Probabilità. Esperimento, risultati e spazio campionario

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Probabilità. Esperimento, risultati e spazio campionario"

Transcript

1 Probabilità La probabilità è usata nel linguaggio comune per dare indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi: i) probabilità di incorre in un data patologia causa l abuso di alcol, fumo, ecc., ii) probabilità di avere un periodo di alta pressione (bel tempo) nel periodo in cui si terranno le olimpiadi; iii) la probabilità di superare o meno un esame in funzione delle preparazione. La probabilità misura la verosimiglianza (likelhood) con la quale può verificarsi un determinato evento ed è la base della statistica inferenziale. La statistica inferenziale permette di prendere decisioni in presenza di incertezze: la teoria della probabilità è utilizzata per valutare le incertezze che condizionano la decisione. La probabilità e le distribuzioni probabilistiche combinata alla statistica descrittiva consente di prendere decisioni relative ad una popolazione a partire dalle informazioni ottenute dal campione. Esperimento, risultati e spazio campionario I controlli di qualità industriali su una apparecchiatura, oggetto, prodotti in serie sono un esempio di esperimento. Il risultato dell esperimento difettoso o corretto sono i risultati dell esperimento, l insieme dei risultati dell esperimento e detto spazio campionario. Lo spazio campionario e indicato con S, e lo spazio campionario dei controlli di qualità è S = {corretto, difettoso} Gli esempi illustrano il significato di esperimento, risultati e spazio campionario: Lo spazio campionario può essere rappresentato graficamente tramite un diagramma di Veen o un diagramma ad albero. - Diagramma di Veen: descrizione figurativa in cui sono indicati tutti i possibili risultai di un esperimento. - Diagramma ad albero: rappresentazione ad albero nella quale ciascun evento è indicato con un ramo. Cap.4 Pagina 1 di 12

2 Esempio 4-1. Lancio di una moneta. Un solo lancio. Esempio 4-2. Lancio di una moneta. Due lanci. Eventi semplici e composti Per evento si intende uno o più risultati di un esperimento scelti contemporaneamente. Evento semplice. Ciascuno dei possibili risultati di un esperimento Esempio 4-4. Soci maschi e femmine di una associazione salutista. Scelta di una coppia di soci. I risultati dell esperimento rappresentano altrettanti eventi semplici indicati con E 1, E 2, E 3 e E 4. Cap.4 Pagina 2 di 12

3 Evento composto. Uno o più risultati del medesimo esperimento. Gli eventi composti sono indicati con A, B, C, Esempio 4-5. Nell esempio 4-4 consideriamo A l evento composto rappresentato dai risultati dell estrazione dove è presente un uomo. Esempio 4-6. Favorevoli (F) o contrari (A) alla manipolazione genetica. Scegliamo casualmente due persone: l esperimento ha quattro risultati possibili, e precisamente: Gli eventi FF, FA, AF, AA presi singolarmente sono eventi semplici; l evento composto A corrispondente al risultato dell estrazione al più una persona è contro la manipolazione genetica è A = {FF, AF, FA} Indicare l evento composto B corrispondente al risultato dell estrazione al meno una persona è contro la manipolazione genetica. Esercizio 1. Due studenti sono estratti a caso in una classe per verificare se sono predisposti (P) o non predisposti (N) alla matematica. Indicare lo spazio campionario dell esperimento ed i relativi diagrammi di Veen ed albero. Indicare gli eventi semplici a gli eventi composti: A={almeno un studente P}; B = {al più uno studente P}. Cap.4 Pagina 3 di 12

