ROBERTO VACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI. Algebra

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2 ROBERTO VACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI Agebra

3 Edizione Direzione Editoriae: Roberto Invernici Coordinamento Editoriae: Progetti di Editoria s.r.. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scavini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atas Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Iustrazioni: Bruno Doif Stampa: Vincenzo Bona - Torino Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. L'editore si impegna a mantenere invariato i contenuto di questo voume, secondo e norme vigenti. Si ringraziano e prof.sse Barbara Vanzani ed Eisabetta Zampiceni per a coaborazione editoriae. I materiae iustrativo proviene da'archivio iconografico Atas. L'editore eá a disposizione degi aventi diritto non potuti reperire. Ipresente voume eá conforme ae disposizioni ministeriai in merito ae caratteristiche tecniche e tecnoogiche dei ibri di testo. Ogni riproduzione depresente voume eá vietata. Le fotocopie per uso personae de ettore possono essere effettuate nei imiti de % di ciascun voume dietro pagamento aa SIAE de compenso previsto da'art. 68, commi e, dea egge aprie 9 n. 6. Le riproduzioni effettuate per finaitaá di carattere professionae, economico o commerciae o comunque per uso diverso da queo personae possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione riasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 08, Miano 0, e-mai segreteria@aidro.org e sito web I peso di questo voume rientra nei imiti suggeriti da'associazione Itaiana Editori. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Te. (0) 97 - Fax (0) 607

4 Presentazione Matematica per obiettivi e competenze Questo nuovo corso di matematica eá un ibro misto che nasce da una puriennae esperienza nea scuoa, sia sotto i profio de'insegnamento che sotto queo dea ricerca e de'aggiornamento. Esso accogie tutte e esigenze didattiche ed editoriai che i nuovo scenario dea Scuoa itaiana esige da'insegnamento dea matematica, che ha assunto oggi ampie finaitaá educative e costituisce un momento importante nea formazione di ogni ragazzo. La scuoa de'autonomia e a didattica per competenze vaorizzano sempre di piuá i ruoo cuturae e formativo dea matematica, ponendoa a centro de curricuum deo studente. Oggi e nefuturo prossimo, infatti, a societaá avraá sempre piuá bisogno di cittadini che siano "competenti" sotto iprofio matematico in termini di capacitaá di matematizzare, per affrontare in modo consapevoe una societaá moto compessa e in rapido cambiamento. L'informazione disponibie, soprattutto in questi utimi anni, eá cresciuta in maniera esponenziae e i cittadini devono essere in grado di decidere come affrontare queste informazioni. In tae contesto, secondo e indicazioni ministeriai e e attese generai, un corso di matematica deve avere acune caratteristiche indispensabii: stimoare a comprensione e per questo deve essere scritto in un inguaggio chiaro, accattivante e soprattutto comprensibie per uno studente di etaá tra gi - anni; far capire percheâ e competenze matematiche sono indispensabii ne'affrontare e risovere probemi de mondo reae; essere ricco di esempi, dai piuá sempici, che servono per imparare e formue e i concetti, a quei piuá compessi, nei quai e formue e i concetti "si appicano" a probemi reai; proporre un abbondante repertorio di esercizi, opportunamente graduati e non banai, che stimoino i ragionamento e a rifessione; utiizzare gi strumenti che a tecnoogia informatica mette a disposizione dea didattica: e risorse on ine ealavagna Interattiva Mutimediae; mettere in grado o studente di auto vautare a propria preparazione, di capire gi errori che commette, in modo da rendero consapevoe dee proprie abiitaá e conoscenze. Struttura de'opera In tae prospettiva, i corso Matematica per obiettivi e competenze eá un progetto didattico che favorisce e esigenze egate aa programmazione de Docente, soprattutto aa uce dee nuove disposizioni sua certificazione dee competenze. Icorso tiene inotre conto depeso e detetto di spesa, secondo e norme vigenti. Si compone di due voumi di Aritmetica, tre di Geometria, uno di Agebra e un voume di Informatica. Ai testi deprimo anno eá aegato i voume reativo ae prove Invasi che contiene 9 prove, divise per anno di corso, che possono essere svote a fine anno oppure a'inizio de'anno successivo come test d'ingresso. A queste si aggiungono i testi assegnati come prova d'esame a partire da'anno scoastico 007/008. Ogni voume si articoa in piuá aree ognuna dee quai eá suddivisa in capitoi. In ogni area sono espressamente dichiarate e Competenze che ciascun aunno deve padroneggiare per affrontare in modo consapevoe situazioni reai che a quest'etaá possono incontrare sia nea oro vita di studenti, sia a di fuori de'ambito scoastico; i capitoi si aprono con a formuazione dei Prerequisiti necessari per anaizzare consapevomen- Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS PRESENTAZIONE

5 te e con successo gi argomenti contenuti e gi Obiettivi che si vogiono raggiungere, suddivisi in Conoscenze e AbiitaÁ. Ogni capitoo si apre con a rubrica "Perche studiare..." che, attraverso aneddoti e informazioni tratti daa reataá di tutti i giorni, ha o scopo di trovare un coegamento tra i contenuti de capitoo e 'esperienza personae degi aunni. EÁ in questo contesto che si cooca a rubrica Matematica e reataá, che mira a visuaizzare come i inguaggio e i concetti dea matematica si trovano nea reataá che ci circonda: sono, come diceva Gaieo "a ingua de'universo e de reae". La parte di teoria di ogni capitoo si chiude con a presenza di una scheda di ripasso che riprende i "Concetti chiave" studiati. Contenuti e impostazione didattica Nea trattazione teorica si evidenzia a presenza di numerosi Esempi svoti ed esercizi di Controo immediato che, inseriti a termine di ogni paragrafo, sono voutamente di facie comprensione e souzione. I Docente puoá presentari agi aunni subito dopo a spiegazione per 'accertamento dee conoscenze man mano acquisite. Ogni capitoo eá corredato da un vastissimo repertorio di esercizi suddivisi in reazione aa scansione dei paragrafi dea teoria e, per ciascun paragrafo, in due uteriori categorie: Esercizi di Comprensione dea teoria, spesso in forma di test a risposta mutipa, di domande a risposta chiusa o di frasi di competamento: servono per verificare e conoscenze teoriche senza e quai non eá possibie appicare i concetti studiati. Esercizi di Appicazione, inseriti dopo quei di comprensione, sotto forma di esercizi e probemi da svogere: mirano a sviuppare e capacitaá ogiche-deduttive, ad acquisire nuove abiitaá di cacoo e ad appicare e procedure piuá adatte a risovere un probema. Sono esercizi che normamente vengono svoti a casa come studio individuae. Gi esercizi sono stati suddivisi in tre ivei di difficotaá (ben riconoscibii daa grafica) e comunque graduati a'interno di ciascun iveo. Ao scopo di faciitare i processo di apprendimento sono presenti numerosi Esercizi guida, che permettono agi aunni di acquisire e principai tecniche risoutive e sono finaizzati aa comprensione e aa risouzione dee diverse probematiche presenti. A'interno di questa sezione, per ciascun capitoo, eá sempre stato inserito un esercizio di Matematica appicata ae scienze, che mira a favorire i processi di matematizzazione dea reataá che ci circonda. Ogni capitoo si concude con a proposta di una serie di: Esercizi sue Competenze di base: sono esercizi che tendono a verificare e competenze di riproduzione (secondo a terminoogia OCSE-PISA), che prevedono 'esecuzione di procedure di routine, 'appicazione di agoritmi standard e di abiitaá di cacoo e a manipoazione di espressioni e formue. Test Invasi: sono esercizi seezionati dae prove Invasi somministrate negi anni precedenti a'anno scoastico 007/008. Possono essere utiizzati per verificare i iveo di preparazione raggiunto dagi aunni in vista dea prova Invasi di fine cico dea scuoa secondaria di primo grado che sta assumendo sempre piuá importanza ai fini dea vautazione finae. Esercizi di Autovautazione suddivisi in due ivei: Verifica dee conoscenze e Verifica dee abiitaá. Tai esercizi possono essere utiizzati dao studente per testare i proprio iveo di apprendimento e diventano un vaido strumento per a preparazione dee prove di verifica. AttivitaÁ di Recupero, sono esercizi che servono per puntuaizzare e chiarire e nozioni minime di base che devono essere possedute da tutti gi aunni, anche quei che presentano maggiori difficotaá ne'apprendimento dei contenuti. A concusione de'attivitaá di recupero eá poi presente una scheda di Vautazione de recupero per 'accertamento dee conoscenze e dee abiitaá. AttivitaÁ di Consoidamento, sono esercizi voti a consoidare e conoscenze in precedenza acquisite e, suddivisi per iveo di difficotaá, rappresentano un utie banco di prova per verificare a propria preparazione. AttivitaÁ di Potenziamento, sono esercizi destinati agi studenti piuá capaci che vogiono mettersi aa prova con esercizi piuá compessi e con proposte piuá creative. PRESENTAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

6 Gare di matematica, sono esercizi assegnati nee varie competizioni nazionai ed internazionai di matematica e, suddivisi in reazione ae scansioni dei contenuti dei testi, rappresentano un vaido strumento per a vaorizzazione dee ecceenze. A termine di ogni area sono stati inseriti esercizi proposti nei testi di vautazione eaborati da'ocse (Organizzazione per a cooperazione e o sviuppo economico) a'interno de progetto PISA (Programme for Internationa Student Assessment), che intende vautare i iveo di competenze matematiche in piuá di 60 Nazioni. Gi esercizi proposti richiedono a capacitaá deo studente di pianificare strategie di souzione e di appicare in ambiti matematici piuá compessi e meno famiiari. Tai esercizi possono essere un vaido aiuto per a verifica dee competenze di Connessione edirifessione. Ogni area si chiude con a rubrica Math in Engish con esercizi di matematica in ingua ingese. Informatica per a matematica Aa uce dee moderne tecniche d'insegnamento, un corso di matematica non puoá fare a meno dea presenza paraea, teorica ed appicativa de'informatica. Per questo i corso si competa con un voume di informatica che tratta in modo competo ed articoato software quai Geogebra, Derive e OpenOffice Cac, che appicati ai capitoi di geometria e aritmetica, portano progressivamente gi aunni ad integrare e competare i processi di apprendimento. A'interno dee esercitazioni con OpenOffice Cac eá inotre prevista una parte dedicata a inguaggio di programmazione Basic, che consente di creare sempici procedure software ed agoritmi di cacoo, daa fase di scrittura detesto sorgente (editing) fino a'esecuzione de programma. Un'opera mista: Matematica on ine e ibro LIM In piena aderenza con e disposizioni ministeriai, Matematica per obiettivi e competenze eá un'opera mista in quanto propone partendo da sito moti materiai on ine ad integrazione e competamento dei voumi a stampa. In particoare, per ogni capitoo sono disponibii in rete: uteriori esercizi suddivisi per conoscenze e abiitaá; questi utimi sono a oro vota suddivisi per iveo di difficotaá; verifica interattiva dei contenuti per ciascun capitoo; uteriori schede storiche sui principai protagonisti dea storia dea Matematica e su acuni temi affascinanti e interessanti. Non mancheranno, inotre, curiositaá e aneddoti che servono a rendere piuá accattivante 'approccio a sapere matematico; simuazione di atre prove Invasi per iterzo anno; esercitazioni di Informatica con Cabri GeÂomeÁtre. Tutti questi materiai on ine saranno via via aggiornati e potenziati in modo continuativo. Otre ai materiai on ine eá disponibie a versione sfogiabie con a Lavagna Interattiva Mutimediae dei voumi base, con e funzioni di ingrandimento di figure e definizioni, di scrittura e canceazione. Per i Docente sono disponibii anche e animazioni in Power Point che iustrano e principai definizioni, proprietaá e regoe, percheâ i Docente e possa utiizzare durante e ezioni. I testi dei Giochi Matematici che compaiono aa fine di ogni capitoo sotto a rubrica "Gare di Matematica" sono stati gentimente forniti da Centro Pristem-Eeusi de'universitaá Bocconi di Miano e si riferiscono ae competizioni matematiche organizzate dao stesso Centro. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS PRESENTAZIONE

7 Indice generae AREA : I cacoo agebrico. I numeri reativi. I numeri reativi. La rappresentazione grafica dei numeri reativi. Le caratteristiche dei numeri reativi 7. Iconfronto di numeri reativi 8. Addizione e sottrazione di numeri reativi 9. L'addizione 9. La sottrazione 0. La somma agebrica 6. La motipicazione di numeri reativi 7. La divisione di numeri reativi 8. Le espressioni con i numeri reativi 6 9. La potenza di numeri reativi 7 9. Potenza con esponente positivo 7 9. Potenza con esponente negativo 9 0. La radice quadrata di numeri reativi in R 0 å Approfondimenti Da'insieme N a'insieme R. La notazione scientifica dei numeri decimai. Ordine di grandezza å Concetti Chiave Esercizi 6 Esercizi sue competenze di base 7 Esercizi INVALSI 76 Verifica dee conoscenze 77 Verifica dee abiitaá 78 AttivitaÁdi recupero 79 Scheda di vautazione de recupero 8 AttivitaÁdi consoidamento 8 AttivitaÁdi potenziamento 87 Gare di matematica 89 Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento. I cacoo etterae. Le espressioni agebriche etterai 9. I vaore di un'espressione agebrica etterae 9. I monomi 9. L'addizione agebrica di monomi 96. La motipicazione di monomi 97. La divisione di monomi 98 å Approfondimenti Le frazioni agebriche La potenza di un monomio I poinomi 0 8. L'addizione agebrica di poinomi 0 9. La motipicazione di poinomi 0 9. La motipicazione di un poinomio per un monomio 0 9. La motipicazione di due poinomi 0 0. La divisione di un poinomio per un monomio 06. La potenza di un poinomio e i prodotti notevoi 07. I prodotti notevoi 08 å Approfondimenti L'interpretazione geometrica dequadrato di un binomio 09 å Approfondimenti L'interpretazione geometrica decubo di un binomio å Approfondimenti Le operazioni e e proprietaá å Concetti Chiave Esercizi Esercizi sue competenze di base 9 Esercizi INVALSI 6 Verifica dee conoscenze 6 Verifica dee abiitaá 6 AttivitaÁdi recupero 6 Scheda di vautazione de recupero 69 AttivitaÁdi consoidamento 70 AttivitaÁdi potenziamento 7 Gare di matematica 7 6 INDICE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

8 Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento. Le equazioni. IdentitaÁ ed equazioni 76. Le equazioni 77. Equazioni equivaenti 78. I o principio di equivaenza e e sue conseguenze 78. I o principio di equivaenza e e sue conseguenze 80. La risouzione di una equazione di primo grado ad una incognita 8 å Matematica e scienze La risouzione di un'equazione e a biancia a due bracci 8. La verifica di un'equazione 8. Casi particoari 8. La risouzione di particoari equazioni di secondo grado 86. La risouzione agebrica di probemi 88. Probemi aritmetici 88. Probemi geometrici 90. Probemi di fisica 9 6. Le disequazioni 9 6. Iprimo principio di equivaenza 9 6. Isecondo principio di equivaenza 9 7. La risouzione di una disequazione di primo grado ad una incognita 9 å Approfondimenti La risouzione di probemi mediante disequazioni 97 å Concetti Chiave 99 Esercizi 00 Esercizi sue competenze di base Esercizi INVALSI 7 Verifica dee conoscenze 9 Verifica dee abiitaá 0 AttivitaÁdi recupero Scheda di vautazione de recupero AttivitaÁdi consoidamento AttivitaÁdi potenziamento 9 Gare di matematica ESERCIZI OCSE PISA - AREA Competenze di iveo avanzato Math in Engish 6 AREA : Le basi de ragionamento. Gi insiemi Materiai on ine Laboratorio: attivitaá sue competenze. Insiemi e sottoinsiemi 60. L'insieme dee parti 6. Le operazioni con gi insiemi 6. La differenza e 'insieme compementare 6. La partizione di un insieme 6. Iprodotto cartesiano 66 å Concetti Chiave 68 Esercizi 69 Esercizi sue competenze di base 79 Esercizi INVALSI 80 Verifica dee conoscenze 8 Verifica dee abiitaá 8 AttivitaÁdi recupero 8 Scheda di vautazione de recupero 86 AttivitaÁdi consoidamento 87 AttivitaÁdi potenziamento 89 Gare di matematica 9 Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS INDICE 7

9 . Le reazioni. Le reazioni tra due insiemi 9. Domino e codominio di una reazione 9 å Approfondimenti Le reazioni inverse 9. Reazioni particoari 96. Le reazioni in un insieme 98. Le proprietaá di una reazione in un insieme 00. La proprietaá rifessiva 00. La proprietaá antirifessiva 00. La proprietaá simmetrica 0. La proprietaá transitiva 0. La proprietaá antisimmetrica 0. Le reazioni di equivaenza e di ordine 0. La reazione di equivaenza 0. La reazione di ordine 0 å Approfondimenti Reazioni d'ordine totae e parziae 0 å Concetti Chiave 07 Esercizi 08 Esercizi sue competenze di base Verifica dee conoscenze Verifica dee abiitaá AttivitaÁdi recupero Scheda di vautazione de recupero 8 AttivitaÁdi consoidamento 9 AttivitaÁdi potenziamento Gare di matematica Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento. Le funzioni matematiche e i piano cartesiano. Isistema di riferimento cartesiano 6. La distanza tra due punti e ipunto medio di un segmento 7. La distanza tra due punti 7. Le coordinate depunto medio di un segmento 8. Iconcetto di funzione 9. Le funzioni empiriche. Le funzioni matematiche å Approfondimenti La cassificazione dee funzioni. La funzione di proporzionaitaá diretta. La rappresentazione cartesiana dea funzione y ˆ mx. Considerazioni sucoefficiente di proporzionaitaá diretta å Matematica e scienze I diagrammi di proporzionaitaá diretta di acuni fenomeni fisici 6. La retta nepiano cartesiano 8. Le equazioni di rette particoari 8. L'intersezione di una retta con gi assi cartesiani 0. Coordinate depunto di intersezione di due rette 0 å Approfondimenti Equazione di una retta noti un suo punto e icoefficiente angoare Equazione di una retta passante per due punti 6. La funzione di proporzionaitaá inversa 6. La rappresentazione cartesiana dea funzione y ˆ k x å Matematica e scienze I diagrammi di proporzionaitaá inversa di acuni fenomeni fisici 7. La proporzionaitaá quadratica e a paraboa 7 å Approfondimenti Le coniche 9 å Concetti Chiave 6 Esercizi 6 Esercizi sue competenze di base 90 Esercizi INVALSI 9 Verifica dee conoscenze 9 Verifica dee abiitaá 9 AttivitaÁdi recupero 96 Scheda di vautazione de recupero 00 AttivitaÁdi consoidamento 0 AttivitaÁdi potenziamento 0 Gare di matematica 0 Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento 8 INDICE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

10 . La ogica. Le proposizioni 08. Le proposizioni composte e i connettivi ogici 09. La negazione ogica 09. La congiunzione ogica 09. La disgiunzione incusiva 0 å Approfondimenti L'impicazione sempice e doppia. Le espressioni ogiche å Approfondimenti I procedimenti ogici: induzione e deduzione å Concetti Chiave Esercizi Esercizi sue competenze di base Esercizi INVALSI Verifica dee conoscenze Verifica dee abiitaá AttivitaÁdi recupero 6 Scheda di vautazione de recupero 8 AttivitaÁdi consoidamento 9 AttivitaÁdi potenziamento 0 Gare di matematica Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento ESERCIZI OCSE PISA - AREA Competenze di iveo avanzato Math in Engish 6 Materiai on ine Laboratorio: attivitaá sue competenze AREA : Dati e previsioni. La statistica. L'indagine statistica 0. L'eaborazione dei dati continui å Approfondimenti La distribuzione gaussiana. I numeri indice å Concetti Chiave 6 Esercizi 7 Esercizi sue competenze di base Esercizi INVALSI Verifica dee conoscenze Verifica dee abiitaá 6 AttivitaÁdi recupero 7 Scheda di vautazione de recupero 9 AttivitaÁdi consoidamento 60 AttivitaÁdi potenziamento 6 Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento. La probabiitaá. La probabiitaá composta 66. Eventi indipendenti 67 å Approfondimenti La probabiitaá ed i giochi d'azzardo 68. Eventi dipendenti 68 å Matematica e scienze La probabiitaá e e eggi di Mende 70. Le atre definizioni di probabiitaá 7. La definizione frequentista e a egge dei grandi numeri 7. La definizione soggettiva 7. Concusioni sue diverse concezioni di probabiitaá 7 å Concetti Chiave 76 Esercizi 77 Esercizi sue competenze di base 8 Esercizi INVALSI 86 Verifica dee conoscenze 88 Verifica dee abiitaá 89 AttivitaÁdi recupero 90 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS INDICE 9

