Capitolo 3. La macchina a stati finiti. 3.1 Macchine combinatorie e sequenziali. La macchina a stati finiti. Elaborazione di stringhe

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1 Capitolo 3 La macchina a tati finiti 31 Macchine combinatorie e equenziali 32 La macchina aincrona 33 La macchina incrona 31 Macchine combinatorie e equenziali atrazione La macchina a tati finiti c) SM b) Il modello del blocco e la relazione ingreo/ucita i(t) I (alfabeto di ingreo) P u(t) U (alfabeto di ucita) Elaborazione di tringhe a) L interazione uomo/macchina Dati Riultati MACCHINA 1

2 La dicretizzazione del tempo Elaborazione di eventi t i riconocimento elaborazione e la dipendenza dell ucita dall ultimo ingreo dalla equenza d ingreo dal tracorrere del tempo ripota t i+1 t Evento modifica del valore d ingreo, cadere di un prefiato intervallo di tempo Indicati con t, t 1,, t n-1, t n gli itanti in cui i ono verificati degli eventi, l ucita al generico itante t n dipende dalla equenza di ingreo i(t ) i(t 1 ) i(t n-1 ) i(t n ) dalla condizione iniziale della macchina (t ) u(t n ) = P ( (t ), i(t ), i(t 1 ),, i(t n-1 ), i(t n )) Eempi dipende dal dato Macchina equenziale: lo tato iniziale u = i dato 9 riultato (t ) itruzione operando CPU riultato dipende anche dalle itruzioni e dai dati precedenti itruzione operando riultato dipende dal tempo t t Eempio : il percoro di un auto dipende non olo dai comandi via via dati con volante, freno, acceleratore, ma anche dalla benzina inizialmente nel erbatoio e dallo tato di uura delle gomme Eempio : Non bata caricare un orologio per avere l ora eatta L ora indicata dipende infatti non olo dal n di catti che la molla ha dato alle lancette, ma anche dalla loro poizione iniziale V G R t 2

3 Claificazione delle macchine Il campanello Tipo Relazione ingreo/ucita Macchina equenziale u(t n ) = P ( (t ), i(t ), i(t 1 ),, i(t n-1 ), i(t n )) i: Pulante u: Suoneria Premuto din Rilaciato neun uono i: Pulante u: Suoneria t Premuto din Rilaciato neun uono t 1 Macchina combinatoria u(t n ) = P (i(t n )) u = P (i) u = (i) t 2 Rilaciato don t 3 Rilaciato neun uono u(t i ) = P(i(t i ), i(t i-1 ), ) A Contatti in erie I1 I2 and L interruttore compleivo è chiuo e ono chiui e I1 e I2 Il gate and B Reti di interruttori I1 I2 AB aperto aperto aperto aperto chiuo aperto chiuo aperto aperto chiuo chiuo chiuo Alimentaz in corrente continua pulante A pulante M interruttore i Relè I pulanti di Marcia e Arreto di un motore S Motore elettrico N la tavola pitagorica Altri eempi: trumenti heave, n, forzo heaven, n, cielo heaver, n, elevat il dizionario herein, avv, in ciò hereof, avv, di ciò hereon, avv, al che Macchina combinatoria Macchina equenziale il regolo 3

4 Encoder e Decoder ull Adder La macchina combinatoria x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 x ENCODER tracod da 1 u 4 a binario DECODER tracod da binario a 1 u 8 y 2 y 1 y y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 y x 4 x 3 x 2 x x 2 x 1 x ull Subtracter y 2 y 1 y y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2y 1 y r i a i b i ull Adder i r i+1 Il Multiplexer a due vie r i a i b i r i+1 i p i a i b i ull Subtracter d i p i+1 p i a i b i p i+1 d i i i 1 M U X 1 a u a i i 1 u e a= allora u=i altrimenti u=i 1 Macchina combinatoria ideale : la funzione Elaborazione combinatoria: per ogni i I eite un olo u U che gli corriponde Compoizione Il blocco Il grafo I: dominio U: codominio : I U I a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 i I U b 1 b 2 b 3 La tabella i: var indipendente u: var dipendente u =(i) u U i u = (i) a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 2 a 4 b 3 a 5 b 1 La dipoizione in erie e/o in parallelo di macchine combinatorie è ancora una macchina combinatori L epreione ADDER: u = i 1 + i 2 SELETTORE: u = i A 4

