Microeconometria (Silvia Tiezzi) 01 aprile2011 Esercitazione

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1 Microeconometria (Silvia Tiezzi) 01 aprile2011 Esercitazione Esercizio 1 Si consideri il seguente modello ad effetti fissi con variabili binarie: a) supponete che N=3. Si mostri che i regressori binari e la costante sono perfettamente collineari, ovvero che una delle variabili 1,2,3 e x 0,it possono essere espressi come funzione lineare perfetta delle altre variabili, dove X 0,it =1 per ogni i,t. b) Si estenda il risultato al punto a) ad un N generico. c) Cosa accadrebbe se si tentasse di stimare i coefficienti della regressione con gli OLS? Soluzione Scriviamo le osservazioni relative alle variabili binarie e alla costante per ognuna delle 3 i e per l istante generico t. (a) Per ciascuna osservazione i, c è un solo regressore binario uguale a 1. Cioè, D1 + D2 + D3 = 1 = X. i i i 0, it Consideriamo per esempio i=1. Avremo che D1 1 =1, D 2 1 =0, D 3 1 =0 e X 01 =1, perciò D1 1 = D2 1 +D3 1 + X 01 =1; oppure X 01 = D1 1 +D2 1 +D3 1 =1. Per i=1 ciascun regressore binario =1 (per i=1 ne abbiamo 2: D1 e X 0 ) può essere scritto come combinazione lineare perfetta degli altri 3 regressori binari, pertanto uno dei due è ridondante. Stessa cosa per i= 2 e per i=3. Per i=2 avremo: D1 1 =0, D 2 1 =1, D 3 1 =0 e X 01 =1, perciò D2 1 = D1 1 +D3 1 + X 01 =1. (b) Per ciascuna osservazione i, c è un solo regressore binario uguale a 1. Cioè, D1i + D2i + L + Dni = 1 = X0, it. (c) L inclusione di tutti i regressori binari e della costante causa perfetta multicollinearità. La costante è una funzione lineare perfetta degli n regressori binari. In questo caso lo stimatore OLS non può essere calcolato. Il software che usate per le stime di solito produce un avvertimento in questo caso o elimina uno dei regressori binari. Esercizio 2 Si consideri il modello con effetti fissi: a) Nel modello di regressione con effetti fissi, gli effetti fissi sono stimati in modo consistente per con T fisso? b) Se N è grande (per esempio 2000) ma T è piccolo (T=4), si può pensare che i valori stimati di siano approssimativamente normalmente stimati? Perché sì e perché no? 1

2 Soluzione (a) Scriviamo il modello senza il regressore x:. Se l errore è in media zero, il valore medio degli effetti fissi per l entità i sarà che ha varianza. Questa varianza non si riduce all aumentare di N, pertanto non è consistente. (b) La media in a) è calcolata su T osservazioni. In questo caso T è piccolo (T=4) pertanto l assunzione di normalità non ha una probabilità elevata di essere vera. Esercizio 3 Il seguente è un panel di dati sugli investimenti (y) e sui profitti (x) di n=3 imprese su T=2 periodi. a) Considerate i dati pooled e calcolate i coefficienti della regressione OLS del modello y it = α + βx it + ε it b) Stimate il modello a effetti fissi in deviazioni dalle medie di gruppo. Supponete che la statistica F(1, 5), per testare l ipotesi che le intercette delle imprese siano tutte uguali, sia pari a 15. Cosa concludete? Potete affermare che il modello a effetti fissi rappresenta la specificazione corretta della funzione di investimento? t i=1 i=2 i=3 y x y x y x Soluzione a) sappiamo che nel modello pooled l algoritmo dello stimatore OLS di.... e che lo stimatore OLS di.... con , , ,438 17, , ,596,, =0,754 2 e ,640,75417,438 17,64 13,149 4,491 b) il modello è = β(x it -+ (ε it - e l algoritmo dello stimatore OLS è:..