4 Calcolo della Probabilità di un Evento La probabilità è una misura della verosimiglianza con cui può verificarsi un dato evento ed è indicata con P ; con P(E i ) si indica la probabilità dell evento semplice E i ; e con P(A) la probabilità dell evento composto A. Proprietà della probabilità 1. La probabilità di un evento è un valore compreso fra 0 ed 1. a. Un evento impossibile ha probabilità 0 b. Un evento certo ha probabilità 1 2. La somma delle probabilità di tutti gli eventi semplici di un esperimento, ΣP(E i ), è sempre 1. La proprietà 2 per l esperimento del lancio di una moneta, di due monete e per il risultato delle partite di calcio fornisce i seguenti risultati: - P(H) + P(T) = 1 - P(HH) + P(HT) + P(TH) + P(TT) = 1 - P(vinta) + P(persa) + P(pareggiata) = 1 Definizione di Probabilità La probabilità può essere calcolata in modo diverso a seconda dell approccio concettuale utilizzato: esistono tre approcci concettuali al calcolo della probabilità: (1) probabilità classica, (2) la probabilità come frequenza relativa; (3) la probabilità soggettiva. Probabilità Classica La definizione classica di probabilità è utilizzata per calcolare la probabilità degli eventi di un esperimento i cui risultati sono equamente probabili. La probabilità classica è definita per un evento semplice e composto nel modo seguente. Per un evento semplice è uguale a 1 diviso il numero totale dei risultati dell esperimento; per un evento Cap.4 Pagina 4 di 12

5 composto A è uguale al numero di risultati favorevoli ad A diviso il numero totale dei risultati dell esperimento. Importante. Si dimostri che la regola della probabilità classica per eventi semplici e composti verifica le proprietà del calcolo delle probabilità. Esempi di calcolo della probabilità con la regola classica. - Lancio di una moneta bilanciata (fair). Soli risultati possibili gli eventi di S = {H,T}, quindi - Numeri pari nel lancio di un dado a 6 facce. Lo spazio campionario è S = {1,2,3,4,5,6}; l evento composto dato dall uscita di un numero pari è A = {2,4,6}. Nel gergo probabilistico si dice che è avvenuto l evento A se e solo se esce uno di questi tre numeri, e pertanto - Un associazione con 100 iscritti dei quali 40 sono donne e 60 uomini. Si vuole eleggere il presidente per estrazione casuale. Quale è la probabilità che sia eletta una donna? Probabilità come Frequenza relativa Supponiamo di voler calcolare 1. La probabilità che la prossima automobile prodotta sia di colore bianco, verde acido, 2. La probabilità che scelta a caso una famiglia questa possieda 1, 2, ecc., automobili 3. La probabilità che il prossimo neonato sia di sesso femminile 4. La probabilità che un anziano 80-enne sopravviva un altro anno 5. La probabilità che nel lancio di una moneta truccata esca Testa 6. La probabilità di vedere il numero 1 uscire nel lancio di un dado truccato. Gli eventi degli esperimenti 1-6 non sono equiprobabili e quindi non è possibile usare la regola classica. Tuttavia è possibile ripetere ciascun esperimento un numero molto grande di volte o lo si è fatto in precedenza ed utilizzare la frequenza relativa di ciascun risultato come approssimazione della probabilità del risultato stesso. Cap.4 Pagina 5 di 12

6 Il metodo di calcolo della probabilità basato sulla stima della frequenza relativa può portare a valori diversi della medesima stima della probabilità se questa è calcolata in esperimenti successivi. Ad esempio due stock di auto di 500 unità mandate in produzione in tempi successivi possono avere un numero di auto richieste essere di colore bianco diverso (nel gergo statistico si dice che il numero atteso di auto di colore bianco è diverso). Tuttavia la differenza nella percentuale di auto di un dato colore diventa più piccola all aumentare delle dimensioni del campione. Importante. Se si analizza una popolazione la frequenza relativa di un dato risultato corrisponde al valore esatto della probabilità. Esempio In un campione di 500 auto avviate alla produzione 10 di queste sono state ordinate con colore verde acido. Nell ipotesi che gli ordini dalle concessionarie arrivino a caso si vuole calcolare la frequenza relativa del colore verde acido. Poiché il numero totale delle auto nello stock è n=500 e f=10 è la frequenza del colore verde acido; usando la frequenza relativa come stima della probabilità si ottiene: P 10 = 500 ( verde acido) = L esperimento dove gli eventi sono le categorie indicate nello spazio campionario ha la seguente tabella delle frequenze = n f S = {verde acido, altri colori} colore frequenza frequenza relativa Verde acido 10 10/500 = 0.02 Altri colori /500 = 0.98 Dalla regola della frequenza relativa il valore della probabilità per ciascun evento è P(verde acido) = 0.02 P(altri colori) = 0.98 Importante. Le frequenze realtive non corrispondono ai valori esatti delle probabilità ma sono valori approssimati. Tuttavia se l esperimento viene ripetuto in successione un numero sempre maggiore di volte la frequenza relativa approssima il valore vero della probabilità di ciascun risultato. Questa condizione limite prende nome di legge dei grandi numeri. Esempio Determinare la probabilità che scelta a caso una famiglia della città di Roma questa possieda la casa in cui abità. L esperimanto ha due possibili risultati: S = {E 1, E 2 } = {possiede la casa, non possiede la casa} Cap.4 Pagina 6 di 12

