Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze Mat., Fis. e Nat. Corso di Laurea in Fisica e Astrofisica. Corso di Esperimentazioni I

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1 Università degi Studi di Firenze Facotà di Scienze Mat., Fis. e Nat. Corso di Laurea in Fisica e Astrofisica Corso di Esperimentazioni I Dr. P. Pietrini Appunti su: IL PENDOLO COME PRECISO STRUMENTO DI MISURA DEL MODULO DELL ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ 1

2 1 Introduzione L acceerazione di gravità, i cui moduo indichiamo con g, è una quantità fisica di fondamentae importanza, sia nea nostra vita di tutti i giorni che in una vasta gamma di discipine scientifiche. I vaore di g dipende, come è noto, daa posizione sua superficie terrestre (atitudine, essenziamente) e da atezza sua superficie stessa, ma ocamente è considerabie come una costante. Fino a tempi reativamente recenti, a misura precisa de moduo de acceerazione di gravità ocae è sempre stata reaizzata tramite esperimenti basati su moto osciatorio de pendoo; anzi, proprio grazie ae misure di g effettuate con pendoi di uguai caratteristiche in punti diversi de gobo terrestre, è stato possibie ottenere e prime informazioni sua forma e a distribuzione dea massa dea Terra. I pendoo è dunque un sempice apparato fisico, ma di grande importanza, anche in termini storici, quando si pensi ai primi esperimenti Gaieiani. Nea esperienza di aboratorio dedicata a pendoo, utiizzeremo questo sistema fisico per effettuare una misura de moduo de acceerazione di gravità ocae; verificheremo anche i fatto che isocronismo dee osciazioni è imitato ae soe osciazioni di piccoa ampiezza, ma che, in generae, i periodo de osciazione de pendoo dipende anche da ampiezza de osciazione stessa ( anisocronismo dee osciazioni di ampiezza generica). Lo scopo di queste dispense è queo di fornirvi una guida a esperienza, dando un quadro dea schematizzazione fisica de probema ideae (Sez. ) e descrivendo a reaizzazione de pendoo di aboratorio e e operazioni di misura da eseguire per gi scopi de esperienza (Sez. 3). Le dispense sono corredate da tre Appendici; nea prima (App. A) si traccia uno schema dea derivazione dea egge di dipendenza de periodo de osciazione da ampiezza de osciazione stessa. Ne Appendice B si accenna ae probematiche più compesse che presenta a descrizione più accurata de moto reae de pendoo. Ne utima (Appendice C), si introducono brevemente acune tematiche riguardanti a trattazione deo smorzamento dee osciazioni originato daa resistenza viscosa de mezzo (aria) in cui i pendoo si muove. I pendoo sempice: schematizzazione de moto ideae Cominciamo con a descrizione fisica de pendoo sempice e de suo moto ideae. Per pendoo sempice si intende un punto materiae di massa m vincoato a muoversi su un arco di circonferenza di raggio prefissato, detto unghezza de pendoo, sotto azione dea forza peso, di moduo mg; questa è diretta verticamente per cui, se i pendoo a istante iniziae è fermo (oppure a sua eventuae veocità iniziae è contenuta in un piano verticae), a traiettoria de moto si svoge su un piano verticae (supponendo, sui tempi di interesse per e misure, di poter trascurare gi effetti dea rotazione terrestre). I vincoo è ideamente costituito da una funicea inestendibie, di massa trascurabie, ma perfettamente fessibie e fissata in un punto O di sospensione, a distanza da pendoo, a atra estremità dea funicea. Nea reatà fisica i pendoo viene reaizzato con una sferetta di massa m, che supponiamo per i nostri scopi di poter considerare assimiabie ad un punto materiae, appesa ad un fio, e cui caratteristiche (inestendibiità e trascurabiità dea massa) dovrebbero avvicinarsi quanto megio possibie a quee ideai citate sopra. È facie comprendere che, passando daa schematizzazione matematica ideae aa reaizzazione fisica pratica, ci possiamo aspettare che i moto reae che osserveremo

3 e studieremo in aboratorio sia più compesso di queo ideae che iustreremo in questa sezione; tuttavia, a schematizzazione fisica che introdurremo fornisce a base per a descrizione de esperienza. Da una parte, dovremo cercare nea reaizzazione pratica di avvicinarsi quanto megio possibie ae condizioni ideai e, da atra, dovremo vautare se e quanto a sempificazione nea descrizione de fenomeno e/o a presenza di fenomeni fisici non-ideai (cioè essenziamente dissipazione di energia per attrito viscoso de aria in cui i pendoo si muove o per attriti ne sistema di sospensione de pendoo) infuenzano a misura effettiva dee quantità fisiche di interesse. Questo tipo di considerazioni (qui soo menzionate per chiarezza) verranno sviuppate megio ne Appendice B. Figura 1: Riferendosi aa Fig. 1, a unghezza de pendoo è chiaramente definita daa distanza fra i punto O di sospensione e i centro di massa C dea sferetta, che, per una sferetta omogenea, coincide con i centro geometrico dea sfera stessa: OC = ; è infatti in C che si può considerare appicata a forza peso totae sua sferetta. Neo stato a riposo de sistema, i pendoo si trova co centro di massa dea sferetta C coincidente co punto V sua verticae passante per i punto 3

4 di sospensione O. Dato che gi spostamenti de pendoo sono imitati, possiamo considerare costanti in ogni punto dea traiettoria de moto sia i vaore di g, sia a direzione dea forza peso su pendoo (in atre paroe, possiamo considerare a superficie terrestre ocamente piana e quindi avere una direzione verticae univocamente definita). Spostando i pendoo daa posizione di equiibrio, mantenendo teso i fio di sospensione, e asciandoo andare da una posizione in cui i fio stesso forma un angoo con a verticae pari a φ 0, detto ampiezza angoare de osciazione, i pendoo comincerà i suo moto osciatorio, descrivendo, come già detto, una traiettoria che è un arco di circonferenza di raggio su un piano verticae passante per i punto O di sospensione. Con questo vincoo, i moto risuta descrivibie tramite una singoa coordinata angoare, cioè i generico angoo φ(t) che a istante t i fio teso de pendoo forma con a verticae per O. Nee condizioni ideai in cui i avoro compiuto, ovvero energia dissipata, dae forze di attrito agenti su sistema (attrito viscoso de aria, attriti ne sistema di sospensione de pendoo) sia trascurabie rispetto a energia totae de moto de pendoo, dopo ogni osciazione competa i pendoo tornerà nea posizione angoare φ 0 di partenza. La durata di ogni osciazione competa si dice periodo, T, de pendoo. Per a descrizione de moto definiamo e convenzioni e e notazioni scete come in Fig. 1. Prendiamo così origine dea coordinata angoare φ = 0 sua verticae da punto O di sospensione de pendoo e φ positivo per spostamenti in senso antiorario a partire da tae posizione. Con questa sceta, nea configurazione riportata ad esempio in Fig. 1 a veocità de centro di massa v C = v C e φ, dove e φ è i versore dea direzione tangenziae, risuta diretta positivamente, ovvero v C > 0. Inotre, a veocità de centro di massa C si può in generae esprimere in funzione dea derivata temporae dea coordinata angoare φ(t), ovvero φ, come segue: v C = ( φ ) e φ. (1) Con queste notazioni e con e ipotesi fatte, possiamo scrivere per i moto de pendoo a reazione che esprime a conservazione de energia, considerando ad esempio e differenze di energia cinetica e potenziae come vautate fra a posizione angoare generica φ(t), in cui a veocità angoare assume i vaore φ(t) e origine φ = 0, da questa si ha 1 m φ (t) 1 m φ (φ = 0) = mg(cos φ 1); () φ φ ( ) g (φ = 0) = (cos φ 1). (3) Derivando rispetto a tempo questo integrae primo de moto, si ottiene equazione differenziae di secondo ordine per i moto de pendoo φ + ( g ) sin φ = 0, (4) che è equazione di moto di un pendoo sempice di unghezza. I moto è periodico e i suo periodo T è in generae una funzione T = T (, g, φ 0 ), de tipo T = T 0 (, g)f(φ 0 ), 4

5 dove φ 0 è ampiezza angoare de osciazione e T 0 è una grandezza con e dimensioni di un tempo (i cui fondamentae significato sarà chiaro fra breve); a funzione T = T (, g, φ 0 ) si ottiene daa risouzione dea (4) (o dea (3), vedere Appendice A per uno schema di derivazione anaitica) e a sua parte di dipendenza da φ 0, F(φ 0 ), è esprimibie, aa fine, come uno sviuppo in serie di potenze di sin (φ 0 /): ( T = π φ g 4 sin φ 64 sin4 0 + φ ) o(sin4 0 ) = T 0 (, g)f(φ 0 ). (5) Daa reazione sopra scritta si può ricavare una espressione per g come funzione di quantità misurabii ne esperienza, ovvero g = g(, T, φ 0 ) : g = 4π T ( φ 4 sin φ 64 sin4 0 + φ ) o(sin4 0 ). (6) in modo da poter arrivare aa stima de vaore de acceerazione di gravità che voevamo. In generae, dunque, i periodo di osciazione T dipende anche da ampiezza angoare φ 0 de osciazione stessa; si dice quindi che e osciazioni sono anisocrone. Ne imite in cui e osciazioni dea sferetta possono essere considerate come piccoe osciazioni, cioè quando si può approssimare sin φ 0 φ 0 e quindi in generae sin φ φ nea (4) su tutto arco dee osciazioni, equazione diviene quea di un moto armonico con osciazioni isocrone, cioè tai che i periodo T è una grandezza indipendente daa ampiezza iniziae φ 0 dee osciazioni stesse ed è dato da T = T 0 = π g, (7) che è proprio, ovviamente, i T 0 introdotto nea reazione (5) che definiva i periodo per osciazioni generiche. Conseguentemente, a stima di g in questo caso passa attraverso a reazione g = 4π. (8) L appicazione de approssimazione dee piccoe osciazioni comporta quindi, nea sua sempicità, un approssimazione nea reazione che ega i periodo de osciazione T agi atri parametri de esperienza (, g, φ 0 ). Confrontando a (5) con a (7) e imitandoci a considerare soo i primo termine deo sviuppo in serie di potenze di sin (φ 0 /) (che è ovviamente queo di vaore più cospicuo), vediamo che approssimazione reativa nea stima de periodo di osciazione è data da (T T 0 )/T 0 1/4 sin (φ 0 /). Dai dati riportati in Tabea 1 si vede che, ad esempio per φ 0 = 10, a sceta de approssimazione di piccoe osciazioni porta ad una vautazione di T con uno scarto reativo 0.%, mentre per φ 0 = 5 o scarto reativo arriva a 1.%. Da punto di vista sperimentae, per un dato vaore de ampiezza iniziae φ 0, opportunità e a correttezza di una sceta fra a descrizione in termini di piccoe osciazioni e quea generae (osciazioni anisocrone) dipende dunque daa precisione de metodo di misura de periodo. Per esempificare, sempre considerando i caso φ 0 = 10, è chiaro, infatti, che, se siamo sotanto in grado di effettuare misure de periodo affette da una incertezza reativa sperimentae T/T che risuta comunque maggiore deo 0.%, non è necessario mantenere e considerare i termini deo sviuppo nea (5) successivi a ordine zero, i che corrisponde appunto aa descrizione 5 T 0

6 φ 0 ( ) φ 0 (rad) sin φ 0 % sin (φ 0 /)/4 (9/64) sin 4 (φ 0 /) Tabea 1: (φ 0 (rad) sin φ 0 )/ sin φ 0 ) in termini de approssimazione di piccoe osciazioni (eq. (7) per i periodo). In ta caso, questa approssimazione rappresenta una schematizzazione fisica de moto adeguata a apparato sperimentae. A contrario, se a precisione dea misura è tae che incertezza reativa sperimentae è confrontabie o minore dea variazione reativa de periodo de osciazione rispetto a periodo ne imite dee piccoe osciazioni, (T T 0 )/T 0 1/4 sin (φ 0 /), sarà necessario utiizzare a schematizzazione generae, in cui si mantiene a dipendenza de periodo T da ampiezza angoare φ 0 (anisocronismo dee osciazioni), perché i periodo misurato risuta significativamente diverso da vaore de imite di piccoe osciazioni in reazione a incertezza di misura ottenuta sperimentamente [cioè, è ( T/T ) sperim < (1/4) sin (φ 0 /)]. Ne caso de esperienza ne nostro aboratorio, possiamo in generae imitarci aa considerazione de primo termine deo sviuppo dea dipendenza de periodo da φ 0 ; infatti, i secondo termine deo sviuppo nea (5), cioè (9/64) sin 4 (φ 0 /), risuta a più (vaore corrispondente a φ 0 = 5 in Tab. 1, che è sicuramente un imite superiore per i vaori di φ 0 reaizzabii con a configurazione sperimentae a disposizione in aboratorio) ed è dunque ben inferiore aa precisione reativa con a quae tipicamente si riescono a misurare i periodi di osciazione con attuae apparato in aboratorio (de ordine di , come vedremo megio ne seguito). Se avessimo a disposizione un apparato sperimentae capace di misurare i periodi di osciazione con una precisione reativa de ordine di 10 4, questo termine non potrebbe essere trascurato nee nostre vautazioni. 3 L esperienza in aboratorio 3.1 Scopo de esperienza Lo scopo primario che ci prefiggiamo con o studio de moto de pendoo è queo di dare una stima de moduo de acceerazione di gravità, g, e nea sezione precedente abbiamo definito e reazioni fisiche da utiizzare per questo fine. Anaizzando a situazione secondo i criteri precedentemente esposti aa fine dea Sezione, uso dea reazione (6) o dea (8), a seconda de caso, ci fornisce infatti un modo di stimare g a partire da quantità caratteristiche de moto de pendoo di aboratorio, che possiamo tutte misurare con e oro incertezze: unghezza de pendoo, periodo T de osciazione e ampiezza angoare de osciazione stessa φ 0. Misure de periodo per osciazioni di ampiezza angoare diversa possono inotre consen- 6

7 tire di verificare a possibiità di mettere in evidenza i fenomeno de anisocronismo (ameno quaitativamente) anche graficamente. Infine, osservando quantitativamente come ampiezza dea osciazione diminuisce co crescere de numero di osciazioni da riascio de pendoo, si può dare una prima vautazione degi effetti di smorzamento su moto reae de pendoo. 3. Descrizione de sistema reae e dea strumentazione I pendoo è reaizzato con una sfera di piombo di raggio r e di massa m, entrambi misurabii in aboratorio; a sfera è bucata ungo un diametro per permettere aggancio de fio di sospensione. I fio è a sua vota fissato a atra estremità ad un supporto vicino a soffitto de aboratorio e a sua unghezza di sospensione è definita a partire da punto in cui i fio emerge da una piccoa ganascia orizzontae avvitata aa barra di supporto; questo punto identifica i punto di sospensione de pendoo, O. Chiaramente, per determinare a unghezza vera de pendoo,, si deve misurare i tratto ibero di fio e sommare ad esso i raggio dea sferetta, per ottenere a distanza OC in Fig. 1. Su pavimento è fissata una scaa centimetrica che consente agi studenti di determinare ampiezza de osciazione, misurando, a meno di 0.5 cm, a distanza ineare fra a verticae ocae per O e quea sua quae si trova i centro di massa dea sferetta de pendoo a momento de riascio de pendoo stesso, cioè, con riferimento aa Fig. 1, a distanza x 0 = CP ; ovviamente, da vaore di x 0 si risae a ampiezza angoare de osciazione φ 0 (rad), come φ 0 = arcsin(x 0 /). Per misurare a unghezza de pendoo sono disponibii in aboratorio: a) un comune metro per i tratto ibero de fio, b) un caibro ventesimae per a misura diretta de diametro d = r dea sferetta. Per a misura de periodo utiizzeremo un cronometro manuae, con errore di sensibiità pari a 10 s; questo vaore costituisce incertezza di ettura da attribuire a ciascuna misura diretta dea durata temporae di un certo numero di osciazioni, tuttavia ci aspettiamo discrepanze fra e varie misure dirette dea durata deo stesso numero n di osciazioni anche sensibimente maggiori de errore di ettura deo strumento, come effetto de fatto che i cronometro viene azionato manuamente dao sperimentatore, a cui prontezza infuenza a misura. L incertezza introdotta dai rifessi umani è naturamente dipendente dao sperimentatore e non può essere univocamente quantificata, ma tipicamente è de ordine di s. 3.3 Procedure ed operazioni di misura Per questa esperienza gi studenti troveranno in aboratorio dei tabuati specificamente predisposti per consentire oro di registrare e misure necessarie per condurre a termine esperimento e ricavare e quantità richieste per adempiere agi scopi prefissati de esperienza stessa Misure di unghezza Dovrà essere misurata a unghezza de pendoo ; come già notato, se chiamiamo f a unghezza de fio ibero, cioè considerato da punto di sospensione O a punto in cui entra ne foro dea 7

8 sferetta ed r è i raggio dea sferetta, avremo = f + r. Di fatto, per rendere più agevoi e operazioni di misura dea unghezza de fio, è stata predisposta una tacchetta di coore nero su fio ad una distanza da O tae che a misura da O fino aa sua estremità più in basso viene fornita agi studenti (H 0 ± H 0 ); gi studenti dovranno dunque fare una serie di misure dea distanza H da punto più basso dea tacchetta nera aa superficie dea sferetta, dove i fio entra ne foro, per determinarne a migiore stima come H ± H. Si procederà poi aa misura diretta de diametro d = r dea sferetta, utiizzando i caibro ventesimae e determinando ancora una vota a migior stima di d come a media dea serie di misure con associata incertezza sperimentae: d ± d. A questo punto a stima dea unghezza de pendoo è data da = 3.3. Misure di periodo [( H 0 + H + d ) ± ( H 0 + H + d Abbiamo visto come in generae i periodo de moto osciatorio de pendoo sia una funzione (crescente) de ampiezza angoare φ 0 de osciazione: T = T (φ 0 ). In questa esperienza, dunque, i periodo dee osciazioni deve essere misurato per diversi vaori de ampiezza angoare φ 0, da determinarsi con ausiio dea scaa centimetrica su pavimento, sua quae possiamo eggere i vaori dea distanza proiettata x 0 CP fra e posizioni de centro di massa dea sferetta de pendoo in posizione di riposo (V ) e in posizione di riascio (C). L ampiezza angoare φ 0 è determinabie daa ettura di x 0 come φ 0 = arcsin(x 0 /). Per ciascuno dei vaori sceti di x 0 (x 0i, tipicamente con i = 1...4), si effettua una serie di misure dea durata di un numero n di osciazioni compete, ovvero dea durata de intervao temporae nt (φ 0i ), dove φ 0i si ricava come visto sopra dai vaori di x 0i ; per ogni serie si consigia un numero N = 6 7 di misure. Si ottiene così, per ogni dato vaore dea distanza x 0i e quindi di φ 0i, una serie di vaori misurati dea grandezza nt corrispondente: {(nt ) j, j = 1...N}; a migiore stima di nt per que vaore di φ 0, che indichiamo con (nt (φ 0i )) best, deve essere determinata, a questo punto, come a media dei vaori {(nt ) j, j = 1...N} misurati (nt (φ 0i )) best = (nt ) ± (nt ), dove incertezza sperimentae associata (nt ) è vautata come o scarto massimo dei vaori dea serie di misure daa oro media oppure da errore di sensibiità dee misure (nt ) j, se inferiore ao scarto massimo stesso. Da questo risutato si ricava infine a migiore stima de periodo dee osciazioni di ampiezza angoare pari a vaore φ 0i dato come T (φ 0i ) best = (nt ) n ± (nt ), n con incertezza sperimentae su singoo periodo data da (nt )/n = T. Questa procedura deve essere effettuata per tutti i vaori sceti di x 0i, ad esempio {x 0i = 30, 50, 70, 90 cm}, ottenendo così e stime di T (φ 0i ) best per ciascun {i = 1,...} 8 )].

9 Prima di definire come proseguire una vota determinati i vaori dei periodi per e varie ampiezze angoari, conviene soffermarsi sue procedure di misura specifiche e sue scete operative che vengono suggerite come più opportune: 1. posizionamento de pendoo prima de riascio e determinazione de vaore di x 0 corrispondente: occorre aver cura di spostare i pendoo daa posizione di riposo senza effettuare rotazioni dea sferetta di equipaggio e mantenendo i fio di sospensione teso. Per determinare x 0 a megio (con un x 0 = errore di ettura dea scaa = 0.5 cm), si può operare in due modi diversi: (a) traguardare da ato, i più possibie verticamente (per evitare errori di paraasse) a posizione de centro di massa C dea sferetta, proiettata sua scaa centimetrica su pavimento, considerando C come i centro dea sfera; (b) servirsi de supporto presente in aboratorio e che può essere spostato sua scaa centimetrica per permettere a ettura; a sferetta de pendoo deve essere posta, prima de riascio, a contatto co supporto, risutando così tangente a piano verticae passante anche per a base de supporto, a cui posizione x ettura può essere agevomente etta sua scaa (sempre a meno de errore di ettura di 0.5 cm); naturamente occorre tenere conto de fatto che a distanza effettiva x 0i de centro di massa dea sferetta C daa verticae reativa aa posizione di riposo si ottiene come x 0i = (x ettura ) i r. Dato che r = d/ x ettura, questa sceta non comporta un aumento de incertezza dea stima di x 0i.. sceta dei riferimenti per e misure di tempo: a partenza e arresto de cronometro sono determinati da passaggio de pendoo da un riferimento predeterminato; conviene misurare a durata de intervao di tempo che ci interessa contando i numero di osciazioni compete prendendo come riferimento i passaggio de pendoo daa posizione di riposo, cioè daa proiezione sua scaa de punto V (vedere Fig. 1), che corrisponde aa posizione di massima veocità per i pendoo; questa sceta garantisce infatti a minima incertezza su quando azionare i cronometro manuae, sia per a partenza che per arresto. Sarà cura deo sperimentatore porsi in posizione tae da minimizzare gi effetti di paraasse nea vautazione de istante de passaggio daa posizione di massima veocità. 3. sceta de numero di osciazioni di cui misurare a durata: in generae, conviene misurare non a durata di un singoo periodo, ma, come già detto, intervao di tempo reativo aa durata di un certo numero n di osciazioni successive, in modo da ridurre i contributo a incertezza reativa sue misure de periodo dovuto aa indeterminazione ne apprezzamento de istante di inizio e fine de intervao di tempo che si intende misurare con i cronometro: quanto maggiore è i numero dee osciazioni tanto più viene redistribuita indeterminazione su partenza e stop de cronometro, quando ci interessa i singoo periodo. Questo aspetto risuta particoarmente importante e determinante ne caso di questa esperienza, nea quae e misure di tempo vengono effettuate tramite un cronometro azionato manuamente. Tuttavia, i numero di osciazioni 9

10 opportuno per a misura non deve neanche essere troppo eevato, perché, quaora o fosse, i vantaggio dovuto aa diminuzione de incertezza su singoo periodo potrebbe essere soo iusorio, dato che a aumentare eccessivo di n potrebbero essere aumentati gi effetti dissipativi cumuativi causati daa presenza di attriti ne moto reae dea sferetta, come vedremo in seguito, fino ad introdurre aterazioni de periodo reae de moto confrontabii, se non superiori, ae incertezze di misura ottenute sperimentamente, invaidando quindi a misura effettuata. Per e ragioni esposte sopra, si consigia di adottare un numero di osciazioni n compreso fra 10 e 0, che, per a specifica reaizzazione de pendoo di aboratorio, risuta essere un adeguato compromesso per una buona misura. Con questi accorgimenti, avremo ottenuto a misura de periodo per (ameno) 4 vaori distinti de ampiezza angoare: {(T (φ 0i ) ± T i ), i = 1..4}. Ci poniamo adesso i probema di come trattari. In inea di principio, esperienza che stiamo discutendo presenta infatti anche un atro aspetto di interesse fisico non secondario, quae a possibiità di studiare anisocronismo di osciazioni di ampiezza iniziae non considerabie come piccoa, cioè a dipendenza de periodo da vaore de ampiezza stessa. Dovremo verificare che e misure di periodo T (φ 0 i), ottenute per k vaori de ampiezza angoare φ 0 i, con i = 1,...k, siano significativamente diverse e mostrino atteso comportamento di crescita de vaore con i crescere di φ 0 ; in questo caso, anisocronismo dee osciazioni risuta rievabie. Una possibie appicazione grafica di interesse può essere ottenuta riportando i vaori dei periodi misurati, T (φ 0 ), in funzione de corrispondente termine de primo ordine sin (φ 0 /)/4 deo sviuppo dea dipendenza da φ 0 de periodo: a Fig., in cui per convenienza abbiamo omesso i vaori specifici dei periodi misurati ma compare soo a scaa dei tempi, è un esempio espicativo di un possibie risutato di misure effettuate per 5 vaori de ampiezza angoare. Si deve verificare una dipendenza di tipo ineare in cui sia i coefficiente angoare che intersezione con asse dee ordinate (periodi) dea retta ottenuta rappresentano i vaore di T 0, periodo de imite di piccoe osciazioni. Dae misure dovrebbe essere possibie agi studenti una verifica ameno quaitativa de fenomeno de anisocronismo, ma non si richiede una vautazione quantitativa di T 0 a partire da grafico, dato che e condizioni di misura potrebbero rivearsi a imite dea significatività per a riveazione quantitativa de fenomeno per sperimentatori non moto esperti. Si procederà poi a determinare, da ciascuno dei T (φ 0 ) misurati, a stima corrispondente dea grandezza T 0 = π, periodo ne imite dee piccoe osciazioni, utiizzando a reazione (5), g cioè T (φ 0 ) = T 0 F(φ 0 ) (dove F(φ 0 ) rappresenta a dipendenza daa ampiezza angoare espressa espicitamente nea (5)); da questa si può infatti ricavare T 0 = T (φ 0) F(φ 0 ), per ogni vaore di φ 0 considerato. Operando con a dovuta attenzione e seguendo correttamente e procedure suggerite, nea configurazione in aboratorio si può arrivare, nee migiori condizioni, a misure de singoo periodo affette da incertezza reativa de ordine di T/T Ricordando a Tabea 1 e e considerazioni riportate in fondo aa Sezione, si comprende 10

11 Figura : come sia sufficiente, per a derivazione di T 0, mantenere soo i primo termine deo sviuppo in serie di sin (φ 0 /) che definisce F(φ 0 ) nea (5); possiamo dunque imitarci a vautare F(φ 0 ) 1 + (1/4) sin (φ 0 /) e quindi T 0 = T (φ 0 ) ( sin (φ 0 /) ). Si ottengono così diverse stime di T 0, ciascuna derivata dae misure effettuate per un dato vaore de ampiezza angoare; per ognuna deve essere vautata correttamente incertezza associata, T 0, propagando e incertezze su periodo misurato, T, e su ampiezza angoare, φ 0, tramite usuae metodo di propagazione ineare appicato aa reazione T 0 = T 0 (T, φ 0 ) scritta sopra. In termini di incertezza reativa si ottiene T 0 T 0 = T T + sin φ 0 8 ( sin (φ 0 /) ) φ 0. Vautando incertezza su φ 0 come dovuta soo aa propagazione dee incertezze di misura x 0 e su x 0 ed rispettivamente, si ha φ 0 = 1 ( x 0) 1/ [ x 0 + x 0 ] ; ne segue che i contributo a T 0 /T 0 dovuto a incertezza su ampiezza angoare dovrebbe T risutare piccoo rispetto a, per cui ne caso dea nostra esperienza ci aspettiamo che T 11

12 ciascuna stima di T 0 non sia sensibimente diversa da vaore de T corrispondente. Le diverse stime di T 0 ± T 0 devono poi essere confrontate per verificarne a consistenza e, quindi, definire a migiore stima dea grandezza T 0. Un utie esercizio grafico (anche in aternativa a primo grafico descritto) per visuaizzare i risutati in modo più chiaro consiste ne riportare i vaori ottenuti di T 0 ± T 0 in funzione di φ 0. Ci aspettiamo che i dati si dispongano ungo una retta paraea a asse dee ascisse, da cui è possibie verificare a consistenza dei vaori (notando a presenza di eventuai inconsistenze e cercando, ne caso, di fornire una spiegazione per esse); a migiore stima de vaore di T 0 può poi essere ricavata fra i vaori consistenti come quea caratterizzata daa minore incertezza T 0. Avendo a questo punto una singoa stima di T 0, a migiore vautazione di g ± g si ottiene usando a reazione (8) e propagando opportunamente gi errori sue varie grandezze misurate che a definiscono. 3.4 Derivazione di g ed incertezze Avendo a questo punto una singoa stima di T 0, a migiore vautazione di g ± g si ottiene usando e reazioni g = 4π e g g = T 0 + T 0 T 0, (9) ricavata propagando opportunamente gi errori sue varie grandezze che a definiscono. Ne nostro caso possiamo misurare a unghezza de pendoo con un incertezza de ordine dei 3 mm, mentre a sua unghezza supera abbondantemente i m; è chiaro quindi che ci aspettiamo un contributo a incertezza reativa su g dovuto aa misura dea unghezza de pendoo de ordine di 10 3 ; quindi, per mantenere i iveo di precisione e comunque non deterioraro troppo, occorre mettersi in condizioni di avere anche T 0 /T 0 deo stesso ordine o poco più, da cui T 0 < quache 10 3 T 0 /. Per una stima grossoana de periodo T 0 possiamo vautare T 0 π [ ] 1/ ( 3) m 9.8 m/s s, da cui T 0 < quache 10 3 ( ) s. La propagazione de incertezza riportata nea (9) considera e T 0 indipendenti fra oro, anche se, in reatà, non o sono (T 0 è ricavato da una misura di φ 0 che dipende da ). La reazione (9) è tuttavia moto più sempice e o studente potrà verificare che i risutato ottenuto non differisce significativamente, in questo caso specifico, da queo ottenibie con a formua corretta, in particoare ne nostro specifico caso, in cui si ha T T 0. 1

13 In definitiva, è sufficiente arrivare ad una incertezza de ordine di quache miesimo di secondo su singoo periodo misurato, per potere ottenere una misura di g con una incertezza reativa di pochi per mie, ovvero una misura di notevoe precisione, soprattutto se confrontata con quea ottenibie ne atra esperienza da effettuare in aboratorio con o stesso scopo, cioè esperienza de piano incinato (vedere dispense) Studio sperimentae deo smorzamento In utimo, gi studenti potranno effettuare misure deo smorzamento de ampiezza dee osciazioni per dare una stima de coefficiente di smorzamento per una egge in approssimazione ineare dea decrescita dee ampiezze [vedere App. B], riportando in grafico i vaore de ampiezza angoare misurato dopo un numero n di osciazioni che i pendoo ha effettuato da istante de riascio in funzione de numero n stesso. Sarà anche possibie verificare se e fino a che numero di osciazioni tae egge può approssimare bene gi effetti di dissipazione ne moto reae [per maggiori dettagi, App. B]. 4 Considerazioni finai La sempice esperienza de pendoo costituisce uno strumento didattico assai ricco e prezioso. Abbiamo infatti visto come, tramite questo esperimento, benché qui reaizzato con materiai e attrezzatura reativamente sempici, sia possibie effettuare una stima de moduo de acceerazione di gravità ocae con una buona precisione. Lungi da essere una presentazione esaustiva, tuttavia si è cercato di dare un idea dea ricchezza dea fisica che si nasconde anche dietro a apparente sempicità de pendoo, un idea, cioè, di acuni degi effetti fisici che sarebbe necessario tenere in espicita considerazione quaora voessimo/potessimo dotarci di attrezzature adeguate ad effettuare misure ancora più precise dee quantità fisiche in gioco. È chiaro infatti che se potessimo misurare unghezza de pendoo e periodo de pendoo con una precisione maggiore o moto maggiore, dovremmo sicuramente dare una descrizione più competa e dettagiata daa fisica de pendoo (quae quea riportata ne Appendice B); in caso contrario, si arriverebbe ad avere una misura moto precisa, ma probabimente inaccurata, ovvero non rappresentativa, in quanto discosta da vaore atteso, dea quantità g. 13

14 Appendice A: Derivazione dea reazione di dipendenza de periodo T da ampiezza angoare φ 0 de osciazione Abbiamo detto nea Sezione che per i moto osciatorio in generae i periodo T è una funzione anche de ampiezza angoare de osciazione, cioè, per i nostro caso de pendoo ideae, si ha T = T (, g, φ 0 ). In questa appendice, deineiamo a deduzione di questa caratteristica de periodo, partendo da integrae primo de moto definito dae egge di conservazione de energia, che scriveremo qui vautando e differenze di energia cinetica e potenziae ne campo gravitazionae ocae dea Terra fra istante t = 0 de riascio dea sferetta daa posizione angoare φ(t = 0) = φ 0, dove φ 0 (> 0) è ampiezza angoare de osciazione considerata (facciamo sempre riferimento per e convenzioni geometriche aa Fig. 1), e istante t generico durante i moto, in cui a posizione angoare de pendoo è identificata da vaore generico φ = φ(t) dea coordinata; a riascio de pendoo avremo dunque { φ(t = 0) = φ0 t = 0, φ(0) = 0 mentre, a istante generico t, φ(t) sarà i vaore dea veocità angoare, in modo che a reazione di conservazione de energia (ricordando che i coseno è una funzione pari de argomento) si scriverà come da cui 1 m φ (t) 1 m φ (0) = 1 m φ (t) = mg(cos φ(t) cos φ 0 ), [ φ(t) = ± g ] 1 (cos φ(t) cos φ 0). (10) Anaizziamo i primo quarto di osciazione in cui, ne caso sceto i pendoo assume posizioni angoari φ [ φ 0, 0], in un intervao di tempo pari ad un quarto de periodo T ; in questo intervao di tempo ([0, T/4]), a veocità angoare φ(t) de pendoo è positiva (vedere Fig. 1) e possiamo scegiere quindi con sicurezza i segno positivo per a radice ne eq. (10); ne primo quarto di periodo possiamo quindi riscrivere a (10) come dφ [ (cos φ cos φ 0 )] 1 = ( g ) 1 dt e integrara fra t = 0, con φ(0) = φ 0, e t = T/4, con φ(t/4) = 0: ( g ) 1 T 4 0 dt = ( g ) 1 T 4 = 0 φ 0 dφ. (11) [ (cos φ cos φ 0 )] 1 Per impostare a risouzione de integrae in dφ sua destra de segno uguae, anzitutto si effettua un primo cambio di variabie, ponendo φ = φ, cosicché dφ = dφ e, sfruttando 14

15 ancora a parità dea funzione coseno, si ha 0 φ 0 dφ [ (cos φ cos φ 0 )] 1 = φ0 0 dφ [ (cos φ cos φ 0 )] 1 e quindi ( ) 1 g T 4 = φ0 0 dφ. (1) [ (cos φ cos φ 0 )] 1 Abbiamo a questo punto un integrae compicato, che però possiamo riportare ad una forma identificabie con un integrae noto e tabuato, effettuando un uteriore opportuno cambio di variabie, cioè definendo una nuova variabie θ tramite a reazione da cui ( ) ( ) φ φ0 sin = sin sin θ, (13) ( ) dφ φ0 cos θ = sin cos(φ /) dθ = sin(φ cos θ 0/) [1 sin dθ = (φ /)] 1/ cos θ = sin(φ 0 /) [1 sin (φ 0 /) sin dθ. (14) θ] 1/ Per riscrivere a funzione integranda de integrae nea (1) possiamo poi sfruttare una reazione trigonometrica nota, quae cos φ = 1 sin (φ /); (15) avremo così, sostituendo dφ con a (14) ed usando e reazioni (13) e (15), dφ [ (cos φ cos φ 0 )] 1 = = sin(φ 0 /) cos θ [ ( 1 sin (φ /) 1 + sin (φ 0 / )] 1 dθ [ 1 sin (φ 0 /) sin θ ] 1 cos θ dθ [ 1 sin (φ /)/ sin (φ 0 /) ] 1 [ 1 sin (φ 0 /) sin θ ] ; 1 usando ancora a reazione (13) ed esprimendo cos θ in termini de seno, otterremo infine dφ [ (cos φ cos φ 0 )] 1 = (1 sin θ) 1/ dθ (1 sin θ) 1/ [1 sin (φ 0 /) sin θ] 1 dθ =. (16) [1 sin (φ 0 /) sin θ] 1 Inotre, con questo cambio di variabie per gi estremi di integrazione avremo θ(φ = 0) = 0 θ(φ = φ 0 ) = π/ 15

16 e finamente integrae (1) diviene ( ) 1 g T π/ 4 = 0 da cui i periodo T de osciazione generica può esprimersi come dθ, (17) [1 sin (φ 0 /) sin θ] 1 T = 4 ( ) 1 π/ g 0 dθ [1 sin (φ 0 /) sin θ] 1 = 4 ( ) 1 K (m), (18) g dove m sin (φ 0 /) e, conseguentemente, 0 m < 1; K(m) è ancora un integrae compicato, ma in questa forma è riconoscibie come un integrae noto e tabuato, specificamente è un integrae eittico competo di prima specie, che, per m ne intervao [0, 1) come ne nostro caso, può essere espresso come una funzione ipergeometrica, ovvero una serie di potenze di m sin (φ 0 /) convergente, che, nei suoi primi termini, si scrive K(m) = π { ( ) m + ( ) 1 3 m + 4 ( ) m }. 4 6 I periodo de pendoo dunque è in generae una funzione anche de ampiezza angoare φ 0, tramite m sin (φ 0 /), ( ) 1 π T = 4 g F(φ 0), ovvero, espicitamente, T = π ( ) 1 { g 4 sin (φ 0 /) sin4 (φ 0 /) + o ( sin 4 (φ 0 /) )}, (19) dove con a notazione o ( sin 4 (φ 0 /) ) intendiamo i termini deo sviuppo in serie di ordine superiore a sin 4 (φ 0 /). 16

17 Appendice B I pendoo reae : cosa abbiamo omesso nea sempice descrizione adottata I sistema fisico pendoo, per quanto sempice, nasconde in reatà una quantità di fisica moto più ricca dea schematica descrizione ideae che ne abbiamo dato e che abbiamo utiizzato per i nostri scopi didattici. In questa sezione accenneremo ad acuni dei principai effetti di cui una descrizione più competa e precisa de sistema reae dovrebbe tenere conto ma che, tutto sommato, possiamo permetterci di trascurare in gran parte nea nostra esperienza essenziamente perché sufficientemente piccoi in reazione ae caratteristiche di precisione de apparato di misura, ovvero grazie ae incertezze da cui sono affette e misure nea nostra esperienza. Tuttavia, è assai istruttivo ameno porsi i probema. B.1 Descrizione fisica più competa e accurata: i pendoo fisico Fin qui abbiamo considerato i pendoo schematizzabie come una massa puntiforme appesa ad un fio di massa trascurabie, ma nea reatà avremo sempre un pendoo fisico (o composto ), cioè un sistema in cui i pendoo stesso è un corpo rigido a forma di sfera di raggio r e massa m, che possiamo pensare uniformemente distribuita; inotre, anche i fio è caratterizzato da una sua massa m f, per quanto moto più piccoa di m, e potremmo anche vautare gi uteriori possibii effetti di questo. Cominciamo co tenere conto dei soi effetti dea distribuzione di massa dea sferetta. Per a descrizione de pendoo fisico, richiamiamo a II equazione cardinae dea dinamica scritta per un corpo rigido vincoato da un vincoo ideae a muoversi attorno ad un asse fisso; mantenendo e notazioni dea Fig. 1 anche per questo caso, potremo scrivere I O φ = mg sin φ, (0) dove I O è i momento di inerzia de pendoo rispetto a asse di rotazione, cioè a asse per i punto di sospensione O e ortogonae a piano verticae dea traiettoria de moto, e a destra de segno uguae compare i momento assiae (proiettato sempre ungo asse orizzontae per O) dea forza peso (a forza attiva in gioco), rispetto a centro di riduzione in O. Per vautare I O usiamo i Teorema di Huygens-Steiner (momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse = somma de momento di inerzia de corpo rispetto ad un asse baricentrico paraeo a asse dato e de prodotto dea massa per i quadrato dea distanza fra gi assi), per scrivere I O = 5 mr + m = m [ ( r ) ]. La (0) costituisce equazione de moto osciatorio de pendoo fisico, da cui, anaogamente a caso de pendoo ideae, descritto da eq. (4), possiamo ricavare (Appendice A) a reazione che definisce i periodo de osciazione: T = π ( ) 1 IO F(φ0 ), (1) mg 17

18 dove F(φ 0 ) indica a dipendenza de periodo da ampiezza angoare φ 0 de osciazione (vedere eq. (5) e Appendice A). Usando a reazione espicita per I O scritta sopra avremo dunque { [ m T = π 1 + ( ) ]} 1 r F(φ0 ) mg 5 ( ) 1 [ = π F(φ0 ) 1 + ( ) ] 1 r g 5 ( ) 1 [ π F(φ0 ) ( ) ] r, () g 5 dove, negi utimi due passaggi espressione in parentesi graffe corrisponde a periodo de pendoo sempice e utimo passaggio esprime approssimazione a primo ordine in ( ) r de termine dovuto a fatto che i pendoo non è puntiforme; questa approssimazione è, ne nostro caso, de tutto giustificata, dato che, con vaori approssimativi dei parametri in gioco avremo ( ) ( ) r.5 cm 0 cm L effetto che ci aspetteremmo su periodo sarebbe dunque de ordine di T/T 1 r ( ) , sicuramente moto inferiore a tipico errore reativo su periodo che possiamo ottenere dae nostre misure in aboratorio; ne segue che possiamo, da questo punto di vista e per esperimento svoto con i nostro apparato sperimentae, effettivamente approssimare/schematizzare i pendoo come un pendoo sempice. Se vogiamo considerare anche gi effetti dea massa finita de fio di sospensione, m f, possiamo procedere pensando a fio come ad un barretta sottie omogenea di unghezza e massa m f ; i centro di massa si troverà dunque a metà barretta, per cui i momento di inerzia rispetto a asse orizzontae di rotazione per i punto di sospensione O sarà ed avremo come equazione di moto: I fo = m f ( ) 1 + m f = 1 3 m f (I O + I fo ) φ = mg sin φ ( 1 + m ) f, (3) m dove abbiamo tenuto conto anche de momento dea forza peso su fio-barretta rispetto a punto di sospensione O. I periodo de moto in questo caso è T = π [ ] 1 (I O + I fo ) F(φ0 ); (4) mg(1 + m f /m) sviuppando espressione e tenendo conto de fatto che anche m f /m 1, potremo, fermandoci a primo ordine neo sviuppo rispetto ae quantità ( ) r m e f, entrambe 1, ottenere infine m una espressione per i periodo in questo caso: ( ) 1 [ T π F(φ0 ) ( ) ] r 1 m f. (5) g 5 1 m 18

19 In questa espressione, anaogamente a quanto fatto sopra, possiamo isoare a variazione reativa de periodo dovuta aa considerazione dea massa de fio nea descrizione de moto, che risuta chiaramente ( ) T 1 m f T fio 1 m ; dato che ci aspettiamo incertezze sperimentai reative de ordine di ( T/T ) sperim , occorrerà assicurarsi che a massa de fio utiizzato sia tae che da cui, per m 10 3 g, m f < 1 g. 1 1 m f m < 10 3, B. Presenza di attriti: smorzamento dee osciazioni Osservando i moto reae de pendoo è facie notare una progressiva diminuzione de ampiezza da osciazione. Nee condizioni reai, i moto de pendoo, in particoare nea sempice reaizzazione de aboratorio, non è dunque un moto de tutto ideae, ma piuttosto è soggetto a fenomeni dissipativi de energia totae, che producono uno smorzamento graduae, i cui primo e più appariscente effetto è proprio a diminuzione de ampiezza dee osciazioni con i tempo da momento de riascio. Infatti, agiscono su pendoo reae forze di attrito, che compiono avoro e quindi dissipano energia meccanica de moto; e principai cause d attrito per quanto riguarda i pendoo sono 1) a resistenza viscosa de aria, in cui i pendoo si muove, che agisce sia sua sferetta che su fio di sospensione e ) e forze e i momenti d attrito ne sistema di sospensione de pendoo (che abbiamo schematizzato ne punto di sospensione O). L entità e a descrizione dee forze di attrito dipendono dae caratteristiche specifiche di reaizzazione de pendoo (fio, sferetta, modaità di sospensione e supporto; vedere Appendice C). In generae, tuttavia, ameno finché a dissipazione di energia causata da azione dee forze d attrito è sufficientemente piccoa rispetto a energia totae de moto, si può dimostrare sia con metodi anaitici considerando o smorzamento come una perturbazione nea descrizione de moto ne imite dee piccoe osciazioni, sia, ne caso di osciazioni di ampiezza generica, integrando numericamente equazione di moto generae (con aggiunta dei termini di smorzamento rispetto aa (4)) che gi attriti in gioco hanno effetti su ampiezza dee osciazioni (che in aboratorio osserviamo diminuire visibimente) moto più sensibii di quanto non abbiano su periodo de osciazione stessa; i periodo può infatti essere considerato come sostanziamente invariato per un buon numero di osciazioni (vedere Appendice C) rispetto aa precisione dea misura. Questo è importante ai fini dea esperienza in aboratorio, dato che ci consente di utiizzare ancora e reazioni (6) e (8), ricavate per i caso di moto ideae, ao scopo di stimare i moduo de acceerazione di gravità g. Ne Appendice C viene brevemente deineata una procedura di anaisi degi effetti di dissipazione su moto de pendoo reae, possibie in forma anaitica per i caso imite dee piccoe osciazioni; una descrizione più dettagiata de fenomeno esua dagi scopi de nostro corso, ma a sintesi fornita dovrebbe servire a dare un idea de probema. In particoare, ne Appendice C vengono identificate dee reazioni funzionai che forniscono una stima de andamento approssimato de decremento di ampiezza angoare appunto ne imite di piccoe osciazioni. 19

20 Se vogiamo cercare di dare una stima deo smorzamento osservato sperimentamente, possiamo cercare di partire dai risutati discussi ne App. C. Infatti, possiamo pensare quaitativamente che a souzione approssimata ricavata ne imite dei piccoe osciazioni per φ 0 (t) (ad esempio eq. (9), considerando i più sempice caso di forza di attrito con egge ineare nea veocità preponderante) si mantenga sufficientemente descrittiva anche ne caso generae di osciazioni di ampiezza non piccoa. Dae stime di ampiezza angoare come funzione de numero di osciazioni n effettuate da riascio, φ 0 (n), possiamo cercare di dedurre i coefficiente sperimentae di smorzamento nea schematizzazione più sempice de probema, ovvero supponendo una egge di decrescita esponenziae φ 0 (n) φ 0 (0)e αt 0n φ 0 (0)(1 αt 0 n), (6) dato che, aiutandoci con a scaa centimetrica su pavimento, misuriamo ampiezza ad osciazioni compete e che dunque gi istanti di misura sono t nt 0 ; i secondo passaggio dea (6) è chiaramente vaido per vaori αt 0 n << 1, cioè per un numero di osciazioni imitato, dipendentemente da vaore di α. I nostro scopo è qui un anaisi di tipo quaitativo degi aspetti dissipativi de moto reae, per cui OPERATIVAMENTE ci imiteremo a 1) scegiere un vaore intermedio dea distanza x 0, cioè de ampiezza angoare; ) per questo vaore riasciare i pendoo e, contando i numero di osciazioni compete, andare a stimare x 0 (n) ad intervai di quache osciazione (ad esempio, n = 5), fino ad n 5, traguardando a megio possibie a posizione raggiunta da pendoo in corrispondenza dee successive eongazioni massime; 3) con i 5 vaori di x 0 (n) ± x 0 (n), ovvero di φ 0 (n) ± φ 0 (n), provare a a fare un grafico in cui si rappresenta con egge ineare andamento di x 0 (n) in funzione di n appunto, ovvero di t = nt, dove T è i periodo che avremo precedentemente stimato per i dato vaore di x 0 (0) sceto; cercando di tracciare a retta migiore per i punti ottenuti, potremo anche dare una stima de coefficiente di smorzamento α. Ci possiamo aspettare ragionevomente una deviazione daa reazione ineare per i punti corrispondenti ai vaori più ati de numero di osciazioni n, quando a condizione αt n << 1 non è più ben verificata con i vaore di α stimabie dai punti reativi a più bassi vaori di n. 0

21 Appendice C Smorzamento dee osciazioni come effetto degi attriti Lo smorzamento osservato de moto reae è dovuto a azione dissipativa (de energia meccanica de pendoo) dee forze di attrito che agiscono su sistema reae. Come già detto ne testo, in sostanza si tratta degi attriti ne sistema di sospensione de pendoo (nea cui descrizione non entreremo) e dee forze di resistenza viscosa dovute a aria, come fuido in cui i sistema pendoo (sferetta più fio di sospensione) si muove. Non è questa a sede per uno studio dee caratteristiche di viscosità dei fuidi, ma ci basterà sapere che questa è a proprietà di un fuido che riassume e sue caratteristiche di resistenza a moto di un corpo ne fuido stesso. La viscosità de fuido interviene direttamente, tramite attrito esercitato dagi strati di fuido a diretto contatto co corpo in moto (regime aminare, pensando agi straterei di fuido come amine sovrapposte) e/o, indirettamente, attraverso a formazione di vortici essenziamente nea scia de corpo in moto (Feury & Mathieu, Meccanica Fisica, 1963, Zanichei). Sempificando a massimo, dato i corpo (con a sua geometria e e sue dimensioni caratteristiche) e dato i fuido in cui si muove (aria), i tipo di regime dominante e, quindi, a schematizzazione con cui rappresentiamo a forza di resistenza dipendono essenziamente daa veocità de corpo, co crescere dea quae ci si aspetta di passare da regime aminare a queo con formazione di vortici. In generae, i tipo di regime di moto e di resistenza viscosa per ogni corpo in moto in un fuido viene identificato da vaore di un parametro adimensionae caratteristico, detto numero di Reynods, R = ρvl/η, dove ρ è a densità de fuido, η è a sua viscosità (dimensioni [m 1 t 1 ]) e v ed L sono rispettivamente una veocità caratteristica ed una dimensione di unghezza caratteristica de corpo in moto. Per vaori sufficientemente bassi di R a resistenza de fuido a moto de corpo si esercita essenziamente in regime aminare e a forza di resistenza viscosa è ragionevomente rappresentata come proporzionae aa veocità (F drag v). Con aumentare de numero di Reynods (i che per un corpo con caratteristiche geometriche date richiede aumentare dea veocità), si modifica come già detto a modaità di resistenza de fuido e si arriva ad una condizione in cui a forza di resistenza diviene megio rappresentata da una egge in cui a proporzionaità è con a veocità a quadrato (sempre in opposizione aa direzione de moto; F drag v ). I vaore critico di R, cioè queo attorno a quae avviene a transizione fra i due regimi, dipende daa forma geometrica de corpo in movimento; sperimentamente, per un corpo sferico R crit (Perrucca, Fisica Generae e Sperimentae I, 1963, UTET; Neson & Osson, American Journa of Physics, 54, 11, 1986). In reatà, a forza di resistenza su sistema non sarà in generae né puramente ineare né puramente quadratica in veocità, a maggior ragione per un sistema composto (ad esempio, i pendoo come sferetta più fio) e per vaori dea veocità non costanti ne tempo durante i moto, come è ne nostro caso; piuttosto, a forza di resistenza sarà una combinazione dee due forme, con espressione F drag = bv C cv C v C, (7) diretta ungo a direzione dea veocità v C de centro di massa dea sferetta de pendoo e con b e c due coefficienti che riassumono tutte e atre caratteristiche de fenomeno di attrito viscoso. Come già accennato, un atra fonte di smorzamento è data dagi attriti ne punto di sospensione; in inea di principio, anche questi possono essere considerati come dipendenti daa 1

22 veocità de pendoo, a quae induce una soecitazione diversa su supporto in O a seconda de suo vaore. Per sempicità, dunque, ameno in questa sede possiamo imitarci a considerare una reazione de tipo (7) come rappresentativa di tutti gi effetti di resistenza a moto de pendoo. Una vota schematizzate e forze di attrito in gioco è possibie anaizzare come si modifica i moto reae rispetto a queo ideae. I probema si può studiare numericamente considerando equazione di moto per un pendoo soggetto anche ae forze di resistenza viscosa de aria in cui i pendoo stesso si muove e in generae a forze d attrito egate aa veocità de pendoo, rappresentate nea forma generae (7). Ne caso imite dee piccoe osciazioni è anche possibie un approccio anaitico per o studio deo smorzamento de moto, ameno per condizioni in cui gi effetti dissipativi siano piccoi rispetto a energia de moto. In questo caso si può ottenere una risouzione anaitica in forma approssimata utiizzando metodi perturbativi, cioè considerando i termini ne equazione di moto egati a attrito come tai da indurre una piccoa perturbazione su moto ideae. Si tratta in pratica di vautare termini correttivi rispetto aa ampiezza de moto ideae e a suo periodo, supponendo che angoo di osciazione φ(t) sia descrivibie come φ(t) = φ A (t) cos ψ(t), (8) dove φ A (t) è ampiezza dea osciazione (ne caso reae una funzione de tempo t) e ψ(t) = (ω 0 + ω 1 )t, con ω 0 che è a frequenza angoare de moto ideae, senza attrito, e ω 1 << ω 0 (per i metodo da seguire si fa riferimento, ad esempio, a testo Noninear Osciations, di N. Minorski, edizioni Krieger, New York, 1974, oppure a Nayfeh & Mook, Noninear Osciations, 1979, Wiey & Sons). Ne caso in cui ci imitiamo aa considerazione di forze viscose con espressione ineare nea veocità, i risutato che si ottiene è che, in approssimazione de primo ordine, ampiezza varia secondo a egge φ A (t) = φ 0 e αt φ 0 (1 αt), (9) dove α = b m e i secondo passaggio vae ne caso αt << 1, cioè per un numero di osciazioni tae che n << 1/(αT 0 ), con T 0 = π/ω 0. Ne caso invece in cui siano preponderanti e forze viscose quadratiche in veocità, in modo de tutto anaogo si ottiene una egge, in approssimazione de primo ordine, de tipo con φ A (t) = φ βφ 0 t, (30) β = 4 ω 0 c 3 π m = 8 3 (vedere sempre Minorski 1974, citato sopra). In entrambi i casi e con o stesso ordine di approssimazione, ne imite dee piccoe osciazioni adottato per a trattazione anaitica, i periodo risuta non modificato daa azione c mt 0