Curve di secondo grado nel piano cartesiano

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1 Curve di secondo grado nel piano cartesiano Gli strumenti della geometria analitica permettono di avere una nuova visione di oggetti matematici che già conosciamo e di accostarne altri del tutto nuovi per noi. Interpretando le variabili e come coordinate di punti nel piano cartesiano, abbiamo cominciato a dare significato geometrico alle equazioni algebriche, che, esprimendo legami tra le coordinate, identificano luoghi di punti nel piano. bbiamo così rivisto le rette come grafici di una funzione di primo grado, incontrato nuove curve, le parabole, come grafici di funzioni di secondo grado. In generale, abbiamo visto curve (oggetti geometrici) come grafici di funzioni (oggetti algebrici). In questo senso, abbiamo creato un passaggio dall algebra alla geometria. Iniziamo ora anche a esplorare il passaggio nell altro senso, dalla geometria all algebra. ggetti geometrici come rette e curve sono luoghi di punti, individuati da proprietà caratteristiche: per esempio, una circonferenza è individuata dalla proprietà che tutti i suoi punti sono equidistanti dal suo centro. Se traduciamo tali proprietà in una relazione algebrica tra le coordinate dei punti, otteniamo l equazione del luogo, cioè quella relazione che vale per tutti e soli i punti della curva. Questa efficace unificazione dei due linguaggi, algebrico e geometrico, introdotta nel 600 dal matematico e filosofo francese Descartes ( ), ha letteralmente rivoluzionato la matematica, dandole la possibilità di raggiungere sviluppi nuovi e straordinari, quali quelli dell nalisi infinitesimale. Qui intuiamo che la geometria analitica permette di vedere in modo nuovo curve che conosciamo, come la circonferenza, e fa scoprire nuove curve piane, dette coniche perché generate nello spazio dall intersezione tra un piano e la superficie di un cono (fig. ). circonferenza ellisse parabola iperbole Figura Le coniche erano già note ai Greci: le ha trattate, dal punto di vista geometrico, il grande matematico pollonio di erga (III secolo a. C.), che diede loro i nomi con cui le conosciamo: ellisse, parabola, iperbole. vremo modo di studiare approfonditamente le caratteristiche geometriche delle coniche nel prossimo anno. Qui le tratteremo nei casi più semplici, quando sono collocate in modo detto canonico nel sistema di riferimento cartesiano. 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

2 Circonferenza con centro nell origine Consideriamo una circonferenza γ di raggio R = 3, avente centro nell origine di un riferimento cartesiano (fig. ). Sia ( ; ) un generico punto di γ, H e K le sue proiezioni rispettivamente sull asse e sull asse. I triangoli H e K sono rettangoli, perciò vale il teorema di itagora: e quindi anche: H + H = H + K = K ( ; ) H oiché H =, K = Figura la relazione precedente si traduce nell equazione nelle variabili e : + = 9 oiché una circonferenza è il luogo di tutti e soli i punti equidistanti dal centro, un punto (; ) appartiene alla circonferenza γ se e solo se le sue coordinate (; ) soddisfano l equazione: + = 9 bbiamo ottenuto un equazione di secondo grado nelle variabili e, con una forma particolarmente bella e semplice: contiene solo la somma dei quadrati delle due incognite, eguagliata al quadrato di un numero, che è la misura del raggio della circonferenza. ossiamo generalizzare i passaggi, considerando una circonferenza γ avente centro in e raggio che indichiamo in generale con R (R > 0). R è la distanza dall origine di ogni punto γ (fig. 3), e l equazione diventa: + = R Essa è detta equazione canonica della circonferenza. (; ) R + = R Figura 3 ESEMI. L equazione + = rappresenta la circonferenza γ avente centro in (0; 0) e raggio unitario (fig. 4). d essa appartengono i punti (; 0), B(0; ), C( ; 0) e D(0; ). La incontreremo presto con il nome di circonferenza goniometrica. C B + = Figura 4 D 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

3 . Scriviamo l equazione della circonferenza γ avente centro nell origine e passante per il punto ( ; ) (fig. 5). Conoscendo il centro e un punto, possiamo calcolare il raggio della circonferenza, perché per definizione R =. = è la lunghezza del raggio e l equazione è: + = 8 γ 3. Data l equazione + = 5, la riconosciamo come equazione di una circonferenza γ, avente centro in (fig. 6). Individuiamone il raggio: poiché R = 5, Figura 5 è R = 5 (la lunghezza del raggio è sempre un numero positivo). Determiniamo: a) quanti e quali sono i punti di γ di ascissa ; b) quanti e quali sono i punti di γ di ordinata 3; = 3 c) quanti e quali sono i punti di γ di ascissa 5. B(; + ) a) Sostituiamo = nell equazione delle circonferenza, e ricaviamo in corrispondenza. C ( 50 ; ) + = 5 Æ = 4 Æ = ± bbiamo due soluzioni, perciò i punti di ascissa sono due: (; ) B (; +). b) Sostituiamo = 3 nell equazione e ricaviamo : (; ) = = 5 Æ = 4 L equazione ottenuta è impossibile, nessun punto Figura 6 di ordinata 3 può appartenere a γ. c) Sostituendo nell equazione = 5, otteniamo: 5 + = 5 Æ = 0 L equazione ha due soluzioni coincidenti in = 0, che corrispondono al punto C( 5 ; 0). Nella figura 6 sono rappresentate le tre situazioni. Mettiti alla prova. L equazione + = 0 può rappresentare una circonferenza?. L equazione + 3 = 0 è ancora l equazione di una circonferenza con centro in? Verificalo, determinando il raggio R, e disegnala nel piano cartesiano, individuando i suoi punti di intersezione con gli assi. 3. nche l equazione = 0 è l equazione di una circonferenza? Motiva la tua risposta. 3 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

4 Equazione canonica delle coniche Dal punto di vista algebrico, ellisse, parabola, iperbole sono accomunate dall avere equazione di secondo grado. Vedremo la loro equazione in casi particolarmente semplici, come abbiamo fatto per la circonferenza. Ellisse L ellisse è definita (fig. 7) come il luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti detti fuochi è costante. L ellisse è una curva chiusa, ha due assi di simmetria detti asse maggiore (o asse focale) e asse minore, e un centro di simmetria (fig. 8). F + F = a F + F = a F F F F Figura 7 Se tale centro è nell origine del riferimento, l equazione dell ellisse ha la forma canonica: in cui a e b sono le lunghezze dei due semiassi dell ellisse (fig. 9, nella quale i fuochi sono sull asse ). I quattro punti estremi dei semiassi sono detti vertici dell ellisse. L ellisse è una curva limitata, tutta contenuta in un rettangolo di lati che misurano a e b. Sia geometricamente sia osservando l equazione, possiamo con facilità osservare che una circonferenza è una particolare ellisse, per la quale sono uguali i due semiassi: a = b. a + = b Figura 8 b F a F Figura 9 ESEMI. Nell equazione + = riconosciamo l equazione canonica di un ellisse con centro nell origine. 9 4 Dall equazione ricaviamo le lunghezza dei semiassi: a = 9 Æ a = 3 (consideriamo solo il valore positivo) b = 4 Æ b = ossiamo allora individuare il rettangolo di lati 4 e 6 in cui è inscritta la curva, segnare i vertici dell ellisse, i punti ( 3; 0), (3; 0), (0; ) e (0; ), e tracciarla, eventualmente determinando le coordinate di altri punti (fig. 0). + = 9 4 Figura RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

5 Iperbole L iperbole (fig. ) è definita come il luogo dei punti del piano per i quali la differenza, in valore assoluto, delle distanze da due punti, detti fuochi, ècostante. L iperbole (fig. ) è una curva formata da due rami aperti, simmetrici rispetto a due assi, l asse focale o trasverso, che contiene i fuochi e interseca la curva nei due vertici, e la retta asse del segmento F F, detto asse non trasverso, perché non interseca la curva. F F = a asse non traverso F F F F asse focale o traverso Figura Figura L iperbole ha quindi anche un centro di simmetria, punto di intersezione dei due assi, il punto medio del segmento F F. er il centro di simmetria passano due rette speciali, dette asintoti dell iperbole, che delimitano le due zone angolari del piano che contengono i due rami della curva. Gli asintoti non intersecano la curva, ma hanno la proprietà che la distanza dei punti della curva da essi diminuisce a mano a mano che i punti si allontanano dai fuochi. Se gli asintoti sono perpendicolari tra loro, si presenta un tipo particolare di iperbole, l iperbole equilatera (fig. 3). Considereremo solo l equazione canonica di questa iperbole, che si ottiene prendendo il riferimento cartesiano in cui: l origine è il centro di simmetria dell iperbole; gli assi cartesiani coincidono con gli asintoti. = k, k > 0 L equazione dell iperbole in questo sistema di riferimento è detta, infatti, equazione riferita agli asintoti. L equazione riferita agli asintoti dell iperbole equilatera assume la forma particolare dove k. = k Figura 3 Nella figura 3 sono in evidenza anche i vertici della curva, che appartengono all asse focale, che, per questo tipo di iperbole, se k > 0, è la retta =. bbiamo già incontrato questa curva, senza analizzarne le caratteristiche geometriche, come grafico della proporzionalità inversa tra le variabili e. Dalla forma = k si può passare alla forma esplicita della funzione = f (): = k che è la prima funzione razionale fratta che abbiamo analizzato. 5 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

6 ESEMI. Rappresentiamo nel piano cartesiano la curva di equazione = 3 e determiniamone i vertici V e V. Riconosciamo nell equazione canonica l iperbole equilatera; per tracciarne il grafico passiamo alla forma = 3 e diamo opportuni valori alla (fig. 4). oiché k = 3 è un valore negativo, i punti della curva in questo caso appartengono al II e IV quadrante, mentre, se k fosse positivo, come nel grafico precedente, sarebbero nel I e III quadrante. L asse trasverso è perciò la retta di equazione = ; per trovare i vertici intersechiamo la curva e il suo asse trasverso, scrivendo il sistema di secondo grado: = 3 Æ = che dà le due soluzioni V = 3 = ( ) ( ) 3; 3 e V 3; 3. = 3 V V Figura 4 arabola bbiamo visto la parabola come grafico della funzione di secondo grado: ora la riguardiamo come curva piana. La parabola è definita come luogo dei punti del piano per cui la distanza da una retta fissata, detta direttrice è uguale alla distanza da un punto fissato, che non appartiene alla direttrice, detto fuoco. La parabola (fig. 5) ha un unico ramo, aperto, illimitato. Ha un asse di simmetria, che è la perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco. Il punto di intersezione tra l asse di simmetria e la parabola è il vertice V. F V F = H H Come abbiamo già visto, l equazione canonica della parabola si ottiene scegliendo il riferimento in modo che il vertice V coincida con l origine, e l asse di simmetria sia l asse. Essa allora ha la forma: = a direttrice Figura 5 Se il vertice non coincide con l origine, e l asse di simmetria è parallelo all asse, la parabola è ottenuta traslando nel piano la parabola canonica, e la sua equazione assume la forma: = a + b + c che esprime la funzione razionale intera di secondo grado. 6 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

7 3 Rette e coniche Siamo ora in grado di interpretare geometricamente i sistemi di secondo grado, che sono necessariamente formati da un equazione di secondo grado e una di primo. L equazione di primo grado rappresenta una retta; se sappiamo riconoscere in quella di secondo grado l equazione di una conica per ora solo nel caso di equazioni canoniche, allora il sistema permette di determinare, se vi sono, le coordinate delle intersezioni tra la retta e la conica. Scritta l equazione di secondo grado risolvente: se Δ >0 se Δ =0 se Δ <0 l equazione ha due soluzioni reali distinte; conica e retta hanno in comune due punti distinti; la retta è secante la conica; l equazione ha due soluzioni reali coincidenti; conica e retta hanno in comune due punti coincidenti; la retta è tangente alla conica; l equazione non ha soluzioni reali; conica e retta non hanno punti comuni; la retta è esterna alla conica. ESEMI = +. Risolviamo il sistema di secondo grado e rappresentiamo geometricamente le soluzioni. = 6 Riconosciamo nella prima equazione l equazione di una parabola, che rappresentiamo determi- V nandone il vertice V(; ) e le intersezioni con l asse delle ascisse: = 0e = (fig. 6). = + = 6 Rappresentiamo anche la retta di equazione = 6. Vediamo dal grafico che la retta è secante la parabola, quindi determiniamo le coordinate dei punti e B di intersezione risolvendo il sistema. L equazione risolvente è: + = 6 Æ 6 = 0 e le sue soluzioni sono = = 3 da cui si ricavano le coordinate dei punti ( ; 8) e B(3; 3). Figura 6. Verifichiamo se la retta di equazione = 3 è secante, tangente o esterna alla parabola di equazione = +. Risolviamo il sistema formato dalle loro equazioni: L equazione risolvente è: + = 3 6 = + = 3 B 7 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

8 Da essa si ottiene 4 + = 0, che ha due soluzioni coincidenti, =. ossiamo così dire che la retta è tangente alla parabola e abbiamo anche le coordinate del punto di tangenza T(; ) (fig. 7). = + T 3. Risolviamo il sistema + = 4 e interpretiamolo + = geometricamente. Riconosciamo nella prima equazione l equazione della circonferenza avente centro in (0; 0) e raggio R =, nella seconda l equazione di una retta. Il grafico di figura 8 raccoglie la situazione geometrica, da cui ci aspettiamo due soluzioni distinte per il sistema. er risolvere il sistema, possiamo usare il metodo di sostituzione oppure osservare che è un sistema simmetrico, e usare il procedimento tipico per tali sistemi. In entrambi i modi si ottiene l equazione risolvente: 3 = 0 le cui soluzioni sono: = 7 = + 7 = 3 Figura 7 Sostituendo nell equazione di primo grado, otteniamo le soluzioni, che rappresentano le coordinate di e di B: B ;, ;. + = 4 B + = Figura 8 4. Determiniamo le eventuali intersezioni della retta di equazione + = 3 con l iperbole equilatera di equazione = 4. Scriviamo e risolviamo il sistema delle due equazioni: + = 3 + = 3 = 4 = 4 Riconosciamo il sistema simmetrico particolare che contiene la somma e il prodotto di due numeri (par. 7.5) e scriviamo la risolvente: Æ t t + 4 = 0 t 3t + 8 = 0 Figura 9 In tale equazione è Δ =9 64 < 0. L equazione è impossibile, dunque l iperbole e la retta non si intersecano, come è in evidenza anche nella rappresentazione grafica (fig. 9) RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

9 di tangenza, che si ottiene risolven- 5. Vogliamo determinare per quali valori di k le rette di equazione = + k sono esterne alla parabola di equazione = + 5. Scriviamo la risolvente del sistema = + 5 = + k che è l equazione parametrica: + 5 k = 0 Esprimiamo il Δ: Δ(k) = 4 4( 5 k) = 4 + 4k vremo: retta tangente se Δ(k) = 0, cioè per k = 6; rette secanti se Δ(k) > 0, cioè per k > 6; rette esterne se Δ(k) < 0: rispondiamo perciò al quesito dicendo che si hanno rette esterne k < 6 (fig. 0). 6. Determiniamo per quale valore di k si trova un iperbole equilatera di equazione = k, tangente alla retta r di equazione =. Mettiamo a sistema le equazioni delle due curve: = { Æ = k Æ ( ) = k Æ k = 0 In tale equazione imponiamo Δ(k) = 4 + 8k = 0, da cui ricaviamo: k = L iperbole tangente alla r ha equazione: = Nella figura si osserva anche il punto T ; do l equazione. = + 5 k > 6 T 6 k < 6 = 6 Figura 0 = T Figura 9 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

10 ESERCIZI Curve di secondo grado nel piano cartesiano 3 Tradurre in relazioni tra le coordinate e le proprietà dei luoghi di punti (; ) espresse a parole: a. luogo dei punti aventi ordinata metà dell ascissa; b. luogo dei punti le cui coordinate hanno somma 5; c. luogo dei punti le cui coordinate hanno prodotto. Esprimere a parole le seguenti relazioni tra le coordinate e dei punti (; ) di un luogo. a. = 8 [la differenza tra ascissa e ordinata è otto] b. + = 4 c. 3 3 = Data l equazione di un luogo, stabilire se il punto assegnato appartiene a, e deter- 4 minare la coordinata mancante del punto Q in modo che Q. : 3 + = 0 ( ; )... L Q(0;...) : = 0 (; )... L Q( ;...) : = 0 4;... L Q(...; 0) ssegnata l equazione del luogo, completare la tabella indicando se i punti dati appartengono o no a. : + = 5 ( ; ) Œ œ (0; 0) ( ; ) (; ) (0;...) sì Circonferenza con centro nell origine Data l equazione della circonferenza γ, ricavare il raggio R e fare il grafico. a. + = 6 b. + = 0 c. + = 8 d = 0 Scrivere l equazione della circonferenza γ avente centro in (0; 0) e che soddisfa le condizioni: a. ha raggio R = 3; b. passa per il punto (; 3); c. ha diametro di lunghezza k (k > 0). ssociare ogni equazione al suo grafico. a) = b) + = 5 c) + = 9 B = 3 B RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

11 8 Determinare, se vi sono, i punti appartenenti c. + = 6 alla circonferenza γ di equazione + = 3, d. = 6 aventi: a. ascissa = ; ( ; ) ( ; ) 4 ssociare ogni equazione al suo grafico. b. ordinata = ; [ ] c. ordinata doppia dell ascissa. a) + = b) + 9 = ; ; c) + = Determinare, se vi sono, i punti appartenenti alla circonferenza γ di equazione = 0, aventi: a. ascissa = 3 ; b. ordinata = 4 3 ;. c. ordinata uguale all ascissa. a. b ; ; ; ; 43 ; c. 3 ; 3 3 ; 3. 0 Determinare i valori del parametro k in modo che il punto (k; ) appartenga alla circonferenza di centro e raggio R = k = ± Determinare i valori del parametro a in modo che il punto a a appartenga ; alla circonferenza di centro in e raggio R = 5. [a = ±] Equazione canonica delle coniche 3 Riconoscere quale curva è rappresentata nelle seguenti equazioni canoniche. a. + = 0 b. + = 0 c. + = 0 d. + + = 0 Riconoscere quale curva è rappresentata nelle seguenti equazioni canoniche. a. = 6 b. = 6 Nelle seguenti equazioni, individuare i semiassi e i vertici delle ellissi e rappresentarle, mettendo in evidenza il rettangolo che le contiene = = 4 + = = + 4 = 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

12 0 + 9 = = = 50 c. ha un vertice nel punto V ; ; k = 5 5 d. ha un vertice V nel I quadrante, e V appartiene alla circonferenza di equazione + = 9. k = Determinare, se vi sono, i punti appartenenti all ellisse di equazione + = aventi: 36 9 a. ascissa = 4; ( 4; 5 ) ( 4; 5 ) b. ordinata = 3; ( 0; 3) c. ordinata opposta dell ascissa ; ; Scrivere l equazione canonica dell ellisse avente: a. semiasse a = 3 e un vertice in ( 0; ); + = 9 b. un vertice in ( 4; 0) e passante per ( ) ; = 6 4 Rette e coniche Date le seguenti coppie di parabole e rette, stabilire di ciascuna se la retta è secante (determinare le intersezioni) o tangente (determinare in che punto) o esterna alla parabola. Fare poi la rappresentazione grafica. 3 = = = 3 = 5 = + 3 = = + = = ( + 3) = = = 6 Rappresentare le seguenti iperboli equilatere, individuando le coordinate dei vertici = 3 4 = 3 = = 5 3 ± ± ; 3 ( ± ; ) Risolvere i seguenti sistemi e farne la rappresentazione grafica = 4 = = = 5 ( 5) + = 0 ( ) + = ( 0; 0) ; [(3; ) (5; 5)] [(3; 4)] = = 3 Determinare il parametro k in modo che l iperbole equilatera di equazione = k soddisfi le condizioni assegnate, poi rappresentare la curva ottenuta: a. passa per 3; k = 5 5 ( ) b. passa per 3; ; k = = 3 = = + = 3 = 9 + = = = ( ± 3; ± 3 ) ( ± ; 5 ) ( 4 ± 4; 5 4 ) [(0; 3) (3; 0)] 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

13 = + = 4 = 3 = [imp.] Nella figura sono rappresentati i grafici delle curve di equazioni: = = ( ; ) ; 4 M 50 il triangolo B, dove è l origine, è isoscele. [( ; 8), B(4; 7)] Nella figura, la parabola = e la retta = + si intersecano nei punti e Q. Q N Determinare le coordinate dei punti M e N e le ascisse delle intersezioni della parabola con l asse delle. Data la parabola di equazione = disegnarla nel piano cartesiano. a. Rappresentare la retta di equazione = 5 e determinare le coordinate dei loro punti di intersezione. b. Stabilire se la retta = è secante rispetto alla parabola: in tal caso, determinare le coordinate delle intersezioni. c. Determinare per quale k la retta di equazione = k è tangente alla parabola. Disegnare nel piano la parabola di equazione = 6 + e la retta di equazione = 5 3. Determinare le coordinate dei loro punti comuni e B, poi dimostrare che Determinare le coordinate di e Q e mostrare che la retta tangente alla parabola in Q ha equazione = 5. Date le seguenti coppie di curve e rette, di ciascuna di esse stabilire se la retta è secante, tangente o esterna alle curve. oi rappresentarle graficamente = = 3 + = = + = 9 = + 9 = 9 = + = = 4 = = 0 3 Risolvere i seguenti sistemi, poi rappresentare graficamente le curve = 5 + = 5 + = 3 + = 8 = 3 + = 4 [( 0; 5) ( 4; 3)] ± 7 ; ; ; RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

14 60 + = 9 4 = 6 ; ± = 4 = 4 [imp.] 67 T 6 = 5 ± ± 30 ; + = = 3 + = 3 ( ; ) ; 3 + = = ; T ( ; ) 64 = 5 = 3 [imp.] Scrivere i sistemi di cui sono date le rappresentazioni grafiche e determinare le soluzioni. 68 T 65 B + = ; ( 0; 3) B ; = Data la parabola di equazione = 5, determinare per quali valori di k le rette di equazione = k sono secanti alla parabola. Rappresentare la parabola e la retta = k tangente alla parabola. 3 = 4 3 ; T ; = 3 k > B 70 7 Determinare per quale valore di k la parabola di equazione = + 3 k è tangente alla retta di equazione = 3. [k = ] Determinare per quale valore di k la parabola di equazione = + è tangente alla retta di equazione = 3 k. [k = ] + = ; ( 0; ) B ; 5 5 = 7 Determinare per quale valore di k la parabola di equazione = + k è tangente alla retta di equazione = k = RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce

15 73 Determinare per quali valori del termine noto c la retta di equazione + = risulta esterna 77 Tra le iperboli equilatere di equazione = k determinare quella tangente alla retta di alla parabola di equazione = + c. equazione + 3 =. 3 k = 7 c > Data la circonferenza γ di equazione 78 Data l ellisse di equazione + =, + =, determinare per quali valori di k 4 9 determinare per quali valori di k le rette di le rette di equazione = k sono secanti alla equazione 3 + = k sono tangenti all ellisse. k = ± 3 circonferenza. < k < er quali valori del parametro h le rette di equazione = h sono esterne all ellisse di equazione = 45? h < 3 > + 3 Tra le rette parallele alla retta = 0, determinare quelle tangenti all iperbole equilatera di equazione = 4. = ± Date le parabole = + 4 e = + 8 c, determinare c in modo che la distanza tra i vertici sia 5. [c = 9 c = 5] Disegnare nel piano la parabola di equazione = 4. Determinare per quale valore di q la retta di equazione = q interseca la parabola in due punti e B tali che B =. [q = 3] 5 0 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, restipino, Saporiti - Matematica Controluce