7 Si prende un campione n=1000 famiglie e si calcola la frequenza f delle famiglie che abitano la casa di proprietà. Nell ipotesi che f = 670 la P(E 1 ) è pari a P ( E ) = = n f 1 = Se l esperimento viene ripetuto più volte il valore della P(E 1 ) ottenuto dalla frequenza relativa dei diversi esperimenti è leggermente diverso, tuttavia poiché il campione e di grandi dimensioni le variazioni attese per ciascun esperimento sono molto piccole (grandinumeri.xls). Valutazione soggettiva della Probabilità A volte l esperimento non ha eventi equiprobabili e non può essere ripetuto molte volte per generare i valori necessari per una stima della frequenza relativa. 1. La probabilità che Luigi che sta studiando statistica supererà l esame con 30+Lode. 2. La probabilità che l indice delle contrattazioni in Borsa oggi avrà un andamento positivo rispetto ai giorni precedenti. 3. La probabilità che l Internazionale vinca il campionato 2002/ La probabilità che l orario di lavoro del pubblico impiego stabilito per contratto aumenti. In ciascuno di questi casi è possibile assegnare una probabilità soggettiva, basata sull esperienza, sulle informazioni in nostro possesso o sul nostro convincimento personale. Se esaminiamo la prima domanda è chiaro che la probabilità che l esito dell esame si 30 e Lode non è la medesima dei restanti punteggi, ed è chiaro anche che date le nostre previsioni di voto Luigi otterrà un punteggio molto alto e che quasi sicuramente accetterà il voto. Non è quindi possibile utilizzare la regola classica e la frequenza relativa per il calcolo delle probabilità. Tuttavia, possiamo ugualmente ritenere che Luigi abbia un elevata probabilità di prendere la Lode poiché ha una buona predisposizione per la materia; è un perfezionista (secchione), il professore ha sempre dimostrato una buona predisposizione del verso coloro che dimostrano interesse per la disciplina. Non è però da escludere che in quella occasione Luigi abbia una amnesia che ne comprometta l esame. Importante. La probabilità soggettiva è assegnata arbitrariamente. Per questa ragione è soggetta ad errori ed è influenzata dalla esperienza della persona che assegna la probabiltà. Metodi di conteggio Esperimenti con un numero grande di eventi necessitano di metodi per individuare il numero di risultati possibili. Tali metodi vengono indicati anche come regole di conteggio. Metodi di conteggio. Dato un esperimento suddiviso in tre fasi distinte rispettivamente con k, m ed n risultati possibili No. Totale di risultati dell esperimento = k x m x n Cap.4 Pagina 7 di 12

