Lavori di gruppo per il corso di Storia della Matematica

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1 Lavori di gruppo per il corso di Storia della Matematica Angela Capobianchi Rosa Castronovo Mara Fanti 2maggio Costruire con GeoGebra la prima e la seconda curva disegnate dal compasso di Cartesio cioè, con riferimento alla figura, la curva tracciata dai punti D ed F. Il compasso di Cartesio è rappresentato in figura dalle rette in figura. Esso si costruisce nel seguente modo: Si prende una semiretta qualsiasi e si mantiene fissa (in figura è la retta AC) 1

2 si traccia una circonferenza di raggio OA e centro O. Si prende una semiretta avente origine O inclinata di un angolo a piacere rispetto alla semiretta fissa. Questa retta può ruotare (in figura è la retta BD) il punto B è dato dall intersezione della semiretta con la circonferenza. Si ottiene che A e B sono equidistanti dall origine O delle due semirette. Si traccia la perpendicolare alla retta BD passante per B (l intersezione con OA fornisce il punto C). Si traccia la perpendicolare ad OA passante per il punto C. L intersezione di tale retta con la retta mobile ci permette di trovare il punto D. Si traccia la perprendicolare alla semiretta OB passante per D e si trova Ecomeprima Si traccia la perpendicolare alla retta OA passante per E e si trova il punto F. Si è così ottenuto il Compasso di Cartesio. Al ruotare della retta mobile le squadre (date dalle rette perpendicolari tracciate in nero) si muovevano spingendo ognuna la successiva. In particolare i punti D ed F tracciano, durante questo movimento, due curve, note come la prima e seconda curva di Cartesio. Il luogo dei punti descritto da B al ruotare della semiretta intorno al punto fisso O invece individua, ovviamente, una circonferenza. Con il comando locus, presente nel terzo menù a tendina di Geo- Gebra a partire da sinistra, si trovano le curve descritte da D ed F (selezionando rispettivamente i punti D e B e nel secondo caso F e B) 2

3 2 Dati i segmenti a e b, determinare, con il compasso di Cartesio, due medie proporzionali tra a e b, ovvero due segmenti x e y tali che a:x=x:y=y:b. Si prendano 2 segmenti a e b (come in figura). Per determinare due segmenti x e y medi proporzionali tra due lati a e b con il compasso di Cartesio si procede nel seguente modo: Si considerino i triangoli CBY e DYC. Essi sono simili per i criteri di similitudine. Infatti hanno entrambi un angolo retto. 1 Inoltre YB=YC sempre per costruzione. L angolo in Y invece è in comune. Similmente si procede per verificare che CBY e DBC sono simili. Si ottiene dunque che BC è medio proporzionale a BD e BY. Si può osservare che, in generale, dato il compasso di Cartesio, si ha che CBY, DYC, EYD, FYE, GYF e HYG sono simili e rettangoli. Si ha pertanto la seguente serie di proporzioni geometriche continue: YB YC = YC YD = YD YE = YE YF = YF YG = YG YH Tutti i lati presi in esame dimostrano di essere medi proporzionali fra di essi, si sono trovati così non 2 ma una serie di 12 lati Medi Proporzionali attraverso l apertura del compasso. 1 Si veda la costruzione del Compasso di Cartesio, Sezione 1 3

4 Ad ogni modo, tornando all esercizio, si ha che i segmenti x e y ricercati sono tali che : x = YC e y = YD, per i criteri di similitudine fra triangoli. Dunque a : x = x : y = y : b 4

5 3 Dati i segmenti a e b, determinare, con il compasso di Cartesio, tre e quattro medie proporzionali tra a e b. 3MEDIEPROPORZIONALI: Dati due segmenti a e b come in figura, i segmenti x,y e z medi proporzionali tra i due, per le similitudini tra i triangoli e per le osservazioni fatte nella sezione 2, sono tali che: x = YC, y = YD e z = YE. Si ha dunque a : x = x : y = y : z = z : b 5

6 4MEDIEPROPORZIONALI: S sta cercando a : x = x : y = y : z = z : t = t : b Per i criteri di similitudine fra triangoli si ottiene che x = YC, y = YD, z = YE, t = YF. 6

7 4 Determinare le equazioni della prima e della seconda curva di Cartesio equazione prima curva cartesio: Per ogni punto B consideriamo la semiretta OB, la retta BD perpendicolare aobelarettadcperpendicolarear. Il luogo dei punti C descrive una curva la cui equazione, scegliendo come origine il centro della circonferenza come asse delle x la retta r e come unità il raggio della circonferenza,, si determina immediatamente: sia x = OD e y = DC. x 2 + y 2 = OC 2 ma, (OC) (OB) =OD 2 ed, essendo OB=1, si ricava OC = x 2 equindil equazionedellacurvaèdiquartogrado x 2 + y 2 = x 4 equazione seconda curva cartesio: Si procede iterando il procedimento. Per ogni punto C di coordinate (a,b) 7

8 della curva ottenuta, costruiamo la retta OC, la sua perpendicolare CF e la perpendicolare a r, FE. Il luogo descritto da E è una nuova curva la cui equazione si calcola a partire dall equazione precedente. Abbiamo intanto essendo simili i triangoli OCD e OEF bx ay =0 Consideriamo ora il triangolo rettangolo CFE, risulta CF 2 = by, ed altra parte,guardando al triangolo rettangolo OCF, CF 2 = x(x a). Otteniamo quindi ax + by = x 2 ricaviamo da queste equazioni a e b in funzione di x e y a = x 3 /(x 2 + y 2 ) b = x 2 y/(x 2 + y 2 ) Sostituiamo questi valori nell equazione della curva: a 2 + b 2 = a 4.Troviamo così l equazione del secondo luogo (x 3 /x 2 + y 2 ) 2 +(x 2 y/x 2 + y 2 ) 2 =(x 3 /x 2 + y 2 ) 4 cioè che è di grado 8. (x 2 + y 2 ) 3 = x 8 In generale se F(x,y)=0 è l equazione del luogo n-esimo, quella del luogo successivo è F (x 3 /x 2 + y 2,x 2 y/x 2 + y 2 )=0 In generale le equazione dei vari luoghi sono: x 2 +y 2 = x 4, (x 2 +y 2 ) 3 = x 8, (x 2 +y 2 ) 5 = x 12, (x 2 +y 2 ) 7 = x 16, (x 2 +y 2 ) 9 = x 20 ecc.. Ognuna di queste equazioni rappresenta una curva che si può ottenere con il compasso cartesiano. 8

9 5 Costruire con GeoGebra la curva prodotta applicando il meccanismo di Cartesio a una retta, a una circonferenza e a una parabola. Riportiamo qui di seguito il MECCANISMO DI CARTESIO: Il meccanismo di Cartesio produce una nuova curva a partire da una vecchia, nella maniera seguente. Si consideri un piano fisso, di coordinate cartesiane ortogonali x, y e un piano che scorre sul precedente, in direzione parallela all asse delle y, di coordinate cartesiane ortogonali X, Y, legate alle precedenti dalle equazioni : X = xa Y = yt dove a è una costante e t una variabile. Si consideri sul piano variabile un curva e si intersechi questa curva con la retta congiungente l origine O del piano cartesiano fisso con l origine O del piano cartesiano variabile. La curva descritta da tali intersezioni si dice prodotta applicando il meccanismo di Cartesio alla curva assegnata sul piano variabile. Come richiesto dalla consegna, applichiamo il meccanismo di Cartesio a una circonferenza, a una retta e a una parabola. 9

10 Procedimento applicato alla circonferenza: Si prende una retta (in figura la retta blu) e si prende un punto su essa (C) Si traccia la perpendicolare passante per C a tale retta. Sulla perpendicolare si prende il punto O Si prende un punto O qualsiasi e si traccia la semiretta passante per O eo Si prendano due punti qualsiasi ( D ed E) e, con l apposito strumento di Geo Gebra, nel menù delle circonferenze, si traccia una circonferenza di cento O e raggio DE Si prende l intersezione tra tale circonferenza e la semiretta OO Al muoversi di O su tale retta viene individuata la curva rosa in figura, che è stata tracciata con l apposito strumento locus 10

11 procedimento applicato a una retta: Si procede nel seguente modo: Si traccia una retta qualsiasi, in figura blu e si prende su di essa il punto C Si prende O su tale retta e O qualsiasi, in figura è preso sulla retta blu. Si tracci la retta OO ( tratteggiata in figura). Si prendono due punti qualsiasi D ed E e si traccia una circonferenza di centro O e raggio DE. L intersezione con la retta perprendicolare fornisce il punto F. Si prende un punto qualsiasi sulla circonferenza (G) e si traccia una retta tangente alla circonferenza passante per G. H è l intersezione tra tale retta e OO al muoversi di O sulla retta su cui è vincolato, G descrive una curva simile a una iperbole. Ciò si verifica con la funzione locus. 11

12 procedimento applicato a una parabola: Si prende una retta qualsiasi in blu e si prende la perpendicolare a tale retta passante per C Si prende un punto O su tale retta. Dati due punti qualsiasi sulla retta blu (D ed E) si traccia una circonferenza di centro O e raggio DE. Si trova così F come intersezione. Si traccia la tangente alla circonferenza in F e si traccia la parabola di fuoco O e direttrice la tangente appena tracciata. In questo modo al traslare di O sulla retta la parabola non varierà di pendenza ma traslerà e basta. Si prende un punto qualsiasi O e si traccia la retta OO. L intersezione di tale retta con la parabola, ossia il punto G, descrive, al muoversi di O sulla retta su cui sta vincolato, una curva molto simile a una parabola, in figura in rosso. 12

13 6 Determinare le equazioni delle curve ottenute al punto precedente. equazione 1: Si tratta di una concoide. Sia P polo qualsiasi, sia O =l intersezione della retta c ed a. Si ha O A=O B=r Sia P polo della concoide. Si ricava allora l equazione nel seguente modo: Il luogo geometrico dei punti A e B, in particolare nella figura è tracciato quello di B, ramo interno della concoide di Nicomede, si veda la figura. Se P coincide con l origine allora si ricavano le seguenti equazioni: sia y=mx il fascio di rette passante per O. Possiamo scrivere allora O (k,t) tale che t=mk Il coe ciente angolare della retta, scritto rispetto alle coordinate del punto O è dato da: m = y B yo 0 = y t x k Da cui segue che x b x 0 O y t = mk (1) Sia O B=r, allora AB 2 = r 2 da cui (x k) 2 +(y t) 2 = r 2 (2) Imponendo (1) in (2) si ottiene che: (x k) 2 + m 2 (x k) 2 = r 2 (3) Da 13

14 cui segue che (x k) 2 (1 + m 2 )=r 2 (3) Imponendo m = y, che corrisponde al coe ciente angolare passante per il k punto O. (x k) 2 (1 + ( y x )2 )=r 2 da cui segue (x k) 2 (x 2 + y 2 )=r 2 x 2 Volendo ricavare la forma parametrica di ha, partendo da (3): (x k) 2 (1 + m 2 )=r 2 Da cui (x k) 2 = r2 1+m 2 r x k = p 1+m 2 Per y=mx si ottiene il sistema: Essendo m = tan( ) eessendosin( ) = x = k ± x = k ± y = mk ± tan( ) p1+tan( ) 2 = m p 1+m 2 e cos( ) = 1 p1+tan( ) 2 = 1 p 1+m 2 Allora si ottiene il sistema: r p 1+m 2 r p 1+m 2 mx p 1+m 2 x = k ± rcos( ) y = ktant( ) ± rsin( ) 14

15 equazione 2: Si procede nel seguente modo: Sia O l origine del piano fisso e O l origine del piano mobile. Si ha che valgono le seguenti relazioni 2 : X = x a Y = y Si scelga O F come raggio unitario per semplificare i calcoli. Si ottiene dunque che la parabola ha vertice F=(0,-1) Essa è dunque descritta dall equazione Y = cx 2 1Sostituendolerelazioni ay sopra riportate di ha che X = x a e Y = t dalle quali segue che x l equazione della curva descritta è la seguente: y ay x da cui, svolgendo i calcoli si arriva a: t c(x a) 2 +1=0 cx 3 2acx 2 (1 + y)x + ay osservazione: Si ottiene una curva di grado 3 che pertanto, pur essendo molto simile a una parabola, non è una parabola. 2 a tale proposito si legga l introduzione alla sezione 5 15

16 equazione 3: Si ponga O origine degli assi mobili ed O origine degli assi fissi. Si ricordi la relazione fra le coordinate degli assi fissi (X,Y) e quelle degli assi mobili (x,y). Per semplificare i calcoli si ponga OF=1. La retta (in verde) ha pertanto equazione, rispetto agli assi mobili: Y = 1 E ettuando il cambio di variabili si ottiene che y t = 1 Dal quale segue che: è l equazione cercata. y ay x = 1 16

17 Volendo trovare un equazione più generale, scegliendo sempre O B come segmento unitario, si ha che: Y = m(x +1) Sfruttando, come negli esercizi precedenti, le relazioni tra le coordinate x,y e X,Y si ottiene: ay y + m(x a +1)=0 x Ovvero, riscrivendo l equazione, si ottiene: (x a)(y + mx) = mx 7 Usare una delle curve prodotte applicando il meccanismo di Cartesio per trisecare una angolo qualsiasi. Tra le curve ottenute con il meccanismo di Cartesio c è la Concoide. Essa può essere utilizzata per trisecare un angolo qualsiasi. In particolare l equazione di una concoide è data da: (y a) 2 (x 2 + y 2 )=k 2 y 2 Per k<asi ha la curva ottenuta prima in sezione 5. Per k = a si ha questa concoide: 17

18 (si è ottenuta variando il raggio della circonferenza nella costruzione). La curva, come detto, può essere usata per risolvere il problema della trisezione dell angolo. Vediamo come: Dato un angolo acuto AOB, vogliamo costruire un angolo che sia 1 dello 3 stesso. Per prima cosa tracciamo una retta l che attraversa il segmento OA e sia perpendicolare ad esso. Sia D l intersezione tra la retta ed il segmento OA, E l intersezione tra la retta ed il segmento OB: Tracciamo una Concoide di Nicomede con retta l, punto non sulla retta O e distanza 2OE. Tracciamo ancora una linea s passante per E e perpendicolare ad l. Sia C l intersezione della retta s con il ramo della concoide in cui non si trova il polo O. L angolo AOB è tre volte l angolo AOC. Ovviamente la costruzine del punto C non può essere fatta con il solo ausilio di riga e compasso, poiché la stessa concoide non può essere costruita solo con riga e compasso. Da notare che, contrariamente a quanto accade con altre curve trisettrici, per la trisezione di un angolo c è bisogno di una nuova concoide ogni volta. Riferimenti bibliografici 18