ROBERTO VACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI. Geometria 3

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2 ROBERTO VACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI Geometria 3 Edizione Direzione Editoriae: Roberto Invernici Coordinamento Editoriae: Progetti di Editoria s.r.. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scavini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atas Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Iustrazioni: Bruno Doif Stampa: Vincenzo Bona - Torino Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. L'editore si impegna a mantenere invariato i contenuto di questo voume, secondo e norme vigenti. Si ringraziano e prof.sse Barbara Vanzani ed Eisabetta Zampiceni per a coaborazione editoriae. I materiae iustrativo proviene da'archivio iconografico Atas. L'editore eá a disposizione degi aventi diritto non potuti reperire. Ipresente voume eá conforme ae disposizioni ministeriai in merito ae caratteristiche tecniche e tecnoogiche dei ibri di testo. Ogni riproduzione depresente voume eá vietata. Le fotocopie per uso personae de ettore possono essere effettuate nei imiti de 15% di ciascun voume dietro pagamento aa SIAE de compenso previsto da'art. 68, commi 4 e 5, dea egge 22 aprie 1941 n Le riproduzioni effettuate per finaitaá di carattere professionae, economico o commerciae o comunque per uso diverso da queo personae possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione riasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Miano 20122, e-mai segreteria@aidro.org e sito web I peso di questo voume rientra nei imiti suggeriti da'associazione Itaiana Editori. Q 2011 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Te. (035) Fax (035)

3 Presentazione Matematica per obiettivi e competenze Questo nuovo corso di matematica eá un ibro misto che nasce da una puriennae esperienza nea scuoa, sia sotto i profio de'insegnamento che sotto queo dea ricerca e de'aggiornamento. Esso accogie tutte e esigenze didattiche ed editoriai che i nuovo scenario dea Scuoa itaiana esige da'insegnamento dea matematica, che ha assunto oggi ampie finaitaá educative e costituisce un momento importante nea formazione di ogni ragazzo. La scuoa de'autonomia e a didattica per competenze vaorizzano sempre di piuá i ruoo cuturae e formativo dea matematica, ponendoa a centro de curricuum deo studente. Oggi e nefuturo prossimo, infatti, a societaá avraá sempre piuá bisogno di cittadini che siano "competenti" sotto iprofio matematico in termini di capacitaá di matematizzare, per affrontare in modo consapevoe una societaá moto compessa e in rapido cambiamento. L'informazione disponibie, soprattutto in questi utimi anni, eá cresciuta in maniera esponenziae e i cittadini devono essere in grado di decidere come affrontare queste informazioni. In tae contesto, secondo e indicazioni ministeriai e e attese generai, un corso di matematica deve avere acune caratteristiche indispensabii: stimoare a comprensione e per questo deve essere scritto in un inguaggio chiaro, accattivante e soprattutto comprensibie per uno studente di etaá tra gi anni; far capire percheâ e competenze matematiche sono indispensabii ne'affrontare e risovere probemi de mondo reae; essere ricco di esempi, dai piuá sempici, che servono per imparare e formue e i concetti, a quei piuá compessi, nei quai e formue e i concetti "si appicano" a probemi reai; proporre un abbondante repertorio di esercizi, opportunamente graduati e non banai, che stimoino i ragionamento e a rifessione; utiizzare gi strumenti che a tecnoogia informatica mette a disposizione dea didattica: e risorse on ine ealavagna Interattiva Mutimediae; mettere in grado o studente di auto vautare a propria preparazione, di capire gi errori che commette, in modo da rendero consapevoe dee proprie abiitaá e conoscenze. Struttura de'opera In tae prospettiva, i corso Matematica per obiettivi e competenze eá un progetto didattico che favorisce e esigenze egate aa programmazione de Docente, soprattutto aa uce dee nuove disposizioni sua certificazione dee competenze. Icorso tiene inotre conto depeso e detetto di spesa, secondo e norme vigenti. Si compone di due voumi di Aritmetica, tre di Geometria, uno di Agebra e un voume di Informatica. Ai testi deprimo anno eá aegato i voume reativo ae prove Invasi che contiene 19 prove, divise per anno di corso, che possono essere svote a fine anno oppure a'inizio de'anno successivo come test d'ingresso. A queste si aggiungono i testi assegnati come prova d'esame a partire da'anno scoastico 2007/2008. Ogni voume si articoa in piuá aree ognuna dee quai eá suddivisa in capitoi. In ogni area sono espressamente dichiarate e Competenze che ciascun aunno deve padroneggiare per affrontare in modo consapevoe situazioni reai che a quest'etaá possono incontrare sia nea oro vita di studenti, sia a di fuori de'ambito scoastico; i capitoi si aprono con a formuazione dei Prerequisiti necessari per anaizzare consapevomen- 2 PRESENTAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

4 te e con successo gi argomenti contenuti e gi Obiettivi che si vogiono raggiungere, suddivisi in Conoscenze e AbiitaÁ. Ogni capitoo si apre con a rubrica "Perche studiare..." che, attraverso aneddoti e informazioni tratti daa reataá di tutti i giorni, ha o scopo di trovare un coegamento tra i contenuti de capitoo e 'esperienza personae degi aunni. EÁ in questo contesto che si cooca a rubrica Matematica e reataá, che mira a visuaizzare come i inguaggio e i concetti dea matematica si trovano nea reataá che ci circonda: sono, come diceva Gaieo "a ingua de'universo e de reae". La parte di teoria di ogni capitoo si chiude con a presenza di una scheda di ripasso che riprende i "Concetti chiave" studiati. Contenuti e impostazione didattica Nea trattazione teorica si evidenzia a presenza di numerosi Esempi svoti ed esercizi di Controo immediato che, inseriti a termine di ogni paragrafo, sono voutamente di facie comprensione e souzione. I Docente puoá presentari agi aunni subito dopo a spiegazione per 'accertamento dee conoscenze man mano acquisite. Ogni capitoo eá corredato da un vastissimo repertorio di esercizi suddivisi in reazione aa scansione dei paragrafi dea teoria e, per ciascun paragrafo, in due uteriori categorie: Esercizi di Comprensione dea teoria, spesso in forma di test a risposta mutipa, di domande a risposta chiusa o di frasi di competamento: servono per verificare e conoscenze teoriche senza e quai non eá possibie appicare i concetti studiati. Esercizi di Appicazione, inseriti dopo quei di comprensione, sotto forma di esercizi e probemi da svogere: mirano a sviuppare e capacitaá ogiche-deduttive, ad acquisire nuove abiitaá di cacoo e ad appicare e procedure piuá adatte a risovere un probema. Sono esercizi che normamente vengono svoti a casa come studio individuae. Gi esercizi sono stati suddivisi in tre ivei di difficotaá (ben riconoscibii daa grafica) e comunque graduati a'interno di ciascun iveo. Ao scopo di faciitare i processo di apprendimento sono presenti numerosi Esercizi guida, che permettono agi aunni di acquisire e principai tecniche risoutive e sono finaizzati aa comprensione e aa risouzione dee diverse probematiche presenti. A'interno di questa sezione, per ciascun capitoo, eá sempre stato inserito un esercizio di Matematica appicata ae scienze, che mira a favorire i processi di matematizzazione dea reataá che ci circonda. Ogni capitoo si concude con a proposta di una serie di: Esercizi sue Competenze di base: sono esercizi che tendono a verificare e competenze di riproduzione (secondo a terminoogia OCSE-PISA), che prevedono 'esecuzione di procedure di routine, 'appicazione di agoritmi standard e di abiitaá di cacoo e a manipoazione di espressioni e formue. Test Invasi: sono esercizi seezionati dae prove Invasi somministrate negi anni precedenti a'anno scoastico 2007/2008. Possono essere utiizzati per verificare i iveo di preparazione raggiunto dagi aunni in vista dea prova Invasi di fine cico dea scuoa secondaria di primo grado che sta assumendo sempre piuá importanza ai fini dea vautazione finae. Esercizi di Autovautazione suddivisi in due ivei: Verifica dee conoscenze e Verifica dee abiitaá. Tai esercizi possono essere utiizzati dao studente per testare i proprio iveo di apprendimento e diventano un vaido strumento per a preparazione dee prove di verifica. AttivitaÁ di Recupero, sono esercizi che servono per puntuaizzare e chiarire e nozioni minime di base che devono essere possedute da tutti gi aunni, anche quei che presentano maggiori difficotaá ne'apprendimento dei contenuti. A concusione de'attivitaá di recupero eá poi presente una scheda di Vautazione de recupero per 'accertamento dee conoscenze e dee abiitaá. AttivitaÁ di Consoidamento, sono esercizi voti a consoidare e conoscenze in precedenza acquisite e, suddivisi per iveo di difficotaá, rappresentano un utie banco di prova per verificare a propria preparazione. AttivitaÁ di Potenziamento, sono esercizi destinati agi studenti piuá capaci che vogiono mettersi aa prova con esercizi piuá compessi e con proposte piuá creative. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS PRESENTAZIONE 3

5 Gare di matematica, sono esercizi assegnati nee varie competizioni nazionai ed internazionai di matematica e, suddivisi in reazione ae scansioni dei contenuti dei testi, rappresentano un vaido strumento per a vaorizzazione dee ecceenze. A termine di ogni area sono stati inseriti esercizi proposti nei testi di vautazione eaborati da'ocse (Organizzazione per a cooperazione e o sviuppo economico) a'interno de progetto PISA (Programme for Internationa Student Assessment), che intende vautare i iveo di competenze matematiche in piuá di 60 Nazioni. Gi esercizi proposti richiedono a capacitaá deo studente di pianificare strategie di souzione e di appicare in ambiti matematici piuá compessi e meno famiiari. Tai esercizi possono essere un vaido aiuto per a verifica dee competenze di Connessione edirifessione. Ogni area si chiude con a rubrica Math in Engish con esercizi di matematica in ingua ingese. Informatica per a matematica Aa uce dee moderne tecniche d'insegnamento, un corso di matematica non puoá fare a meno dea presenza paraea, teorica ed appicativa de'informatica. Per questo i corso si competa con un voume di informatica che tratta in modo competo ed articoato software quai Geogebra, Derive e OpenOffice-Cac, che appicati ai capitoi di geometria e aritmetica, portano progressivamente gi aunni ad integrare e competare i processi di apprendimento. A'interno dee esercitazioni con OpenOffice-Cac eá inotre prevista una parte dedicata a inguaggio di programmazione Visua Basic, che consente di creare sempici procedure software ed agoritmi di cacoo, daa fase di scrittura detesto sorgente (editing) fino a'esecuzione de programma. Un'opera mista: Matematica on ine e ibro LIM In piena aderenza con e disposizioni ministeriai, Matematica per obiettivi e competenze eá un'opera mista in quanto propone partendo da sito moti materiai on ine ad integrazione e competamento dei voumi a stampa. In particoare, per ogni capitoo sono disponibii in rete: uteriori esercizi suddivisi per conoscenze e abiitaá; questi utimi sono a oro vota suddivisi per iveo di difficotaá; verifica interattiva dei contenuti per ciascun capitoo; uteriori schede storiche sui principai protagonisti dea storia dea Matematica e su acuni temi affascinanti e interessanti. Non mancheranno, inotre, curiositaá e aneddoti che servono a rendere piuá accattivante 'approccio a sapere matematico; simuazione di atre prove Invasi per iterzo anno; esercitazioni di Informatica con Cabri GeÂomeÁtre. Tutti questi materiai on ine saranno via via aggiornati e potenziati in modo continuativo. Otre ai materiai on ine eá disponibie a versione sfogiabie con a Lavagna Interattiva Mutimediae dei voumi base, con e funzioni di ingrandimento di figure e definizioni, di scrittura e canceazione. Per i Docente sono disponibii anche e animazioni in Power Point che iustrano e principai definizioni, proprietaá e regoe, percheâ i Docente e possa utiizzare durante e ezioni. I testi dei Giochi Matematici che compaiono aa fine di ogni capitoo sotto a rubrica "Gare di Matematica" sono stati gentimente forniti da Centro Pristem-Eeusi de'universitaá Bocconi di Miano e si riferiscono ae competizioni matematiche organizzate dao stesso Centro. 4 PRESENTAZIONE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

6 Indice generae AREA 1: Lo spazio e e figure (circonferenza e cerchio) AREA 2: Lo spazio e e figure (e tre dimensioni) 1. La misura dea circonferenza e de cerchio 1. La unghezza dea circonferenza 10 å Approfondimenti I raggio dea Terra La misura di un arco di circonferenza L'area decerchio L'area dea corona circoare L'area desettore circoare L'area desegmento circoare 18 å Concetti Chiave 20 Esercizi 21 Esercizi sue competenze di base 42 Esercizi INVALSI 43 Verifica dee conoscenze 44 Verifica dee abiitaá 45 AttivitaÁdi recupero 46 Scheda di vautazione de recupero 49 AttivitaÁdi consoidamento 50 AttivitaÁdi potenziamento 51 Gare di matematica 53 Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento ESERCIZI OCSE PISA - AREA 1 Competenze di iveo avanzato 54 Math in Engish 56 Materiai on ine Laboratorio: attivitaá sue competenze 1. La geometria neo spazio 1. Punti, inee e piani neo spazio Le posizioni reciproche di rette e piani neo spazio Gi angoi neo spazio: i diedri Gi angooidi 64 å Concetti Chiave 66 Esercizi 67 Esercizi sue competenze di base 78 Verifica dee conoscenze 80 Verifica dee abiitaá 81 AttivitaÁdi recupero 82 Scheda di vautazione de recupero 84 AttivitaÁdi consoidamento 85 AttivitaÁdi potenziamento I poiedri Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento 1. I poiedri La reazione di Euero Lo sviuppo di un poiedro su un piano I prismi La superficie aterae e totae dei prismi retti Prismi particoari I paraeepipedo Icubo La piramide La superficie dea piramide 100 å Approfondimenti Itronco di piramide 103 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS INDICE 5