8 Le regole di conteggio possono essere estese facilmente ad eseprimanti con un numero di fasi distinte maggiore di tre. Esempio Lancio triplo di una moneta. Ciascun lancio è una fase con due risultai possibili pertanto No. Totale di risultati = 2 x 2 x 2 = 2 2 = 8 Esempio Una persona intenzionata a comprare un automobile può scegliere fra forme di finanziamento con interesse a tasso fisso oppure variabile e durata pari a 36, 48 e 60 mensilità. Quanti possibili risultati ha questo esperimento? No. Totale di risultati = 2 x 3 = 6 Esempio Il campionato di calcio Italiano a 18 squadre prevede un totale di 34 partite. Ciascuna partita ha 3 possibili risultati: partita vinta, persa, pareggiata. Il totale di possibili risultati si calcola dalla formula No. Totale di risultati = 3 34 = 1.67 x Probabilità marginale e condizionale Una indagine statistica eseguita su 200 lavoratori del pubblico impiego è stato chiesto se sono favorevoli o contrari ad un aumento dell orario di lavoro settimanale da 36 a 38 ore lavorative; le due ore aggiuntive saranno recuperate come, permessi, ferie, ecc. I risultati dell indagine sono riportati nella Tab. 4-3 che prende nome di tabella di classificazione a due vie. Tabella 4.3. Tabella di classificazione a due vie delle risposte degli intervistati Favorevoli Contrari Uomini Donne Nella tabella 4-3 le risposte date dagli intervistati sono divise in variabili o caratteristiche: sesso di appartenenza (uomo o donna) e opinione (favorevole o contrario). La tabella 4-3 si chiama tabella di contingenza a due vie e ciascuna suddivisione nella quale sono inseriti i dati è indicata come cella. La tabella è composta di 4 celle, e ciascuna cella da la frequenza di ciascuna delle due caratteristiche; ad ex. 50 soggetti intervistati sono la frequenza di entrambe le caratteristiche donna e contrario. Tabella 4.3. Tabella di classificazione a due vie delle risposte degli intervistati con totali. Favorevole Contrario Totali Uomini Donne Totali Supponiamo di scegliere un soggetto a caso fra i 200 intervistati, il risultato dell esperimento può essere classificato a seconda della caratteristica sesso (uomo o donna), oppure opinione (favorevole o contrario). La probabilità associata a ciascuna variabile della tabella a due vie è detta probabilità marginale o probabilità semplice. Le quattro probabilità marginali risultanti dalla Tabella 4.4 sono Cap.4 Pagina 8 di 12

9 P(uomini) = No. uomini/ No. intervistati = 98/200 = 0.49 P(donne) = No. donne/ No. intervistati = 102/200 = 0.51 P(favorevole) = No. favorevoli/ No. intervistati = 127/200 = 0.64 P(contrario) = No. contrari/ No. intervistati = 63/200 = 0.37 Supponiamo ora di scegliere a caso uno dei duecento soggetti e di sapere che il soggetto è un uomo in altre parole abbiamo già eseguito l esperimento e verificato che la variabile sesso ha dato quale risultato uomini quale è la probabilità che il soggetto sia favorevole all aumento dell orario di lavoro settimanale. La probabilità che l impiegato sia favorevole se maschio si indica con ed è chiamata probabilità condizionale. P(favorevole maschio) Esempio Calcoliamo la P(favorevole maschio) dalla tabella 4-4. Poiché il numero degli intervistati uomini è 98 e di questi 75 sono favorevoli la probabilità condizionale analogamente P (favorevole uomo) = No. uomini a favore / No. uomini = 75 / 98 = 0.77 P (contrario uomo) = No. uomini contrari / No. uomini = 23 / 98 = 0.23 Con un calcolo analogo possono essere calcolate le probabilità condizionate P (favorevole donna) = No. donne a favore / No. donne = 52 / 102 = 0.51 P (contrario donna) = No. donne contrarie / No. donne = 50 / 102 = 0.49 Si osservi che nel calcolo della probabilità condizionale l evento già verificatosi (uomo) è sempre al denominatore della definizione empirica di probabilità, mentre l evento di cui si vuole calcolare la probabilità sotto condizione è al numeratore. La probabilità condizionale di ciascuna variabile favorevole/contrario data la variabile uomo/donna può essere calcolata tramite un diagramma ad albero Evento già verificatosi: uomo 98/200 Favorevoli: 75/98 Contrari: 23/98 Favorevoli: 52/102 Evento già verificatosi: donna 102/200 Contrari: 50/102 Esempio Dai valori di tabella 4.4 calcolare le seguenti probabilità condizionate P(donna favorevole) P(maschio contrario) Cap.4 Pagina 9 di 12

10 Esercizio. A 100 dipendenti di una azienda è stato chiesto se sono favorevoli o contrari alla trasformazione del TFR in una forma di pensione integrativa. Le risposte sono riportate nella tabella che segue Tab.4-4 Tabella di classificazione a due vie delle risposte dei dipendenti Favorevoli Contrari Uomini Donne 4 36 Calcolare i valori della probabilità marginale per ciascuna variabile della tabella di contingenza, e i valori della probabilità condizionata P(contrario donna) e P(uomo favorevole). Eventi mutuamente esclusivi Eventi che non possono verificarsi simultaneamente sono detti mutuamente esclusivi. 1. Due eventi A e B sono mutuamente esclusivi se non hanno alcun risultato in comune. 2. Se A e B sono mutuamente esclusivi il risultato dell esperimento è A oppure B. 3. Dati A e B mutuamente esclusivi il verificarsi di A esclude il verificarsi di B. Esempio Gli eventi che seguono derivano dal lancio di un dado a 6 facce: A = {2, 4, 6} = {no. pari}; B = {1, 3, 5}={no. dispari} C = {1, 2, 3, 4} = {no. minore di 5}, si vuole controllare se A e B e A e C sono mutuamente esclusivi. La condizione di eventi mutuamente escussivi o non esclusivi può essere facilmente verificata applicando le regole 1-3, dalle quale risulta che A e B sono mutuamente esclusivi perché non hanno nessun risultato in comune, uno dei due eventi appare sempre, e il verificarsi di A esclude il verificarsi di B. A e C sono mutuamente non esclusivi perché hanno risultati in comune (2,4), uno di questi due valori comporta il contemporaneo verificarsi di A e di C. Eventi indipendenti Due eventi A e B sono detti indipendenti se il verificarsi di uno dei due eventi non condiziona in alcun modo la probabilità con cui si può verificare il secondo evento. In altre parole A e B sono eventi indipendenti se si verifica contemporaneamente che P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B) Se il verificarsi di un evento, ad esempio A, condiziona la probabilità del verificarsi di B i due eventi sono detti dipendenti. In notazione probabilistica due eventi sono detti dipendenti se si verificano le condizioni P(A B) P(A) e P(B A) P(B). Esempio Con riferimento ai valori della tabella 4.4 relativi al parere sull utilizzo del TFR dato da 100 impiegati, calcolare se gli eventi donna (F) e favorevole (A) sono indipendenti. Applicando la definizione se viene verificata l eguaglianza P(F) = P(F A) gli eventi sono indipendenti, viceversa se l eguaglianza non è verificata gli eventi non sono indipendenti. Poiché P( F ) = 40/100 = 0.40 e P( F A) = 4/19 =0.21 i due eventi sono dipendenti. Verificare la dipendenza degli eventi A ed F calcolando P(A F) e P(A). Esempio Il controllo di qualità eseguito su 100 CD estratti da una scatola ha indicato che 15 di questi sono difettosi. Dei 100 CD contenuti nella scatola 60 sono stati costruiti dalla macchina A e 9 di questi 60 sono difettosi. Indichiamo con D l evento CD difettoso sui 100 nella scatola, e Cap.4 Pagina 10 di 12

11 con A l evento che il CD difettoso estratto dalla scatola sia prodotto dalla macchina A, vogliamo verificare che gli eventi D ed A sono indipendenti. Poiché dai valori a disposizione è verificato che cioè gli eventi sono indipendenti. P(D)=15/100 = 0.15 e P(D A) = 9/60 = 0.15 P(D) = P(D A) La condizione D ed A eventi indipendenti può essere resa più chiara dalla tabella di contingenza a due vie con i totali di ciascuna variabile (macchina A e B) e (Difettoso, Buono). Tabella 4.6. Tabella di classificazione a due vie controllo di qualità. Difettoso (D) Buono (G) Totali Macchina (A) Macchina (B) Totali Il valore P(D) è la probabilità marginale di uno dei valori della variabile controllo di qualità, e pertanto si calcola come semplice rapporto P(D) = No. Difettosi / No totale CD = 15/100 A sua volta il valore P(A D) è la probabilità condizionale che esca l evento A dato D e pertanto P(A D) = No. Difettosi prodotti da A / No totale prodotti da A = 9/60 Importante. Alcune osservazioni relative agli eventi mutuamente escussivi, indipendenti e dipendenti sono importanti. 1. Due eventi A e B possono essere fra loro mutuamente esclusivi o indipendenti a. Eventi mutuamente esclusivi sono sempre dipendenti b. Eventi indipendenti non sono mai mutuamente escussivi 2. Eventi dipendenti possono essere o non essere mutuamente esclusivi Eventi complementari Due eventi mutuamente esclusivi che rappresentano tutti i possibili risultati di un esperimento sono detti eventi complementari. Due eventi complementari sono sempre mutuamente esclusivi. Eventi complementari. L evento complementare all evento A si indica con A e include tutti i possibili risultati dell esperimento non inclusi in A. poiché due eventi complementari includono tutti i possibili risultati di un esperimento la somma delle loro rispettive probabilità è uguale a 1 P ( A) + P( A ) = 1 e di conseguenza P( A) = 1 P( A), P( A) =1 P( A) tutte le precedenti definizioni sono illustrati da seguente diagramma di Veen. Cap.4 Pagina 11 di 12

12 Esempio In un gruppo di di questi hanno fatto un ricorso al Tribunale S A A Amministrativo per irregolarità commesse dall ufficio Tributi nell anno Vogliamo calcolare la probabilità che presa a caso un contribuente questo abbia ricorso al giudice (A) o non abbia fatto ricorso (A). P(A) = 4300/5000 = 0.86 P(A) = 700/5000 = 0.14 P(A) + P(A) = = 1.00 Fig Diagramma di per due eventi complementari. Esempio Preso un campione di 5000 lavoratori dipendenti ai quali è stato sottoposto un questionario, 1500 di questi hanno espresso parere favorevole alla introduzione della previdenza privata gestita dalle aziende a dai rappresentanti dei lavoratori. Indicando con A i contrari e con A i favorevoli calcolare i valori di P(A) e P(A). Verificare la condizione di complementarietà. Cap.4 Pagina 12 di 12

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI ESERCIZIO 1 Due giocatori estraggono due carte a caso da un mazzo di carte napoletane. Calcolare: 1) la probabilità che la prima carta sia una figura oppure una carta di

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Calcolo delle probabilità Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si vuole studiare la distribuzione del sesso dei figli nelle famiglie aventi due figli

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il problema di Monty Hill nel film 21 Elementare!! Statistiche, cambio di variabili. 1 Il coefficiente di correlazione tra Indicee Stipendio vale 0,94. E possibile asserire che

Dettagli

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI IL CONCETTO DI VARIABILE CASUALE Associare una misura di probabilità al verificarsi di un certo evento (come esito di un esperimento) non sempre è sufficiente a risolvere gran parte dei problemi reali

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Test sul calcolo della probabilità

Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è

Dettagli

OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4

OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 Finalità: Sistematizzare concetti e definizioni. Verificare l apprendimento. Metodo: Lettura delle OSSERVAZIONI e risoluzione della scheda di verifica delle conoscenze

Dettagli

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio)

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio) Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio 1. Lanciamo due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma delle facce rivolte verso l alto sia pari a 7? 1/6 2. Due palline vengono estratte

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE AREA TECNICO ASSISTENZIALI

Dettagli

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile.

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ Statistica5 23/10/13 Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. Se si afferma che un vitello di razza chianina pesa 780 kg a 18

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da

Dettagli

PROBABILITA MISURARE L INCERTEZZA Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere?

PROBABILITA MISURARE L INCERTEZZA Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere? Lanciamo due dadi, facciamo la somma dei punteggi ottenuti. Su quale numero mi conviene scommettere? Abbiamo visto nella lezione precedente che lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare l esperimento

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale. Corso di Statistica e Biometria. Introduzione e Statistica descrittiva

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale. Corso di Statistica e Biometria. Introduzione e Statistica descrittiva Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria Introduzione e Statistica descrittiva Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 1 VARIABILI QUALITATIVE

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 1 VARIABILI QUALITATIVE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) STATISTICA DESCRITTIVA

Dettagli

ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE

ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE 1) Considera la tabella seguente, che descrive la situazione occupazionale di 63 persone in relazione al titolo di studio. Occupazione SI NO Titolo Licenza media 5%

Dettagli

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛ Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori con determinate probabilità; Ad una variabile casuale è associata

Dettagli

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità: indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi (linguaggio comune), ad es. P di superare o

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi

La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi Come posso confrontare diverse ipotesi? Nella statistica inferenziale classica vengono sempre confrontate due ipotesi: l ipotesi nulla e l ipotesi

Dettagli

Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa. L incertezza

Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa. L incertezza La probabilità Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa L incertezza Nella maggior parte delle situazioni la nostra condizione è caratterizzata dallincertezza Incertezza relativa

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Incompatibilità ed indipendenza stocastica. Probabilità condizionate, legge della probabilità totale, Teorema

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Modello probabilistico di un esperimento aleatorio Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek 1 Un esperimento è il processo attraverso il quale un osservazione

Dettagli

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu 1. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3x3, ogni intero in ogni casella diversa, in modo

Dettagli

= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520:

= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520: Fig. 10.bis.1 Variazioni percentuali Variazione percentuale di x dalla data zero alla data uno: x1 x 0 %x = 100% x 0 = variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del

Dettagli

Premesse alla statistica

Premesse alla statistica Premesse alla statistica Versione 22.10.08 Premesse alla statistica 1 Insiemi e successioni I dati di origine sperimentale si presentano spesso non come singoli valori, ma come insiemi di valori. Richiamiamo

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a:

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a: TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 2 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli

Dettagli

Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano

Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano L argomento... Errori cognitivi Il problema gnoseologico Dati, informazione

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

Lezione 10. La Statistica Inferenziale

Lezione 10. La Statistica Inferenziale Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

Laboratorio di dinamiche socio-economiche

Laboratorio di dinamiche socio-economiche Dipartimento di Matematica Università di Ferrara giacomo.albi@unife.it www.giacomoalbi.com 21 febbraio 2012 Seconda parte: Econofisica La probabilità e la statistica come strumento di analisi. Apparenti

Dettagli

UNA CITTÁ CONTRO LA VIOLENZA

UNA CITTÁ CONTRO LA VIOLENZA COMMISSIONE PER LE PARI OPPORTUNITÁ TRA UOMO E DONNA QUESTIONARIO UNA CITTÁ CONTRO LA VIOLENZA 1- INTRODUZIONE 1.1 La popolazione oggetto d indagine In riferimento agli obiettivi prefissati dalla commissione

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

Tabella 7. Dado truccato

Tabella 7. Dado truccato 0 ALBERTO SARACCO 4. Compiti a casa 7novembre 200 4.. Ordini di grandezza e calcolo approssimato. Esercizio 4.. Una valigia misura 5cm di larghezza, 70cm di lunghezza e 45cm di altezza. Quante palline

Dettagli

Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari. NOME COGNOME N. Matr.

Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari. NOME COGNOME N. Matr. Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica II Prova di esame dell 11/1/2012 NOME COGNOME N. Matr. Rispondere alle domande nel modo più completo possibile, cercando di

Dettagli

La distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale La distribuzione binomiale 1. Che cos'è un numero casuale Stiamo per lanciare un dado. Fermiamo la situazione un attimo prima che il dado cada e mostri la faccia superiore. Finché è in aria esso costituisce

Dettagli

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Cosa intendiamo, esattamente, quando parliamo di funzione reale di due variabili reali? Quando esiste una relazione fra tre variabili reali

Dettagli

2 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 15 febbraio 2011

2 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 15 febbraio 2011 2 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 15 febbraio 2011 1) Non sfogliare questo fascicolo finché l insegnante non ti dice di farlo. 2) E ammesso l utilizzo di calcolatrici

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte I

Elementi di Statistica descrittiva Parte I Elementi di Statistica descrittiva Parte I Che cos è la statistica Metodo di studio di caratteri variabili, rilevabili su collettività. La statistica si occupa di caratteri (ossia aspetti osservabili)

Dettagli

Tasso di interesse e capitalizzazione

Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo

Dettagli

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa 2005-2006 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 12-Il t-test per campioni appaiati vers. 1.2 (7 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Problemi e formula di Bayes. Daniela Valen), Treccani Scuola

