ESERCITAZIONE Ubicazione di un impianto industriale

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1 Impianti Industriali ESERCITAZIONE Ubicazione di un impianto industriale Prof. Ing. Augusto Bianchini DIN Dipartimento di Ingegneria Industriale Università degli Studi di Bologna Forlì, 16 maggio 2017

2 Si hanno impianti esistenti ubicati nelle posizioni: P 1 30,25 ; P 2 10,25 ; P 3 30,50 ; P (10,50) con cui un nuovo magazzino deve scambiare merce, con i costi per km (c i )e i viaggi al mese (z i ) riportati in tabella: z i (viaggi/mese) c i ( /km) P P P P Determinare l ubicazione ottimale X (x,y) del nuovo magazzino attraverso il criterio di minimizzazione dei costi dei trasporti, considerando i costi di trasporto proporzionali a: a) distanza rettangolare; b) distanza euclidea al quadrato; c) distanza euclidea. 2

3 1. Determinare i pesi dei trasporti: w i = c i z i i = 1,, w 1 w2 w3 w =21000 /(mese km) a) Costi dei trasporti proporzionali a distanza rettangolare P i (a i, b i ) 2. Minimizzare la funzione: f x, y = w i x a i + y b i = φ 1 x + φ 2 y + cost X(x, y ) 3

4 Applicando le condizioni mediane per la determinazione dell ubicazione ottimale, vale: la φ 1 x è minimizzata nella coordinata c t (lungo x) per la quale la somma parziale dei C j supera (o eguaglia) la metà della somma totale dei w i : t c t C j 1 2 w i = j=1 I C j sono dati dalla somma dei pesi di tutti i punti giacenti sulla verticale j-esima, ossia aventi stessa coordinata c j lungo x: C j = σ w i (per i punti con a i = c j ). la φ 2 y è minimizzata nella coordinata d s (lungo y) per la quale la somma parziale dei D i supera (o eguaglia) la metà della somma totale dei w i : t d s D s 1 2 w i = j=1 I D i sono dati dalla somma dei pesi di tutti i punti giacenti sull orizzontale i-esima, ossia aventi stessa coordinata d i lungo y: D i = σ w i (per i punti con b i = d i ).

5 Nell esempio: per le coordinate lungo x : ordinare le coordinate c j lungo x degli impianti già esistenti e calcolare per ciascuna la somma dei pesi C j di tutti i punti giacenti sulla verticale j-esima (quelli con stessa coordinata c j ). Per ciascuna j calcolare la somma parziale σt j=1 C j. j a i =c j w i C j ΣC j (j=1,.., t) P2,P ; = P1, P ; = = per le coordinate lungo y : ordinare le coordinate d i lungo y degli impianti già esistenti e calcolare per ciascuna la somma dei pesi D i di tutti i punti giacenti sull orizzontale i-esima (quelli con stessa coordinata d i ). s Per ciascuna j calcolare la somma parziale σ D i. j b i =d i w i D i ΣD i (j=1,.., s) P1,P ; = P3, P ; = =

6 . Calcolare la metà della somma totale dei pesi: 1 2 w i = mese km 5. Applicare le condizioni mediane per la determinazione dell ubicazione ottimale: x* ottimale: t C j 1 2 j=1 c t = x w i j a i =c j ΣC j (j=1,.., t) P2,P > P1, P x = 10 y* ottimale: t D s 1 2 j=1 w i j b i =d i ΣD i (j=1,.., s) P1,P < P3, P > y = 50 d s = y 6

7 L ubicazione ottimale è: X (10; 50). Il costo dei trasporti corrispondente, ossia il costo minimo è: f x, y = f 10,50 = w i x a i + w i y b i f 10,50 = = /mese 7

8 Trovare i coefficienti angolari e disegnare le curve isocosto. M 0 = w i = mese km N 0 = w i = mese km M 1 = M 0 + 2C 1 = N 1 = N 0 + 2D 1 = M 2 = M 1 + 2C 2 N 2 = N 1 + 2D 2 Il generico coefficiente angolare è dato da: S st = M t N s S 00 = M 0 N 0 = = 1 S 01 = M 1 N 0 S 02, S 10, S 11, S 12, S 20, S 21, S 22 8

9 È possibile tracciare una generica linea isocosto partendo da un punto non lontano dall ubicazione ottimale X(10,50): si assume di partire da A (,50). N 2 N 1 N 0 M 0 M 1 M 2 Nel grafico è riportata anche la linea isocosto a partire dal punto L (0,50). 9

10 b) Costi dei trasporti proporzionali a distanza euclidea al quadrato (gravity problem) P i (a i, b i ) X(x ott, y ott ) 2. Minimizzare la funzione: f x, y = w i (x a i ) 2 + ( y b i ) 2 10

11 L ubicazione ottimale X x ott, y ott baricentriche: si determina attraverso le formule x ott = σ w i a i y ott = σ w i σ w i b i σ w i Nell esempio: x ott = = 16,23 y ott = = 3,03 11

12 Il costo dei trasporti corrispondente, ossia il costo minimo è: f x ott, y ott = f 16,23; 3,03 = w i (16,23 a i ) 2 + ( 0,03 b i ) 2 f 16,23; 3,03 ~ /mese Le curve di isocosto sono circonferenze con centro X(16,23;0,03). 12

13 c) Costi dei trasporti proporzionali a distanza euclidea o rettilinea P i (a i, b i ) X(x (ott), y (ott) ) 2. Minimizzare la funzione: f x, y = w i (x a i ) 2 + y b 2 i 13

14 Si usa la procedura iterativa partendo dal gravity problem e determinando le coordinate da: x (j) = σ g i (x j 1 ; y (j 1) ) a i g i (x j 1 ; y j 1 ) σ y (j) = σ g i (x j 1 ; y (j 1) ) b i g i (x j 1 ; y j 1 ) σ g i x j 1 ; y j 1 = w i x (j 1) a i 2 + y (j 1) b i 2 Si parte dal punto X(16,23;3,03) (gravity problem): x0 16, y0 3, g1 925,532 g2 1100,717 g3 1360,76 g 226,936 x1 18, y1 1,

15 Si continua ad iterare fino a che le due soluzioni successive differiscono di poco tra loro. Nell esempio, alla terza iterazione le coordinate trovate sono: x3 19, y3 38, e differiscono dalle precedenti per un 2% circa. Considerando le coordinate X(19,66;38,80) il costo dei trasporti è: f 19,66; 38,80 = w i (19,66 a i ) ,80 b 2 i = /mese 15

16 Impianti Industriali Prof. Ing. Augusto Bianchini Forlì, 16 maggio 2017 DIN Dipartimento di Ingegneria Industriale Università degli Studi di Bologna