Teoria introduttiva e metodi di calcolo dei limiti di funzioni reali di variabile reale. Stefano Mandelli 29 novembre 2009

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1 Teoria introduttiva e metodi di calcolo dei iti di funzioni reali di variabile reale Stefano Mandelli 29 novembre

2 1 Introduzione storica Il calcolo infinitesimale, la teoria dei iti e il loro calcolo sono le basi di tutta la matematica. Buona parte dei propblemi che verranno presentati qui di seguito occuparono i matematici (di cui ricordiamo grandi nomi con Leibnitz, Darboux, Weiestrass, Fermat, Pascal e Barrow) fino alla seconda metà del 1600, creando le basi di quella che oggi è conosciuta come matematica settecentesca. La matematica settecentesca, diede poi grandi possibilità di sviluppo sia per quanto riguarda la fisica, sia per quanto riguarda gli aspetti matematici generali. Infatti la matematica dell ottocento e del novecento sono strettamente legate alle basi messe da quella del settecento. Gli argomenti quindi sfociano forse nel punto più alto della matematica, in particolare dell analisi e della geometria differenziale. In analisi la trattazione moderna di Holder, Minkovsky, Sobolev e Swartz del concetto di funzione generalizzata (termine che su alcuni libri di fisica viene più volte usato impropriamente) ha permesso una nuova visione dei problemi legati alle soluzioni delle equazioni differenziali alle derivate parziali dando ipotesi debolissime. 1 Nel campo della gematria differenziale, che trova i suoi maggiori esponenti in Reimann, Ricci, Christofell, Einstain (defunti) mentre in vita abbiamo D. Klemm e S. Hawking, hanno permesso uno sviluppo immenso della teoria della Relatività Generale e quindi costruire modelli matematici sempre più sofisticati per comprendere gli eventi di alcuni oggetti esotici al nostro pensiero come, stelle, buchi neri, galassie attive ecc... Infine concludo questa parentesi storica con la grande teoria unificatrice delle stringhe presentata per la prima volta nel 1970 dai fisici Yoichiro Nambu, Holger Bech Nielsen, e Leonard Susskind i quali presnetano una teoria che seppure non è stata ancora verificata da fatti sperimentali, è di un architettura matematica altamente barocca ed è terreno fertile per lo sviluppo di nuove teorie e metodologie matematiche che vengono via via sviluppate per far fronte ai vari problemi che la fisica delle stinghe presenta. Uno dei più grandi esponenti europei è Dietmar Klemm, e insegna Relatività Generale presso l Università degli Studi di Milano. 1 A differenza del metodo con le serie di Fourier che itava il problema a condizioni estremamente restrittive, come la necessità di convergenza uniforme delle serie ecc... che nell approccio distribuzionale possono essere aggirate. Infatti definendo l operatore differenziale in uno spazio di Sobolev, non risulta essere più chiuso e quindi tutti i teoremi di convergenza che nell approccio di Fourier erano necessari che scambiare integrale e sommatoria, oppure per scambiare derivazione e sommatoria, non sono più necessari. 2

3 2 Topologia della retta R Dato un generico spazio X definire una topologia su X vuol dire: -) Definire una nozione di misura; -) Definire una nozione di convergenza; -) Dare conseguentemente, una definizione di insieme aperto per quanto riguarda il nostro studio, a noi interessa definire sulla retta reale intervalli aperti ed intervalli chiusi. La metrica adottata è quella euclidea questo vuol dire che se x 1 e x 2 sono due punti dell asse reale allora la distanza tra i punti è definita come: Quindi abbiamo una prima definizione: d(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 (1) Def1: La metrica adottata nel nostro spazio (R, d) è quella euclidea. Definire una metrica vuol dire definire una distanza che ha da intendersi come: a, b R = d(a, b) = a b (2) Def2: Dato lo spazio (R, d). Sia X (R, d) definisco x 0 punto interno ad X se: ε > 0 : (x ε, x + ε) sia tutto contentuo in X (3) Def3: Dato lo spazio (R, d). Sia X (R, d) definisco x 0 punto accumulazione di X se: ε > 0 : (x ε, x + ε) X (4) Def4: Dato lo spazio (R, d). Sia X (R, d) dico che X è un insieme aperto se è tutto costituito da punti interni Def5: Dato lo spazio (R, d). Sia X (R, d) dico che X è un insieme chiuso se è tutto costituito da punti di accumulazione Convergeza e definizone di ite di una funzione Come già accennato in precedenza definire una topologia su uno spazio vuol dire anche definire una convergenza delle serie. Qui di seguito verranno presentate 2 definizioni di convergenza. La prima, generalissima per spazi topologici generici, la seconda invece relativa solo allo spzio (R, d), in forma metrica. Def6: Siano due spazi topologici generici (X, d) e (Y, d). sia f una funzione definita nel seguente modo: f : X Y. Successivamente possiamo definire unaclasse di aperti U su X e una classe di aperti V in Y. Se: 2 ε > 0 δ > 0 : x U ε (x 0 ) = f(x) V δ (f(x 0 )) (5) 2 con U ε(x 0 ) intendo dire, L intorno sferico APERTO! U di raggio epsilon centrato nel punto x 0 3

4 allora dico che la funzione f in x 0 ammette ite, ed è f(x 0 ) La definizione di ite di una funzione, intensa come una generica mappa da uno spazio metrico topologico X ad uno spazio metrico topologico Y, è quella più generale che si incontra nella matematica moderna. Per completezza è stato presentato però a noi interessanno particolarmente le definizioni metriche cioè coem e in che modo la Def6: può essere riproposta in forma semplice ed intuitiva alla retta reale R. Definizioni metriche Le definizioni che seguono sono tutte pensate nello spazio (R, d) e considerando una funzione f definita come f : R R. Def7: ite Finito per x : Sia f : R R dico che al tendere di x a infinito la funzione ha ite finito L se: ESISTE un intorno 3 di infinito (quando dico infinito senza specificare se è più o meno infinito allora intendo generelarmente entrambi i casi) tale che per ogni x appartenente all intorno ho che L f(x) < ε Formalmente scrivo: cioè f(x) = L (6) x ε > 0 M : x : x > M = L f(x) < ε (7) Def8: ite Finito per x x 0 : Sia f : R R dico che al tendere di x a x 0 la funzione ha ite finito L se: ESISTE un intorno di x 0 cioè x x x 0 < δ con δ > 0 tale che per ogni x appartenente all intorno ho che L f(x) < ε con ε piccolo in modo arbitrario Formalmente scrivo: cioè f(x) = L (8) ε > 0 δ : x x x 0 < δ = L f(x) < ε (9) Def9: ite Infinito per x x 0 : Sia f : R R dico che al tendere di x a x 0 la funzione ha ite infinito ( ) se: ESISTE un intorno di x 0 cioè x x x 0 < δ con δ > 0 tale che per ogni x appartenente all intorno ho che f(x) > M con M grande in modo arbitrario Formalmente scrivo: cioè f(x) = (10) M > 0 δ : x x x 0 < δ = f(x) > M (11) 3 intorno di + = (M, + ) con M grande a piacere; intorno di = (, M) con M grande a piacere; intorno del punto x 0 = (x 0 ε, x 0 + ε) con ε piccolo a piacere; 4

5 Def10: ite Infinito per x x : Sia f : R R dico che al tendere di x a la funzione ha ite infinito ( ) se: ESISTE un intorno di INFINITO cioè x > P con P > 0 grande a piacere, tale che per ogni x appartenente all intorno ho che f(x) > M con M grande in modo arbitrario Formalmente scrivo: cioè 3 Primi teoremi f(x) = (12) M > 0 P : x : x > P = f(x) > M (13) Avendo dato tante definizioni ora possiamo applicarle per poter dimostrare alcuni teoremi particolarmente interessanti. Th1:UNICITA DEL LIMITE Sia data una funzione f : R R. per x x 0, la funzione ammette ite finito L, allora questo è unico. Se La dimostrazione del teorema viene condotta per assurdo, quindi per assurdo supponiamo che: f(x) = L 1 ma anche che f(x) = L 2 (14) supponiamo L 1 L 2 e che L 1 < L 2. Applicando le definizioni ottengo che: ε < f(x) L 1 < ε (15) ε < f(x) L 2 < ε (16) L 1 ε < L 2 ε < f(x) f(x) < ε + L 1 < ε + L 2 (17) L 1 ε < ε + L 2 (18) ma in questo modo ottengo : ε > L1 L2 2 quindi ho una itazione sul valore di Epsilon!!!! Per la definizione 8 Epsilon deve essere arbitario quindi abbiamo raggiunto un assurdo rispetto alle definizioni iniziale. Quindi f quando ammette ite, questo è unico. q.e.d. 5

6 Th2: Del confronto (o delle due Carabiniere)Siano date tre funzioni f(x),g(x) e h(x) con la condizione tale che x [a, b] si ha che f(x) h(x) g(x) allora se: x 0 [a, b] f(x) = L g(x) = L = h(x) = L (19) quindi se le due funzioni, superiore ed inferiore (f e g) al tendere di x ad un x 0 in un certo intervallo chiuso [a, b] allora siamo crti che anche h(x) al tendere di x a x 0 nell intervallo [a, b] tende allo stesso ite L a cui tendono sia la f che g La dimostrazione è molto semplice e si svolge semplicemente utilizzando la definiozne 8 e l ipotesi f(x) h(x) g(x) infatti dire che la f ammette ite L vuol dire che al tendere di x a x 0 vale la definizone: L ε < f(x) < L + ε (20) ma ora uso l ipotesi per cui: f(x) h(x) g(x) quindi L ε < f(x) h(x) g(x) < L + ε (21) semplificando la catena di disugualianze ho come risultato: L ε < h(x) < L + ε (22) che è la definizione di ite per la funzione h(x) quindi: q.e.d 4 Calcolo dei Limiti h(x) = L (23) La teoria svolta fin ora permette di avere un idea chiara della topologia che è alla base del concetto di convergenza del ite di funzione o di una successione. Ora però è necessario passare dall aspetto teorico all aspetto calcolativo. In questa sezione delle dispense verrà esposta la metodologia standard per le classi quinte di liceo, per apprendere il calcolo numerico dei iti. L algebra degli infiniti E chiaro che le scritture che verranno ora presentate non hanno un rigoroso senso formale autosostenuto, ma bisogna considerarle come delle scritture di passaggio al ite. Quindi, tenendo pesente questo formalismo allora possimo dire: + + = + ; = (24) + = Caso di indecisione!! (25) Questo è un caso di indecisione perchè il risultato non è scontato, dipende dalla potenza degli infiniti che entrano nel calcolo. Se il primo infinito ha una 6

7 potenza superiore rispetto al secondo, allora in risultato sarà se invece il secondo infinito ha una potenza maggiore allora il risultato sarà +. k R ; K 0 + = + ; K 0 = ; K = 0 ; K + = 0+ (26) 0 = indecisione!! ; = indecisione!! 0 (27) = indecisione!! ; 0 = indecisione!! 0 (28) altre forme di indecisione riguardano anche le scritture: Un altro caso di indecisione che si inconra, nel modo specifico quando si tratta di determinare il numero e di nepero, è la seguente: 1 = indecisione!!! (29) Per i casi di indecisione (27) e (28) (si noti che i casi di indecisione (27) possono essere ricondotti con passaggi algebrici ai casi di indecisione (28) ) è interessante enunciare un teorema molti interessante. L utilità di questo teorema non è tanto calcolativa, infatti solitamente applicare questo teorema ai iti che presentano casi di indecisione del tipo (27) - (28) non sempre porta a risolvere l indecisione, e in molti casi complica di parecchio i conti. Nonostante tutto questo teorema trova un applicazione calcolativa nei iti con le funzioni integrali in cui la sua applicazione semplifica di parecchio le cose. Detto questo enunciamolo: Th3 Teorema di De L Hospital:Siano f(x) e g(x) due funzioni reali di variabile reale tali che siano derivabili in [a, b] allora se g(x) 0, g (x) 0 e f(x) il ite x x0 g(x) presenta un caso di indecisione del tipo (27) o (28) allora vale che: f(x) g(x) = f (x) g (x) (30) quindi il ite del rapporto, converge allo stesso ite del rapporto delle derivate. 4.1 Limiti Notevoli I iti notevoli, o meglio noti come sviluppi notevoli del prim ordine sono utilissimi per risolvere alcuni iti molto semplici in cui il confronto tra infinitesimi è legato al prim ordine. Qui di seguito presentiamo quelli utili per svolgere i conti dandone una giustificazione che NON coinvolga gli sviluppi in serie di potenze di McLaurin. 7

8 Funzioni trigonometriche: ϑ = 1 ; sin nϑ mϑ = n m (31) Considro la circonferenza goniometrica, allora da semplici osservazioni geometriche posso dire che: < Rϑ < tan ϑ ma R = 1 è la crf di raggio unitario (32) divido tutto per posso farlo in quanto io considero solo un semipiano aperto (poi estendo a tutto il piano sfruttando la disparità della fuznione seno) inverto la monotonia: 1 < ϑ < 1 cos ϑ (33) cos ϑ < ϑ < 1 (34) sono nella condizione del teorema del confronto! infatti ho che f(x) < h(x) < g(x) la f(x) = cos ϑ e la g(x) = 1. La f(x) per ϑ 0 tende banalmente a 1, la g(x) è identicamente sempre 1, quindi anche la h(x) tenderà a 1 al tendere di ϑ 0 1 cos ϑ = 0 (35) ϑ 1 cos ϑ 1 + cos ϑ ϑ 1 + cos ϑ = sin 2 ϑ ϑ usando il ite notevole di (sin x)/x ho che ϑ cos ϑ = ϑ 1 + cos ϑ (36) 0 al tendere di x 0 (37) 1 + cos ϑ 1 cos ϑ ϑ 2 = 1 2 (38) 1 cos ϑ 1 + cos ϑ ϑ cos ϑ = sin 2 ϑ ϑ cos ϑ = ϑ ϑ cos ϑ (39) al tendere di x a zero possiamo usare ancora i ite notevole di (sin x)/x e quindi rimane solo: cos ϑ = 1 2 che non presenta più un caso di indecisione e tende a 1 2 (40) 8

9 ( x = e (41) x x) ( 1 + a ) b x = e ab x x (42) x 0 (1 + ax)b 1 x = e ab (43) ln(1 + x) = 1 (44) ln(1 + x) = ln(1 + x) 1 x = ln e = 1 (45) x 0 log a (1 + x) = log a e (46) log a (1 + x) = log a (1 + x) 1 x = loga e (47) x 0 a x 1 = ln a (48) Effettuo la sostituizione: z = a x 1 = x = log a (z + 1) z 0 z log a (z + 1) = z 0 1 log a (z+1) z l ultimo passaggio è un semplice cambiamento di base. = 1 = ln a (49) log a e sinh x = 1 (50) cosh x cosh x = + ; = (51) x 0 + x x 0 x 9

10 (1 + x) α 1 = α (52) (facoltativa) Qui di seguito presentiamo la dimostrazione del ite notevole con uno sviluppo di Taylor. La formula del polinomio di Taylor è definita in questo modo: Sia data una f : (a, b) R se la f è derivabile infinite volte in x 0 (a, b) allora nel punto x 0 lo sviluppo in serie di taylor esiste e converge puntualmente alla funzione f. La forma del polinomio di taylor è la seguente: f(x) x0 = + k=0 f (k) (x 0 )(x x 0 ) k k! (53) quindi riprendendo il ite notevole io ho a che fare con questa funzione (1+x) α 1 x. A me interessa sapere con che grado di infinitesimo si avvicina a zero (perchè il mio ite dev essere calcolato per x 0). Per mettere in luce questo comportamento sviluppo in serie di Taylor questo termine: quindi rimettendo tutto nel ite: (1 + x) α = 1 + αx + α2 2! x2 + o(x 2 ) (54) 1 + αx + o(x) 1 αx = = α (55) 10