7 5. I poiedri regoari La superficie dei poiedri regoari 105 å Matematica e scienza Soidi patonici, microcosmo e macrocosmo Soidi equivaenti 107 å Matematica e scienza I riconoscimento de'equivaenza dei soidi I voume dei poiedri I voume de paraeepipedo rettangoo Ivoume deprisma retto Ivoume decubo 111 å Approfondimenti La radice cubica I voume dea piramide 113 å Approfondimenti Ivoume detronco di piramide I voume dei poiedri regoari Ipeso specifico 116 å Concetti Chiave 117 Esercizi 118 Esercizi sue competenze di base 157 Esercizi INVALSI 159 Verifica dee conoscenze 161 Verifica dee abiitaá 162 AttivitaÁdi recupero 163 Scheda di vautazione de recupero 168 AttivitaÁdi consoidamento 169 AttivitaÁdi potenziamento 171 Gare di matematica 176 Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento 3. I soidi di rotazione 1. I soidi a superficie curva Iciindro L'area dee superfici de ciindro I voume de ciindro Icono L'area dee superfici de cono Ivoume decono 185 å Approfondimenti Itronco di cono La sfera Le posizioni reciproche di un piano e una sfera L'area dea superficie sferica I voume dea sfera 190 å Approfondimenti Le parti dea sfera e dea superficie sferica Atri soidi di rotazione 192 å Concetti Chiave 196 Esercizi 197 Esercizi sue competenze di base 228 Esercizi INVALSI 229 Verifica dee conoscenze 230 Verifica dee abiitaá 231 AttivitaÁdi recupero 232 Scheda di vautazione de recupero 237 AttivitaÁdi consoidamento 238 AttivitaÁdi potenziamento 240 Gare di matematica 243 ESERCIZI OCSE PISA - AREA 2 Competenze di iveo avanzato 244 Math in Engish 246 å Souzioni prove Invasi 247 å Souzioni schede di verifica 247 å Materiai on ine Esercizi di conoscenza Esercizi di abiitaá Verifica interattiva Scheda di approfondimento Materiai on ine Laboratorio: attivitaá sue competenze Souzioni schede di vautazione derecupero 249 å Souzioni gare di matematica 250 å Tavoe numeriche 251 å Formuario geometria piana 262 å Formuario geometria soida 263 å Gossario INDICE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

8 Area1 Lo spazio e e figure (circonferenza e cerchio) Competenze n Dato un probema di natura diversa: tradurre a situazione in inguaggio matematico costruire un modeo verificare a souzione Capitoi La misura dea circonferenza e decerchio Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO Obiettivi Prerequisiti 3 Conoscere e proprietaá dee quattro operazioni fondamentai ed operare con esse 3 Conoscere gi enti fondamentai dea geometria piana e e oro proprietaá 3 Conoscere gi eementi e e proprietaá dei poigoni 3 Conoscere gi eementi e e proprietaá dea circonferenza e de cerchio CONOSCENZE 3 La unghezza dea circonferenza e dee sue parti 3 L'area de cerchio e dee sue parti ABILITA Á 3 Cacoare a unghezza di una circonferenza e dee sue parti 3 Cacoare 'area de cerchio e dee sue parti La misura dea circonferenza di un tronco permette agi scienziati di cacoare 'etaá dea pianta senza necessariamente tagiara; 'evouzione dea pianta si cacoa sua quantitaá di cerchi concentrici de fusto. PercheÂstudiare a misura dea circonferenza e de cerchio Prima di iniziare o studio dea geometria di quest'anno vogiamo proporti un sempice probema che potrai risovere grazie proprio ai contenuti e ae abiitaá che imparerai in questo capitoo. I probema eá i seguente: facciamo passare attorno aa Terra una cintura che abbia a stessa unghezza de'equatore e,una vota che abbia aderito perfettamente a suoo in ogni suo punto,immaginiamo di aungara di un metro; naturamente a cintura,non aderendo piuá perfettamente a suoo,si aenteraá e saraá possibie staccara daa superficie; supponendo di riuscire a tendere uniformemente a cintura,quanto questa risuteraá distante daa superficie terrestre? Approssimando i raggio terrestre a m,moto probabimente potremmo pensare che un metro di corda in piuá ungo tutta a circonferenza equatoriae sposti di poco a distanza che saraá tamente minima da risutare impercettibie. Conoscendo a formua con cui si cacoa a unghezza di una circonferenza,nota a misura de suo raggio,eá facie poter risovere con esattezza i probema. 8 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

10 1 I moderni paazzetti deo sport, cosõá come gi antichi anfiteatri romani, presentano spesso una pianta circoare in modo da ottimizzare a visione di tutti gi spettatori. I meteor-crater in Arizona (USA) si eá originato circa anni fa da'impatto di un piccoo meteorite (25-30 metri) su suoo terrestre. Come tutti i crateri meteoritici ha forma circoare; i suo diametro eá circa 1200 metri ed eá profondo 170 metri. In questo capitoo impareremo a conoscere ed appicare tai formue e,a termine de primo paragrafo,saremo in grado di risovere i probema: a distanza dea cintura daa superficie terrestre eá di circa 16 cm. Per quanto questo risutato sembri piuttosto irreae scopriremo anche che tae vaore eá indipendente daa misura de raggio e vae per quasiasi oggetto che ha come contorno una circonferenza; detto in atri termini a cintura,quando viene aungata di 1 metro,si stacca sempre di 16 cm da'oggetto sferico e non ha acuna importanza utiizzare una paina da ping pong,un paone da basket o i pianeta Terra. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 9

11 1 La unghezza dea circonferenza Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 21 Nevoume di Geometria 1 ci siamo occupati di misura affermando che: DEFINIZIONE. Per misurare una grandezza bisogna scegiere un'unitaá di misura e stabiire quante vote quest'utima eá contenuta nea prima. Se voessimo appicare questa procedura anche ne cacoo dea unghezza di una circonferenza dovremmo stabiire quante vote una misura ineare, ad esempio icm, eá contenuta in una circonferenza. Bisogna anche tener presente che confrontare icm, che eá rappresentato da un segmento, con una circonferenza, che eá una inea curva chiusa, risuta praticamente impossibie. Ne caso dea unghezza di una circonferenza non possiamo quindi svogere un simie confronto in modo diretto. Occorre prima "rettificare" a circonferenza in modo che si possa poi confrontare con 'unitaá di misura dee grandezze ineari. A questo proposito consideriamo un oggetto icui contorno esterno sia una circonferenza, ad esempio un rotoo di scotch. Per misurare a unghezza desuo bordo esterno possiamo segnare a posizione iniziae con un pennareo, srotoaro fino a compiere un giro competo e distendere i nastro ungo i margine di un righeo; i segmento ottenuto eá denominato circonferenza rettificata (figura 1). In base a tae osservazione, possiamo enunciare a seguente: Figura 1 DEFINIZIONE. La circonferenza rettificata eá isegmento che ha a stessa unghezza dea circonferenza data. Ci domandiamo adesso se eá possibie trovare una reazione che ci permetta di cacoare a unghezza dea circonferenza senza dover ricorrere aa misura indiretta fornita daa circonferenza rettificata. Per rispondere a questa domanda consideriamo tre circonferenze C 1, C 2 e C 3 aventi diametri rispettivamente d 1, d 2 e d 3 e provvediamo a rettificare (figura 2). Figura 2 10 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

12 Come possiamo notare, ogni diametro eá contenuto nea rispettiva circonferenza tre vote piuá una certa quantitaá. Cacoando infatti i tre rapporti, otteniamo: C 1 ˆ 11 d 1 3,5 ˆ 3,1428; C 2 ˆ 7,2 d 2 2,3 ˆ 3,130; C 3 ˆ 5,6 d 3 1,8 ˆ 3,111. Operando con imassimo grado di precisione scopriamo che dividendo e unghezze dee circonferenze rettificate per quee dei oro diametri otteniamo un vaore costante. In base a quanto detto possiamo definire i seguente: TEOREMA. I rapporto fra a unghezza di una circonferenza e a misura de suo diametro eá costante. Indicando tae costante con a ettera de'afabeto greco (si egge «pi greco»), avremo dunque: C d ˆ p Tae rapporto eá un numero irrazionae cioeá un numero decimae iimitato non periodico. Isuo vaore eá noto fin da'antichitaá: Come risuta dagi esempi seguenti, utiizzare in forma etterae puoá rendere i cacoi piuá veoci. ˆ 3, ::: Ne 2010 un gruppo di matematici ha cacoato, mediante 'uso di un computer, 5000 miiardi di cifre decimai dopo a parte intera. Per i nostri scopi, utiizzeremo nei cacoi un vaore di approssimato ai centesimi, cioeá 3,14. Tornando a nostro probema iniziae siamo dunque riusciti a trovare una formua per cacoare a misura dea circonferenza. Da precedente teorema deduciamo infatti che: REGOLA. La unghezza di una circonferenza si ottiene da prodotto dea misura desuo diametro per. In simboi abbiamo dunque: C ˆ d e d ˆ C Poiche sappiamo che idiametro eá idoppio deraggio (r), ovvero che d ˆ 2 r, possiamo anche scrivere: C ˆ 2 r e quindi r ˆ C 2 i inguaggio dea Nee formue reative a cacoo dea unghezza di una circonferenza tavota viene omesso i simboo di motipicazione 2 r ˆ 2r E Á un modo abbreviato di scrivere che incontreremo spesso in Agebra. matematica ESEMPI 1 Cacoa a unghezza dea circonferenza avente a misura de raggio di 22 cm. Appichiamo a formua diretta C ˆ 2 r ˆ 2 22 cm ˆ 44 cm 138,16 cm. Nota: eá indifferente esprimere i risutato nea forma 44 cm oppure 138,16 cm. 2 Cacoa a misura de raggio di una circonferenza unga 72 cm. Appichiamo a formua inversa r ˆ C 2 ˆ 72 cm ˆ 36 cm. 2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 11

13 Approfondimenti I raggio dea Terra Nea rubrica iniziae di questo capitoo abbiamo parato di Equatore, cinture e metri. Con e formue appena studiate e sapendo che i raggio equatoriae dea Terra eá di m (secondo a misurazione internazionae di Hayford), siamo ora in grado di rispondere aa domanda che ci eravamo posti (figura 3). Con a formua C ˆ 2 r cacoiamo a misura dea circonferenza equatoriae C ˆ 2 r ˆ 2 3, m ˆ ,64 m A questo risutato aggiungiamo un metro ,64 1 m ˆ ,64 m Mediante a formua inversa cacoiamo i nuovo raggio dea circonferenza r 1 ˆ C : 2 ˆ ,64 : 2 3,14 Š m ˆ ,64 : 6,28 m ,159 m Per cacoare a distanza daa superficie dea corda basta quindi eseguire a differenza fra i due raggi: o ro o o d ˆ r 1 r ˆ , m ˆ 0,159 m ( 16 cm) 1 Inumero rappresenta: a. i rapporto fra a unghezza di una circonferenza e a misura de suo raggio; b. i rapporto fra a unghezza di una circonferenza e a misura de suo diametro; c. i prodotto fra a unghezza di una circonferenza e a misura de suo diametro. Figura 3 Come giaá accennato, 'aspetto piuá sorprendente deprobema eá che se si considera invece depianeta Terra una paina da ping pong, da diametro di 38 mm, un paone da basket o un quaunque oggetto sferico irisutato non cambia, cioeá a distanza dea cintura, aumentata di 1 metro, da bordo dea circonferenza eá sempre di circa 16 cm. Provare per credere! 2 Cacoa a unghezza di una circonferenza i cui raggio misura 13,5 dm. Appicando a formua diretta ottieniamo C ˆ 2 ::::: r ˆ 2 ::::: ::::: dm ˆ 27 ::::::: dm oppure, motipicando per i vaore di : C ˆ 27 ::::: dm ˆ 84,78 :::::::: 2 La misura di un arco di circonferenza Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 26 Sappiamo che ad ogni arco di circonferenza corrisponde un angoo a centro e viceversa. Suddividiamo una circonferenza in quattro parti congruenti mediante due rette perpendicoari ottenendo cosõái due diametri AC e BD (figura 4) e immaginiamo che un punto P si muova su di essa, a partire dapunto A, secondo i verso indicato daa freccia. n Quando P arriva in B ha percorso 'arco AB, che corrisponde a 1 di circonferenza, e 'angoo AOB d eá ampio 90 4 ; Figura 4 n quando P arriva in C ha percorso 'arco AC, 1 di circonferenza, e 'angoo 2 AOC d eá ampio 180 ; 12 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

14 CONCETTI 1 CHIAVE Misura de'arco di circonferenza eá data daa formua: ` ˆ r 360 La unghezza dea circonferenza si cacoa motipicando a misura de diametro per inumero fisso : C ˆ 2r L'area de cerchio si cacoa motipicando i quadrato dea misura de raggio per : A C ˆ r 2 Area de settore circoare Area dea corona circoare Area de segmento circoare 1ë modo 2ë modo minore di un semicerchio maggiore di un semicerchio eá uguae a'area decerchio corrispondente divisa per 360 e motipicata per 'ampiezza desettore, espressa in gradi: A s ˆ r eá uguae a semiprodotto dea misura de'arco che o imita per quea de raggio dea circonferenza: A s ˆ ` r 2 eá uguae a prodotto di per a differenza dei quadrati dee misure dei raggi dei cerchi che a definiscono: A ˆ R 2 r 2 eá uguae aa differenza de'area de settore circoare A s, che insiste suo stesso arco di circonferenza, con 'area de triangoo isoscee formato dai due raggi e daa corda che o imita: eá uguae aa somma de'area de settore circoare A s, che insiste suo stesso arco di circonferenza, con 'area de triangoo isoscee formato dai due raggi e daa corda che o imita: A sg ˆ A s A triangoo A sg ˆ A s A triangoo 20 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO 1 Esercizi 1 La unghezza dea circonferenza teoria pag. 10 richiami dea teoria n La circonferenza rettificata eá i segmento che ha a stessa unghezza dea circonferenza data; n i rapporto fra a unghezza di una circonferenza e a misura de suo diametro eá costante; tae rapporto si indica con che eá un numero irrazionae e vae 3, (nei cacoi si usa i vaore approssimato di 3,14); n a unghezza di una circonferenza si ottiene da prodotto dea misura de suo diametro per : formua diretta: C ˆ 2 r; formua inversa: r ˆ C 2. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Rettificare una circonferenza significa: a. adagiare un righeo su di essa; b. fara attraversare da una retta; c. avvogera con una cordicea e distendera ungo i margine di un righeo. 2 Inumero si ottiene darapporto fra: a. a unghezza di una circonferenza e quea de suo raggio; b. a unghezza di una circonferenza e quea de suo diametro; c. a misura de diametro e a unghezza di una circonferenza; d. a misura de raggio e a unghezza di una circonferenza. 3 Che tipo di numero eá? a. Irrazionae; b. razionae; c. naturae. 4 Inumero approssimato per difetto ai centesimi eá: a. 3,142; b. 3,15; c. 3,14. 5 La formua per i cacoo dea misura de raggio di una circonferenza eá: a. r ˆ C : 2 ; b. r ˆ C 2 ; c. r ˆ C : ; d. r ˆ C : 2. APPLICAZIONE 6 Disegna due circonferenze con i raggi unghi rispettivamente 1,5 cm e 3 cm. Prova a misurare con un fio e due circonferenze. Che cosa noti? Possiamo dire che se in una circonferenza aumenta a misura de raggio, aumenta anche a unghezza dea circonferenza? In che modo? Come sono egate fra oro e due grandezze (unghezza dea circonferenza e raggio)? 7 Scegi tre oggetti di uso comune, di diversa grandezza e a contorno circoare; in ogni oggetto misura a unghezza dea circonferenza e de diametro e cacoa i oro rapporto. Che cosa noti? Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 21

16 8 Esercizio guida Una circonferenza ha a misura de diametro di 24 cm. Cacoa a unghezza dea circonferenza. Dato d ˆ 24 cm Incognita C Cacoiamo a unghezza dea circonferenza appicando a formua reativa: C ˆ d ˆ ::::: 3,14 cm ˆ ::::::::::::::: cm. 9 Competa a seguente tabea (con C, d e C : d si intendono rispettivamente e misure dea circonferenza, de diametro e deoro rapporto): C (in cm) 47,10 65,94 100,48 125,60 d (in cm) C : d 3,14 3,14 3,14 Competa a seguente tabea (con r, d e C si intendono rispettivamente e misure de raggio, de diametro e dea circonferenza). 10 r d C 6cm 10 cm 8,5 cm 12,5 cm 12,4 cm 11 r d C 4cm 18 cm 28 cm 32,8 cm 18,4 cm 12 r d C 56,52 cm 100,48 cm 157 cm 207,24 cm 278,832 cm 13 r d C 16,5 cm 2,45 cm 44 cm 1,6 cm 155,744 cm 22 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 14 r 36 cm 95 cm d 40 cm 66 cm C 20 cm 168 cm 15 Cacoa a unghezza di una circonferenza che ha i raggio che misura 41 cm. 82 cm ˆ 257,48 cmš 16 Cacoa a unghezza di una circonferenza i cui diametro misura 12,4 m. 12,4 m ˆ 38,936 mš 17 I raggio di una circonferenza misura 2,5 cm, cacoa a unghezza dea circonferenza. 5 cm ˆ 15,70 cmš 18 Una circonferenza eá unga 50,24 cm; cacoa a misura de suo raggio. [8 cm] 19 Una circonferenza eá unga 14 cm; cacoa a misura de suo raggio. [7 cm] 20 Una circonferenza eá unga 226,08 dm; cacoa a misura de diametro. [72 dm] 21 Una circonferenza eá unga 36 dam; cacoa a misura de suo diametro. [36 dam] 22 Cacoa a unghezza di una circonferenza i cui raggio misura a metaá di queo di un'atra circonferenza i cui diametro eá ungo 20 cm. [10 cm ˆ 31,4 cm] 23 Una circonferenza ha a misura de diametro di 24 dm. Cacoa a unghezza di un'atra circonferenza i cui diametro eá a metaá de diametro dea prima circonferenza. [12 cm ˆ 37,68 dm] 24 Cacoa a unghezza di una circonferenza i cui raggio eá a metaá di queo di un'atra circonferenza i cui diametro eá ungo 40 cm. [20 cm ˆ 62,8 cm] 25 La ruota di una bicicetta dopo 100 giri percorre 226,08 m; cacoa a misura de raggio dea ruota. [36 cm] 26 Cacoa a unghezza di una circonferenza sapendo che i suo raggio eá congruente a ato di un triangoo equiatero avente i perimetro di 54 cm. [113,04 cm] 27 Cacoa a unghezza di una circonferenza sapendo che i suo raggio eá congruente aato di un quadrato avente iperimetro di 96 cm. [150,72 cm] 28 Cacoa a unghezza di una circonferenza sapendo che i suo raggio eá congruente aa base di un rettangoo avente 'area di cm 2 e 'atezza unga 49 cm. [219,8 cm] 29 La somma dee misure dei raggi di due circonferenze eá 90 dm e iraggio di una di esse eá 4 de raggio de'atra; 5 cacoa e unghezze dee due circonferenze. [80 dm ˆ 251,2 dm; 100 dm ˆ 314 dm] 30 La somma e a differenza dee unghezze di due circonferenze sono rispettivamente 600 cm e 200 cm; cacoa i rapporto tra e misure dei oro raggi. [2] 31 La somma dee misure dei diametri di due circonferenze eá 180 m e idiametro di una di esse eá 2 3 dediametro de'atra; cacoa e unghezze dee due circonferenze. [72 m ˆ 226,08 m; 108 m ˆ 339,12 m] 32 La somma e a differenza dee misure dei raggi di due circonferenze sono rispettivamente 45 dm e 7 dm; cacoa e unghezze dee due circonferenze. [38 dm ˆ 119,32 dm; 52 dm ˆ 163,28 dm] 33 La somma e a differenza dee misure dei diametri di due circonferenze sono rispettivamente 98 cm e 22 cm; cacoa e unghezze dee due circonferenze. [60 cm ˆ 188,40 cm; 38 cm ˆ 119,32 cm] 34 La somma dee unghezze di due circonferenze eá 400 dam; cacoa e misure dei oro raggi sapendo che i rapporto dei oro diametri eá 3 7. (Suggerimento: ricorda che irapporto fra e misure dei raggi eá uguae a rapporto fra...) [60 dam; 140 dam] 35 Una circonferenza eá unga 75,36 cm ed una retta dista da suo centro 14 cm. Stabiisci qua eá a posizione dea retta rispetto aa circonferenza. [esterna] 36 Una circonferenza eá unga 113,04 cm ed una retta dista da suo centro 16 cm. Stabiisci qua eá a posizione dea retta rispetto aa circonferenza. [secante] Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 23

18 37 Matematica & Scienze IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME Imoto circoare eá i moto di un punto materiae ungo una circonferenza. In questo tipo di moto a veocitaá rimane costante come vaore numerico, ma varia continuamente in direzione e verso. Indicato con r i raggio dea circonferenza e con T iperiodo demoto, cioeá itempo impiegato a percorrere un giro competo, o spazio percorso in un periodo T di tempo eá dato daa formua s ˆ 2r. La veocitaá tangenziae eá costante ed eá quea posseduta da punto che si muove di moto circoare ungo a circonferenza; i suo vaore si cacoa con a formua: v ˆ s t ˆ 2r T Daa precedente formua ricaviamo e seguenti formue inverse: r ˆ Tv 2 T ˆ 2r v a. Cacoa a veocitaá di un punto che si muove di moto circoare uniforme su una circonferenza avente iraggio ungo 50 m con un periodo di 2 secondi. b. Cacoa a veocitaá di un punto che si muove di moto circoare uniforme su una circonferenza unga 3140 m con un periodo di 10 secondi. c. Cacoa i periodo de moto circoare uniforme di un punto sapendo che i raggio misura 100 m e a veocitaá eá di 4 m/s. 38 Una circonferenza eá unga 37,68 dm ed una retta dista da suo centro 60 cm. Stabiisci qua eá a posizione dea retta rispetto aa circonferenza. [tangente] 39 Due circonferenze sono unghe rispettivamente 43,96 cm e 56,52 cm e a distanza dei oro centri misura 25 cm. Stabiisci qua eá a oro posizione reciproca. [esterne] 40 Due circonferenze sono unghe rispettivamente 94,2 cm e 175,84 cm e a distanza dei oro centri misura 13 cm. Stabiisci qua eá a oro posizione reciproca. [tangenti internamente] 41 Due circonferenze sono unghe rispettivamente 144,44 cm e 194,68 cm e a distanza dei oro centri misura 54 cm. Stabiisci qua eá a oro posizione reciproca. [tangenti esternamente] 42 Due circonferenze sono unghe rispettivamente 226,08 cm e 276,32 cm e a distanza dei oro centri misura 50 cm. Stabiisci qua eá a oro posizione reciproca. [secanti] 43 Due circonferenze sono unghe rispettivamente 43,96 cm e 56,52 cm e a distanza dei oro centri misura 25 cm. Stabiisci qua eá a oro posizione reciproca. [esterne] 44 Due circonferenze misurano rispettivamente 97,34 cm e 116,18 cm e sono tangenti esternamente. Cacoa a misura dea distanza dei oro centri. [34 cm] 45 Due circonferenze misurano rispettivamente 238,64 cm e 301,44 cm e sono tangenti internamente. Cacoa a misura dea distanza dei oro centri. [10 cm] 46 La somma e a differenza dee unghezze di due circonferenze sono rispettivamente 132 cm e 8 cm. Cacoa a misura dea distanza dei oro centri sapendo che sono tangenti internamente. [4 cm] 47 La somma dee unghezze di due circonferenze eá 904,32 cm. Cacoa a misura dea distanza dei oro centri sapendo che sono tangenti esternamente e che sono una i 4 5 de'atra. [144 cm] 48 La distanza dei centri di due circonferenze tangenti esternamente eá 18 cm e i oro raggi sono uno i doppio de'atro. Cacoa a misura dea differenza dee due circonferenze. 37,68 cmš 49 Una corda eá unga 18 cm e dista da centro 12 cm. Cacoa a unghezza dea circonferenza cui appartiene a corda. [94,2 cm] 24 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 esercizi sue competenze di base N.B.: nei seguenti risutati abbiamo sempre utiizzato a scrittura con in forma etterae. 1 Cacoa a unghezza di una circonferenza i cui raggio misura 19 cm. 38 cmš 2 Cacoa 'area di un cerchio i cui raggio misura 21 cm. 441 cm 2 Š 3 La unghezza di una circonferenza eá 236 cm. Cacoa a misura de raggio. [118 cm] 4 Cacoa a unghezza di un arco di circonferenza corrispondente ad un angoo a centro ampio 72 e appartenente ad una circonferenza con a misura de raggio di 15 cm. 6 cmš 5 Cacoa 'area di un cerchio deimitato da una circonferenza unga 48 cm. 576 cm 2 Š 6 Cacoa a unghezza di una circonferenza che deimita un cerchio a cui area eá 625 cm cmš 7 Un arco di circonferenza misura 8 cm. Cacoa a unghezza dea circonferenza a cui appartiene sapendo che 'angoo a centro corrispondente eá ampio cmš 8 Cacoa 'area di un settore circoare avente un'ampiezza di 120 appartenente ad un cerchio deimitato da una circonferenza unga 54 cm. 243 cm 2 Š 9 Cacoa 'area di un segmento circoare minore di un semicerchio, corrispondente ad un angoo a centro ampio 90, appartenente ad un cerchio icui raggio misura 20 cm. 114 cm 2 Š 10 I centri di due circonferenze tangenti esternamente distano 45 cm. Cacoa a unghezza dee circonferenze e 'area dei rispettivi cerchi sapendo che un raggio eá 4 5 de'atro. 40 cm, 400 cm2,50 cm, 625 cm 2 Š 11 I centri di due circonferenze tangenti internamente distano 16 cm. Cacoa 'area dea parte coorata in figura sapendo che i due raggi sono uno 1 5 de'atro. 384 cm 2 Š 12 Cacoa 'area di una corona circoare sapendo che a circonferenza interna misura 36 cm ed iraggio di quea esterna eá 11 6 de raggio dea circonferenza interna. 765 cm2 Š 13 Un rettangoo eá inscritto in una circonferenza unga 70 cm. Cacoa i perimetro de rettangoo sapendo che una sua dimensione misura 42 cm. [196 cm] 14 Un rombo eá circoscritto ad un cerchio di area 144 cm 2. Cacoa 'area de rombo sapendo che i suo perimetro eá 168 cm cm 2 Š 15 Cacoa i perimetro e 'area di un triangoo isoscee inscritto in una circonferenza con a base coincidente con idiametro sapendo che a circonferenza eá unga 32 cm. [77,26 cm, 256 cm 2 ] 16 Un quadrato avente 'area di 1024 cm 2 eá circoscritto ad una circonferenza. Cacoa 'area de quadrato inscritto nea medesima circonferenza. 512 cm 2 Š 17 Un trapezio isoscee inscritto in una circonferenza con a base maggiore coincidente con i diametro ha 'area di 768 cm 2. Cacoa i perimetro de trapezio e 'area de cerchio sapendo che 'atezza de trapezio misura 24 cm e una base eá 7 25 de'atra. 124 cm, 625 cm2 Š 42 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

20 18 Cacoa 'area dea parte di cerchio compresa tra due corde paraee congruenti sottese da due angoi a centro ampi 120, sapendo che a circonferenza misura 24 cm. 275,424 cm 2 Š 19 Cacoa 'area de'intersezione dee due circonferenze in figura sapendo che sono congruenti ed ioro raggio misura 12 cm. (Suggerimento: e due circonferenze passano una per i centro de'atra pertanto 'intersezione eá costituita da un settore ampio 120 e da due segmenti circoari ampi 60 ) 176,736 cm 2 Š VERIFICHE Prove INVALSI 1 (INVALSI, a.s. 2002/03) L'area di un cerchio eá 100 cm 2. Quanto eá ungo i suo raggio? 10 o a. 10 cm o b. 10 cm o c. cm o d. 10 p p cm o e. 10 cm 2 (INVALSI, a.s. 2002/03) Osserva attentamento a figura a ato. Se p eá a percentuae de'area coorata de quadrato (cacoata rispetto a'intera area de quadrato), quae dee seguenti affermazioni eá vera? o a. 5% p < 10% o b. 10% p < 15% o c. 15% p < 20% o d. 20% p < 25% o e. p 25% 3 (INVALSI, a.s. 2003/04) La figura a ato rappresenta i triangoo equiatero ABO e icerchio di centro O e raggio OA. Quae parte rappresenta 'area desettore circoare deimitato dai raggi OA ed OB? o a. La terza parte de'area de cerchio o b. La quarta parte de'area de cerchio o c. La quinta parte de'area de cerchio o d. La sesta parte de'area de cerchio 4 (INVALSI, a.s. 2005/06) Che cosa succede aa unghezza dea circonferenza e a'area de cerchio se si raddoppia a unghezza de raggio? o a. La prima rimane uguae e a seconda raddoppia o b. Sia a prima che a seconda raddoppiano o c. La prima raddoppia e a seconda quadrupica o d. Sia a prima che a seconda quadrupicano 5 (INVALSI, a.s. 2005/06) Nee due figure seguenti i quadrati hanno ati uguai. Quae dee seguenti affermazioni eá vera? o a. Le parti coorate dee due figure hanno a stessa area o b. La parte coorata dea figura 1 ha area maggiore di quea nea figura 2 o c. La parte coorata dea figura 1 ha area minore di quea nea figura 2 o d. Non si possono confrontare e aree dea parti coorate Figura 1 Figura 2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 43

21 Verifica conoscenze dee Verifica a tua preparazione eseguendo i seguenti esercizi reativi agi obiettivi di conoscenza. Controa quindi 'esattezza dee souzioni aa fine de voume ed assegnati un punto per ciascun esercizio svoto correttamente. n LA LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA E DELLE SUE PARTI 1 Competa i seguente teorema. I rapporto tra a unghezza di una quasiasi... e a misura de suo... eá sempre uguae anumero La formua per cacoare a unghezza di una circonferenza eá: a. C ˆ r ; b. C ˆ 2 r; c. C ˆ 2 : r; d. C ˆ 2 d. 3 La formua per cacoare a misura de'arco di circonferenza eá: a. ` ˆ C : 180 ; b. ` ˆ C r : 360 ; c. ` ˆ C 180 ; d. ` ˆ C : 360. n L'AREA DEL CERCHIO E DELLE SUE PARTI 4 La formua per cacoare 'area de cerchio eá: a. A ˆ r 2 ; b. A ˆ r; c. A ˆ : r 2 ; d. A ˆ 2 r 2. 5 La formua per cacoare 'area dea corona circoare eá: a. A ˆ R r ; b. A ˆ R 2 r 2 ; c. A ˆ R 2 r 2 ; d. A ˆ : R 2 r 2. 6 La formua per cacoare 'area de settore circoare conoscendo a misura de'angoo a centro eá: a. A S ˆ r 2 : 360 ; b. A S ˆ r : 360 ; c. A S ˆ r : ; d. A S ˆ r La formua per cacoare 'area de settore circoare conoscendo a misura de'arco eá: a. A S ˆ ` : r 2; b. A S ˆ ` 2 : r; c. A S ˆ ` r : 2; d. A S ˆ ` d : 2. 8 Competa a seguente regoa. L'area desegmento circoare minore di un semicerchio eá uguae aa... fra 'area de settore circoare che insiste suo stesso arco di circonferenza e 'area de triangoo... formato dai due... e daa... che o imita. Autovautazione PUNTEGGIO CONSEGUITO.../8 Da 0 a 2: Non conosci gi argomenti trattati ne capitoo. Devi ristudiaro. Da 3 a 5: Conosci soo superficiamente i contenuti de capitoo. Devi ripassare gi argomenti corrispondenti ae conoscenze non acquisite. Da 6 a 8: Conosci in modo sufficientemente approfondito i contenuti decapitoo. Puoi affrontare i prossimo capitoo. 44 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

22 Verifica dee abiità Verifica a tua preparazione eseguendo i seguenti esercizi reativi agi obiettivi di abiitaá. Controa quindi 'esattezza dee souzioni aa fine de voume ed assegnati un punto per ciascun esercizio svoto correttamente. n CALCOLARE LA LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA E DELLE SUE PARTI 1 Cacoa a unghezza di una circonferenza avente i diametro ungo 18 cm. 2 Cacoa a misura de raggio di una circonferenza unga 125,6 cm. 3 Cacoa a unghezza di un arco di circonferenza corrispondente ad un angoo a centro ampio 60 e appartenente ad una circonferenza avente iraggio ungo 18 cm. 4 Cacoa a misura de raggio di una circonferenza sapendo che un suo arco, ungo 39,25 cm, corrisponde ad un angoo a centro ampio 90. n CALCOLARE L'AREA DEL CERCHIO E DELLE SUE PARTI 5 Cacoa 'area di un cerchio i cui raggio eá ungo 12 cm. 6 Cacoa 'area dea corona circoare determinata da due cerchi aventi i diametri che misurano rispettivamente 100 cm e 80 cm. 7 Cacoa 'area di un settore circoare avente un'ampiezza di 100 e appartenente ad un cerchio icui raggio eá ungo 9 cm. 8 Cacoa a unghezza di un arco di circonferenza appartenente ad un settore circoare avente 'area di 36 cm 2 sapendo che i raggio dea circonferenza corrispondente misura 4 cm. 9 Cacoa 'area di un segmento circoare, minore di un semicerchio, corrispondente ad un angoo ampio 60, appartenente ad un cerchio avente 'area di 8100 cm 2. Autovautazione PUNTEGGIO CONSEGUITO.../9 Da 0 a 3: Non hai sviuppato adeguate abiitaá. Devi studiare nuovamente i capitoo ed eseguire 'attivitaá di recupero. Da 4 a 6: Non possiedi e abiitaá richieste. Prima di affrontare 'attivitaá di consoidamento devi svogere 'attivitaá di recupero reativa ae abiitaá non ancora acquisite. Da 7 a 9: Hai raggiunto pienamente e abiitaá specifiche de capitoo. Puoi affrontare 'attivitaá di potenziamento eegare di matematica. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 45

23 La misura dea circonferenza e de cerchio Attività di recupero CAP. 1 n CALCOLARE LA LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA E DELLE SUE PARTI 1 Vero o Faso? Stabiisci quai dee seguenti affermazioni sono errate e correggi gi errori. a. I prodotto fra a unghezza di una circonferenza e a misura de suo diametro eá costante. V F b. Ivaore approssimato ai centesimi di eá 3,14. V F c. Per cacoare i raggio di una circonferenza nota a sua unghezza si usa a formua r ˆ C. V F d. La misura degi archi di circonferenza e dei corrispondenti angoi a centro sono grandezze inversamente proporzionai. V F e. La formua che permette di cacoare a unghezza di un angoo aa circonferenza eá ` ˆ r 180. V F 2 Esercizio guida Cacoa a unghezza di una circonferenza i cui raggio misura 10 cm. Dato r ˆ 10 cm Incognita C C ˆ 2 r ˆ ::::::::::::::::::::::: cm ˆ 20 cm ˆ 62,8 cm. 3 Cacoa a unghezza dee seguenti circonferenze, nota a misura de raggio r o dediametro d: a. r ˆ 6 cm; 12 cm ˆ 37,68 cmš b. r ˆ 9 cm; 18 cm ˆ 56,52 cmš c. d ˆ 12 cm; 12 cm ˆ 37,68 cmš d. d ˆ 18 cm. 18 cm ˆ 56,52 cmš 4 Competa a seguente tabea (e misure sono espresse in cm): r d C Cacoa a unghezza di un arco corrispondente ad un angoo a centro ampio 30 e appartenente ad una circonferenza con a misura de raggio di 18 cm. 3 cm ˆ 9,42 cmš 6 In una circonferenza unga 120 dm, un arco misura 20 dm; cacoa 'ampiezza de'angoo corrispondente a'arco. 60 Š 46 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

24 Scheda di Vautazione de Recupero Dopo aver rivisto a teoria e svoto 'attivitaá di recupero, metti aa prova a tua preparazione rispondendo ai seguenti quesiti (scegi tra e souzioni proposte), controa 'esattezza dee risposte a pag. 249 e cacoa i punteggio ottenuto in base aa grigia. Se hai totaizzato ameno 10 punti puoi ritenere comato i debito, atrimenti riguarda gi argomenti sui quai hai commesso errori. 1 Ivaore eá dato darapporto costante tra: a. e misure dea circonferenza e de diametro; b. e misure dea circonferenza e de raggio; c. 'area e a circonferenza. 2 eá un numero: a. razionae; b. periodico; c. irrazionae. 3 La misura dediametro di una circonferenza eá: a. i tripo dea misura de raggio; b. i doppio dea misura de raggio; c. a metaá dea misura de raggio. 4 La misura dea circonferenza si trova con a formua: a. C ˆ 2 r; b. C ˆ r; c. C ˆ 2 d. 5 L'area de cerchio si trova con a formua: a. A ˆ r 2 ; b. A ˆ r; c. A ˆ r 2. 6 Cacoa 'area di un cerchio i cui raggio eá a metaá deraggio di un circonferenza unga 72 cm. 7 La misura de raggio di un cerchio si trova con a formua: r a. r ˆ A ; b. r ˆ A p ; c. r ˆ A. 8 L'area di un cerchio eá 100 cm 2. Determina a misura de diametro. 9 La misura ` di un arco di circonferenza eá data daa formua: a. ` ˆ r 2 ; b. ` ˆ r 180 ; c. ` ˆ r L'area di un settore circoare si trova con a formua: a. A S ˆ r ; b. A S ˆ r ; c. A S ˆ r L'area di una corona circoare si trova con a formua: a. A C ˆ R 2 ; b. A C ˆ R 2 r 2 ; c. A C ˆ r 2 R. 12 Cacoa 'area di una corona circoare imitata da due circonferenze unghe rispettivamente 40 cm e 30 cm. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 49

25 La misura dea circonferenza e de cerchio Attività di consoidamento CAP. 1 1 Cacoa a unghezza di una circonferenza sapendo che i suo diametro misura 38 cm. 119,32 cmš 2 Cacoa 'area di un cerchio sapendo che i suo raggio misura 64 cm cm 2 ˆ 12861,44 cm 2 Š 3 Cacoa a unghezza di un arco di circonferenza che ha i raggio ungo 30 cm e a cui corrisponde un angoo a centro ampio cm ˆ 62,8 cmš 4 Cacoa 'area di una corona circoare deimitata da due cerchi aventi e misure dei raggi rispettivamente di 25 cm e 40 cm. 975 cm 2 ˆ 3061,5 cm 2 Š 5 Cacoa 'area di un settore circoare appartenente ad un cerchio avente i raggio ungo 20 cm e i cui arco corrispondente misura 38 cm. 380 cm 2 Š 6 Cacoa 'area di un settore circoare a cui corrisponde un angoo a centro ampio 60 e appartenente ad un cerchio icui raggio eá ungo 30 cm. 150 cm 2 ˆ 471 cm 2 Š 7 Cacoa a unghezza di un arco di circonferenza appartenente ad un settore circoare avente 'area di 339,12 dm 2 e 'angoo a centro corrispondente ampio dm ˆ 37,68 dmš 8 L'area di un quadrato eá 4998,49 cm 2 ; cacoa a unghezza dea circonferenza circoscritta a quadrato. (Suggerimento: arrotonda a misura de raggio a'unitaá) 100 cm ˆ 314 cmš 9 La somma e a differenza dee misure dee dimensioni di un rettangoo sono rispettivamente 120 cm e 30 cm. Cacoa a differenza dee aree di due semicerchi aventi e misure dei diametri uguai ae dimensioni de rettangoo. 450 cm 2 ˆ 1413 cm 2 Š 10 Cacoa 'area di un segmento circoare corrispondente ad un angoo a centro ampio 120 appartenente ad un cerchio icui raggio misura 30 cm. 552,3 cm 2 Š 11 Una corda divide un cerchio in due segmenti circoari e cui aree stanno ne rapporto 5. Cacoa 'area di ciascuno 7 dei due segmenti circoari sapendo che a circonferenza eá unga 113,04 cm. 135 cm 2 ˆ 423,9 cm 2 ; 189 cm 2 ˆ 593,46 cm 2 Š 12 Cacoa 'area di un segmento circoare, minore di un semicerchio, corrispondente ad un angoo ampio 90 ed appartenente ad un cerchio avente i diametro congruente a ato obiquo di un triangoo isoscee avente a base e 'atezza che misurano rispettivamente 60 cm e 40 cm. 178,125 cm 2 Š 13 Un trapezio isoscee inscritto in un semicerchio ha a base maggiore coincidente con i diametro. Sapendo che 'area de semicerchio eá cm 2 e che gi angoi adiacenti aa base maggiore sono ampi 60, cacoa i perimetro, 'area e a misura dea diagonae de trapezio. 400 cm; 8313,6 cm 2 ; 138,56 cmš 14 Due corde paraee di una circonferenza unga 157 cm sono situate da parti opposte rispetto a centro ed hanno e distanze da centro rispettivamente di 15 cm e 20 cm. Cacoa 'area de'esagono che si ottiene congiungendo i punti estremi de diametro paraeo ae corde con i punti estremi dae corde stesse cm 2 Š 15 Cacoa 'area di un segmento circoare, maggiore di un semicerchio, corrispondente ad un angoo a centro ampio 300 e appartenente ad un cerchio avente 'area di 1 384,74 cm ,903 cm 2 Š 16 I triangoo isoscee ABC dea figura a ato eá inscritto nea circonferenza di centro O. Sapendo che a unghezza dea circonferenza eá 282,6 cm e che a misura de segmento OH eá 12,6 cm, cacoa 'area dea parte coorata. 3870,18 cm 2 Š 50 LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO - AREA 1 - CAPITOLO 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS