APPUNTI DI FISICA MATEMATICA A.A. 2014/15

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1 APPUNTI DI FISICA MATEMATICA A.A. 214/15 PARTE PRIMA: SISTEMI MECCANICI I Introuzione e richiami i cinematica In questa prima parte el corso si applicano metoi matematici rigorosi nell ambito i moelli che escrivono fenomeni i movimento basanosi sulle leggi fonamentali ella Meccanica Classica (leggi i Newton). Lo scopo che ci si prefigge sviluppano le teorie matematiche nello stuio i tali moelli e uplice: a una parte l utilizzazione i efinizioni esatte e i proposizioni matematiche permette una comprensione piu profona ei fenomeni naturali stuiati, all altra, l uso ei metoi matematici permette i portare a termine lo schema preittivo ella meccanica e cioe : ate le cause el moto (forze) e lo stato iniziale el sistema meccanico (posizione e velocita ), preveerne l evoluzione futura. Costruiamo il moello piu semplice che si utilizza nello stuio i fenomeni i movimento che e il moello i punto materiale cioe uno schema limite in cui un corpo viene assimilato a un punto geometrico a cui e associato uno scalare positivo m etto massa el punto. Abbiamo bisogno i efinire il tempo e lo spazio in cui il punto si muove. 1. Tempo: continuo uniimensionale omogeneo, t 2 R. Le trasformazioni ammesse sono el tipo t = at + b con a, b costanti (cambiamento i unita i misura e ell origine ei tempi). 2. Spazio: continuo triimensionale otato i una struttura matematica che e quella i spazio vettoriale euclieo. A ogni coppia i punti P, Q e associato il vettore x = P Q tale che: e efinita la somma i ue vettori x + y che goe elle seguenti proprieta : x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + z, esiste l elemento neutro : x + = x e esiste l opposto x tale che x + ( x) =. Inoltre comunque siano ati a, b 2 R e efinito nello spazio il vettore ax tale che a(bx) = (ab)x, 1x = x (a + b)x = ax + bx, a(x + y) = ax + ay. R 3, l insieme elle terne orinate (x 1, x 2, x 3 ) i numeri reali e uno spazio vettoriale: si efinisce la somma i ue vettori come x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) 2 R 3 e la moltiplicazione i un vettore per uno scalare come ax = (ax 1, ax 2, ax 3 ) 2 R 3 Nello spazio vogliamo poter misurare la istanza tra ue punti e quini efinire una norma (lunghezza i un vettore). Per fare cio efiniamo il prootto scalare tra ue vettori: x y : R 3 R 3! R e un numero reale tale che x y = y x, (x + y) z = x z + y z, ax y = a(x y) = x ay, x x, = () x =, 8 x, y, z 2 R 3, a 2 R. Uno spazio vettoriale otato el prootto scalare sopra efinito si chiama spazio vettoriale euclieo. L introuzione el prootto scalare permette i calcolare la norma (lunghezza el vettore x) ata a x = p x x, x : R 3! R + e l angolo tra ue vettori x e y cos = x y x y

2 ben efinito (cioe cos apple 1) per la isuguaglianza i Cauchy Bouniakowsky Se x y = ne segue = /2 cioe x e y sono ortogonali. ( x y apple x y ). Esercizio: verificare che la norma eucliea x = p x x soisfa le proprieta seguenti: x, = () x =, ax = a x, a 2 R, x + y apple x + y, x, y 2 R 3 Comunque ati tre vettori fra loro ortogonali in R 3, essi sono anche linearmente inipenenti cioe formano una base: inichiamo i versori i tale base con i, j, k ( i j = j k = k i =, i i = j j = k k = 1). Consieriamo nello spazio vettoriale euclieo R 3 un riferimento cartesiano ortogonale costituito a un origine O e una base (i, j, k). Ne segue che il vettore OP = x si puo scrivere nella forma x = x 1 i + x 2 j + x 3 k ove x 1, x 2, x 3 2 R sono le componenti el vettore x rispetto al riferimento (O, i, j, k) ( x 1 = x i, x 2 = x j, x 3 = x k). Ne segue che x = p q x x = x x2 2 + x2 3 e (x, y) = P Q = x y = p (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 ) e la istanza eucliea tra ue punti P (x 1, x 2, x 3 ) e Q(y 1, y 2, y 3 ). Ricoriamo un altra operazione algebrica tra vettori che e il prootto vettoriale. Dati ue vettori x, y 2 R 3, si efinisce prootto vettoriale x^y: R 3 R 3! R 3 l operazione che a x e y associa un vettore z ottenuto come segue: ata la matrice i cui elementi sono i versori i R 3 e le componenti i x e i j k 1 x 1 x 2 x 3 A, y 1 y 2 y 3 z = x ^ y = (x 2 y 3 x 3 y 2 )i + (x 3 y 1 x 1 y 3 )j + (x 1 y 2 x 2 y 1 )k Il prootto vettoriale goe elle seguenti proprieta : x ^ x =, x ^ y = y ^ x, (x ^ y) y = e (x ^ y) x =, cioe il vettore x ^ y e perpenicolare sia a x che a y. Inoltre x ^ (y+z) = x ^ y + x ^ z. Esercizio: imostrare le preceenti proprieta a partire alla efinizione i prootto vettoriale. Capitera i usare questa operazione nella efinizione i varie quantita meccaniche come il momento i una forza o il momento ella quantita i moto. 3. Nel caso ello spazio il cambiamento i coorinate e piu generale i quello temporale. Consieriamo ue terne cartesiane ortogonali T (O, i, j, k) e T (O, i, j, k ). Siano x 1, x 2, x 3 le componenti el vettore OP (che inicheremo con il vettore colonna X) rispetto a T e x 1, x 2, x 3 le componenti el vettore O P (che inicheremo con X ) rispetto a T. Siano y 1, y 2, y 3 le componenti el vettore OO rispetto a T. Si ha X = AX + Y (1) A e una matrice 3 3 i cui elementi sono i coseni irettori egli assi (i, j, k ) rispetto agli assi (i, j, k) e Y e il vettore colonna i cui elementi sono y 1, y 2, y 3. La trasformazione i coorinate (1) e una trasformazione ortogonale: la conizione i ortogonalita si esprime con la relazione A T = A 1.

3 Esercizio: imostrare la (1) proiettano OP = OO + O P = y 1 i + y 2 j + y 3 k + x 1i + x 2j + x 3k sui tre assi i versori (i, j, k). Scrivere la matrice A e imostrare che l ortogonalita ella trasformazione implica le sei relazioni tra i nove coe cienti a i,j ella matrice: i a i,j a i,k = j,k. Dimostrare inoltre che nel caso i una trasformazione ortogonale nel piano le preceenti relazioni si riucono a tre. Esercizio: ate le ue terne cartesiane ortogonali T (O, i, j, k) e T (O, i, j, k ), ove i = p p i + 2 j, j = p p i + 2 j, k = k calcolare le componenti ei vettori u = i + j, v = 2k rispetto alla terna T e scrivere la matrice A ella trasformazione i coorinate. Verificare la conizione i ortogonalita. 4. Definiamo linea el moto o traiettoria la funzione vettoriale i classe C 2 x(t) : R! R 3 che a ogni t associa x(t) 2 R 3 e orbita la curva luogo i punti occupati al punto mobile in R 3. A esempio x = rcos!t, y = rsen!t, z = sono le equazioni cartesiane ella traiettoria (elica cilinrica) percorsa al punto in R R 2, mentre l orbita e la circonferenza el piano. x 2 + y 2 = r 2 5. Si efinisce velocita el punto il vettore v = 2 x(t) e accelerazione a = x(t). La erivata i una 2 funzione vettoriale si efinisce in un moo simile a quella i erivata i una funzione scalare x(t) x = lim t! t, x = x(t + t) x(t), x(t) = x 1(t) i + x 2(t) j + x 3(t) k Osservazioni: (x(t)+y(t)) = x(t)+ y(t), f (f(t)x(t)) = x(t)+f(t) x(t), x y (x(t) y(t)) = y(t)+x(t) Per costruire il moello i punto materiale ovremo are il concetto i forza e i postulati che sono alla base ella meccanica classica ( leggi i Newton ), (vei libro i testo). Prima i a rontare il problema i preire il moto, abbiamo bisogno i strumenti matematici per escriverlo (cinematica). Richiami i cinematica el punto: proprieta i erenziali i una curva, moti piani, moti centrali, moti circolari, moti armonici. (Vei libro i testo pag , ) Esercizio 1: ata la curva i equazioni parametriche (spirale i Archimee ) x = cos, y = sen, z =, 2 [, 1) eterminare il versore tangente, il raggio i curvatura e il versore ella normale principale. Esercizio 2: ata la curva i equazioni parametriche (spirale logaritmica ) x = Re cos, y = Re sen, z =, 2 [, 1) eterminare il versore tangente, il raggio i curvatura e il versore ella normale principale.