3 19,27; 20,455; 16,925; 19,81; 18,885; 14,225; 133, , , ,941 0,821 Il valore della statistica F con 1 (numero delle pendenze) e 5 (NT-1=6-1) gradi di libertà ci consente di rifiutare l ipotesi nulla che le 3 imprese abbiamo un intercetta comune. Ci effetti individuali fissi nel tempo. Non siamo in grado però di affermare che il modello a effetti fissi sia la specificazione corretta, perché non sappiamo ancora se gli effetti latenti individuali sono effetti casuali o sono correlati con il regressore. Esercizio 4 In questo problema applicheremo i metodi per dati panel per stimare una equazione dei salari. I dati sono estratti dall indagine Youth Sample of the National Longitudinal Survey elaborata negli USA che include un campione di 545 lavoratori full time di sesso maschile che hanno completato gli studi nel 1980 e poi sono stati seguiti negli anni dal 1980 al 1987 (T=8). Gli individui nel campione nel 1980 avevano un età compresa tra i 18 e i 23 anni ed avevano un esperienza lavorativa media di 3 anni all inizio del periodo di campionamento. La variabile dipendente è il log del salario. Le esplicative sono: gli anni di istruzione, gli anni di esperienza lavorativa e gli anni di esperienza lavorativa al quadrato, ed alcune variabili binarie che indicano: se il lavoratore considerato fa parte di un sindacato; se lavora nel settore pubblico; se è sposato; se appartiene ad una minoranza etnica. a) Supponete che siano soddisfatte le assunzioni del modello ad effetti casuali, quale dei quattro stimatori riportati nelle colonne della tavola sottostante è consistente? b) Supponete che e che Calcolate il valore di usato per trasformare i dati nello stimatore FGLS. Quale restrizione su è valida nello stimatore OLS? c) Supponete che un test di Hausman basato sul confronto tra gli stimatori a effetti fissi e gli stimatori a effetti casuali produca un valore della statistica test pari a Quale delle 4 specificazioni è corretta? d) Se assumiamo che alcune delle esplicative siano correlate con la componente transitoria del termine di errore v it quale specificazione sarebbe consistente? Soluzione a) Tutti e 4 gli stimatori sono consistenti se sono soddisfatte le ipotesi del modello a effetti casuali. b) Poiché T=8, Di conseguenza

4 Dependent Variable: Log Wage Variable Between Within OLS Random Effects Constant (0.221) (0.065) (0.111) schooling (0.011) (0.0006) (0.0006) (0.009) experience (0.050) (0.008) (0.010) (0.008) experience (0.0032) (0.0006) (0.0007) (0.0006) union member (0.047) (0.019) (0.017) (0.018) married (0.041) (0.018) (0.016) (0.017) black (0.049) (0.024) (0.048) hispanic (0.043) (0.021) (0.043) public sector (0.109) (0.039) (0.037) (0.036) 2

5 Il modello OLS implica che 1. c) Sotto l ipotesi nulla la statistica test di Hausman si distribuisce come una Chi quadrato con 5 gradi di libertà (numero delle pendenze nel modello a effetti fissi), perciò rifiutiamo l ipotesi nulla per qualunque livello di significatività. La specificazione ad effetti fissi è quella corretta. d) Si avrebbe in questo caso un problema di endogeneità. In questo caso anche lo stimatore ad effetti fissi sarebbe inconsistente. Devono essere considerati, in questo caso, stimatori e strategie di stima più complesse. Esercizio 5 Considerate il seguente modello ad aggiustamento parziale con effetti individuali. + (i=1,,n; t=1,,t). Discutete la stima di un modello di questo tipo quando T è piccolo ed N è grande, sotto le assunzioni elencate sotto. a) è una variabile strettamente esogena incorrelata con e è un errore idiosincratico (componente transitoria dell errore) potenzialmente auto correlato. b) è una variabile strettamente esogena ma è correlata con. c) è una variabile predeterminata e è iid. Soluzione a) Se è una variabile strettamente esogena la stima del modello considerato presenta comunque i seguenti problemi: 1) la componente transitoria dell errore è auto correlata e 2) il panel ha dimensione temporale T piccola e dimensione sezionale, N grande. Se l errore transitorio è auto correlato: avremo correlazione tra la dipendente ritardata: + e il termine di errore quindi, anche se la dipendente ritardata non è correlata agli effetti fissi latenti, dobbiamo comunque adottare uno stimatore con variabili strumentali. Inoltre poiché la dimensione temporale del panel è piccola, lo stimatore più adatto è il GMM di Arellano e Bond. Possiamo usare lo stimatore AB in livelli, senza ricorrere al modello in differenze, dal momento che gli effetti fissi sono incorrelati alle esplicative. b) Se è una variabile strettamente esogena ma è correlata con abbiamo un problema in più rispetto al punto a), rappresentato dagli effetti fissi individuali correlati alla. Possiamo usare una delle trasformazioni ad effetti fissi, per esempio le deviazioni dalle medie di gruppo, ma questo introduce correlazione tra la dipendente ritardata trasformata e l errore trasformato: Con la trasformazione within groups, la variabile dipendente ritardata diventa: mentre l errore diventa: (ricordate che l uso di una variabile ritardata come regressore limita il campione alle osservazioni a t=2,,t). Il problema è che il termine nella variabile è correlato negativamente con il termine nella variabile e, simmetricamente, anche i termini e si muovono insieme. Perciò anche dopo la trasformazione dei dati, la dipendente ritardata e l errore sono ancora correlati. Questa correlazione andrebbe a zero se T fosse molto grande perché i termini e diventerebbero piccolissimi, ma con T piccolo la distorsione causata da questo problema può essere molto rilevante. Per eliminare questo problema dobbiamo usare delle variabili strumentali per la dipendente ritardata. 4

6 c) è una variabile predeterminata (dipende dai valori passati dell errore) e è iid, identicamente e indipendentemente distribuito nello spazio e nel tempo. Tuttavia se ci sono effetti fissi latenti specifici ad ogni unità decisionale, la struttura dell errore composto è affetta da equi-correlazione, cioè gli errori composti sono auto correlati a causa della presenza degli effetti fissi. Questo genera un problema di endogenità della dipendente ritardata e delle variabili x it e x it-1. Se rimuoviamo gli effetti fissi con un modello in differenze prime, per esempio, gli errori in differenze, la dipendente ritardata in differenze e la variabile x it in differenze sono correlati: e + abbiamo quindi che nella dipendente ritardata in differenze è correlata a nell errore in differenze e nelle differenze prime di è correlata a nell errore in differenze, perché predeterminata. Abbiamo quindi un problema di endogenità. Il problema non viene risolto nemmeno con una delle altre trasformazioni ad effetti fissi. Anche in questo caso dobbiamo usare degli strumenti validi per le 2 variabili endogene. Esercizio 6 Usiamo un panel di paesi con informazioni sul PIL e sui livelli medi di istruzione per stimare i rendimenti sociali dell istruzione, tenendo conto di effetti dinamici. Il modello da stimare è il seguente: + (i=1,,n; t=1,,t). Dove è il PIL pro-capite per lavoratore nel paese i nell anno t e è il livello di istruzione pro-capite in anni nel paese i e nell anno t. Consideriamo gli anni istruzione come una variabile strettamente esogena, ma ipotizziamo correlazione tra gli effetti fissi relativi ai paesi e il PIL. Inoltre T è piccolo ed N è grande. a) Stimate il modello usando gli OLS pooled. Le stime di questa regressione sono consistenti? In che direzione vi aspettate che sia distorto il coefficiente? b) Stimate il modello usando lo stimatore in deviazioni dalle medie di gruppo. Le stime di questa regressione sono consistenti? In che direzione vi aspettate che sia distorto il coefficiente? c) Indicate con e con, rispettivamente, la stima OLS e WG del parametro. Rispetto a questi coefficienti, quale valore vi aspettate che assuma la stima consistente di,? d) Stimate il modello in differenze prime usando lo stimatore con variabili strumentali di Anderson-Hsiao. Vi aspettate che il valore di sia? Perché? e) Stimate il modello con lo stimatore di Arellano-Bond in differenze prime. Vi aspettate che il valore di sia? Perché? f) Testate per la presenza di auto correlazione nel termine di errore. Qual è l obiettivo del test? Che cosa concludete? 5

7 Soluzione a) Un problema immediato nell applicare gli OLS a questo problema è che la variabile y it-1 è correlata con gli effetti fissi non osservati nel termine di errore composto e questo dà luogo alla distorsione da eterogeneità non osservata. Per capire meglio questo punto supponete che il PIL del paese i subisca un forte shock negativo in uno degli anni compresi nel periodo di investigazione, a causa di una catastrofe naturale (un terremoto) che colpisce il paese i. Tale shock non è osservato e perciò è incluso nel termine di errore composto. A parità di altre condizioni, l effetto fisso non osservato per il paese considerato per l intero periodo di investigazione cioè la differenza tra l intercetta relativa a quel paese (che cattura tutti i fattori che hanno un impatto sul PIL al tempo t che sono fissi nel tempo e diversi dalle variabili esplicative incluse nel modello) e la media campionaria, cioè l intercetta media per l intero campione di paesi - sarà più basso. Al tempo t+1, sia il PIL ritardato, sia l effetto fisso saranno entrambi più bassi. Questa correlazione positiva tra un regressore (il PIL ritardato di un periodo) ed il termine di errore composto viola una delle assunzione richieste per la consistenza degli OLS. In particolare, il coefficiente del PIL ritardato (di y it-1 ) è sovrastimato (distorsione verso l alto) e pertanto attribuisce a questa variabile un potere esplicativo che in realtà è da attribuire all effetto fisso non osservato. Notate che in questo panel T è piccolo. Se T fosse molto grande, l effetto dello shock negativo sarebbe spalmato su molti periodi di tempo e diventerebbe irrilevante e perciò non ci sarebbe alcun problema di distorsione. Il coefficiente è distorto verso l alto. b) La trasformazione in deviazioni dalle medie di gruppo genera un altra distorsione, da panel dinamico (o di Nickell, 1981). Con la trasformazione within groups, la variabile dipendente ritardata diventa: mentre l errore diventa: (ricordate che l uso di una variabile ritardata come regressore limita il campione alle osservazioni a t=2,,t). Il problema è che il termine nella variabile è correlato negativamente con il termine nella variabile e, simmetricamente, anche i termini e si muovono insieme. Perciò anche dopo la trasformazione dei dati, la dipendente ritardata e l errore sono ancora correlati. Questa correlazione andrebbe a zero se T fosse molto grande perché i termini e diventerebbero piccolissimi e il problema sarebbe irrilevante. il coefficiente è distorto verso il basso. c) Possiamo considerare le stime e come i limiti superiore e inferiore dell intervallo di confidenza relativo alla stima consistente di. Ci aspettiamo che il valore di cada in questo intervallo. d) Stimando il modello in differenze con i 2SLS potremmo ottenere stime consistenti di, ma tali stime sarebbero inefficienti perché gli errori in differenze prime, Δ sono auto correlati, sotto l assunzione che gli errori in livelli, siano non correlati. I 2SLS non sono efficienti asintoticamente anche se usiamo un set di strumenti più ricco per ciascuna equazione e anche se gli errori sono omoschedastici. e) f) Stimando il modello con lo stimatore di Arellano-Bond in differenze prime il valore di sarà quello consistente. Quando T>3 e il modello è sovra identificato (abbiamo più strumenti che parametri da stimare) la validità delle condizioni dei momenti Δ 0 usate per identificare gli strumenti validi può essere testata con il test di sovra identificazione di Sargan o con il test di 6

8 Hansen. Sotto l ipotesi nulla che le condizioni dei momenti siano valide, il test di Sargan si distribuisce come una Chi-quadrato con gradi di libertà pari alla differenza tra il numero degli strumenti validi e il numero dei parametri da stimare. L assunzione identificante, in questo caso, è che non ci sia correlazione seriale negli errori in livelli. Questa assunzione (assenza di correlazione seriale negli errori in livelli) equivale adassumere che non ci sia correlazione seriale di secondo ordine nei residui in differenze prime. Per esempio: Se gli errori in livelli sono affetti da autocorrelazione del primo ordine AR(1) avremo: 1 allora gli errori in differenze prime saranno affetti da autocorrelazione di secondo ordine AR(2): 1 Δ 2 1. Di conseguenza non sarebbe uno strumento valido per l equazione in differenze prime, ma ed ulteriori ritardi continuerebbero ad essere strumenti validi. In questo caso sarebbe identificato usando un insieme più ristretto di strumenti, soltanto se T>=4. Se i sono non correlati serialmente, ci aspettiamo pertanto di trovare una correlazione seriale negativa del primo ordine nei residui in differenze per costruzione, perché 1 Δ Δ ma nessuna correlazione di secondo ordine nei residui in differenze. 7

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