Problemi e formula di Bayes. Daniela Valen), Treccani Scuola Problemi e formula di Bayes Daniela Valen), Treccani Scuola 1 Problemi antichi 1. Lancio una volta un dado A 1 : Esce 6 P( A 1 ) = 1 6 B 1 : NON esce 6 2. Lancio più volte un dado P( B 1 ) = 5 6 Sapere

Dettagli

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ]

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ] IV A GAT PRIMA VERIFICA DI MATEMATICA 3 ottobre 0 Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; π ].. 3... 6. 7. 8. Risultati:. = π/6 e = 7π/6. =π/ ; =π/6 ; =π/6 3. =π/3 ; =π/3. =π/3 ; =π/3. π/

Dettagli

Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti

Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti Problema (in piccoli gruppi di lavoro) Due giocatori di pari abilità disputano una serie di partite; vince il gioco chi, per primo, raggiunge

Dettagli

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

LABORATORIO-EXCEL N. 2-3 XLSTAT- Pro Versione 7 VARIABILI QUANTITATIVE

LABORATORIO-EXCEL N. 2-3 XLSTAT- Pro Versione 7 VARIABILI QUANTITATIVE LABORATORIO-EXCEL N. 2-3 XLSTAT- Pro Versione 7 VARIABILI QUANTITATIVE DESCRIZIONE DEI DATI DA ESAMINARE Sono stati raccolti i dati sul peso del polmone di topi normali e affetti da una patologia simile

Dettagli

Teoria della Stima. Stima della Media e di una Porzione di Popolazione. Introduzione. Corso di Laurea in Scienze Motorie AA2002/03 - Analisi dei Dati

Teoria della Stima. Stima della Media e di una Porzione di Popolazione. Introduzione. Corso di Laurea in Scienze Motorie AA2002/03 - Analisi dei Dati Teoria della Stima. Stima della Media e di una Porzione di Popolazione Introduzione La proceduta in base alla quale ad uno o più parametri di popolazione si assegna il valore numerico calcolato dalle informazioni

Dettagli

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di STATISTICA LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di oggetti; cerca, attraverso l uso della matematica

Dettagli

Un gioco con tre dadi

Un gioco con tre dadi Un gioco con tre dadi Livello scolare: biennio Abilità interessate Costruire lo spazio degli eventi in casi semplici e determinarne la cardinalità. Valutare la probabilità in diversi contesti problematici.

Dettagli

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata.

Dettagli

Capitolo 4 PROBABILITÀ. Thursday, 5 April 12

Capitolo 4 PROBABILITÀ. Thursday, 5 April 12 Capitolo 4 PROBABILITÀ Cosa imparerete Idea di esperimento aleatorio Idea di evento Come si definisce una probabilità Idea di probabilità condizionata Determinare se gli eventi sono indipendenti Usare

Dettagli

Pillole di Probabilitá

Pillole di Probabilitá Pillole di Probabilitá Roberto Paoletti Supponiamo di dover fare una previsione su un esito che puó avvenire all interno di un certo insieme di eventi. Ad esempio, viene lanciato un dado e si vuole fare

Dettagli

SIMULAZIONE TEST INVALSI

SIMULAZIONE TEST INVALSI SIMULAZIONE TEST INVALSI STATISTICA E PROBABILITA Nel sacchetto A ci sono 4 palline rosse e 8 nere mentre nel sacchetto B ci sono 4 palline rosse e 6 nere. a. Completa correttamente la seguente frase inserendo

Dettagli

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel

Dettagli

Tabella per l'analisi dei risultati

Tabella per l'analisi dei risultati Vai a... UniCh Test V_Statistica_Eliminatorie Quiz V_Statistica_Eliminatorie Aggiorna Quiz Gruppi visibili Tutti i partecipanti Info Anteprima Modifica Risultati Riepilogo Rivalutazione Valutazione manuale

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE Premessa importante: si ipotizza che il comportamento della popolazione rispetto ad una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica di probabilità p

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

PARTE PRIMA PROBABILITA

PARTE PRIMA PROBABILITA i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione........................................................... pag. 1 1.2 Definizione assiomatica di probabilità.......................................

Dettagli