5 a b a 1 b 1 a n-1 Dipoizione in erie di ull Adder a b r 1 a b r 2 r R r n-1 a r b n-1 n-1 b r R R 1 r n = n CI 4 Bit a ull a 1 Adder a 2 a b b 1 b 2 NB Se b 3 non i conidera 4 = CO il riporto, l addizione è fatta modulo Riporto 16 CI = : S 2 = (A + B) 2 CI = 1: S 2 = (A + B + 1) 2 La macchina equenziale Macchina combinatoria reale : throughput Macchina equenziale: memorie e funzione t n t n+1 i(t n ) ingreo i 3 i 1 i 4 u(t n ) ucita (i 3 ) (i 1 ) (i 4 ) τ p τ p : tempo di calcolo della τ u : tempo di acquiizione del riultato i(t) u(t) unzione Ritardo u(t-τ p ) τ p troughput: (τ p + τ u ) o anche 1/(τ p + τ u ) τ u τ p i(t n-1 ) i(t 1 ) i(t ) M (t ) m Il modello può eere impiegato olo quando l ucita dipende da un numero finito di eventi: non è infatti poibile diporre di una memoria con capacità infinita e di una funzione con infiniti ingrei 5

6 Un eempio: l interprete Evoluzione del proceo di elaborazione unzione d ucita: S I U u (t n )= ( (t n ), i (t n )) unzione di tato: S I S (t n+1 )= G( (t n ), i (t n )) bla,bla Per tradurre un teto da una lingua all altra è neceario leggere e memorizzare non olo tutti i caratteri di una parola, ma anche quelli di parole precedenti e ucceive Stato iniziale neceario per il proceo di traduzione : il foglio non deve eere bianco, l interprete deve conocere le due lingue e non deve eere cieco e afono u (t n )= ( (t n ), i (t n )) = (G( (t n-1 ), i (t n-1 )), i (t n )) = (G(G(G( (t ), i (t )), i (t 1 )), i (t 2 )), ), i (t n )) u(t n ) = P ( (t ), i(t ), i(t 1 ),, i(t n-1 ), i(t n ) ) Macchine equenziali: tato interno preente e futuro i(t n ) (t n ) S (t n ) m G u(t n ) *(t n ) S (t n+1 ) S La macchina impiega un inieme finito di tati interni per riaumere tutte le poibili equenze d ingreo La funzione, tramite i(t n ) e (t n ) (detto tato interno preente)calcola: la ripota u(t n ) il nuovo riaunto della equenza d ingreo *(t n )( detto tato interno futuro) La SM (inite State Machine) Sitema matematico i M = {I, U, S,, G} formato da 3 INSIEMI I: {i 1, i 2,, i n } alfabeto di ingreo U: {u 1, u 2,, u m } alfabeto di ucita S: { 1, 2,, k } inieme degli tati da 2 UNZIONI : S I U funzione di ucita G : S I S funzione di aggiornamento dello tato interno e da una MEMORIA che mantiene il vecchio tato fino a quando non è neceario otituirlo con il nuovo tato * G memoria * u 6

7 t Compromeo pazio/tempo: addizione in erie Addendi in erie Somma in erie t a 2 b 2 r 2 a 1 b 1 r 1 a b a b r A R r 1 1 r 2 2 r 3 Tabella di fluo e Grafo degli tati memoria Riporto inizialmente a zero t (t n-1 ) i(t n-1 ) t n-1 u(t n-1 ) *(t n-1 ) (t n ) i(t n ) t n u(t n ) *(t n ) (t n+1 ) i(t n+1 ) u (t n )= ( (t n ), i (t n )) *(t n )= G( (t n ), i (t n )) (t n+1 )= * (t n ) t n+1 u(t n+1 ) *(t n+1 ) tempo inieme degli tati tato preente Decrizione con tabella di fluo 1 2 j k i 1 i 2 i i i n p,u q ingreo alfabeto d ingreo tato futuro, ucita 7

8 Decrizione con grafo degli tati Automa di Mealy e Automa di Moore 1 i u u i 1, u m j tranizione p G * i G * i i, u q tabilità k i n, u n 2 memoria memoria Mealy : S I U Moore : S U Eempio Stringa: x x x x x x x x con x: {,1,,9} Ripota: i e x x x = 1 2 3, no in ogni altro cao x=1,no,no Automa di Moore GRAO: imbolo d ucita all interno del nodo TABELLA: ulteriore colonna per pecificare la : S U ESEMPIO,no x 1,no,no A x 1e 2, no B,no x=1,no x=2,no x=1,no x 1e 3, no,no x 1, no,no C x=3,i D,i,no x=1,no A A,no A,no B,no A,no A,no A,no B A,no B,no B,no C,no A,no A,no C A,no C,no B,no A,no D,i A,no D A,no D,i B,no A,no A,no A,no C D U C D RSA U C D U 8

9 Campionamento e ricotruzione di un egnale CD 11 1 Stati equivalenti 1 Q U= 11 1 M U= N U=1 CD M N P 11 M M P 1 M P P 1 N N Q N N Q U 1 1 La decrizione con un automa di un comportamento equenziale non è unica 1 P U= Q M P Q Q 11 1 Grafi trettamente connei Macchine che non i fermano mai Stato iniziale qualiai per ogni ingreo Eercitazione {E,T,R,*} i u Trova: RETE editor Sotituici: RETI *,* R,R E,E T,T E,I *,* Deve eitere almeno una equenza d ingreo che conenta di paare da uno tato arbitrariamente celto ad un altro tato arbitrariamente celto 9

10 Claificazione delle macchine equenziali Macchine aincrone e Macchine incrone Macchina aincrona (comportamento 1) - Lo tato e l ucita poono cambiare olo e cambia l ingreo Ogni tato è tabile per l ingreo che lo ha cauato e *=G(,i) allora anche *=G(*,i) Macchina incrona (comportamenti 2 e 3) - Lo tato e l ucita poono cambiare olo allo cadere di un prefiato intervallo di tempo (itante di incronimo) Durante l intervallo l ingreo è cotante u n = ( n,i n ) n+1 = * n = G( n,i n ) L intervallo compreo tra due ucceivi itanti di incronimo è l unità di miura del tempo Claificazione dei comportamenti 1: un imbolo in ingreo genera un imbolo in ucita Evento: modifica dell ingreo i 1, u 1 α i 2, u 2 i 2, u 2 β 2: un imbolo in ingreo genera una tringa finita di imboli in ucita Eventi: modifica dell ingreo e tracorrere del tempo i 1, u 1 α i 2, u 2 β i 2, u 3 i 2, u 3 γ 32 La macchina aincrona 3: un imbolo in ingreo genera una tringa finita e ripetuta di imboli in ucita Eventi: modifica dell ingreo e tracorrere del tempo i 1, u 1 α i 2, u 2 β i 2, u 3 i 2, u 2 γ 1

11 La macchina aincrona (comportamento) t-ε t t+ε ingreo i 1 i 2 tato preente tato futuro α α β α β β ucita u 1 u 1 /u 2 u 2 La macchina tiene in memoria lo tato preente α per poter calcolare lo tato futuro β Una volta che il calcolo è tato fatto, β otituice α in memoria La memoria può dunque eere un piccolo ritardo Relè ad autoritenuta : tabulazione degli eperimenti Pulante M Pulante A Interruttore i Corrente I rilaciato rilaciato aperto NO rilaciato rilaciato chiuo SI premuto rilaciato aperto SI premuto rilaciato chiuo SI rilaciato premuto aperto NO rilaciato premuto chiuo NO premuto premuto aperto SI premuto premuto chiuo SI Situazione tabile tabile intabile tabile tabile intabile inutile inutile La macchina aincrona (truttura) i G ritardo τ p * u i macchina combinat reale macchina combinat reale u Relè con autoritenuta: tabella di fluo e grafo degli tati M,A i M,A I i I M= A= M= A=1 M=1 A= i= i=1 M= A=1 M= A= M=1 A= 11

12 Un eempio di macchina aincrona: la lampada da tavolo rilaciato, penta rilaciato,penta premuto,accea premuto, penta α β rilaciato, accea premuto, penta rilaciato, accea δ premuto, accea γ 33 La macchina incrona pulante i I:{rilaciato,premuto} lampadina u U:{penta, accea} rilaciato premuto α α, penta β, penta β γ, accea β, accea γ γ, accea δ, accea δ α, penta δ, penta Eercitazione A c a P C Macchina combinatoria? NO! Macchina equenziale aincrona? SI! La macchina incrona T : intervallo di tempo in cui la macchina non modifica il uo tato t n t n+1 = t n + T ingreo i n-1 i n i n+1 tato preente n-1 n n+1 ucita (i n, n ) tato futuro G(i n, n ) ritardo τ p τ p : intervallo di tempo impiegato dal calcolo di e di G 12

13 i La macchina incrona (truttura) u i u * * G G Il regitro Regitro - Macchina equenziale che memorizza e rende diponibile in ucita un dato che in precedenza le è tato fornito in ingreo La crittura di un nuovo dato è tabilita da un comando che proviene dall eterno ingreo comando ritardo Τ Rete equenz regitro aincrona regitro comando ingreo α β c 1 1 ucita ucita γ α Il flip-flop (o regitro da un bit) D U C IPOTESI: C periodico con periodo T D varia poco dopo il fronte di alita di C lip-flop e Regitro Il flip-flop è la macchina incrona elementare: U n = Q n, Q n+1 =D n C (n-1)t nt (n+1)t (n+2)t D D n-1 D n D n+1 D n+2 U U n-1 =D n-2 U n =D n-1 U n+1 = D n U n+2 = D n+1 13

14 Addizione in erie (ff D) a 2 b 2 r 2 a 1 b 1 r 1 a b a b r A R r 1 1 r 2 2 r 3 Contatore Q D Memoria per il riporto requenza e fae uguali a quelle dei bit eriali Vedremo più avanti: T τ R + τ A + τ SU Il regitro da n bit Schema a blocchi di un contatore D 1 U 1 D 2 U 2 mux 1 A mux 1 A D 1 U 1 D 2 U 2 1 ADDER u = * = (+1) mod N 1 ADDER u = X * count SELET D n U n mux 1 A D n U n Regitro Regitro load w 14

15 Il contatore binario x16 1 CI 4 Bit a ull a 1 Adder a 2 a b b 1 b 2 b 3 4 = CO D Q D 1 Q 1 D 2 Q 2 D 3 Q 3 Studio di cai Orologio digitale e contatore BCD Timer o watch-dog (1) 1 2 tart 9 Contatore BCD Tracodifica da BCD a 7 egmenti tempo durata fine D 1 Hz Ocillatore T D x T 15

16 Timer o watch-dog (2) Il grafo degli tati tart durata clock Timer fine Start, durata, fine,-, 1,4, 1,3, 1,2, 1,1,,-,1,-,,-,,-, ,d,1 V1 V2 V3 R3 R2 R1 G La macchina ua il periodo del clock come unità di miura del tempo Una macchina incrona di tipo 3: il emaforo I:p,n,g G Regitro * v,g,r T = 2 Specifiche: roo = 6 giallo = 2 verde = 6 La tabella di fluo tato tato lampada preente futuro verde giallo roo V1 V2 accea penta penta V2 V3 accea penta penta V3 G accea penta penta G R1 penta accea penta R1 R2 penta penta accea R2 R3 penta penta accea R3 V1 penta penta accea 16

17 La macchina equenziale per il emaforo Stato interno = y 2 y 1 y Ucita u = z 1 z 2 z 3 Comportamento: u (), 2 (+1) 2 mod 7; y 2 n y 1 n y n n u n z 1 n z 2 n z 3 n Una macchina incrona di tipo 2: la lavapiatti top Ripoo t7 tart Immi acqua t1 Ricaldamento t2 Contatore da zero a ei n n y 2 n+1 y 1 n+1 y n+1 R eg i tr o T=2 tart/top RAM Controllo go! indirizzo durata fae Timer tempo caduto Scarico acqua Getti Immi acqua Deterivo & getti Scarico acqua I cambiamenti di tato avvengono quando il timer egnala che è caduto il tempo di attea richieto per la fae aociata allo tato preente t6 t5 t4 t3 dato p Comunicazione aincrona: il protocollo RS232 Selettore a 12 vie 1 bit Dipoitivo periferico Eercitazione Modificare la tabella di fluo del emaforo per poter getire due direttrici di marcia e per attribuire a ciacuna gli tei tempi di verde, di giallo e di roo Tx Contatore con 12 tati Porta eriale NB devono operare quai allo teo ritmo! Ripoo Start I bit II bit VIII bit Parità Stop Tx= 1 Tx=

18 Eercitazione R V R V S1 S2 Rilev X1 RSS X2 Rilev clock C X1 X2, S1 S2, A B (X1X2) n tato n , A B D C C D tato n+1,ucita n 18