11 Scheda di vautazione de recupero 9 AttivitaÁdi consoidamento 9 AttivitaÁdi potenziamento 96 Gare di matematica 98 Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento ESERCIZI OCSE PISA - AREA Competenze di iveo avanzato 99 Math in Engish 00 Prove INVALSI - Test di aenamento 0 å Souzioni prove Invasi 0 å Souzioni schede di verifica å Souzioni schede di vautazione derecupero å Souzioni gare di matematica 6 å Souzioni prove INVALSI - Test di aenamento 7 å Tavoe numeriche 8 Materiai on ine Prove di riepiogo in preparazione de'esame Materiai on ine Laboratorio: attivitaá sue competenze 0 INDICE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

12 Area I cacoo agebrico Competenze n In una situazione concernente numeri reativi essere in grado di: rappresentare i numeri su una retta orientata; svogere cacoi. n In situazioni di natura diversa, anche di origine extra-matematica: utiizzare e ettere come variabii; organizzare sequenze di cacoi eventuamente impostando e risovendo sempici equazioni di primo grado. I numeri reativi I cacoo etterae Le equazioni Capitoi Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 I NUMERI RELATIVI Obiettivi Prerequisiti Conoscere e proprietaá dee quattro operazioni e sapere appicare Svogere cacoi con numeri naturai e numeri razionai Conoscere e proprietaá dee potenze CONOSCENZE I numeri reativi e e oro proprietaá Le quattro operazioni con i numeri reativi La potenza e a radice quadrata di un numero reativo La notazione scientifica e 'ordine di grandezza ABILITA Á Rappresentare e confrontare i numeri reativi Eseguire e quattro operazioni con i numeri reativi Cacoare e potenze e e radici quadrate di numeri reativi Determinare a notazione scientifica e 'ordine di grandezza di un numero I conto aa rovescia (countdown) che anticipa a partenza deo Shutte eá gestito da computer che boccano automaticamente i ancio se si rieva un probema. A 6 secondi da ancio si protegge a navicea da'energia acustica provocata dai propusori; 0 secondi dopo i ancio vengono attivati i sistemi di accensione de'idrogeno. PercheÂstudiare i numeri reativi Vi saraá senz'atro capitato di assistere a ancio di un missie per una missione spaziae. Per determinare i secondi mancanti aa partenza, i tecnici utiizzano un conteggio aa rovescia: «meno cinque, meno quattro, meno tre, meno due, meno uno, zero!». Anche nea reataá di tutti i giorni accade spesso di avere a che fare con i numeri dotati di un segno positivo o negativo: n a temperatura misurata in una data ocaitaá ad una certa ora de'anno puoá essere di C oppure 7 C; n una ditta puoá chiudere i proprio rendiconto con un utie di E 00000, e aora si dice che i suo biancio eá «in attivo», o con una perdita di E e aora si dice che i suo biancio eá «in passivo»; I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

14 Indicato con 0 i iveo dea superficie de mare, a 888 metri su iveo de mare troviamo a cima de monte Everest, a m.s..m. (sotto i iveo de mare) troviamo i Mar Morto. n e azioni di borsa vengono quotate ogni giorno e a termine dee contrattazioni, per ogni azione, viene riportata a variazione percentuae rispetto a vaore de giorno precedente. CosõÁ, se eggiamo,% vuo dire che ogni azione ha incrementato i suo vaore de',%; se viceversa eggiamo % vuo dire che i vaore de titoo eá diminuito de %. Da questi esempi eá facie capire che un determinato punto, indicato come zero, viene preso come riferimento. Acuni vaori risutano inferiori ao zero, atri superiori. In matematica, per rappresentare e situazioni descritte negi esempi, si ricorre a'uso di numeri preceduti da segno piuá o meno che vengono chiamati numeri reativi, percheâ i oro vaore risuta definito reativamente ad uno zero di riferimento. L'acqua che soidifica definisce i punto di riferimento nea misurazione dei gradi Cesius. 0 C si misurano in inverno in una quasiasi stazione sciistica; 0 C si ritrovano in estate in quasi tutto i territorio itaiano. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO

15 I numeri reativi Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 6 Ne voume di Aritmetica abbiamo detto che ne'insieme dei numeri naturai eá possibie risovere una sottrazione soo quando i minuendo eá maggiore o uguae a sottraendo. Quando questa condizione non si verifica, per esempio nea sottrazione 8, abbiamo dovuto introdurre un nuovo insieme di numeri che abbiamo chiamato reativi e che vengono distinti dai numeri naturai proprio per a presenza de segno oppure davanti avaore numerico. CosõÁfacendo possiamo estendere tutti gi insiemi numerici che conosciamo (naturai, razionai assouti ed irrazionai) sempicemente anteponendo a numero stesso un segno. Possiamo quindi dire che: DEFINIZIONE. Si dicono numeri reativi tutti i numeri interi, razionai e irrazionai dotati di segno (positivo o negativo). Avremo cosõá, ad esempio: 7 numeri interi reativi,76,7 numeri razionai reativi 0 p p p numeri irrazionai reativi e potremo dire che: Per convenzione abbiamo stabiito di inserire i numero 0 ne'insieme Z. Indicheremo poi con Z 0 'insieme dei numeri interi positivi privato deo zero. DEFINIZIONE. n I numeri naturai preceduti da segno costituiscono 'insieme dei numeri interi positivi; tae insieme si indica con Z ; n i numeri naturai preceduti da segno costituiscono 'insieme dei numeri interi negativi; tae insieme si indica con Z. L'unione dei numeri interi positivi e dei numeri interi negativi forma 'insieme dei numeri interi reativi (figura ) che si indica con Z; utiizzando a scrittura insiemistica avremo dunque: Z ˆ Z [ Z Anaogamente diremo che: Figura DEFINIZIONE. n I numeri razionai preceduti da segno costituiscono 'insieme dei razionai positivi; tae insieme si indica con Q ; n i numeri razionai preceduti da segno costituiscono 'insieme dei razionai negativi; tae insieme si indica con Q ; n i numeri irrazionai preceduti da segno costituiscono 'insieme degi irrazionai positivi; tae insieme si indica con I ; n i numeri irrazionai preceduti da segno costituiscono 'insieme degi irrazionai negativi; tae insieme si indica con I. Ripetiamo o stesso procedimento fatto per i numeri interi reativi, considerando 'unione dei razionai positivi con i razionai negativi. Tae insieme eá chiamato dei numeri razionai reativi e viene indicato con a ettera Q; in simboi: Q ˆ Q [ Q I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

16 Ao stesso modo, da'unione degi irrazionai positivi e negativi si avraá 'insieme degi irrazionai reativi che verraá indicato con a ettera I; in simboi: I ˆ I [ I Se ora consideriamo 'unione di tutti questi insiemi numerici otteniamo un nuovo insieme che prende inome di insieme dei numeri reai reativi (o piuá sempicemente reai); tae insieme si indica con a ettera R; in simboi: R ˆ Z [ Q [ I Come giaá fatto per i precedenti insiemi anche in R possiamo indicare con R 'insieme dei numeri reai positivi e con R 'insieme dei numeri reai negativi. Siamo ora in grado di rappresentare tutti gi insiemi numerici fin qui studiati con un unico diagramma di Euero-Venn (figura a). Se poi vogiamo distinguere i numeri positivi da quei negativi, i diagramma risuta modificato come mostra a figura b. Considerando che Z Q possiamo scrivere a reazione a ato nea forma R ˆ Q [ I Figura a. b. o ro o o Indica quai fra e seguenti grandezze possono essere espresse per mezzo di numeri reativi e spiega percheâ: a. a temperatura registrata in una data ocaitaá; b. 'atezza di una coina; c. a profonditaá demare; d. a ongitudine di un punto sua Terra; e. a veocitaá di un corpo; f. ipeso di un corpo. Indica quai dee seguenti reazioni sono vere e quai fase. a. p Z V F b. 8 I V F c. 6 R V F d. 6 Z V F e. 6, 6 Q V F f. N Z V F r 6 g. Q V F h. Z 6 Q. V F 7 La rappresentazione grafica dei numeri reativi Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 9 Anaogamente a quanto abbiamo giaá visto a proposito dei numeri naturai e razionai, anche i numeri reativi possono essere rappresentati su una retta orientata. Dopo aver disegnato a semiretta orientata r di origine O, prounghiamoa per simmetria rispetto ad O daa parte opposta. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO

17 La retta ottenuta puoá essere percorsa da un punto mobie in due versi opposti e stabiiamo che i verso positivo sia queo che va da O verso destra, queo negativo da O verso sinistra (figura ). Figura Sua retta orientata, riportiamo successivamente, a partire da O e in entrambe e direzioni, un segmento unitario «u» che rappresenta 'unitaá di misura sceta, ottenendo in questo modo i punti A, B, C, D, E, F, G, H, I, L, M,... Possiamo quindi associare apunto O inumero 0 e ai punti identificati da u i numeri interi reativi. I punti che si susseguono dao zero verso destra rappresentano i numeri interi positivi e si dicono immagini rispettivamente dei numeri,,,,... mentre quei verso sinistra sono e immagini dei numeri interi negativi,,,,... (figura ). Figura Naturamente eá possibie rappresentare sua stessa retta orientata quasiasi numero reativo (figura ), sempre rispettando a condizione che a sinistra deo zero vanno posizionati i numeri negativi e a destra deo zero i numeri positivi. Avremo cosõáche i punti A, B, C, D, E, F, G, H sono rispettivamente e immagini dei numeri,,,,,,,. Figura o ro o o Stabiisci quai numeri reativi sono rappresentati sua seguente retta orientata. Rappresenta sua seguente retta orientata i numeri reativi ; ; 0; ; 7; ;. 6 I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

18 CONCETTI CHIAVE Interi positivi Z Interi negativi Z ; 8 ; 8 Razionai positivi Q ; < 0 6 > > 6 Razionai negativi Q ; Confrontare Irrazionai positivi I r Costituiscono 'insieme R Irrazionai negativi I p Rappresentare su una retta orientata Addizione Esempi: 6 ˆ 6 ˆ 6 ˆ 6 ˆ Sottrazione Esempi: 6 ˆ 6 ˆ 6 ˆ 6 ˆ Motipicazione Esempi: 6 ˆ 6 ˆ 6 ˆ 6 ˆ Divisione Esempi: 6 : ˆ 6 : ˆ 6 : ˆ 6 : ˆ Potenza Esempi: ˆ ˆ 7 ˆ 8 ˆ ˆ 8 ˆ ˆ Radice quadrata Esempi: p 6 ˆ 8 p 9! impossibie in R Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO

19 I NUMERI RELATIVI Esercizi I numeri reativi teoria a pag. richiami dea teoria n I numeri reativi sono i numeri interi, razionai e irrazionai, sia positivi che negativi; n i numeri interi reativi si indicano con a ettera Z; con Z gi interi positivi e con Z gi interi negativi; n i numeri razionai reativi si indicano con a ettera Q; con Q i razionai positivi e con Q i razionai negativi; n i numeri irrazionai reativi si indicano con a ettera I; con I gi irrazionai positivi e con I gi irrazionai negativi. COMPRENSIONE DELLA TEORIA Cos'eÁ un numero reativo? a. Un numero razionae; b. un numero che esiste in reazione a un atro; c. un numero preceduto da un segno; d. un numero compreso tra e. Quai fra e seguenti grandezze possono essere espresse mediante numeri reativi? a. La temperatura; b. itempo; c. a ongitudine; d. a veocitaá. Spiega con quae segno indicheresti i numeri che si riferiscono ae seguenti situazioni: a. un debito di E ; b. una temperatura di 0 sotto o zero; c. un credito di E 00; d. 'atitudine di 00 m su iveo de mare. Cosa indica isimboo Z? a. L'insieme dei reativi positivi compreso o zero; b. 'insieme dei numeri interi positivi compreso o zero; c. 'insieme dei reativi razionai; d. 'insieme di tutti i numeri reativi. Quae simboo indica 'insieme dei numeri razionai positivi escuso o zero? a. Q 0 ; b. Z 0 ; c. N 0; d. Z. Indica quai dei seguenti numeri appartengono a'insieme Z. 6 ; ; p p 6 ; 0,; ; ; ; ; 9 ; r 8 ; p p 9 9 ; 0,; 8 ;,;. 6 8 Indica quai dei seguenti numeri appartengono a'insieme Q: r p ; ; 0; 9 ; ; 0,78; ;,. 0 6 I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

20 Indica quai dee seguenti reazioni sono vere. 9 a. Z; b. 8 N; c. 6 Q; d. p 8 I. 0 a. Z ; b. Q 6 R; c. Q ; d. Z Q. p a. p 9 6 Z ; b. 8 R; c. Z Q; d. Q [ I ˆ R. r a. Z N; b. R; c. Z; d. I. 6 Stabiisci a quae insieme numerico appartengono i seguenti numeri: r p a. ; b. ; c.,87; d. p 8 9 ; e.,; f. ; g. ; h.. Inserisci aposto dei punti i simboi o 6: p a.,:::::q; b. p 9 :::::N; c. 8 :::::I; d. :::::N; e. 0,:::::Z. APPLICAZIONE Esprimi e seguenti date storiche con gi opportuni numeri reativi: a. a morte di Giuio Cesare eá avvenuta ne00 a.c.; b. a nascita di Archimede eá avvenuta ne87 a.c.; c. a morte di Cesare Ottaviano Augusto eá avvenuta ne d.c.; d. a caduta de'impero romano d'occidente eá avvenuta ne76 d.c.. 6 Esegui e ricerche necessarie ed esprimi, mediante 'uso dei numeri reativi, e date dei seguenti avvenimenti: a. nascita di GesuÁ Cristo; b. inizio dea prima guerra punica; c. morte di Giuseppe Garibadi; d. scoperta de'america. 7 Esegui e ricerche necessarie ed esprimi, mediante 'uso dei numeri reativi, e seguenti temperature: a. fusione depiombo; b. evaporazione de'acqua; c. soidificazione de'ossigeno; d. fusione deghiaccio. 8 Per determinare i tempo di partenza di una navetta spaziae i tecnici utiizzano un conteggio aa rovescia. Se i momento in cui avviene iancio eá 'ora zero, come si contano e a quae insieme numerico appartengono i secondi che o precedono? 9 I campionato di cacio di serie A femminie de'anno eá stato vinto daa Sassari Torres con sette punti di vantaggio nei confronti de Bardoino. Con quae numero puoi esprimere i distacco di quest'utima daa prima? 0 Esprimi mediante 'uso dei numeri reativi e seguenti quantitaá: un incasso di E 000; una spesa di E 00; un credito di E 7000; un debito di E 000. Per confezionare un magione a'uncinetto occorre eseguire e seguenti istruzioni: da centro deo schema si deve procedere in orizzontae eseguendo punti verso destra e, tornati a centro, verso sinistra. In che modo puoi esprimere questi spostamenti? Scrivi cinque numeri de'insieme Q e cinque numeri de'insieme Q. Scrivi i primi cinque numeri de'insieme Z. Scrivi cinque numeri irrazionai reativi. Scrivi cinque numeri de'insieme Z minori di. 6 Scrivi cinque numeri reativi compresi tra e. 7 Scrivi cinque numeri reativi minori di 6. 8 Scrivi cinque numeri reativi compresi tra e 0. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO 7

21 9 L'estratto conto de Signor Paoo dava aa fine de mese di Settembre un attivo di E 0. Dopo aver osservato attentamente a seguente tabea rispondi ae domande: Data /0 6/0 0/0 /0 9/0 7/0 /0 Importo in E a. quanti preievi sono stati effettuati e per quae somma compessiva? b. Quanti versamenti sono stati depositati e per quae somma compessiva? c. QuaeÁ isado i Ottobre? d. QuaeÁ isado i Ottobre? [Sado de /0: E 760; Sado de /0: E 0] 0 La seguente tabea indica e quotazioni di acune monete rispetto a'euro. Che cosa indica i numero reativo scritto nea terza riga? Sapresti indicare quanto vaeva i doaro statunitense, a sterina e a corona norvegese i giorno prima? Determina inotre a moneta che si eá apprezzata di piuá e quea che ha subõáto a maggiore fessione rispetto a'euro. Vauta Doaro USA Sterina UK Franco CH Corona N Doaro AUS Per Euro,0 0,9, 8,00,69 Variazione % 0,8 0,78 0,0 0, 0, A momento dea pensione i Signor Bruno investe a propria iquidazione acquistando e seguenti azioni: a. 000 azioni dea Banca San Paoo Imi a E,0 per azione; b. 00 azioni dea Fiat a E,0 per azione; c. 00 azioni dea Teecom a E,0 per azione. Dopo un anno e azioni acquistate da Signor Bruno hanno a seguente quotazione: a. San Paoo E 6,0; b. Fiat E,0; c. Teecom E,. Come puoi esprimere 'andamento dei tre titoi azionari? Quae insieme numerico devi utiizzare per eseguire e varie operazioni di cacoo? Ha guadagnato o perso compessivamente i Signor Bruno con gi investimenti effettuati? grafico a ato indica i numero di morti per incidenti stradai da 000 a 009. Riporta i dati in una tabea e determina a variazione assouta tra e coppie consecutive di anni. Osserva attentamente e previsioni reative a PIL (ricchezza prodotta da ciascuna nazione) in miiardi di doari e poi rispondi ae seguenti domande. a. Quae nazione ha avuto a maggiore variazione de PIL in vaore assouto? Di quanti miiardi di doari? b. Quae nazione ha avuto a minore variazione de PIL in vaore assouto? Di quanti miiardi di doari? Stati Uniti Giappone Zona Euro Cina India Competa a seguente tabea reativa aa temperatura in gradi centigradi registrata ae ore e ae ore in una ocaitaá itaiana durante i sette giorni dea settimana: Temperatura ore 6 0 Variazione fra e ore e ore 0 Temperatura ore 0 8 I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

22 Considera 'insieme A ˆ ; ; 7 ; ;,; ; 0,6; ; ;0; ; determina e rappresenta per eencazione i seguenti sottoinsiemi de'insieme A rappresentati per caratteristica: B ˆ fx j x A e x < g; C ˆ fx j x A e x g; D ˆ fx j x A e x g; E ˆ fx j x A e x 0g; F ˆ x j x A e 7 < x <. 6 La seguente tabea riporta e quotazioni registrate da acuni titoi azionari aa borsa di Miano i e i Gennaio 00. Indica con un numero reativo e variazioni assoute verificatesi: AZIONI Gennaio 00 Gennaio 00 VARIAZIONE Autogri Spa 0,80 0,8 Azimut 7,80 7,9 Bca Pop Miano,6,07 Bugari 7,0 7, Exor,0,9 Fiat 7,09 7, Intesa Sanpaoo,8, Stmicroeectronics 8,6 8,9 7 Per determinare a posizione di un punto sua superficie terrestre, occorre conoscere a sua atitudine e a sua ongitudine. In geografia hai studiato, che a atitudine (abbreviazione at.) eá 'angoo che un punto sua superficie terrestre forma con 'equatore, mentre a ongitudine (abbreviazione ong.) eá 'angoo che o stesso punto forma con i meridiano di riferimento di Greenwich. Per convenzione si fa corrispondere aa atitudine nord (at. N.) i segno positivo e aa atitudine sud (at. S.) queo negativo; aa ongitudine est (ong. E.) i segno positivo e aa ongitudine ovest (ong. O.) queo negativo. Esegui ora i seguenti esercizi mediante 'uso dei numeri reativi e de panisfero: M determina i punti dea Terra che corrispondono a: a. at. ; ong. 0 ; b. at. ; ong. 8 ; c. at. 6 ; ong. 9 ; d. at. 6 ; ong. 0. M riporta e coordinate dee seguenti ocaitaá, dopo avere individuate su panisfero: a. Roma; b. Oso; c. Brasiia; d. Giacarta; e. CittaÁ decapo; f. Mosca. La rappresentazione grafica dei numeri reativi teoria a pag. richiami dea teoria n I numeri reativi possono essere rappresentati su una retta orientata che eá divisa da'origine O in due semirette; n si eá stabiito che i verso positivo va da'origine O verso destra e queo negativo da O verso sinistra; n i punti che si individuano sua retta sono detti immagini dei numeri reativi. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 8 Dove si rappresentano graficamente i numeri reativi? a. Su un segmento; b. su un segmento orientato; c. su una semiretta orientata; d. su una retta orientata. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO 9

23 , 0,6, 0, 0,6.,77,,,8.,8, 0,,6.,86 Matematica & Scienze IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE In base aprincipio di Archimede ogni corpo immerso in un iquido o gas riceve una spinta verticae da basso verso 'ato, uguae a peso de fuido spostato. Indicando con F p a forza dovuta a peso de corpo e con F A a forza egata a principio di Archimede, si possono verificare tre casi: FA < F p icorpo affonda in quanto a spinta di Archimede eá minore de peso decorpo; FA ˆ F p i corpo rimane in equiibrio in quanto a spinta di Archimede eá uguae a peso de corpo; FA > F p i corpo gaeggia in quanto a spinta di Archimede eá maggiore depeso decorpo. Quindi per determinare se un corpo gaeggia o meno basta eseguire a somma agebrica fra e due forze appicate: forza peso de corpo e spinta di Archimede. Consideriamo, per convenzione, positiva a forza verso 'ato e negativa quea verso i basso. Determina i segno dea forza risutante ne caso in cui icorpo immerso:. gaeggi.. affondi.. rimanga in equiibrio. Determina a forza risutante F R nei seguenti casi e specifica se i corpo gaeggia, affonda o rimane in equiibrio: a. F A ˆ N F p ˆ N F R ˆ ::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::: b. F A ˆ 8N F p ˆ N F R ˆ ::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::: c. F A ˆ N F p ˆ N F R ˆ ::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::: d. F A ˆ 7N F P ˆ N F R ˆ ::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::: Correggi errori gi Acune dee seguenti addizioni sono state eseguite in modo errato; individua 'errore e correggio. a. ˆ ; b. ˆ. 6 a. ˆ ; b. ˆ. 7 a. ˆ ; b. 7 ˆ. 8 a. ˆ 7; b. 8 ˆ. 6 I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

24 Trasforma i seguenti numeri daa notazione scientifica aa forma normae. 6 Esercizio guida 8 0! esponente...!... cifre decimai! 0, a. 0 ; b., 0 ; c., a.,99 0 ; b. 9,7 0 ; c a., 0 7 ; b ; c. 6, Trasforma nea scrittura poinomiae i seguenti numeri. 66 Esercizio guida 7,8 ˆ 7 0 0, 0,0 8 0,00 Possiamo ora sostituire e potenze di 0! 7,8 ˆ a. 0,; b.,70; c.,. 68 a.,7; b.,8; c. 9,78. Scrivi in forma estesa i seguenti numeri. 69 a. 0 0 ; b ; c a ; b ; c a ; b ; c Scrivi 'ordine di grandezza dei seguenti numeri. 6 Esercizio guida 0, ˆ,6 0 8 Inumero dato eá compreso fra 0 8 <,6 0 8 < 0 7 Essendo a parte intera minore di si deve assumere come ordine di grandezze a potenza di 0 con esponente minore cioeá a. 0,00; b. 0,000; c. 0, a. 0,00; b. 0,00006; c. 0, a. 0, ; b. 0, ; c. 0, esercizi sue competenze di base Disponi in ordine crescente e seguenti serie di numeri. 8; ; 6; ; 0; ; 6;. 6 ; ; ; ; 7 ; 9 ; 8 ;. 7 I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

25 Rappresenta e seguenti serie di numeri su una retta orientata. ; ; ; 0; ; ; 8. 6 ; ; ; 6 ; ; ; 7 6. Cacoa i vaore dee seguenti operazioni. a. 6 ; b a. ; b a. ; b. 6 8 a. ; b a. ; b a. : ; b. 0 : a. ; b.. 7 a. ; b a. 7 ; b. ; b. 9 : : 9.. a. 7 a. 6 a. p ; b. r 9 ; b. p 8. r 6. 9 Cacoa i vaore dee seguenti espressioni : [9] 8 " : # ( " 9 # ) " 0 : # " # " # :. Š 8 " : # 9 < : 8 = : ; : 8. [] " : 6 # 6 8 " : # 9. 9 < 6 0 = 6 : 7 6 ; Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO 7

26 v " # u : 0 t. VERIFICHE Prove INVALSI (INVALSI, a.s. 00/0) Disponi in ordine crescente iseguente insieme di numeri: 0,; 0,; ; ; o a. ; 0,; ; 0,; o b. ; ; 0,; ; 0, o c. 0,; ; ; ; 0, o d. 0,; ; ; 0,; o e. 0,; ; ; ; 0, (INVALSI, a.s. 00/0) Si consideri iprodotto di un numero naturae m 6ˆ 0 per un numero razionae positivo. Quae dee seguenti affermazioni eá vera, se riferita aprodotto? o a. PuoÁ essere sia maggiore sia minore di m o b. EÁ sempre minore di m o c. EÁ sempre maggiore di m o d. EÁ sempre maggiore di. (INVALSI, a.s. 00/0) Sostituendo ad a inumero 0,0007 e a b i numero,7, quae dee seguenti reazioni eá vera? o a. 0 a ˆ b o b. a ˆ b 0 o c. b ˆ a 0 o d. a ˆ b 0 (INVALSI, a.s. 00/06) Sua cima de Monte Amiata i aprie de 00, ae ore 6.00, eá stata registrata una temperatura di gradi sotto o zero; ae ore.00 a temperatura era saita di 0 gradi; a misurazione dee ore.00 registrava una diminuzione di gradi rispetto ae ore.00. Quae dee seguenti espressioni esprime correttamente a temperatura ae.00? o a. 0 o b. 0 o c. 0 o d. 0 (INVALSI, a.s. 006/07) Su una retta orientata, O eá 'origine. I punti S, T, U, P, Q, R, sono immagini di numeri interi reativi. Quae dee seguenti proposizioni eá fasa? o a. T eá ipunto medio tra S e U o b. S e R sono simmetrici rispetto ad O o c. P eá ipunto medio tra U e Q o d. P e U rappresentano numeri di segno opposto. 6 (INVALSI, a.s. 007/08) Quae dee seguenti disuguagianze eá vera? o a. 7 6 < 6 7 o b. 7 6 < 6 7 o c. 7 6 > 6 7 o d. 7 6 < I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

27 Verifica conoscenze dee Verifica a tua preparazione eseguendo i seguenti esercizi reativi agi obiettivi di conoscenza. Controa quindi 'esattezza dee souzioni aa fine de voume ed assegnati un punto per ciascun esercizio svoto correttamente. n I NUMERI RELATIVI E LE LORO PROPRIETAÁ Stabiisci se e seguenti coppie di numeri sono concordi, discordi o opposti: a. e ; b. e ; c. e 6; d. e. Inserisci aposto dei puntini isimboo di maggiore o minore: a. :::::: 8; b. :::::0; c. 8 ::::: 8 ; d. ::::: 7. n LE QUATTRO OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI Competa a seguente definizione: un'addizione agebrica eá a successione ordinata dee operazioni di... e di... con i numeri... Irisutato prende inome di somma... QuaeÁ i risutato dea seguente somma agebrica:? a. ; b. 8; c. ; d. 0. Competa a seguente regoa. I prodotto di due numeri reativi eá un numero reativo che ha: a. come vaore assouto i... dei vaori...; b. segno... se i due numeri sono concordi; c. segno negativo se i due numeri sono... 6 QuaeÁ i risutato dea seguente divisione con i numeri reativi : 9? a. 6 ; b. 7 8 ; c. 6 ; d n LA POTENZA E LA RADICE QUADRATA DI UN NUMERO RELATIVO 7 Indica quai dee seguenti potenze con i numeri reativi sono corrette: a. ˆ 6; b. ˆ 7 8 ; c. ˆ 6; d. ˆ 7. 8 Indica quae tra e seguenti radici quadrate con i numeri reativi eá corretta: p p p a. ˆ ; b. 9 ˆ 7; c. 6 ˆ 6; d. r 6 ˆ 9. n LA NOTAZIONE SCIENTIFICA E L'ORDINE DI GRANDEZZA 9 QuaeÁ a notazione scientifica de seguente numero: 0,000000? a., 0 8 ; b. 0 7 ; c., 0 7 ; d QuaeÁ 'ordine di grandezza de seguente numero: 0, ? a. 0 ; b. 0 ; c. 0 6 ; d. 0. Autovautazione PUNTEGGIO CONSEGUITO.../0 Da 0 a : Non conosci gi argomenti trattati ne capitoo. Devi ristudiaro. Da a 7: Conosci soo superficiamente i contenuti de capitoo. Devi ripassare gi argomenti corrispondenti ae conoscenze non acquisite. Da 8 a 0: Conosci in modo sufficientemente approfondito i contenuti decapitoo. Puoi affrontare i prossimo capitoo. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO 77

28 Verifica dee abiità Verifica a tua preparazione eseguendo i seguenti esercizi reativi agi obiettivi di abiitaá. Controa quindi 'esattezza dee souzioni aa fine de voume ed assegnati un punto per ciascun esercizio svoto correttamente. n RAPPRESENTARE E CONFRONTARE I NUMERI RELATIVI n Rappresenta su una retta orientata a seguente serie di numeri reativi: ; ; 0; ; 8; ; 6 ; ;. Inserisci a posto dei puntini i numero intero reativo compreso tra e seguenti coppie di numeri: a. < :::::::::: < 7 ; b. < :::::::::: < ; c. < :::::::::: < 0. Ordina in modo decrescente a seguente serie di numeri reai:,; p ; ; 0; ; ; ; 0,. ESEGUIRE LE QUATTRO OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI Esegui e seguenti espressioni. 8 : 7 0 : n CALCOLARE LE POTENZE E LE RADICI QUADRATE DI NUMERI RELATIVI 6 Esegui e seguenti potenze e radici quadrate: a. ; b. ; c. ; d. 6 ; e. Esegui e seguenti espressioni. 7 7 : 0 ( " # ) 6. 6 v 8 " 8 0,6 6 : # 9 < : 0 0 0, : 0, 8 = 6; : 0, u t. r 9 ; f. r 6. 9 n DETERMINARE LA NOTAZIONE SCIENTIFICA E L'ORDINE DI GRANDEZZA DI UN NUMERO 9 Scrivi in notazione scientifica inumero 0, Determina 'ordine di grandezza de numero 0, Autovautazione PUNTEGGIO CONSEGUITO.../0 Da 0 a : Non hai sviuppato adeguate abiitaá. Devi studiare nuovamente i capitoo ed eseguire 'attivitaá di recupero. Da a 7: Non possiedi e abiitaá richieste. Prima di affrontare 'attivitaá di consoidamento devi svogere 'attivitaá di recupero reativa ae abiitaá non ancora acquisite. Da 8 a 0: Hai raggiunto pienamente e abiitaá specifiche de capitoo. Puoi affrontare 'attivitaá di potenziamento eegare di matematica. 78 I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

29 I numeri reativi Attività di recupero CAP. n RAPPRESENTARE E CONFRONTARE I NUMERI RELATIVI Vero o Faso? Stabiisci quai dee seguenti affermazioni sono errate e correggi gi errori. a. L'insieme dei numeri reai reativi eá dato da'unione degi insiemi Z e Q. V F b. I numeri e 7 sono concordi. V F c. Ivaore assouto di eá. V F d. 7 < 0. V F e. <. V F Cassifica i seguenti numeri reativi in base a oro insieme di appartenenza (Z, Q, I). ; r 7 ; ; r p 0 ; 0,;,;. 66,; r r p p 9 6 ; ; 8 ; 9 ;,;. 9 Inserisci accanto a ciascuno dei seguenti numeri reativi un atro numero in modo da ottenere una coppia di numeri reativi aventi o stesso vaore assouto, ma segno diverso. Come si chiamano e coppie ottenute? a. 6 ::::::::::; b. ::::::::::; c. :::::::::: Inserisci accanto a ciascuno dei seguenti numeri reativi un atro numero in modo da ottenere una coppia di numeri reativi aventi diverso vaore assouto e diverso segno. Come si chiamano e coppie ottenute? a. 6 ::::::::::; b. ::::::::::; c. ::::::::::. 6 QuaeÁ i vaore assouto dei seguenti numeri reativi? a. j j; b. j j; c.. Disegna su quaderno una retta orientata e, dopo aver stabiito 'unitaá di misura, rappresenta i seguenti numeri razionai reativi: 7 ; ; ; ; ; 0,; ;,;. 8 ; ; 0,;,; 6 ; ; 0,8; 9. 9 ; ; 7 ; ;,6; 9 ; 9 ;. 0 Inserisci aposto dei puntini isegno di maggiore o minore: a. :::::::::: ; b. ::::::::: 8; c. :::::::::: 0; d. :::::::::. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO 79

30 Disponi in ordine crescente a seguente serie di numeri reativi: ; ; ; ; ; 6; ; 0,; 0. Disponi in ordine decrescente a seguente serie di numeri reativi: ; ; 0; 8 ; ; ; ;. Competa e seguenti serie inserendo, a posto dei puntini, i numeri mancanti: a. ; ; ;...;...;...;...;... b. ; 7 ; ; ;...;...;...;... n ESEGUIRE LE QUATTRO OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI Vero o Faso? Stabiisci quai dee seguenti affermazioni sono errate e correggi gi errori. a. La somma di due numeri reativi concordi ha sempre o stesso segno de primo addendo. V F b. La differenza di due numeri reativi discordi eá sempre positiva. V F c. Iprodotto di due numeri interi reativi discordi eá sempre un numero intero reativo negativo. V F d. Iquoziente di due numeri reativi eá positivo se i due numeri sono entrambi negativi. V F Metti a posto dei puntini i simboo di uguae o diverso. a. ::::: ; b. :::::. 6 a. ::::: ; b. :::::. 7 a. 7 ::::: 7; b. :::::. Cacoa i vaore dee seguenti addizioni e sottrazioni. 8 a. ; b. ; c a. ; b. ; c.. 0 a. ; b. 7 ; c a. ; b. 6 ; c.. a. ; b. ; c. 6 Esercizio guida Ricorda che per eseguire motipicazioni e divisioni di numeri reativi si cacoa i risutato de'operazione con i vaori assouti mentre i segno si determina grazie aa regoa dei segni che eá rappresentata nea tabea a ato. Ad esempio a. ˆ ; b. : ˆ ; c. 7 : ˆ:::::; d. 0 ˆ :::::; 9 e. 7 : ˆ 7 6 ˆ 6.. : 80 I NUMERI RELATIVI - AREA - CAPITOLO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS