Lavori di gruppo per il corso di Storia della Matematica

Transcript

1 Lavori di gruppo per il corso di Storia della Matematica Chiara Avenoso Benedetta Paganizza Marianna Piredda 2maggio2017 Problema 1 Costruire con GeoGebra la prima e la seconda curva disegnate dal compasso di Cartesio. Prima e seconda curva di Cartesio Il compasso cartesiano è uno strumento che genera curve algebriche attraverso un movimento meccanico e un procedimento iterativo. Tali curve in un opportuno sistema di riferimento hanno equazione pari a: (x 2 + y 2 ) 2n 1 = x 4n La curva iniziale è una circonferenza. Prendiamo un punto B variabile su una circonferenza di centro Y e raggio OA. Fissiamo una semiretta a passante per il centro della circonferenza e per ogni punto B consideriamo la semiretta YB. Tracciamo ora la retta BC perpendicolare a YB: essa interseca la semiretta a in un punto C, dal quale innalziamo la perpendicolare che determina il punto D. Ripetiamo la stessa costruzione appena e ettuata al punto D: tracciamo la perpendicolare a YD che determina il punto E sulla semiretta a edalpunto E tracciamo la perpendicolare che individua il punto F. Il luogo dei punti D e F, al variare di B sulla circonferenza, descrive rispettivamente la prima e la seconda curva di Cartesio. 1

2 2

3 Problema 2 Dati i segmenti a e b, determinare con il compasso di Cartesio due medie proporzionali tra a e b, ovvero due segmenti x e y tali che a : x = x : y = y : b. Dati due segmenti a e b, per determinare due segmenti x e y medi proporzionali tra i due dati tramite il compasso di Cartesio dobbiamo: 1. posizionare il segmento a lungo il segmento YX e b lungo YZ, in entrambi i casi facendo coincidere un vertice con Y; 2. aprire il compasso in modo da far coincidere B (o D o F) con l altro estremo di a ed E (o G o N) con l altro estremo di b. Iduesegmentix e y cercati saranno rispettivamente YC (o YE o YG) e YD (o YF o YH). Questo nel caso a sia il segmento più corto, se così non fosse basterà scambiare a con b. Dunque a : x = x : y = y : b. 3

4 Problema 3 Dati i segmenti a e b, determinare con il compasso di Cartesio tre e quattro medie proporzionali tra a e b. Tre medie proporzionali tra a e b Dati due segmenti a e b, per determinare tre segmenti x, y e z medi proporzionali tra i due dati tramite il compasso di Cartesio dobbiamo: 1. posizionare i segmenti a e b lungo il segmento YX in entrambi i casi facendo coincidere uno dei due vertici con Y; 2. aprire il compasso in modo da far coincidere B (o D) con l altro estremo di a e F (o H) con l altro estremo di b. Itresegmentix, y e z cercati saranno rispettivamente YC (o YE), YD (o YF) e YE (o YG). Questo nel caso a sia il segmento più corto, se così non fosse basterà scambiare a con b. Dunque a : x = x : y = y : z = z : b. Quattro medie proporzionali tra a e b 4

5 Dati due segmenti a e b, per determinare quattro segmenti x, y, z e p medi proporzionali tra i due dati tramite il compasso di Cartesio dobbiamo: 1. posizionare il segmento a lungo il segmento YX e b lungo YZ, in entrambi i casi facendo coincidere un vertice con Y; 2. aprire il compasso in modo da far coincidere B (o D) con l altro estremo di a e G (o N) con l altro estremo di b. Itresegmentix, y, z e p cercati saranno rispettivamente YC (o YE), YD (o YF), YE (o YG) e YF (o YH). Questo nel caso a sia il segmento più corto, se così non fosse basterà scambiare a con b. Dunque a : x = x : y = y : z = z : p = p : b. 5

6 Problema 4 Determinare le equazioni della prima e della seconda curva di Cartesio. Prima curva di Cartesio Nel problema uno abbiamo visto come si determinano la prima e la seconda curva di Cartesio. Vogliamo ora determinare l equazione della prima curva. Scegliamo come sistema di coordinate cartesiane un sistema avente origine nel centro Y della circonferenza, come asse delle ascisse la retta a ecome segmento unitario il raggio della circonferenza quindi YB=1. Chiamiamo x = YC e y = CD. L equazione della circonferenza è pertanto pari a x 2 + y 2 =1. MaYB YD= YC 2 ed, essendo YB=1,siricava YD= x 2 equindil equazionedellacurvaèdiquartogrado: Seconda curva di Cartesio x 2 + y 2 = x 4 Sempre nel problema precedente abbiamo visto come si costruisce la seconda curva quindi ora determiniamo la sua equazione. Supponiamo che il punto D abbia coordinate (a,b) rispetto al sistema di riferimento scelto in precedenza eorasiax = YE e y = YF. 6

7 Il luogo descritto da F è una curva la cui equazione si calcola a partire dall equazione precedente. Poiché i triangoli YDC e YFE sono simili, allora si ha la proporzione b : a = y : x da cui si ricava che: bx ay =0 (1) Consideriamo ora il triangolo rettangolo DEF: risulta DE 2 = by ed altra parte, considerando il triangolo rettangolo YDE, si ha che DE 2 = x(x a). Otteniamo quindi: ax + by = x 2 (2) Da (1) e (2) possiamo ricavare a e b in funzione di x e y: a = x3 x + y 2 b = x2 y x + y 2 Sostituiamo questi valori nell equazione della curva precedente a 2 + b 2 = a 4 etroviamocosìl equazionedellasecondacurvadicartesiocheèdigrado8: (x 2 + y 2 ) 3 = x 8 7

8 Problema 5 Costruire con GeoGebra la curva prodotta applicando il meccanismo di Cartesio a una retta, a una circonferenza e a una parabola. Il meccanismo di Cartesio Il meccanismo di Cartesio produce una nuova curva a partire da una vecchia nel seguente modo. Consideriamo un piano fisso di coordinate cartesiane ortogonali x, y e un piano mobile che scorre sul precedente, in direzione parallela all asse y, di coordinate cartesiane ortogonali X, Y, legate alle precedenti dalle equazioni X = x a, Y = y t, dovea è u n a c o s t a n t e e t una variabile. Consideriamo sul piano mobile una curva e intersechiamo questa curva con la retta congiungente l origine O del piano cartesiano fisso con l origine O del piano cartesiano mobile. La curva descritta da tali intersezioni si dice prodotta applicando il meccanismo di Cartesio alla curva assegnata sul piano mobile. Nelle figure seguenti in blu sono rappresentate le curve alle quali va applicato il meccanismo di Cartesio mentre in rosso sono rappresentate le curve prodotte applicando il meccanismo. CIRCONFERENZA Fissati i punti O e O, tracciamo la circonferenza di centro O in modo tale che resti libera di scorrere sulla retta b. Il punto di intersezione H tra la circonferenza e la retta OO genera la curva che rappresenta un ramo di concoide. 8

9 PARABOLA Fissati i punti O e O, tracciamo la parabola di fuoco O e direttrice h. In questo modo la parabola è libera di scorrere lungo la retta b eilpuntoadi intersezione tra la parabola e la retta OO genera l altra parabola in rosso. 9

10 RETTA Fissati i punti O e O, tracciamo la retta passante per B in modo che tale punto resti libero di scorrere in direzione parallela all asse Y. Così facendo il punto di intersezione H genera la curva in rosso che rappresenta due rami di un iperbole. 10

11 Problema 6 Determinare le equazioni delle curve ottenute al punto precedente. Supponiamo che il piano mobile, in cui sono scelte le coordinate X, Y, trasli in direzione parallela all asse delle y del piano fisso, in cui sono scelte le coordinate x, y, di una quantità variabile t mentre il parametro a che compare nelle trasformazioni X = x a e Y = y t è u n a c o s t a n t e fi s s a t a. S u p p o n i a - mo che sul piano che stiamo traslando sia assegnata una curva di equazione f(x, Y )=0. Intersechiamoquestacurvaconlarettachecongiungel origine del piano fisso con quella del piano mobile. Al variare del parametro t, il punto di intersezione genera una curva che ha equazione: f(x a, y ay x ) ed è la curva ottenuta applicando il meccanismo di Cartesio alla curva di equazione f(x, Y )=0. Circonferenza In riferimento alla Fig.1 sia O l origine del sistema di riferimento fisso di coordinate x, y e sia O l origine del sistema di riferimento mobile di coordinate X, Y. Supponiamo che O H sia il segmento unitario: vogliamo scrivere l equazione della concoide, ovvero della curva prodotta con il meccanismo di Cartesio applicato alla ciconferenza. Per come abbiamo scelto il segmento O H, abbiamo che la circonferenza ha equazione: ovvero: X 2 + Y 2 =1 X 2 + Y 2 1=0 Dal momento che valgono le relazioni X = x dell equazione precedente otteniamo: che possiamo riscrivere come: (x a) 2 +(y ay x )2 1=0 a e Y = y ay x, sostituendo (x a) 2 (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 11

12 Parabola In riferimento alla Fig.2 sia O l origine del sistema di riferimento fisso e sia O l origine del sistema di riferimento mobile come in precedenza. Supponiamo che O H sia il segmento unitario: dunque la parabola, avendo come vertice H=(0,1), avrà come equazione generica: ovvero: Y = cx 2 1 Y cx 2 +1=0 dove c è u n a c o s t a n t e. V o g l i a m o s c r i v e r e l e q u a z i o n e d e l l a c u r v a p r o d o t t a c o n il meccanismo di Cartesio applicato alla parabola. Sfruttando le relazioni che legano le coordinate come in precedenza, otteniamo: che possiamo riscrivere come: y ay x c(x a) 2 +1=0 (x a) (y cx 2 + acx) =x Retta In riferimento alla Fig.3 sia O l origine del sistema di riferimento fisso e sia O l origine del sistema di riferimento mobile come in precedenza. Scegliendo OB come segmento unitario, allora la retta ha come equazione: Y = m(x +1) ovvero: Y + m(x +1)=0 Sfruttando le relazioni che legano le coordinate x,y e X,Y abbiamo l equazione dell iperbole: y ay + m(x x a +1)=0 che possiamo riscrivere come: (x a) (y + mx) = mx 12

13 Problema 7 Usare una delle curve prodotte per trisecare un angolo qualsiasi. Consideriamo la curva ottenuta applicando il meccanismo di Cartesio ad una circonferenza, la cui costruzione l abbiamo esaminata nel corso del problema cinque. Sia dato l angolo AOB e consideriamo la retta perpendicolare che taglia il segmento OA in un punto D e il segmento OB in un punto E. Tracciamo la parallela ad OA passante per E: essa interseca la concoide in un punto C. Allora il segmento OC triseca l angolo AOB, ovvero l angolo AOC è 1/3 dell angolo AOB. Cartesio dedicò la sua attenzione alla trisezione dell angolo: egli aveva intuito che con una modifica al suo compasso era possibile risolvere anche il problema della trisezione dell angolo (infatti il compasso di Cartesio permette la costruzione di quante medie proporzionali si vogliono tra due segmenti ediconseguenzalacostruzionediradicidiindiciqualsiasidiunsegmento qualsiasi). Esso è formato da quattro regoli AB, AC, AD e AE che hanno 13

14 origine in A. I punti F, I, K e L sono equidistanti da A mentre i segmenti FG, GK, IH e LH possono muoversi lungo AC e il punto H può muoversi lungo AD. Dato un angolo, per dividerlo in tre parti uguali dobbiamo aprire il compasso fino a rendere l angolo ABE uguale all angolo. Essendo i triangoli AFG, AGK, AIH e ALH sempre uguali, ne segue che gli angoli corrispondenti FAC, GAD e DAE saranno sempre uguali indipendentemente dall ampiezza dell angolo BAE. Riferimenti bibliografici [1] Proclamato M., Ergo sum, il sapere esoterico di Cartesio, Torino, Melchisedek Edizioni, [2] Sito pdf progettomatematica.dm.unibo.it/curve\%20celebri/grecia/ concoide.html 14