Le Frazioni Continue. 5-7 Giugno O.Caligaris

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1 1 Le Frazioni Continue 5-7 Giugno 2003 O.Caligaris

2 Eulero ( ) Lambert ( ) Lagrange ( ) 2 Prima di Eulero Aryabhata, attorno al 550 risolve una equazione diofantina lineare Bombelli, nel 1530 sviluppa in frazione continua 13 Pietro Cataldi,( ) sviluppa in frazione continua 18

3 Inoltre Wallis, ( ) 3 Lord Brouncker, ( ) primo presidente della Royal Society Christian Huygens, ( ) usa le frazioni continue per approssimare i rapporti tra ingranaggi meccanici per un planetario In tempi più moderni, Brezinski, Jacobi, Perron, Hermite, Gauss, Cauchy, Stieltijes

4 Recentemente 4 Applicazioni agli algoritmi di calcolo per calcolare una approssimazione razionale di un numero reale Teoria del caos.

5 L Algoritmo Euclideo (VII libro degi Elementi). Supposto b < a, Sottrarre b da a tante volte fino a che non si ottiene un resto c < b. Sottrarre c da b tante volte fino a che si ottiene un resto minore di c Iterare il procedimento fino a che si ottiene 0 come ultimo resto Il penultimo resto è il massimo comun divisore di a e di b e divide tutti i resti precedenti. 5

6 Con il linguaggio algebrico moderno 6 a = bq 1 + r 1 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 0 r 3 < r 2 r 2 = r 3 q 4 + r 4 0 r 4 < r 3 r n 1 = r n q n+1 0 r n

7 a = bq 1 + r 1 7 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3 r 2 = r 3 q 4 r 2 = r 3 q 4 r 1 = (r 3 q 4 )q 3 + r 3 = r 3 (q 4 q 3 + 1) = Q 1 r 3 b = (r 3 Q 1 )q 2 + r 3 q 4 = r 3 (Q 1 q 2 + q 4 ) = Q 2 r 3 a = (r 3 Q 2 )q 1 + Q 1 r 3 = r 3 (Q 2 q 1 + Q 1 ) = Q 2 r 3 r 3 divide a b r 1 r 2.

8 Dati due numeri interi positivi 8 a e b possiamo trovare q ed r tali che a = bq + r, 0 r < b

9 Rappresentazione di Numeri Interi e Razionali = = = = = = =

10 Se a R 10 chiamiamo E(a), parte intera di a il più grande intero minore di a. E(a) = max{n N n a}

11 E(0.1234) = 0 E( ) = E(1.234) = 1 (( E ) ) 100 = E(2.34) = 2 (( 10 E ) ) 1000 = E(3.4) = 3 (( 100 E ) ) = E(4) = 4 (( 1000 E ) ) 10 5 = = E(0) = 0 (( E ) ) 10 6 = = E(0) = = 0 11

12 = = = = 0.3 = = = + k= k

13 L algoritmo di Euclide consente di sviluppare ogni razionale finita a b Q, a, b Z in frazione continua 13 a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3 r 2 = r 3 q 4 + r 4

14 da cui a b = q 1 + r 1 b = q b r 1 b r 1 = q 2 + r 2 r 1 = q r 1 r 2 r 1 r 2 = q 3 + r 3 r 2 = q r 2 r 3 r 2 r 3 = q 3 + r 4 r 3 = q r 3 r 4 14

15 15 a b = q r r r r 4 +

16 Huygens usò lo sviluppo di 2946 in frazione 100 continua per ottenere una approssimazione razionale con numeratore e denominatore più piccoli. 16 Se ne servì nella costruzione degli ingranaggi di un planetario meccanico per simulare il moto di Saturno in rapporto con quello della Terra.

