Elementi di Matematica Finanziaria. Struttura per scadenza. Università Parthenope 1

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1 Elementi di Matematica Finanziaria Struttura per scadenza Università Parthenope 1

2 Il problema della valutazione dei TASSI Uno strumento di valutazione è dato dalla conoscenza dei prezzi di mercato dei titoli obbligazionari senza cedola (Zero Coupon Bond) In particolare, ci si riferisce ai TSC (Titolo Senza Cedole) unitario ovvero a quelli che pagano, a scadenza, un importo unitario Università Parthenope 2

3 Valutazioni dei Tassi Se esiste un tsc(t) che ora vale a e a scadenza (in t) rimborsa 1, il mercato offre la possibilità di capitalizzare le proprie disponibilità da 0 a t secondo il fattore: r(0,t)=1/a Università Parthenope 3

4 Valutazioni dei Tassi La conoscenza del fattore: r(0,t)=1/a permette di risalire ai rimanenti termini economici: ν(0,t)=r(0,t) -1 i(0,t)=[r(0,t)] 1/t 1 δ(0,t)=log(1+i(0,t)) Università Parthenope 4

5 Valutazioni dei Tassi Supponiamo di conoscere il fattore: r(0,t)=1/a per diversi valori di t: {t 1, t 2,..., t n } E possibile conoscere i tassi: {i(0,t 1 ), i(0,t 2 ),..., i(0,t n )} Tassi spot (a pronti) Università Parthenope 5

6 Valutazioni dei Tassi Dalla conoscenza dei tassi: {i(0,t 1 ), i(0,t 2 ),..., i(0,t n )} è possibile risalire ad una funzione che descrive il valore dei tassi per ogni istante t: Struttura per scadenze dei tassi di interesse Università Parthenope 6

7 Valutazioni dei Tassi Consideriamo ora una operazione finanziaria a termine: Al tempo 0, si decide di acquistare al tempo s un tsc(t) con s minore di t per il valore a. Il fattore di capitalizzazione si scrive: r(s,t)=1/a a cui sono associabili le altre grandezze finanziarie Università Parthenope 7

8 Valutazioni dei Tassi La domanda fondamentale è se siamo in grado di stabilire ora il prezzo a. Se accettiamo che la legge finanziaria sia scindibile si ha: r(0,s). r(s,t)=r(0,t). Pertanto, la conoscenza dei fattori a pronti r(0,s) e r(0,t) permette di determinare il fattore a termine r(s,t)=r(0,t)/r(0,s) Università Parthenope 8

9 Valutazioni dei Tassi Tassi impliciti In particolare, la conoscenza di: r(0,t 1 ) e r(0,t 2 ) permette di valutare: r(t 1, t 2 )= r(0,t 2 )/r(0,t 1 ) E` opportuno scrivere: r(0,t 1, t 2 ) per ricordare che la valutazione avviene in 0 Università Parthenope 9

10 Valutazioni dei Tassi L ipotesi r(0,s). r(s,t)=r(0,t) è ragionevole! In un mercato perfetto corrisponde alla possibilità di vendita allo scoperto ed all assenza di possibilità di arbitraggi Appare ragionevole anche in un mercato reale Università Parthenope 10

11 Valutazioni dei Tassi Supponiamo che l ipotesi r(0,s). r(s,t)=r(0,t) non valga ma risulti r(0,s). r(s,t)>r(0,t) In questa ipotesi, attiviamo la seguente operazione: Università Parthenope 11

12 Valutazioni dei Tassi Al tempo 0, vendiamo allo scoperto un tsc(t) incassando ν(0,t) euro che usiamo per comprare a pronti un tsc(s). Prevediamo di comprare, inoltre, a termine un tsc(t) con acquisto in s per ν(0,t) r(0,s) ovvero il montante di tcs(s) Università Parthenope 12

13 Valutazioni dei Tassi Al tempo s, incassiamo il rimborso del tsc(s) e acquistiamo il tsc(t) come da contratto, a termine, stipulato in 0 Al tempo t, si incassa il rimborso del tsc(t) ovvero ν(0,t) r(0,s)r(s,t) e si spende 1= ν(0,t)r(0,t) per rimborsare il primo tsc(t): In conclusione, si ha il profitto non rischioso ν(0,t) r(0,s)r(s,t)-1>0 Università Parthenope 13

14 Esempio Supponiamo che il mercato sia strutturato su tre anni e che si abbiano i seguenti prezzi a pronti: V(0, x 1 ) = 90; V(0, x 2 ) = 8; V(0, x 3 ) = 35 con x 1 = 100, x 2 = 10, x 3 = 50 Si ricavano dunque i prezzi dei titoli unitari: v(0,1) = 90/100 = 0.9 v(0,2) = 8/10 = 0.8 v(0.3) = 35/50 = 0.7 Università Parthenope 14

15 Esempio La struttura per scadenza dei tassi viene ricavata utilizzando la relazione tra tassi e prezzi: i(0,1) = (1/0.9) 1 = 11.11% i(0,2) = (1/0.8) 1/2 1 = 11.8% i(0,3) = (1/0.7)1/3 1 = 12.63% La struttura per scadenza dei tassi istantanei è data da: δ(0,1) = log(1.1111) = δ(0,2) = log(1.1180) = δ(0,3) = log(1.1263) Università = Parthenope 15

16 Esempio La struttura dei tassi impliciti si ricava: i(0,0,1) = 11.11% i(0,1,2) = (0.9/0.8) 1 = 12.5% i(0,2,3) = (0.8/0.7) 1 = 14.29% Università Parthenope 16

17 Esempio 2 Utilizzare le proprietà della struttura per scadenza per valutare il seguente titolo, rappresentato dalla coppia di vettori: x={0,10,10,110}; t={0, t 1,t 2,t 3 } dove l'unità di misura del tempo è data dagli anni. Università Parthenope 17

18 Esempio 2 Scadenza Tassi a pronti Tassi impliciti Università Parthenope 18

19 Esempio 2 Il valore del titolo al tempo 0 è dato da: V(0, x) = 10/(1.0572*1.0552) + 10/(1.0572*1.0552*1.0532*1.0512) + 110/(1.0572*1.0552*1.0532*1.0512*1.0492*1.0496) = = Università Parthenope 19

20 Titoli con cedole I tsc hanno una vita breve Per poter costruire una struttura per scadenza di durata ragionevole occorre far riferimento ai titoli che pagano cedole la cui durata è generalmente più lunga Università Parthenope 20

21 Bootstrapping Una procedura per ricavare ricorsivamente le informazioni sui tassi Sia presente sul mercato un tsc(t 1 ). Al tempo t 2, invece, non esista alcun tsc(t 2 ). Esista, invece, un titolo che paghi in t 1 e t 2 le cedole q 1 e q 2 e che ora valga a. Risulta: a=q 1 ν(0,t 1 )+q 2 ν(0,t 2 ) da cui è possibile ricavare ν(0,t 2 ) Università Parthenope 21

22 Bootstrapping Se esiste, poi, un titolo che paghi in t 1, t 2 e t 3 le cedole q 1, q 2 e q 3 e che ora valga b. Risultando: b=q 1 ν(0,t 1 )+q 2 ν(0,t 2 ) +q 3 ν(0,t 3 ) è possibile ricavare ν(0,t 3 ) e cosi via! Università Parthenope 22

23 Legge finanziaria associata L analisi precedente permette di definire una legge finanziaria a due variabili che caratterizza il mercato; ad esempio, r(s,t) che esprime il fattore di capitalizzazione di una operazione concordata a t=0 che opera tra i tempi s e t Se le rilevazioni si ripetono nel tempo si perviene alla definizione di una legge a tre variabili; ad esempio, r(x,s,t) che esprime il fattore di capitalizzazione di una operazione concordata a t=x che opera Università tra Parthenope i tempi s e t 23

24 Forza di interesse Dalla struttura per scadenza dei tassi si può dedurre la forza di interesse associata alla δ(s, t) legge finanziaria: = t log( r( s, s, t)) che assume il significato di tasso a termine praticato in s per operazioni nel tempo futuro t Università Parthenope 24

25 Spot rate Il valore che la forza di interesse assume per s=t diventa una nuova funzione di s: τ (s) = δ(s,s) che assume il significato di tasso a pronti praticato in s per operazioni al tempo s Università Parthenope 25

26 Spot rate τ(s) si può intendere come il rendimento di un tsc(s+ds) ovvero di durata infinitesima quindi denota una tasso istantaneo Università Parthenope 26

27 Spot rate La sua conoscenza permette di caratterizzare il mercato La conoscenza dello spot rate in tempi futuri è ovviamente pura astrazione Molte informazioni possono però essere dedotte se si suppone che sia deducibile attraverso opportuni modelli probabilistici Università Parthenope 27