VOLUME 2 - MODULO C UNITÀ DIDATTICA C1 SOLUZIONE DEL PROBLEMA INIZIALE

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1 Vol_C.doc VOLUME - MODULO C UNITÀ DIDATTICA C SOLUZIONI DELLE VERIFICHE DEI PREREQUISITI. Il eso volumico o eso secifico è ari al rodotto della massa volumica er l accelerazione di gravità. Pertanto si ha: γ ρ g 0 9,8 950 N/m. Ricordando che un litro è ari ad un decimetro cubo, risulta immediato calcolare la ortata massica; essa vale Q ρ V 0,640 /dm 0 l/s 6,4 /s.. b) d) 4. Vero 5. a) 4 Cl + Na S O + 0 NaOH Na SO NaCl + 5 H O b) Cu + 8 HNO Cu(NO ) + NO + 4 H O 6. b) 7. Sono combustibili fossili in quanto derivano da esseri viventi quali foreste e iccoli animali viventi nei bassofondali marini; entrambi srofondarono nel sottosuolo e furono sottoosti a lenta trasformazione er centinaia di milioni di anni. 8. a) CO; b) HNO ; c) SO ; d) NH 9. Le emissioni di CO in atmosfera dovute alle attività dell uomo causano un aumento dell effetto serra che consiste nel riscaldamento del ianeta in quanto gli strati di CO aumentano la riflessione delle onde termiche verso il suolo. SOLUZIONE DEL PROBLEMA INIZIALE Per il calcolo della quantità di calore Q che deve essere fornita alle barre occorre conoscere darima la massa totale m del lotto di barre. Si calcola l area e la massa di una singola barra, assumendo come unità di misura di riferimento il decimetro: π π A d 0,,46 0 dm 4 4 m ρ A l,7, , Consultando l aosita tabella si ricava la caacità termica massica dell alluminio c Al che vale 0,9 /( K). Alicando la formula che definisce la caacità termica si trova il calore necessario er riscaldare una singola barra: Q m c Al T 5, 0, Il calore necessario er scaldare il lotto di 50 barre vale: Q Prendendo in considerazione il rendimento del forno si ricava il calore totale Q tot: anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA DI 0

2 Vol_C.doc Q 5950 Q tot 7500 η 0,7 La seconda domanda chiede di valutare l allungamento subito dalla singola barra al termine del riscaldamento. Occorre ricavare dall aosita tabella il coefficiente di dilatazione lineare dell alluminio: esso vale λ / C. La formula dell allungamento lineare l dei cori sottoosti ad una variazione di temeratura t è la seguente: 6 l λ l t 4 0 0, , 44 mm Il otere calorifico inferiore del carbone in base alla sua comosizione viene valutato mediante la formula di Dulong. O P CI 8 C H S 5 U 8 Inserendo i dati relativi alla comosizione del carbone si ha: 0,078 P CI 8 0, , ,04 5 0, Per il calcolo della massa di carbone necessaria er il riscaldamento delle barre bisogna dividere il calore totale Q tot recedentemente trovato er il otere calorifico inferiore P CI del carbone: Q m P tot CI In alternativa al carbone, il testo roone l uso di un gas, del quale sono noti comosizione e otere calorifico. Per valutare la massa di gas necessaria si alica di nuovo la formula recedente: 7 m Q P tot CI 7500, Con la quinta domanda si calcolano le risettive quantità di aria necessarie er la combustione, servendosi delle aosite formule, quella er il carbone e quella er il gas. Per il carbone: 7,8 di aria A tm 0, ,44 4,4 + 0,04,4 0, 9 8 di carbne Per il gas: 4 6 A tv 0,08 ( 8 + ) + 0, ,0476 +, , , Si iotizza che il carbone sia bruciato allo stato finemente overizzato. In tal caso il valore di aria in eccesso er il carbone vale e 0,. Si calcolino le due quantità di aria effettivamente imiegata nelle risettive combustioni. Per il carbone: di aria di gas A e ( + 0,) 0,9, 08 Per il gas si assume e 0,. Mediante la medesima formula si trova che: A e ( + 0,) 4,855 5, 4 anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA DI 0

3 Vol_C.doc SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI RIEPILOGO. La formula che ermette di convertire una temeratura in [ F] esrimendola in [ C] è la seguente:. Per risolvere il quesito si richiami il concetto di caacità termica massica esresso dalla formula seguente, nella quale si inserisce la costante del calcestruzzo, ricavata da tabella:. La caacità termica massica er l acqua è esressa in forma di tabella, in funzione della temeratura. Da essa si estraggono i valori necessari. Nel rimo caso: Nel secondo caso: I due valori risultano molto rossimi. 5 5 t F ( t ) ( 0 ) C C Q c m t 0, Q ,80 /( C) 860. Q ,08 /( C) La Btu (British termal unit) è l unità di misura dell energia termica utilizzata dalle norme anglosassoni. L equivalenza tra Btu e joule è la seguente: Btu, Nel nostro caso: , Btu, Il coefficiente di dilatazione termica er il mattone in argilla è riortato nell aosita tabella e vale λ / C. L allungamento l è dato dalla seguente formula: 6 l λ l t , 05 mm 6. La temeratura finale t viene calcolata attraverso l uguaglianza tra i calori Q e Q scambiati dalle due masse. I suddetti calori Q sono valutati con la seguente formula Q c m t. Si noti come, avendo imosto l uguaglianza tra i calori Q e Q scambiati dalle due masse, la caacità termica c è una costante che viene facilmente semlificata: ( m + m ) t c m t + c m t c m t + m t t 64 C m + m anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA DI 0

4 Vol_C.doc 7. Come rima cosa, occorre orre in evidenza il otere calorifico inferiore del GPL, esrimendolo in [/]. Esso vale /. Il calore liberato dalla combustione è ari al rodotto tra il otere calorifico e la massa bruciata che vale m 5, er il rendimento: Q (P CI m)/ η / 5 0, Per calcolare la massa comlessiva di antracite, occorre eseguire un bilancio di energia termica tra il calore assorbito dall acqua e il calore liberato dalla combustione; esso è esresso come segue, con a rimo membro il calore liberato dal carbone e a secondo quello assorbito dall acqua: m m P mh O c t 800 4,844 0,666 η P 0,6 500 CI CI η m H O c t Come valore er la caacità termica massica c dell acqua si è scelta la media fra i valori citati nella tabella resente sul testo, er le temerature di inizio e fine trasformazione. 9. La formula di Dulong ermette di calcolare il otere calorifico inferiore er il carbone la cui comosizione è descritta nel testo. La formula è la seguente: O P CI 8 C H S 5 U 8 Inseriamo i dati secifici del tio di carbone in oggetto: 0,08 P CI 8 0, , , 5 0, Il valore del otere calorifico sueriore uò essere ottenuto a artire dal otere calorifico inferiore esresso in [M], grazie alla seguente formula: ( U + 8,94H ),5( 0,08 + 8,94 0,04),5 PCS PCI +,6 +, M 0. La formula di Dulong è valida anche er i combustibili liquidi, quale aunto il kerosene. La formula è la seguente: O P CI 8 C H S 5 U 8 Inseriamo i dati secifici del kerosene: 0,06 P CI 8 0, , , Come controllo si uò eseguire il confronto tra il valore trovato e quello riortato nella tabella sul testo in cui comaiono le caratteristiche rinciali dei combustibili iù diffusi. Il valore trovato col calcolo è solo lievemente sueriore al valore del P CI del gasolio assunto come riferimento.. Si alica la formula che esrime il fabbisogno di aria er la combustione di un combustibile gassoso anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 4 DI 0

5 Vol_C.doc mi Atv 0,08( CO + H ) + 0,095 CH 4 + 0,0476 ni + Cni H mi 0, 0476 O i 4 Inseriamo i dati secifici del gas: 8 A tv 0, , , , ,57 + 5, ( ) + +,904 0, 7,95 m La formula ci dice che er la combustione di ogni m del gas in esame occorre un volume A tv 7,95 m di aria. SOLUZIONI AI QUESITI DI AUTOVERIFICA ALL APPRENDIMENTO Le risoste contengono i concetti chiave e sono fornite in forma di schema.. La temeratura misura lo stato di agitazione molecolare; non è un energia ma uò essere considerata come una misura indiretta dell energia. Il calore è una delle forme in cui si resenta l energia. La variazione di temeratura è roorzionale al raorto fra il calore fornito e la caacità termica.. zero assoluto; 7 K.. d) 4. Falso 5. l λ l t 6. La combustione è un insieme di reazioni chimiche di ossidazione tra una sostanza combustibile e l ossigeno contenuto nell aria avente funzione di comburente. 7. a) d) 8. Falso 9. roagazione assai veloce aumento.dei gas rodotti. 0. a) concentrazioni dei comonenti; b) temeratura dell ambiente; c) forma della camera di combustione.. a) azoto b) ossigeno. Vero. Una miscela di combustibile e comburente è detta stechiometrica se la comosizione in massa è tale da dar luogo alla combustione comleta, ovvero senza eccessi di una sostanza risetto all altra; un eccesso di combustibile risetto al comburente genera sostanze incombuste, un eccesso di comburente dà luogo alla resenza di comburente inutilizzato nei fumi. 4. a) 5. evaorazione; vaore acqueo. 6. Il Potere calorifico è definito come la quantità di calore emesso da un di combustibile, in seguito alla sua combustione comleta. Dimensionalmente è esresso come segue: [ ] P CI [ ] [ ] 7. a) 8. risetto all aria teorica.teorica. 9. a) b) 0. a) ovuli; b) mattonelle; c) granelle.. d). a) benzina; b) gasolio; c) kerosene.. Russia, Olanda, Algeria; gasdotti; bombole. 4. a) 5. Si definisce temeratura di ignizione la temeratura minima che un combustibile deve raggiungere, in resenza del comburente, affinché la reazione ossa comunicarsi a tutta la massa in modo sontaneo ed in breve temo. anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 5 DI 0

6 Vol_C.doc 6. Falso 7. minima; sontaneamente; scintille d innesco. 8. a) 9. Un elevato valore nel calore latente di evaorazione di un combustibile causa un forte raffreddamento interno della camera di combustione che, sorattutto nel caso di avviamento a freddo, uò inibire la combustione. 0. d). resistenza al moto.. er imedire usi fraudolenti essendo sottoosti a differenti regimi fiscali. UNITÀ DIDATTICA C SOLUZIONI DELLE VERIFICHE DEI PREREQUISITI. La formula che ermette di convertire una temeratura in [ C] esrimendola in [ F] è la seguente: Inserendo nella formula il valore di t C si trova t 9/5 + 89,6 F..,0 bar; 0 C.. La formula da usare è quella che lega il calore scambiato con la variazione di temeratura subita dal coro: 4. b) c) 5. Vero t 5 9 C F ( t ) Q m c t 600 4, La formula da usare è quella che lega il calore liberato in seguito alla combustione col otere calorifico inferiore del combustibile: Q η m P CI 0, / M 7. b) c) 8. Si definisce Potere Calorifico Inferiore P CI di un combustibile la quantità di calore rodotta dall unità di massa, o di volume se gassoso, in seguito alla sua combustione comleta; il P CI non comrende il calore di evaorazione contenuto dal vaore acqueo che è resente fra i rodotti della combustione. 9. a) gasolio; b) benzina; c) catrame; d) kerosene. 0. temeratura di ignizione. anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 6 DI 0

7 Vol_C.doc SOLUZIONE DEL PROBLEMA INIZIALE Il sistema resenta una massa di gas racchiusa in un contenitore tenuto taato da una massa m. Per conoscere la ressione relativa quindi manometrica - esercitata dal gas occorre er rima cosa calcolare la sezione A dello stantuffo su cui agisce la ressione del gas: π π A d 58 64mm 4 4 La ressione manometrica è dovuta esclusivamente all azione del eso gravante sulla sezione A, con l esclusione della ressione atmosferica. m g 8 9, Pa, 0967 bar 6 A 64 0 Per conoscere la massa ed il numero di moli di Ne conviene darima disorre dei seguenti dati: la ressione assoluta che vale ass,0 +,0967,0567 bar il volume del contenitore cilindrico nella configurazione iniziale (n ): V A h ,6 mm la costante universale R 84 /(kmole K) la massa molecolare µ del Ne, letto da tabella, ari a 0,8 /kmole Mediante l equazione di stato dei gas erfetti, nella formulazione in cui comaiono il volume occuato dal gas e la costante universale dei gas, si calcola direttamente il numero n di moli: V R T 5 9 ass, ,6 0 6 n 5, ( 7 + 9) La massa di gas è ricavabile moltilicando il numero di moli n er la massa molecolare µ del gas: 5 5 m n µ,56 0 0,8 0,95 0 0, g kmoli Nella seconda arte del roblema si è rovveduto a modificare sia la zavorra remente, sia la temeratura del gas. La nuova ressione calcolata come nel caso recedente ma con la nuova zavorra di massa m ora vale: m g 9, Pa 0, 854 bar 6 A 64 0 La ressione 0,854 bar così trovata è una ressione relativa, ovvero manometrica; la ressione assoluta è,ass,867 bar, avendo sommato il valore della ressione atmosferica, ari a circa,0 bar. Successivamente, mediante l equazione di stato dei gas nella formulazione recedentemente usata, si calcola il nuovo volume V, noto il numero n di moli, rimasto costante nel corso della trasformazione: 6 n R T 5, V 00, m Ricordando che il volume massico è ari al raorto tra volume e massa contenuta, si trova v : 6 V 00,8 0 v 0, 68 5 m 0,95 0 m anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 7 DI 0

8 Vol_C.doc La nuova altezza h raggiunta dallo stantuffo è ari al raorto tra volume V e sezione A: 6 V 00,8 0 h 0, 076 m 6 A 64 0 La nuova altezza h raggiunta dallo stantuffo vale dunque 76 mm. Vale la ena di soffermarsi brevemente sul fatto che la trasformazione resenta effetti contrastanti: da una arte la riduzione di ressione a causa dell alleggerimento della zavorra, il cui effetto è l esansione del volume occuato dal fluido; dall altra la riduzione della temeratura che induce nel gas il fenomeno oosto. Le formule della termodinamica da noi adottate hanno consentito di sovraorre entrambi gli effetti, anche se contrastanti: nel comlesso: osservando la quota finale h si nota che il livello del istone è otuto salire. SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI RIEPILOGO. Calcolo della massa molecolare dell N O 5: µ 8 +,5 5,5 /kmole Si calcola il numero di moli di gas dividendo la massa er la massa molecolare: n m/µ 55/5,5 0 moli.. I risultati ottenuti saranno diversi, dato che il riscaldamento è iotizzato in due trasformazioni diverse. Si imiega la formula che lega calore, caacità termica massica e variazione di temeratura, riferita alla massa unitaria di gas. Si inserisce nella formula darima la caacità termica a ressione costante: Q c t 0, / Poi si riete la formula inserendo la caacità termica a volume costante: Q c v t 0,7 0 7,4 / Questo secondo caso ha evidenziato un fabbisogno di calore minore, dato che la trasformazione isovolumica non revede variazioni di volume er cui il gas è imossibilitato a svolgere lavoro di esansione.. Primo caso, comressione isoterma: T T 9 K; alicando l equazione di stato dei gas erfetti nella sua formulazione di base si trovano i volumi massici iniziale e finale v e v : R T 0 9 m v 0, R T 0 9 m v 0, Il secondo caso revede la comressione isovolumica, ovvero con volume costante. Dato che le condizioni di artenza sono le medesime del caso recedente, si conferma il valore del volume massico già calcolato. Pertanto si ha che v v 0,8 m /. Alicando nuovamente l equazione di stato dei gas erfetti, stavolta onendo in evidenza la temeratura finale T, si ha che: 5 v 0 0,8 T 879, K R 0 anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 8 DI 0

9 Vol_C.doc 4. Per trovare il volume del gas a zero gradi si alica la rima legge di Gay-Lussac, onendo in evidenza il volume V 0 alla temeratura di 0 C: 5 V 0 V, 94 m + α t Per trovare la ressione assoluta si alica l equazione di stato dei gas erfetti: ( 7+ 0) RT Pa 46, 64 kpa v,5 6. Dalla formula seguente, che one in relazione la costante del singolo gas con la costante universale dei gas, è ossibile risalire alla massa molecolare media µ della miscela. R 84 µ 84 R 98,95 kmole 7. Si richiama l equazione fondamentale dei gas, nella formulazione in cui comaiono la massa m e il volume V, onendo in evidenza la temeratura T: 6 T V K mr 0, La formula che descrive la trasformazione adiabatica fra i unti e è la seguente: Si onga in evidenza il volume massico finale v : k k v v k,0 0,5 0,769 v v,4,4 0,486 0, 70,5 m 9. Il Primo Princiio della Termodinamica afferma che Q U + L Inseriamo i valori numerici, con l avvertenza di far recedere il calore Q dal segno meno, dato che si tratta di un energia sottratta, osta a rimo membro. Anche il lavoro L deve essere receduto dal segno meno, dato che si tratta di un energia assorbita dall esterno, ma osta a secondo membro. -0 U -00 anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 9 DI 0

10 Vol_C.doc La variazione di energia interna vale U - 0. Da questo numero si deduce che il bilancio energetico della trasformazione è negativo, in quanto il gas deve attingere al rorio atrimonio energetico interno er realizzare la trasformazione in modo comleto. 0. Il lavoro unitario erogato da un gas nel corso di una trasformazione isobara è: L (v f v i); moltilicando il secondo membro er la massa m si ha il lavoro totale L tot. Inserendo i valori numerici si ha che: L tot m (v f v i), (0,8 0,56) ,46 Il risultato è esresso da un numero negativo: ciò è dovuto al fatto che, avendo realizzato una contrazione del volume, il gas subisce un azione roveniente dall ambiente, ad esemio, mediante una sottrazione di calore in uno scambiatore.. Il volume finale si calcola mediante la formula dell isoterma: V V cost Si metta in evidenza il volume finale V : V 6 8 dm Il lavoro unitario è dato dalla V 48 6 L RT ln ln , 7 SOLUZIONI AI QUESITI DI AUTOVERIFICA ALL APPRENDIMENTO Le risoste contengono i concetti chiave e sono fornite in forma di schema.. b). Una definita quantità di materia geometricamente determinata contenuta all interno di una suerficie chiusa.. una mole di gas normali. 4. a) 5. Falso 6. Clausius - coro freddo coro caldo lavoro esterno. 7. a) le molecole sono iotizzate di forma sferica; b) i loro movimenti sono casuali, gli urti elastici; c) le forze di interazione reciroca sono trascurabili. 8. b) c) 9. Vero 0. fisico finale rossimo fisico iniziale.. a) resta costante; b) vale zero; c) è raresentato dalla formula Q c v t.. Vero. Nel diagramma (,v) l isobara ha la forma di segmento orizzontale. L area sottesa che raresenta il lavoro unitario del gas ha rorio la forma di rettangolo avente er base la differenza dei volumi massici e er altezze la ressione. 4. d) 5. temeratura, esressa in [ C]; coefficiente termico di dilatazione volumetrica er i gas. anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 0 DI 0

11 Vol_C.doc 6. a) b) 7. Ponendo in evidenza la costante del gas R dall equazione di stato dei gas erfetti v RT, si ha: N m m [ ] [ Nm] [ ] R K K K [ ] [ ] [ ] [ ] 8. massa molare µ; la costante R. 9. b) c) 0. a) variazione di calore Q; b) lavoro scambiato L; c) variazione di energia interna U.. a). unti iniziale e finale; cammino.. il lavoro di un ciclo è la somma algebrica dei lavori arziali scambiati dal gas lungo le trasformazioni che formano il ciclo. 4. Vero anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA DI 0

12 Vol_C.doc UNITÀ DIDATTICA C SOLUZIONI DELLE VERIFICHE DEI PREREQUISITI. Si alica l equazione di stato dei gas erfetti onendo a rimo membro il volume massico: v RT ( 7 + 5) 58 0, 08 6,8 0 m. adiabatico; costante di Poisson.. Si calcola darima il volume massico iniziale v mediante la legge fondamentale dei gas: v RT ( 7 5) Ora si alica la formula della trasformazione isoterma: 87 m 0, ,8 0 v v cost 4. a) Si metta in evidenza la ressione assoluta finale : v 0,9645 0,8, 6 bar v 0,48 5. Vero 6. a) nel corso della trasformazione isoterma il gas non trattiene er sè nessuna quantità di calore, se non quanto basta er mantenere invariata la temeratura: allora c ; b) in una trasformazione isovolumica si ha che c c v; c) in una trasformazione isobara si ha che c c ; d) in una trasformazione adiabatica non si effettua nessuno scambio di calore er cui c 0 7. In un sistema termodinamico che scambia energia con l esterno, la somma algebrica dei calori, dei lavori e dell energia interna risulta ari a zero. 8. a) V V 0 ( + α t); b) 0 ( + α t). 9. Esiste una formula che esrime il lavoro unitario scambiato da un gas nel corso di una trasformazione adiabatica, di comressione come ure di esansione; er una corretta gestione della formula, si attribuisce al gas il edice nella condizione di inizio trasformazione, il edice alla conclusione: anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA DI 0

13 Vol_C.doc k R T k L 87 9,7 k, ,86,4,4 07 0,857 [ (,7) ] 07[ 0,455] 0. Vero. SOLUZIONE DEL PROBLEMA INIZIALE Del ciclo di Lenoir roosto sono note le ressioni dei tre unti e la temeratura iniziale. Dall aosita tabella resente sul testo si assumono i valori delle costanti caratteristiche del gas: c 5, /( K); c v,4 /( K); R,08 /( K); k,67. Utilizzando le leggi dei gas si calcolano i valori mancanti di v e T. Alicando l equazione di Claeyron si trova il valore del volume massico v v : R T v 5, Alicando la formula dell adiabatica ideale, con in evidenza il volume massico, si trova il valore del volume massico v : 0,5988 v v 5,678 8, 6 m k Alicando nuovamente l equazione fondamentale si trovano i valori delle temerature T e T : 5 v 0 5,678 T 546 R v 0 8,6 T 4, 5 R 080 Nella trasformazione - isovolumica il lavoro è nullo mentre il calore scambiato vale: m Q cv T 40 ( 546 7) , Nella trasformazione - adiabatica il calore scambiato è nullo mentre il lavoro unitario vale: L cv T 40 ( 4,5 546) , 05 Nella trasformazione - isobara il lavoro unitario ed il calore esulso valgono: 5 L v 0 ( 5,678 8,6) 900 9, Q c T 5 ( 7 4,5) , Per ottenere i valori dei lavori e dei calori totali è sufficiente moltilicare i valori unitari sin qui trovati, er la massa m,5. K K anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA DI 0

14 Vol_C.doc Il rendimento del ciclo è esresso dalla formula riferita agli scambi di calore: Q Q η Q 0 857, 75, 0,4 4, % 857, Il valore è decisamente basso a causa della iccola escursione fra le temeratura iniziale e quella massima a fine introduzione del calore Q. Infatti, dall analisi del ciclo di Carnot si è areso che il rendimento in generale cresce quanto iù è alta la temeratura T relativa all introduzione di calore, ovvero, nelle alicazioni reali, alla temeratura della combustione. Si comila la seguente tabella riassuntiva er ressioni, volumi massici e temerature, riferiti ai unti che definiscono il ciclo: Punto [bar] Grandezza fisica v [m /] T [K] 5, , ,6 4,5 Segue una seconda tabella riassuntiva er lavori e calori, riferiti alle tre trasformazioni: Trasformazione Grandezza fisica L [/] L [] Q [/] Q [], , 000, 46,05 456, 0 0, -9, -0,7-75, -57,8 Le variazioni di entroia delle tre trasformazioni si calcolano nell ordine mediante le aosite formule, ricordando in articolare come la variazione di entroia nel corso dell esansione adiabatica risulti evidentemente nulla: S, cv ln 40 ln 76 v 5,678 S, c ln 5 ln 7 v 8,6 K K La somma algebrica dei due valori così ottenuti dà zero, con ottima arossimazione di calcolo, come deve essere er ogni ciclo chiuso in ottemeranza a quanto revisto er via teorica. Nella figura di seguito riortata si è tracciato il diagramma (T,S) riortando i valori dei unti e e onendo il unto iniziale, assunto come riferimento, sull asse delle ordinate er ragioni di comodità. Per disegnare l isovolumica - con sufficiente arossimazione ci si serve di due unti intermedi, scelti a sentimento a ressioni grosso modo intermedie fra e ; essi sono:,4 bar e,7 bar. Per questi unti ausiliari si calcolano le risettive temerature e le variazioni di entroia mediante le formule consuete. Per calcolare le due temerature ci si riferisce alla legge fondamentale dei gas, comilata er i unti,, : anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 4 DI 0

15 Vol_C.doc v RT v RT v RT Ponendo la seconda delle tre leggi fondamentali a raorto con la rima si ha:,4 T T 7 8 K Ponendo ora la terza delle tre leggi fondamentali a raorto con la rima si ha:,7 T T K Ora si assa al calcolo delle variazioni di entroia, avendo reso il unto come riferimento. La formula è la stessa recedentemente utilizzata er la trasformazione isovolumica:,4 S, cv ln 40 ln 056,7 S, cv ln 40 ln 666 K K Anche er disegnare l isobara nel iano (T,S) ci si serve di due unti intermedi scelti a volumi massici circa intermedi, v 7,5 m / e v 6,5 m /. Anche er questi unti ausiliari si calcolano le risettive temerature e le variazioni di entroia mediante le formule consuete. Per calcolare le due temerature ci si riferisce alla legge fondamentale dei gas, comilata er i unti,, : v RT v RT v RT Ponendo la seconda delle tre leggi fondamentali a raorto con la rima si ha: v 6,5 T T 7, 5 K v 5,678 Ponendo ora la terza delle tre leggi fondamentali a raorto con la rima si ha: v 7,5 T T 7 60, 6 K v 5,678 Ora si assa al calcolo delle variazioni di entroia, avendo reso il unto come riferimento. La formula è la stessa recedentemente utilizzata er la trasformazione isobara: v 7,5 S, c ln 5 ln 456 v 5,678 v 6,5 S, c ln 5 ln 707, 4 v 5,678 K K anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 5 DI 0

16 Vol_C.doc Le due differenze di entroia er la comressione isobara risultano ositive in quanto valutate come variazioni orientate da sinistra a destra. In alternativa, è ossibile calcolare le due variazioni di entroia rendendo come riferimento il unto. In tal caso le due variazioni di entroia, stavolta valutate da destra a sinistra, quindi col segno negativo, valgono S, - 76 /( K) e S, /( K). Come verifica, si ossono sommare due variazioni consecutive, ad esemio la variazione di entroia da a con quella da a, er controllare che la somma aritmetica (non algebrica, erché su grafico esse corrisondono a distanze quotate) sia ari alla variazione comlessiva S, 7 /( K) recedentemente calcolata. Si ottengono i seguenti risultati: La verifica ha dato esito amiamente ositivo. S, S, + S, 707, , 4 K Diagramma del ciclo di Lenoir sul iano (T,S). SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI RIEPILOGO. Note le temerature T e T 0 è immediato ricavare il rendimento del ciclo di Carnot: η C L Q Q Q 0 T T , Si risale al calore Q 0 scaricato nel corso della comressione isoterma inserendo nella formula del rendimento, recedentemente usata, il valore del rendimento aena trovato: Q Q ηc; Q0 Q ( ηc ) 770 ( 0,678) 48 0 Per il Primo Princiio della Termodinamica alicato al ciclo di Carnot, si ha che: L Q Q Si noti come nella formula non comaia la variazione U dell energia interna, essendo il ciclo di tio chiuso.. Noti il rendimento del ciclo di Carnot e la temeratura iniziale T, si ricava immediatamente la temeratura T 0: ( ) 600( 0,58) K T T ηc 5 0 Noti il rendimento ed il lavoro erogato, si ricava il calore unitario introdotto Q : L Q η 500 0,58 c 86 Per il Primo Princiio della Termodinamica alicato al ciclo chiuso di Carnot, si ha che: anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 6 DI 0

17 Vol_C.doc Q Q L Si alica la formula che consente di ottenere l efficienza ε note le temerature dell ambiente esterno e quella generata all interno della macchina frigorifera: T ε T T ( 7 + 0) ( 7 4) 5,89 4. Occorre darima calcolare i volumi massici e la temeratura finale; grazie all equazione di stato dei gas erfetti si calcola il volume massico v : RT m v 0, ,96 0 Alicando tra i unti e la formula dell adiabatica v k cost si ottiene il volume massico v : k,40 0,96 0,748 m v v 0,08 0,08 0,6 0, 075,6 Con l equazione di stato dei gas erfetti si calcola la temeratura T : 6 v,6 0 0,075 T 46, 8K R 60 Con questi valori si uò alicare la formula dell entroia er una generica trasformazione; si noterà che il risultato è rorio zero, come affermato teoricamente: S c v T v ln + R ln T v 5. L equazione di stato dei gas erfetti ermette di calcolare con ochi assaggi la temeratura finale T. Scrivendo l equazione er i unti e si ha che v v RT RT Ricordando che v v essendo la trasformazione di tio isovolumico, doo aver osto in evidenza i volumi massici è ossibile scrivere la seguente uguaglianza: Infine: RT RT 6 0 T T 00 6K 6,8 0 Poi er la formula secifica er il calcolo della variazione di entroia nel caso di una trasformazione isocora, si ha: T 6 S cv ln 0,670 ln 0, 94 T 00 K anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 7 DI 0

18 Vol_C.doc 6. La formula secifica er il calcolo della variazione di entroia nel caso di una trasformazione isoterma afferma che: S Rln 0,50 ln, 0,5 K 7. La formula secifica er il calcolo della variazione di entroia nel caso di una trasformazione isobara afferma che: T 440 S c ln 0,50 ln 0, 86 T 7 K 8. Occorre darima calcolare i volumi massici iniziale e finale e la temeratura finale. Grazie all equazione di stato dei gas erfetti si calcola il volume massico v : RT v 0, ,85 0 Alicando tra i unti e la formula della olitroica v m cost si ottiene il volume massico v : m m,9,85 0,56 m v v 0,4454 0,4454 0,5 0, 49 4,8 Con l equazione di stato dei gas erfetti si calcola la temeratura finale T : 6 v,48 0 0,49 T 07, K R 06 Ora si uò alicare la formula dell entroia er una generica trasformazione: T v S cv ln + R ln 0,09 0,544 8,87 0 /( K) 8,87 /( T v K ) 9. Dalla formula del rendimento del ciclo di Carnot T η 0 T si uò risalire alla temeratura T di ingresso del calore nel corso dell isoterma sueriore. Infatti, inserendo i valori numerici del rendimento e della temeratura T 0 in [K] del calore Q 0 scaricato, rimane come unica incognita la temeratura T : 58 0,68 T 50 T 9 K 0,68 La variazione di temeratura T è ari alla differenza fra le due temerature: T T T K anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 8 DI 0

19 Vol_C.doc Il ciclo di Carnot si resenta nel diagramma (T,S) in forma di rettangolo, avente er base la variazione di entroia S e er altezza la variazione di temeratura T. Dividendo l area del rettangolo (Q - Q 0) er l altezza (T) si trova la base: In altri termini, si è alicata la definizione di entroia. Q Q Q0 805 S 5 T T 76 K 0. Si alica la formula generale che lega l entalia con la caacità termica a ressione costante e con la variazione di temeratura: h c T 00 ( 90 8) 686 6, 86. Occorre darima calcolare i volumi massici iniziale v e finale v. RT v 0, 04 6,7 0 Alicando tra i unti e la formula dell adiabatica v k cost si ottiene il volume massico v : m k,9 7 0,775 m v v 0,04 0,04 7 0, 54 Con l equazione di stato dei gas erfetti si calcola la temeratura finale T : Quindi la variazione di entalia viene esressa come 5 v 0 0,54 T 85, 7 K R 89 ( ,7) h c T , 6 SOLUZIONI AI QUESITI DI AUTOVERIFICA ALL APPRENDIMENTO Le risoste contengono i concetti chiave e sono fornite in forma di schema.. Le trasformazioni irreversibili sono rocessi in base ai quali il sistema non uò tornare allo stato iniziale senza rodurre modificazioni nell ambiente esterno. Arendo il rubinetto della bombola il gas esande e si diffonde nell aria in modo sontaneo: l oerazione inversa non uò avvenire sontaneamente. Infatti, l oerazione inversa uò avvenire solo in seguito ad un rocesso industriale di filtraggio, comressione e omaggio che richiede un aorto di energia rilevante: tale rocesso è detto rocesso comensatore.. b). Falso 4. a) la differenza di ressione fra il gas e l ambiente esterno sia infinitesima; b) la differenza di temeratura fra il gas e l ambiente esterno sia infinitesima; c) non vi devono essere né disersioni di energia né erdite. 5. a) b) d) 6. Falso 7. sorgenti di calore; Q entrante; Q 0 uscente. 8. a) comressione adiabatica; b) esansione isoterma; c) esansione adiabatica; d) comressione isoterma. 9. Falso anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 9 DI 0

20 Vol_C.doc 0. Nessun motore termico che oera scambiando calore con due termostati uò essere iù efficiente di un motore termico di Carnot oerante fra le medesime temerature.. b) c). secondo rinciio; Termodinamica; Q 0 uscente; Q entrante. d) 4. Vero 5. infinito; zero assoluto. 6. a) ressione; b) temeratura; c) viscosità 7. L equazione dimensionale si resenta come segue: [ ] [ ] Q [ ] S T K K 8. c) 9. S A + S B 0. b) [ ] [ ] [ ]. La differenza tra il rodotto T ds e la quantità di calore infinitesima dq risulta uguale a zero er le trasformazioni ideali reversibili, maggiore di zero er le trasformazioni reali irreversibili.. b) e). Per l equazione T ds dq 0, una trasformazione adiabatica ideale (dq 0) risulta anche isentroica (S cost, er cui ds 0) e quindi è raresentabile nel diagramma (T,S) con un segmento verticale dato che tutti i suoi unti devono avere entroia costante. 4. rettangolo; il bilancio del calore scambiato. 5. Vero 6. L entalia di un fluido è definita come la somma dell energia interna U col lavoro di omaggio v. 7. b) d) 8. Falso 9. Al tendere a zero della temeratura assoluta anche l entroia di un coro tende a zero; al tendere a zero della temeratura assoluta tutti i ossibili stati fisici della materia assumono il medesimo valore di entroia ari a zero. 0. L equazione dimensionale dell entalia si resenta come segue: [ h] [ U + v] + anzalone bassignana - brafa musicoro: MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA Volume PAGINA 0 DI 0

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