17 Nel caso in questione si ha 17 a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3 r 2 = r 3 q 4 + r = = = = = 2 3

18 a b = q 1 + r 1 b = q b r 1 b = q 2 + r 2 = q r 1 r r 1 1 r 2 r 1 = q 3 + r 3 = q r 2 r r 2 2 r 3 r 2 = q 3 + r 4 = q r 3 r r 3 3 r = = = = = = = = =

19 e quindi = Troncando il procedimento otteniamo le seguenti frazioni = = 59 2 = = = = =

20 20

21 DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 356. Quoniam in praecedentibus capitibus plura cum 21 de seriebus infinitis tum de productis ex infinitis factoribus conflatis disserui, non incongruum fore visum est, si etiam nonnulla de tertio quodam expressionum infinitarum genere addidero, quod continuis fractionibus vel divisionibus continetur. Quanquam enim hoc genus parum adhuc est excultum, tamen non dubitamus, quin ex eo amplissimus usus in analysin infinitorum aliquando sit redundaturus.

22 DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 356. Quoniam in praecedentibus capitibus plura cum 356. Dal momento che nei precedenti capitoli ho dissertato di molti argomenti a riguardo sia delle serie che dei prodotti costituiti de seriebus infinitis tum de productis ex infinitis factoribus conflatis disserui, non incongruum fore visum da infiniti fattori, non sembra incongruo che io aggiunga est, si etiam nonnulla de tertio quodam expressionum qualcosa su un terzo tipo di espressioni di genere infinito che contenga frazioni o divisioni continue. Sebbene infinitarum genere addidero, quod continuis fractionibus vel divisionibus continetur. Quanquam enim hoc infatti questo genere sia stato fin qui poco coltivato,tuttavia non dubitiamo che di questo concetto si trovino numerosissime applicazioni nell analisi degli infinitesimi. genus parum adhuc est excultum, tamen non dubitamus, quin ex eo amplissimus usus in analysin infinitorum aliquando sit redundaturus. 21

23 Exhibui enim iam aliquoties eiusmodi specimina, quibus haec expectatio non parum probabilis redditur. 22 Imprimis vero ad ipsam arithmeticam et algebram communem non contemnenda subsidia affert ista speculatio, quae hoc capite breviter indicare atque exponere constitui Fractionem autem continuam voco eiusmodi fractionem, cuius denominator constat ex numero integro cum fractione, cuius denominator denuo est aggregatum ex integro et fractione, quae porro simili modo sit comparata, sive ista affectio in infinitum

24 Exhibui enim iam aliquoties eiusmodi specimina, quibus Ho già mostrato infatti molti esempi in cui queste previsioni si haec expectatio non parum probabilis redditur. dimostrano non poco probabili. Soprattutto invero la ricerca che ho deciso di indicare ed esporre brevemente in questo capitolo fornisce un aiuto non disprezzabile alla Imprimis vero ad ipsam arithmeticam et algebram communem non contemnenda subsidia affert ista speculatio, quae hoc capite breviter indicare atque exponere stessa aritmetica ed algebra comune constitui. 357 Pertanto chiamo continua una frazione fatta in modo da avere 357. Fractionem autem continuam voco eiusmodi il denominatore costituito da un numero intero sommato ad una frazione il cui denominatore è fatto a sua volta da un intero e da una frazione e che in avanti sia costituita in simile fractionem, cuius denominator constat ex numero integro cum fractione, cuius denominator denuo est aggregatum ex integro et fractione, quae porro simili modo sia che questo comportamento si estenda modo sit comparata, sive ista affectio in infinitum 22

25 progrediatur sive alicubi sistatur. Huiusmodi ergo fractio continua erit sequens expressio 23 a+ 1 b+ 1 c+ 1 d+ 1 e+ 1 f+etc., a+ α e+ β c+ γ d+ δ e+ ɛ f+etc., in quarum forma priori omnes fractionum numeratores sunt unitates, quam potissimum hic contemplabor in altera vero forma sunt numeratores numeri cuicunque.

26 all infinito o si fermi ad un certo punto. In questo senso pertanto progrediatur sive alicubi sistatur. Huiusmodi ergo fractio continua erit sequens expressio chiamiamo frazione continua una espressione del tipo a+ 1 b+ 1 c+ 1 d+ 1 e+ 1 f+etc., a+ α e+ β c+ γ d+ δ e+ ɛ f+etc., 23 nella forma della prima delle quali i numeratori delle frazioni sono tutti unitari, mentre nella seconda, che qui mostreremo essere molto potente in quarum forma priori omnes fractionum numeratores sunt unitates, quam potissimum hic contemplabor in altera vero forma sunt numeratores numeri i numeratori sono numeri qualunque. cuicunque.

27 Generalità sulle frazioni continue 24 La forma generale di una frazione continua è a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + b 4 a 4 + bn a n + b n+1 a n+1 +

28 Una frazione continua è individuata da {a n } e {b n } 25 e possiamo indicarla con a 0 + {a n} {b n } Nel caso in cui b n = 1 per ogni n la frazione continua si dice semplice.

29 Poniamo [a 1..a n ] [b 1..b n ] = a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + b 4 a b n a n

30 27 [a 1..a n ] [b 1..b n ] è la successione dei convergenti della frazione continua.

31 Teorema 0.1. Posto Allora A 0 = 1, B 0 = 0 A 1 = a 0 B 1 = 1 A k+1 = a k A k + b k A k 1 B k+1 = a k B k + b k B k 1 A n+1 B n+1 = [a 1..a n ] [b 1..b n ] 28

32 Teorema 0.2. Se le successioni {a n } e {b n } sono costituite da interi positivi allora A 2n B 2n A 2n 1 B 2n 1 A 2n+1 B 2n+1 A 2n 1 B 2n 1 A 2n B 2n A 2n 2 B 2n 2 La successione dei termini di posto pari è crescente, La successione dei termini di posto dispari è decrescente Ogni termine di posto pari è minore di ogni termine di posto dispari. 29

33 Se b n = 1 (frazione continua semplice) 30 e A n+1 B n+1 A n B n = ( 1)n+1 B n+1 B n ( 1) n+1 B n+1 B n 0 per cui A n ammette limite e tale limite è il valore B n rappresentato dalla frazione continua.

34 Le frazioni continue come somma di una serie 31 si ha e quindi A k+1 A k k = ( 1)k+1 j=1 b j B k+1 B k B k B k+1 A n+1 B n+1 = a 0 + n ( 1) k+1 k=1 k j=1 b j B k B k+1

35 a 0 + {a n} {b n } = lim n A n+1 B n+1 = n = a 0 + lim ( 1) k+1 n k=1 = a k=1 k j=1 ( 1) k+1 b j B k B k+1 = k j=1 b j B k B k+1 Ogni frazione continua si può ottenere come somma di una serie a segni alterni. 32

36 La somma di serie come frazione continua 33 Data una serie a segni alterni, possiamo trovare una frazione continua che rappresenta la sua somma.

37 Si confronti la serie F k=1 ( 1) k+1 F k = = F 0 + F 1 F 2 + F 3 F 4 + F 5 con quella generata dalla frazione continua a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + b 4 a 4 + bn a n + b n+1 a n

38 che è dove a ( 1) k+1 k k=1 j=1 b j B k B k+1 B 0 = 0 B 1 = 1 B k+1 = a k B k + b k B k 1 35

39 Affinchè le due serie siano uguali deve essere, per k 1, 36 b k+1 = F k+1 F k B k+2 B k = = F k+1 F k F k 1 F k a k a k+1 (F k 1 F k )(F k F k+1 ) = = F k 1 F k+1 a k a k+1 (F k 1 F k )(F k F k+1 )

40 Pertanto data la serie a segni alterni F k=1 ( 1) k+1 F k = F 0 F 1 + F 2 F 3 + F 4 F possiamo costruire una frazione continua a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + b 4 a 4 + bn a n + b n+1 a n+1 +

41 equivalente alla serie data imponendo che b 1 = a 1 F 1 b 2 = F 2a 1 a 2 F 1 F 2 F 1 F 3 a 2 a 3 b 3 = (F 1 F 2 )(F 2 F 3 ) b k+1 = F k F k+2 a k+1 a k+2 (F k F k+1 )(F k+1 F k+2 ) 38

42 È noto che Lo sviluppo di π 4 39 π 4 = + k=1 ( 1) k+1 1 2k 1 = e si ricava che π 4 = (2n 1)2 2+ (2n + 1)2 2+

43 Si ha ln(2) = da cui + k=1 Lo sviluppo di ln(2) ( 1) k+1 1 k = ln(2) = n2 (n + 1)

44 Da Lo sviluppo di e 41 e 1 e = + k=0 ( 1) k 1 k! = = e = ( 1) k+1 1 k! = k=1 =

45 Si ricava 1 1 e = n n+ n + 1 n + 1+ ed anche e e 1 = n n+ n + 1 n

46 ed infine poichè e e 1 = e 1 si ottiene 1 e 1 = n n+ n + 1 n

47 Per dirla con Eulero Hoc modo innumerabiles inveniri poterunt fractiones continuae in infinitum progredientes, quarum valor verus exhiberi queat. Cum enim ex supra traditis infinitae series, quarum summae constent, ad hoc negotium accommodari queant, unaquaeque transformari poterit in fractionem continuam, cuius adeo valor summae illius seriei est aequalis. Exempla, quae iam hic sunt allata, sufficiunt ad hunc usum ostendendum. Verumtamen optandum esset, ut methodus

48 Per dirla con Eulero 374. In questo modo si sono potute trovare innumerevoli frazioni continue 374. Hoc modo innumerabiles inveniri poterunt fractiones continuae in infinitum progredientes, quarum che si spingono all infinito,delle quali possiamo mostrare il valore vero. Infatti dal momento che le serie infinite che valor verus exhiberi queat. Cum enim ex supra traditis infinitae series, quarum summae constent, ad hoc abbiamo precedentemente trattato, delle quali si conosce la somma, possono essere utilizzate a questo fine, ciascuna di esse potrà essere negotium accommodari queant, unaquaeque transformari poterit in fractionem continuam, cuius adeo valor trasformata in una frazione continua,il cui valore è precisamente uguale a summae illius seriei est aequalis. Exempla, quae iam alla somma di quella serie. Gli esempi che abbiamo già fin qui portato, sono sufficienti ad illustrare questa applicazione. Purtuttavia è auspicabile che hic sunt allata, sufficiunt ad hunc usum ostendendum. Verumtamen optandum esset, ut methodus 44

49 detegeretur, cuius beneficio, si proposito fuerit fractio continua quaecunque, eius valor immediate inveniri 45 posset. Quanquam enim fractio continua transmutari potest in seriem infinitam, cuius summa per methodos cognitas investigari queat, tamen plerumque istae series tantopere fiunt intricatae, ut earum summa, etiamsi sit satis simplex, vix ac ne vix quidem obtineri possit.

50 detegeretur, cuius beneficio, si proposito fuerit fractio si trovi un metodo, per mezzo del quale, se è assegnata una frazione continua continua quaecunque, eius valor immediate inveniri qualunque, si possa trovare immediatamente il suo valore. posset. Quanquam enim fractio continua transmutari Sebbene infatti ogni frazione continua si possa trasformare in una serie infinita la cui somma possa essere studiata con metodi noti, tuttavia la maggior parte di queste serie diventano estremamente complicate, così che potest in seriem infinitam, cuius summa per methodos cognitas investigari queat, tamen plerumque istae series tantopere fiunt intricatae, ut earum summa, la loro somma, nonostante sia abbastanza semplice, solo con fatica e a volte etiamsi sit satis simplex, vix ac ne vix quidem obtineri neppure con fatica si può trovare. possit. 45

51 Frazioni Continue ed equazioni di secondo grado 46 (1) x 2 + ax b = 0 (2) x(x + a) = b (3) x = b a + x oppure x = a + b x

52 Ciascuna delle 3 dà luogo ad una frazione continua genera x = b a + x b a+ b a+ b a+ b a+ b a+ 47

53 48 (4) x = a + b x genera a + b a+ b a+ b a+

54 Ciascuna delle due frazioni continue si può studiare come limite di una successione definita per ricorrenza. 49 Consideriamo ad esempio x = b a + x

55 Da ricaviamo x = b a + x 50 c 1 = b a b b c 2 = a + b = a + c a 1 b c 3 = a + b a+ b a

56 ed in generale c 1 = b (5) a b c n+1 = a + c n Studiamo il comportamento di c n al variare di a e b 51

57 a > 0, b > 0 52 Utilizziamo grafico di b a+x il c n oscilla attorno a a 2 + a b soluzione positiva di x 2 +ax b = 0

58 La successione dei termini pari p n = c 2n è crescente. La successione dei termini dispari d n = c 2n 1 è decrescente. 53

59 e c 2n+1 = c 2n = b a + c 2n = b a + c 2n 1 = a + a + b b = a+c 2n 1 = b(a + c 2n 1) ac 2n 1 + a 2 + b b b = a+c 2(n 1) = b(a + c 2(n 1)) ac 2(n 1) + a 2 + b 54

60 Per studiare d n = c 2n 1 Utilizziamo grafico di il 55 b(a + x) ax + a 2 + b f(0) < b, c a 1 = f(0) = b, c a 2 = f(c 1 ) = ab a 2 +b f(x) = x se e solo se x = a 2 ± a b

61 Infatti mentre f(0) = ab a 2 + b < b a 56 f(x) = x se e solo se se e solo se x 2 + ax b = 0 x = a 2 ± a b

62 La convergenza della successione è molto rapida, come si vede dall ingrandimento del grafico precedente. 57

63 a < 0, b > 0 La successione oscilla come nel caso precedente tuttavia, in questo caso, la frazione continua converge alla radice negativa dell equazione x 2 +ax b = 0 58

64 L equazione a < 0, b < 0 x 2 + ax b = 0 può non avere soluzioni reali; Tuttavia, se 59 = a2 4 + b 0 possiamo studiare la successione con l ausilio del seguente grafico

65 60 c 1 = b a < x 1 = = a 2 a b

66 Per a = 2, b = 1, avremo 61 x 2 + 2x 1

67 Per a = 2, b = 1, avremo 61 x 2 + 2x 1 le cui radici sono 1 ± = 1 ± 2

68 Procedendo come indicato in precedenza 62 x(x + 2) = 1

69 Procedendo come indicato in precedenza 62 x(x + 2) = 1 x = 1 x + 2

70 Procedendo come indicato in precedenza 62 x(x + 2) = 1 1 x = x + 2 e si può esprimere la soluzione positiva dell equazione come frazione continua

71 converge a 1+ 2 soluzione positiva dell equazione

72 Possiamo pertanto scrivere che =

73 ovvero 65 2 =

74 ed ottenere le seguenti approssimazioni 66

75 ed ottenere le seguenti approssimazioni = 1.5

76 ed ottenere le seguenti approssimazioni = = = 7 5 = 1.4

77 = =

78 = = = =

79 2 = = =

80 Per a = 1, b = 1 otteniamo l equazione 69 x 2 + x 1

81 Per a = 1, b = 1 otteniamo l equazione 69 x 2 + x 1 le cui radici sono 1 ± = 1 ± 5 2

82 Procedendo come indicato in precedenza 70 x(x + 1) = 1

83 Procedendo come indicato in precedenza 70 x(x + 1) = 1 x = 1 x + 1

84 Procedendo come indicato in precedenza 70 x(x + 1) = 1 x = 1 x + 1 e si può esprimere la soluzione positiva dell equazione come frazione continua

85

86 converge alla soluzione positiva dell equazione cioè al valore

87 converge alla soluzione positiva dell equazione cioè al valore τ = 1 ± 5 2

88 converge alla soluzione positiva dell equazione cioè al valore τ = 1 ± 5 2 che individua la Sezione Aurea