Marzia Re Fraschini - Gabriella Grazzi - Claudia Spezia. per la classe 5

Transcript

1

2 Marzia Re Fraschini - Gabriea Grazzi - Caudia Spezia per a casse 5

3 ISBN Edizioni Direzione Editoriae: Roberto Invernici Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scavini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atas Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Stampa: Grafica Veneta - Trebaseeghe (PD) L'editore si impegna a mantenere invariato i contenuto di questo voume, secondo e norme vigenti. I materiae iustrativo proviene da'archivio iconografico Atas. L'editore eá a disposizione degi aventi diritto non potuti reperire. I presente voume eá conforme ae disposizioni ministeriai in merito ae caratteristiche tecniche e tecnoogiche dei ibri di testo. Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. Si ringrazia a prof.ssa Cara Mezani per a coaborazione editoriae. Ogni riproduzione de presente voume eá vietata. Le fotocopie per uso personae de ettore possono essere effettuate nei imiti de 15% di ciascun voume/fascicoo di periodico dietro pagamento aa SIAE de compenso previsto da'art. 68, commi 4 e 5, dea egge aprie 1941 n Le fotocopie effettuate per finaitaá di carattere professionae, economico o commerciae o comunque per uso diverso da queo personae possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione riasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per e Riproduzioni Editoriai, Corso di Porta Romana 108, 01 Miano, e-mai autorizzazioni@cearedi.org e sito web Q 013 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 413 Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Te. (035) Fax (035)

4 Presentazione Nuove Indicazioni Nazionai e Matematica digitae La scuoa itaiana eá giunta ad un appuntamento storico, percheâ a didattica dee varie discipine e dea Matematica, in particoare, deve integrare e coniugare contemporaneamente sia e moderne tecnoogie di insegnamento egate agi strumenti digitai sia e nuove Indicazioni Nazionai che scandiscono i contenuti e gi argomenti di matematica de Secondo Biennio e de Quinto anno de'istruzione tecnica. In tae contesto di novitaá, obiettivo fondamentae per Docenti e studenti eá quindi queo di poter rispondere adeguatamente a queste nuove esigenze, senza perdere i beneficio di una consoidata tradizione che fa dea Matematica una discipina importante per a crescita cuturae e fondamentae per i supporto ae atre discipine specifiche di ogni indirizzo. In questa prospettiva Matematica - Appicazioni economiche si propone come opera mista mutimediae e digitae decinata secondo i seguenti strumenti. 1. Materiai a stampa L'opera si struttura in tre voumi-base, uno per ogni anno de Secondo Biennio e uno per i Quinto anno, cosõá articoati: Casse 3: Geometria anaitica, esponenziai e ogaritmi, trigonometria, matematica finanziaria, statistica Casse 4: Anaisi, ogica, probabiitaá, appicazioni economiche Casse 5: Anaisi numerica, inferenza, ricerca operativa Ciascun voume eá organizzato in aree tematiche, ognuna composta da piuá capitoi che trattano temi affini. Ne'occhieo di ciascuna area sono messe in evidenza e competenze che vengono attivate e acquisite e in ogni capitoo vengono poi decinati gi obiettivi specifici. Impostazione e caratteristiche didattiche Tutti gi argomenti vengono proposti con grande rigore, ma ao stesso tempo con una grande chiarezza di inguaggio e senza mai dare nua per scontato. Ogni capitoo si apre con a rubrica Matematica, reataá e storia per togiere ogni carattere di astrattezza a sapere matematico, mostrare a sua piena aderenza aa vita quotidiana e inserire i tema trattato ne contesto storico de suo sviuppo. In questo ambito, viene posto un probema reae, a cui risouzione potraá avvenire dopo aver studiato i contenuti de capitoo stesso; a souzione verraá indicata ne'utima pagina prima dea rubrica I concetti e e regoe. L'esposizione e a spiegazione dea teoria, poi, viene costantemente supportata da numerosi Esempi svoti; o studente, inotre, eá spesso chiamato a verificare e conoscenze man mano acquisite attraverso sempici esercizi e quesiti dea rubrica Verifica di comprensione. Grande riievo viene dato ae appicazioni informatiche; a termine di ogni capitoo vengono proposte acune esercitazioni con GeoGebra, Wiris ed Exce vote sia a favorire 'apprendimento dei concetti, sia a vederne e appicazioni concrete. Significativa eá poi a giaá citata scheda di sintesi dea teoria I concetti e e regoe, che si trova a termine di ogni capitoo, che ha i dupice scopo di fissare i contenuti piuá importanti e di servire come ripasso rapido. Nei voumi de secondo biennio si trova una sezione dedicata ai modui CLIL (Content and Language Integrated Learning) nea quae viene trattato in ingua ingese uno degi argomenti presenti ne testo; atre ezioni sono disponibii on ine. A termine di ogni area tematica sono anche presenti esercizi in ingua ingese. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS PRESENTAZIONE 3

5 Grande varietaá e quantitaá di esercizi Ad ogni capitoo di teoria corrisponde un capitoo di esercizi; un primo bocco, in due tipoogie, segue 'ordine dei paragrafi e propone: esercizi di comprensione, spesso in forma di test per verificare e conoscenze teoriche senza e quai ogni appicazione eá impossibie; esercizi di appicazione, sotto forma di esercizi e probemi da svogere, per sviuppare capacitaá ogico-deduttive, acquisire nuove abiitaá di cacoo, sviuppare abiitaá nea sceta dee procedure piuá adatte a risovere un probema. A queste due serie di esercizi, per ogni capitoo, ne seguono atre con specifici obiettivi di sintesi: un gruppo di esercizi per a vautazione dee competenze acquisite; acune proposte per e attivitaá di aboratorio informatico da svogersi anche a casa con i software gratuiti utiizzati anche nea parte di teoria; due schede di autovautazione: una per 'accertamento dee conoscenze e una per 'accertamento dee abiitaá; queste schede possono essere usate dao studente per testare i proprio iveo di apprendimento e per a preparazione dee verifiche sommative, da docente come verifiche formative.. E-book: a versione digitae I tre voumi base Matematica - Appicazioni economiche sono disponibii anche in versione interamente digitae, scaricabie da piattaforma dedicata. 3. Materiai on ine La versione a stampa si competa con un ricco repertorio di materiai disponibii su sito dea casa editrice a'indirizzo In particoare: a. aboratorio di Informatica appicataaamatematicache presenta uteriori esercitazioni con Derive e Cabri; b. ezioni in ingua ingese su vari argomenti de testo base compete di esercizi; c. uteriori esercizi di Anaisi, data 'importanza che questo ramo dea matematica ha ne permettere di acquisire una sintesi e una visione d'insieme de'intero percorso matematico; d. e attivitaá per i recupero compete di schede di autovautazione organizzate per aree, come strumento didattico essenziae per a gestione dei debiti; e. gi esercizi dee Gare di Matematica, per i iveo di approfondimento e di ecceenza, e per confrontarsi con gi standard di preparazione richiesti per e gare nazionai e internazionai; f. uteriori schede storiche, di approfondimento edicuriositaá. 4. Per i Docente: Guida didattica e Materiai mutimediai e interattivi per a LIM A disposizione de Docente ci sono innanzitutto i Materiai didattici per 'Insegnante, disponibii a stampa e in formato pdf ne'area riservata da sito dea Casa Editrice, a cui i Docenti possono accedere con password a richiesta. Otre aa guida didattica i Docenti possono disporre di materiai mutimediai e interattivi contenuti in una pen drive USB: a. un software per a compiazione dee verifiche; b. per ciascun capitoo di ogni voume de corso: presentazioni in Powerpoint che iustrano i contenuti fondamentai di ogni argomento e che possono essere utiizzate con a LIM per ezioni mutimediai; un uteriore repertorio di esercizi interattivi che possono essere assegnati agi studenti come autoverifiche. L'Editore 4 PRESENTAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

6 Tema Tema CAPITOLO 1: Gi zeri di una funzione: probemi di approssimazione Matematica, reataá e storia 9 1. La risouzione approssimata dee equazioni: esistenza e unicitaá dee radici I probema dea risovibiitaá La separazione dee radici 10. I metodo di bisezione I metodo dee corde I metodo dee tangenti o di Newton I metodo de punto unito 18 Matematica in aboratorio 1. La risouzione approssimata dee equazioni 1 I concetti e e regoe 7 ESERCIZI 333 Test finae 345 Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero CAPITOLO : Modei e agoritmi Matematica, reataá e storia 9 1. Da probema a modeo 30. I concetto di agoritmo La progettazione e a rappresentazione degi agoritmi I risoutore e 'esecutore La rappresentazione degi agoritmi e a pseudocodifica 36 Approfondimenti I diagramma di fusso Le strutture di controo La sequenza La seezione binaria 4 Approfondimenti La seezione mutipa L'iterazione 45 Approfondimenti Le condizioni composte 5 5. Gi agoritmi ricorsivi 53 Matematica in aboratorio 1. Programmiamo con Wiris 56 I concetti e e regoe 59 ESERCIZI 348 Test finae 363 Math in Engish - Area Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero CAPITOLO 1: Le funzioni di due variabii Matematica, reataá e storia Ripasso e integrazioni: coniche e disequazioni in due variabii L'equazione di una conica I fasci di coniche Le disequazioni in due variabii 67 Approfondimenti Disequazioni piuá compesse 71. Orientarsi in tre dimensioni 7.1 I sistema di riferimento 7. I segmenti neo spazio I piano e a sua equazione Le funzioni di due variabii La definizione L'individuazione de dominio Le caratteristiche e i grafico Limiti e continuitaá Le derivate parziai La definizione e i cacoo I significato geometrico e i piano tangente Le derivate successive I differenziae totae I massimi e i minimi Le definizioni I massimi e i minimi con e inee di iveo I massimi e i minimi con e derivate Massimi e minimi vincoati I metodo eementare I metodo dei motipicatori di Lagrange 104 Matematica in aboratorio 1. Le disequazioni in due variabii con Geogebra 107. Le funzioni di due variabii con Wiris 108 I concetti e e regoe 110 ESERCIZI 368 Test finae 410 Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS INDICE 5

7 Tema CAPITOLO : Appicazioni economiche Matematica, reataá e storia Funzioni marginai ed easticitaá 114. I probema de consumatore La funzione di utiitaá e e sue caratteristiche 119. Le curve di indifferenza 11.3 I vincoo di biancio 14 Approfondimenti I punti ottimai con e funzioni marginai I probema de produttore La funzione di produzione e gi isoquanti I vincoi di produzione Atri probemi di ottimizzazione 133 Matematica in aboratorio 1. I probemi di ottimizzazione con Wiris 138 I concetti e e regoe 140 ESERCIZI 416 Test finae 438 CAPITOLO 3: Ricerca operativa e probemi di sceta Matematica, reataá e storia La ricerca operativa e i suoi probemi Le fasi 143. Probemi in condizioni di certezza con effetti immediati I caso continuo 145. I caso discreto Sceta tra piuá aternative I probema dee scorte Probemi in condizioni di certezza con effetti differiti La cassificazione dei probemi Gi investimenti finanziari: i criterio de'attuaizzazione Gi investimenti finanziari: i criterio de tasso effettivo d'impiego Gi investimenti industriai Probemi in condizioni di incertezza con effetti immediati I modeo de probema I criterio de vaor medio Scete che tengono conto de rischio Atri criteri di sceta Probemi in condizioni di incertezza con effetti differiti 191 Matematica in aboratorio 1. Probemi di sceta con Wiris 193. Probemi di sceta con Exce 195 I concetti e e regoe 197 ESERCIZI 441 Test finae 481 CAPITOLO 4: La programmazione ineare Matematica, reataá e storia I modeo de probema 00. I metodo grafico 01.1 Probemi in due variabii 01. Probemi riconducibii a due variabii I probemi di PL in piuá variabii: i metodo de simpesso La forma standard de probema La procedura di risouzione Lo schema de simpesso I probema de trasporto 3 Matematica in aboratorio 1. La programmazione ineare con Exce 3 I concetti e e regoe 37 ESERCIZI 485 Test finae 514 Math in Engish - Area 517 Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero 6 INDICE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

8 Tema CAPITOLO 1: ProbabiitaÁ in situazioni compesse probabiitaá non eementari Matematica, reataá e storia Ripassiamo: eventi aeatori e probabiitaá La definizione di probabiitaá 4 1. I teoremi 4. La probabiitaá condizionata 44.1 Eventi dipendenti ed eventi indipendenti 44. I teorema dea probabiitaá composta I teorema di Bayes La probabiitaá e i cacoo combinatorio La speranza matematica e i giochi di sorte 56 Matematica in aboratorio 1. Speranza matematica e gioco equo 59 I concetti e e regoe 61 ESERCIZI 519 Test finae 540 CAPITOLO : Campionamento e inferenza statistica Matematica, reataá e storia Popoazione e campione I campionamento I campionamento casuae sempice Le variabii campionarie 69. Parametri e stimatori 70.1 La media campionaria 71. La varianza campionaria 75.3 La frequenza (o proporzione) campionaria 78.4 La differenza dee medie I caso dea distribuzione normae La stima dei parametri: stime puntuai Stima puntuae dea media 8 4. Stima puntuae dea differenza tra due medie Stima puntuae dea frequenza La stima dei parametri: stime per intervao Stima per intervao dea media Stima per intervao dea differenza tra due medie Stima per intervao di una frequenza 300 Approfondimenti La numerositaá de campione La verifica dee ipotesi Le ipotesi statistiche Le regoe di decisione Concusioni ed esempi 307 Matematica in aboratorio 1. Le ipotesi statistiche con Exce 311 I concetti e e regoe 314 ESERCIZI 544 Test finae 58 CAPITOLO 3: Piano di rievazione e anaisi dei dati Matematica, reataá e storia L'indagine statistica Le fasi I questionario 3. Un'indagine particoare: a CSR 35 ESERCIZI 585 Math in Engish - Area Souzioni verifiche di comprensione 59 Formuario 594 Tavoa Gaussiana standardizzata 598 Distribuzione t di Student 599 Tavoa di distribuzione Chi-quadrato 600 Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero Onine Su sito trovi... I aboratorio di informatica La scheda storica e e curiositaá AttivitaÁ di recupero Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS INDICE 7

9 Tema Cacoo numerico e agoritmi Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Competenze appicare metodi numerici per risovere equazioni e determinare gi zeri di una funzione, anche utiizzando opportuni strumenti di cacoo appicare agoritmi iterativi e ricorsivi aa risouzione di probemi, utiizzando anche opportuni strumenti informatici

10 CAPITOLO Gi zeri di una funzione: probemi di approssimazione Obiettivi trovare e souzioni approssimate di un'equazione studiare a rapiditaá di convergenza dei metodi di approssimazione MATEMATICA, REALTAÁ E STORIA Figura n Moti dei probemi che a matematica deve affrontare e risovere portano aa determinazione di vaori numerici: a quantitaá di un bene da produrre e vendere per avere i massimo profitto, a vautazione de tasso di interesse a cui eá stata fatta un'operazione finanziaria, a previsione su'andamento di un titoo in Borsa sua base dee sue futtuazioni precedenti. In moti casi questi numeri rappresentano a souzione di un'equazione e sappiamo che non siamo sempre in grado di risovere in modo esatto un'equazione se questa eá di grado maggiore di due o se nea sua espressione ci sono funzioni di generi diversi. Per esempio, e souzioni di un'equazione sempice come x e x ˆ 0 non possono essere determinate per via agebrica, ma soo per via grafica come ascisse dei punti di intersezione dee due curve y ˆ e x e y ˆ x (figura 1). Storicamente, 'interesse per o studio dee questioni che riguardano a determinazione dee souzioni approssimate di un'equazione ebbe i suo maggiore sviuppo a partire da '700 e vide impegnati matematici di fama come Newton, Lagrange, Gauss ed Hermite. Quest'utimo ( ) eá un matematico francese noto, otre che per i suoi contributi in numerosi campi, quai a teoria dei numeri e atri che vanno a di aá dee nostre competenze, anche percheâ fu i primo a dimostrare che i numero e, base dei ogaritmi naturai e imite dea successione n,eá un numero trascendente (a dimostrazione eá de 1873). I metodi messi a punto in que periodo presentavano peroá 'inconveniente, come vedremo ne corso de capitoo, di essere piuttosto aboriosi nei cacoi. I probema viene oggi superato briantemente da'uso dei computer per i quai sono stati costruiti agoritmi idonei e che comunque utiizzano ancora gi stessi metodi costruiti da Newton e dagi atri. I probema da risovere p Un vaore approssimato di si puoá trovare appicando uno dei metodi numerici anaizzati in questo capitoo ricercando e souzioni de'equazione x ˆ 0. Risovi i probema. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 9

11 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI: ESISTENZA E UNICITA' DELLE RADICI 1.1 I probema dea risovibiitaá Ogni equazione, dopo averne determinato i dominio e svoto opportunamente i cacoi, puoá essere scritta nea forma f x ˆ 0 oppure g x ˆ h x dove f, g e h sono funzioni reai dea variabie reae x. Le sue souzioni possono essere determinate graficamente a seconda di come si presenta 'equazione: n costruendo i diagramma dea funzione f x ed individuando e ascisse dei suoi punti di intersezione con 'asse x ne primo caso n tracciando i grafici dee funzioni g x e h x e individuando e ascisse dei oro punti di intersezione ne secondo. Per esempio, per risovere 'equazione x 4 x 3 ˆ 0 possiamo costruire i grafico dea funzione y ˆ x 4 x 3 (figura ) e da esso dedurre, in prima approssimazione, che 'equazione data ha due souzioni reai, a prima ne'intervao 3,, a seconda ne'intervao 0,1. Se dobbiamo risovere 'equazione sin x x 1 ˆ 0 conviene scrivera nea forma sin x ˆ x 1 ed intersecare e due curve di equazioni (figura 3) y ˆ sin x e y ˆ x 1 Troviamo cosõáche 'equazione ammette due souzioni reai, a prima compresa tra 1 e 0, a seconda un po' piuá grande di 1. Accertato che 'equazione ammette dee souzioni e stabiito anche un intervao che e contiene, dobbiamo ora trovare dei metodi che ci permettano di vautare e radici con una precisione stabiita. Uno dei metodi, queo di bisezione, ci eá giaá noto (o abbiamo studiato ne terzo voume); dopo avero rivisto brevemente, ne studieremo atri. 1. La separazione dee radici Data una quaunque equazione che abbia un certo numero di souzioni, a prima cosa da fare eá cercare di individuare gi intervai che contengono una soa radice. Ad esempio, considerata 'equazione n x 1 x 1 ˆ 0 e tracciato i grafico dea funzione f ad essa associata (figura 4), ci accorgiamo che vi sono tre radici, a prima appartenente a'intervao 1,5; 1, a seconda a'intervao 1,5;, a terza a'intervao 3; 4. Abbiamo cosõáseparato una da'atra e radici de'equazione. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 333 Figura Figura 3 Figura 4 Data un'equazione f x ˆ0, si dice che si separano e radici quando si individuano gi intervai, piccoi i piuá possibie, che contengono una soa souzione. 10 Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

12 Osserviamo ora che, ne caso de'esempio considerato, eá stato facie separare e radici percheâ i grafico dea funzione f non daá adito a dubbi. Ma se ci trovassimo di fronte ad una equazione in cui i grafico di f non consente una facie individuazione degi intervai ai quai appartengono e singoe radici, ad esempio percheâ troppo vicine una a'atra, come possiamo risovere i probema? Se a funzione avesse ad esempio un grafico come queo di figura 5, cosa potremmo dire circa 'esistenza ed i numero dee souzioni ne'intervao 1,3Š? EÁ evidente che dobbiamo cercare dee condizioni che ci garantiscano che, in un certo intervao, e radici esistono e che sono in numero precisato. L'esistenza di una radice de'equazione ci eá garantita da teorema degi zeri che giaá conosciamo e che ricordiamo di seguito. Figura 5 Teorema (degi zeri di una funzione). Se una funzione y ˆ f x eá continua in un intervao chiuso e imitato a, bš esef a e f b sono di segno opposto, aora esiste ameno un punto c interno ad a, bš tae che f c ˆ0. Quindi, per essere sicuri che esista ameno una radice de'equazione data in un certo intervao, basta verificare che f sia continua in esso e a cacoare i vaore dea funzione f agi estremi di que'intervao: se i vaori trovati sono di segno opposto, possiamo essere certi dea sua esistenza. Tornando a'esempio precedente in cui f x ˆn x 1 x 1, funzione continua ne suo insieme di definizione, appicando i teorema possiamo trovare conferma a quanto dedotto da grafico; si ha infatti che f 1,5,7 im f x ˆ 1 quindi vi eá ameno una souzione in 1,5; 1 x! 1 Osserva che non abbiamo potuto cacoare f 1 percheâ a funzione non esiste in tae punto, essendo peroá 1 i suo imite per x che tende a 1, possiamo dire che a funzione assume vaori opposti agi estremi de'intervao 1,5; 1 Š con! 0. f 1,5 0,8 f 0,099 vi eá ameno una souzione in 1,5; Figura 6 f 3 0,079 f 4 0,9 vi eá ameno una souzione in 3; 3,5 Ricordiamo poi che i teorema degi zeri eá una condizione sufficiente per 'individuazione dee radici di un'equazione, ma non eá una condizione necessaria; puoá capitare infatti che una funzione abbia intersezioni con 'asse dee ascisse in un intervao a, bš anche se assume o stesso segno ai suoi estremi (figura 6). I fatto di aver individuato un intervao in cui ci sia ameno una souzione non eá peroá sufficiente per procedere aa separazione dee radici, dobbiamo essere sicuri che a radice ne'intervao individuato sia unica. Ci vengono aora in aiuto i seguenti teoremi che ci imitiamo ad enunciare. Primo teorema di unicitaá dee radici. Sia f x una funzione continua in un intervao chiuso a, bš e derivabie a suo interno e sia inotre f a f b < 0, cioeá a funzione assuma vaori opposti agi estremi de'intervao; se f 0 x non si annua mai in a, b, aora 'equazione f x ˆ0 ammette una soa souzione in a, b. La condizione posta da questo teorema come ipotesi per garantire 'unicitaá dea souzione, cioeá che sia f 0 x 6ˆ 0 in tutti i punti de'intervao a, b, equivae a chiedere che a funzione sia sempre strettamente crescente oppure sempre Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 11

13 strettamente descrescente. Infatti, se a funzione eá continua, eá derivabie, e a derivata non si annua mai, aora: f 0 x eá sempre positiva! f x eá strettamente crescente f 0 x eá sempre negativa! f x eá strettamente decrescente. Secondo teorema di unicitaá dee radici. Sia f x una funzione continua in un intervao a, bš e due vote derivabie a suo interno e sia inotre f a f b < 0; se f 00 x eá sempre positiva o sempre negativa in a, b, aora 'equazione f x ˆ0 ammette una soa souzione in a, b. I teorema ora enunciato afferma quindi che 'equazione f x ˆ 0 ammette una soa souzione in un intervao a, b se in esso a funzione f x voge sempre a concavitaá verso 'ato o verso i basso. ESEMPI Separiamo e radici dee seguenti equazioni. 1. e x x 3 ˆ 0 Possiamo scrivere 'equazione nea forma e x ˆ x 3 ed intersecare quindi e due funzioni di equazione y ˆ e x e y ˆ x 3. Da'osservazione de grafico che ne risuta (figura 7) sembra che ci sia una souzione ne'intervao 3, ed un'atra souzione ne'intervao 1,. Cerchiamo conferma a queste osservazioni andando a cacoare i Figura 7 vaore dea funzione f x ˆe x x 3 agi estremi di tai intervai: f 3 0,05 f 0,86 vi eá ameno una souzione ne'intervao 3, f 1 1,8 f,39 vi eá ameno una souzione ne'intervao 1, Per avere a certezza che a souzione in ciascuno di tai intervai eá anche unica, cacoiamo a derivata prima di f : f 0 x ˆe x 1 Essa si annua per x ˆ 0 che non appartiene ad acuno degi intervai considerati; possiamo quindi concudere che, per i primo teorema di unicitaá dee radici, in ciascuno degi intervai considerati vi eá una soa souzione.. n x x x 1 ˆ 0 Anche in questo caso conviene riscrivere 'equazione nea forma n x ˆ x x 1 ed intersecare e funzioni y ˆ n x e y ˆ x x 1 Da grafico ottenuto (figura 8) possiamo ipotizzare 'esistenza di una souzione ne'intervao 0,1 e di un'atra souzione ne'intervao,3. Verifichiamoo appicando i teorema degi zeri aa funzione f x ˆn x x x 1 che ha dominio R : Figura 8 1 Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

14 im f x ˆ 1 f 1 ˆ vi eá ameno una souzione ne'intervao 0,1 x!0 f 1,69 f 3 0,90 vi eá ameno una souzione ne'intervao,3. Verifichiamo che a souzione eá unica: f 0 x ˆ1 x x ed eá f 0 x ˆ0 se x ˆ 1 p 3 Poiche nessuno di questi vaori appartiene agi intervai considerati 1 0,37 non appartiene neppure a dominio dea funzione), possiamo concudere che in ciascuno di essi vi eá una soa radice de'equazione. p 3 3. sin x x ˆ 0 Di nuovo conviene scrivere 'equazione nea forma sin x ˆ 1 x e confrontare i grafici dee funzioni y ˆ sin x e y ˆ 1 x Da grafico (figura 9) sembra che vi sia una intersezione esattamente ne'origine ed un'atra ne'intervao 1, ; infatti, posto f x ˆsin x x, si ha che Figura 9 f 0 ˆ0 ed inotre f 1 0,68 f,18 Stabiiamo ora se ne'intervao 1, a souzione eá unica: f 0 x ˆcos x x non conviene appicare i primo teorema di unicitaá dea radice percheâ 'equazione cos x x ˆ 0 non eá di immediata risouzione; appichiamo aora i secondo teorema: f 00 x ˆ sin x La derivata seconda eá sempre negativa ne'intervao 1, (ricorda che sin x eá compreso fra 1 e 1); a souzione eá pertanto unica in tae intervao. VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Una funzione f x soddisfa ae seguenti condizioni: eá continua e derivabie ne suo insieme di definizione f 1 ˆ 4 f ˆ 1 f 0 x si annua soo in x ˆ 5. Si puoá dire che ne'intervao 1, a funzione ammette: a. ameno uno zero b. un soo zero c. non ammette zeri d. ammette ameno uno zero, ma non si puoá affermare che sia unico.. Appicando i teoremi di esistenza ed unicitaá degi zeri, si sa che una funzione f x ammette un soo zero 3 7 ne'intervao 1, ; si sa inotre che f 1 > 0, f > 0, f > 0. Aora a souzione appartiene 4 a'intervao: 3 3 a. 1, b., 7 7 c. 4 4, 7 d. 1, 4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 13

15 . IL METODO DI BISEZIONE Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 335 Troviamo e souzioni approssimate di un'equazione con Exce e con Wiris appicando i diversi metodi. Vai a'esercitazione corrispondente a fine capitoo. Una vota separate e radici, resta da determinare un oro vaore approssimato; uno dei metodi piuá sempici da punto di vista concettuae eá i metodo di bisezione che giaá conosciamo e che consiste ne dimezzare ad ogni iterazione 'intervao che contiene a radice. Ricordiamoo brevemente risovendo 'equazione I metodo di bisezione eá stato affrontato ne voume 3 a pag.149. x 3 x 1 ˆ 0 I grafico dea funzione f x ˆ x 3 x 1eÁ in figura 10 e da esso deduciamo che vi eá una radice ne'intervao, 1 ; infatti: Figura 10 f ˆ 5 f 1 ˆ 1 Inotre, poicheâ f 0 x ˆ3x 1 non si annua p mai in tae intervao (e souzioni de'equazione 3x 1 ˆ 0 sono e non appartengono a'intervao 3 3, 1 ), a radice eá unica. 1 Riduciamo 'intervao considerando i suo punto medio: ˆ 3 Otteniamo cosõá i due intervai:, 3 e 3, 1 Poiche f 3 ˆ 7 8 e f 1 ˆ 1 a radice appartiene a secondo di essi, cioeá 3, Consideriamo i punto medio de nuovo intervao: ˆ 5 4 Poiche f 5 ˆ e f 3 ˆ 7, a radice appartiene a'intervao 8 3, 5. 4 Proseguendo in questo modo si puoá ridurre 'intervao fino aa precisione desiderata. 3. IL METODO DELLE CORDE Supponiamo di avere giaá separato e radici de'equazione f x ˆ 0 e di avere individuato 'intervao a, b che contiene a radice r che vogiamo determinare. La funzione f x soddisfa quindi e ipotesi di continuitaá, f 0 x non si annua mai in a, b, f 00 x eá sempre positiva oppure sempre negativa; possiamo poi supporre che anche f 0 x sia sempre positiva oppure sempre negativa. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

16 GiaÁ a partire da x 10, e prime due cifre decimai coincidono; possiamo quindi concudere che un vaore approssimato dea radice de'equazione eá x ˆ 0,56. Come controprova, cacoiamo i vaore dea funzione f x ˆ xe x 1inx ˆ 0,56 e in x ˆ 0,57 : f 0,56 ˆ 0,0196 f 0,57 ˆ 0,0079 Avendo trovato due vaori di segno opposto, possiamo essere sicuri che a radice de'equazione eá compresa tra 0,56 e 0,57; questo ci garantisce che e prime due cifre decimai esatte sono quee trovate. VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Di una funzione f x si sa che: f 0 ˆ 1 f 1 ˆ f 00 x < 0 in tutti i punti de'intervao 0, 1 Posto A 0, 1, B 1,, a corda AB interseca 'asse dee ascisse ne punto di ascissa 1 3. La radice de'equazione f x ˆ 0 si trova ne'intervao: 1 1 a. 0, b. 3 3,1 1 c. 1, 3 d. 1 3,. Voendo trovare una radice approssimata de'equazione x sin x cos x 1 ˆ 0 appicando i metodo de punto unito, si devono confrontare e funzioni: a. y ˆ x 1 e y ˆ contan x b. y ˆ x e y ˆ cotan x 1 c. y ˆ x e y ˆ cos x 1 sin x d. y ˆ x e y ˆ 1 cos x sin x 1. LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Usiamo Exce In questo paragrafo ti proponiamo acune esercitazioni con Exce che riguardano gi argomenti proposti in questo capitoo. Vedremo come, con 'aiuto di un fogio eettronico, sia possibie appicare i metodi iterativi che abbiamo visto per risovere equazioni in modo approssimato. I esercitazione: i metodo di bisezione Ti sarai sicuramente reso conto che gi agoritmi iterativi che abbiamo visto per a risouzione approssimata di equazioni e di sistemi ineari sono piuttosto aboriosi nei cacoi anche utiizzando una cacoatrice tascabie. Possiamo peroá farci aiutare anche in questo caso da Exce. L'equazione x 3 3x 3 ˆ 0 ha tre souzioni reai che appartengono rispettivamente agi intervai 1, 0, 1, e, 3 ; troviamone un vaore approssimato. Per una migiore comprensione de avoro puoi seguire a figura reativa a questa esercitazione in cui, nea coonna H, abbiamo cacoato 'ampiezza degi intervai di approssimazione. Costruisci dapprima a successione dei primi 15 numeri naturai nee cee da A ad A16. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 1

17 B: inserisci i primo vaore di a ( 1 per a prima souzione, 1 per a seconda, per a terza) C: inserisci i primo vaore di b (0 per a prima souzione, per a seconda, 3 per a terza) D: =(B+C)/ (cacoo di m ˆ a b ) E: =B^3-3*B^+3 (cacoo di f a ) F: =C^3-3*C^+3 (cacoo di f b ) G: =D^3-3*D^+3 (cacoo di f m ) H: =C-B (cacoo de'ampiezza de'intervao considerato) B3: =SE(E*G<0;B;D) (se f a f m < 0 mettiamo i vaore a in B3 come primo numero de'intervao atrimenti mettiamo i vaore m) C3: =SE(F*G<0;C;D) (se f b f m < 0 mettiamo i vaore b in C3 come secondo numero de'intervao, atrimenti mettiamo i vaore m) Con queste due utime istruzioni abbiamo detto a computer di considerare 'intervao a, m se f a f m < 0, oppure 'intervao m, b se f b f m < 0. Per iterare i procedimento, copia ora e formue per tutta a coonna cui si riferiscono, per esempio fino aa riga 16. In questo modo abbiamo previsto di fare 15 iterazioni; se vuoi una precisione migiore puoi aumentare i numero di iterazioni copiando e cee fino a'iterazione desiderata. I vaori dee coonne B e C rappresentano e successioni dei vaori approssimati per difetto e per eccesso dea souzione cercata; 'approssimazione migiora a crescere de numero di iterazioni. La tabea che segue riguarda a souzione che appartiene a'intervao 1, 0. Puoi trovare da soo a seconda souzione che appartiene a'intervao 1, e a terza souzione che appartiene a'intervao, 3. A B C D E F G H 1 iterazione a b m f(a) f(b) f(m) ampiezza 1-1, , , , ,000000, , , , , ,000000, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8797-0, , , , , ,8797-0, , , , , , , , , , , , Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

18 II esercitazione: i metodo dee corde Troviamo e radici approssimate de'equazione e x 1 x ˆ 0 che abbiamo giaá risoto ne'esempio de paragrafo 4 con i metodo di Newton. B3: 0 (estremo sinistro de'intervao a, bš ) D3: 0,5 (estremo destro de'intervao a, bš ) Nee cee da A5 ad A0 costruisci a successione dei simboi c i (inserisci e stringhe c0 e c1 nee prime due cee, seezionae e poi trascina a seezione co mouse). I punto di partenza de metodo eá i punto b ˆ 0,5, inseriamo aora tae vaore nea cea B5. B5: =D3 (c 0 ˆ b) B6: =B5-((EXP(B5^-1)-B5)*($B$3-B5)) / ((EXP($B$3^-1)-$B$3)-(EXP(B5^-1)-B5)) (formua per i cacoo di c n ) Copia ora a formua dea cea B6 da B7 a B0. Puoi osservare che i vaori trovati dea radice, approssimati aa settima cifra decimae, si stabiizzano a partire da'eemento c 11. A B C D 1 IL METODO DELLE CORDE 3 a= 0 b= 0,5 4 5 c0 0,5 6 c1 0, c 0, c3 0, c4 0, c5 0, c6 0, c7 0, c8 0, c9 0, c10 0, c11 0, c1 0, c13 0, c14 0, c15 0, III esercitazione: i metodo dee tangenti Troviamo con questo metodo e radici approssimate dea stessa equazione. I punto di partenza eá peroá questa vota i punto a ˆ 0. Ti diamo indicazioni soo sue formue da costruire. B5: =B3 (d 0 ˆ a) B6: =B5-((EXP(B5^-1)-B5) / (*B5*EXP(B5^-1)-1)) (formua per i cacoo di d n ) Copia ora a formua dea cea B6 da B7 a B18. In questo caso i vaori approssimati trovati si stabiizzano giaá a partire da d 5. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 3

19 A B C D 1 IL METODO DELLE TANGENTI 3 a= 0 b= 0,5 4 5 d0 0 6 d1 0, d 0, d3 0, d4 0, d5 0, d6 0, d7 0, d8 0, d9 0, d10 0, d11 0, d1 0, d13 0, IV esercitazione: i metodo de punto unito Risoviamo 'equazione x ˆ e x giaá vista ne'esempio de paragrafo 5. Costruisci, nea coonna A, a partire da A4 fino ad A18, a successione dei numeri naturai da 0 a 14 che rappresentano i vaori di n. Nea coonna B costruiremo i vaori dea successione fx n g e nea coonna C i vaori di g x n. B4: 0 (vaore di x 0, punto iniziae sceto) C4: = EXP( B4) (cacoo di g x 0 ) B5: = C4 (x 1 ˆ g x 0 ) Copia ora e formue dea cea B5 da B6 a B18 e dea cea C4 da C5 a C18. Anche in questo caso puoi vedere che i vaori di g x n si stabiizzano abbastanza in fretta. A B C D 1 IL METODO DEL PUNTO UNITO 3 xi g(xi) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

20 Usiamo Wiris I comando per risovere un'equazione trovando e sue souzioni approssimate eá i seguente risovere numericamente (equazione) E' poi anche possibie scegiere i metodo di risouzione tra queo di bisezione e di Newton. Osserva i comandi eencati nea figura a termine de'esercitazione; in particoare: per fissare i numero di cifre decimai si deve usare i comando precisione (n) per stabiire i metodo o si deve indicare a'interno di una coppia di parentesi graffe mettendoo tra virgoette, precisando i punto di partenza ne caso de metodo di Newton, 'intervao ne caso de metodo di bisezione; per esempio: fmetodo = "newton",punto iniziae = 0.500g fmetodo = "bisezione",punto iniziae = {,3}g Su sito trovi... i aboratorio di informatica a scheda storica e e curiositaá e attivitaá di recupero La funzione f x ˆ x eá continua e derivabie ameno due vote (eá una paraboa) e i suo grafico eá in figura 19 di pagina seguente: poicheâ f 1 ˆ 1 e f ˆ 'equazione ammette ameno una souzione ne'intervao 1, poicheâ f 0 x ˆ x non si annua mai in tae intervao, a radice eá unica. La risposta a quesito iniziae Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 5

21 Appichiamo i metodo di Newton e generiamo a successione dei punti d i a partire da punto B,, ponendo quindi d 0 ˆ Prima iterazione: d 1 ˆ d 0 f d 0 f 0 d 0 ˆ 4 ˆ 3 ˆ 1,5! f 3 ˆ 1 4 nuovo punto sua paraboa D 1 3, 1 4 Figura 19 Seconda iterazione: d ˆ d 1 f d 1 f 0 d 1 ˆ 3! f 17 1 ˆ Terza iterazione: d 3 ˆ d f d f 0 d ˆ ˆ 17 1 ˆ 1, nuovo punto sua paraboa D 1, ˆ ˆ 1, p con sei cifre GiaÁ aa terza iterazione abbiamo ottenuto un vaore di esatte (cioeá fino aa quinta cifra decimae). Per arrivare aa stessa precisione con i metodo dee corde eá necessario eseguire un numero decisamente maggiore di iterazioni; prova ad appicare questo metodo per rendertene conto. 6 Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

22 I concetti e e regoe Condizioni di esistenza dee radici di un'equazione Se f x eá una funzione continua in un intervao a, bš esef a f b < 0, 'equazione f x ˆ 0 ammette ameno una souzione reae in a, b. Se invece f a f b > 0 non si puoá dire che non ci sono souzioni, ma a oro esistenza non eá piuá certa. UnicitaÁ dee radici Si dice che si separano e radici di un'equazione quando si individua un intervao che contiene una soa souzione reae. Per essere sicuri che in a, b 'equazione f x ˆ 0 abbia una soa souzione, si possono usare due metodi; supposto che f x sia una funzione continua in a, bš e che f a f b < 0, aora a souzione eá unica se: f x eá derivabie in a, b e f 0 x non si annua mai in tae intervao f x eá derivabie due vote in a, b e f 00 x eá sempre positiva o sempre negativa in tae intervao. I metodi di risouzione approssimata Una vota accertato che in a, b 'equazione f x ˆ 0 ammette una soa souzione reae r, per trovare un suo vaore approssimato si possono seguire diversi metodi. Metodo di bisezione a b si divide a, b in due parti uguai considerando i punto medio a b si cacoa f a b se f a f < 0, aora a souzione r appartiene a'intervao a, a b, atrimenti appartiene a'intervao a b, b Si ripete i procedimento su nuovo intervao fino ad ottenere a precisione desiderata. Metodo dee corde Questo metodo si puoá usare se a funzione f x eá derivabie due vote in a, b ; in questo caso, si presentano due possibii situazioni: f 00 x e f a hanno segni opposti per ogni x a, b a souzione r eá i vaore a cui converge a successione 8 c 0 ˆ a >< c n ˆ c n 1 f c n 1 b c n 1 >: f b f c n 1 f 00 x e f a hanno o stesso segno per ogni x a, b a souzione r eá i vaore a cui converge a successione 8 >< c 0 ˆ b c n ˆ c n 1 f c n 1 a c n 1 >: f a f c n 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 7

23 Metodo dee tangenti o metodo di Newton Anche questo metodo si puoá usare se a funzione f x eá derivabie due vote in a, b e si presentano due possibii situazioni: f 00 x e f a hanno segni opposti per ogni x a, b a souzione r eá i vaore a cui converge a successione 8 >< d 0 ˆ b d n ˆ d n 1 f d n 1 >: f 0 d n 1 f 00 x e f a hanno o stesso segno per ogni x a, b a souzione r eá i vaore a cui converge a successione 8 >< d 0 ˆ a d n ˆ d n 1 f d n 1 >: f 0 d n 1 Metodo de punto unito Riscritta 'equazione nea forma g x ˆ x e sceto un quasiasi numero x 0 in a, b, si costruisce a successione definita induttivamente daa reazione x n ˆ g x n 1 La successione fx n g cosõá definita converge aa radice r per quasiasi sceta de vaore iniziae x 0 se g 0 x < 1in a, bš: 8 Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

24 ESERCIZI CAPITOLO Gi zeri di una funzione: probemi di approssimazione LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI: ESISTENZA E UNICITA' DELLE RADICI a teoria eá a pag. 10 RICORDA n L'equazione f x ˆ0 ammette una soa souzione in un intervao a, b se: f x eá continua in a, bš e derivabie a suo interno f a f b < 0, cioeá a funzione assume vaori di segno opposto agi estremi de'intervao f 0 x non si annua mai in a, b oppure, se a funzione f eá derivabie due vote, f 00 x eá sempre positiva o sempre negativa in a, b. Comprensione 1 Spiega da che cosa sono rappresentate, da punto di vista grafico, e souzioni di un'equazione nea forma f x ˆ 0 oppure g x ˆ h x. Che cosa vuo dire separare e radici di un'equazione? 3 Dopo aver enunciato i teorema degi zeri, stabiisci se sono vere o fase e seguenti proposizioni. a. Se una funzione f x eá continua in un intervao a, bš esef a f b > 0, f non puoá ammettere mai zeri in a, b. V b. Se una funzione f x eá continua in un intervao a, bš esef a f b < 0, f ammette ameno uno zero in a, b. V c. Se una funzione f x non eá continua in un intervao a, bš ed eá f a f b < 0, f ammette comunque uno zero in a, b. V d. Se una funzione f x eá continua in un intervao a, bš, sef a f b > 0ese f ha uno zero in a, b, aora ne ha sicuramente ameno un atro. V e. Se una funzione f x eá continua in un intervao a, bš e f a f b < 0 aora f ammette un soo zero in a, b. V F F F F F 4 Data 'equazione x 4 3x 1 ˆ 0 in base a teorema degi zeri, si puoá dire che: a. ammette ameno una radice ne'intervao 0, 1 b. ammette ameno una radice ne'intervao 1, 0 c. non si puoá dire se ammette radici ne'intervao, 3 d. ammette ameno una radice ne'intervao 1, e. ammette una soa radice ne'intervao 1,. V V V V V F F F F F Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 333

25 5 In base ai teoremi di esistenza e unicitaá, de'equazione n x x ˆ 0 si puoá dire che: 1 a. ammette una soa souzione ne'intervao,1 b. non ha sicuramente souzioni ne'intervao 1, c. non ha souzioni d. ha ameno una souzione. V V V V F F F F Appicazione Stabiisci se e seguenti equazioni ammettono souzione negi intervai indicati e se questa eáunica. 6 ESERCIZIO GUIDA x 3 x 1 ˆ 0 in, 1 in 0, Posto f x ˆx 3 x 1 si ha che: f x eá continua sia in, 1Š che in 0, Š e derivabie a oro interno 7 f ˆ, f 1 ˆ3 cioeá f f 1 < 0 f 0 ˆ1, f ˆ9 cioeá f 0 f > 0 r r f 0 x ˆ3x e si annua per x ˆ. La souzione non appartiene ad acuno degi r 3 3 intervai dati, mentre 0,. 3 In base a quanto emerso possiamo quindi concudere che: vi eá una soa souzione ne'intervao, 1 non eá possibie stabiire se in 0, vi sono souzioni. 7 x 4 x 1 ˆ 0 in, 0 in 1, 8 x 6 x ˆ 0 in 0, 1 in 1, 9 x 3 5x 4 ˆ 0 in 3, in 0, 10 1 x5 3 4 x 1 ˆ 0 in 0, 1 in 1, 11 x 4 x 1 ˆ 0 in, 0 in 1, x5 5 3 x3 4x ˆ 0 in 3, 0 in, 1 13 n 3x 1 x ˆ 0 in 0, 1 in 1, 14 e x x 1 ˆ0 in 0, 1 in 1, 0 15 n x 1 3x x ˆ 0 in 1, in 3, Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

26 Separa e radici dee seguenti equazioni. 16 ESERCIZIO GUIDA x 3 x 1 ˆ 0 Scriviamo 'equazione nea forma x 3 ˆ x 1 e consideriamo e funzioni p x ˆx 3 e q x ˆ x 1 Da oro grafico risuta che vi eá una intersezione ne'intervao 1, 0 ; verifichiamoo. Posto f x ˆx 3 x 1 si ha che: f x eá continua in 1, 0Š e derivabie a suo interno f 1 ˆ 1, f 0 ˆ1 quindi f 0 f 1 < 0 f 0 x ˆ3x 1 e non si annua mai in 1, 0 Possiamo quindi concudere che 'equazione data ammette una soa souzione ne'intervao 1, x 3 x x ˆ 0 r 1, Š 18 x 5 x ˆ 0 r, 1 Š 19 x 6 x 3 ˆ 0 r 1, 1 ; r 1, Š 0 x 4 x 3 ˆ 0 r 1, 1 ; r 1, Š 1 n x x ˆ 0 r 0, 1 Š x 4 4x 1 ˆ 0 r 1 1, 0 ; r 1, Š 3 3x x 3 4 ˆ 0 r 3, 4 Š 4 sin x x 1 ˆ 0 r 1, 0 Š 5 3x 5x cos x ˆ 0 r 1, 1 ; r 1,0 6 x n x ˆ 0 r 0, 1 Š 7 e x x ˆ 0 r 1, 0 Š 8 e x x 4 3 ˆ 0 r 1, 1 ; r 0, 1 Š 9 e x x 3 ˆ 0 r 1, 0 Š 30 3x 5 4x 3 3x 1 ˆ 0 r 1, 1 ; r 0, 1 ; r 3 1, Š IL METODO DI BISEZIONE a teoria eá a pag. 14 Comprensione 31 Spiega in che cosa consiste i metodo di bisezione e descrivi 'agoritmo che si deve seguire per determinare e souzioni approssimate di un'equazione con questo metodo. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 335

27 3 L'equazione x 4 x n x ha una soa souzione r ne'intervao 1,. Dopo aver verificato a veritaá di questa proposizione, in base a metodo di bisezione si puoá dire che: a. r 1, 3 V F b. r 3, V F c. r 5 4, 3 V F d. r 3, 7 4 V F Appicazione Dopo aver verificato 'esistenza e 'unicitaádea radice dee seguenti equazioni ne'intervao indicato, determina un suo vaore approssimato con due cifre decimai esatte appicando i metodo di bisezione (per cacoare i vaori assunti daa funzione f puoi serviti di una cacoatrice tascabie o anche di Exce). 33 ESERCIZIO GUIDA x 4 x 3 1 ˆ 0 in 1,1 Verifichiamo 'esistenza e 'unicitaá dea radice: f 0 x ˆ4x 3 3x ˆ x 4x 3 f 1 ˆ 13 16, f 1 ˆ 1; a derivata prima non si annua mai in L'equazione dunque ammette una soa souzione ne'intervao considerato. 1,1. Appichiamo ora i metodo di bisezione; posto o si ha che: m ˆ a b dove a e b sono gi estremi de'interva- 0,5 1 m ˆ ˆ 0,75 f 0,75 0,6 r 0,75; 1 0,75 1 m ˆ ˆ 0,875 f 0,875 0,5 r 0,75; 0,875 0,75 0,875 m ˆ ˆ 0,815 f 0,815 0,03 r 0,815; 0,875 0,815 0,875 m ˆ ˆ 0,84375 f 0, ,11 r 0,815; 0,84375 m ˆ 0,8815 f 0,8815 0,04 r 0,815; 0,8815 m ˆ 0,80315 f 0, ,005 r 0,815; 0,80315 m ˆ 0, f 0, ,01 r 0,816406; 0,80315 m ˆ 0, f 0, ,003 r 0, ; 0,80315 m ˆ 0, f 0, ,0007 r 0, ; 0, Un vaore approssimato dea radice con due cifre decimai eá dunque 0,81 e a terza cifra eá incerta fra 8e Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

28 p 117 x 9 x 1 ˆ 0 x 1 ˆ 0,335437; x ˆ,981188Š 118 x e x 1 4 ˆ 0 x ˆ 1,53497Š Risovi graficamente e seguenti disequazioni. 119 x 3 < n x 1 x >, con a 1,541Š x 10 x e x > 0 < x <, con 1,593Š 11 sin x 1 x 0 x _ x, con 1,196 e 0,371Š 1 x n 1 x < x 1 0 < x < _ x > 1, con 0,394Š 13 e x > n 3 x x 1 p <x < p 3 _ <x < 3, con 0,780 e, n x 3 1 x x _ x, con 1,843,,573, 8,45 Š Per a verifica dee competenze 1 Determina i coefficienti dea curva di equazione y ˆ ax 3 bx 3 sapendo che passa per i punto di p 6 coordinate 1, e che ha un minimo reativo in corrispondenza di x ˆ. Verifica che tae funzione 3 possiede un soo zero, trova un intervao a cui appartiene, quindi determina un suo vaore approssimato con tre cifre decimai esatte appicando uno dei metodi conosciuti. a ˆ 1, b ˆ ; x ˆ con, 1 ; ˆ 1,893Š Sono date a funzione f x ˆ n x e a paraboa g x ˆ x 4. Dopo aver disegnato i grafici dee due funzioni, usai per determinare e souzioni de'equazione f x ˆg x ; di tai souzioni trova un vaore approssimato con tre cifre decimai esatte appicando uno dei metodi di risouzione approssimata conosciuti. x ˆ 0,018 _ x ˆ,186Š 3 Determina i parametri a, b, c de'equazione y ˆ ax 5 bx 4 x c in modo che a curva da essa rappresentata intersechi a retta y ˆ 0 nei punti di ascissa 0 e 1 e che passi per i punto di coordinate 1, 4. Per i vaori trovati, disegna i grafico reativo e cacoa un vaore approssimato con tre cifre decimai esatte dea sua soa intersezione con 'asse dee ascisse. y ˆ x 5 x 4 x ; x ˆ 1,877Š 4 Sono date e funzioni f x ˆ e x 1 x e g x ˆ 3sin x; dopo averne evidenziato e eventuai simmetrie e aver disegnato i oro grafici ne medesimo piano cartesiano: a. verifica che esse hanno infiniti punti di intersezione; b. verifica che ne'intervao, 3 'equazione f x ˆ gx ammette una soa souzione; c. determina un vaore approssimato di tae souzione appicando uno dei metodi di approssimazione conosciuti. ˆ,94Š 5 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonai Oxy considera e inee di equazione: y ˆ x 3 x y ˆ x 1 Dimostra che esse hanno un punto di intersezione ne primo quadrante con ascissa x 0 appartenente a'intervao 0,4; 0,8. Trova x 0 con un'approssimazione di ,53Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 343

29 6 Cacoa, con a precisione di due cifre decimai, o zero dea funzione f x ˆ 3p x x3 1. Come si puoá essere certi che esiste un unico zero? 0,56Š Quesiti per a terza prova de Esame di Stato 1 Enuncia i teorema degi zeri ed esprimi e condizioni sufficienti affincheâ una funzione f x abbia un soo zero ne'intervao a, bš. La funzione f x ˆx 3x 1 assume vaori di segno opposto ne'intervao x 1, 1 4 eppure non ha zeri che e appartengono. PercheÂ? 3 Di una funzione f x si sa che f a < 0 e f b > 0; inotre essa eá concava verso 'ato in a, bš. Che cosa si puoá dire circa gi zeri di f x ne'intervao a, bš? Motiva esaurientemente a risposta. 1 Risovi e seguenti equazioni con i metodo di bisezione utiizzando Exce e poi Wiris: a. x 3 x 1 ˆ 0 b. x n x 1 ˆ0 c. x 1 x ˆ 0 Risovi e seguenti equazioni con i metodo dee corde utiizzando Exce e poi Wiris: a. x 4 3x 3 1 ˆ 0 b. x 5x 4 ˆ 0 c. n 3x 1 x ˆ 0 3 Risovi e seguenti equazioni con i metodo di Newton utiizzando Exce e poi Wiris: a. e x x ˆ 0 b. x x p 3x ˆ 0 c. x n x ˆ 0 4 Risovi e seguenti equazioni con i metodo de punto unito utiizzando Exce: a. x ˆ n x x b. x ˆ 3 x 4 c. x ˆ cos x 1 Risutati di acuni esercizi. 3 a. F; b. V; c. F; d. V; e. F 4 a. V; b. F; c. V; d. V; e. V 5 a. V; b. F; c. F; d. V 3 a. V; b. F; c. V; d. F 51 a. 5 c. 66 b. 67 d. 68 c. 344 Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

30 Testfinae di autovautazione C ONOSCENZE 1 La funzione f x ˆ x 3 4x 1 ammette tre souzioni reai; separando e radici si ottengono gi intervai: a., 3, 1, 1,, 5 b., 3, 1,0,, 5 c. 3, 1, 1, 1, 5,3 d., 3, 1,0, 5,3 6 punti Una funzione f x eá continua in un intervao a, bš e derivabie a suo interno ameno due vote. Determina i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni: a. se f a f b > 0ef 0 x eá sempre positiva in a, b, aora f x ha un soo zero in tae intervao b. se f a f b < 0ef 0 x eá sempre negativa in a, b, aora f x ha un soo zero in tae intervao c. se f a > 0ef b < 0ef 00 x eá sempre positiva in a, b, aora f x ha un soo zero in tae intervao d. se f a < 0ef b < 0ef 00 x eá sempre negativa in a, b, aora f x ha un soo zero in tae intervao. 16 punti V V V V F F F F 3 L'equazione f x ˆ 0 ammette una soa radice ne'intervao a, b e si sa che f a > 0, f b < 0ef 00 x > 0 in a, b. Se per trovare un vaore approssimato dea radice si appica i metodo dee secanti: a. i primo punto dea successione eá uguae ad a b. i primo punto dea successione eá uguae a b c. i vaore che si trova eá approssimato per difetto dea radice d. i vaore che si trova eá approssimato per eccesso dea radice. Indica quai fra e affermazioni precedenti sono vere. 16 punti 4 L'equazione f x ˆ 0 ammette una soa radice ne'intervao a, b e si sa che f a > 0, f b < 0ef 00 x < 0 in a, b. Se per trovare un vaore approssimato dea radice si appica i metodo dee tangenti: a. i primo punto dea successione eá uguae a b b. i primo punto dea successione eá uguae ad a c. i vaore che si trova eá approssimato per difetto dea radice d. i vaore che si trova eá approssimato per eccesso dea radice. Indica quai fra e affermazioni precedenti sono vere. 16 punti 5 De'equazione g x ˆ x si sa che ammette una soa souzione ne'intervao a, b. La successione fx n g che si ottiene appicando i metodo de punto unito converge se: a. g 0 x eá sempre positiva in a, b b. g 0 x eá sempre minore di 1 in a, b c. g 0 x si mantiene sempre compresa fra 1 e1in a, b d. g 0 x eá sempre maggiore di 1 in a, b. 16 punti Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 345

31 Esercizio Totae Punteggio Voto: totae 10 1 ˆ A BILITÀ 1 Dopo aver costruito i grafici dee funzioni f x utiizzando un opportuno software, separa e radici dee equazioni f x ˆ 0 nei seguenti casi: a. f x ˆ x 4 3x 1 b. f x ˆ n x x 3 18 punti Dopo aver verificato 'esistenza e 'unicitaá dea radice de'equazione x 3 x 3 ˆ 0 ne'intervao, 1, determina un suo vaore approssimato con due cifre decimai esatte appicando i metodo di bisezione. 18 punti 3 Dopo aver verificato 'esistenza e 'unicitaá dea radice de'equazione x 3 4x 1 ˆ 0 ne'intervao 1,, determina un suo vaore approssimato con quattro cifre decimai esatte appicando i metodo dee secanti. 18 punti 4 Dopo aver verificato 'esistenza e 'unicitaá dea radice de'equazione 1 x4 x 3 1 ˆ 0 ne'intervao, 3, determina un suo vaore approssimato con quattro cifre decimai esatte appicando i metodo dee tangenti. 18 punti 5 Dopo aver verificato 'esistenza e 'unicitaá dea radice de'equazione e x x ˆ 0 ne'intervao, 1, determina un suo vaore approssimato con quattro cifre decimai esatte appicando i metodo de punto unito. 18 punti Esercizio Totae Punteggio Voto: totae 10 1 ˆ 346 Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

32 Souzioni C ONOSCENZE 1 b. a. F, b. V, c. V, d. F 3 b., d. 4 a., d. 5 c. A BILITÀ 1 a. r 1, 1, r 1,0, r 3 0,1, r 4 1, x ˆ 1,89 3 x ˆ 1,670 4 x ˆ, x ˆ 1,8414 ; b. r 1 0, 1 ; r 3, Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Tema 1 - Cap. 1: GLI ZERI DI UNA FUNZIONE: PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE 347

33 Probems - Area 1 GLOSSARY bisection method critica number d.p. (decima points) iteration to negect root unreiabiity metodo di bisezione punto critico indica i numero di decimai iterazione trascurare radice (souzione di un'equazione) incertezza 1 "We describe, quoting (in transation) from Newton's De Methodis Serierum et Fuxionum, how he deas with the equation. Like any cacuation, Newton's shoud be foowed with penci in hand. Let the equation y 3 y 5 ˆ 0 be proposed for soution and et the number be found, one way or another, which differs from the required root by ess than its tenth part. I then set p ˆ y and in pace of y in the equation I substitute p. From this there arises the new equation p 3 6p 10p 1 ˆ 0 whose root p is to be sought for addition to the quotient. Specificay, (when p 3 6p is negected because of its smaness) we have 10p 1 ˆ 0 or p ˆ 0:1 narrowy approximates the truth. Accordingy, I write 0:1 in the quotient and, supposing 0:1 q ˆ p, I substitute this fictious vaue for it as before. There resuts q 3 6:3q 11:3q 0:061 ˆ 0 And since 11:3q 0:061 ˆ 0 cosey approaches the truth, in other words very neary q ˆ 0:0054". Newton puts 0:0054 r for q in q 3 6:3q 11:3q 0:061 ˆ 0, negecting the terms in r 3 and r, he concudes that r 0: His fina estimate for the root is p q r, that is, ". This is a passage from an artice on the Internet; describe the method with your words and use it to sove the equation: y 3 y 4 ˆ 0. A rai is exacty 1 mie ong exacty straight and with its endpoints fixed to the ground. Gangsters cut the rai and add exacty 1 foot of rai. The rai then forms an exact circuar arc. a. How high does the rai now rise above the ground at the maximum point? Give the deviation correct to 4 decima digits. b. Cacuate the ange subtended at the centre of the circe by the rai (1 mie = 580 feet). 3 Find an interva I ˆ a, bšfor consecutive integers a and b which contain a positive root of x 4 x 1. Prove that there is ony one root in this interva and find correct to decima paces using the Bisection 366 Tema 1: MATH IN ENGLISH Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS