Elementi finiti Parte IV

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1 progetto didattica in rete Elementi finiti Parte IV A. Gugliotta getto Politecnico di Torino, maggio 2002 Dipartimento di Meccanica didattica in rete otto editore

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3 ELEMENTI FINITI Parte IV A. GUGLIOTTA POLITECNICO DI TORINO

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5 INDICE IV 8. ANALISI DINAMICA INTRODUZIONE FORMULE FONDAMENTALI SISTEMA AD UN GRADO DI LIBERTÀ Vibrazioni libere Vibrazioni smorzate Vibrazioni forzate SISTEMA A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ EQUAZIONI DELLA DINAMICA MATRICE DELLE MASSE CONGRUENTE E CONCENTRATA Matrice delle masse per elemento asta Matrice delle masse per elemento trave MATRICE DI SMORZAMENTO FREQUENZE NATURALI E MODI DI VIBRARE GUYAN REDUCTION ANALISI TRANSITORIA DINAMICA SOVRAPPOSIZIONE MODALE Scelta del numero di modi da considerare METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA Metodi espliciti - Metodo delle differenze centrali Metodi impliciti - Metodo di Houbolt...26 Metodi impliciti - Metodo di Wilson - q Metodi impliciti - Metodo di Newmark i

6 8.0 STABILITÀ E PRECISIONE DEI METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA Operatori di approssimazione e di carico Metodo delle differenze centrali Metodo di Houbolt Metodo di Wilson - q Metodo di Newmark Analisi di stabilità Analisi di precisione APPENDICI RICHIAMI DI CALCOLO MATRICIALE Definizione di matrice Addizione e sottrazione di matrici Moltiplicazione di una matrice per uno scalare Moltiplicazione di matrici Differenziazione di una matrice Differenziazione di una espressione matriciale Integrazione di matrici Inversione di matrici INTEGRAZIONE NUMERICA Metodo di Newton-Cotes Metodo di Gauss-Legendre Integrazione per triangoli PROGRAMMA DI CALCOLO BIBLIOGRAFIA ii

7 8. ANALISI DINAMICA 8. INTRODUZIONE Il problema dinamico strutturale differisce dal problema statico per due importanti aspetti: il primo è la dipendenza dal tempo del problema, il secondo è dato dalla presenza delle forze d inerzia e di smorzamento del sistema; se la frequenza di eccitazione del carico applicato alla struttura è inferiore di circa un terzo della più piccola frequenza naturale del sistema, allora gli effetti di inerzia possono essere trascurati ed il problema è quasi-statico. Le forze d inerzia diventano importanti e rappresentano una parte significativa del carico complessivo agente sulla struttura se le frequenze di eccitazione del carico applicato sono maggiori di circa un terzo della più piccola frequenza naturale o se la struttura vibra liberamente. Le proprietà fisiche essenziali di un sistema strutturale comprendono quindi le sue proprietà elastiche (rigidezza) descritte dalla matrice di rigidezza [K ], la sua massa e/o inerzia, descritta dalla matrice delle masse [M], lo smorzamento (meccanismo di perdita di energia), descritto dalla matrice di smorzamento [C ], ed il carico esterno o sorgente esterna di eccitazione. Le vibrazioni possono essere classificate in diversi modi, ad esempio: Vibrazioni libere e forzate. Nel primo caso il sistema, dopo un disturbo iniziale, vibra liberamente in assenza di forze esterne. Nel secondo caso il sistema è soggetto ad una forza esterna variabile nel tempo (spesso una forza periodica) e la vibrazione del sistema è una vibrazione forzata. Se la frequenza della eccitazione coincide con una delle frequenze naturali del sistema si ha il fenomeno della risonanza e la risposta del sistema cresce indefinitamente in modo catastrofico. Vibrazioni smorzate e non smorzate. Nel primo caso si ha perdita di energia dovuta all attrito (viscoso, coulombiano, isteresi), nel secondo caso non si ha perdita di energia durante la vibrazione del sistema. In alcuni sistemi il valore dello smorzamento è così piccolo che può essere trascurato ai fini di una valutazione ingegneristica. 235

8 Vibrazioni lineari e non lineari. I sistemi oscillatori possono avere un comportamento lineare o non lineare, in funzione delle caratteristiche del sistema, nel dominio del tempo o della frequenza. Per sistemi lineari si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e le relative tecniche matematiche. I sistemi non lineari sono più complessi da analizzare, ma tutti i sistemi tendono a diventare non lineari quando l ampiezza di risposta cresce. I sistemi lineari sono perciò solo una speciale approssimazione del caso generale non lineare. Vibrazioni deterministiche e vibrazioni random. Se il valore dell eccitazione è noto in ogni istante di tempo, il carico è detto deterministico. In caso contrario l eccitazione è di tipo random; in molti casi il carico può essere descritto statisticamente. La risposta del sistema è di tipo random e può essere descritta solo in termini statistici. I problemi di dinamica strutturale possono essere classificati in due categorie:. calcolo delle frequenze naturali di vibrazione e dei corrispondenti modi di vibrare; normalmente si chiede di confrontare le frequenze proprie del sistema con quelle del carico eccitante 2. analisi della risposta temporale (time history) di una struttura soggetta a carichi variabili nel tempo. Poiché il carico e quindi la risposta, in termini di spostamenti e tensioni, variano con il tempo, il problema non ha una singola soluzione, come il problema statico, ma una successione di soluzioni in corrispondenza agli istanti di tempo di interesse. Due tra i metodi più diffusi di soluzione sono i metodi modali (sovrapposizione modale) ed i metodi di integrazione diretta 8.2 FORMULE FONDAMENTALI - SISTEMA AD UN GRADO DI LIBERTÀ Se una forza eccitante è applicata ad un sistema massa-molla-smorzatore (fig. 8.), il moto risultante dipende dalle condizioni iniziali, dalla forza eccitatrice e dal sistema stesso. Fig. 8. Sistema massa-molla-smorzatore. 236

9 Se l eccitazione è sinusoidale il sistema tenderà a vibrare alla sua frequenza naturale, così come quello della funzione forzante. Se il sistema possiede un certo smorzamento la parte del moto non sostenuta dall eccitazione alla fine svanirà: il sistema vibrerà alla frequenza della funzione eccitatrice senza riguardo alla frequenza naturale del sistema o alle condizioni iniziali (se la frequenza dell eccitazione è nulla si ha carico statico con periodo infinito, ovvero uno stato di quiete). Il moto che rimane è chiamato risposta stazionaria (steady state) del sistema; il moto che svanisce è detto transitorio. Quando la frequenza del carico è prossima alla frequenza naturale del sistema, l ampiezza della risposta si amplifica Vibrazioni libere Dal principio di conservazione dell energia: ovvero: T + U cost 8. con: U ( T+ U) 0 t --kx 2 2 T e sostituendo la 8.3 nella 8.2: mẋ + kx 0 oppure: ẋ + w 2 n x 0 --mẋ dove w n 2 k --- m e w n è la pulsazione naturale e f n w n 2p la frequenza naturale del sistema. Il moto così espresso non cambia col tempo (non c è modo di dissipare energia e ridurre le oscillazioni). Questo non avviene in natura dove tutte le vibrazioni gradualmente diminuiscono e si fermano, a meno che non siano mantenute da una sorgente esterna. La soluzione della 8.4 può essere trovata assumendo:

10 e: x ( t) Ce st C ( ms 2 + k ) s ± iw n 8.9 x ( t) C e iw nt + C 2 e iw nt ovvero: x ( t) A cos w n t + A 2 sin w n t e, in termini di condizioni iniziali: ẋ 0 w n x ( t) x 0 cos w n t sin w n t L eq. 8. può essere espressa come: x ( t) Acos ( w n t f ) con: Ê A A2 + A2 2 x2 ẋ Á----- ampiezza Ëw n A 2 f atan Ë Ê A ˆ Ê ẋ 0 ˆ atan Á angolo di fase Ë x 0 w n ˆ2 8.4 l angolo di fase f può essere interpretato come l angolo tra l origine ed il primo picco Vibrazioni smorzate Lo smorzamento è il meccanismo che rimuove energia dal sistema. Lo smorzamento può essere classificato in tre tipi fondamentali:. Viscoso, (ad esempio un corpo che si muove n un fluido a bassa velocità). La forza resistente proporzionale alla velocità: F cẋ

11 2. Coulomb, (ad esempio corpi che slittano su superficie asciutte). La forza è quasi costante e dipende dalla natura delle superficie a contatto e dalla forza normale; indicando con m il coefficiente di attrito: F mf n Isteresi, dovuto all attrito interno del materiale. La resistenza è circa proporzionale all ampiezza della deformazione e indipendente dalla velocità. Questo tipo di smorzamento è dissipato sotto forma di calore. Supponendo uno smorzamento viscoso e applicando la legge di Newton per l equilibrio delle forze si avrà: mẋ + cẋ+ kx La soluzione generale della 8.7 è: x C e c Ê c k t 2m Ë2m m ˆ2 + C 2 e c Ê c k t 2m Ë2m m ˆ2 8.8 Il valore di c che fa svanire la parte sotto radice è detto costante di smorzamento critico c cr, e cioè: c cr 2m k --- w m n c cr 2 mk 2mw n 8.9 Di solito si rappresenta lo smorzamento in rapporto allo smorzamento critico con un parametro adimensionale x, x c c cr, detto fattore di smorzamento. Perciò: x C e ( x + x 2 )w n t + C 2 e ( x x 2 )w n t 8.20 Sistema sottosmorzato (x < ) Se x < il sistema è detto sottosmorzato e il moto è armonico con ampiezza di decadimento tanto maggiore quanto più grande è x. La 8.20 diventa: x e xw nt ( C ' cos x 2 w n t + C ' 2 sin x 2 w n t ) 8.2 x e xw nt ( C ' cos w d t + C ' 2 sin w d t ) 8.22 con w d frequenza della vibrazione smorzata: 239

12 w d x 2 w n 8.23 In termini di condizioni iniziali: x e xw nt Ê Á Ë x 0 ẋ 0 + xw n x 0 ˆ cos w d t sin w w d t d 8.24 La 8.22 può essere espressa come: x wnt X 0 cos ( w d t f 0 ) e x 8.25 con: X 0 ( C ' ) 2 + ( C ' 2 ) 2 Êẋ x2 0 + xw n x Á ampiezza Ë w d f atan C Ë Ê C ˆ Êẋ 0 + xw n x 0 ˆ atan Á angolo di fase Ë x 0 w d ˆ Sistema smorzato criticamente (x ) Se x il sistema è detto smorzato criticamente ed il moto decade esponenzialmente in modo non periodico. La 8.20 diventa: x e w nt C ( + C 2 t ) 8.27 In termini di condizioni iniziali: x e w nt [ x 0 + ( ẋ 0 + w n x 0 )t ] 8.28 Sistema sovrasmorzato (x > ) Se x > il sistema è detto sovrasmorzato ed il moto decade esponenzialmente in modo non periodico. La 8.20 diventa: x C e ( x + x 2 ) w n t + C 2 e ( x x 2 ) w n t 8.29 con: 240

13 x C 0 w n ( x + x 2 ) + ẋ w n x 2 C 2 x 0 w n ( x x 2 ) ẋ w n x Vibrazioni forzate L eccitazione può essere di tipo armonico, non armonico, ma periodica, o random. La risposta del sistema ad una eccitazione armonica è detta risposta armonica. La risposta ad un carico non periodico e applicato rapidamente è detta risposta al transitorio. Nel caso di carico armonico si ha: Ft ( ) F 0 e i ( wt + f ) F 0 cos ( wt + f ) 8.3 dove F 0 è l ampiezza dell eccitazione, w è la frequenza e f l angolo di fase, che dipende dal valore di F per t 0 ed è normalmente assunto uguale a zero. Sistema non smorzato L equazione di equilibrio è: mẋ + kx F 0 cos wt 8.32 La soluzione completa è data dalla soluzione dell omogenea associata 8. e dalla soluzione particolare: x p ( t ) Xcos wt dove X è la massima ampiezza di x p (t) e: ed in termini di condizioni iniziali: F k mw 2 cos wt x ( t) A cos w n t + A 2 sin w n t k mw 2 cos wt ẋ 0 w n F x ( t ) Êx ˆ Ë k mw 2 cos w n t sin w n t k mw 2 cos wt F 0 F Definito il rapporto di frequenza r tra la forzante e la frequenza naturale del sistema: 24

14 r w w n 8.36 e definita la deflessione statica: si avrà: F x 0 st ---- k X x st r 2 con X x st fattore di amplificazione. La risposta totale del sistema può essere anche scritta come: x( t) Acos ( w n t f ) w Ë Ê ˆ2 cos wt con A e f dalla 8.4. x st w n x st x( t) Acos ( w n t f ) w Ë Ê ˆ2 cos wt w n w < w n w > w n Sistema smorzato - Carico armonico Se il sistema smorzato è eccitato da una forza armonica F 0 cos wt si ha: mẋ + cẋ+ kx F 0 cos wt 8.40 La soluzione è data dalla soluzione dell omogenea associata e dalla soluzione particolare: con: x p ( t ) Xcos ( wt f ) 8.4 F 0 X tan f ( k mw 2 ) 2 + ( c w ) 2 cw k mw 2 In funzione del rapporto di frequenza r e della deflessione statica si avrà: X x st 2xr tan f ( r 2 ) 2 + ( 2xr ) 2 r

15 Questo rapporto, se r e x 0 diventa infinito (fig. 8.2). Il fattore di smorzamento ha molta influenza sull ampiezza nella regione di risonanza. Se c è smorzamento la frequenza di risonanza è un po minore della frequenza naturale senza smorzamento. Il massimo fattore di amplificazione si ha quando: r + 2x 2 ovvero w w n + 2x 2 w d 8.44 Fig. 8.2 Fattore di amplificazione. Sistema smorzato - Carico generico Se il sistema oscillatore smorzato è eccitato da una forza F 0 e iwt si ha: mẋ + cẋ+ kx F 0 e iwt 8.45 La soluzione è data dalla soluzione dell omogenea associata e dalla soluzione particolare: x p ( t ) Xe i wt f ( ) 8.46 con: 243

16 X F tan f ( k mw 2 ) 2 + ( cw ) 2 cw k mw Sistema smorzato - Carico generico non periodico Se il sistema oscillatore smorzato è eccitato da una forza generica F(t) si ha: mẋ + cẋ+ kx F( t) 8.48 La risposta dinamica può essere ottenuta con l integrale di Duhamel. La soluzione è data dalla soluzione dell omogenea associata e dalla soluzione particolare: xt () + e xw nt C t F ()e t xw n t mw d Ú0 ( t) ( cos w d t + C 2 sin w d t) sin [ w d ( t t) ] dt 8.49 con: w d w n x 2 x C x 0 C 0 + xw n x w d 8.50 con C e C 2 funzione solo delle condizioni iniziali. La prima parte rappresenta l oscillazione forzata, la seconda parte della soluzione rappresenta l oscillazione libera del sistema. La soluzione particolare può essere trovata considerando in una prima fase l effetto di un impulso elementare: nel tempo Dt l incremento di velocità dovuto all impulso F ( t )Dt vale: Dẋ F ( t )Dt m 8.5 Assumendo x 0 sino al tempo di applicazione dell impulso, lo spostamento x per t > t è (8.24): x( t) ( F ( t )Dt) e xw n( t t ) sin w mw d ( t t ) d 8.52 Si consideri ora la risposta del sistema ad un carico esterno arbitrario F (t) (fig. 8.3); questo può essere pensato come una serie di impulsi elementari di ampiezza variabile: 244

17 Dx( t) ( F( t )Dt) e xw n( t t ) sin w mw d ( t t ) d 8.53 Essendo il sistema lineare, lo spostamento totale al tempo t è la somma degli impulsi elementari agenti in tutti gli istanti t tra 0 e t: xt ( ) t F ( t )e xw n( t t ) sin w mw d ( t t ) dt d Ú Fig. 8.3 Impulso elementare. Nei seguenti casi, in cui lo smorzamento è nullo ( x 0 esattamente: ) l integrale è risolto x ( t) F ( cos w k n t ) x ( t) a ( w w n k n t sin w n t ) 245

18 L integrale 8.49 è valutato numericamente. La funzione integranda varia al variare di t, limite di integrazione; è opportuno però riscrivere l integrale ricorrendo alle formule trigonometriche: x ( t) e xw n t wd t Ú w t F ( t )e xw n t cos w d d t t w d t F( t )e xw n sin d cos t sin w d t dt] e xw n + t ( C cos w d t + C 2 sin w d t) t Ú 8.3 SISTEMA A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ: EQUAZIONI DELLA DINAMICA Le equazioni che governano la risposta dinamica di una struttura possono essere derivate applicando l equazione dei lavori virtuali 4.37: { du } T { f } + Ú { du } T { t 0 } da + { du } T { f } dv A Ú { de } T { s } dv V Ú V 8.56 e aggiungendo le forze d inerzia e di smorzamento, non considerate per il caso statico: { du } T { f } + Ú { du } T { t 0 } da + { du } T { f } dv A Ú V Ú { de} T { s } dv + { du } T r{ u } dv V Ú + { du } T c s { u } dv V Ú V 8.57 con { du } e { de} rispettivamente spostamenti virtuali e corrispondenti deformazioni virtuali, { t 0 } carichi superficiali, { f} carichi di volume, { f } carichi nodali, r densità del materiale, c s parametro di smorzamento del materiale. Sostituendo le espressioni per il campo di spostamenti { u }, funzione ora anche del tempo oltre che dello spazio, e per le sue derivate: { u } [ n ]{ s } { u } [ n ]{ ṡ } { u } [ n ]{ ṡ } 8.58 con [n] funzioni dello spazio e {s} funzioni del tempo. Sostituendo nella 8.57 e introducendo la legge costitutiva del materiale, nel caso di deformazione iniziale e di tensione iniziale nulle, si ottiene: { ds } T { f } + { ds } T [ n ] T { t 0 } da + Ú Ú Ú A { ds } T [ n ] T { f } dv { ds } T [ b ] T [ E ][ b ] dv{ s } + { ds } T r[ n ] T [ n ] dv{ ṡ } V + { ds } T c s [ n ] T [ n ] dv{ ṡ } V 8.59 Siccome l'uguaglianza deve valere per qualsiasi configurazione di spostamenti virtuali {ds}, deve anche valere la seguente uguaglianza: Ú V Ú V 246

19 [ k ]{ s } + [ m ]{ ṡ } + [ c ]{ ṡ} { f } + { f e } to + { f e } f 8.60 con [m] matrice delle masse, e [c] matrice dello smorzamento: Ú V [ m ] r[ n ] T [ n ] dv Ú V [ c ] c s [ n ] T [ n ] dv 8.6 La matrice delle masse [m] può essere ricavata in altro modo, sempre partendo da considerazioni energetiche, scrivendo l energia cinetica dell elemento: E -- rv 2 2 Ú dv -- { u } T { u }rdv V Ú V 2 ovvero: E -- { ṡ } T Ê [ n ] 2 T [ n ]rdvˆ { ṡ } Ë Ú V Ú -- { ṡ } T [ n ] 2 T [ n ]{ ṡ }rdv V e: Ú V [ m ] r[ n ] T [ n ] dv MATRICE DELLE MASSE CONGRUENTE E CONCENTRATA La matrice delle masse ricavata è detta matrice congruente delle masse (consistent mass matrix). La matrice di massa congruente è così chiamata poiché si utilizza lo stesso modello di spostamento (stesse funzioni di forma per gli spostamenti) usato per derivare la matrice di rigidezza. La matrice a masse concentrate è di formulazione più semplice avendo elementi non nulli solo in corrispondenza dei gradi di libertà traslazionali; essa è ottenuta concentrando una massa m i in corrispondenza del grado di libertà i-esimo, in modo che la sommatoria delle singole masse rappresenti la massa totale dell elemento. Valori non nulli possono essere assegnati arbitrariamente anche in corrispondenza di gradi di libertà rotazionali, come ad esempio nel caso delle travi. La formulazione a masse concentrate, essendo diagonale, non considera gli effetti dinamici di mutua influenza tra i vari gradi di libertà dell elemento. D altro canto anche le matrici di massa congruenti sono approssimate poiché esse sono derivate utilizzando le funzioni di forma per gli spostamenti derivate nel caso statico ed utilizzate poi per risolvere il problema dinamico. 247

20 Qualsiasi sia la formulazione utilizzata, il prodotto [ m ]{ ṡ } deve fornire la corretta forza quando { ṡ } rappresenta l accelerazione di un corpo rigido; questo è infatti il comportamento di un elemento infinitesimo quando la suddivisione in elementi è piccola. Le frequenze proprie calcolate utilizzando matrici di massa congruenti, qualora si abbiano elementi compatibili e si utilizzi uno schema di integrazione esatto, costituiscono un limite superiore alle frequenze naturali esatte, mentre quelle calcolate utilizzando matrici a masse concentrate forniscono valori inferiori a quelli corretti Matrice delle masse per elemento asta Nel caso di un elemento asta si ha: x [ n ] - l x - l 8.65 e: Ê x - ˆ2 x Ë l - Ê l x - ˆ l Ë l [ m ] ra dx Ú0 x - Ê l x - ˆ Êx - ˆ2 Ë l Ël ral matrice di massa congruente, mentre quella a masse concentrate (lumped mass) ha diverso da zero i soli termini sulla diagonale principale: [ m ] ral Matrice delle masse per elemento trave Nel caso di un elemento trave le funzioni di forma sono date dalla 4.86: n 3Ê x Ë - + 2Ê x l Ë - n l 2 x 2 x2 x l l 2 ˆ2 ˆ2 ˆ3 ˆ3 n 3 3Ê x Ë - 2Ê x l Ë - x n 2 x l l l 2 e la matrice delle masse congruente è:

21 [ m ] ral l 54 3l 22l 4l 2 3l 3l l 56 22l 3l 3 22l 4l la matrice a masse concentrate è: [ m ] ral Gli effetti dell inerzia associata con i gradi di libertà rotazionali sono stati considerati nulli; volendo tener in conto questi effetti, si può calcolare il momento d inerzia di massa di ciascuna metà trave rispetto all estremità. Nel caso di trave uniforme: J -- ral Êl Ë2 ˆ2 8.7 e la matrice delle masse diviene: [ m ] ral l l MATRICE DI SMORZAMENTO Lo smorzamento nelle strutture è dovuto principalmente a fenomeni di isteresi e/o di attrito negli elementi di collegamento. Questi fenomeni sono però difficili da modellare e da inserire nelle equazioni di dinamica strutturale, per cui il fenomeno dello smorzamento è generalmente approssimato dallo smorzamento viscoso, attraverso il rapporto di smorzamento x. Il valore di x dipende dal materiale e dal livello di tensione, e per gli acciai può variare da circa lo 0.5% per bassi 249

22 livelli di tensione a circa il 5% per alti valori di tensione. Per strutture imbullonate o rivettate x può variare dal 2% al 5%. Uno dei modelli di smorzamento viscoso più utilizzati è lo smorzamento proporzionale, o di Rayleigh, secondo il quale la matrice di smorzamento [C] è una combinazione lineare della matrice di rigidezza e della matrice di massa, cioè: [ C ] a[ M ] + b[ K ] 8.73 con a e b costanti di smorzamento di Rayleigh. La matrice di smorzamento [C] così ottenuta è ortogonale e permette così di semplificare notevolmente l analisi. In termini modali, indicando con [F] la matrice degli autovettori, si ha: { f i } T [ M ]{ f j } { f i } T [ K ]{ f j } Ï0 iπ j Ì Ó i j Ï 0 iπ j Ì Ó w 2 i i j 8.74 [ F ] T [ C ][ F] a[ F] T [ M ][ F] + b[ F] T [ K ][ F] [ c ] a[ I ] + b[ L] La relazione tra a, b ed il fattore di smorzamento x è: a x i -- Ê bw ˆ 2 Ë i w i La figura 8.4 illustra un andamento tipico dello smorzamento proporzionale x in funzione della frequenza. In pratica è stato riscontrato che lo smorzamento M-proporzionale può rappresentare uno smorzamento dovuto ad attrito, mentre lo smorzamento K-proporzionale può rappresentare lo smorzamento interno del materiale. Le costanti a e b possono essere ricavate a partire dalla conoscenza sperimentale di due coppie di valori w i, x i (w, x, w 2, x 2 ): a 2 w w 2( w 2 x w x 2 ) b 2 w 2 x 2 w x w2 2 w2 w2 2 w M. Petyt, Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press,

23 Fig. 8.4 Smorzamento proporzionale. 8.6 FREQUENZE NATURALI E MODI DI VIBRARE Nell ipotesi di struttura lineare ([K ] ed [M ] costanti), nessun smorzamento ([C ] 0) e vibrazioni libere ({F } 0), e ponendo: { u } { f} sin wt la 8.60 diventa: 8.78 ([ K ] w 2 [ M ]){ f} { 0 } 8.79 ad eccezione della soluzione banale { f} {0} (sistema in quiete), occorre che il determinante della 8.79 sia nullo per avere soluzioni non nulle di { f}: [ K ] w 2 [ M ] Il problema si dice agli autovalori ed ammette n soluzioni (con n gradi di libertà) per w 2 e n autovettori { f} definiti a meno di una costante. Poiché le matrici in gioco sono reali e simmetriche gli autovalori sono tutti numeri reali. 25

24 ESEMPIO 8. Calcolare le frequenze proprie di vibrazione per un elemento asta non vincolato. Utilizzando la matrice delle masse congruente si ha: EA L + w 2 ral e le frequenze proprie di vibrazione sono: { w 2 } 0 2E rl mentre nel caso di matrice delle masse concentrate si ha: { w 2 } 0 4E rl e la soluzione esatta è invece: { w 2 } 0 p 2 E rl Da notare che la soluzione con matrice congruente è maggiore di quella esatta, mentre quella ottenuta con la matrice a masse concentrate è più piccola. ESEMPIO 8.2 Calcolare le frequenze proprie di vibrazione per un elemento trave non vincolato. Utilizzando la matrice delle masse congruente si ha: EJ z l 3 2 6l 2 6l 6l 4l 2 6l 2l 2 2 6l 2 6l 6l 2l 2 6l 4l l 54 3l + w 2 ral l 4l 2 3l 3l l 56 22l 3l 3l 2 22l 4l e le frequenze proprie di vibrazione sono: { w 2 } EJ ral EJ ral mentre nel caso di matrice delle masse concentrate, considerando i termini aggiuntivi di inerzia, si ha: { w 2 } EJ ral 4 92EJ ral

25 e la soluzione esatta è invece w 2 EJ b4 i con e ral 4 b b per i primi due valori di frequenze proprie non nulli: { w 2 } EJ ral EJ ral Da notare, anche questa volta, che la soluzione con matrice congruente è maggiore di quella esatta, mentre quella ottenuta con la matrice a masse concentrate è più piccola. 8.7 GUYAN REDUCTION La procedura di risoluzione dell intera matrice diventa molto onerosa per tanti gradi di libertà. D altra parte il numero di gradi di libertà necessari a caratterizzare il comportamento dinamico di una struttura è in genere molto minore di quello richiesto per ricavare tensioni e deformazioni in statica. Si può quindi ridurre il numero dei gradi di libertà, utilizzando la tecnica della condensazione. Una dei metodi più utilizzati è la cosiddetta Guyan reduction 2 : si scelgono gradi di libertà fondamentali detti master rispetto ai quali sono condensate le matrici degli altri gradi, detti slave, con la stessa legge usata per la condensazione statica sia per le masse che per le rigidezze (esatta per queste, approssimata per le masse). L ipotesi fondamentale nella Guyan reduction è che per le frequenze più basse (in genere le più importanti), le forze d inerzia agenti sui gradi di libertà slave sono meno importanti delle forze elastiche trasmesse dai gradi di libertà master. I gradi di libertà master sono quindi quelli caratterizzati dai valori più bassi di k/ m, oltre quelli in corrispondenza dei nodi ai quali è applicato un carico o uno spostamento prescritto variabile. Nota la soluzione in termini di autovettori per i gradi di libertà master, questa si può poi espandere a tutti i gradi di libertà. Data l equazione 8.79: ([ K ] w 2 [ M ]){ f} { 0 } detti { f m } i gradi di libertà master e { f s } i gradi di libertà slave, si ha: 8.89 Ê [ K mm ] [ K ms ] w 2 [ M mm ] [ M ms ] ˆ f m Á Ë [ K sm ] [ K ss ] [ M sm ] [ M ss ] Ï{ } Ï{ 0 } Ì ý Ì ý Ó { f s } þ Ó { 0 } þ 8.90 Dalla seconda serie di equazioni: 2.Guyan R.J., Reduction of Stiffness and Mass Matrices, AIAA Journal, 965, v. 3, n. 2, p

26 ([ K sm ] w 2 [ M sm ]) f m { } + ([ K ss ] w 2 [ M ss ]){ f s } { 0 } 8.9 ovvero: { f s } K ss ([ ] w 2 [ M ss ]) ([ K sm ] w 2 [ M sm ]){ f m } 8.92 e, espandendo in serie il termine inverso: ([ K ss ] w 2 [ M ss ]) K ss [ ] + w 2 [ K ss ] [ M ss ][ K ss ] + º 8.93 Sostituendo nella prima serie di equazioni in 8.90 e trascurando i termini più grandi di w 2 si ha: ([ K R ] w 2 [ M R ]) f m { } { 0 } 8.94 con: [ K R ] K mm [ ] [ K ms ][ K ss ] [ K sm ] [ M R ] M mm [ ] [ K ms ][ K ss ] [ M sm ] [ M ms ][ K ss ] [ K sm ] [ K ms ][ K ss ] [ M ss ][ K ss ] [ K sm ] La selezione dei gradi di libertà master può essere automatizzata nel seguente modo: date le matrici [K ] e [M ], il primo grado di libertà slave è quello per il quale si ha il più grande rapporto K ii /M ii. Si esegue una prima condensazione e si seleziona il grado di libertà slave successivo in corrispondenza del nuovo rapporto più grande (K ii /M ii ). Si ripete l operazione di condensazione ed il procedimento è ripetuto sino a quando sono raggiunti i gradi di libertà master desiderati. Un altro procedimento consiste invece nel terminare l operazione di condensazione quando il rapporto (K ii /M ii ) j è inferiore ad una frequenza di taglio w t, solitamente assunta pari a circa tre volte la frequenza più alta di eccitazione. 8.8 ANALISI TRANSITORIA DINAMICA: SOVRAPPOSIZIONE MODALE Il procedimento di calcolo prevede: il calcolo dei modi di vibrare del sistema la separazione della funzione forzante nelle sue componenti di ogni modo la soluzione delle singole equazioni disaccoppiate corrispondenti ai singoli gradi di libertà il calcolo della risposta globale come somma delle singole risposte dei singoli modi agli istanti desiderati 254

27 Tra i vantaggi della sovrapposizione modale c è la soluzione veloce (basta esaminare i primi modi e/o quelli più vicini alle frequenza del carico). Tra gli svantaggi c è quello di poter considerare solo sistemi lineari. Richiede inoltre a monte la soluzione modale, trova difficoltà ad includere smorzamenti diversi da quelli percentuali o comunque correlati alle frequenze proprie. Sia: [ M ]{ u } + [ C ]{ u } + [ K ]{ u } { F( t) } 8.96 siano inoltre: [ L ] diagw i gli autovalori [ F ] [{ f }º{ f i }º{ f n }] gli autovettori 8.97 Dalle condizioni di [M] orto-normalità si ha: [ F ] T [ M ][ F] [ I ] [ F ] T [ K ][ F] [ L 2 ] e, considerando la trasformazione: { u } [ F] { X } con {X } spostamenti generalizzati modali, si ottiene: { Ẋ } + [ F] T [ C ][ F] { Ẋ } + [ L 2 ]{ X } [ F ] T { F } Le equazioni risultano disaccoppiate se è possibile supporre lo smorzamento proporzionale o di Rayleigh: [ C ] a[ M ] + b[ K ] o se è possibile scrivere che: { f i } T [ C ]{ f j } 2w i x i d ij con x i rapporto di smorzamento modale. In tal caso si hanno n equazioni disaccoppiate del tipo: ẋ i + 2w i x i ẋ i + w 2 i x i f i f i { f i } T { F } ( i 2,, º, n ) 8.03 che possono essere risolte con l integrale di Duhamel: 255

28 x i f i ()e t x iw i t + w di Ú e x iw i t t 0 C i ( t) sin [ w di ( t t) ] dt ( cos w di t + C 2i sin w di t ) 8.04 con: w di w i x2 i 8.05 e C i, C 2i costanti di integrazione determinate imponendo le condizioni iniziali: ( x i ) t 0 ( ẋ i ) t 0 { } T [ M ]{ s 0 } f i { } T [ M ]{ ṡ 0 } f i Scelta del numero di modi da considerare Esaminando il fattore di partecipazione nell analisi modale si ha una misura della risposta di una struttura ad una data frequenza naturale, cioè come ogni modo contribuirà agli spostamenti (e attraverso questi, alle tensioni) in una particolare direzione. Fig. 8.5 Primi 3 modi di vibrare di una trave. Ad esempio nella trave in figura 8.5 i primi due modi sono di flessione, il terzo di trazione-compressione. Se agisce una forza eccitatrice in direzione Y, il modo (a frequenza naturale più bassa) avrà più alto fattore di partecipazione, il modo 2 avrà un fattore di partecipazione più basso ed il modo tre un fattore di partecipazione nullo. Se la forza agisce in direzione X il fattore di partecipazione avrà valore diverso da zero solo per il modo

29 Il quadrato di ciascun fattore di partecipazione è uguale alla massa che è entrata in gioco in quella direzione. In questo contesto ci si può fermare al numero di modi che rappresentano una percentuale adeguata della massa della struttura. 8.9 METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA Il sistema di equazioni è integrato utilizzando una procedura numerica passo passo (step by step) (metodi alle differenze finite) ed il termine diretta significa che nessuna trasformazione di coordinate e delle equazioni viene fatta prima dell integrazione numerica. [ M ]{ Ṡ } + [ C ]{ Ṡ } + [ K ]{ S } { F ( t) } 8.07 La soluzione del problema consiste nel calcolare i valori SṠṠ,, dal tempo t 0 al tempo t T, noti i valori iniziali S 0, Ṡ 0, Ṡ 0 al tempo t 0. A tal fine, l intervallo di tempo T è suddiviso in n intervalli di tempo Dt, (Dt T/n), e la soluzione del sistema 8.06 è calcolata, mediante opportuni schemi di integrazione, solo agli istanti 0, Dt, 2Dt, 3Dt,..., t, t + Dt,..., T, cioè per valori discreti di t, distanti Dt, assumendo a priori una legge di variazione degli spostamenti, velocità ed accelerazioni all interno dell intervallo Dt. Il metodo è comunque approssimato con un errore che dipende dalla scelta del passo temporale Dt. Un passo Dt troppo piccolo, soprattutto in non linearità pregiudica i tempi ed i costi del calcolo. I vantaggi dei metodi di integrazione diretta sono: possono essere analizzate strutture lineari e non lineari possono essere incluse forme generali di smorzamento, mentre con la sovrapposizione modale è necessario ricorre ad uno smorzamento proporzionale non è richiesta espressamente la soluzione preventiva agli autovalori Gli svantaggi dei metodi di integrazione diretta sono: si possono accumulare errori ed instabilità numeriche soprattutto per le non linearità, possono essere richiesti tempi di calcolo eccessivi al fine di ottenere soddisfacenti gradi di precisione I metodi di integrazione diretta si dividono in:. Metodi espliciti (differenze centrali). Il vettore spostamento è funzione delle soluzioni calcolate agli istanti precedenti: { S } t + Dt f ({ S } t, { Ṡ } t, { Ṡ } t, { S } t Dt,,º ) L equazione di equilibrio è scritta all istante t:

30 [ M ]{ Ṡ } t + [ C ]{ Ṡ } t + [ K ]{ S } t { F( t) } t 8.09 I metodi espliciti sono condizionatamente stabili. 2. Metodi impliciti (Houbolt, Wilson-q, Newmark) In questi metodi il vettore spostamento è funzione degli spostamenti precedenti (noti) e delle velocità ed accelerazioni attuali (ignote): { S } t + Dt f ({ Ṡ } t + Dt, { Ṡ } t + Dt, { S } t,,º ) Le equazioni di equilibrio sono scritte all istante t + Dt: [ M ]{ Ṡ } t Dt + [ ]{ Ṡ } t + Dt + [ K ]{ S } t + Dt { F( t) } t + Dt + C I metodi impliciti sono generalmente incondizionatamente stabili Metodi espliciti - Metodo delle differenze centrali Fig. 8.6 Metodo delle differenze centrali: legge degli spostamenti. Si assume: { Ṡ } t Dt 2 ({ S } t Dt 2{ S } t + { S } t + Dt ) { Ṡ } t ( { S } 2Dt t Dt + { S } t + Dt ) 8.2 Gli spostamenti incogniti {S } t+dt al tempo t + Dt si ottengono dall equazione di equilibrio scritta al tempo t. [ M ]{ Ṡ } t + [ C ]{ Ṡ } t + [ K ]{ S } t { F } t Sostituendo:

31 Posto: Ê Dt 2 [ M ] [ C ]{ S } ˆ Á 2Dt t + Dt Ë Ê 2 { F } [ K ] ˆ Ê t Á Dt 2 [ M ] { S }t Ë Dt 2 [ M ] ˆ Á [ C ] 2Dt { S }t Dt Ë [ M ] Dt 2 [ M ] [ C ] 2Dt Ê 2 { F } t { F } [ K ] ˆ Ê t Á Dt 2 [ M ] { S }t Ë Dt 2 [ M ] ˆ Á [ C ] 2Dt { S }t Dt Ë si ha: [ M ]{ S } t Dt + F { } t 8.6 da cui si ricava {S} t+dt. Il metodo delle differenze centrali richiede la fattorizzazione di [ M ] e non di [K ]; se la matrice delle masse è diagonale (lumped mass), non è richiesta neanche la fattorizzazione. Il metodo richiede comunque un procedimento di partenza, poiché per t 0 è necessario conoscere { S } Dt. { S } Dt S { } 0 Dt{ Ṡ} 0 Dt { Ṡ } Il passo di integrazione Dt deve essere scelto opportunamente; una scelta generalmente valida è: Dt Dt crit T n p dove T n è il periodo più piccolo del sistema

32 Tab. 8. Metodo delle differenze centrali - Algoritmo di calcolo. CALCOLARE [K ], [M], [C ] 2. INIZIALIZZARE { S } 0, { Ṡ } 0, { Ṡ } 0 3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE DT (< DT CRIT ) 4. CALCOLARE 2 Dt c Dt 2 c c 2Dt Dt 2 c { S } Dt { S } 0 Dt{ Ṡ} 0 + c 3 { Ṡ } 0 [ M ] c 0 [ M ] + c [ C ] 5. FATTORIZZARE [ M ] [ L ][ D ][ L ] T per t Dt, 2Dt, º, T : 6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE { F } t { F } t ([ K ] c 2 [ M ]){ S } t ( c 0 [ M ] + ( c [ C ])){ S } t Dt 7. RISOLVERE RISPETTO A { S } t+ Dt [ L ][ D ][ L ] T { S } t + Dt { F } t 8. CALCOLARE, SE RICHIESTO, I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE { Ṡ } t c 0 ({ S } t Dt 2{ S } t + { S } t + Dt ) { Ṡ } t c ( { S } t Dt + { S } t + Dt ) 260

33 8.9.2 Metodi impliciti - Metodo di Houbolt Fig. 8.7 Metodo di Houbolt: legge degli spostamenti. Si assume: { Ṡ } t Dt { Ṡ } t Dt Dt 2 ( 2{ S } t + Dt 5{ S } t + 4{ S } t Dt { S } t 2Dt ) ( { S } 6Dt t + Dt 8{ S } t + 9{ S } t Dt 2{ S } t 2Dt ) 8.9 Gli spostamenti incogniti { S } t + Dt al tempo t + Dt si ottengono dall equazione di equilibrio scritta al tempo t + Dt. Si ottiene: Ê Dt 2 [ M ] ˆ Ê 5 3 Á + [ C ] + [ K ] 6Dt { S }t + Dt { F } t + Dt Ë Dt 2 [ M ] ---- ˆ + Á + [ C ] Dt { S }t + Ë Ê Dt 2 [ M ] ˆ Ê Á + [ C ] 2Dt { S } t Dt Ë Dt 2 [ M ] ˆ + Á + [ C ] 3Dt { S }t 2 Dt Ë Posto: 8.20 [ K ] Dt 2 [ M ] [ C ] + [ K ] 6Dt Ê 5 3 { F } t + Dt { F } t + Dt Dt 2 [ M ] ---- ˆ + Á + [ C ] Dt { S }t + Ë 8.2 Ê Dt 2 [ M ] ˆ Ê Á + [ C ] 2Dt { S }t Dt Ë Dt 2 [ M ] ˆ + Á + [ C ] 3Dt { S }t 2 Dt Ë si ha: [ K ]{ S } t Dt + F { } t + Dt da cui si ricava {S} t+dt. Il metodo di Houbolt richiede la fattorizzazione di [ K ]

34 Inoltre il metodo richiede un procedimento speciale di partenza per calcolare { S } Dt e { S } 2Dt ; normalmente si utilizza il metodo delle differenza centrali, con un passo di integrazione pari ad una frazione di Dt. Tab. 8.2 Metodo di Houbolt - Algoritmo di calcolo. CALCOLARE [K], [M], [C] 2. INIZIALIZZARE { S } 0, { Ṡ } 0, { Ṡ } 0 3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE Dt 4. CALCOLARE c Dt 2 c c 6Dt Dt 2 c Dt 4 3 c Dt 2 c c 2Dt Dt 2 c Dt { S } Dt, { S } 2 Dt (con il metodo delle differenze centrali) [ K ] [ K ] + c 0 [ M ] + c [ C ] 5. FATTORIZZARE [ K ] [ L ][ D ][ L ] T per t Dt, 2Dt, º, T 6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE { F } t + Dt { F } t + Dt + [ M ]( c 2 { S } t + c 4 { S } t Dt + c 6 { S } t 2 Dt ) 7. RISOLVERE RISPETTO A + [ C ]( c 3 { S } t + c 5 { S } t Dt + c 7 { S } t 2 Dt ) { S } t+ Dt [ L ][ D ][ L ] T { S } t + Dt { F } t + Dt 8. CALCOLARE, SE RICHIESTO, I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE { Ṡ } t + Dt c 0 { S } t + Dt c 2 { S } t c 4 { S } t Dt c 6 { S } t 2 Dt { Ṡ } t + Dt c ({ S } t + Dt c 3 { S } t c 5 S t Dt ) c 7 { S } t 2 Dt 262

35 8.9.3 Metodi impliciti - Metodo di Wilson-q Il metodo di Wilson-q è un estensione del metodo dell accelerazione lineare. L accelerazione è assunta lineare tra t e t + qdt, con q (con q si ha il caso dell accelerazione lineare classica). Affinché il metodo sia incondizionatamente stabile si può dimostrare che deve essere q.37, di solito si usa q.40. Detta t la variabile tempo ( 0 t qdt ), per l intervallo di tempo ( t t+ qdt) si ha: t { Ṡ } t + t { Ṡ } t ({ Ṡ } 8.23 qdt t + qdt { Ṡ } t ) Fig. 8.8 Metodo di Wilson-q: ipotesi di accelerazione lineare. e integrando: { Ṡ } t t { S } t t + Ṡ + S e, al tempo t + qdt: t 2 { } t + { Ṡ } t t ({ Ṡ } 2qDt t + qdt { Ṡ } t ) { } t { Ṡ } t t -- { Ṡ } 2 t t 2 t ({ Ṡ } 6qDt t + qdt { Ṡ } t ) 8.24 qdt { Ṡ } t + qdt { Ṡ } t ({ Ṡ } 2 t + qdt + { Ṡ } t ) 8.25 q { S } t + qdt { S } t qdt { Ṡ } 2 Dt + t ({ Ṡ } 6 t + qdt + 2{ Ṡ } t ) e, risolvendo rispetto { Ṡ } t + qdt e { Ṡ } t + qdt in funzione di { S } t + qdt : 6 6 { Ṡ } t + qdt q 2 Dt 2 ({ S } t + qdt { S } t ) { Ṡ } qdt t 2{ Ṡ } t qdt { Ṡ } t + qdt ({ S } qdt t + qdt { S } t ) 2{ Ṡ } t { Ṡ } 2 t 263

36 Tab. 8.3 Metodo di Wilson-q - Algoritmo di calcolo. CALCOLARE [K], [M], [C] 2. INIZIALIZZARE { S } 0, { Ṡ } 0, { Ṡ } 0 3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE Dt 4. CALCOLARE 6 3 qdt c c ( qdt) 2 c c qdt 2 2c c c q c --- c 2 3 Dt Dt 5 c q 6 -- c q c ( q.4 ) [ K ] [ K ] + c 0 [ M ] + c [ C ] 5. FATTORIZZARE [ K ] [ L ][ D ][ L ] T per t Dt, 2Dt, º, T 6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE { F } t + qdt { F } t + q ( { F } t + Dt { F } ) t + [ M ]( c 0 { S } t + c 2 { Ṡ } t + 2{ Ṡ } t ) + [ C ]( c { S } t + 2{ Ṡ } t + c 3 { Ṡ } t ) 7. RISOLVERE RISPETTO A { S } t+ D t [ L ][ D ][ L ] T { S } t + qdt { F } t + qdt 8. CALCOLARE I VALORI DI SPOSTAMENTO, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE AL TEMPO t + Dt : { Ṡ } t + Dt C 4 { S } t + qdt { S } t + { } 5 t + C 6 { Ṡ } t { Ṡ } t + Dt { Ṡ } t + C 7 ({ Ṡ } t + Dt + { Ṡ } t ) { S } t + Dt { S } t + Dt{ Ṡ} t + C 8 ({ Ṡ } t + Dt + 2{ Ṡ } t ) 264

37 L equazione di equilibrio al tempo t + qdt è: [ M ]{ Ṡ } t + qdt + [ C ]{ Ṡ } t + qdt + [ K ]{ S } t + qdt { F } t + qdt { F } t + qdt { F } t + q ( { F } t + Dt { F } ) t 8.27 Dalla 8.26 si ricava { S } t + qdt, dalla 8.25 si calcola { Ṡ } t + qdt ; quindi, posto t Dt, dalle 8.22 e 8.23 si ricavano { S } t + Dt, { Ṡ } t + Dt, { Ṡ } t + Dt Metodi impliciti - Metodo di Newmark Il metodo di Newmark è un estensione del metodo dell accelerazione lineare. Si assume: { Ṡ } t Dt { S } t Dt + Ṡ + S { } t + (( d ){ Ṡ } t + d{ Ṡ } t + Dt )Dt { } + t { Ṡ } t Dt + Ê-- aˆ { Ṡ } Ë2 t + a{ Ṡ } Ë Ê t + Dt ˆ Dt con i parametri a e d da determinare in modo da ottenere precisione e stabilità nell integrazione (con a /6 e d /2 si ha il metodo dell accelerazione lineare; Newmark propose a /4 e d /2, cioè una accelerazione media costante). Fig. 8.9 Metodo di Newmark. Le 8.28 sono utilizzate per descrivere { Ṡ } t + Dt e { Ṡ } t + Dt in funzione di { S } t + Dt, che è calcolato scrivendo l equazione di equilibrio al tempo t + Dt: [ M ]{ Ṡ } t Dt + [ ]{ Ṡ } t + Dt + [ K ]{ S } t + Dt { F } t + Dt + C

38 Tab. 8.4 Metodo di Newmark - Algoritmo di calcolo. CALCOLARE [K], [M], [C] 2. INIZIALIZZARE { S } 0, { Ṡ } 0, { Ṡ } 0 3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE d 0.50 a 0.25( d ) 2 Dt, a, d 4. CALCOLARE d c adt 2 c c adt c adt a d Dt c 4 -- c a Ê d 2 ā - Ë 2 ˆ c 6 Dt( d ) c 7 ddt [ K ] [ K ] + c 0 [ M ] + c [ C ] 5. FATTORIZZARE [ K ] [ L ][ D ][ L ] T per t Dt, 2Dt, º, T 6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE { F } t + Dt { F } t + Dt + [ M ]( c 0 { S } t + c 2 { Ṡ } t + c 3 { Ṡ } t ) + [ C ]( c { S } t + c 4 { Ṡ } t + c 5 { Ṡ } t ) 7. RISOLVERE RISPETTO A { S } t+ D t [ L ][ D ][ L ] T { S } t + Dt { F } t + Dt 8. CALCOLARE I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE AL TEMPO t + Dt { Ṡ } t + Dt c 0 { S } t + Dt { S } t { } 2 t c 3 { Ṡ } t { Ṡ } t + Dt { Ṡ } t + c 6 { Ṡ } t + c 7 { Ṡ } t + Dt 266

39 ESEMPIO 8.3 Calcolare la risposta del sistema: ṡ + s con s 0 e ṡ 0 0, utilizzando i metodi delle differenze centrali, Houbolt, Wilson e Newmark. Confrontare i risultati numerici con la soluzione analitica. Le tabelle 8.5, 8.6, 8.7 illustrano i risultati ottenuti con i diversi metodi di integrazione, utilizzando rispettivamente un passo di integrazione Dt pari a 0.5,, 2.5. Tab. 8.5 Soluzione del sistema dell esempio 8., Dt 0.5 t SOLUZIONE ANALITICA NEWMARK WILSON HOUBOLT DIFFERENZE CENTRALI

40 Tab. 8.6 Soluzione del sistema dell esempio 8., Dt.0 t SOLUZIONE ANALITICA NEWMARK WILSON HOUBOLT DIFFERENZE CENTRALI Tab. 8.7 Soluzione del sistema dell esempio 8., Dt 2.5 t SOLUZIONE ANALITICA NEWMARK WILSON HOUBOLT DIFFERENZE CENTRALI Le figure 8.0 e 8. illustrano la risposta del sistema ottenuta analiticamente e con i diversi metodi di integrazione, utilizzando rispettivamente un passo di integrazione Dt pari a 0.5 e

41 Fig. 8.0 Risposta del sistema dell esempio 8., passo di integrazione Dt 0.5. Fig. 8. Risposta del sistema dell esempio 8., passo di integrazione Dt

42 La figura 8.2 illustra invece la risposta del sistema ottenuta utilizzando rapporto passo-periodo Dt T 0.0. In quest ultimo caso, con un passo di integrazione relativamente piccolo, i diversi metodi forniscono risultati che si confondono con quelli analitici. Utilizzando un passo più elevato, pari a Dt 0.5, ( Dt T 0.08 ), (fig. 8.0) il metodo delle differenze centrali e quello di Newmark forniscono ancora buoni risultati, mentre si ha un incremento del periodo ed una diminuzione dell ampiezza per la riposte ottenute con i metodi di Wilson e di Houbolt: i due metodi introducono uno smorzamento artificiale (numerico) e questo fenomeno aumenta con l aumentare del passo di integrazione; rispetto al metodo di Houbolt, il metodo di Wilson provoca un minor allungamento del periodo ed una minore diminuzione dell ampiezza. L uso di un passo di integrazione ancora più grande ( Dt 2.5, pari a Dt T 0.4 ), (fig. 8.), rende il metodo delle differenze centrali instabile, fornendo risultati del tutto errati, con valori crescenti nel tempo. Fig. 8.2 Risposta del sistema dell esempio 8., passo di integrazione Dt 0.0. ESEMPIO 8.4 Calcolare la risposta del sistema: ṡ + ks f

43 con s 0 0 e ṡ 0 0, utilizzando i metodi delle differenze centrali, Houbolt, Wilson e Newmark. Confrontare i risultati ottenuti con passi di integrazione Dt pari a 0.05, e 0. con la soluzione analitica: s f - ( cos ( kt) ) k 8.32 Le tabelle 8.8 e 8.9, illustrano la risposta del sistema ottenuta con i diversi metodi di integrazione, rispettivamente per un passo di integrazione Dt pari a 0.05 e 0.. Tab. 8.8 Soluzione del sistema dell esempio 8.2, t SOLUZIONE ANALITICA Dt 0.05 NEWMARK WILSON HOUBOLT DIFFERENZE CENTRALI Tab. 8.9 Soluzione del sistema dell esempio 8.2, t SOLUZIONE ANALITICA Dt 0.05 NEWMARK WILSON HOUBOLT DIFFERENZE CENTRALI

44 Fig. 8.3 Risposta del sistema dell esempio 8.2, passo di integrazione Dt Le figure 8.3, 8.4, illustrano l andamento della risposta del sistema con i diversi metodi di integrazione. Fig. 8.4 Risposta del sistema dell esempio 8.2, passo di integrazione Dt

45 8.0 STABILITÀ E PRECISIONE DEI METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA Per stabilità si intende la condizione per cui un piccolo errore ad un passo temporale determina errori cumulativi più piccoli ai passi successivi. Precisione è la condizione per cui la soluzione, per metodi incondizionatamente stabili o, rispettando il limite di stabilità, anche per metodi condizionatamente stabili, pur essendo stabile, converge alla soluzione esatta. Le considerazioni che si possono fare sull integrazione diretta sono più evidenti se trasferite alla soluzione delle equazioni disaccoppiate (un solo grado di libertà per equazione), che è come dire fare la sovrapposizione modale non utilizzando l integrale di Duhamel, ma gli algoritmi classici dell integrazione diretta. Ci si riferisce quindi all equazione: ẋ + 2xwẋ + w 2 x f 8.33 Stabilità e precisione sono caratteristiche dell analisi dipendenti da Dt, x, w. Detto T il periodo della vibrazione libera non smorzata, il problema è quindi quello di valutare anche gli errori di integrazione in funzione di Dt/T, del rapporto di smorzamento critico x e del carico applicato f, in termini di distribuzione spaziale e temporale. Integrare con precisione tutte le n equazioni (disaccoppiate) richiede l adozione di un passo di integrazione Dt minore del più piccolo periodo T i del sistema (T n ), si può stimare che T n 0. In molte analisi la risposta è data principalmente solo da alcuni modi di vibrare, è inoltre scarsamente giustificato includere i modi più alti, perché poco approssimati. Generalmente sono sufficienti i primi p modi di vibrare, dove p è generalmente determinato dalla distribuzione spaziale e dal contenuto in frequenza del carico f. Si può adottare allora T p Operatori di approssimazione e di carico Data l equazione 8.33, si suppone di conoscere la soluzione ai tempi 0, Dt, 2Dt, 3Dt,..., t Dt, t e di voler calcolare la soluzione a t+dt. In questo caso si può stabilire una relazione del tipo: { x } t Dt + A [ ]{ x } t + { L }f t+ v 8.34 con [A ] operatore di approssimazione e {L} operatore di carico, dipendenti dallo schema di integrazione prescelto, e f t+v è il carico al tempo t+v, con v, a seconda del metodo di integrazione scelto, pari a 0, Dt o qdt. In generale, al tempo t+ndt, applicando ricursivamente la 8.34, si ha: { x } t+ ndt [ A ] n { x } t + [ A ] n { L }f t+ v + [ A ] n 2 { L }f t + Dt+ v [ A ]{ L }f º t+ ( n )Dt+ v 273

46 Come varia la risposta al variare del passo di integrazione, o meglio del suo rapporto rispetto al periodo di vibrazione Dt/T? La stabilità è determinata attraverso l esame del comportamento della soluzione numerica 8.35 per condizioni iniziali arbitrarie. Con carico nullo si ha: { x } t ndt + A [ ] n { x } t 8.36 Occorre quindi fare una analisi di stabilità della 8.36 per i diversi metodi di integrazione. Decomposizione spettrale di [A] n La decomposizione spettrale della matrice [A] è: [ A ] n [ P ][ J ] n [ P ] 8.37 con [P ] matrice degli autovettori di [A] e [ J ] forma Jordan di [A], con gli autovalori l i di [A] sulla diagonale principale. Sia r([a]) il raggio spettrale di [A]: r( [ A ]) max( l i ) i 2,, º, n 8.38 Si può dimostrare che: [ J ] n è limitata per n Æ se e solo se r( [ A ]) 8.39 La 8.39 definisce il criterio di stabilità. Inoltre più piccolo è il raggio spettrale r([a]), più rapida è la convergenza. La stabilità del metodo dipende quindi dall operatore di approssimazione Metodo delle differenze centrali Il metodo delle differenze centrali è caratterizzato dalle seguenti equazioni: ẋ t + 2xwẋ t + w 2 x t f t ẋ t Dt 2 ( x t Dt 2x t + x t + Dt ) ẋ t ( x 2Dt t Dt + x t + Dt ) Sostituendo nella prima e risolvendo per x t + Dt si ottiene: