Il problema di Pothenot-Snellius

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1 Il problema di othenot-snellius impostazione alternativa a quella proposta nel testo) Le intersezioni dirette in avanti e laterale) richiedono un semplice e rapido lavoro di calcolo, ma sono spesso complicate nella fase di realizzazione delle misure angolari in campagna, a causa della consistente probabilità di dover effettuare stazioni fuori centro. en più conveniente sarebbe la determinazione della posizione del punto incognito, senza avere la necessità di fare stazione col goniometro su uno o più vertici trigonometrici, ma facendo stazione sul punto, naturalmente quando questo è accessibile. Questa opportunità ci è fornita dall intersezione inversa, la quale prevede lo stazionamento del goniometro solo sul punto incognito, dal quale però devono essere visibili almeno tre punti,, C intersezione inversa semplice) di coordinate note, per consentire la misura dei due angoli orizzontali e compresi tra le tre direzioni che escono da e che passano per essi FIGUR 1). Naturalmente i tre punti noti,, C sono da considerare inaccessibili, o quantomeno scomodi, altrimenti il problema potrebbe essere risolto più rapidamente in altro modo. Questo notissimo problema di topografia venne formulato la prima volta da Snellius Willebrord Snell), che ne indicò una soluzione di tipo grafico nei primi anni del Seicento. Ma poi fu othenot 1690) che ne sviluppò una procedura analitica congeniale al calcolo logaritmico. Da allora numerosi furono gli studi fatti su questo problema; tra questi studi esiste la soluzione grafica proposta dall astronomo e cartografo francese di origine italiana Jacques Cassini ), che potrà anche essere adottata come base geometrica per la procedura numerica di risoluzione del problema di othenot-snellius. Diciamo subito che alla semplificazione nell esecuzione delle misure rispetto alle intersezioni dirette, corrisponde, nelle intersezioni inverse, una maggior complessità dello schema geometrico e dei relativi calcoli, che tuttavia è senz altro meglio tollerata e più conveniente. Come nell intersezione in avanti, anche in questo caso è necessario eliminare l ambiguità connessa alla posizione di rispetto ai punti, e C, stabilendo a priori da che parte si colloca, se alla destra come in FIGUR 1) oppure alla sinistra di un osservatore posto in che osserva. Gli elementi geometrici in gioco nell intersezione inversa semplice sono sintetizzati nella seguente tabella: IL ROLEM DI OTHENOT-SNELLIUS INTERSEZIONE INVERS) C α β FIGUR 1 Schizzo orientativo relativo al metodo dell intersezione inversa semplice per la determinazione del punto problema di othenot-snellius) partendo dai 3 punti, e C di coordinate note, e con la misura degli angoli e in. 1

2 IL ROLEM DI OTHENOT-SNELLIUS INTERSEZIONE INVERS) Elementi noti Elementi misurati Incognite X ; Y ) X ; Y ), X ; Y ) C X C ; Y C ) Esistono, come si è accennato, numerose soluzioni per questo problema. lcune di esse sono di tipo grafico, altre di tipo numerico; tra queste ultime poi, in passato, erano preferite quelle che permettevano il calcolo logaritmico, ma ormai, dopo l avvento delle calcolatrici tascabili, tale prerogativa appare del tutto irrilevante. Le soluzioni di tipo grafico, oggi, non hanno la funzione di sostituire il calcolo analitico delle coordinate di, quanto, piuttosto, quella di fissare in modo rapido la sua posizione di massima, prima di intraprendere il calcolo numerico. er questa ragione, alla trattazione della soluzione analitica del problema facciamo precedere quella grafica, che ci fornirà anche alcune indicazioni geometriche indispensabili allo sviluppo numerico del problema. n Soluzione grafica di Cassini Tra le soluzioni grafiche del problema di othenot-snellius è nota quella denominata delle due circonferenze, proposta dal già citato Jacques Cassini, la cui geometria ci servirà per impostare una soluzione numerica che si presti al calcolo con la calcolatrice tascabile. La denominazione, assegnata al metodo è dovuta al fatto che il punto incognito viene individuato graficamente dall intersezione di due circonferenze opportunamente costruite FIGUR 2). In sostanza si tratta di trovare sul grafico, dove in precedenza sono stati collocati i tre punti,, C, mediante le loro coordinate cartesiane, il punto incognito dal quale si vedono i segmenti e C, rispettivamente, sotto gli angoli misurati e. E X ; Y ) F asse = = = asse C = X α ; Y ) α 2α 2β β X C ; Y C ) β C O 2 O 1 FIGUR 2 Soluzione grafica dovuta a J. Cassini) relativa al metodo dell intersezione inversa semplice per la determinazione della posizione del punto. α β 2

3 IL ROLEM DI OTHENOT-SNELLIUS INTERSEZIONE INVERS) La procedura è la seguente: dal punto si traccia la semiretta E formante con, dalla parte opposta di, un angolo uguale ad. Si traccia poi l asse del segmento e in la perpendicolare ad E. Quest ultima può anche essere tracciata col rapportatore costruendo l angolo ÂO 1. Il punto d incontro O 1 è il centro di una circonferenza che passa per e per ed è tangente in alla semiretta E. Tutti i punti di questa circonferenza compresi nell arco dalla parte di fanno vedere il segmento sotto angoli uguali angoli alla circonferenza sottesi alla stessa corda ), e in particolare essi sono tutti di ampiezza. er rendersene conto occorre ricordare dalla geometria che l angolo al centro Ô 1, sotteso alla corda, è il doppio dell angolo che la stessa corda forma con la tangente alla circonferenza in un suo estremo, e perciò vale 2. eraltro, sempre dalla geometria delle circonferenze, è noto che gli angoli con vertice sulla circonferenza sottesi a una stessa corda sono la metà del corrispondente angolo al centro, e quindi nel nostro caso valgono. ertanto il punto cercato dovrà trovarsi sulla circonferenza tracciata. Con procedimento del tutto analogo, ma utilizzando l angolo, si traccia una seconda circonferenza di centro O 2 passante per i punti e C. I punti di questa seconda circonferenza, compresi nell arco C dalla parte di, fanno vedere la corda C sotto l angolo, pertanto il punto dovrà trovarsi anche su questa seconda circonferenza. Le due circonferenze passano entrambe per e si incontrano in un secondo punto che è il punto cercato. Esso gode, infatti, della proprietà di far vedere simultaneamente il segmento sotto l angolo e quello C sotto l angolo. n Soluzione analitica basata sulla soluzione grafica di Cassini) Nel tempo, sono state proposte svariate soluzioni, sia grafiche che numeriche, di questo notissimo problema. I classici metodi di risoluzione analitica del problema di othenot-snellius erano in genere influenzati dal calcolo logaritmico, che in passato era un importante strumento per sviluppare i calcoli. Oggi, con l uso delle calcolatrici tascabili, viene a mancare il condizionamento di arrivare a una espressione logaritmica, dando spazio a soluzioni più lineari sotto l aspetto geometrico. Noi ne proporremo una particolarmente adatta a essere memorizzata nei computer o in semplici calcolatrici programmabili, ma anche al semplice calcolo manuale con calcolatrice tascabile. ur non essendo elementi essenziali alla procedura che proporremo, iniziamo il calcolo determinando le lunghezze dei lati a e C b e dei relativi azimut ) e C) FIGUR 3): X X X X Y Y ) arctg a oppure a Y Y sen ) cos ) 1) X X C X X C Y Y C C) arctg b oppure b Y Y C sen C) cos C) Con riferimento alla soluzione grafica delle due circonferenze, riportata in FIGU- R 3, prolunghiamo il raggio O 1 fino ad intersecare in 1 la prima circonferenza di centro O 1 1 pertanto ne è un diametro). nalogamente prolunghiamo il raggio O 2 fino a intersecare in 2 la seconda circonferenza di centro O 2 2 diventa un diametro di questa circonferenza). 3

4 IL ROLEM DI OTHENOT-SNELLIUS INTERSEZIONE INVERS) X ; Y C ) Y FIGUR 3 Gli elementi della soluzione analitica del problema di othenot-snellius basato sulla soluzione grafica delle due circonferenze. ) a b 100 c C X ; C Y C X ; Y O 2 O 1 O X 1 X ; 1 Y 1 X ; Y 2 X ; 2 Y 2 Le coordinate cartesiane dei punti 1 e 2, che in seguito indicheremo con X 1 ;Y 1 ) e X 2 ;Y 2 ), possono essere calcolate partendo rispettivamente dai punti e C, di coordinate note, con le seguenti e consuete formule: X 1 X 1 sen 1) X 2 X C C2 sen C 2 ) Y 1 Y 1 cos 1 ) Y 2 Y C C2 cos C 2 ) 2) er il calcolo di queste coordinate sono necessarie le coordinate polari di 1 rispetto ad [ 1 e 1 )], e quelle di 2 rispetto a C [C 2 e C 2 )]. Osserviamo ora i triangoli 1 e C 2 ; essi sono senz altro rettangoli perché inscritti in una semicirconferenza 1 e 2 sono diametri, pertanto  1 Ĉ 2 ). Inoltre essi sono risolvibili perché sono noti rispettivamente i cateti a e b e, ricordando poi che ˆ ˆ1 e Cˆ Cˆ2 perché angoli alla circonferenza sottesi alle stesse corde e C, si ha che ˆ1 e Cˆ2. Dunque possiamo scrivere: 1 a cotg 1 ) ) C2 b cotg C 2 ) C) Sostituendo queste coordinate polari nelle 2) si ottiene: X 1 X a cotg sen [) ] X 2 X C b cotg sen [C) ] Y 1 Y a cotg cos [) ] Y 2 Y C b cotg cos [C) ] 3) Ricordando dalla trigonometria che: sen [) ] cos ) cos [) ] sen ) sen [C) ] cos C) cos [C) ] sen C) 4

5 IL ROLEM DI OTHENOT-SNELLIUS INTERSEZIONE INVERS) e che i lati a e b per le 1) possono essere espressi come: a Y Y ) /cos ) e b Y Y C ) / cos C); possiamo scrivere le 3) nel seguente modo: X 1 X Y Y cos ) cotg cos ) X 2 X C Y Y C cos C) cotg [cos C)] Y 1 Y Y Y cos ) cotg [sen )] Y 2 Y C Semplificando si ottiene: Y Y C cos C) cotg sen C) X 1 X Y Y ) cotg X 2 X C Y Y C ) cotg Y 1 Y Y Y ) cotg tg ) Y 2 Y C Y Y C ) cotg tg C) oiché è anche: tg ) X X )/Y Y ) e tg C) X X C )/Y Y C ), sostituendo si ottiene per 1 e 2 : X 1 X Y Y ) cotg Y 1 Y X X ) cotg X 2 X C Y Y C ) cotg Y 2 Y C X X C ) cotg 4) Osservando ancora la FIGUR 3, si vede che il triangolo 1 è rettangolo, perché inscritto in una semicirconferenza di cui 1 è un diametro. L angolo 1 naturalmente è retto. La stessa valutazione può essere fatta per il triangolo 2 ; l angolo è anch esso di, pertanto l angolo 1 2 è uguale all angolo piatto. Dunque i punti 1, e 2 sono allineati e il segmento è perpendicolare alla retta che passa per 1 e 2 nel punto. La geometria ci fornisce una procedura per il calcolo delle coordinate del punto cercato. Essa è relativa al calcolo del piede della perpendicolare il punto ) a un segmento assegnato il segmento 1 2 ) e passante per un punto noto il punto ), e si compone di due fasi: nella prima viene calcolato un coefficiente intermedio indicato con, nella seconda vengono calcolate le coordinate del punto X ; Y ) cercate. Le formule da utilizzare sono le seguenti: X 2 X 1 ) Y 1 Y ) Y 2 Y 1 ) X X 1 ) 5) X 2 X 1 ) 2 Y 2 Y 1 ) 2 X X Y 2 Y 1 ) Y Y X 2 X 1 ) 6) Le formule 4), 5) e 6) permettono di calcolare in modo analitico le coordinate incognite del punto cercato. 5

6 IL ROLEM DI OTHENOT-SNELLIUS INTERSEZIONE INVERS) LICZIONE roblema er determinare la posizione plano-altimetrica del punto, sono stati individuati tre punti,, C con le seguenti coordinate note: X 2100,00 m X 785,00 m X C 2970,00 m Y 1450,00 m Y 2398,00 m Y C 705,00 m Si è fatta stazione con un teodolite centesimale destrorso sul punto e si sono eseguite le seguenti letture al cerchio orizzontale: L 50 c,0000 L 110 c,1852 L C 153 c,7778 Sul punto C di quota nota Q C 312,00 m, e collimando direttamente a terra, si è misurato l angolo zenitale C 98 c,6550 con un altezza strumentale h 1,56 m. Determinare le coordinate planimetriche del punto e la quota dello stesso punto, considerando per K e R i seguenti valori medi: K 0,14 e R 6377 km. Soluzione grafica La FIGUR 4 rappresenta la costruzione in scala del problema proposto. articolarmente efficace può diventare la costruzione grafica utilizzando un programma CD; in questo caso all immediatezza dei procedimenti grafici si unisce anche la precisione propria delle procedure numeriche. Soluzione analitica pplichiamo le 4): 110 c, c, c, c, c, c,5926 X , , ,00) cotg 60 c, ,442 m Y ,00 785, ,00) cotg 60 c, ,279 m X , ,00 705,00) cotg 43 c, ,641 m Y 2 705,00 785, ,00) cotg 43 c, ,894 m Y O 1 C O 2 O X 1 FIGUR 4 Soluzione grafica del problema applicativo esposto. 2 6

7 IL ROLEM DI OTHENOT-SNELLIUS INTERSEZIONE INVERS) pplichiamo la 5): 896, ,442)633, )1970,894633,279) ,442) 896, ,442) ,894633,279) 2 1,39481 pplichiamo le 6): X 785, , ,279) 1,39481) 1080,72 m Y 2398,00 896, ,442) 1,39481) 826,92 m Infine, per calcolare la quota di, è necessario avere la distanza C: C) arctg 76 c,9824 C , , ,72 sen 76c,9824 Essendo il punto C collimato a terra è l C 0, dunque: 4330,72 m 1 0,14 C 4330,72 cotg 98 c,6550 1, , ,334 m Q 312,00 94, ,665 m 7