8. I numeri naturali e l infinito

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1 8. I numeri naturali e l infinito 8. L insieme dei numeri naturali Prerequisiti Sistema di riferimento cartesiano ortogonale Concetto di funzione Concetto di infinito Gli insiemi numerici fondamentali e le loro proprietà Obiettivi Comprendere il concetto di insieme infinito Comprendere il concetto di equipotenza fra insiemi infiniti Comprendere il concetto di numerabilità Sapere applicare il principio di induzione Contenuti Il concetto di insieme infinito e di numerabilità Il Principio di induzione Parole Chiave Equipotenza Induzione - Potenza del numerabile Potenza del continuo Simbologia ℵ 0 Aleph con zero indica la potenza del numerabile 88

2 Il concetto di insieme infinito e di numerabilità L intero è maggiore delle sue parti Aristotele, Metafisica Il problema 40 studenti sono certamente più di 5 studenti, possiamo ugualmente dire che i punti di un segmento lungo cm sono più di quelli di un segmento lungo mezzo centimetro? O che tutti i numeri interi sono più dei numeri pari? Cioè possiamo estendere il concetto di maggiore valido per insiemi finiti anche a quelli infiniti? Il concetto di infinito è certamente uno dei più delicati e difficili che si trovano ad affrontare non solo le scienze, ma anche le discipline filosofiche. La prima questione è definire cosa intendiamo con il dire che un insieme è infinito. Rispondere che infinito è ciò che non è finito, ovviamente è una non risposta, perché dovremmo chiarire cosa è il finito. Per dare una risposta più convincente dobbiamo cercare di capire cosa distingue in modo netto un insieme finito da uno infinito. Uno dei primi ad accorgersi della più interessante differenza fu Galileo Galilei, di cui riportiamo un passo delle sue opere. L Antologia Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, 68 Salviati Onde se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, essere più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima, non è così? Simplicio Non si può dir altrimenti. Salviati Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può con verità rispondere, loro esser tanti quante sono le proprie radici, avvenga che ogni quadrato ha la sua radice, ogni radice il suo quadrato, né quadrato alcuno ha più d una sola radice, né radice alcuna più d un quadrato solo. Simplicio Così sia. Salviati Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno che non sia radice di qualche quadrato; e stante questo, converrà dire che i numeri quadrati siano quanti tutti i numeri, poiché tanti sono quante le lor radici, e radici sono tutti i numeri: e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati. Quindi Galileo osserva prima che l insieme dei numeri naturali contiene l insieme dei quadrati perfetti, dato che tutti i quadrati perfetti sono numeri naturali, ma ci sono numeri naturali come il o il 4, che non sono quadrati perfetti. Cioè Q p = {, 4, 9, 6,, n, } N. Eppure lo stesso Galilei fa notare altresì che ogni numero naturale si può associare al proprio quadrato, non ci sono numeri naturali che non hanno quadrato, quindi vuol dire che i numeri naturali sono quanti i quadrati perfetti. Questo è un risultato paradossale, nel senso non che sia assurdo, ma che è inatteso. Non ci aspettiamo che qualcosa della quale siamo convinti che sia più grande di un altra, invece sia uguale all altra. Prima di continuare dobbiamo stabilire se questo ragionamento è corretto. Possiamo confrontare due insiemi con il metodo dell accoppiamento? Certamente sì, poiché in questo modo siamo in grado di stabilire se alla fine della procedura ci rimane qualcosa, e quindi uno dei due insiemi è maggiore dell altro o no, e perciò sono uguali. Perlomeno nel caso di insiemi finiti esso funziona senz altro. 89

3 Esempio In figura mostriamo che l insieme A è maggiore dell insieme B, poiché con il metodo dell accoppiamento in A rimangono elementi non accoppiati, mentre in B ciò non succede. Questo procedimento è tipico della matematica, lo ricordiamo qui. Definizione Una legge che a ogni elemento di un insieme A associa uno e un solo elemento di un insieme B e viceversa, si chiama corrispondenza biunivoca di A in B. Possiamo allora stabilire un concetto di uguaglianza numerica fra insiemi. Definizione Se vi è una corrispondenza biunivoca di A in B, diciamo che A e B sono equipotenti. Quindi adesso possiamo caratterizzare gli insiemi infiniti. Definizione Diciamo che un insieme A è infinito se può mettersi in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. La precedente definizione è dovuta a Richard Dedekind (8 96). Poniamo una prima importante definizione. Definizione 4 Diciamo che l insieme dei numeri naturali e qualsiasi insieme a esso equipotente ha la potenza del numerabile ed indichiamo tale potenza con il simbolo ℵ 0, che si legge Aleph con zero. Dire che un insieme è numerabile vuol dire che lo possiamo trattare come i numeri naturali, cioè possiamo scrivere i suoi elementi ordinati in modo che essi si possano indicare con un numero naturale, cioè {a, a, a,, a n, }. Non è difficile dimostrare che anche i numeri interi relativi sono un insieme numerabile. Esempio Poniamo in relazione gli insiemi N e Z, con la seguente legge: a ogni intero positivo associamo il suo doppio (per esempio, 4, 6, ), a zero associamo, a ogni numero negativo associamo il successivo del doppio del loro valore assoluto (per esempio, 5, 7, ). La relazione così definita è una corrispondenza biunivoca, infatti preso un qualsiasi numero intero sappiamo associargli un numero naturale (per esempio al numero intero 540 associamo = 08), e viceversa a ogni numero naturale sappiamo associare un numero intero relativo (per esempio al numero 67 associamo 67 = 6. Ovviamente potremmo inventare infinite leggi per mettere in corrispondenza biunivoca N e Z. Aleph è la prima lettera dell alfabeto ebraico. 90

4 Vale anche il seguente più generale risultato. Teorema L unione di un numero finito di insiemi numerabili è un insieme numerabile. Dimostrazione Per semplicità consideriamo due soli insiemi numerabili, A e B. Ciò vuol dire che possiamo scriverli nel modo seguente: A = {a, a, a,, a n, }, B = {b, b, b,, b n, }. Allora possiamo scrivere A B ={a, a, a,, a n,, b, b, b,, b n, }, in cui alcuni degli elementi potrebbero anche essere ripetuti due volte e quindi uno di essi dovrebbe eliminarsi. Ma consideriamo il caso più generale possibile, cioè che A e B non abbiano elementi in comune e quindi non vi siano elementi da cancellare. Possiamo mettere A B in corrispondenza biunivoca con N, per esempio mettendo in corrispondenza gli elementi di A con i numeri pari e quelli di B con i dispari. Per dimostrare il caso più generale in cui gli insiemi numerabili sono k (A, A,, A k ), possiamo ripetere un procedimento simile. Cioè associare gli elementi di A con i numeri che divisi per k hanno resto, quelli di A con i numeri che divisi per k hanno resto, e così via, quelli di A k con i multipli di k. Grazie al precedente risultato possiamo dimostrare in modo diverso che N e Z sono equipotenti. Corollario L insieme Z dei numeri interi relativi è numerabile Dimostrazione Si ha Z = N {0,,,, } e i due insiemi sono ovviamente numerabili. Più difficile è dimostrare il seguente fatto. Teorema L insieme Q dei numeri razionali è numerabile. Dimostrazione Costruiamo una tabella infinita come mostrato in figura : In essa compaiono tutti i numeri razionali non negativi, infatti nella prima riga vi è l unica frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per somma dei suoi termini, nella seconda quella di somma, in generale nella n esima quelle frazioni ridotte ai minimi termini, il cui numeratore e denominatore hanno somma n. All interno di ciascuna riga scriviamo le frazioni ordinate in modo che sia scritta per prima quella che ha il numeratore minore. In questo modo nella tabella abbiamo scritto tutti i numeri razionali. Adesso costruiamo la relazione che pone in corrispondenza biunivoca i razionali con i naturali, applicando il cosiddetto primo procedimento diagonale di Cantor, che consiste nel toccare tutti gli elementi della tabella nel modo indicato in figura seguente. 0 ւ ւ 4 ւ 4...

5 Così avremo la seguente corrispondenza biunivoca 0 4,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, Quindi Q è numerabile, d altro canto Q = Q Q, e quindi per il Teorema, anche Q è numerabile. A questo punto potrebbe sembrare che qualsiasi insieme infinito sia numerabile. Ciò non è affatto vero. Premettiamo una definizione. Definizione 5 Diciamo numero reale la scrittura formale z,a a a a 4, in cui z è un numero intero e a i rappresentano cifre, ossia numeri naturali compresi tra 0 e 9, in modo che da un indice k in poi tutte gli a i possono anche essere uguali tra loro, purché sia a i 9. Chiariamo il motivo per cui nella definizione precedente abbiamo escluso i numeri di periodo 9. Supponiamo che esista per esempio il numero, =,459, noi sappiamo che un numero del genere si può trasformare in frazione con la regola seguente:,459 = = = =,46. Cioè avremmo due diverse espressioni per uno stesso numero. Quello dell equivoco è uno dei peggiori problemi con cui hanno a che fare le scienze e deve sempre essere evitato. Quando si parla di un oggetto matematico, tutti quelli che lo conoscono devono riferirsi allo stesso oggetto, in questo caso invece avremmo due possibilità. Ciò accade con tutti i numeri di periodo 9 ed ecco quindi il perché della loro esclusione. Teorema L insieme R dei numeri reali non è numerabile. Dimostrazione Stavolta usiamo il cosiddetto secondo principio diagonale di Cantor. Supponiamo per assurdo che R sia numerabile, ciò significa che si può scrivere R = {r, r, r,, r n, }. Adesso facciamo vedere invece che esiste un numero reale a cui non è associato alcun numero naturale. Ricordando la definizione 5 un numero reale si scrive z,a a a a 4. Supponiamo che si abbia per esempio r =,47 ; r =,490 ; r = 0,98 ; r 4 = 47,0578 ; Costruiamo adesso un numero reale che è diverso da ciascuno dei numeri reali indicati con r i, semplicemente scrivendo un numero la cui parte intera è 0, la sua prima cifra decimale è diversa dalla prima cifra decimale di r, la sua seconda cifra decimale è diversa dalla seconda cifra decimale di r, la sua terza cifra decimale è diversa dalla terza cifra decimale di r, e in generale la sua n esima cifra decimale è diversa dalla n sima cifra decimale di r n. Ovviamente faremmo sempre in modo da evitare il periodo 9. Questo numero che potrà essere, con i dati da noi scelti, per esempio 0,64..., è un numero reale ma è diverso da ogni r i. Quindi abbiamo la tesi. Diciamo che l insieme dei numeri reali ha la potenza del continuo. Sorge una domanda immediata. Esistono insiemi che sono più potenti di N e meno potenti di R? A questa domanda non si può fornire risposta, come è stato provato da Kurt Gödel nel 940 e da Paul Cohen nel 967, quindi possiamo enunciare le seguenti proprietà che si escludono a vicenda, ma che possono considerarsi entrambe accettabili, anche se non contemporaneamente. Ipotesi del continuo (CH). Non ci sono insiemi che sono più potenti di N e meno potenti di R. Negazione dell ipotesi del continuo ( CH). Esistono insiemi che sono più potenti di N e meno potenti di R. Almeno in un certo sistema assiomatico che è quello che va per la maggiore 9

6 L ipotesi del continuo è un esempio di problema indecidibile, nel senso che sia esso che la sua negazione possono essere considerati assiomi di distinti sistemi entrambi coerenti. I protagonisti Julius Wilhelm Richard Dedekind nacque a Braunschweig il 6 Ottobre 8. Frequentò il Collegium Carolinum a Braunschweig che era un misto fra scuola superiore e Università, dove ricevette una buona base matematica che perfezionerà in seguito iscrivendosi all Università di Gottinga dove insegnava il grande Gauss. Consegue il dottorato nel 85. Nel 854, cominciò a insegnare teoria della probabilità e geometria all università di Gottinga. Nel 858 si trasferì al Politecnico di Zurigo. In questi anni cominciò i suoi fondamentali studi sulle sezioni dei numeri razionali che porteranno a una sistematizzazione teorica dei numeri reali, che si cercava da tempo in matematica. Nel 86 ritornò al Collegium Carolinum, diventato una Scuola tecnica superiore, dove finirà la sua carriera. Nel 87 pubblicò uno dei suoi più importanti lavori Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuità e numeri irrazionali). Nel 874 incontrò Cantor con cui cominciò a lavorare, anche se indipendentemente sulla teoria degli insiemi infiniti. Nel 888 pubblicò un altro suo importantissimo lavoro: Was sind und was sollen die Zahlen? (Cosa sono i numeri e cosa dovrebbero essere?) dove definisce gli insiemi infiniti come abbiamo visto. Morì a Braunschweig il Febbraio 96. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nacque il Marzo 845 a San Pietroburgo. Nel 856 con la famiglia si trasferì in Germania. Nel 867 conseguì il dottorato presso l'università di Berlino. Ben presto cominciò a occuparsi della teoria degli insiemi infiniti e nel 87 provò che i numeri razionali possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i naturali. Negli stessi anni intraprese una fitta e proficua corrispondenza con Dedekind che si occupava di problemi simili. In una di queste lettere, nel 877, comunicò all amico, usando la famosa frase: Lo vedo, ma non ci credo, di avere provato un risultato paradossale, ossia che i punti dell intervallo [0, ] sono tanti quanti quelli di un insieme a n dimensioni. Cominciò a pubblicare i suoi risultati, che però erano troppo moderni per l epoca e trovò molti oppositori, fra cui il potente Kronecker che fece di tutto per impedirgli una carriera accademica di rilievo. Anche per questo motivo, unito a diversi problemi familiari, fra cui la morte di un giovane figlio, cominciò a soffrire di stati depressivi. Così fu ricoverato diverse volte in manicomio, e proprio in un sanatorio morì, povero, il 6 Gennaio 98 ad Halle, in Germania. 9

7 Verifiche Lavoriamo insieme Possiamo mettere in corrispondenza biunivoca l insieme dei multipli di 5, {5, 0, 5, 0, }, con il suo sottoinsieme dei multipli di 5, {5, 0, 45, 60, }. Per esempio possiamo associare al generico multiplo di 5, che possiamo perciò scrivere 5n, il generico multiplo di 5, che indichiamo con 5n, secondo lo stesso fattore n. Cioè associamo 5 a 5, 0 = 5 4 a 60 = 5 4 e così via. Quindi l'insieme dei multipli di 5, secondo la definizione data, è un insieme infinito.. Provare che l insieme prodotto cartesiano ( ) { } Livello. Utilizzando la corrispondenza biunivoca fra N e Z definita nell esempio, determinare il corrispondente naturale associato all intero 5 e il corrispondente intero associato al naturale 5. [ 7; 470]. Porre in corrispondenza biunivoca N e Z con una legge diversa da quella dell esempio.. Porre in corrispondenza biunivoca Z con i naturali pari. Stabilire quali fra le seguenti coppie di insiemi sono equipotenti (Con M n indichiamo l insieme dei multipli del numero naturale n) Livello M 8,,,,... ; M 5 7 5,,,,... ; Z,,,, ; M 8, R \ Q [Sì ; Sì ; Sì ; No] 5. {, 4, 9,, n , }, R ; M 4, R ; Q,,,, ; 4 6 Z,,,,... [No ; No ; Sì ; Sì] {, 4,, n, },R ; {,,, n, }, R \ Q ; {, 8,, n 4 6, },,,,... [No ; No ; Sì] (Maturità scientifica PNI 0/0) Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi e- saurientemente la risposta. [Luisa] Livello 8. Provare che l insieme dei numeri reali negativi non può essere numerabile. 9. Provare che l insieme dei numeri irrazionali non può essere numerabile. 0. Provare che un segmento di lunghezza ha tanti punti quanto una retta. A B = a, b, a, b B di insiemi numerabili è un insieme numerabile.. Provare che l unione di una infinità numerabile di insiemi numerabile è numerabile. Giochiamo alla matematica Parecchi giochi logici sono effettuati a partire dai paradossi relativi all infinito. Il più famoso di essi è quello dell hotel infinito di Hilbert. Il famoso matematico immaginò che esistesse in una qualche galassia un hotel formato da infinite stanze, ciascuna con un ben determinato numero intero posto sulla sua porta. Un certo giorno l hotel risulta esaurito, tutte le sue infinite stanze sono occupate da infiniti ospiti. La sera giunge un altro ospite. Si chiede: l albergatore deve mandare via il cliente o riesce ugualmente ad alloggiarlo in una stanza? Rispondere alla domanda equivale solo a provare che l insieme N e l insieme N {0} sono equipotenti, il che è vero perché abbiamo visto che l unione di insiemi numerabili e numerabile. Se poi vogliamo mostrare come risolvere praticamente il problema, basta far spostare ciascun ospite nella camera successiva, lasciando così vuota la prima camera che sarà perciò destinata all ospite sopraggiunto. Attività. Mostrare che è possibile sistemare nell hotel di Hilbert esaurito altri 0 clienti.. Mostrare che è possibile sistemare nell hotel di Hilbert esaurito altri infiniti clienti, di infinità numerabile. 94

8 Il Principio di induzione Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico Volume 4 Capitolo 8 - Unità Avendo a che fare con insiemi numerabili può capitare di dovere dimostrare proprietà che riguardano i loro infiniti elementi. Esempio Se volessimo dimostrare che tutti i quadrati dei numeri interi compresi tra e 00 hanno cifra delle unità diversa da, potremmo effettuare un ragionamento oppure potremmo più semplicemente calcolare tutti e 00 i quadrati e vedere che nessuno di essi finisce per. Questo tipo di procedura non è elegante ma è efficace, poiché risolve la questione. Ovviamente se avessimo voluto dimostrare che la proprietà vale per i quadrati di tutti i numeri inferiori a miliardo, la verifica diventerebbe eccessivamente lunga e dovremmo farci aiutare per esempio da un sistema automatico. Abbiamo osservato che verificare che i quadrati dei numeri naturali minori di un miliardo non finiscono mai per, è una procedura troppo lunga, però, almeno in linea teorica, è fattibile. Se volessimo dimostrare che il quadrato di qualsiasi numero naturale non finisce per la verifica non sarebbe neanche fattibile perché non possiamo fare infinite verifiche. A volte però possiamo fare due sole verifiche che valgono per infinite. Esempio 4 Il seguente aneddoto è riferito al piccolo Gauss, che divenne in seguito uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Si dice che alle scuole elementari, il maestro per far stare buoni i bambini assegnò loro di sommare tutti i numeri interi da a 00. Dopo pochi minuti il piccolo genio porto la lavagnetta con il risultato corretto: La leggenda vuole che il bimbo avesse scoperto che la somma era riconducibile al prodotto Noi vogliamo provare più in generale che la somma dei primi n numeri naturali si trova con la n ( n + ) seguente formula: n =, di cui il caso di Gauss è particolare per n = 00. Ora se possiamo verificare che essa è vera per n = 00, semplicemente sommando tutti i 00 numeri e facendo vedere che effettivamente la loro somma è 5050, non possiamo verificarla per tutti i numeri naturali. Allora facciamo in questo modo. Intanto ci assicuriamo che la regola è valida per il primo valore per cui ha ( + ) significato, cioè n =. E in effetti: =. Ora vogliamo fare un tipo di verifica che vale per un numero generico e che mostriamo per esempio per n = 5. Supponiamo di avere già dimostrato che = 4 5. Allora per verificare che la proprietà è vera anche per n = 5, non c è bisogno di rifare tutte le somme. Possiamo dire che = ( ) + 5 = Questo ovviamente ci permette di semplificare i calcoli e adesso di mettere in evidenza, scrivendo: = 5 + = 5 che è proprio la regola valida per n = 5. La procedura mostrata nel precedente esempio può essere applicata a un generico numero naturale n, ottenendo così il seguente risultato generale. Principio di induzione Se A = {a, a, a,, a n, } è un insieme numerabile e P è una proprietà, se. a verifica P. comunque scegliamo un elemento a n in A, il sapere che P è verificata da a n implica che P è verificata anche da a n+ allora P è verificata da tutti gli elementi di A. 95

9 Esempio 5 Dimostriamo la formula di Gauss usando il principio di induzione. Abbiamo già verificato che essa è vera per n =, quindi dobbiamo fare vedere che se è vera per un n generico lo è anche per il successivo (n + ). n ( n + ) ( n + ) ( n + ) Cioè vogliamo dimostrare che n = n + ( n + ) =. Per fare ciò dobbiamo cercare di scrivere quello che vogliamo provare in modo da sfruttare quello che già sappiamo. Allora scriviamo: n + (n + ) = [ n] + (n + ), infatti in questo modo all interno delle parentesi quadrate abbiamo una somma che è quella dell ipotesi, e quindi per la quale n ( n + ) sappiamo il risultato, che perciò andiamo a sostituirlo a essa, ottenendo: + ( n + ). Adesso n n + ( n + ) ( n + ) mettiamo in evidenza a fattor comune: ( n + ) + = ( n + ) = e abbiamo ottenuto proprio ciò che volevamo provare. Quindi la formula è dimostrata. 96

10 Verifiche Lavoriamo insieme Osserviamo che si ha: = 0 = ; = 40 =. Ciò ci conduce a n ( n + ) ( n + ) pensare che sia vera la seguente formula generale: n ( n + ) =. Vogliamo ( + ) ( + ) provarla per induzione. Verifichiamola per n =. = = =. Adesso mostriamo n ( n + ) ( n + ) che se è vero che n ( n + ) = è anche vero che ( n + ) ( n + ) ( n + ) ( n + ) ( n + ) = Abbiamo: ( n + ) ( n + ) = n ( n + ) + ( n + ) ( n + ). Sostituiamo n ( n + ) ( n + ) all espressione fra parentesi quadrate l ipotesi induttiva: + ( n + ) ( n + ). Mettiamo in n n + evidenza a fattor comune: ( n + ) ( n + ) + = ( n + ) ( n + ), cioè la tesi. Provare la validità delle seguenti proprietà, usando il metodo di dimostrazione per induzione Livello n n + n n = n n 7 = ( n) 4 n 4n ( n ) = (n ) = n ( ) ( ) n = n = n 97 ( n ) n + ( ) n = n = 5 n n + n + 4. n ( n + ) n + ( ) ( ) n n ( n + ) =... 5 ( n ) ( n + ) ( n + ) ( ) ( ) n = n 4n + 4n + 6. ( ) ( ) Livello n n + n + n n ( n + ) ( n + ) = 4 Lavoriamo insieme ( ) ( ) ( ) Vogliamo provare per induzione che n (n + ) (n + ) è divisibile per 6, n N. n = n n + n (n ) = n (n ) Per n =, si ha = 6. Adesso proviamo che se è vero che n (n + ) (n + ) è divisibile per 6 è anche vero che (n + ) (n + ) (n + ) è divisibile per 6. Dobbiamo però formalizzare che significa che un numero è divisibile per 6. Che possa scriversi come prodotto di 6 per un termine generico, cioè n (n + ) (n + ) = 6 h. Ora si ha: (n + ) (n + ) (n + ) (n + ) (n + ) n + (n + ) (n + ). Adesso applichiamo l ipotesi induttiva al primo addendo: 6 h + (n + ) (n + ) = [h + (n+) (n + )].

11 Il prodotto di due numeri interi consecutivi è pari, quindi possiamo scrivere (h + k ) = 6 (h + k), che è quello che voleva dimostrarsi. Provare la validità delle seguenti proprietà valide per ogni n naturale, usando il metodo di dimostrazione per induzione. Può essere utile ricordare che la somma di numeri divisibili per h è divisibile per h Livello 8. 7 n n è divisibile per 5 5 n + n + è divisibile per 8 7 n + 5 n+ è divisibile per 6 9. n + 6 è divisibile per 7 n + 4 n + è divisibile per 5 n + + n + è divisibile per sin( n θ ) cos ( n θ ) 0. cos ( θ ) + cos ( θ ) cos ( n ) θ = sin ( θ) + sin ( θ) sin ( n ) θ sin θ = sin θ ( ). Le figure seguenti costituiscono una successione di poligoni, che prosegue sempre seguendo la stessa legge. Determinare quanti quadrati formano il poligono al passo n e dimostrarla poi per induzione. ( ) Lavoriamo insieme 98 [n n + ] Vogliamo provare che n + 5n è divisibile per 6, senza il principio di induzione. Fattorizziamo: n (n + ). Se n è pari, l altro fattore è dispari e viceversa, quindi l espressione è pari. Se n è multiplo di abbiamo finito, se non lo è, vuol dire che diviso per ha resto o, cioè n = h + n = h, quindi n + = (h + ) + = 9h + 6h + + = 9h + 6h + = (h + h + 4), che è divisibile per. Analogo risultato nell altra possibilità. Concludiamo perciò che in ogni caso n + 5n è divisibile per 6. Provare la validità delle seguenti proprietà, valide per ogni n naturale, usando un metodo di dimostrazione diretto Livello. n (n ) è divisibile per n 5 n è divisibile per 0 n 4 + n + n + n è divisibile per 8. n + n è divisibile per 6 7 n 5 n è divisibile per n + (n + ) + (n + ) è divisibile per 9 La sfida Qui riportiamo alcuni quesiti particolarmente impegnativi. Si osservi che =, + 5 =, =, congetturare una legge generale e provarla per induzione. ( n n + k + ) = n n k =. Provare che n 5 + 5n 8n è divisibile per 0, n N.. Provare che a n b n è divisibile per (a b), n N, a e b numeri reali positivi. 4. Provare la disuguaglianza di Bernoulli: ( + x) n + n x, n N, x. 5. Consideriamo il seguente schema infinito di numeri interi non negativi, che hanno i numeri 0,,,,... lungo gli estremi, mentre i numeri interni sono ottenuti sommando i due numeri adiacenti della riga precedente. Mostriamo le righe fino alla sesta Con f(n) denotiamo la somma dei numeri della riga n. Qual è il resto della divisione di f(00) per 00? (Suggerimento: Provare per induzione che f(n) = n ) [74] 6. Provare che n! > n, n N \ {, }. Si ha: n! = n.

12 k 7. Provare che cos( θ) sin n+ ( θ) n =, n N. n+ k= sin( θ) 8. In figura abbiamo tracciato i primi numeri pentagonali (5,, ), determinare la legge che permette di passare da un numero pentagonale al successivo, quindi trovare la legge che permette di determina- n + 5n + re l n esimo numero pentagonale, dimostrandola per induzione. 9. In figura abbiamo tracciato i primi numeri esagonali (6, 5, 8), determinare la legge che permette di passare da un numero esagonale al successivo, quindi trovare la legge che permette di determinare l n esimo numero esagonale, dimostrandola per induzione. [n + n + ] Data la successione di Fibonacci : {,,,, 5, 8,, } in cui ogni numero, a parte i primi due, è somma dei due che lo precedono. Sulla base degli esempi proposti enunciare e dimostrare una congettura 0. + = ; + + = 5 ; = 8 ; =. [F() + F() + + F(n) = F(n ) ]. + = 5 ; = ; = 4 [F() + F(4) + + F(n) = F(n + ) ]. + = ; = 8; =. [F() + F() + + F(n ) = F(n)]. + = ; + + = ; = 5; = 5 8 [F () + F () + + F (n) = F(n) F(n + )] 4. + = ; + = 5; + = ; + 5 = 4; = 89 [F (k) + F (k + ) = F(k + )] 5. = ; = 5; 5 = 8; 8 5 = ; 8 = 5 [F (k+) F (k) = F(k ) F(k+)] 6. = + ; = ; 5 = + ; 8 = 5 ; 5 = 8 + [F(k ) F(k + ) = F (k) ; F(k) F(k + ) = F (k + ) + ] Temi assegnati agli esami di stato I seguenti sono adattamenti dei temi assegnati in alcuni esami di stato degli anni scorsi, abbiamo variato solo la richiesta del problema, ma non i dati né lo spirito dei problemi I temi completi dei Licei Scientifici per gli ultimi anni sono scaricabili, con soluzione, dal sito (Liceo scientifico 00/0) Considerati i primi n numeri naturali a partire da :,,,..., n, n, moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta n ( n + ) n ( n ) n ; C) ( n + ) ( n + ) ( n + ) n ( n ) ( n + ) uguale a: A) ; B) ; D). Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata. [D]. (Liceo scientifico PNI 0/4) Le lettere NZQR,,, denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali mentre il simbolo ℵ0 (aleph-zero) indica la cardinalità di N. Gli insiemi ZQR,, hanno anch essi cardinalità ℵ0? Si motivi la risposta. [ ZQ, sì; R no] Per svolgere un Test finale di 0 quesiti, collegati al sito 99