DECISIONI E PROBABILITÀ SOGGETTIVA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "DECISIONI E PROBABILITÀ SOGGETTIVA"

Transcript

1 Andrea ELLERO DECISIONI E PROBABILITÀ SOGGETTIVA Appunti per il corso di METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA DELL ARTE A.A

2 2 Queste pagine raccolgono alcune lezioni del corso di METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA DELL ARTE per la laurea specialistica in Economia e Gestione delle Arti e delle Attività Culturali dell Università Ca Foscari di Venezia (a.a ). Ringrazio la Dott. Francesca Cerisano che ha fornito una prima versione dattiloscritta degli appunti delle lezioni.

3 3 Elementi di teoria delle decisioni La teoria delle decisioni è una disciplina che studia il processo logico-formale con cui un individuo si accinge ad assumere un comportamento, a suo avviso ottimale, in presenza di informazioni incomplete o, come si suole dire, in condizioni di incertezza. Un individuo si trova a dover prendere delle decisioni in condizione di incertezza quando deve scegliere una fra più azioni possibili, le cui conseguenze non sono determinabili a priori, nel senso che ogni alternativa contemplata condurrà certamente ad una delle conseguenze previste senza, però, poter stabilire esattamente a quale di esse. Solitamente, si suppone che l incertezza che lascia indeterminata la conseguenza, dipenda dalla non conoscenza di alcuni eventi (o stati di natura) e che le conseguenze di ciascuna scelta possano essere valutate in termini di utilità o di perdita. 1. Criteri decisionali in condizioni di incertezza Supponiamo di dover allestire una mostra temporanea utilizzando sia spazi al coperto che spazi al chiuso. Possiamo scegliere di sfruttare gli spazi al coperto (decisione o alternativa d1), quelli esterni (decisione d2), oppure in eguale misura tali spazi (decisione d3). Gli spazi al coperto comportano costi maggiori ma, ovviamente, comportano un numero di visite più elevato in caso di cattivo tempo. Nel periodo di fruibilità della mostra ci si attende dunque un profitto che dipende dalle condizioni atmosferiche e dalla decisione all utilizzo degli spazi espositivi effettuata inizialmente. Considerati tre possibili scenari (o stati di natura) futuri s1 (tempo prevalentemente piovoso), s2 (tempo variabile), s3 (tempo prevalentemente soleggiato) sono stati valutati i possibili profitti come raccolti nella seguente tabella, detta matrice delle utilità (o dei payoff): s1 s2 s3 d d d

4 4 Indicheremo con M ij il risultato corrispondente alla decisione i nel caso si realizzi lo scenario j. Una rappresentazione diversa, che consente di cogliere quale sia la sequenza di decisioni/esiti all interno del processo decisionale è data dal cosiddetto albero di decisione: Come stabilire quale sia la decisione più conveniente, in termini di profitto/utilità? Osserviamo anzitutto che l alternativa d3 presenta utilità minori o uguali alle utilità di d2, in corrispondenza di ciascuno scenario sj, si dice in questo caso che d3 è dominata da d2 e, ai fini della nostra scelta, d3 è chiaramente una decisione inopportuna, da scartare. Resta da compiere la scelta, non ovvia ed immediata, tra d1 e d2. Vediamo una rassegna dei più noti criteri di scelta proposti dalla letteratura. 1.1 Criterio di Wald (del maximin) Il decisore suppone che si realizzi, in corrispondenza di ciascuna alternativa, lo scenario peggiore. Nel nostro esempio: s1 s2 s3 minimo d d

5 5 Dopo aver rilevato i valori minimi per ogni riga, scegliamo tra questi quello massimo, minimizzando, in tal modo, la perdita: max(min ) Nel nostro esempio la scelta cade sull alternativa d2. i j M ij 1.2 Criterio dell ottimismo Il decisore suppone che si realizzi, in corrispondenza di ciascuna alternativa, lo scenario migliore. Nel nostro esempio: s1 s2 s3 massimo d d Dopo aver rilevato i valori massimi per ogni riga, scegliamo tra questi quello massimo, minimizzando, in tal modo, la perdita: min(maxm Nel nostro esempio la scelta cade sull alternativa d2. Dunque, l alternativa d2 è ancora la migliore. i j ij ) 1.3 Criterio di Laplace o della media aritmetica Si sceglie l alternativa che presenta media aritmetica delle utilità più elevata. Nell esempio le medie aritmetiche sono 2.32 per d1 e 3.69 per d2. La scelta migliore è ancora d Criterio di Savage (minimax dei regret) Questo criterio prevede una scelta fondata sulla valutazione, per ogni fissato stato di natura, il mancato guadagno (regret, rammarico) che, in corrispondenza di ciascuna decisione, si ha rispetto alla decisione migliore per quello stato di natura (la decisione che si adotterebbe in condizioni di informazione perfetta). Costruiamo, a partire dalla matrice dei payoff la matrice dei Regret, definendo il regret corrispondente alla decisione i nel caso si realizzi lo stato j r ij = ( max M ) M k kj ij

6 6 Tra tutte le decisioni opteremo per quella che presenta il più basso valore massimo del regret (minimax): min(max ) Nell esempio: [regret] s1 s2 s3 max regret d d i j r ij La scelta da adottare è ancora d Criterio delle eccedenze (maximin delle eccedenze) Contrariamente al criterio precedente, si calcola, in corrispondenza di ciascuno scenario, la distanza (eccedenza) dalla scelta che presenta il profitto minore per un fissato stato di natura. Per questo motivo costruiamo, a partire dalla matrice delle utilità, la matrice delle eccedenze, definendo l eccedenza corrispondente alla decisione i nel caso si realizzi lo stato j e ij = M ij ( min Mkj) La scelta cadrà sulla decisione che presenta il più alto valore minimo di eccedenza (maxmin): max(mine ) Tornando all esempio: [eccedenze] s1 s2 s3 min eccedenza d d i j ij k Le decisioni sono valutate come equivalenti. Osservazione: non abbiamo considerato la variabilità delle utilità in corrispondenza di una singola decisione; possiamo tuttavia osservare che l alternativa d3 è, da questo punto di vista, desiderabile poiché seppure non fornisca profitti molto elevati evita il rischio di profitti molto bassi; opportuni criteri, che qui non consideriamo, consentono di tener conto di questo importante aspetto.

7 7 1.6 Un altro esempio Data la matrice delle utilità: s1 s2 s3 d d d determiniamo la decisione migliore con l ausilio dei diversi criteri analizzati. s1 s2 s3 Wald ottim. Laplace d1 d d d3 d1 d2 Regret : s1 s2 s3 max Regret d1 d d d1 e d2 Eccedenze: s1 s2 s3 min eccedenza d1 d d d2

8 8 2. Calcolo delle Probabilità Introduzione La logica elementare divide gli enunciati (che qui chiameremo eventi) in veri e falsi, ammettendo, per principio, che non vi siano altre possibilità di qualificarli (secondo il classico principio del Terzo Escluso aristotelico, una proposizione non può che essere vera o falsa tertium non datur). Tuttavia se qualcuno dice: domani pioverà, quest affermazione non è né vera, né falsa in questo momento; soltanto domani, dopo che avremo constatato le condizioni del tempo, potremo attribuirle una delle due qualifiche. In attesa di una verifica, dunque, due persone possono avere valutazioni contraddittorie circa la verità o falsità di un affermazione, senza che si possa decidere quale delle due abbia ragione, possono cioè avere un grado di fiducia diverso riguardo al verificarsi dell evento. Se ci è consentito scommettere sull una o sull altra possibilità (ed è quello che facciamo quando decidiamo o meno di portare con noi l ombrello quando ancora non piove) l entità della nostra scommessa è un indice del nostro grado di fiducia nell enunciato e, perciò, può prendersi come misura del grado di verità che siamo disposti ad attribuirgli. 2.1 La definizione di probabilità soggettiva Diamo ora una definizione precisa di probabilità, rifacendoci alla concezione soggettiva di de Finetti (1937). DEFINIZIONE La probabilità di un evento E, secondo l opinione di un dato individuo, è il prezzo E) che egli giudica equo pagare per riscuotere un importo unitario nel caso in cui E si verifichi. Supponiamo di voler assegnare in modo soggettivo una probabilità all evento E = Il prossimo vincitore delle elezioni USA sarà un repubblicano. Tale probabilità è, per definizione, il prezzo (certo) che siamo disposti a pagare oggi per riscuotere 1 nel caso in cui E si verifichi (in futuro!). Se siamo disposti a scommettere 0.25, 25 centesimi, allora la nostra valutazione di probabilità è E)=0.25=1/4.

9 9 Uno schema grafico può aiutare ad illustrare lo svolgimento temporale della scommessa: pago certamente E) riscuoto 1 se E si verifica in futuro Oggi futuro Il termine prezzo equo nella definizione di probabilità sta ad indicare che i verbi pagare e riscuotere devono poter essere scambiati senza che la valutazione di probabilità cambi: in altri termini, riguardo alla scommessa sul futuro Presidente degli Stati Uniti dobbiamo essere anche disposti ad accettare (facendo da banco ) la scommessa che stabilisce di pagare 1 in futuro nel caso si realizzi l evento E, riscuotendo 0.25 oggi. La probabilità da assegnarsi ad un evento che si realizzerà sicuramente (evento certo) dovrà di conseguenza essere uguale a 1 [E)=1], perché, in questo caso, riscuoteremo certamente 1, avendo la certezza della realizzazione di E. La probabilità di un evento che senza dubbio non si realizzerà (evento impossibile) dovrà invece essere uguale a 0 [E)=0], perché tale è la somma che siamo disposti a sborsare, avendo la consapevolezza di scommettere sul realizzarsi di un evento che non accadrà mai. La probabilità deve essere allora un numero compreso tra i due valori soglia 0 e 1: E) [0,1]. Osservazione importante. Se E)=0, ciò non implica l impossibilità del realizzarsi dell evento stesso. Vediamo un esempio. Consideriamo un bersaglio quadrato di lato unitario e supponiamo di sparare a caso (ad occhi chiusi) colpendo il punto di coordinate (¾,¾). Si è realizzato l evento H = viene colpito il punto (¾,¾). 1 ¾ 0 ¾ 1

10 10 Supponiamo ora di ripetere l esperimento: qual è la probabilità di riuscire a colpire di nuovo il medesimo punto? Essendo infiniti i punti del piano, infinite saranno le nostre possibilità e 0 è ciò che saremmo disposti a pagare nello scommettere sulla realizzazione di H: l evento è altamente improbabile, ma non impossibile. 2.2 Probabilità, scommesse e quote. Ritorniamo all evento E= Il prossimo vincitore delle elezioni USA sarà un repubblicano. Su tale evento è possibile effettuare delle scommesse (nel web è facile reperire aziende che, più in generale, gestiscono scommesse a quota fissa, in Italia si può vedere ad esempio il sito della SNAI, Tipicamente una società di gestione di scommesse presenta per ogni evento sul quale si può scommettere la quota con la quale viene ricompensata una giocata unitaria nel caso si realizzi l evento. Naturalmente quota e probabilità sono inversamente proporzionali ma vediamo le cose più precisamente. Definiamo quota equa relativa all evento E la quantità q(e) = 1 E) Dire che la quota equa è di 4 a 1, significa che all evento viene assegnata la probabilità ¼. Non abbiamo, però, ancora precisato il motivo per il quale parliamo di quota equa q. Infatti, si utilizza tale aggettivo per distinguerla dalla quota reale Q. Quest ultima risulta comprensiva delle remunerazioni αi, per i gestori delle scommesse. La quota reale, quella effettivamente pubblicata dal gestore (il banco) è: Q(Ei) = (1 αi) q(ei) Pertanto la valutazione di probabilità effettuata dal gestore è Ei) = 1 q( Ei) = 1 α i Q( Ei) < 1 Q( Ei) La probabilità assegnata dal gestore ad Ei è minore di 1 Q( Ei) ( 1 ). ( 1 ) Per legge, il guadagno del banco viene limitato. Si parla, perciò, della cosiddetta percentuale di allibramento: PA = n i= 1. Tale percentuale deve essere inferiore alla percentuale di allibramento massima 100 Qi n 100 = 100 Ei) =100. q( Ei PAmax, fissata per legge. Possiamo notare che se αi = 0 i, allora: PA = i= 1 ) In altre parole, nel caso di tutte quote eque la percentuale di allibramento è 100. Nel caso in cui αi>0 per almeno un indice i, si ha PA >100 ovvero, nel caso delle quote reali PA è superiore a 100.

11 Il requisito della coerenza Consideriamo un insieme di eventi Ω = { E1, E2, E3 En } che siano incompatibili (o esclusivi: si può realizzare soltanto uno di essi) ed esaustivi (si realizza almeno uno di essi). Diremo in tal caso spazio campionario l insieme Ω e chiameremo eventi elementari i suoi elementi. area = E1) Ω Assegnando una probabilità ad ogni evento, si ottiene una funzione: P : Ω [ 0, 1] ; Ei Ei) che ad ogni evento Ei associa la corrispondente valutazione di probabilità Ei). Poiché gli eventi sono esaustivi la probabilità che non si realizzi alcun evento di Ω (Evento impossibile = Ø) è Ø) = 0, mentre la probabilità che si realizzi almeno un evento di Ω ovvero che si realizzi Ω (evento certo) è Ω) = 1. Vediamo ora come valutare le probabilità degli eventi dell insieme delle parti P (Ω) dello spazio campionario Ω (l insieme delle parti è un insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di Ω, compresi l insieme vuoto Ø e l insieme Ω stesso). A partire dalle probabilità assegnate agli eventi elementari possiamo estendere la valutazione ad altri sottoinsiemi di Ω. Vogliamo però che tale estensione sia coerente nel senso che andiamo a definire. DEFINIZIONE Una valutazione di probabilità è detta coerente se nessuna combinazione di scommesse consente di realizzare un guadagno certo (assenza di arbitraggi).

12 12 Lavoreremo d ora in poi solo con valutazioni di probabilità coerenti. Teorema La richiesta di coerenza è equivalente a chiedere che, dati due qualsiasi eventi Ei ed Ej elementari (quindi incompatibili) di Ω si abbia Ei v Ej) = Ei) + Ej) (1) (Il simbolo v sta per oppure ) Per la dimostrazione si veda ad esempio Daboni (1967). Un esempio numerico può però convincere di come il mancato rispetto della proprietà (1) porti alla possibilità di effettuare arbitraggi, cioè all incoerenza. Supponiamo di scommettere sul realizzarsi, separatamente, degli eventi E1 ed E2 valutati con probabilità E1)=E2)=0.2. Nel contempo supponiamo di accettare una scommessa (in qualità di banco) sull evento E1 v E2 valutato con probabilità E1 v E2) = 0.5 (ovvero maggiore di E1) + E2)). In questo caso oggi pago ma intasco 0.5 pertanto ho in tasca +0.1; in futuro, se uno dei due eventi si realizza ottengo 1 (per aver scommesso) e pago 1 (per aver accettato la scommessa), se nessun evento si realizza non ricevo nulla e non devo pagare. In conclusione: oggi intasco 0.1 e in futuro sono in ogni caso in pareggio, pertanto complessivamente ottengo un guadagno certo di 0.1 (arbitraggio). 2.4 Conseguenze della coerenza Poiché E1 v E2 v En = Ω si ha: Ω) = n i= 1 Ei) = 1 L evento E C (complementare di E) che si realizza se e solo se non si realizza E, ha probabilità E C ) = 1 E) infatti per mantenere la coerenza deve essere E v E C ) = E) + E C ) ma E v E C ) = 1, perché almeno uno dei due si realizzerà certamente, da cui la proprietà.

13 Alcuni esempi LANCIO DI UNA MONETA Vogliamo calcolare la probabilità di ottenere Testa e quella di ottenere Croce col lancio di una moneta. In questo caso lo spazio degli eventi è Ω = {T,C} (T= si realizza testa; C= si realizza croce). L insieme delle parti è Ω) = {Ø, T, C, Ω }. La coerenza impone T) + C) = 1 Questa relazione non ci consente di calcolare separatamente T) e C). A questo scopo, occorre un osservazione esterna. Se la moneta ci appare del tutto simmetrica, ovvero non è truccata, non vediamo a priori alcun motivo per attribuire a uno dei due esiti una probabilità maggiore o minore di quella dell altro. Perciò ci sentiamo autorizzati ad assumere: T) = C). Le due relazioni, insieme, risolvono ora il problema della determinazione delle due probilità fornendo: T) = C) = ½. LANCIO DI DUE O PIU MONETE Lanciamo due monete (o la stessa moneta due volte) e studiamo la probabilità che si presenti testa sia al primo che al secondo lancio. Vogliamo, in altre parole, calcolare TT). Poiché le realizzazioni possibili del lancio di due monete sono TC, CC, CT, TT, mentre l unico caso favorevole è TT, per motivi di simmetria dell informazione analoghi a quelli del caso del lancio di una singola moneta valutiamo TT) = ¼. La probabilità che si presenti una testa su due lanci effettuati è invece ½ Lanciando tre monete qual è la probabilità che si presenti almeno una croce? Se consideriamo distintamente le tre monete, allora si presentano 8 casi egualmente probabili: TTT, TTC, TCT, CTT, CTC, CCT, CCC. Soltanto nel primo caso non si hanno croci, quindi la valutazione di probabilità richiesta è ⅞. LANCIO DI UN DADO Assegniamo la probabilità a ciascuno dei sei possibili esiti del lancio di un dado: Ω = {f1, f2, f3, f4, f5, f6} Indicando con fi la faccia del dado sulla quale sono incisi i punti. Abbiamo

14 14 6 i= 1 fi) = 1 Inoltre, se il dado non presenta alcuna deformità evidente, non c è motivo di pensare che i diversi esiti abbiano probabilità differenti. Da ciò segue: 1 fi) = per ogni i. 6 Negli esempi affrontati, abbiamo invocato una ragione di simmetria, che può esprimersi come condizione a priori sulla distribuzione di probabilità. In tal caso tutti gli eventi elementari considerati vengono ad avere la stessa valutazione di probabilità, sono ritenuti, cioè, equiprobabili. ALTRI ESEMPI Determiniamo la probabilità P per ciascuno dei seguenti eventi: a) nel lancio di un dado si presenta un numero pari. L evento può verificarsi in tre modi (un 2, un 4, un 6) su 6 casi equiprobabili: pari) = ½ ; b) nel lancio di un dado si presenta 1 oppure 2. Essendo 1 v 2) = 1) + 2) si ha 1 v 2) = ⅓. c) lanciando una moneta e un dado si presentano Testa e un numero pari. Essendo i casi possibili 12 (T1, T2, T3, T4, T5, T6, C1, C2, C3, C4, C5, C6), mentre i casi favorevoli sono 3 (T2, T4, T6), la probabilità è data da T,pari) = ¼.

15 Misura della probabilità nel caso di eventi compatibili Siano dati lo spazio campionario Ω e due suoi sottoinsiemi A e B costituiti da più eventi elementari: Ω A = E1 E2 E3 B = E3 E4 E5 (Il simbolo sta per unione ed è equivalente a v) Qual è la probabilità A B)? In questo caso A e B (eventi compatibili, data la loro possibile contemporanea realizzazione) hanno in comune l evento E3, per cui la probabilità non è più A B) = A) + B), altrimenti verrebbe conteggiato due volte E3, intersezione di A e B. Vale infatti il seguente teorema: Teorema A B) = A) + B) A B) (2) (Il simbolo sta per intersezione ) Dimostrazione. L insieme A B è l unione dei 3 eventi incompatibili A B C, A B e A C B. Si ha A B) = A B C )+A B)+A C B) = = [A B C )+A B)]+[A C B)+ A B)] - A B) = = A) + B) - A B). 2.7 Probabilità condizionate o subordinate Immaginiamo che lo spazio campionario Ω si riduca ad un suo sottoinsieme proprio H Ω. Graficamente:

16 16 Ω Il realizzarsi dell evento H costringe a rivedere la probabilità da assegnare alla realizzazione dell evento E: E dato H (si scrive E H), ha una probabilità E H) che in generale sarà diversa rispetto a E). Nell approccio assiomatico la probabilità condizionata è definita ponendo E H) = E H ) H ) ovvero E H) = E H) H). Utilizzando l approccio soggettivo alla probabilità tale formula può essere dimostrata. In termini di quote eque essa può essere riscritta come 1 q( E H ) = 1 1 q( E H ) q( H ) ovvero q(e H) = q(e H) q(h). Dimostriamo quest ultima versione della formula. Consideriamo un esperimento che si svolge negli intervalli di tempo [0, t1] e [t1,t2]. Supponiamo di giocare una unità monetaria al tempo 0 sulla realizzazione dell evento H al tempo t1, ottenendo in caso di vittoria la quota q(h) e di puntare al tempo t1 tutta l eventuale vincita sulla realizzazione dell evento E al tempo t2. H E H 0 t1 t2 In caso di vittoria, vale a dire se E H si realizza al tempo t2, potremo intascare la quota q(e H) moltiplicata per la quantità giocata q(h). Pensiamo ora di giocare un unità monetaria al tempo 0 sulla realizzazione dell evento H E al tempo t2, ottenendo in caso di vittoria la quota q(h E). Si tratta di una scommessa diversa ma equivalente alla precedente nel senso che comporta una vittoria

17 17 esattamente negli stessi casi. L equità nella valutazione della probabilità soggettiva chiede allora che sia q(e H) = q(e H) q(h), come volevamo dimostrare. 2.8 Alcune osservazioni Evidentemente la formula E H) = E H ) H ) chiede che la probabilità che si realizzi l evento H sia diversa da 0. Se l evento H si realizza certamente, H)=1, allora E H) = E). Più interessante è il caso 0<H)<1, in cui si ha E H) > E H). Osserviamo che E = (E H) (E H C ). Poiché E H ed E H C sono disgiunti risulta E) = E H) + E H C ). Ma essendo E H) = E H) H) possiamo scrivere E) = E H) H) + E H C ) H C ). Confrontiamo le due probabilità E H) e E) in un caso particolare. Consideriamo gli eventi E = la cantante Alexia vince il Festival di Sanremo H = una donna vince il Festival di Sanremo In questo caso evidentemente sarà E H) > E). Se, invece H = un uomo vince il Festival di Sanremo allora E)>E H) = 0. In generale non esiste alcuna relazione particolare che lega le due probabilità considerate: o se E/H) > E) si dice che E è positivamente correlato ad H, o se E/H) < E) si dice che E è negativamente correlato ad H, o se E/H) = E) si dice che E è indipendente da H. Nel caso di eventi indipendenti si può scrivere E) = E/H) = E H ) H )

18 18 da cui: E H) = E) H) ovvero, la probabilità che i due eventi, E ed H, si verifichino contemporaneamente corrisponde al prodotto delle loro probabilità di realizzazione. 2.9 Esempi Lanciando due monete di seguito, consideriamo la probabilità di ottenere testa al secondo lancio, dato che si è ottenuto testa anche al primo. Essendo i due lanci indipendenti, l informazione a nostra disposizione non influenza la valutazione finale: T 2 T 1 ) = T 2 ) = ½. Determiniamo la probabilità che, lanciando due volte un dado, si verifichi l evento E= la somma dei punti ottenuti nei lanci è 3 Avendo in tutto 36 possibili esiti, dei quali solo due [(1,2); (2,1)] ci permettono di avere somma 3 si ha E)=2/36. Consideriamo ora l evento H= al primo lancio è uscito il numero 1. Se H si realizza allora lo spazio campionario si riduce e si ottiene: E H) = somma= 3 lancio1= 1) lancio1= 1) = 1/ 36 1 = 1/ 6 6 Determiniamo, lanciando sempre due dadi, le probabilità degli eventi A = almeno un dado presenta il numero 3 B = la somma è 4. Utilizziamo la formula (2): A) = lancio1=3 v lancio2=3) = =lancio1=3)+lancio2=3) lancio1=3 lancio2=3) = + - = Inoltre B) = (1,3);(3,1);(2,2))= 36 3 A B) = (1,3);(3,1))= Da cui otteniamo A B) = + - =

19 Teorema di Bayes Se nelle formule precedenti scambiamo i ruoli degli eventi E ed H otteniamo H E) = H E) E) che può essere scritta anche: H E) = H E) E) Ovviamente H E) = E H), pertanto possiamo scrivere: E H) H) = H E) E) Risulta allora dimostrato il seguente teorema. Teorema di Bayes H E) = E H ) H ) E) 2.11 Alcuni esempi di utilizzo del teorema di Bayes Esempio 1 Supponiamo di dover decidere quale delle due imprese (Artsystem e Buonarroti S.r.l.) di trasporto di opere d arte contattare per l allestimento della nostra mostra temporanea. Sappiamo che la probabilità di rottura o danneggiamento delle opere è del 5% per l impresa A su un totale di 800 pezzi trasportati e del 10% su un totale di 1000 opere trasportate per l impresa B, alla fine del loro viaggio. Qual è la probabilità che un opera sia stata trasportata da A se l opera ha effettivamente subito dei danni? Ovvero, quanto vale A Danni)? E utile alla risoluzione del problema, ricorrere al cosiddetto albero di probabilità. Il diagramma ad albero è un mezzo usato, in generale, per enumerare tutti i possibili esiti di una serie di esperimenti, dove ciascun esperimento può avere un numero finito di esiti. Esso viene costruito da sinistra a destra e, ad ogni nodo, il numero dei rami verso destra corrisponde ai possibili esiti dell esperimento successivo. Nel nostro caso: a) la probabilità che un opera venga trasportata da A è b) la probabilità che un opera venga trasportata da B è 800 = =

20 20 A questo punto, per conoscere A D), dobbiamo ricorrere alla formula di Bayes: A D) = D A) A) D) Conosciamo D A) = 0.05 e A) =4/9, ci resta da valutare D) sommando tutti i rami che portano all esito D: D) = D A) + D B) = D/A) A) + D/B) B) Pertanto A D) = Esempio 2 Al museo di Oslo, nonostante le efficienti misure di sicurezza, sono stati sottratti, nel mese di agosto 2004, alcuni dipinti del pittore norvegese Edward Munch. Vengono arrestati due uomini (Arsenio Lupin e BonBon) sospettati di aver commesso il reato. Soggettivamente, giudichiamo maggiormente probabile che il furto sia stato compiuto da A: A) = 0.6, B) = 0.4. Disponiamo però di una macchina della verità che fornisce indicazione di innocenza con probabilità del 90% per chi è realmente innocente e con probabilità del 20% per un colpevole 2. Desideriamo conoscere la probabilità che, qualora A superi il test e B non ce la faccia, A sia il ladro. Costruiamo l albero di probabilità: 2 Il fatto che A superi il test dipende esclusivamente dal suo essere o meno il colpevole, non dai risultati ottenuti, al medesimo test, da B. Ciò consente, qualora avessimo stabilito, ad esempio, l innocenza di A, di calcolare la probabilità che A e B superino entrambi il test come prodotto (0.2)(0.9), che A superi il test e B no [(0.2)(0.1)], e così via.

21 21 La probabilità che A sia il ladro, dato che A ha superato il test e B no, in base alla formula di Bayes è: A A supera B, non supera) = A supera B, non supera A) A) A supera B, non supera) ( ) = = = ( ) 0.6+ ( ) La nuova informazione costringe pertanto a spostare la valutazione della probabilità di colpevolezza di A al 4% contro il 60% della probabilità stabilita inizialmente. Analogamente, volendo valutare la probabilità che A sia il ladro nel caso in cui A non abbia superato il test, mentre B vi sia riuscito si ottiene ( ) A A non supera, B supera) = = ( ) 0.6+ ( ) =.

22 22 3. Criteri decisionali in condizioni di rischio Introduzione Torniamo a considerare una matrice dei payoff, contenente i risultati economici Mij, espressi in termini di utilità (o, più semplicemente, profitto) corrispondenti al realizzarsi dello stato di natura sj avendo in precedenza optato per la decisione di. Supponiamo ora di essere in grado di attribuire delle probabilità riguardo alla realizzazione dei diversi scenari (Pj = probabilità di realizzazione di sj): s1... sj... sn d1... di Mij dm P1... Pj... Pn Si parla in tal caso di decisioni in condizioni di rischio: esaminiamo ora alcuni tra i più noti criteri di scelta in tali ipotesi. Considereremo come esempio la tabella seguente: s1 s2 s3 d d d P Criterio della massima verosimiglianza Si opta per l alternativa che fornisce il payoff massimo in corrispondenza dello scenario con più elevata probabilità di realizzazione.

23 23 Nell esempio, lo scenario con più alta probabilità di realizzazione è s2 (probabilità 0.6): optiamo per d1 che fornisce utilità 9. Più in generale: a) calcoliamo per quale scenario j* si ha P j* = max P j j b) si opta per la decisione d i* tale che M i*j* = max M ij* i 3.2 Criterio del valore atteso (o dell utilità attesa) Si opta per l alternativa che fornisce il massimo valore atteso delle utilità (massima utilità attesa). L utilità attesa della decisione di è definita da: n E(di) = j= 1 Mij Pj La scelta cade dunque sulla decisione d i* tale che Nell esempio si ottiene: E(d1) = = 6.3 E(d2) = = 7.3 E(d3) = = 7.7 E(di*) = max E(di). i La scelta cade allora su d3, mentre d1 è la decisione peggiore (mentre con il criterio della massima verosimiglianza era la scelta migliore). Si può notare che nel caso in cui gli scenari fossero equiprobabili il criterio del valore atteso fornisce esattamente le stesse indicazioni del criterio della media aritmetica (criterio di Laplace) visto in precedenza. 3.3 Criterio della probabilità di rovina È data una soglia di utilità K al di sotto della quale il decisore è da ritenersi in rovina. La probabilità di rovina relativa alla decisione di è data dalla somma delle probabilità relative a tutte gli scenari sj per i quali si ha Mij K: P di rovina(di) = Pj Mij α Il criterio della probabilità di rovina indica come scelta per cui optare quella cui corrisponde probabilità di rovina minore P di rovina(di*) = Nell esempio, fissata la soglia K=7, si ottiene: min P di rovina(di) i

24 24 P di rovina (d1) = = 0.4 P di rovina (d2) = = 0.9 P di rovina (d3) = 0.1 La decisione da prendersi è ancora d Criterio della probabilità di fare fortuna Fissata una soglia di utilità H al di sopra o in corrispondenza della quale facciamo fortuna. Definita la probabilità di fare fortuna relativa alla decisione di: P di fortuna(di) = Pj Mij H viene scelta la decisione d i * per la quale è massima la probabilità di far fortuna: P di fortuna(di*) = Nell esempio, fissata la soglia H=10, si ottiene: P di fortuna (d1) = 0 P di fortuna (d2) = 0.1 P di fortuna (d3) = 0 max P di fortuna(di) i La scelta cade allora su d2, che, con gli altri criteri, non era mai apparsa opportuna. 3.5 Alcune osservazioni sul valore atteso. Consideriamo la tabella seguente s1 s2 d d P I valori attesi delle due decisioni sono E(d1) = 45 E(d2) = 50

25 25 La differenza tra le due utilità attese non è grande; la variabilità delle utilità è invece molto più marcata, bassa con d1, con variazione 50 40=10, alta con d2, con variazione 90 10=80. Altro esempio: s1 s2 d d P Ora si ha E(d1) = E(d2) = 45: nel caso fossimo avversi al rischio, sarebbe opportuno scegliere d1. Consideriamo ora: s1 s2 d d P p 1-p Si ottiene: E(d1) = 1000, E(d2) = 1001 p + 0 (1 p). Utilizzando il criterio del valore atteso, la scelta cade su d2 quando 1001 p > 1000, ovvero con p > 1000/ Il criterio di massima verosimiglianza, al contrario, suggerisce di optare per d2, quando p>1 p. Dunque, è sufficiente p = 0.501(vs p del primo criterio), perché si scelga d2!

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

Teoria delle Decisioni. Lezioni 1 e 2 a.a. 2006 2007. J. Mortera, Università Roma Tre mortera@uniroma3.it

Teoria delle Decisioni. Lezioni 1 e 2 a.a. 2006 2007. J. Mortera, Università Roma Tre mortera@uniroma3.it Teoria delle Decisioni Lezioni 1 e 2 a.a. 2006 2007 J. Mortera, Università Roma Tre mortera@uniroma3.it Decisioni in Condizioni di Incertezza Sia singoli individui che gruppi di individui (società, governi,

Dettagli

Analisi Decisionale. (Decision Analysis) Caratteristiche:

Analisi Decisionale. (Decision Analysis) Caratteristiche: Analisi Decisionale 1 Analisi Decisionale (Decision Analysis) Metodologia che si applica quando un decisore può scegliere tra varie azioni future il cui esito dipende da fattori esterni che non possono

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone

Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Rispetto ai problemi in condizioni di ignoranza, oltre all insieme Ω dei possibili scenari, è nota una funzione di

Dettagli

La teoria dell utilità attesa

La teoria dell utilità attesa La teoria dell utilità attesa 1 La teoria dell utilità attesa In un contesto di certezza esiste un legame biunivoco tra azioni e conseguenze: ad ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza, e viceversa.

Dettagli

Distribuzioni discrete

Distribuzioni discrete Distribuzioni discrete Esercitazione 4 novembre 003 Distribuzione binomiale Si fa un esperimento (o prova): può manifestarsi un certo evento A con probabilità p oppure no (con probabilità q = p). La distribuzione

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

TEORIA DELLE DECISIONI. DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it

TEORIA DELLE DECISIONI. DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it TEORIA DELLE DECISIONI DOCENTE: JULIA MORTERA mortera@uniroma3.it 1 Decisioni in Condizioni di Incertezza Sia singoli individui che gruppi di individui (società, governi, aziende, sindacati ecc. si trovano

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA IL CALCOLO DELLE PROBABILITA 0. Origini Il concetto di probabilità sembra che fosse del tutto ignoto agli antichi malgrado si sia voluto trovare qualche cenno di ragionamento in cui esso è implicitamente

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Riepilogo: Postulati del calcolo della probabilità (Kolmogorov): Dato un evento A Ω, dove è lo spazio degli

Dettagli

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi ROILITÀ TOTLE TEOREM DI YES LERI E GRFI GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS - 2007 Lezione 3

Dettagli

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Modello probabilistico di un esperimento aleatorio Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek 1 Un esperimento è il processo attraverso il quale un osservazione

Dettagli

GLI INIZI 3 I GLI EVENTI 7 I.1 Incertezza e probabilità 7 I.2 Lo spazio degli eventi 9 I.3 L evento 10 I.4 Algebra degli eventi 11 II I VARI APPROCCI

GLI INIZI 3 I GLI EVENTI 7 I.1 Incertezza e probabilità 7 I.2 Lo spazio degli eventi 9 I.3 L evento 10 I.4 Algebra degli eventi 11 II I VARI APPROCCI GLI INIZI 3 I GLI EVENTI 7 I.1 Incertezza e probabilità 7 I.2 Lo spazio degli eventi 9 I.3 L evento 10 I.4 Algebra degli eventi 11 II I VARI APPROCCI ALLA PROBABILITÀ 17 II.1 Probabilità in senso classico

Dettagli

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 7 - Pag. 1. Capitolo 7. Probabilità, verosimiglianze e teorema di Bayes.

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 7 - Pag. 1. Capitolo 7. Probabilità, verosimiglianze e teorema di Bayes. Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 7 - Pag. 1 Capitolo 7. Probabilità, verosimiglianze e teorema di Bayes. Probabilità, verosimiglianza e teorema di Bayes Se A e B sono

Dettagli

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini 1 Elementi di calcolo delle probabilitá, teorema di Bayes e applicazioni 1.1 Definizione di probabilitá

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità à 1. Introduzione Calcolo delle Probabilità Il Calcolo delle Probabilità nasce dagli studi matematici sui giochi d azzardo. Il Calcolo delle Probabilità è lo strumento che permette all uomo di assumere

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ 1. Che cos è la probabilità? «La teoria delle probabilità non è altro che il tentativo del genere umano di comprendere l incertezza dell universo,

Dettagli

Teoria dei Giochi non Cooperativi

Teoria dei Giochi non Cooperativi Politecnico di Milano Descrizione del gioco Egoismo Razionalità 1 L insieme dei giocatori 2 La situazione iniziale 3 Le sue possibili evoluzioni 4 I suoi esiti finali I Giochi della teoria Perché studiare

Dettagli

Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza

Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza 23.1: Introduzione In questo capitolo studiamo la scelta ottima del consumatore in condizioni di incertezza, vale a dire in situazioni tali che il consumatore

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

Vincere a testa o croce

Vincere a testa o croce Vincere a testa o croce Liceo B. Russell - Cles (TN) Classe 3D Insegnante di riferimento: Claretta Carrara Ricercatrice: Ester Dalvit Partecipanti: Alessio, Christian, Carlo, Daniele, Elena, Filippo, Ilaria,

Dettagli

Decisioni in condizioni di incertezza

Decisioni in condizioni di incertezza Decisioni in condizioni di incertezza Paolo Arcaini Roberto Cordone Programmazione in condizioni di incertezza La programmazione in condizioni di incertezza affronta problemi di decisione nei quali occorre

Dettagli

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa 2005-2006 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

Incertezza, assicurazioni, deterrenza

Incertezza, assicurazioni, deterrenza Incertezza, assicurazioni, deterrenza (anche questo è adattato da altri pezzi per mancanza di tempo) Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie L esperienza ci insegna che in generale le conseguenze

Dettagli

Laboratorio di dinamiche socio-economiche

Laboratorio di dinamiche socio-economiche Dipartimento di Matematica Università di Ferrara giacomo.albi@unife.it www.giacomoalbi.com 21 febbraio 2012 Seconda parte: Econofisica La probabilità e la statistica come strumento di analisi. Apparenti

Dettagli

Richiami di microeconomia

Richiami di microeconomia Capitolo 5 Richiami di microeconomia 5. Le preferenze e l utilità Nell analisi microeconomica si può decidere di descrivere ogni soggetto attraverso una funzione di utilità oppure attraverso le sue preferenze.

Dettagli

Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015

Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015 Università di Milano Bicocca Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza 14 Maggio 2015 Esercizio 1 Un agente presenta una funzione di utilitá u(x) = ln(1 + 6x). Egli dispone di un progetto incerto che

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo

Dettagli

Appunti: elementi di Probabilità

Appunti: elementi di Probabilità Università di Udine, Facoltà di Scienze della Formazione Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Multimediali Corso di Matematica e Statistica (Giorgio T. Bagni) Appunti: elementi di Probabilità. LA PROBABILITÀ..

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Cosa intendiamo, esattamente, quando parliamo di funzione reale di due variabili reali? Quando esiste una relazione fra tre variabili reali

Dettagli

Probabilità. Esperimento, risultati e spazio campionario

Probabilità. Esperimento, risultati e spazio campionario Probabilità La probabilità è usata nel linguaggio comune per dare indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi: i) probabilità di incorre in un data patologia causa l abuso di alcol, fumo,

Dettagli

MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA

MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA R. MANFREDI - E. FABBRI - C. GRASSI TRIENNIO licei scientifici MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio della scuola secondaria di secondo grado L CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E ELEMENTI DI STATISTICA

Dettagli

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Università degli Studi di Genova Scuola di Scienze Sociali Dipartimento di Economia Perché il banco vince sempre? Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Enrico di Bella (edibella@economia.unige.it)

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Appunti di Probabilità

Appunti di Probabilità Appunti di Probabilità Bruno Betrò CNR-IMATI, Sezione di Milano bruno.betro@mi.imati.cnr.it www.mi.imati.cnr.it/ bruno Testi di riferimento: Dall Aglio G., Calcolo delle Probabilità, Zanichelli Scozzafava

Dettagli

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge

Dettagli

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo docente Giuseppe Sanfilippo http://www.unipa.it/sanfilippo giuseppe.sanfilippo@unipa.it

Dettagli

Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano

Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano L argomento... Errori cognitivi Il problema gnoseologico Dati, informazione

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il problema di Monty Hill nel film 21 Elementare!! Statistiche, cambio di variabili. 1 Il coefficiente di correlazione tra Indicee Stipendio vale 0,94. E possibile asserire che

Dettagli

Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso

Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema di ottimizzazione vincolata è definito dalla massimizzazione

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

Tasso di interesse e capitalizzazione

Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

Vincere a testa o croce

Vincere a testa o croce Vincere a testa o croce Liceo Scientifico Pascal Merano (BZ) Classe 2 Liceo Scientifico Tecnologico Insegnante di riferimento: Maria Elena Zecchinato Ricercatrice: Ester Dalvit Partecipanti: Jacopo Bottonelli,

Dettagli

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo

Dettagli

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI IL CONCETTO DI VARIABILE CASUALE Associare una misura di probabilità al verificarsi di un certo evento (come esito di un esperimento) non sempre è sufficiente a risolvere gran parte dei problemi reali

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

COEFFICIENTI BINOMIALI

COEFFICIENTI BINOMIALI COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente

Dettagli

Giudizio, decisione e violazione degli assiomi di razionalità

Giudizio, decisione e violazione degli assiomi di razionalità - DPSS - Università degli Studi di Padova http://decision.psy.unipd.it/ Giudizio, decisione e violazione degli assiomi di razionalità Corso di Psicologia del Rischio e della Decisione Facoltà di Scienze

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Problemi di Programmazione Lineare Intera

Problemi di Programmazione Lineare Intera Capitolo 4 Problemi di Programmazione Lineare Intera La Programmazione Lineare Intera (PLI) tratta il problema della massimizzazione (minimizzazione) di una funzione di più variabili, soggetta a vincoli

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

Marco Di Marzio. Primi elementi di inferenza statistica

Marco Di Marzio. Primi elementi di inferenza statistica Marco Di Marzio Primi elementi di inferenza statistica Ringraziamenti Un sentito ringraziamento a Fabiola Del Greco e Agnese Panzera per la preziosa collaborazione. Indice Probabilità. Esperimenti casuali...........................................2

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

LE REGOLE GENERALI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA : COME SI DIMOSTRANO CON I TRE ASSIOMI DELLA PROBABILITA?

LE REGOLE GENERALI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA : COME SI DIMOSTRANO CON I TRE ASSIOMI DELLA PROBABILITA? INDICE (lezione17.04.07 LE REGOLE GENERALI DI CALCOLO DELLE PROBABILIA : COME SI DIMOSRANO CON I RE ASSIOMI DELLA PROBABILIA?.1 Raccordo con le regole di calcolo delle probabilità già viste nelle lezioni

Dettagli

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità CAPITOLO 12 Calcolo delle Probabilità 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità Una storia d amore Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi. Lui è innamorato perso. Anche lei ama lui, ma, ultimamente,

Dettagli

Giochi e decisioni strategiche

Giochi e decisioni strategiche Teoria dei Giochi Giochi e decisioni strategiche Strategie dominanti L equilibrio di Nash rivisitato Giochi ripetuti Giochi sequenziali Minacce impegni e credibilità Deterrenza all entrata 1 Giochi e decisioni

Dettagli

LA PROVA STATISTICA NEL PROCESSO PENALE

LA PROVA STATISTICA NEL PROCESSO PENALE Benito V. Frosini Università Cattolica del Sacro Cuore LA PROVA STATISTICA NEL PROCESSO PENALE Roma, 26 gennaio 2013 1. Processo civile e processo penale 1.1. Riguardo alla valutazione delle prove statistiche,

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Economia Pubblica Rischio e Incertezza

Economia Pubblica Rischio e Incertezza Economia Pubblica Rischio e Incertezza Giuseppe De Feo Università degli Studi di Pavia email: giuseppe.defeo@unipv.it Secondo Semestre 2011-12 Seconda parte del corso di Economia Pubblica I problemi dell

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

Scelte Rischiose (cap. 23 Hey)

Scelte Rischiose (cap. 23 Hey) Scelte Rischiose (cap. 23 Hey) Solito preambolo: In Economia le scelte/decisioni vengono distinte in: 1. decisioni in situazioni di certezza 2. decisioni in situazioni di rischio 3. decisioni in situazioni

Dettagli

La probabilità nella vita quotidiana

La probabilità nella vita quotidiana La probabilità nella vita quotidiana Introduzione elementare ai modelli probabilistici Bruno Betrò bruno.betro@mi.imati.cnr.it CNR - IMATI San Pellegrino, 6/9/2011 p. 1/31 La probabilità fa parte della

Dettagli

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010 LEZIONE 3 "Educare significa aiutare l'animo dell'uomo ad entrare nella totalità della realtà. Non si può però educare se non rivolgendosi alla libertà, la quale definisce il singolo, l'io. Quando uno

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520:

= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520: Fig. 10.bis.1 Variazioni percentuali Variazione percentuale di x dalla data zero alla data uno: x1 x 0 %x = 100% x 0 = variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del

Dettagli

Un investimento è un operazione che dà luogo a costi immediati in vista di ricavi attesi.

Un investimento è un operazione che dà luogo a costi immediati in vista di ricavi attesi. Scelta di un progetto di investimento Un investimento è un operazione che dà luogo a costi immediati in vista di ricavi attesi. La sua utilità economica è valutata sulla base del confronto tra le risorse

Dettagli

Convertitori numerici in Excel

Convertitori numerici in Excel ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE G. M. ANGIOY CARBONIA Convertitori numerici in Excel Prof. G. Ciaschetti Come attività di laboratorio, vogliamo realizzare dei convertitori numerici con Microsoft Excel

Dettagli

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010 elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre

Dettagli

COORDINAMENTO E GESTIONE DI PROGETTI COMPLESSI

COORDINAMENTO E GESTIONE DI PROGETTI COMPLESSI COORDINAMENTO E GESTIONE DI PROGETTI COMPLESSI 1. - Formulazione del problema Supponiamo di dover organizzare e gestire un progetto complesso, quale puó essere la costruzione di un edificio, oppure la

Dettagli

Dispense di Filosofia del Linguaggio

Dispense di Filosofia del Linguaggio Dispense di Filosofia del Linguaggio Vittorio Morato II settimana Gottlob Frege (1848 1925), un matematico e filosofo tedesco, è unanimemente considerato come il padre della filosofia del linguaggio contemporanea.

Dettagli

Matematica finanziaria: svolgimento della prova di esame del 4 settembre 2007 1

Matematica finanziaria: svolgimento della prova di esame del 4 settembre 2007 1 Matematica finanziaria: svolgimento della prova di esame del 4 settembre. Calcolare il montante che si ottiene dopo anni con un investimento di e in regime nominale al tasso annuale del % pagabile due

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni

Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel

Dettagli

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno Esercitazione del 18/1/2005 Dott. Claudio Conversano Esercizio 1 (non svolto in aula) Vengono lanciati

Dettagli