Avvertenza. Trento, 31 maggio 2012

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1 Avvertenza Trento, 31 maggio 2012 Queste dispense sono state preparate da Luca Sittoni e Alvise Bozzo nel come supporto per il corso di Idrodinamica tenuto dal prof. Marco Tubino. Si noti che gli esercizi d esame hanno subito un evoluzione nel corso degli anni verso casi più complessi. Per questo motivo la casistica degli esercizi svolti non può essere ritenuta esaustiva. Si prega di segnalare eventuali errori a guido.zolezzi@unitn.it

2 Esercizi di Idrodinamica Bozza 16 gennaio 2006 Facoltà di Ingegneria Università degli Studi di Trento

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4 Indice Introduzione 4 1 Tracciamento dei profili di rigurgito in alvei cilindrici Natura dell alveo Profili di rigurgito in alvei cilindrici Alveo fluviale Alveo torrentizio Alveo critico Localizzazione dei risalti Problema di imbocco Alveo fluviale Alveo torrentizio Salto di fondo Schema di svolgimento dislivello positivo Salto basso Salto alto Schema di svolgimento dislivello negativo Salto basso Salto alto Deflusso laterale di portata Nota L, determinare Q u e il profilo della corrente Alveo fluviale a monte Alveo torrentizio a monte Nota Q u, determinare la L necessaria e il profilo della corrente Alveo torrentizio a monte Alveo fluviale a monte e a valle Afflusso laterale di portata Corrente lenta Corrente veloce

5 4 INDICE Corrente veloce senza transizione Corrente veloce con transizione Luce di fondo Luce libera Luce rigurgitata Brusco restringimento di sezione Corrente lenta e veloce con transizione Corrente lenta senza transizione Corrente veloce senza transizione Soluzione di prove di esame Esame Esame Esame Esame Esame Esame Esame Esame

6 Introduzione Queste dispense iniziano con la presentazione di un possibile approccio generale alla soluzione dei problemi sui profili di rigurgito. Lo scopo è quello di evidenziare le domande che è utile porsi nell affrontare un esercizio qualunque, per poter reperire le informazioni necessarie nella giusta sequenza. L approccio proposto ha un carattere generale e indicativo al tempo stesso, nel senso che non intende essere una forzatura agli stili personali di apprendimento, nè un limite alla creatività di ognuno nel proprio modo di affrontare e risolvere i problemi. L analisi di un profilo di rigurgito fa riferimento ai principi generali di conservazione della quantità di moto e della massa liquida. Tali principi sono espressi da equazioni che assumono forma differente nelle diverse regioni in cui si può suddividere l alveo oggetto di studio (conservazione dell energia, equazione dei profili, bilancio delle spinte, etc...). Un possibile approccio al problema, del tutto generale, è quello di affrontare in sequenza le seguenti domande: 1. Conosco la portata? (se no, come la calcolo?) 2. Qual è la natura degli alvei con cui ho a che fare? (torrentizio, fluviale, critico: si determina calcolando e confrontando i valori del tirante critico e di moto uniforme, oppure calcolando la pendenza critica e confrontandola con quella dell alveo) 3. Da dove parto a tracciare i profili? Si individuano le sezioni di controllo che è possibile definire con certezza con i dati a disposizione, esaminando per esempio cambi di pendenza, imbocchi da serbatoi, luci di fondo, etc... Dall analisi sono inizialmente esclusi fenomeni localizzati e/o distribuiti in tronchi brevi (restringimenti, afflussi, salti di fondo, etc.) per la cui soluzione è necessario un primo tracciamento dei profili possibili. 4. Quali sono i possibili profili a partire dalle condizioni al contorno (quote del pelo libero) imposte nelle sezioni di controllo individuate? La risposta consente di precisare le condizioni di moto indisturbato o di riferimento per lo studio degli eventuali fenomeni localizzati e/o distribuiti in tronchi brevi (restringimenti, afflussi, etc.). 5. In quali condizioni si svolge il deflusso in corrispondenza degli eventuali fenomeni localizzati e/o distribuiti in tronchi brevi (restringimenti, afflussi, etc.)? L analisi si può svolgere secondo la traccia seguente: 5

7 6 INDICE a. Con quali ipotesi analizzo il fenomeno? (quale grandezza si ipotizza costante?) b. Quali sono le condizioni di moto indisturbato o di riferimento? (qual è il valore della grandezza che si mantiene costante?) c. I valori di portata in gioco possono defluire in quelle condizioni? d. Determinazione del profilo e delle quote della superficie libera imposte come condizioni al contorno per il tracciamento dei profili a monte e/o a valle 6. Quali sono i profili possibili con le condizioni al contorno appena determinate? 7. Quale profilo si realizza effettivamente? Si determina localizzando la posizione di eventuali risalti (con la massima precisione consentita), attraverso il principio di conservazione della spinta in forma integrale (o bilancio delle spinte ). Dopo questo cappello introduttivo, viene sviluppato l approccio proposto attraverso la suddivisione in 3 capitoli: Capitolo 1 Richiami teorici sulla determinazione della natura degli alvei (1.1), dei profili di rigurgito (1.2) e sulla localizzazione di eventuali risalti (1.3). Capitoli 2 7 Richiami teorici sulla determinazione delle condizioni imposte da fenomeni localizzati e distribuiti in tronchi brevi. Capitolo 8 Soluzione di alcune prove di esame degli anni 2002, 2003, Di seguito vengono riportati i principali simboli e notazioni utilizzati.

8 INDICE 7 Simbologia grafica Simbologia adottata nelle relazioni principali

9 8 INDICE Q q [ m3 s ] [ m3 sm ] portata portata specifica Y [m] tirante o profondità Ω [m 2 ] area della sezione bagnata B [m] contorno bagnato della sezione b [m] larghezza della sezione C [ ] conduttanza idraulica (coefficiente adimensionale di Chezy) g [ m ] s 2 accelerazione di gravità ρ [ Kg m 3 ] densità del fluido γ [ N m 3 ] peso specifico i f [ ] pendenza del fondo S [N] spinta K s [ m 1 3 s ] Coefficiente di Strickler H [m] energia meccanica totale E [m] energia meccanica specifica F r [ ] numero di Froude c [ ] coefficiente di contrazione della vena a [m] altezza della luce di fondo c q [ ] coefficiente di portata ξ [ ] coefficiente perdita localizzata R r [ ] rapporto di restringimento

10 INDICE 9 Elenco dei pedici più diffusi Si riportano due esempi di lettura dei pedici: Y M tirante di monte E min Q energia minima a portata costante 0 valore relativo al moto di riferimento M V max min u cr r l co luce lago L monte valle massimo minimo uniforme critico ristretta luce coniugata luce lago-serbatoio laterale

11 10 INDICE

12 Capitolo 1 TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI RIGURGITO IN ALVEI CILINDRICI 1.1 Natura dell alveo La natura del canale può essere calcolata attraverso 2 procedure equivalenti: dal confronto tra la pendenza del canale, i f, e la pendenza critica, funzione delle caratteristiche geometriche e di scabrezza dello stesso, nonchè della portata transitante: ( ) Ω i f cr Q = C 2 br h Y cr Q = ( ) B (1.1) C 2 b Y cr Q confronto fra il tirante critico Y cr e il tirante di moto uniforme Y u, per l assegnata portata Q. In alveo rettangolare: Y u = [ Q bk s ifo ] 3 5 Y cr = 3 Q 2 gb 2 Per un alveo con pendenza pari alla pendenza critica relativa alla portata in esame, il tirante di moto uniforme coincide col tirante critico. Dal confronto tra la pendenza del corso d acqua e la pendenza critica a portata assegnata o tra il tirante di moto uniforme e quello critico, si ha: 11

13 Profili di rigurgito in alvei cilindrici i f > i f cr Q Y u < Y cr alveo torrentizio per la portata assegnata i f < i f cr Q Y u > Y cr alveo fluviale per la portata assegnata i f = i f cr Q Y u = Y cr alveo critico per la portata assegnata Si ricorda che variazioni di portata possono far variare la natura dell alveo; in particolare un aumento di Q può far diventare torrentizio un alveo fluviale e viceversa. Quindi, tutte le volte che nei capitoli 2 7 si farà riferimento ad alvei di natura fluviale o torrentizia, si intenderà più correttamente alvei che per la portata a cui si fa riferimento assumono un assetto di moto indisturbato fluviale o torrentizio. Indipendentemente dalla sua natura un alveo può essere percorso da: correnti lente o subcritiche: corrispondono a valori di profondità maggiori del tirante critico. Sono governate dalla condizione al contorno di valle e devono pertanto essere tracciate da valle verso monte. correnti veloci o supercritiche: corrispondono a valori di profondità minori del tirante critico. Sono governate dalla condizione al contorno di monte e devono pertanto essere tracciate da monte verso valle. 1.2 Profili di rigurgito in alvei cilindrici Alveo fluviale Per un alveo fluviale, in funzione dell altezza del tirante che si vuole raccordare al moto uniforme, si individuano 3 tipologie di profili, due di corrente lenta, uno di corrente veloce. (N.B.:riguardo le problematiche di tracciamento dei profili M1 nei temi d esame, si rimanda alla nota introduttiva)

14 1. TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI RIGURGITO IN ALVEI CILINDRICI 13 Figura 1.1: Profilo M1 di corrente lenta in alveo fluviale Figura 1.2: Profilo M2 di corrente lenta in alveo fluviale

15 Profili di rigurgito in alvei cilindrici Figura 1.3: Profilo M3 di corrente veloce in alveo fluviale Alveo torrentizio Per un alveo torrentizio, in funzione dell altezza del tirante che si vuole raccordare al moto uniforme, si individuano 3 tipologie di profili, due di corrente veloce, uno di corrente lenta. Figura 1.4: Profilo S1 di corrente lenta in alveo torrentizio

16 1. TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI RIGURGITO IN ALVEI CILINDRICI 15 Figura 1.5: Profilo S2 di corrente veloce in alveo torrentizio Figura 1.6: Profilo S3 di corrente veloce in alveo torrentizio

17 Profili di rigurgito in alvei cilindrici Alveo critico La pendenza è pari alla pendenza critica per la portata assegnata; questo tipo di alveo è caratterizzato dalla coincidenza del tirante di moto uniforme con l altezza critica. L assetto di moto uniforme non è condizione di equlibrio stabile, poiché ad una piccola perturbazione energetica il corso d acqua risponde con grandi variazioni altimetriche; pertanto l assetto di moto uniforme viene riprodotto, nelle figure seguenti, in maniera ondulata. Per quanto riguarda i profili di raccordo si individuano 2 sole correnti, una lenta ed una veloce, in quanto dalla coincidenza tra tirante di moto uniforme e tirante critico derivano 2 sole zone, una di corrente sub-critica ed una di corrente super-critica. Caratteristica comune a questi due profili, in ipotesi di alveo rettangolare largo e coefficiente di conduttanza C costante, è l andamento orizzontale del profilo di raccordo rispetto al piano di riferimento dell energia meccanica totale, per tiranti disversi dal tirante critico ovvero di moto uniforme : dh dx Y Y U = 0 dy dx Y Y U = i f Figura 1.7: Profilo C1 di corrente lenta in alveo critico

18 1. TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI RIGURGITO IN ALVEI CILINDRICI 17 Figura 1.8: Profilo C1 di corrente veloce in alveo critico I profili possibili in alveo fluviale, torrentizio e critico sono riassunti nella seguente tabella. Corrente lenta Corrente veloce Y cr < Y u < Y M1 Alveo fluviale Y cr < Y < Y u M2 Y < Y cr < Y u M3 Alveo critico Y cr = Y u < Y C1 Y < Y cr = Y u C2 Y u < Y cr < Y Alveo torrentizio Y u < Y < Y cr S2 Y < Y u < Y cr Tabella 1.2: Tabella riassuntiva dei diversi profili, in funzione della natura del canale S1 S3

19 Localizzazione dei risalti 1.3 Localizzazione dei risalti I risalti idraulici raccordano tra loro un profilo supercritico con uno subcritico. Si localizano dove i 2 profili raggiungono valori di profondità caratterizzati dalla stessa spinta idrodinamica: le 2 profondità si definiscono coniugate e soddisfano la seguente relazione: Y 1 = 1 ( ) F r1 2 Y 2 2 (1.2) Tra i profili trattati in precedenza, si localizzano dei risalti nel profilo M 3 e nell S1, per raccordare correnti di natura discorde rispetto a quella del moto indisturbato (M 3 è corrente veloce in alveo fluviale, S1 è corrente lenta in alveo torrentizio).

20 Capitolo 2 PROBLEMA DI IMBOCCO Il problema d imbocco si studia ipotizzando la costanza dell energia specifica, E lago, pari alla profondità che si realizza all imbocco del canale: E lago = H M H V (2.1) La seconda informazione è fornita dal canale di valle, se sufficientemente lungo: si assume la condizione asintotica di moto uniforme. Le incognite del problema sono la profondità di moto uniforme Y u e la portata defluente Q, che si trovano dunque a partire dalle due condizioni: E lago = Y u ( Y u = Q K S if b Q2 gb 2 Yu ) (2.2) E lago = Y u Q2 gb 2 Y 2 u (2.3) La portata massima che può defluire dal lago (cioè con energia E lago ) corrisponde al passaggio per le condizioni critiche: Y cr E = 2 3 E lago (2.4) Q max = E lagob 3 E lagog (2.5) Il lago a monte del canale può immaginarsi come caso particolare di alveo fluviale in corrente lenta (acqua ferma). 19

21 Alveo fluviale A valle dell imbocco possono verificarsi due condizioni: Y u qmax > Y cr E : alveo fluviale; Y u qmax < Y cr E : alveo torrentizio. 2.1 Alveo fluviale Il sistema è controllato da valle: si realizzano (Q, Y u ) date dalla soluzione del sistema (2.2). Y [m] E lago E=cost=E lago Elago YuM Y M Ycr Q usc Q[m 3 /s] H m H v Figura 2.1: prolfilo di imbocco in alveo fluviale 2.2 Alveo torrentizio Nella sezione d imbocco si ha il raccordo tra la corrente lenta di monte (acqua ferma nel lago) e la condizione asintotica del moto uniforme veloce di valle. Nella sezione d imbocco si ha quindi passaggio per la profondità critica: Y cr E = 2 3 E lago (2.6)

22 2. PROBLEMA DI IMBOCCO 21 Il passaggio per le condizioni critiche impone che la portata defluente sia la portata massima compatibile con E lago secondo la (2.5) indipendentemente dalle condizioni di valle (controlla monte). La profondità di moto uniforme è data da Y u = ( Q K S if b ) 3 5 (2.7) Y [m] Elago S2 YuM E lago Ycr Ym E=cost=E lago Q usc =Q MAX Q[m 3 /s] H m H v Figura 2.2: prolfilo di imbocco in alveo fluviale

23 Alveo torrentizio

24 Capitolo 3 SALTO DI FONDO Ipotesi: conservazione dell energia meccanica totale a monte e a valle del salto: H M = H V (3.1) 3.1 Dislivello positivo Figura 3.1: conservazione dell energia meccanica totale per dislivello positivo 23

25 Schema di svolgimento dislivello positivo L energia meccanica totale, H, è la somma dell energia meccanica specifica, E, più l altezza geodetica, s, misurata dal fondo rispetto ad un piano di riferimento coincidente con il letto di valle : La (3.1) si riscrive: H M = E M + s H V = E V (3.2) E M + s = E V (3.3) Il passaggio del salto può avvenire con transizione attraverso la stato critico (salto alto) solo nel caso di corrente indisturbata lenta quando può verificarsi, se il salto è troppo alto: E M = E V s < E min Q (3.4) dove, per canale rettangolare, l energia minima a portata assegnata è pari a Nei casi di corrente indisturbata veloce si ha sempre E min Q = 3 2 Y cr Q = 3 3 Q 2 (3.5) 2 2gb 2 E V > E M > E min Q (3.6) In ognuno dei 4 casi possibili, esaminati di seguito, l obiettivo è calcolare le quote Y M e Y V, imposte rispettivamente a monte e a valle del salto, che possono costituire (se idonee) le condizioni al contorno per il tracciamento dei profili nelle livellette a monte e a valle Salto basso Alveo torrentizio L assetto idrodinamico del torrente è governato da monte: esso si mantiene in codizioni indisturbate fino alla sezione di discontinuità; se la livelletta è sufficientemente lunga, l assetto indisturbato coincide col moto uniforme, per cui Y M = Y u costituisce la condizione al contorno per il tratto a monte e impone il valore di E M riferimento: di

26 3. SALTO DI FONDO 25 E M = Y u + Q2 2gb 2 Y 2 u (3.7) con Y u tirante di moto uniforme. L energia nella sezione a valle del salto è pari, come dalla relazione iniziale, a: E V = E M + s (3.8) Il calcolo del tirante di valle avviene invertendo la formula dell energia meccanica specifica, scegliendo la soluzione di corrente veloce tra le due radici positive dell equazione cubica: Y 3 V Y 2 V E V + Q2 2gb 2 = 0 (3.9) Y Q=cost Y cr Y m Y v s s3 Ecr Em Ev E Alveo fluviale Figura 3.2: profilo in alveo torrentizio a monte e a valle di un salto L assetto idrodinamico del canale è governato da valle e vale la condizione Se la livelletta di valle è sufficientemente lunga, vale E M = E V s > E min Q (3.10) Y V = Y u per cui l energia specifica di valle e di monte sono date da

27 Schema di svolgimento dislivello positivo E V = Y u + Q2 2gb 2 Y 2 u (3.11) E M = E V s (3.12) Il valore del tirante di monte, maggiore del tirante critico, viene calcolato invertendo l espressione dell energia specifica, scegliendo la radice positiva che corrisponde a condizioni sub critiche: Y 3 M Y 2 ME V + Q2 2gb 2 = 0 (3.13) Y Yv Ym Ycr m2 S Ecr Em Ev E Figura 3.3: profilo in alveo fluviale a monte e a valle di un salto basso Salto alto Si può verificare quando il moto indisturbato è una corrente lenta, nel caso in cui l energia di monte sia minore dell energia critica per la Q assegnata: E M = E V s < E min Q (3.14) Il fenomeno è quindi controllato da monte, dove avviene transizione per lo stato critico: Y M = Y cr Q ; E M = E min Q Il passaggio per lo stato critico impone un livello energetico maggiore a valle: Il tirante di valle si ottiene in modo analogo alla (3.9). E V = E M + s (3.15)

28 3. SALTO DI FONDO 27 Y Yu m2 risalto Q=cost Ym Yco Yv s s m3 Em Ecr=Em Ev Ev' E Figura 3.4: profilo in alveo fluviale a monte e a valle di un salto alto 3.2 Dislivello negativo Figura 3.5: conservazione dell energia meccanica totale per dislivello negativo Il caso di dislivello negativo si affronta in modo analogo al precedente, con la differenza che la conservazione dell energia fornisce E M = E V + s (3.16) Le correnti indisturbate a rischio di transizione sono pertanto in questo caso le correnti veloci, per le quali è possibile che E V < E min Q

29 Schema di svolgimento dislivello negativo Ciò premesso, nel seguito si riportano solo le formule per il calcolo di Y M e Y V e i relativi grafici, poichè le considerazioni sulla metodologia sono analoghe al caso precedente Salto basso Vale Alveo torrentizio E V = E M s > E min Q = 3 2 Y cr Q (3.17) Y M = Y u Q2 E M = Y M + 2gb 2 YM 2 (3.18) Y V è soluzione positiva supercritica di E M = E V + s (3.19) Y 3 V Y 2 V E V + Q2 2gb 2 = 0 (3.20) Y Q=cost Ycr Yv Ym s s2 Ecr Ev Em E Figura 3.6: Profilo di corrente veloce a monte e a valle di un salto basso

30 3. SALTO DI FONDO 29 Alveo fluviale Y V = Y u E V = Y V + Q2 2gb 2 Y 2 V (3.21) E M = E V + s (3.22) Y M è soluzione positiva subcritica di Y 3 M Y 2 ME M + Q2 2gb 2 = 0 (3.23) Y Ym Y Ycr m1 s Ecr Ev Em E Figura 3.7: Profilo di corrente lenta a monte e a valle di un salto Salto alto Si verifica che E V = E M s < E min Q = 3 2 Y cr Q (3.24) Si ha deflusso attraverso le condizioni critiche nella sezione di valle, che diventa sezione di controllo:

31 Schema di svolgimento dislivello negativo A monte si ha: E V = E min Q = 3 2 Y cr Q = 3 3 Q 2 (3.25) 2 gb 2 Y V = Y cr Q (3.26) e Y M soluzione positiva subcritica di E M = E V + s (3.27) Y 3 M Y 2 ME M + Q2 2gb 2 = 0 (3.28) Y Ym Yco Yv Yu s s2 s1 risalto s Q=cost Ev Ecr=Ev' Em Em E Figura 3.8: Profilo di corrente veloce a monte e a valle di un salto alto

