresentaione cartesiana per il cilindro che proietta γ sul piano x = 0 e una equaione in forma canonica di questo cilindro. { x R Il cilindro si trova eliminando la x dal sistema delle equaioni di γ : + y + 6x + = 0 x = quindi l equaione è y +5 0 = 0 e per la forma canonica completo i quadrati y +5( ) = 5 = Y 5 + Z =. 4. () Determinare { un sistema di coordinate O XY Z in modo che nel nuovo sistema le equaioni di X γ siano + Y = R e scrivere le formule di passaggio tra i due sistemi Oxy e O Z = 0 XY Z. R Devo combinare una traslaione con nuova origine O = (0, 0, ) con una rotaione avente come asse Z la retta uscente da A con vettore direionale n π = (, 0, ) Quindi scrivo una matrice P di rotaione avente come tera colonna il versore di n π. Per esempio: P = / 5 0 / 5 0 / 0 / 5 4/0 / 5 Rme le formule sono : x y = P 5. () Trovare nel sistema O XY Z le equaioni di un ellissoide di rotaione contenente γ e passante per il centro della sfera S e indicare i calcoli per trovarne l equaione nel sistema Oxy. R L ellissoide avrà equaione X + Y + Z c = con c = AC = 5. B. (facoltativo) Una quadrica Q ha la forma quadratica con tre autovalori uguali. Riconoscere Q. R La sua forma canonica è del tipo λ(x + Y + Z ) = k = Q è una sfera o un cono a falda immaginaria. X Y Z.

9 Esame scritto - 0 febbraio 007 A. Nello spaio, dove è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy, sono dati la famiglia di quadriche Q a,b, a, b IR e il piano π aventi equaione Q : ax + y y + b = a, π : x y = 0.. (3) Dire se esistono valori di a, b per cui la quadrica Q è un unione di due piani. In caso affermativo determinare una rappresentaione parametrica per la retta s contenuta in entrambi i piani e la simmetrica di s rispetto a π. [R] Le matrici associate a Q e alla sua forma quadratica sono rispattivamente A =, B = a b 0 b a a Affinchè Q sia coppia di piani deve essere Rho(A). DetA = a(a b) = 0 a = 0 o a = b. Si ottiene che Rho(A) a = b = 0. In questo caso l equaione di Q e y y = y( ) = 0 cioè Q è l unione dei due piani di equaione y = 0, = e la retta s ha equaioni parametriche: x = t, y = 0, =. La simmetrica di s rispetto al piano π è s : x = 0, y = t, =.. () Determinare i valori dei parametri a, b per cui il piano tangente σ a Q in P (, 0, 0) è parallelo al piano π. Per tali valori di a, b, riconoscere la quadrica Q. [R] Il piano tangente a Q in P (, 0, 0) è σ : a(x ) y + b = 0 con n σ = (a,, b). Quindi σ parallelo a π a =, b = 0. In questo caso det(a) =, gli autovalori di B sono,, quindi la quadrica è un iperboloide ad una falda di rotaione (equaione canonica X + Y Z = ). 3. () Determinare i valori dei parametri a, b per cui il piano tangente σ a Q in P (, 0, 0) è perpendicolare al piano π. Esiste nella famiglia Q un cono che soddisfa queste condiioni? [R] Deve essere (a,, b) (,, 0) = a + = 0 = a =, A = b 0 b b. La matrice A diventa Affinchè Q sia cono devo avere detb 0 e deta = 0. DetA = ( b) = 0 = b = / e detb = b. Quindi il cono richiesto si ottiene per a =, b = / ed è a falda reale perchè due autovalori sono < 0 e uno è > 0. B. (3) Dato il sottospaio Π di IR 3 generato dai vettori (,, ); (, 0, ):. Trovare un vettore di w Π di modulo che sia ortogonale al vettore (, 0, 0, ) e completare w a base ortonormale per Π. [R] x(,, ) + y(, 0, ) (, 0, 0) = x + y = 0 = w = x(,, ) x(, 0, ) = x(0,, ); ma w = = w = ±(0, / 5, / 5). Per la base o.n. di Π cerco x(,, ) + y(, 0, ) (0,, ). Quindi 6x + y = 0 = w = x(,, ) 6x(, 0, ) = x( 5,, 4). La base richiesta per Π è < (0, / 5, / 5); ( 5/ 45, / 45, 4/ 45) >.. Determinare un equaione per Π e scrivere delle formule di cambiaento di coordinate tra il sistema Oxy e il sistema ruotato OXY Z avente Π come piano di equaione X = 0. R Il vettore normale a Π è (,, ) (, 0, ) = (,, ) = Π ha equaione x + y = 0. Una matrice di rotaione richiesta può essere P = /3 5/ 45 0 /3 / 45 / 5 /3 4/ 45 / 5 Rme le formule sono : x y = P X Y Z.

10 - settembre Parte di geometria A. Nello spaio, dove è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy, sono dati il punto P ( 3, 0, ), il piano π, la retta r e la quadrica Q aventi rispettivamente equaioni r : y = x+ = 0, π : 3x+y = 0 Q : 4x +5y 9 +44x 50y+5 = 0;.. () Trovare la proieione ortogonale H di P su r.. () Trovare la proieione ortogonale K di P su π e verificare che il triangolo P HK è rettangolo in H. 3. (3) Sia A la matrice associata alla forma quadratica dell equaione di Q: verificare che (, 0, ) è autovettore per A, trovare gli autovalori di A, una matrice P ortogonale speciale e diagonale tali che P T AP =. 4. () Riconoscere la quadrica Q, trovarne il centro di simmetria e un equaione canonica. 5. () Trovare, sena troppi conti una relaione tra la retta P K, la retta r e la quadrica Q. [R] H = (, 0, ), K = (0,, 0); (P H) (K H), A(, 0, ) T = 30(, 0, ) T = λ = 30 è autovalore di A. Un altro autovalore di A è λ = 5 (si vede subito) quindi il tero vale T r(a) 5+30 = 5 e Q è di rotaione perchè ha autovalori uguali. E nullo il determinante della matrice completa associata a Q. Quindi Q è un cono a falda reale. Con vertice nel centro di simmetria che è K(0,, 0). V 30 = L{(, 0, )} = V 5 = V 30 = {(x, y, ) x = 0} = L{(, 0, ); (0,, 0)}. Quindi scelgo P = / 5 / / 5 / 5 0 = equaione canonica del cono : 30X + 5Y + 5Z = 0. La retta r è l asse di rotaione del cono perchè K r, inoltree P appartiene al cono. Quindi Q è la quadrica ottenuta ruotando la retta P K attorno alla retta r. - 6 febbraio Parte di geometria Nello spaio, dove è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy, sono dati il punto P (,, ), il piano π : x + y + = 0 e la quadrica Q : x xy + = 0.. () Trovare la proieione ortogonale H di P su π e il punto simmetrico P di P rirpetto a π.. (3) Scrivere delle formule di cambiamento di coordinate in modo che il nuovo sistema di assi O XY Z abbia centro in O (, 0, 0) e il piano π diventi il piano di equaione Z = () Trovare, lasciando indicati i conti finali, nel sistema O XY Z e nel sistema Oxy le equaioni di un ellissoide di rotaione con centro in O, passante per P e che intersechi il piano π in una circonferena di raggio. 4. (3) Dire se la quadrica Q è rigata, in caso affermativo scrivere le rette di Q e trovare, se esiste, un punto A Q in modo che il piano tangente a Q in A sia parallelo al piano π. [R] H = (0, 0, 0), P = (,, ); l equaione nel sistema FFFil punto P sarà un vertice dell ellissoide, quindi il T r(a) = 5 e Q è di rotaione perchè ha autovalori uguali. E nullo il determinante della matrice completa associata a Q. Quindi Q è un cono a falda reale. Con vertice nel centro di simmetria che è K(0,, 0). V 30 = L{(, 0, )} = V 5 = V 30 = {(x, y, ) x = 0} = L{(, 0, ); (0,, 0)}. Quindi scelgo P = / 5 / / 5 / 5 0 = equaione canonica del cono : X 30 + Y 5 + Z 5 = 0. La retta r è l asse di rotaione del cono perchè K r, inoltree P appartiene al cono. Quindi Q è la quadrica ottenuta ruotando la retta P K attorno alla retta r.

11 F : - luglio Parte di geometria A.[6] Nello spaio dove è stato fissato un sistema di coordinate Oxy sono date la superficie F, la retta s e il piano π di equaioni x = uv + y = uv = u + s : { x + y = x + = π : x = 0. Verificare che F è rigata e dire se F è un cilindro oppure un cono.. Dire se la retta s è contenuta in F. 3. Trovare la retta r di F che sia parallela al piano π. Trovare il piano σ contenente le rette r, s. 4. Scrivere una rappresentaione cartesiana per una (qualsiasi) circonferena di raggio minimo avente centro in A(, 0, ) e tangente al piano π. B.[4] Nello spaio dove è stato fissato un sistema di coordinate Oxy è data al variare di k IR la quadrica di equaione x + xy + y + 4x + 4y + + k = 0. Riconoscere la quadrica al variare di k IR.. Determinare una matrice ortogonale P che diagonalii la matrice B associata alla forma quadratica della quadrica. F : - luglio Parte di geometria A.[6] Nello spaio dove è stato fissato un sistema di coordinate Oxy sono date la superficie F, la retta s e il piano π di equaioni x = uv + y = uv = u + s : { x + y = x + = π : x = 0. Verificare che F è rigata e dire se F è un cono.. Dire se la retta s è contenuta in F. 3. Trovare la retta r di F che sia parallela al piano π e verificare che r s. Trovare il piano σ contenente le due rette. 4. Scrivere una rappresentaione cartesiana per una (qualsiasi) circonferena di raggio minimo avente centro in A(, 0, ) e tangente al piano π. B.[4] È data al variare di k IR la forma quadratica Q : IR3 IR tale che equaione Q(x, y, ) = x + xy + y + 4x + 4y + k. Discutere al variare di k IR il carattere di definiione della forma quadratica.. Detta B la matrice associata alla forma quadratica dire se esiste k IR tale che il vettore v = (,, ) sia autovettore per B. 3. Per k = 0 determinare una matrice ortogonale P che diagonalii la matrice B. 4. Sempre per k = 0 riconoscere la quadrica di equaione Q(x, y, ) =. R.. La matrice associata alla forma quadratica è: B = Sylvester vedo che B ha la stessa segnatura di B = k 4 k [ semidefinita positiva per k 4 Quindi Q è : non definita per k < 4.. Vedo che l equaione Bv T = λv t ha soluione k = 0, λ =. 3. Gli autovalori di B sono 0,, 4. Gli autospai sono V 0 =< (,, 0)., V =< (,, ) >, V 4 =< (,, ) > Quindi P = / / 6 / 3 / / 6 / 3 0 / 6 / 3 con P T BP = Con il metodo di Gauss-

12 4. La matrice associata alla quadrica è: A = Vedo che det(a) = det(b) = 0. Inoltre ρ(a) = 3 e la segnatura di B è [+, 0, ]. Quindi la quadrica è cilindro iperbolico. - settembre Parte di geometria A.[6] Nello spaio dove è stato fissato un sistema di coordinate Oxy sono date la superficie F, e il piano π di equaioni x = uv + v F : y = uv π : x = 0 = v +. Scrivere una rappresentaione cartesiana per una (qualsiasi) circonferena di raggio minimo avente centro in A(, 0, 0) e tangente al piano π.. Studiare l interseione F π. 3. Verificare che F è rigata e dire se F è un cono oppure un cilindro. Dimostrare che F è una quadrica trovando un equaione cartesiana di F. 4. Verificare che P (0, 0, ) F e scrivere il piano tangente ad F in P. 5. Determinare (se esiste) un piano che intersechi F in una parabola. B.[4] È data al variare di k IR la forma quadratica Q : IR3 IR avente equaione Q(x, y, ) = x + y + 6x + ky + (9 k). Discutere al variare di k IR il carattere di definiione della forma quadratica.. Per k = 0 determinare una matrice ortogonale P che diagonalii la matrice B associata alla forma quadratica. 3. Sempre per k = 0 riconoscere la quadrica di equaione Q(x, y, ) =. Prova scritta intermedia - novembre Parte di Geometria A. [6]. Determinare al variare di k IR il carattere di definiione della forma quadratica x 3 Q : IR 3 IR, Q(x, y, ) = (x, y, )A y, A = 3 k k. Dire se esiste k IR per cui i vettori v = (, 0, ) e v = (3,, 0) siano entrambi autovettori per A. 3. Per k =, diagonaliare A trovando una matrice ortogonale speciale P e una matrice diagonale tali che P T AP =. 4. Sia ora B una qualsiasi matrice antisimmetrica 3 3 e sia M = A + B. Ci sono relaioni tra la x forma quadratica Q(x, y, ) e la forma quadratica Q (x, y, ) = (x, y, ) M y? B. [4] Nello spaio dove è stato fissato un sistema di coordinate ortogonali Oxy sono dati la superficie F, la retta s e il piano π di equaioni F : x = uv + v y = v 6v = uv 3 s : { x = 4 = 0 π : x + y = 0.. Verificare che F è rigata e se possibile dire se F è un cono oppure un cilindro.. Trovare (se esistono) le rette di F che sono parallele al piano π e che distano da π. 3. Trovare F s e una rappresentaioe parametrica per una retta r di F che interseca s. 4. Scrivere una rappresentaione cartesiana per la superficie ottenuta ruotando r attorno a s.

13 - 8 gennaio Parte di geometria A.[6] Fissato nello spaio un sistema di coordinate ortogonali Oxy, sia γ il cerchio ottenuto come interseione del piano α con la sfera S: α : 3x 4 + = 0 S : x + y + x = 0. Determinare il centro C del cerchio γ e la sua area.. Determinare le formule di cambiamento di coordinate tra il sistema Oxy e un sistema CXY Z scelto in modo che il piano α nel sistema CXY Z abbia equaione Z = Trovare l equaione cartesiana nei due sistemi di riferimento Oxy e CXY Z di un ellissoide di rotaione contente il cerchio γ e tangente al piano di equaione Z = 4. (Non è necessario svolgere tutti i calcoli per l equaione nel sistema Oxy) RISPOSTA.. La sfera ha equaione (x ) + y + ( ) =. Il suo centro (, 0, ) α, quindi la circonferena ha centro C(, 0, ) e raggio. Quindi l area del cerchio è π.. Prima traslo portando l origine in C : x y = x y Per la rotaione noto che l asse Z deve avere versore parallelo a n α = (3, 0, 4). Completo questo vettore a base ortogonale, per esempio con i vettori (4, 0, 3), (0,, 0). La matrice di rotaione corrispondente 4/5 0 3/5 è P = 0 0. Siccome P = cambio segno all ultima colonna di P e 3/5 0 4/5 ho leformule di rotaione: 4/5 0 3/5 P = 0 0, 3/5 0 4/5 x y = P X Y Z ; quindi. X Y Z 0. = P T x y 3.Scelgo l ellissoide con centro di simmetria in C: nel sistema CXY Z ha equaione. X + Y + Z 4 =. X = La sua equaione nel sistema Oxy si ottiene per sostituione dal sistema: Y = y Z = (4x + 3 7) 50 + y. B.[4] E data la forma quadratica Q : IR 3 IR, + ( 3x + 4 ) 00 = 4x x tale che Q(x, y, ) = 4xy 3y + x 4y. :. Verificare che la matrice B associata a Q ha l autovalore λ = e trovarne la molteplicità. Diagonaliare B mediante una matrice P ortogonale. Rispondere solo ad una fra le due seguenti domande 3 e 4:. Dire per quali valori di k IR la quadrica di equaione Q(x, y, ) = k è a punti ellittici. 3. Dire per quali valori di k IR la quadrica di equaione Q(x, y, ) = k è rigata. 4. (Facoltativo) Scrivere (se esistono) le rette sulla quadrica di equaione Q(x, y, ) = 0. RISPOSTA.. La matrice B associata a Q è: B = Abbiamo B I = 4 questa matrice ha ρ =, quindi λ = è autovalore di B con µ(λ) =. Dalla formula 3 = T r(b) = λ + λ + λ 3 deduciamo che l altro autovalore è λ 3 = 5. L autospaio V è il piano di equaione x y = 0 quindi l autospaio V 5 essendo ortogonale a V per il Teorema spettrale è generato da v 3 = (,, ) (=n, vettore normale al piano). V = {(y +, y, )} = {y(,, 0) + (, 0, )}. Per scrivere la matrice ortogonale P devo costruire una base ortonormale di autovettori:,

14 prima bisogna trovare una base ortogonale per V. Fisso per esempio v = (, 0, ) e cerco w = (y +, y, ), w v. Ottengo = y, w = (y, y, y) e scelgo w = (,, ). BASE ON di autovettori: < (, 0, ), (,, ), (,, ) >. Quindi P T BP = con 3 6 P = , P T BP = = , Laquadrica è associataalla matrice 0 0 A = , per cui det A = k det B = k. Deduciamo che la quadrica è cono se k k = 0, iperboloide e due falde se k < 0, iperboloide ad una falda se k > 0. Quindi la quadrica è a punti ellittici se e solo se k < Come per il punto, vediamo che la quadrica è rigata se e solo se k In questo caso la quadrica è un cono con vertice in O(0, 0, 0), perchè la sua equaione è omogenea. Possiamo scrivere l equaione come y(4x 3y) = (y x) per cui le rette del cono sono { λ y = µ µ(4x 3y) = λ(y x) - gennaio Parte di geometria A.[0] Fissato nello spaio un sistema di coordinate ortogonali Oxy, sono date le due rette a e r e la famiglia di quadriche Q h di equaioni : a : x+ = y = 0 r : x y 3 = = 0 Q h Q h : x y +(h ) 4x hx+h+h = 0. Dire se le rette a e r sono sghembe e trovare la comune perpendicolare p. x = t a : y = 0, v a = ((, 0, ) r : = t Le due rette non sono parallele e il sistema x = u y = u 3 = 0, v r = (,, 0) t = u 0 = u 3 t = 0 non ha soluione quindi a e r sono sghembe. Per trovare la comune{ perpendicolare impongo che il generico vettore P Q, con P Q va P r, Q a verifichi il sistema. Si ottiene { P { Q v r { (u t, u 3, t)(, 0, ) = 0 u t = 0 t = (u t, u 3, t)(,, 0) = 0 u t = 3 u =. Quindi la comune perpendicolare passa per A(, 0, ) e B(,, 0).. Verificare che la superficie S ottenuta ruotando r attorno alla retta a appartiene alla famiglia di quadriche Q h. { x = u L equaione di S si ottiene eliminando u dal sistema x + y + = u + (u 3). Si ottiene: x + y + = u 6u + 9 = (x ) 6(x ) + 9 = x y + 4x 6x = 0. quindi la superficie è una quadrica. S = Q 3 quadrica della famiglia con h = Riconoscere la quadrica Q 3, trovarne il centro di simmetria e scriverne un equaione canonica. Da consideraioni geometriche (S è rigata per costruione) posso dire che la quadrica è un iperboloide ad una falda. Il centro di simmetria è il punto A piede della comune perpendicolare. Le matrici associate sono A = , B = gli autovalori di B sono λ = λ =, λ 3 = 3, det(a) = 9, det(b) = 3. Un equaione canonica,

15 per S è: X Y + 3Z + 3 = 0 4. Scrivere, se possibile, le formule di rotaione degli assi corrispondenti alla forma canonica trovata sopra, in modo che una colonna della matrice P di rotaione sia un vettore del tipo (a, a, b). Si può diagonaliare la matrice B oppure osservare che l asse Z deve essere la retta a. Quindi la tera colonna di P può essere v 3 = (/, 0, / ) T. Poichè S è di rotaione è sufficiente scegliere due versori ortogonali tra loro e ortogonali a v: (a, a, b) (, 0, ) (a, a, b)(, 0, ) = 0 a = b Scelgo come primo vettore v = (/ 3, / 3, / 3), come v scelgo v v 3 ( per avere una terna destrorsa) per cui P = / 3 / 6 / / 3 / 6 0 / 3 / 6 / = Sia ora h = 0: riconoscere la conica Q 0 e rispondere ad una sola delle seguenti domande: (a) scrivere, se esistono, le equaioni di altre due quadriche con la stessa forma quadratica di Q 0 in modo che le tre quadriche siano una a punti iperbolici, una a punti parabolici, una a punti ellittici. (a ) Scrivere le rette di Q 0 e dire se esiste una retta di Q 0 parallela al piano x y =. Q 0 è un cono con vertice in O(0, 0, 0) a falda reale, quindi è quadrica a punti parabolici. (a) Per avere le quadriche rispettivamente a punti iperbolici e ellittici scrivo un iperboloide a una falda e uno a due falde con la stessa forma quadratica di Q 0 : x y 4x + = 0( con A > 0); x y 4x = 0( con A > 0). (a ) Si scompone { l equaione di Q 0 come (x y)(x + y) = ( + x). Le rette di Q 0 si possono λ(x y) = µ scrivere come. Quindi una retta del cono parallela al piano x y = si µ(x + y) = λ( + x) ottiene per λ =, µ = 0 : x y = + x = 0. Scrivendo le rette diversamente si trova anmche l altra x y = = 0 (l unione di queste due rette è l interseione del piano x y = 0 con il cono). - 5 febbraio Parte di geometria Giustificare brevemente ma esaurientemente ogni risposta. I numeri inquadrati sono i punteggi dei singoli esercii. A.[6] Fissato nello spaio un sistema di coordinate ortogonali Oxy, sia S la superficie con equaioni parametriche x = u y = u + uv, = v. Provare che la superficie è rigata e dire se è cono, cilindro, oppure luogo di rette sghembe.. Trovare due rette a, b S che abbiano distana d(a, b) =. 3. Trovare i punti di S in cui il piano tangente sia parallelo al piano π : y 4 =. Svolgere uno solo fra i due punti seguenti 4 e Sia P un punto trovato in : dire se tale punto è ellittico, parabolico o iperbolico. 5. Sia ora u = v: dire se la linea L S così ottenuta è piana, scrivere una rappresentaione cartesiana per la proieione ortogonale di L sul piano x = 0 e riconoscere L. [R ]. S è rigata perchè il parametro v ha grado in ogni equaione, quindi i punti che si ottengono x = u fissando u = u, al variare di v descrivono la retta r u, : y = u + uv che ha vettore direionale = v x = 0 x = r = (0, u, ). Due rette di S sono r 0 : y = 0 r : y = + v : queste due rette sono = v = v sghembe, quindi la superficie è luogo di rette sghembe (non è cono e neanche cilindro).. Le rette r 0, r trovate sopra giacciono nei due piani paralleli x = 0, x = che hanno distana d =, quindi posso prendere a = r 0, b = r. 3. Il piano tangente τ in P ha vettore normale ( P/ u) ( P/ v) = (, u + v, 0) (0, u, ) = ( u v,, u). τ parallelo a π ( u v,, u) = λ(0,, 4) u =, v =. Quindi.

16 l unico punto P che ha τ π è P (,, 0). 4. Il piano tangente ad S in P è τ P : y + = 0. L interseione S τ : (u + )(u + v ) = 0: quindi S π = r l, con l : x = u y = u + uv = v y + = 0 = x = v y = ( v) + ( v)v = v = v Anche l è una retta, l r, quindi P è punto iperbolico. x = v 5. La linea L ha equaioni parametriche y = 3v, eliminando il parametro v da queste equaioni = { v x + = ottengo la rappresentaione cartesiana di L : y = 3( ). Quindi L è piana (L x + = ) e { x = 0 la proieione ortogonale su x = 0 è L : y = 3( ), ottenuta come interseione del piano x = 0 con il cilindro contenente L avente generatrici asse x. L è parabola, quindi L è una parabola. B.[4] Dati in IR 4 i sottospaio V = {(x, y,, t) x + y + t = y + t = 0}, V = L{(0,,, )}:. Trovare una base ortonormale per V.. Dire se può esistere una matrice simmetrica A avente V e V come autospai e polinomio caratteristico P A (x) = x (x )(x + ). In caso affermativo scrivere una matrice ortogonale P e una matrice diagonale tali che P T AP = e indicare (sena calcoli) come trovare A. In caso negativo completare la base di V a base ortonormale per IR Riconoscere la quadrica associata ad una matrice simmetrica A M 4,4 (IR) avente polinomio caratteristico P A (x) = x (x + )(x ). [R ].. V = {(, t,, t), t IR} = {(,,, 0) + t(0,, 0, ), t IR} = L{(,,, 0), (0,, 0, )}. Sia w = (0,, 0, ), cerco w V, w w : (, t,, t)(0,, 0, ) = 0 = t w = ( t, t, t, t) = t(,,, ). Una base on è: < ((0, /, 0, / ), ( / 0, / 0, / 0, / 0) >.. La matrice A ha autovalore λ = 0 con µ(0) =, inoltre (, t,, t)(0,,, ) = 0 = V V, quindi la matrice A esiste per il teorema spettrale. Per costruire P completo le basi ortonormali di w 4 (,,, 0) V e V aggiungendo un versore ortogonale a entrambe: trovo w 4 tale che w 4 (0,, 0, ), w 4 (0,,, ) ottengo w 4 = t(3,,, ). Quindi scelgo A = P P T, con P = = La quadrica avendo ρ(a) = e due autovalori discordi è una coppia di piani reali febbraio Parte di geometria A.[8] Fissato nello spaio un sistema di coordinate ortogonali Oxy, sia S a la quadrica di equaione ax + y + + x 4y + 4 = 0, a IR.. Per ogni a IR scrivere l equaione di S a in forma canonica e riconoscere (velocemente) S a.. Trovare l equaione del piano π tangente alla superficie nell origine O. 3. Sia r la retta interseione del piano π col piano contenente l asse x e l asse : trovare per quali valori di a esiste una circonferena su S tangente a r e trovarne centro e raggio. 4. Trovare le equaioni del cilindro che proietta la conica γ a = π S sul piano = 0 e riconoscere la conica al variare di a IR. 5. Trovare delle formule di rotaione degli assi in modo che nel nuovo sistema OXY Z il piano π abbia equaione Z = 0. B.[] Dati in IR 4 i sottospai V = L{(0,,, 0), (, 0, 0, )}, V = {(x, y,, t) x + = y t = 0}:. Dire se può esistere una matrice simmetrica A avente V come autospaio e un tero autovettore v V. In caso affermativo trovare una base di autovettori per A.

17 Prova scritta - 8 gennaio 00 - Parte di Geometria N.B. Gli studenti già iscritti alla LM nell A.A. 07/08 possono scegliere di rispondere alle domande alternative fra parentesi [ ]. Per ogni quesito dare opportune giustificaioni. A. Data la quadrica F di equaione x + xy x + k + = 0:. Determinare per quali valori di k IR la quadrica F è a punti iperbolici. [ Determinare per quali valori di k IR la quadrica F è rigata ].. Determinare, se esistono, i valori di k IR tali che v = (,, ) T sia autovettore per la matrice B associata alla forma quadratica dell equaione di F. 3. Sia ora k = 0: (a) Riconoscere il tipo di F. (b) Diagonaliare la matrice B associata alla forma quadratica di F, trovando P ortogonale speciale e diagonale tali che P T BP =. (c) Scrivere le equaioni delle schiere di rette su F e trovare (se esistono) due rette di F ortogonali tra loro. (d) Riconoscere la curva F σ, al variare di σ nel fascio di piani paralleli al piano tangente ad F in O(0, 0, 0). B. Dati i vettori e = (, 0, 0, 0), e = (0,, 0, 0) trovare una base ortonormale E =< e, e, e 3, e 4 > di IR 4 in modo che le coordinate in base E del vettore w = (, 0,, ) siano w E = [, 0,, 0] T. Prova scritta - gennaio 00 - Parte di Geometria A. Data al variare di k IR la forma quadratica Q : IR 3 IR, Q(x, y, ) = (x, y, )A x y, A = k k. Dire se esistono valori di k per cui Q è semidefinita positiva.. Determinare il valore di k per cui v = (,, 0) T sia autovettore per la matrice A e per tale valore trovare una matrice ortogonale P una matrice diagonale tali che P T AP =. 3. Per k = riconoscere e scrivere un equaione canonica per la quadrica S di equaione Q(x, y, ) =. Dire se tale quadrica S è di rotaione e in caso affermativo scrivere, se esiste, una rappresentaione cartesiana nel sistema Oxy ( vecchio ) per una circonferena di raggio contenuta in S. Dire infine se S è a punti parabolici, iperbolici, ellittici. [R] () Riduco A mediante l algoritmo di Gauss su righe e colonne. r +r, r 3 kr, r 3 +(k )/3r... A k = k k 0 0 k + (k ) /3 Gli autovalori di A hanno lo stesso segno di quelli di A: quindi +... ne deduco che A non è mai semidefinita. { = λ () Deve essere Av t = λv T, quindi k = 0. Per diagonaliare la matrice per k = calcolo l autospaio V. A + I =. Si ha: ρ(a + I) = = dimv =, λ = λ =. V = {(x, y, ) x y + = 0} = L{(,, 0), (,, 0) (,, ) = (,, )}.

18 La traccia di A è T r(a) = 3 = + λ 3 = λ 3 = 5. Per il teorema spettrale si ha anche base V 5 =< (,, ) >. Avremo P T AP = con / / 6 / 3 P = / / 6 / / 6 /, = (3) La matrice associata alla quadrica è B = Si ha : Det B < 0 autovalori di A discordi = S è iperboloide a due falde di rotaione (perchè Q ha autovalori uguali); in particolare S è quadrica a punti ellittici. Un equaione canonica dell iperboloide è X Y + 5Z = 0. Le circonferene si trovano intersecando la quadrica con i piani Z = h:. { X + Y = 5Z Z = h = { X + Y = 5h = Z = h = { X + Y = Z = /5 Il centro della quadrica S è O(0, 0, 0) le formule di cambiamento di coordinate sono X x Y = P T y Z In particolare Z = (x y + )/ 3. Una circonferena richiesta ha rappresentaione cartesiana { x 4xy + 4x + y 4y + = 0 x y + =. 6/5 B. Date la superficie F x = u y = u + v e la retta r = v x = 4t y = t = t. Trovare, se esiste, un punto A F in cui il piano tangente sia ortogonale alla retta r.. Studiare l interseione di F col piano tangente in A specificando se il punto A sia parabolico, iperbolico o ellittico. [R] Il vettore normale al piano tangente in P (u, v) è n = P u P v = (, u, 0) (0,, v) = (4uv, v, ). Quindi (4uv, v, ) = λ(4,, ) λ =, v =, u = = A(,, ). Il piano tangente in A è π : 4x + y =. : Prova scritta - 4 febbraio 00 - Parte di Geometria A. È data la parabola in figura: il vertice è V (, 0, 0) e passa per P (0,, 0) e Q(0, 0, ).. Determinare le formule di cambiamento di coordinate tra il sistema Oxy e il sistema in cui la parabola si scrive un forma canonica.. Trovare una rappresentaione cartesiana per la parabola nel sistema Oxy. 3. Scrivere il cilindro che la contiene e ha generatrici parallele all asse. V x [R] Il piano contenente la parabola ha equaione x + y + = 0. L asse della parabola passa per V e per il punto medio M(0,, ) del segmento con estremi P (0,, 0), Q(0, 0, ),. Scegliendo come asse Y la retta V M di vettore dire. M V = (,, ) e come asse X la retta tangente in V alla parabola di vettore dire. (,, ) (,, ) = (0, 3, 3), nel sistema V XY Z la parabola si scrive in forma canonica. y

19 () Formule di cambiamento di coordinate. x = x x Traslaione : y = y ; rotaione y = = x y = 0 / 3 / 6 / / 3 / 6 / / 3 / 6 0 / 3 / 6 / / 3 / 6 / / 3 / 6 X Y Z ; X Y Z X Y Z = 0 / / / 3 / 3 / 3 / 6 / 6 / 6 x y X = (y )/ Y = ( x + y + )/ 3 Z = (x + y + )/ 6 () Il punto Q(0, 0, ) nel sistema V XY Z ha coordinate(, { 3, 0). Quindi: nel sistema V XY Z la Y = ax parabola ha rappresentaione cartesiana = { Y = ( 3/)X 3 = a =. Z = 0 Z = 0 { ( x + y + )/ 3 = 3(y ) Rappresentaione cartesiana della parabola nel sistema Oxy : /4. x + y + = 0 (3) Il cilindro con generatrici parallele all asse { ha equaione del tipo F (x, y) = 0 che si ottiene dal ( x + y + x y) = (3/4)(y + x + y) sistema ( ) elimimamdo l incognita :. = x y Il cilindro richiesto ha equaione : x = (x + y ). B. Dato in IR 3 il sottospaio V costituito dagli autovettori della matrice A = definire una matrice simmetrica non invertibile M per cui V sia autospaio associato all autovalore λ =.. trovare il carattere di definiione della forma quadratica Q associata alla matrice A. 3. riconoscere la quadrica S di equaione Q(x, y, ) =, dire se S è rigata e in caso affermativo scrivere una rappresentaione cartesiana per le rette di S che passano per il punto R(, 0, 0). [R]() Trovo V : la matrice A ha polinomio caratteristico ( x) 3 con autospaio V = {(x, y, ) IR 3 x + y = 0} = L{(,, 0), (0, 0, )} Base ortonormale di V :< ( / 5, / 5, 0), (0, 0, ) >. Completo a base ortonormale per IR 3 aggiungendo (/ 5, / 5, 0). Per il teorema spettrale la matrice M simmetrica e non invertibile avrà gli autovalori λ = con µ() = (perchè dimv = ) e λ = 0 (perchè M = 0) con V λ = L{(,, 0)}. Quindi: / 5 0 / 5 M = P P T con P = / 5 0 / 0 0 5, = () Vedo che A non è simmetrica, quindi per studiare la forma quadratica Q considero la matrice simmetrica A = A + AT = 0 / 0 che è congruente alla matrice A = / 0 0 /4 (ottenuta mediante l algoritmo di Gauss su righe e colonne) quindi Q è non definita. 0 / 0 (3) La quadrica S ha come matrice associata N = 0 0 / Siccome DetN > 0 e gli autovalori di Q sono discordi, la quadrica è un iperboloide ad una falda, quindi S è rigata.

20 Le rette di S passanti per R si trovano intersecando S col piano tangente in R: { x + y + + x + y = 0 (x ) + = 0. Prova scritta - 6 febbraio 00 - Parte di Geometria a 0 0 Data al variare di a IR la matrice A = a : a. Per a = trovare una base ortonormale per il sottospaio W generato dalle colonne di A.. Studiare al variare di a IR la segnatura della forma quadratica associata alla matrice A. 3. Sia B matrice congruente ad A, se a = cosa si può dire di detb? 4. Sia ora Q la quadrica di equaione (x, y,, )A(x, y,, ) T = 0. (a) Dire per quali a IR la quadrica Q è rigata. (b) Esiste a IR per cui Q è coppia di piani? (c) Per a = riconoscere Q, scrivere una matrice di rotaione che riduca a forma canonica la forma quadratica di Q e le corrispondenti formule di cambiamento di coordinate. (d) Per a = trovare una retta di Q che intersechi l asse. [R] () W = L{(,, 0, 0), (0, 0, 4, 8), (0, 0, 8, 6)} una base ortonormale per W è ad esempio < (/, /, 0, 0), (0, 0,, 0), (0, 0, 0, ) > ( va bene anche la base < (/, /, 0, 0), (0, 0, / 5, / 5), (0, 0, / 5, / 5) > che si trova cercando v = (a, a, 4b + 8c, 8b + 6c) (0, 0, 4, 8) e poi trovando i versori). () Mediante l algoritmo di Gauss si vede che A è congruente alla matrice A = a 0 a [, ]; 6a a. Quindi la segnatura della forma quadratica è: a < : [+ ] = deta < 0 a = : [+ 0 0] = deta = 0 a (, ) : [+ + + ] = deta < 0 a = : [+ + 0] = deta = 0 a > : [+ + ] = deta > a a + 6 (3) Se a =, deta > 0 (perchè deta = prodotto autovalori di A. SE B è congruente ad A, allora B ha la stesa segnatura di A, per cui detb > 0. (4) (a), (b). Dal punto so che la quadrica ha gli autovalori dello stesso segno dei numeri [, a, 4] quindi la quadrica è iperboloide se a / {, }, (ad una falda a > ), è cilindro iperbolico se a = è coppia di piani se a = (in questo caso ρ(a) = ). Quindi Q è rigata a { } [, + ). 0 (c). Per a = bisogna diagonaliare la matrice B = 0 : che ha autovalori λ = 0 0 4, λ = 0, λ 3 = 4. Per λ =, l autospaio ha base < (,, 0) >, per λ = 0, l autospaio ha base < (,, 0) >, per λ = 4, l autospaio ha base < (0, 0, ) >, quindi una matrice di rotaione richiesta è P = / / 0 / / Con questa P si ha P T BP = Le formule di cambiamento di coordinate tra il sistema Oxy e il sistema OXY Z determinato dagli autovettori di B sono: (x, y, ) T = P (X, Y, Z) T. (d). L equaione di Q è : x + y + xy = 0, l interseione di Q con l asse che ha equaioni x = y = 0 si ottengono i punti (0, 0, + ), (0, 0, ). Siccome Q è un cilindro luogo di rette // al vettore (,, 0) una retta richiesta ha equaioni {x = t, y = t, = + }.. :