1. Exponential smoothing. Metodi quantitativi per i mercati finanziari. Capitolo 5 Analisi dei prezzi. Consideriamo la media mobile esponenziale

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1 1. Exponential smoothing Consideriamo la media mobile esponenziale Metodi quantitativi per i mercati finanziari XMA t = (1 α)xma t 1 + αp t come previsione del prezzo al tempo T + 1 sulla base dell insieme informativo al tempo T : Capitolo 5 Analisi dei prezzi = XMA T = E(P T +1 I T, ) ˆP T +1 T = (1 α) ˆP T T 1 + αp T Riformuliamo l espressione nel seguente modo ˆP T +1 T = ˆP T T 1 + α(p T ˆP T T 1 ) regola di aggiornamento della previsione (valore previsto al tempo precedente corretto con un termine proporzionale all errore di previsione) Scelta del parametro α Sostituendo all indietro ˆP P 0 condizione iniziale ˆP T T 1, ˆP T 1 T 2, e così via T T +1 T = α (1 α) j P T j j=0 Influenza delle osservazioni lontane da T che decresce esponenzialmente Osservazione: per dato α funzione di previsione costante per k superiore ad uno Esempio per k = 2 ˆP T +2 T = (1 α) ˆP T +1 T + αp T +1 Soluzione del problema di minimizzazione della somma degli scarti al quadrato fra valori osservati e valori previsti nel campione: min α min α T 1 t=1 ( P t+1 T 1 P t+1 α t=1 Esempio per t = 1 ( P 2 ˆP 2 1 (α) ) 2 = (P 2 ˆP t+1 t (α) ) 2 = t (1 α) j P t j j=0 ( )) 2 (1 α) ˆP αp 1 2 ˆP T +2 T = (1 α) ˆP T +1 T + α ˆP T +1 T = ˆP T +1 T con ˆP 1 0 = (1 α) ˆP αp 0 = αp 0 da cui (P 2 αp 1 α(1 α)p 0 ) 2

2 Problema di minimizzazione non lineare in α (condizioni del primo ordione non in forma chiusa) necessario ricorrere a soluzioni numeriche metodo a griglia: Serie storica del titolo Wrigley dal 5 gennaio 1995 al primo ottobre 1997 individuazione all interno dell intervallo di definizione del parametro α (0,1) di una sequenza crescente di valori equispaziati (ad esempio da 0.01 a 0.99 con incrementi di 0.01) in corrispondenza di ciascun valore di α calcolo della funzione da minimizzare scelta di α che rende il valore della funzione più piccolo Exponential smoothing: Funzione obiettivo per vari valori di α Risultato EVIEWS per la stima di α (exponential smoothing semplice)

3 Valori della serie e previsioni con l exponential smoothing semplice 2. I processi random walk Per serie finanziarie giornaliere dei prezzi ˆα risulta essere molto vicino ad uno importanza preponderante dell informazione contenuta nell ultimo prezzo osservato ˆP T +1 T = E(P T +1 P T, P t 1,... ; ) P T La relazione temporale fra prezzi a tempi successivi si fonda sul concetto di rendimento P t = P t 1 (1 + r t ) e passando ai logaritmi naturali p t = p t 1 + ln(1 + r t ) Il concetto di processo stocastico Espandiamo in serie di Taylor la funzione ln(1 + r t ) intorno ad 1, ln(1 + r t ) ln(1) + 1 (1 + r t 1) = r t 1 + r t rt =0 Sequenza (virtualmente infinita) di variabili casuali r t, ciascuna riferita ad un diverso istante temporale, rappresentabile come {r t } T t=1 e definiamo l oggetto rendimento come r t = p t p t 1 (definizione valida per r t piccolo) Al tempo t 1 la determinazione del prezzo al tempo t dipende dalla realizzazione di r t che, in quanto incerta, si caratterizza come variabile casuale l indice temporale varia nel discreto, mentre la variabile casuale assume valori nel continuo La serie storica corrispondente è formata dalla sequenza di realizzazioni delle variabili casuali Obiettivo: ricostruzione del cosiddetto processo generatore dei dati, processo stocastico che si ipotizza in grado di spiegare l andamento della serie storica dei rendimenti, e, di conseguenza, dei prezzi

4 Osservazione Il processo white noise Il risultato messo in luce dall exponential smoothing corrisponde alla caratteristica (empirica) dei rendimenti al tempo t di avere valore atteso (condizionatamente all insieme informativo disponibile al tempo t 1) pari a zero: se E(p t I t 1 ) = p t 1, deve essere, necessariamente, E(r t I t 1 ) = 0 Il processo generatore dei dati dovrà quindi essere in grado di riprodurre questa ed altre regolarità empiriche delle serie storiche, siano essi prezzi, rendimenti o volatilità Ipotesi più semplice: r t = ɛ t i.i.d.(0, σ 2 ), t = 1,..., T le variabili casuali r t, t = 1,..., T sono indipendenti e identicamente distribuite con media 0 e varianza costante σ 2 Se la distribuzione comune è quella normale abbiamo un white noise gaussiano Il processo white noise appartiene alla classe più ampia di processi cosiddetti stazionari Esempio di white noise Processo stazionario Un processo {x t } è stazionario in covarianza se: E(x t ) = µ non dipende dal tempo t V ar(x t ) = σ 2 non dipende dal tempo t Cov(x t, x t s ) = γ(s) dipende dalla distanza fra x t e x t s ma non dal riferimento temporale t Il processo white noise è un processo strettamente stazionario: la distribuzione congiunta di qualunque sequenza di variabili casuali contigue appartenenti al processo non dipende dai tempi di riferimento delle variabili componenti Osservazione: sul piano empirico per i rendimenti si riscontrano deviazioni dalle ipotesi di indipendenza e di identica distribuzione

5 Sotto l ipotesi di i.i.d. E(p t I t 1 ) = E(p t 1 + ɛ t I t 1 ) = p t 1 V ar(p t I t 1 ) = σ 2 Se in p t = p t 1 + ɛ t sostituiamo all indietro abbiamo Condizionatamente all insieme informativo in 0 abbiamo i seguenti momenti condizionati E(p t I 0 ) = p 0 fino a ottenere p t = p t 2 + ɛ t 1 + ɛ t e V ar(p t I 0 ) = tσ 2 t 1 p t = p 0 + τ=0 ɛ t τ somma di variabili casuali con media zero e varianza costante processo random walk Il processo definito è chiaramente non stazionario: la varianza diverge all aumentare di t Si parla di processo a radice unitaria o integrato di ordine 1 (I(1)) La persistenza delle innovazioni ɛ t nel processo è totale I test di radice unitaria Esempi di random walk I risultati classici dell inferenza non sono applicabili alla verifica dell ipotesi nulla H 0 : φ = 1 nella relazione stimata p t = φp t 1 + ɛ t lo stimatore dei minimi quadrati ˆφ = T t=2 p tp t 1 T t=2 p2 t 1 ha distribuzione non simmetrica e valore atteso minore di 1 per T finito (coincide con il valore vero per T Approssimazione suggerita da White (1958),troncata al primo termine E( ˆφ) = 1 2(T 2) T 2 1 < 1

6 Distribuzione di ˆφ su 5000 campioni, T = 100 Media pari a , Approssimazione di White Sotto l ipotesi nulla di radice unitaria φ = 1, l usuale statistica t ˆτ = ˆφ 1 s.err.( ˆφ) dove s.err.( ˆφ) ˆσ = 2 T t=2 p2 t 1 (ˆσ 2 somma dei residui al quadrato divisa per T 1) non è distribuita come una v.c. t di Student, ma ha distribuzione asimmetrica con asimmetria negativa Tale distribuzione può essere simulata e se ne possono calcolare i percentili notevoli come valori critici stimati all 1%, 5% e 10% Distribuzione del t-ratio stimato su 5000 campioni di dimensione T = 100. Confronto con la distribuzione t di Student (linea tratteggiata) Il test di Dickey-Fuller Esempio: i percentili stimati su simulazione per T = 100 risultano , , (più piccoli dei valori corrispondenti per la variabile casuale t di Student, rispettivamente 2.364, e 1.290) La procedura di test consiste nel rifiutare l ipotesi nulla di radice unitaria se il t-ratio calcolato nella regressione risulta inferiore ad uno dei valori critici simulati Valori tabulati da Dickey e Fuller: 2.60 (all 1%), 1.95 (al 5%) e 1.62 (al 10%) Usuale riparametrizzazione della relazione: p t p t 1 = (φ 1)p t 1 + ɛ t in tal caso H 0 : γ φ 1 = 0

7 Risultato EVIEWS per il test di Dickey e Fuller per l indice Dow Jones sul periodo 05/01/ /12/1996 Generalizzazioni Test augmented Dickey-Fuller: presenza di innovazioni ɛ t non i.i.d Distribuzioni limite per ˆτ a seconda delle ipotesi sulla forma del processo generatore dei dati Processo random walk con drift (o deriva) p t = α + p t 1 + ɛ t t 1 p t = p 0 + αt + τ=0 ɛ t τ a partire da p 0 il prezzo si evolve seguendo un trend deterministico dato da αt cui si aggiunge il trend stocastico dato dalla radice unitaria t 1 τ=0 ɛ t τ Esempi di traiettorie random walks con drift pari a 0.25 Distribuzione di ˆτ µ su 5000 campioni di dimensione T = 100. Confronto con la distribuzione t di Student (linea tratteggiata) Valori ai livelli di significatività dell 1%, 5%, e 10%: , ,

8 Processo random walk con drift e dipendenza deterministica di p t dal passaggio del tempo con un coefficiente β Tabella di MacKinnon (1991) per il calcolo dei valori critici del test di Dickey e Fuller p t = α + βt + p t 1 + ɛ t sostituendo all indietro si ottiene t(t + 1) t 1 p t = p 0 + αt + β + 2 τ=0 ɛ t τ Valori critici ancora più piccoli: per un campione di ampiezza T = 100 risultano 4.04, 3.45, 3.13 (rispettivamente 1%, 5% e 10%) Caso meno rilevante per le serie finanziarie (non lo considereremo) Modello Significatività ˆβ ˆβ1 ˆβ2 Senza costante Con costante Equazione stimata: Ĉ(p, T ) = ˆβ + ˆβ 1 /T + ˆβ 2 /T 2 Procedura di test per radice unitaria modello di riferimento: Successione nella quale eseguire i diversi test Test per H 0 : γ = 0 utilizzando la statistica test ˆτ µ = (ˆγ)/ŝ.e.(ˆγ) sul modello p t = α + γp t 1 + ɛ t p t = α + γp t 1 + ɛ t con le seguenti ipotesi nulle per i coefficienti: H 0 : α 0, γ = 0 random walk con drift H 0 : α = 0, γ = 0 random walk senza drift diversa distribuzione di probabilità dei coefficienti stimati ˆα e ˆγ in corrispondenza di processi generatori di dati diversi: se γ = 0 la distribuzione di ˆα è non standard, mentre sarebbe asintoticamente normale se γ < 0 se α = 0 la distribuzione di ˆγ è non standard, mentre sarebbe asintoticamente normale se α 0 Se H 0 viene rifiutata ci si ferma, altrimenti si verifica l ipotesi α = 0, utilizzando la statistica test ˆτ αµ (rapporto t per il coefficiente ˆα) sullo stesso modello Distribuzione non standard, simmetrica intorno a 0 e con maggiore densità di probabilità nelle code rispetto alla t di Student Valori critici per il test α = 0 γ = 0 - Dickey e Fuller (1981) P rob(τ αµ > valore critico) T

9 Se il test porta ad accettare H 0 : α = 0 γ = 0, la procedura di test può essere ripetuta sull equazione p t p t 1 = (φ 1)p t 1 + ɛ t In presenza di drift (α diverso da zero) la distribuzione di ˆτ µ è di nuovo standard (gaussiana) I valori critici della normale che approssima la distribuzione di ˆτ µ forniscono una regione di accettazione più piccola di quella valida per una dimensione campionaria modesta e/o per un valore piccolo di α I veri valori critici sono intermedi fra quelli della normale e quelli tabulati da Dickey e Fuller Regola empirica : il rifiuto di H 0 : γ = 0 sulla base dei valori di Dickey e Fuller corrisponde al rifiuto anche sulla base della distribuzione normale; l accettazione sulla base dei valori critici della normale corrisponde ad accettazione anche sulla base dei valori tabulati Rimane una zona di incertezza per la quale si possono trarre conclusioni diverse con i due insiemi di valori critici Dubbi sulla potenza del test Dickey-Fuller 3. Prezzi ed efficienza dei mercati Mercato efficiente: mercato in cui l informazione viene istantaneamente e completamente inglobata nel prezzo corrente L ipotesi di mercati efficienti è coerente con l assunzione che i prezzi seguano un processo random walk ma non ne costituisce condizione sufficiente Un mercato si qualifica come efficiente rispetto ad un certo insieme informativo In corrispondenza di un insieme informativo I t 1 le variazioni di prezzo future sono imprevedibili E(p t p t 1 I t 1 ) = 0. Forme di efficienza Definendo in maniera opportuna l insieme informativo possiamo distinguere tre diverse forme di efficienza: efficienza in forma debole (weak-form): l insieme informativo include solo la storia passata dei prezzi efficienza in forma semi-forte (semistrong-form): l insieme informativo include tutta l informazione pubblicamente disponibile (vale a dire nota a tutti gli operatori sui mercati) efficienza in forma forte (strong-form): l insieme informativo include anche informazioni riservate solo ad alcuni degli operatori presenti sui mercati

10 Insieme informativo e legge dei valori attesi iterati Relazione tra insiemi informativi a tempi successivi I t 2 I t 1 Il valore atteso del prezzo condizionato a I t 2 può essere scritto come o, equivalentemente, E(p t I t 2 ) = E(E(p t I t 1 ) I t 2 ) E(p t E(p t I t 1 ) I t 2 ) = 0 Implicazioni dell EMH EMH e analisi tecnica: la presunzione di poter sfruttare a vantaggio degli operatori il tempo necessario perché i prezzi si aggiustino a nuove situazioni informative si scontra con l idea che tale aggiustamento sia immediato e completo EMH e analisi fondamentale: il confronto tra prezzo di mercato e valore intrinseco del titolo per trarre profitto dalla discordanza tra questi due valori suppone una sostanziale inefficienza dei mercati In termini di valore atteso delle variazioni di prezzo, condizionatamente all informazione disponibile a t 2: E(p t p t 1 I t 2 ) = E(E(p t p t 1 I t 1 ) I t 2 ) = 0 Importante disporre di strumenti per la verifica dell ipotesi di efficienza: metodi in letteratura usualmente basati su ipotesi congiunta di efficienza ed equilibrio dei mercati 4. L ipotesi random walk Un caso particolare di EMH si ha qualora i prezzi seguano un processo di tipo random walk Per un processo random walk vale Rendimenti indipendenti ed identicamente distribuiti I logaritmi dei prezzi seguono un evoluzione del tipo: p t = p t 1 + ɛ t con ɛ t i.i.d.(0, σ 2 ) In termini di rendimento abbiamo E(p t+1 p t, p t 1, ) = p t Cov(h(r t ), g(r t+k )) = 0 o, equivalentemente, E(p t+1 p t p t, p t 1, ) = 0 L ipotesi random walk è più restrittiva dell ipotesi di efficienza dei mercati, che si limita ad asserire che l informazione risulta pienamente ed immediatamente riflessa nei prezzi dei titoli Possiamo individuare tre diverse tipologie di processi random walk caratterizzando forme più o meno forti di dipendenza tra variabili casuali per qualsiasi funzione h( ) e g( ), t e k 0 La funzione di densità di probabilità è tale che f(r t+k r t ) = f(r t+k ) Inoltre tale funzione non varia al variare di k e, se normale, caratterizza un processo white noise gaussiano

11 Rendimenti indipendenti Difficilmente sostenibile l ipotesi di identica distribuzione nel tempo Manteniamo l ipotesi di rendimenti indipendenti ma non identicamente distribuiti: Cov(h(r t ), g(r t+k )) = 0 per qualsiasi funzione h( ) e g( ), t e k 0 La funzione di densità di probabilità è tale che: f(r t+k r t ) = f(r t+k ) Maggiore generalità rispetto al caso precedente: possibilità di distribuzione non condizionata caratterizzata da eteroschedasticità Rendimenti incorrelati Ulteriore generalità può ottenersi rinunciando all ipotesi di rendimenti indipendenti limitandosi ad assumere incorrelazione: Cov(r t, r t+k ) = 0, t e k 0 Specificazione più debole di processo random walk: lascia spazio alla presenza di forme di dipendenza tra osservazioni, che tuttavia preservano l ipotesi di efficienza dei mercati Caratterizzazione di maggior interesse per la possibilità di coesistere con fatti stilizzati osservati per le serie finanziare 5. La verifica dell ipotesi r.w. Rendimenti i.i.d.: sequenze concordi e discordi Letteratura propria dei test statistici non parametrici Caso più generale: p t = µ + p t 1 + ɛ t T c /T d sarà verosimilmente maggiore di uno: diventano più probabili rendimenti consecutivi dello stesso segno (della media) Data una serie di T + 1 rendimenti, costruzione di una variabile indicatrice del tipo { 1 se rt = p 1I t = t p t 1 > 0 0 se r t = p t p t 1 0. Calcolo dell numero di coppie di rendimenti a tempi consecutivi che hanno lo stesso segno T c = T t=1 y t con y t = 1I t 1I t+1 + (1 1I t )(1 1I t+1 ) o segno discorde T d = T T c Sotto H 0 (e con distribuzione dei rendimenti centrata sullo zero) dovrebbe essere T c = T c/t T d T d /T = 1 ĈJ = T c/t T d /T = ĉ 1 ĉ 1 con c probabilità di sequenza concorde ĈJ per T si distribuisce come una v.c. normale con media c/(1 c) e varianza pari a: c(1 c) + 2(π 3 + (1 π) 3 c 2 ) T (1 c) 4 con π probabilità di ottenere un rendimento positivo (stimata con la proporzione di rendimenti positivi nel campione) Osservazione: scarsa potenza del test

12 Esempio Serie del tasso di cambio fra euro e dollaro dal 5 gennaio 1998 al 26 settembre 2001: Media annualizzata dei rendimenti pari al 0.28% (leggermente positiva, corrispondente ad una probabilità stimata di rendimenti positivi pari a 0.511) Esempio Variazioni mensili dei Fed Funds misurate tra l agosto del 1954 e l ottobre del 2001: Media di queste variazioni non significativamente diversa da zero ĈJ = con intervallo di confidenza al 95% da a Corrispondentemente, l intervallo fra e contiene π c con un livello di confidenza pari a 95% Dato che il valore 0.5 appartiene all intervallo, i risultati non forniscono evidenza a sfavore dell ipotesi di random walk ĈJ = 1.7 con standard error pari a Statistica campionaria significativamente diversa da 1, valore che si riscontra sotto l ipotesi nulla di random walk L ipotesi di processo random walk deve essere rifiutata sulla base dell evidenza campionaria Rendimenti i.i.d.: Runs Test Contiamo il numero di sequenze (dette runs) con rendimenti consecutivi positivi o negativi Il numero osservato di sequenze N runs viene confrontato con la sua distribuzione campionaria sotto l ipotesi nulla di random walk con rendimenti indipendenti ed identicamente distribuiti, approssimabile da una normale standardizzata per dimensioni campionarie elevate: N runs 2T π(1 π) z = 2 N(0, 1) T π(1 π)(1 3π(1 π)) con π probabilità di ottenere un rendimento positivo Esempi Tasso di cambio euro/dollaro: otteniamo un valore ẑ pari a che quindi conferma la indistinguibilità della serie da una realizzazione di un random walk con incrementi i.i.d. Tassi sui Federal Funds: otteniamo un valore ẑ uguale a 6.214, che porta ancora a rifiutare l ipotesi nulla di processo random walk con rendimenti indipendenti ed identicamente distribuiti il numero atteso di runs è massimo per π = 0.5 e si riduce in presenza di una media diversa da zero

13 Test per rendimenti indipendenti Contents Confronto di una regola qualsiasi di gestione del portafoglio con la strategia passiva suggerita dall ipotesi di random walk che possiamo indicare come strategia buy and hold Esempio: un titolo viene acquistato quando il prezzo aumenta al di sopra di una certa soglia percentuale, viene venduto se il prezzo scende al di sotto di quella stessa soglia, mentre all interno della banda di valori l operatore rimane neutrale con costi di transazione anche molto bassi, difficilmente la regola porta ad un miglioramento rispetto alla strategia passiva, con il risultato di non poter rifiutare l ipotesi di indipendenza Arbitraria la scelta della regola di comportamento, quindi risultati soggettivi