4 Esercizio 3: Data la curva i equazioni parametriche ( parabola) x =, y = 2, z =, 2 ( 1, 1) eterminare il versore tangente, il raggio i curvatura e il versore ella normale principale. Verificare che il raggio i curvatura e minimo in corrisponenza i =, ( vertice ella parabola). Esercizio 4: un punto P si muove con accelerazione a =! 2 R u, esseno u = versop il versore raiale e R costante positiva. Determinare l orbita e la traiettoria sapeno che le conizioni iniziali sono x() = x, y() = z() =, ẋ() = ẋ, ẏ() = ż() = Esercizio 5: un punto P si muove nel piano (O, x, y) e il suo moto e rappresentato alle equazioni cartesiane x = ae kt, y = ae kt, a, k > Determinare l orbita, calcolare la norma el vettore velocita e accelerazione, ire se il moto e centrale rispetto a O e calcolare la velocita areolare, calcolare in funzione el tempo le componenti tangenziale e normale ella accelerazione e il raggio i curvatura ( si supponga a = 1). Esercizio 6: un punto si muove con accelerazione raiale a = k p u con k costante positiva e conizioni iniziali x() = (l,, ), ẋ() = (a,, b). Dimostrare che il punto si muove su un piano fisso, eterminare l equazione el piano e calcolare la velocita areolare. Moto i una terna rispetto a un altra. Questo stuio si applichera, come veremo in seguito, alla cinematica ei sistemi rigii. Supponiamo che la terna T si muova rispetto alla terna T. Sia P un punto fisso in T. Stuiamo il moto ella terna T stuiano come sono istribuite le velocita ei punti soliali (fissi) a T. Per fare questo eriviamo rispetto al tempo la formula (1), teneno presente che gli elementi ella matrice A ipenono al tempo, cosi come le coorinate i P e O rispetto a T. Ẋ ẋ1 ẋ 2 ẋ 3 1 A = ȦX + Ẏ = ȦA 1 (X Y ) + Ẏ = (X Y ) + Ẏ (2) ove abbiamo usato la formula (1) nel 2 passaggio e ove abbiamo posto = ȦA 1 = ȦAT. La matrice e antisimmetrica. Per imostrarlo basta far veere che + T =, cioe ȦA T + (ȦAT ) T = ȦAT + (A T ) T Ȧ T = ȦAT + AȦT Abbiamo usato il fatto che (AB) T = B T A T e (A T ) T = A. Ricorano che AT = ( A)T, si ha + T = (AAT ) = (AA 1 ) = I = Ne segue che, etti! ij gli elementi ella matrice, si ha:! 11 =! 22 =! 33 = e! 12 =! 21,! 31 =! 13,! 23 =! 32. L azione i una matrice antisimmetrica su un vettore colonna qualunque, nello spazio euclieo triimensionale orientato, puo essere rappresentata meiante il prootto vettoriale X =! ^ x (3)

5 ove! e un vettore i componenti (! 1,! 2,! 3 ) = (! 32,! 13,! 21 ) e x e il vettore i posizione i componenti (x 1, x 2, x 3 ). Esercizio: imostrare la (3) calcolano il vettore colonna X e le componenti el vettore! ^ x. La formula (2) si puo scrivere Proprieta el vettore!: v P = v +! ^ O P (4) a) Il vettore! e inipenente al sistema i riferimento scelto, cosi come i vettori velocita v P e v O b) Valgono le seguenti formule i Poisson! ^ i = i,! ^ j = j,! ^ k = k c) Se esiste una irezione u soliale alla terna T che resta fissa urante il moto,! e iretto come l asse fisso u. Inoltre ogni punto P soliale a T escrive una circonferenza su un piano perpenicolare a u i centro la proiezione P i P sull asse fisso u e raggio P P. ) Se! = il moto i T rispetto alla terna T e traslatorio. Dimostriamo qualcuna elle proprieta a)...). a), b) (vei libro i testo pag. 117) c) Supponiamio per semplicita che l asse u fisso sia k = k e O = O. Dalla terza formula i Poisson ne segue che k = e! e parallelo a k, cioe! e iretto come l asse fisso. Inoltre, etta P la proiezione i P sull asse z, si ha v P =! ^ O P =!k ^ O P =!k ^ (O P + P P ) =!k ^ P P Cioe ogni punto soliale a T escrive una circonferenza i centro P 2 k su un piano perpenicolare a k con v P tangente alla circonferenza in P. Calcoliamo la granezza i!. Sia l angolo tra i versori i e i, i i = cos. Derivano quest ultima uguaglianza e utilizzano le formule i Poisson, si ha: i (! ^ i ) = sen e per la proprieta el prootto misto tra vettori a (b ^ c) = b (c ^ a) si ha cioe! =.! ksen = sen ) Se! =, ne segue che v P = v O cioe O P = con O e P ue qualunque punti soliali alla terna mobile. Questo vuol ire che il vettore O P e costante in irezione (oltre che in granezza, cosa che gia sappiamo) e il moto e traslatorio. Il vettore! cosi introotto rappresenta il vettore velocita angolare ella terna T rispetto a T. La formula (4) iniviua il moto i T rispetto a T. Le velocita ei punti soliali a T rispetto a T, e quini il moto i T, sono iniviuate a ue vettori cinematici: la velocita i un qualunque punto O soliale a T e la velocita angolare! i T rispetto a T. Ripreniamo la formula (4) v P = v +! ^ O P e stuiamo ei casi particolari. 1. Moto rotatorio i T rispetto a T : esiste una retta soliale a T, che per semplicita abbiamo scelto essere coinciente con l asse k = k, fissa urante il moto etta asse i rotazione.

6 Come abbiamo visto, (proprieta c))! = k ove e l angolo che un semipiano fisso (xz) forma con uno soliale a T (x, z). Proiettano la formula v P = k ^ P P sugli assi i T, si ha ẋ = y, ẏ = x, ż = a cui segue, moltiplicano ambo i membri ella prima equazione per x, la secona per y e sommano, x 2 + y 2 = x 2 + y 2 = R 2 e v P = R con v P tangente alla circonferenza posta sul piano ortogonale a k i centro P e raggio R. 2. Moto con asse invariabile: esiste una retta soliale a T che si mantiene sovrapposta a una retta fissa ( k = k ). Proiettano la formula v P = v O + k ^ P P sugli assi i T, si ha ẋ = y, ẏ = x, ż = ż Ogni punto i T escrive un orbita appartenente a un cilinro circolare i raggio R. La tangente ell angolo che v P forma con k e tg = R ż. Se il tapporto R ż e costante, il moto e etto elicoiale e se, e ż sono costanti, il moto elicoiale e uniforme. 3. Atto i moto rotatorio: un punto soliale (sia O ) a T resta fisso urante il moto. La formula (1) iviene: v P =! ^ O P Il vettore! non e piu costante in irezione e anche l asse i rotazione (asse i istantanea rotazione) varia con il tempo. 3. Atto i moto rototraslatorio: ( vei testo pag.116) 4. Moto piano: la terna T e otata i un moto tale che una sua qualunque sezione parallela a un piano fisso si mantiene urante il moto sovrapposto al piano fisso e le velocita ei punti appartenenti a una retta ortogonale al piano coinciono. Ne segue che tali punti escrivono orbite piane parallele con la stessa legge oraria. Tale moto puo essere completamente escritto al moto i un piano mobile p rispetto al piano fisso. (vei libro i testo pag. 118). Esercizio: una terna T si muove rispetto a T in moo tale che O = O e la matrice A(t) e ata a 1 cos sen A sen cos A 1 eterminare la velocita angolare i T rispetto a T. Di che moto si tratta? ( Si suggerisce i calcolare il vettore = ȦAT e applicare la formula fonamentale ella cinematica ei sistemi rigii)