32 Capitolo 4 DEFLUSSO LATERALE DI PORTATA Consiste nel deflusso di una portata Q u esternamente all alveo in esame, attraverso uno stramazzo di lunghezza L e altezza d. Il deflusso laterale si studia ad E = cost, e pari al valore del moto di riferimento. La definizione del moto di riferimento richiede alcuni passaggi, che dipendono dal tipo di problema considerato. Si hanno in genere 2 classi di problemi: :è nota la lunghezza L dello sfioratore, non è nota la portata uscente Q, perchè dipende dal profilo della corrente lungo lo sfioratore, che è incognita; è nota la portata Q u che si vuole far uscire, bisogna dimensionare la lunghezza L dello sfioratore per quel tipo di corrente. 4.1 Nota L, determinare Q u e il profilo della corrente Alveo fluviale a monte Se l alveo di monte è fluviale, tale sarà sicuramente a valle. Il moto di riferimento è quindi il moto uniforme di valle, che è tuttavia ignoto, dato che non si conosce Q u. Si procede quindi attraverso un procedimento iterativo, ipotizzando un valore di primo tentativo per Q u : quello che si avrebbe ipotizzando la profondità della corrente costante all interno della regione di deflusso e pari al valore noto del moto uniforme di monte Y u,m : Q I u = Lc q g(yu,m d) 3/2 (4.1) Q I L = Q M Q I u (4.2) 31

33 Nota L, determinare Q u e il profilo della corrente Y I V = Y u QL (4.3) E I V = Y I V + QI L 2 2g(bY I V )2 (4.4) Y cr E I V = 2 3 EI V (4.5) Q max E I V = b g(y cr E I V ) 3/2 (4.6) dove l apice I indica la stima di primo tentativo di ogni grandezza. Perchè il deflusso avvenga da valle, bisogna verificare che Q M < Q max E I V (4.7) Y * =Y /Yc E=cost E = costante Figura 4.1: grafico adimensionale Y*(Q*) ad E cost Q*=Q / Q max E=cost In questo caso si integra il profilo verso monte utilizzando il grafico adimensionale Y (Q ) ad E costante e pari a EV I. Le grandezze adimensionali sul grafico sono:

34 4. DEFLUSSO LATERALE DI PORTATA 33 Y = Y/Y cr E I V Q = Q/Q max E I V La distanza L si divide in n step di lunghezza x, con x n = L, avendo stabilito l origine delle x all inizio dello sfioratore (figura 4.2). Figura 4.2: convenzioni geometriche nel tratto di deflusso Il calcolo del profilo si accoppia al calcolo della portata attraverso l equazione di continuità, in cui la portata uscente q i per ogni tratto x è ottenuta attraverso la formula degli stramazzi, con c q = x n 1 = L x (4.8) Y n = Y I V (4.9) q n 1 = xc q g(yn d) 3/2 (4.10) Q n 1 = Q I L + q n 1 (4.11) Noto Q n 1 dalla 4.11, si ricava Yn 1 attraverso il grafico (4.1) e quindi Y n 1 ; il conto si ripete analogamente nella sezione x n 2 (nella 4.11 al posto di Q I L si inserisce il valore

35 Nota L, determinare Q u e il profilo della corrente Q n 1, che sommato alla q n 2, da calcolarsi, porge il valore della portata nella sezione x n 2, Q n 2 ),... e così via fino a raggiungere la sezione iniziale x 0 = 0. Qui si confrontano il valore così calcolato nella sezione iniziale del deflusso Q I (x = x 0 ) con il valore noto Q M della portata di monte. Se la differenza fra i 2 valori è inferiore ad una tolleranza (percentuale) accettabile, la soluzione è terminata. Altrimenti si ripete la procedura a partire dall equazione (4.1) con un valore di secondo tentativo per Q u, corrispondente a quello appena calcolato: da cui le nuova condizioni di valle: Q II u = Q I (x = x 0 ) Q I L (4.12) Q II L = Q M Q II u (4.13) Y V = Y u Q II L (4.14) Le interazioni si ripetono fino alla j-esima, cioè la prima per la quale Q M Q j (x = x 0 ) Q M tolleranza(%) (4.15) Alveo torrentizio a monte Se l alveo di monte è torrentizio, il moto di riferimento è il moto uniforme di monte per cui si assume: Y M = Y u,m (4.16) E M = E Yu (4.17) Y cr EM = 2 3 E M (4.18) Q max EM = b g(y cr EM ) 3/2 (4.19) La soluzione, diversamente al caso precedente, prevede un unica integrazione, da monte verso valle, senza la procedura iterativa.

36 4. DEFLUSSO LATERALE DI PORTATA 35 Si utilizza il grafico adimensionale (4.1) Y (Q ) ad E = cost = E M ; le grandezze usate per l adimensionalizzazione sono Y cr EM e Q max EM. In modo analogo all integrazione numerica descritta si ha: x 1 = x 0 + x (4.20) Y 0 = Y M (4.21) q 1 = xc q g(y0 d) 3/2 (4.22) Q 1 = Q M q 1 (4.23) Nota Q 1 si ricava Y 1 dal grafico (4.1) e quindi Y 1 ; ipotizzando Y = Y 1 =costante nell intervallo tra x 1 e x 2 = x 1 + x si ricava q 2 attraverso la (4.22), con Y 1 al posto di Y 0 e così via. Il conto si ripete fino alla sezione x L, dove si completa il tracciamento del profilo e si determinano le condizioni di valle Q L e Y L ; si ha: Y V = Y L (4.24) Q u = Q M q L (4.25) dove Q u è la portata uscente. E opportuno verificare, infine, che la natura dell alveo a valle non sia cambiata rispetto a monte. 4.2 Nota Q u, determinare la L necessaria e il profilo della corrente Il problema è semplificato rispetto al caso 4.1 dato che il moto di riferimento è sempre noto Alveo torrentizio a monte Bisogna verificare che l alveo rimanga torrentizio anche a valle, ovvero che Y u QL < Y cr QL (4.26)

37 Nota Q u, determinare la L necessaria e il profilo della corrente Se la (4.26) è verificata, il moto di riferimento è il moto uniforme di monte e si integra da monte verso valle secondo la procedura indicata nel paragrafo (4.1.2), arrestando l integrazione nella sezione x k che verifica Q k = Q M Q u (4.27) Si ha dunque L = x k e un andamento del profilo della corrente rappresentato in figura (4.3) Y Ecost = Em Ycr c. lenta c. veloce Ym Yu, Yv s3 Q scala di deflusso Q v Q m Q Figura 4.3: profilo di deflusso in alveo torrentizio a monte e a valle Se la (4.26) non è verificata e risulta Q M > Q max EV, il moto di riferimento è sempre il moto uniforme di monte e la procedura è analoga a quella appena indicata; l andamento qualitativo della corrente è visualizzato in figura (4.4). Y [m] E cost = E m Ycr,m Ym Scala di deflusso Yu,v Ycr,v Yv m3 + risalto Q Q v Q m Q [m 3 /s] Figura 4.4: profilo di deflusso in alveo torrentizio a monte e fluviale a valle

38 4. DEFLUSSO LATERALE DI PORTATA Alveo fluviale a monte e a valle Il moto di riferimento è il moto uniforme di valle; si determina il profilo integrando da valle verso monte secondo la consueta procedura e arrestando l integrazione nella sezione x n k dove Q n k = Q V (4.28) Si ha quindi L = x n k e un andamento qualitativo del profilo della corente rappresentato in figura (4.5). Y Yu,m Y v Ym Ycr m2 scala di deflusso c. lenta c. veloce Ecost =Em Q Qv Qm Q Figura 4.5: profilo di deflusso in alveo fluviale a monte e a valle

39 Nota Q u, determinare la L necessaria e il profilo della corrente

40 Capitolo 5 AFFLUSSO LATERALE DI PORTATA In un tratto di lunghrzza L la portata del canale passa da Q 0 a Q L, che si assumono note. Il fenomeno si studia a Spinta costante. I casi trattati sono quelli di corrente di riferimento lenta e veloce e di transizione attraverso lo stato critico (fig.5.1). Y [m] CORRENTE LENTA Y [m] CORRENTE VELOCE S=S 0 S=S 0 Q L Q V =Q 0 Q MAX S0 Q[m 3 /s] Q[m 3 /s] Q M =Q 0 Q L (1) Q MAX S0 Q L (2) Figura 5.1: Implicazioni della conservazione della spinta totale nei problemi di afflusso laterale di portata Se il moto di riferimento è una corrente lenta, non si pongono problemi di transizione (fig.5.1, a sinistra), in quanto il valore della Spinta è imposto da valle. Se il moto di riferimento è una corrente veloce, la Spinta associata al moto uniforme di monte può non essere compatibile con l afflusso di portata (caso Q (2) L in fig.5.1, a destra): 39

41 Corrente lenta Q L > Q max S0 (5.1) In questo caso, nel tratto di monte avverrà la transizione da corrente veloce a lenta, al fine di accumulare l energia necessaria per fronteggiare il processo di afflusso e la Spinta minima esercitata dalla portata di valle. 5.1 Corrente lenta Il moto è controllato da valle dove sono note Q L e Y V (di moto uniforme se la livelletta è sufficientemente lunga). Il valore della Spinta che si assume costante è quello della sezione di valle: S = S V = 1 2 ρgby 2 V + ρ Q2 L by V (5.2) Y [m] Y M Y V Yu M Ycr m1 S=cost=Sv Q M Q V Q[m 3 /s] Figura 5.2: Profilo della corrente nel caso di afflusso laterale di portata in alveo fluviale a monte e a valle A monte si ha: Y M soluzione positiva sub-critica di S M = S V (5.3) Y 3 M 2 S M γb + 2 Q2 0 gb 2 = 0 (5.4) che si ottiene a partire dalla (5.2) precisata per Y = Y M e Q = Q 0. Il tirante a monte dell afflusso eccede il tirante di moto uniforme di una quantità: Y = Y M Y u Q0 (5.5)

42 5. AFFLUSSO LATERALE DI PORTATA Corrente veloce Il moto è controllato da monte; occorre verificare che la Spinta di monte sia sufficiente per il deflusso della portata Q L in caratteristiche di corrente veloce. Si deve dunque verificare se dove Q L > Q max S0 (5.6) Q max S M = b gy 3 cr S M (5.7) Y cr S M = 2 S M 3 ρgb (5.8) S M = 1 2 ρgby 2 M + ρ Q2 0 by M (5.9) Corrente veloce senza transizione Si ha quando Q L < Q max S M. Noti Q 0 e Y M, portata di monte e corrispondente tirante di moto uniforme, si calcola S M attraverso la (5.9). Da cui: S V = S M (5.10) Il tirante a valle Y V si ricava come soluzione positiva supercritica della: Y 3 M 2 S M γb + 2 Q2 0 gb 2 = 0 (5.11) Il tirante a valle dell afflusso sarà maggiore del tirante di moto uniforme di una quantità Y = Y V Y u QL (5.12)

43 Corrente veloce Y [m] S=cost=Sm Y V Yu V Y M Q M Q V Q[m 3 /s] Figura 5.3: Profilo della corrente nel caso di afflusso laterale di portata in alveo torrentizio a monte e a valle Corrente veloce con transizione Si verifica quando Q L > Q max S M. La Spinta di monte (5.9) non consente il deflusso della portata Q L. Il controllo passa alla sezione di valle, dove il sistema assume il minimo valore di spinta che consente il passaggio di Q L. Si calcola: S V = 1 2 ρgby 2 cr Q L + ρ Q2 L by cr (5.13) Y V = Y cr QL = 3 Q 2 L gb 2 (5.14) A monte Y M è la soluzione positiva sub-critica dell eqazione (5.11). Y [m] Y M S=cost=Sv S=cost=Sm Y V Yu V Yu M s1 + risalto s2 Q M QV Figura 5.4: Profilo di afflusso per alveo torrentizio con transizione

44 Capitolo 6 LUCE DI FONDO La presenza di una luce di fondo può costituire una sezione di controllo che impone una profondità di corrente lenta a monte (Y M ) e una di corrente veloce a valle, dove si ha la vena contratta (ca: c=coefficiente di contrazione, a=altezza della luce di fondo) (eq 6.3). Una luce che impone entrambe le condizioni è libera, mentre, se il controllo verso valle è annegato, la luce è rigurgitata. Il fenomeno di rigurgito della vena in uscita dalla luce può interessare esclusivamente alvei di natura fluviale a valle della luce. Infatti un alveo torrentizio è governato da monte, dalla condizione imposta dal tirante associato alla sezione di vena contratta; in un alveo fluviale l effettivo realizzarsi del controllo di monte va verificato attraverso un bilancio delle spinte relative alla sezione di vena contratta e alla condizione esistente a valle di questa (moto uniforme se la livelletta è sufficientemente lunga). 6.1 Luce libera Si parla di luce libera quando l alveo di valle è di natura torrentizia o quando, per alveo di valle fluviale, si verifica: S M > S V (6.1) 1 2 γb(ca)2 + ρ Q2 b(ca) > 1 2 γby 2 u + ρ Q2 by u (6.2) Sono in genere noti la ca e Q; Y M si ricava ipotizzando la costanza dell energia specifica tra la sezione a monte e la sezione di vena contratta a valle della luce: Q2 E V = E M Y M + 2gb 2 YM 2 = ca + Q 2 2gb 2 (ca) 2 (6.3) 43

45 Luce libera c = 0.61 (6.4) Si può calcolare agevolmente un valore di primo tentativo del tirante Y M a monte della luce, trascurando il termine cinetico nel membro di monte dell equazione dell energia, poichè generalmente Y M ca. Y M = ca + Questa ipotesi va comunque sempre verificata a posteriori. Q 2 2gb 2 (ca) 2 (6.5) Raccogliendo i due termini cinetici nella (6.3), si può esprimere la portata Q come funzione esclusivamente del triante di monte, Y M, e del tirante di vena contratta, ca, ovvero, delle caratteristiche geometriche della luce. Si definisce in tal modo una scala di deflusso indipendente dalle condizioni di valle (il termine 2gY M prende il nome di velocità Torricelliana): Q = c q ab 2gY M (6.6) c q = c (6.7) (1 + ca Y M Q = f(y M, ca) (6.8) Y Y Yu Ecost=Em=Ev m1 scala di deflusso Yv m3 + risalto Q Q Figura 6.1: luce libera in alveo fluviale.

46 6. LUCE DI FONDO 45 Y Ym Ecost=Em=Ev s1 + risalto Yu Yv s3 scala di deflusso Q Q 6.2 Luce rigurgitata Si parla di luce rigurgitata quando: Figura 6.2: luce libera in alveo torrentizio. S M < S V (6.9) 1 2 γb(ac)2 + ρ Q2 b(ca) < 1 2 γby 2 u + ρ Q2 by u (6.10) Il moto uniforme di valle (Y u ) è in grado di opporre una spinta idrodinamica maggiore di quella associata alla sezione di vena contratta, ovvero il tirante di vena contratta è maggiore dell altezza coniugata al tirante di moto uniforme. La soluzione di un problema di luce rigurgitata richiede, quindi, un analisi diversa da quella consentita in caso di luce libera. Si procede con delle considerazioni energetiche che riguardano la sezione a monte della luce di fondo (pedice M), la sezione di vena contratta-rigurgitata (pedice L) e la sezione di moto uniforme a valle del rigurgito (pedice V ). La variazione energetica tra sezione di vena contratta e la sezione di ripristino del moto uniforme è assimilata a quella che si verifica in caso di brusca variazione planimetrica della sezione di un canale (perdita di Borda), dove in questo caso si ha un brusco allargamento in direzione verticale. Si ha: E M = E L (6.11) E L = E V + ξ U 2 2g = E V + Q2 ca [1 ] 2 (6.12) 2g(bca) 2 Y V Questa doppia relazione consente di calcolare il valore del tirante a monte della luce di fondo:

47 Luce rigurgitata Q2 Y M + 2gb 2 YM 2 = Y V + Q2 + Q2 ca [1 ] 2 (6.13) 2gb 2 YV 2 2g(bca) 2 Y V Risulta evidente una sostanziale differenza tra questo caso di luce rigurgitata e la condizione in cui la contrazione della vena avvenga liberamente. Raccogliendo i termini cinetici nella (6.13), si può ricavare un espressione che presenta la portata che defluisce attraverso la luce come funzione del tirante di monte, delle caratteristiche geometriche della luce, ma anche, diversamente dal caso di luce libera, del tirante del moto indisturbato di valle: si conclude, quindi, che la luce rigurgitata non è una sezione di controllo della portata. Q = c q ab 2gY M (6.14) c q = (Y c M Y V ) Y M (6.15) (1 ca Y V ) 2 + ( ca Y V ) 2 ( ca Y M ) 2 Q = f(y M, Y V, ca) (6.16)

48 Capitolo 7 BRUSCO RESTRINGIMENTO DI SEZIONE Il restringimento brusco di sezione si studia nell ipotesi di energia specifica (E) costante, e pari al valore corrispondente del moto indisturbato. Si lavora in termini di portata specifica per unità di larghezza della sezione: q = Q da b cui: q 0 (moto indisturbato)= Q b 0, q r (sezione ristretta)= Q b r e dove b r b 0 indica il rapporto di restringimento. Il deflusso attraverso la sezione ristretta avviene con transizione attraverso lo stato critico se: q r E 0 > q max E 0 dove q max E 0 corrisponde alla massima portata che può defluire nella sezione ristretta con l energia E 0. q max = Y cr U cr = E 0 3 E 0g (7.1) La condizione limite della (7.1) si può riscrivere in termini di numero di Froude del moto indisturbato, F r 0 : dove F r2 3 2 ( F r b ) = 0 (7.2) b r La (7.2) è riportata in fig. (7.1): ( Q 2 F r = F r 0 = gy 3 0 b 2 0 ) 1 2 (7.3) 47

49 Corrente lenta e veloce con transizione 1 b r / b b 0.8 r /b Fr' L Fr'' L Figura 7.1: Grafico di Marchi Fr o Dato br b 0 dal grafico in figura (7.1) si ricavano F r L e F r L. Si verificano le seguenti condizioni: 7.1 F r L < F r 0 < F r L q r > q max E0 transizione 7.2 F r 0 < F r L q r < q max E0, F r 0 < 1 corrente lenta (no trans.) 7.3 F r 0 > F r L q r < q max E0, F r 0 > 1 corrente veloce (no trans.) 7.1 Corrente lenta e veloce con transizione La sezione ristretta diventa sezione di controllo, in corrispondenza della quale si ha passaggio per la critica; il deflusso avviene con energia E > E 0 : E = 3 2 Y cr qr (7.4)

50 7. BRUSCO RESTRINGIMENTO DI SEZIONE 49 Y cr qr = 3 q 2 r g (7.5) I valori di profondità Y M e Y V di corrente lenta e corrente veloce rispettivamente si ricavano risolvendo la seguente equazione: E = Y + Q2 gb 2 Y 2 (7.6) I valori di Y M e Y V possono equivalentemente essere calcolati a partire dai valori limite di F r L e F r L : ( kq 2 F r L = gy0 3 b 2 0 ) 1 2 (7.7) ( Q 2 F r L = gy 3 0 b 2 0 ) 1 2 (7.8) con k=fattore di forma delle pile. Il ricongiungimento delle altezze Y M e Y V con il moto indisturbato a monte e a valle del restringimento avviene in conformità con la natura, fluviale o torrentizia, della corrente, come raffigurato nelle figure seguenti: Y [m] Y M Y mu m1 Y r m3 + risalto Y V q o q[m 3 /sm] q r Figura 7.2: Profilo dovuto a restringimento di sezione, con transizione attraverso lo stato critico, per corrente lenta nello stato indisturbato

51 Corrente lenta senza transizione Y [m] Y M Y r Y u Y q o q[m 3 /sm] q r Figura 7.3: Profilo dovuto a restringimento di sezione, con transizione attraverso lo stato critico, con corrente veloce nello stato indisturbato 7.2 Corrente lenta senza transizione Il deflusso nella sezione ristretta avviene con l energia E 0 : E 0 = Y 0 + Q2 gb 2 0Y 2 0 (7.9) dove Y 0 = Y um = Y uv è la profondità di moto indisturbato. L altezza idrica Y r nel restringimento si calcola pertanto come segue: E 0 = Y r + Q2 gb 2 Y 2 r (7.10) E bene ricordare che vengono qui trascurate le dissipazioni localizzate causate dal processo di rapido restringimento e soprattutto di successivo riallargamento. Qualora si volesse, invece, tener conto delle dissipazioni energetiche la profndità a monte assumerà un valore maggiore rispetto a quello di moto uniforme (la corrente deve guadagnare energia a monte per ovviare alle perdite successive); il valore del tirante a monte del restringimento è fornito dalla formula di Yarnel: Y M Y 0 Y 0 = k(k 0, 6 + 5F r 2 o) dove k=fattore di forma delle pile e F r 2 0 = ( 1 b ( r b ) ) 4 r F r0 2 (7.11) b 0 b 0 Q 2 gb 2 0 (b 0Y 0 ) 3.

52 7. BRUSCO RESTRINGIMENTO DI SEZIONE 51 Y [m] Y mu Y r E=cost q o q r q[m 3 /sm] Figura 7.4: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente lenta Y [m] Y m Y u E=cost Y r q o q r q[m 3 /sm] Figura 7.5: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente lenta, calcolando le perdite energetiche secondo Yarnel 7.3 Corrente veloce senza transizione Considerazioni analoghe a quelle appena fatte valgono anche per il deflusso, senza transizione, che riguardi una corrente con moto indisturbato di natura torrentizia. La situazione è schematizzata in fig. (7.6)

53 Corrente veloce senza transizione Y [m] E=cost Y r Y mu q q r q[m 3 /sm] Figura 7.6: Profilo dovuto a restringimento di sezione in corrente veloce

54 Capitolo 8 SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME 53

55 54!" # $ "! % $" &'( )& & """& * ""* ( """"+ "(, &-. *- (-/ 0 $-. % 1 %0 2

56 8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME Esame ) Calcolo portata defluente: Ipotizzando la conservazione dell energia fra le sezioni a monte e a valle della luce di fondo, si può calcolare la portata defluente dalla seguente espressione, che suppone la trascurabilità del termine cinetico a monte della luce: Q = c q ab 2gY M (8.1) c q = 0.61 (8.1) Q=129.8 m 3 /s A riprova della validità del calcolo fatto, si verifica che il carico cinetico a monte vale: E M,cin = Q2 2gb 2 Y 2 M = 0.021m effettivamente trascurabile rispetto a Y M = 4 m. 2) Quote di moto uniforme e livelli critici. Con le seguenti note formule, valide nell approssimazione di canale rettangolare largo, si calcolano i livelli idrici del moto uniforme e dello stato critico: Y u = (8.3) Y cr =0.88 m (8.2) Y u1 =1.54 m: alveo fluviale (8.2) Y u2 =0.63 m: alveo torrentizio (8.2) Y u3 =1.65 m: alveo fluviale [ Q bk s ifo ] 3 5 (8.2) Y cr = 3 Q 2 gb 2 (8.3) 3) Risalti e profondità coniugate. Noto il valore del tirante uniforme nella livelletta 1, si procede al controllo se la luce sia o meno rigurgitata; il controllo avviene confrontando le spinte associate al tirante di moto uniforme ed al tirante di vena contratta, utilizzando le formule: S M = 1 2 γb(ca)2 + ρ Q2 b(ca) S V = 1 2 γby 2 u + ρ Q2 by u (8.4)

57 Esame risulta: S(Y u 1)=800 kn < S(Y ca )= 1128 kn. La luce è libera, si instaura un profilo M3 di corrente veloce in alveo fluviale, fino al valore di altezza coniugata al tirante di moto uniforme, ricavabile dalla formula: (8.6) F r(y u2 )=0.43 Y 1 = 1 ( 1 + ) 1 + 8F r Y F r = (8.5) Y co =0.45 m Q Y b gy (8.5) (8.6) Il cambiamento di pendenza tra la livelletta 1 e 2 dà luogo ad una variazione nella natura del canale che passa da fluviale a torrentizio. Nella sezione di confine tra le due livellette deve verificarsi la transizione per l altezza critica, unico tirante compatibile con la necessità di un controllo da valle, nella livelletta 1, da monte nella livelletta 2. Un profilo M2 raccorda il tirante critico nella sezione di cambio di pendenza, con le condizioni di moto uniforme fluviale a monte, mentre un profilo S2 collega sempre il tirante critico, condizione al contorno di monte per la livelletta 2, con il tirante di moto uniforme torrentizio, che si instaura nella livelletta 2, ad una certa distanza dalla sezione di discontinuità. Il salto di fondo a valle della livelletta 2, coincide con un nuovo cambiamento nella natura del canale, che da torrentizio, ridiventa fluviale, per la minore pendenza caratterizzante la livelletta 3. Prima di occuparsi del problema rappresentato dal salto di fondo, è opportuno risolvere la questione della localizzazione del risalto idraulico, attraverso il quale il controllo passa da monte a valle. A seconda che il risalto si localizzi a monte o a valle del salto di fondo, questo fenomeno sarà risolto con un controllo da valle o da monte. Si confrontano le spinte che è in grado di esercitare il canale in moto uniforme nella seconda e nella terza livelletta: (8.7) S M =634 kn S M = 1 2 γby 2 u2 + ρ Q2 by u2 S V = 1 2 γby 2 u3 + ρ Q2 by u3 (8.7) (8.7) S V =869 kn Risulta S M < S V : il risalto idraulico si localizza a monte del salto coincidente con il cambio di pendenza. Passando quindi alla soluzione del profilo relativo all ostacolo determinato dal salto di fondo, si impone, come visto, un controllo da valle: il moto uniforme associato alla livelletta 2, di natura fluviale, si mantiene fino alla prima sezione a valle del salto. Essendo

58 8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME 57 nota l energia di valle, si ricava l energia nella sezione immediatamente a monte del salto secondo la seguente formula: E M = E V s (8.8) E V = Y u3 + Q2 2gb 2 Y 2 u3 (8.9) (8.9) E V =1.77 m (8.8) E M =1.47 m Si controlla se l energia di monte così calcolata sia maggiore dell energia minima associata alla portata in esame, ovvero l energia nello stato critico: E min Q = 3 2 Y cr = 3 3 Q 2 (8.10) 2 2gb 2 (8.10) E min Q =1.32 m <1.47 m =E M esistono, pertanto, tiranti compatibili con il livello energetico di monte appena calcolato, come può essere visualizzato nel grafico adimensionalizzato a portata costante (figura 8.1) oppure calcolato con la formula seguente, derivante dall inversione dell equazione di Bernoulli (delle 2 radici positive si sceglie quella corripsondente ad un tirante sub critico): Y 3 M Y 2 ME M + Q2 2gb 2 = 0 (8.11) (8.11) Y M =1.25 m Infine, un profilo S1 di corrente lenta in alveo torrentizio raccorda il tirante Y M l altezza coniugata al tirante di moto uniforme della livelletta 2: con F r(y u2 )=1.67 Y co =1.200 m Y 1 = 1 ( 1 + ) 1 + 8F r Y Lo stesso risalto idraulico, in precedenza localizzato a monte del salto di fondo (8.7), completa il ricongiungimento con le condizioni di moto indisturbato. 4)Valore limite di ks nella livelletta 1 perchè si abbia rigurgito della luce difondo. Noto il valore del tirante di vena contratta ca=0.305 m a valle della luce, in condizioni di assenza di rigurgito, dall analisi condotta al punto 3, risulta che la luce resta libera fintantoché la spinta associata al moto uniforme che si instaura nella livelletta 1 risulta

59 Esame minore del valore di spinta associato al tirante di vena contratta, ovvero finché il tirante di moto uniforme Y u1 resta minore dell altezza coniugata al tirante di vena contratta (le altezze coniugate sono caratterizzate dall uguaglianza nelle spinte idrodinamiche). Si calcola, quindi, l altezza coniugata al tirante di vena contratta: Y co ca = 1 ( 1 + ) 1 + 8F r 2 2 F r(ca) = Q cab gca (8.12) (8.13) (8.13) F r(ca)=4.92 (8.12) Y co =1.97 m e si impone questo valore di tirante come altezza di moto uniforme nella livelletta 1; il valore di scabrezza limite che dà luogo ad un moto uniforme con queste caratterisitiche è quello che soddisfa la relazione: Y u1 = Y co = [ Q bk s,lim ifo ] 3 5 (8.14) (8.14) k s,lim =26.4 m 1 3 /s. Per valori di scabrezza nella livelletta 1 minori di k s,lim =26.4 m 1 3 /s, la luce risulta rigurgitata.

60 8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME 59 Y / Yc YV/Yc, EV/Ec 1.5 Q = costante 1.25 YM/Yc, EM/Ec E / Ec Figura 8.1: Grafico adimensionale a portata costante

61 Esame Figura 8.2: Profilo

62 8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME 61! " # # $%% &$'% (' ) $%%% * $%%' $%+, $ "-. / -# 0 1#/ */ '/ - 2/ #!/ *! 0 /3( #4 5

63 Esame

64 8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME Esame ) Calcolo portata defluente. Ipotizzando la conservazione dell energia fra le sezioni a monte e a valle della luce di fondo, si può calcolare la portata defluente dalla seguente espressione, che suppone la trascurabilità del termine cinetico a monte della luce: Q = c q ab 2gY M (8.15) (8.15) Q=417,5 m 3 /s c q = 0.61 A riprova della validità del calcolo fatto, si verifica che il carico cinetico a monte vale: E M,cin = Q2 2gb 2 Y 2 M = 0.018m effettivamente trascurabile rispetto a Y M = 7 m. 2) Quote di moto uniforme e livelli critici. Con le seguenti note formule, valide nell approssimazione di canale rettangolare largo, si calcolano i livelli idrici del moto uniforme e dello stato critico: Y u = [ Q bk s ifo ] 3 5 (8.16) (8.17) Y cr =1.21 m (8.16) Y u1 =1.30 m: alveo fluviale (8.16) Y u2 =0.87 m: alveo torrentizio Y cr = 3 Q 2 gb 2 (8.17) 3) Risalti e profondità coniugate. Noto il valore del tirante uniforme nella I livelletta, si procede a controllare se la luce sia o meno rigurgitata; la verifica avviene confrontando le spinte associate al tirante di moto uniforme ed al tirante di vena contratta, utilizzando le formule: S M = 1 2 γb(ca)2 + ρ Q2 b(ca) S V = 1 2 γby 2 u + ρ Q2 by u (8.18)

65 Esame risulta: S(Y u )=2171 kn < S(Y ca )= 4829 kn. La luce è libera: a valle della sezione di vena contratta si instaura un profilo M3 di corrente veloce in alveo fluviale, fino al valore di altezza coniugata al tirante di moto uniforme, ricavabile dalla formula: (8.20) F r(y u2 )=0,89 Y 1 = 1 ( 1 + ) 1 + 8F r Y F r = Q Y b gy (8.19) Y co =1.12 m (8.19) (8.20) Il cambiamento di pendenza tra la livelletta 1 e la 2 dà luogo ad una variazione nella natura del canale che passa da fluviale a torrentizio. Nella sezione di confine tra le due livellette deve verificarsi la transizione per l altezza critica, unico tirante compatibile con la necessità di un controllo da valle, nella prima livelletta, da monte nella seconda livelletta. Un profilo M 2 raccorda il tirante critico nella sezione di cambio di pendenza, con le condizioni di moto uniforme fluviale a monte; un profilo S2 collega il tirante critico con il tirante di moto uniforme torrentizio, che si instaura appunto nella livelletta 2, ad una certa distanza dalla sezione di discontinuità. 4) Assetto della superficie libera in corrispondenza del ponte. Il ponte viene affrontato da un canale di natura torrentizia. La portata specifica per unità di larghezza nel canale è pari a Q/b=417/100= 4.17 m 3 /sm ; la portata specifica all altezza del ponte è Q/(b 2 7) = 417/( )=4.85 m 3 /sm. Si deve verificare se l energia associata al moto uniforme a monte del ponte sia sufficiente a far transitare quella portata specifica attraverso il ponte. Si calcola, quindi, il massimo valore di portata specifica associabile al livello energetico in questione, ovvero la portata transitante in condizioni critiche ad energia pari a E M : E M = Y M + q2 0 2gb 2 Y 2 M (8.21) (8.21) E M =2.032 m Y cr E = 2 3 E M = 1.35 m (8.22) q max E = 4.93 m 3 /sm > q r = 4.85 m 3 /sm q max E = Y cr gycr (8.22)

66 8. SOLUZIONE DI PROVE DI ESAME 65 Risulta che la portata massima specifica in grado di fluire sotto il ponte, compatibilmente con l energia a disposizione a monte, è maggiore della portata specifica che si verifica nel nostro caso all altezza del ponte: l energia del moto uniforme è sufficiente per il superamento dell ostacolo costituito dal restringimento del ponte e non si rende necessario alcun profilo di risparmio energetico. Tale risultato può essere ricavato anche dal grafico di Marchi (figura 8.5), riportando in ascissa e ordinata rispettivamente i valori del numero di Froude del moto indisturbato ed il coefficiente di restringimento proprio del ponte; se il punto individuato è esterno all area sottesa dalla curva, come in questo caso, non avviene transizione per lo stato critico. Si calcola, quindi, il tirante all altezza del restringimento dal grafico ad energia costante (figura 8.3) oppure, nota l energia meccanica specifica in quella sezione e la portata specifica, invertendo la formula dell energia di Bernoulli: Y 3 Y 2 E M + q2 r 2g = 0 (8.23) Si sceglie la radice che corrisponde ad un tirante supercritico e risulta: Y r = 1.20 m. Questo valore di tirante è minore dell altezza dell impalcato del ponte: pertanto il ponte è in sicurezza per questo valore di portata. 5) Afflusso di portata. Un afflusso laterale di 25 m di lunghezza porta ad un aumento della portata fino al valore di Q 2 = m 3 /s. Servendosi delle formule menzionate al punto 2, si calcola la nuova Y cr2, che risulta essere pari a 1.39 m, mentre il tirante di moto uniforme associato alla nuova portata è: Y u = 0.91 m (permangono condizioni torrentizie anche a valle dell afflusso). Il processo di afflusso avviene a spinta costante; il valore della spinta è quello associato al moto uniforme a monte dell afflusso, se la portata massima compatibile con quel valore di spinta è minore della portata che si instaura a valle dell afflusso. Risulta: S = 1 2 γby 2 + ρ Q2 by (8.24) (8.24) S=2365 kn 2S Y C S = 3γb (8.25) (8.25) Y cr S =1.267 m Q max S = by cr S gycr S (8.26)