CARLO SI L L I (*) Alcune osservazioni sul teorema delle forze vive nei continui bidimensionali. Una rettifica (**)

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1 R i v. M a t. U n i v. P a r m a ( 6 ) 2 ( ), CARLO SI L L I (*) Alcune oervazioni ul teorema elle forze vive nei continui biimenionali. Una rettifica (**) - Introuzione C. Silli in un uo lavoro [] ( ) in collaborazione con P. Cariolli eamina il teorema elle forze vive in un continuo biimenionale in cui nella confiurazione attuale ci ia un fronte i icontinuità per alcune ranezze caratteritiche el fenomeno in eame, teorema che in enerale non è valio nella ua epreione claica quano iamo in preenza i icontinuità [2]. Nella reazione i queto lavoro li Autori nel pararafo 3 ono cauti in un errore materiale, errore che moifica olo parzialmente i riultati ottenuti nello teo pararafo 3 e nel lavoro, pararafo queto che riportiamo al punto 2 nella forma rettificata. 2 - Il cao ella uperficie materiale con truttura a) Sia ora S un continuo biimenionale, cioè una uperficie materiale in enerale non perfettamente fleibile e anche otata i truttura, in cui lo forzo interno è iniviuato in oni uo punto a ue forzi t e t 2 e a ue momenti M e M 2, vettori tutti queti non neceariamente ituati nel piano tanente, oetto oltre che a forze anche a momenti eterni itribuiti e tale che oni elemento 9 oltre che i una velocità i tralazione v ia otato i una velocità i rotazione v. (*) Dipartimento i Matematica ell Univerità i Pia, Italy. (**) Ricevuto il 5 Marzo 999. Claificazione AMS 73 D 20. Lavoro eeuito nell ambito ei foni i Ateneo. ( ) I numeri in parentei quara i rifericono alla bibliorafia pota al termine ella nota.

2 50 CARLO SILLI [2] Siano ora, urante il moto, continue tutte le ranezze el fenomeno in eame. La prima equazione carinale per una enerica ottouperfice ella confiurazione attuale t el continuo biimenionale S in eame i contorno è: (2.) rv 4rf t, t con r enità uperficiale, f forza pecifica i maa e con t forzo che t 2 eercita u attravero il contorno. Si ha poi per la econa equazione carinale empre per t, riferita a un centro i riuzione O fio: (2.2) r](p2o)rv 2 v( 4r(P2O)Rf t (Q2O)Rt rm M, ove P è il enerico punto i, Q il enerico punto i, il iratore inerzia ell elemento i uperficie 9 i S in t ripetto alla parallela a v per 9 teo, rm il momento pecifico eterno itribuito, M il momento interno e ove nel momento ella quantità i moto è tato aiunto il termine polare. Per il lemma i Cauchy per uperficie materiali non neceariamente piane [3], che è t n 4 T A n, e per il teorema ella iverenza empre per quete uperficie [4] i ha: t n 4iv T A, con T A empre tenore eli forzi t e t 2 nella uperficie in eame. Dalla preceente (2.) i ha quini per l equazione i moto: (2.)8 ra4rfiv T A, ove è per la iverenza in queto cao unica: a T iv T A 4 x T b. a ˆ T a / ba ab. ˆ h P / ba x, con a, b, 4, 2, 3; (x, x 2 ) itema i coorinate curvilinee tracciate ulla confiurazione attuale t i S, x 3 terza coorinata curvilinea ortoonale a t, T lm

3 [3] ALCUNE OSSERVAZIONI SUL TEOREMA DELLE FORZE VIVE... 5 componenti calari, T i componenti vettoriali empre controvarianti ripetto a (x, x 2, x 3 ) el tenore paziale T A eli forzi t e t 2 e. l ˆ imboli i Kritoffel i / mn econa pecie. Analoamente per il lemma i Cauchy per i momenti nella uperficie in eame e empre per il teorema ella iverenza i ha: M n 4iv M A, con M A tenore ei momenti M e M 2 nella uperficie in eame. Ancora alla (2.2) e per la (2.)8, nell ipotei che il iratore i 9 non ipena al tempo t (ipotei a eempio verificata nel cao in cui S è inetenibile), i ha la relazione puntuale: (2.2)8 r 2 v. 4rmiv M A 2T i R P x i, ove è analoamente anche per queta iverenza unica: a M iv M A 4 M b. a ˆ M x a / ba ab. ˆ h P / ba x, con M lm componenti calari controvarianti ripetto a (x, x 2, x 3 ) el tenore paziale M A ei momenti. Dall equazione i moto, moltiplicano calarmente per v, interano u e teneno conto ella relazione [5]: iv (A A v) 4vQiv A A T tr (A A ra v), con A tenore oppio e v vettore entrambi in S 3, i ha per la porzione i contorno el continuo biimenionale S nella confiurazione attuale t la relazione: t rv 4 2 rfqv nqt T 2 A v 2tr (T T A ra v). Dalla (2.2)8, con raionamento el tutto imile a quello euito per ottenere all equazione i moto (2.)8 la preceente, i ha ora per la porzione i contorno

4 52 CARLO SILLI [4] i S in t l ulteriore relazione: r 2 v 4 2 rmqv t 2 nqm T A v 2tr (M T A ra v) 2 T i R P x i Qv. Sommano membro a membro quet ultima con la preceente i ha: t r(v 2 2 v )4 2 rfqv 2 nqt T A v2tr (T T A ra v) 2 T i R P x i Qv rmqvnqm T A v2tr (M T A ra v), che è il teorema elle forze vive nel cao el continuo S biimenionale in eame nell ipotei ella continuità i tutte le ranezze caratteritiche e ove l eneria cinetica T e il momento ella quantità i moto K, per la porzione i S in t, ono ate a: (2.3) T4 r(v 2 2 v 2 ), 2 K4r](P2O)Rv 2 v(. b) Nelle tee ipotei i cui al preceente punto a) per la uperficie materiale S upponiamo che nella confiurazione attuale t al tempo t vi ia una linea i icontinuità t per alcune ranezze caratteritiche el fenomeno in eame, linea queta che ivie in ue la uperficie t tea, eeno ancora U N la velocità i propaazione ella icontinuità attravero t. a) Dalla prima equazione carinale (2.) i euce, in moo analoo a quanto fatto per la membrana, l equazione i moto el continuo S che è ancora la (2.)8: (2.4) ra4rfiv T A, relazione queta che vale in oni punto P ella confiurazione t che non i trovi ulla linea i icontinuità t. Dalla econa equazione carinale (2.2) ne icen-

5 [5] ALCUNE OSSERVAZIONI SUL TEOREMA DELLE FORZE VIVE e ancora: (2.5) r 2 v. 4rmiv M A 2T i R P, x i valia anche queta come la preceente in tutti i punti P i S in t itinti a t. La (2.4) e la (2.5), eotte ripettivamente alla prima e alla econa equazione carinale ono valie olo in punti ella uperfie t itinti alla linea i icontinuità t poiché le operazioni che i fanno per ottenerle richieano la reolarità e continuità i tutte le ranezze. b) Con il proceimento uato nella prima parte el punto preceente, ma teneno conto che ora c è la linea i icontinuità t, i ha ora alla (2.4) per la ottouperficie t elimitata al contorno e taliata alla linea i icontinuità la relazione: t (2.6) 4 t 2 rfqv nqt T A v 2 rv 2 t r 0 2J 8 [v 2 ] U N tr (T A T ra v) 2 t [nqt A T v]. Dalla (2.5), moltiplicano calarmente per v, interano ulla ottouperficie i cui opra e teneno conto anche quì ella icontinuità attravero t, i ha con proceimento analoo a quello euito nella econa parte el punto preceente l uualianza: (2.7) 4 r r 2 v 2 0 t 2 t 2J 8 [ 2 v 2 ] U N rmqv nqm T A v 2tr (M T A ra v)2t i R P Qv2 [nqm T x i A v)]. t Sommano membro a membro le preceenti (2.6) e (2.7) i ha: 4 r r(v 2 2 v ) 2 0 t 2 t 2J8 [v2 2 v 2 ]U N rfqvnqt T A v2tr (T T A ra v) 2 rmqvnqm T A v2 T i R P x i Qv tr (M A T ra v) 2 t [nq(t A T vm A T v) ],

6 54 CARLO SILLI [6] relazione queta che ci à il teorema elle forze vive per la porzione ella confiurazione attuale t el continuo biimenionale S con truttura in eame quano queta porzione è taliata a una linea i icontinuità eeno ancora l eneria cinetica T e il momento ella quantità i moto K ati alle (2.3). Riulta anche quì che in preenza i una linea i icontinuità il teorema elle forze vive non vale più nella ua forma claica. Poiché anche quì le conierazioni ora fatte valono per una qualiai ottouperficie t i, che ia taliata al fronte ona t, i ha che la conizione affinché anche in queto cao ella icontinuità il teorema elle forze vive abbia l epreione claica è che riulti: (2.8) r 0 2J 8 [v 2 2 v 2 ] U N [nq (T A T vm A T v) ] 40. ) Si ha ora per il primo principio ella termoinamica per la porzione el continuo S nella confiurazione attuale t : t r(v 2 2 v 2 2e) 4hqQn 2 rfqvvqt A nrmqvvqm A n, col olito e noto inificato ei imboli. Sempre nell ipotei che la porzione ella confiurazione attuale t ia taliata alla linea i icontinuità t i ha col proceimento uato più volte alla preceente la relazione i icontinuità: r 0 [e] U N r 0 2 [v 2 2 v 2 ] U N [vqt A nvqm A n] J 8[qQn] J840, con J 84 G ove è un arco elementare i t e G il uo corriponente nella confiurazione i riferimento S. Relazione queta a cui per confronto con la (2.8) non i può eurre, a ifferenza i quanto avveniva in una membrana, una relazione che implichi le ole ranezze termiche e che ia conizione caratteritica per la valiità el teorema elle forze vive nella forma claica quano iamo in preenza i un fronte i icontinuità.

7 [7] ALCUNE OSSERVAZIONI SUL TEOREMA DELLE FORZE VIVE Bibliorafia [] C. SILLI e P. CARGIOLLI, Alcune oervazioni ul teorema elle forze vive nei continui biimenionali, Riv. Mat. Univ. Parma (5) 2 (993), [2] T. MANACORDA, Qualche oervazione ulle equazioni i bilancio ei continui in preenza i un ona urto, Nota Interna It. Mat. Appl. Fac. In. Univ. Pia (983). [3] P. M. NAGHDI, The Theory of Shell an Plate, S. Flue, Encyclopeia of Phyic 6a/2, C. Trueell, Mechanic of Soli 2, Spriner, Berlin 972. [4] A. E. GREEN an W. ZERNA, Theoretical elaticity, Clarenon Pre, Oxfor 968. [5] M. E. GURTIN, The linear theory of elaticity, S. Flue, Encyclopeia of Phyic 6a/2, C. Trueell, Mechanic of Soli 2, Spriner, Berlin 972. A b t r a c t In the preent paper the author correct an error in the interan of a curvilinear interal ue in an earlier paper an euce it conequence. The error appeare in an earlier paper entitle Alcune oervazioni ul teorema elle forze vive nei continui biimenionali, of the author in collaboration with P. Cariolli, pubblihe in the ame Journal of the year 993. * * *