Tonzig La fisica del calore

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1 4 onzig La fisica del calore batiche si trova 2 / = / 4, il che vuol dire che la [F] si riduce alla [E]. Ne deriva che, nello secifico caso di un gas erfetto, il rendimento di un ciclo di Carnot è [G] u C =. e A norma della [G], quando un gas erfetto subisce un ciclo di Carnot il rendimento del ciclo diende solo dalla temeratura delle due sorgenti: non dalla articolare osizione, nel iano di Claeyron, dei vertici del ciclo sulle due isoterme. Perché tale rendimento sia elevato, occorre che la temeratura u della sorgente fredda sia iccola in raorto alla temeratura e della sorgente calda. Se la temeratura Kelvin della sorgente fredda fosse zero, il rendimento risulterebbe unitario: tutto il calore assorbito dalla sorgente calda verrebbe trasformato in lavoro. Ma, come abbiamo già fatto notare, questa ossibilità è negata dal secondo rinciio della termodinamica. Per lo stesso motivo non è ossibile iotizzare che la sorgente fredda ossa trovarsi a una temeratura Kelvin minore di zero: in tal caso risulterebbe negativo anche il calore scambiato in uscita, il che significa che il sistema scambierebbe calore solo in entrata (a due diverse temerature) e, in contrasto col secondo rinciio, lo convertirebbe integralmente in lavoro. 0. In realtà, il rendimento esresso dalla [G] vale er qualsiasi ciclo di Carnot, indiendentemente dal fatto che il sistema che subisce il ciclo sia un gas erfetto, iuttosto che un qualsivoglia gas reale, oure un miscuglio gassoso, o un miscuglio di gas e vaore, o altro ancora. È quanto stabilisce il teorema di Carnot, a norma del quale i cicli reversibili che utilizzano le stesse due sorgenti hanno tutti lo stesso rendimento; tale rendimento non uò essere inferiore a quello di un ciclo irreversibile che utilizza le stesse sorgenti. La dimostrazione di tale teorema verrà data in seguito (ag. 49). edremo anche che il rinciio di aumento dell entroia (nella forma forte) imone in realtà che il rendimento dei cicli irreversibili a due sorgenti sia semre inferiore a quello dei cicli di Carnot.. Per quanto riguarda i cicli a iù sorgenti, dimostreremo (ag. 64) che il rendimento dei cicli in cui viene scambiato calore con sorgenti a temerature comrese tra un dato valore massimo e un dato valore minimo non uò suerare quello di un ciclo di Carnot tra le due temerature in questione: [H] min max min. max max Un ciclo reversibile a iù sorgenti otrebbe essere ad esemio un ciclo costituito da due isocore e due adiabatiche: le isocore infatti (e tutte le reversibili non isoterme) ossono essere reversibili solo se coinvolgono un numero infinito di sorgenti (con ciascuna delle quali il sistema deve via via trovarsi in equilibrio). edremo che il rendimento (effettivo) di un ciclo reversibile costituito, come il ciclo di Carnot, da

2 Caitolo Cicli termodinamici 5 due isoterme iù due olitroiche dello stesso indice (er esemio due isobare, oure due isocore), è identico a quello di un ciclo di Carnot tra le stesse isoterme. 2. Se immaginiamo che gli stati intermedi di un ciclo di Carnot si susseguano in ordine inverso, otteniamo chiaramente un ciclo frigorifero. errà dimostrato che: a) tutti i cicli frigoriferi di Carnot che utilizzano le stesse due sorgenti hanno la stessa efficienza; b) tale efficienza non uò essere inferiore a quella di un ciclo irreversibile che utilizza le stesse sorgenti; c) er i cicli frigoriferi che oerano tra una data temeratura minima e una data temeratura massima l efficienza non uò suerare quella di un ciclo inverso di Carnot tra tali temerature: [I] max min min, e coincide con quella di un ciclo frigorifero di Carnot nel caso di cicli reversibili costituiti da due isoterme e due olitroiche dello stesso indice.. Dalla [E] discende che il raorto tra due temerature Kelvin si uò misurare come raorto tra le due quantità di calore scambiate a quei dati valori di temeratura in un ciclo di Carnot. In articolare, assegnato alla temeratura Kelvin dell acqua al unto trilo il valore 27,6, ogni altra temeratura uò essere determinata misurando le quantità di calore scambiate da una qualsivoglia sostanza a temeratura 27,6 e a temeratura in un ciclo di Carnot: [L] q. 27,6 q tr La temeratura così determinata si chiama temeratura termodinamica [ ]. Si noti che, rorio erché tale rocesso di determinazione della temeratura non è in alcun modo legato alla natura fisica del sistema che subisce il ciclo, risulta con esso ossibile la misura di temerature così basse da non oter essere misurate con un termometro a gas [2]. In tutto il camo di temerature in cui il termometro a gas Chiaramente un ciclo di Carnot non è realizzabile in quanto reversibile, tuttavia l arossimazione uò essere indefinitamente migliorata rallentando convenientemente un ciclo reale a due sorgenti: la determinazione della temeratura termodinamica imlica dunque un rocedimento di estraolazione (valutazione del limite a cui tende, col rallentamento del rocesso, il raorto tra calore entrante e calore uscente). 2 Il camo di esistenza della fase gassosa non arriva in nessun caso allo zero assoluto: al di sotto di una certa temeratura (diversa er le diverse sostanze) l agitazione termica delle molecole è così rallentata da non oter revalere sull effetto di aggregazione della coesione molecolare. Con un termometro a gas che utilizza elio si uò arrivare a misurare temerature di 0,5 K, ma non temerature inferiori.

3 6 onzig La fisica del calore erfetto uò essere usato, le sue indicazioni coincidono col valore della temeratura termodinamica [].. Ciclo Otto e ciclo Diesel. La maggior sorgente di energia er usi industriali e civili è oggi costituita dalla combustione di materiali fossili (carbone, derivati liquidi e gassosi del etrolio) e da reazioni nucleari di fissione (scissione di nuclei atomici con roduzione di frammenti dotati di grande energia cinetica, trasferita oi er urto alle articelle circostanti con aumento dell agitazione termica): in entrambi i casi, l effetto energetico immediato è la roduzione di elevate temerature (dei rodotti gassosi della combustione nel rimo caso, del combustibile nucleare [4] nel secondo). Nel rimo caso (combustione di materiali fossili), l effetto termico ottenuto è talvolta utilizzato direttamente (riscaldamento di edifici, metallurgia); ma iù in generale l effetto termico è solo una fase intermedia a cui fa seguito un effetto meccanico, la roduzione di energia cinetica macroscoica: si ensi al moto delle turbine (e dei rotori dei generatori elettrici ad esse connessi) nelle centrali termoelettriche e nucleari, dove l effetto energetico ultimo è la roduzione di energia elettrica, oure si ensi alla roulsione dei veicoli azionati da motori a combustione interna. 2. Nel caso dei motori a combustione interna la sorgente fredda è l aria atmosferica, in cui vengono disersi i gas di scarico; la sorgente calda è invece uramente virtuale, esiste cioè solo nel rocesso immaginario che si assume ossa convenientemente raresentare il rocesso effettivo: in realtà, l energia introdotta ad ogni ciclo (e consumata er rodurre lavoro) non è calore, ma energia otenziale chimica: non roviene da una sorgente esterna, ma dal fluido stesso che subisce il ciclo.. Il ciclo Otto di un motore a scoio consta delle seguenti fasi successive: a) asirazione: valvola di asirazione aerta, riemimento del cilindro con una miscela di aria e vaori di benzina; b) comressione: valvole entrambe chiuse, mediante sostamento del istone il volume della miscela aria - benzina viene fortemente ridotto (orientativamente, ridotto di otto volte) con aumento di ressione e temeratura; Relativamente all uso di locuzioni come «temeratura Kelvin», «temeratura assoluta» e «temeratura termodinamica» si rileva un certo disaccordo tra gli Autori. In questo libro viene adottata la seguente terminologia: temeratura Kelvin (o temeratura assoluta) è la temeratura esressa con riferimento alla scala Kelvin, la scala termometrica i cui valori si ottengono da quelli della scala Celsius aggiungendo 27,5; temeratura del termometro a gas erfetto è la temeratura Kelvin determinata tramite un termometro a gas rarefatto, in funzione quindi della ressione esercitata dal gas in un contenitore di volume costante; temeratura termodinamica è la temeratura Kelvin determinata a mezzo di un ciclo di Carnot. 4 Uranio, sotto forma di lega metallica o di ossido (UO 2 ).

4 Caitolo Cicli termodinamici 7 c) combustione: eslosione della miscela (innescata da aosita scintilla), con ulteriore, forte aumento di ressione e temeratura; d) esansione: i gas combusti si esandono, il istone ritorna nella osizione originaria; e) scarico: valvola di scarico aerta, i gas combusti vengono esulsi all esterno. Il tutto richiede quattro «corse» del istone da un estremo all altro della sua traiettoria: sono i quattro «temi» del ciclo Otto. Il rimo temo corrisonde alla fase di asirazione, il secondo alla fase di comressione, il terzo alla fase di esansione, il quarto alla fase di scarico. 4. Il rocesso reale, decisamente comlesso, viene schematizzato assumendo che il materiale che lavora sia un gas q e erfetto biatomico (coefficiente adiabatico = 7/5 =,4). Si assume che il 2 rocesso subìto dal gas sia in sostanza equivalente a un ciclo reversibile costituito da due adiabatiche e due isocore: 4 q in fig., l adiabatica 2 raresenta u la fase di comressione; l isocora 2 raresenta la fase di combustione; l adiabatica 4 raresenta la fase di Fig. Il ciclo Otto. esansione; l isocora 4 raresenta l aertura della valvola di scarico con riristino nel cilindro delle condizioni iniziali di temeratura e ressione (seguono altre due fasi a ressione costante, la rima delle quali realizza l esulsione dei gas combusti, la seconda l asirazione della miscela fresca con riristino delle condizioni iniziali). Come si vede, nel ciclo teorico l aumento isocoro di temeratura e ressione della fase 2 (dovuto nel ciclo reale alle reazioni chimiche di combustione, e cioè alla trasformazione di energia otenziale chimica del carburante in energia termica) è attribuito all aorto di calore da arte di sorgenti esterne. 5. In tal modo, la quantità di calore che si suone venga somministrata al gas è q e = nc ( 2 ), e quella che viene immessa nell atmosfera è q u = nc ( 4 ). qu 4 Il rendimento del ciclo è ertanto = =. Essendo oi = q = 4 4 (er l adiabatica 4) e = 2 2 (er l adiabatica 2), se sottraiamo membro a membro (e teniamo conto che = 4 e 2 = ) otteniamo ( 2 ) 2 = ( 4 ) 4 2, da cui = = =, dove 2 R 0,4 R R indica il cosiddetto raorto di comressione (raorto tra volume massimo e e 2

5 8 onzig La fisica del calore volume minimo del gas durante il ciclo). In definitiva, il rendimento è [A] =. 0,4 R 6. Per ottenere alti rendimenti, sarebbero dunque necessari raorti di comressione molto elevati: ma ciò è recluso dal fatto che la miscela finirebbe er eslodere rematuramente rima cioè che il gas si trovi nelle condizioni di volume minimo a causa dell alta temeratura in tal modo raggiunta. Con aositi additivi chimici si riesce a raggiungere er il raorto di comressione un valore di circa 0, a cui secondo la [A] corrisonderebbe un rendimento del 60 %. In realtà, il valore così ottenuto è del tutto teorico: nei motori a benzina reali un rendimento del 0 % è già un risultato notevole. 7. Rendimenti sensibilmente migliori (esressi da relazioni diverse dalla [A]) si ossono ottenere con i motori a ciclo Diesel, nei quali il carburante viene addizionato all aria solo alla fine della fase di comressione, il che esclude il ericolo di una re-accensione e ermette quindi di utilizzare raorti di comressione molto iù elevati (da 5 a 20). Gli alti valori di temeratura raggiunti con la comressione fanno sì che la combustione del carburante iniettato nel cilindro si inneschi sontaneamente, senza necessità di scintilla. Il comlicato rocesso termodinamico reale viene schematizzato con un ciclo q e reversibile costituito da due adiabatiche, un isobara e un isocora. In fig. 4 l adiabatica 2 raresenta la fase di comressione dell aria, l isobara 2 raresenta la fase di iniezione del carburante 2 e di combustione, l adiabatica 4 q u 4 la fase di esansione, l isocora 4 l esulsione dei gas combusti e il riristino nel cilindro delle condizioni iniziali di ressione e temeratura (seguono la fase di scarico e la fase di asirazione). Fig.4 Il ciclo Diesel

6 Caitolo Cicli termodinamici 9 QUESII E PROBLEMI Un gas reale subisce un ciclo reversibile costituito da due isoterme iù due isocore. Saendo che il calore comlessivamente assorbito dal gas è q' = 500 cal, e che il calore comlessivamente ceduto è q" = 700 cal, stabilire se il gas è iù caldo in corrisondenza dell isoterma di esansione oure in corrisondenza dell isoterma di comressione. 2 Un sistema termodinamico subisce una trasformazione che lo riorta in definitiva allo stato iniziale, scambiando calore con tre sorgenti termiche e comiendo il lavoro L = 000 J. Saendo che le tre sorgenti hanno risettivamente temeratura 0 C, 00 C e 400 C, si chiarisca se è ossibile che il calore comlessivamente assorbito dal sistema nel ciclo sia 600 J. Una macchina termica di Carnot lavora scambiando calore risettivamente a 00 e a 00 C. Si determini quanto lavoro roduce comlessivamente la macchina nell intervallo di temo in cui viene assorbito il calore q = 0 8 J. 4 In un ciclo di Carnot, i rodotti «in croce» dei volumi, o delle ressioni, di un gas erfetto sono semre uguali: osto cioè che l esansione isoterma orti il sistema dallo stato allo stato 2 (fig.5), e 2 che la comressione isoterma orti il sistema dallo stato allo stato 4, risulta 4 semre = 2 4 (e lo stesso er le ressioni). Si chiarisca tale rorietà vale, nel caso di gas erfetto, anche er un ciclo costituito da due isoterme e due isobare, Fig.5 e er un ciclo costituito da due isoter- me e due isocore. 5 Un gas erfetto monoatomico subisce il seguente ciclo reversibile: riscaldamento isocoro fino al raddoio della ressione, esansione isobara fino a un volume tre volte iù grande, raffreddamento isocoro fino al riristino della ressione iniziale, comressione isobara fino al volume iniziale. Si determini il rendimento del ciclo, e lo si confronti col rendimento di un ciclo di Carnot tra le stesse temerature estreme. 6 Un gas erfetto monoatomico subisce il ciclo reversibile mostrato in fig. 6: esansione isoterma dallo stato = 8 atm, = = 0,2 fino al volume 2 =, comressione isobara fino al volume iniziale, riscaldamento 2 isocoro fino alla ressione iniziale. Determinare il rendimento del ciclo, e confrontarlo col rendimento di un ciclo di Carnot Fig.6 fra le stesse temerature estreme.

7 40 onzig La fisica del calore 7 Un gas erfetto biatomico subisce il ciclo reversibile mostrato in fig. 7: esansione isobara dallo stato = 5 atm, = fino al raddoio del volume, esansione adiabatica fino alla temeratura iniziale, comressione isoterma fino al volume iniziale. Determinare il rendimento del ciclo. Fig.7 8 * A volte il rendimento di un ciclo termico, raorto tra il lavoro rodotto e il calore assorbito, viene valutato escludendo dal comuto quella arte del calore assorbito che viene soltanto «resa a restito», nel senso che durante il ciclo tale calore viene rima assorbito ma oi integralmente restituito alla stessa temeratura. Con tale convenzione, risulta che tutti i cicli reversibili costituiti da due isoterme + due olitroiche dello stesso tio hanno lo stesso rendimento di un ciclo di Carnot fra le stesse isoterme. Lo si dimostri: (a) con riferimento a un ciclo di Ericsson (due isoterme + due isobare); (b) con riferimento a un ciclo di Stirling (due isoterme + due isocore). 9 In una giornata articolarmente calda, la signora Giovanna, che sta lavorando in cucina, decide di lasciare aerta la orta del frigorifero, nella seranza che ciò serva a rinfrescare l ambiente. È una buona idea? 0 Una macchina frigorifera ha efficienza 5. Che raorto c è tra calore ceduto ad alta temeratura e calore sottratto a bassa temeratura? (a) Si chiama oma di calore una macchina frigorifera che, d inverno, assorbe calore dall aria esterna e cede calore all aria di un ambiente da riscaldare. Suoniamo che l efficienza del ciclo sia 5: quanta energia consuma in tal caso la macchina er ogni caloria fornita all aria interna? (b) La stessa macchina uò servire, d estate, er sottrarre calore all aria interna e cederlo all aria esterna. Quanta energia consuma, er ogni caloria sottratta all aria da refrigerare, una macchina frigorifera di efficienza 5? 2 Una macchina frigorifera lavora relevando calore dall aria di un locale a 22 C e cedendo calore all aria esterna, a una temeratura di 4 C. Quanta energia consuma, come minimo, er ogni caloria sottratta all aria interna? Entro quali valori estremi uò variare l efficienza di una macchina frigorifera di Carnot? 4 * Una macchina frigorifera, azionata da un motore da 00 W, deve mantenere al valore di 20 C la temeratura interna di un frigorifero osto in un ambiente a 0 C. Si trovi: (a) quale valore massimo uò, in teoria, assumere il flusso di calore (calorie al secondo) dall esterno all interno del frigorifero er conduzione termica delle areti, senza che la temeratura interna subisca variazioni; (b) quale sarebbe la risosta nel caso la macchina avesse un efficienza ari al 2

8 Caitolo Cicli termodinamici 4 60 % di quella di una macchina frigorifera di Carnot, e nel caso l efficienza fosse invece solo il 0 % dell efficienza ideale. Altri quesiti e roblemi relativi ai cicli termodinamici vengono roosti al caitolo entroia, a artire dal n.6 di ag.70. RISPOSE Dato che il calore comlessivamente assorbito dal gas nel ciclo è negativo, anche il lavoro comiuto è negativo (q = L + U, con U = 0 erché stato finale e stato iniziale coincidono). Il ciclo è quindi ercorso dal gas in senso antiorario (fig.8): dal che si desume che, in fase di comressione, la temeratura (costante) del gas è iù elevata che in fase di esansione. 2 Se il calore assorbito fosse 600 J, il rendimento del ciclo sarebbe = L/q = = 000/600 = 0,625. Il teorema di Carnot stabilisce che, indiendentemente dal sistema termodinamico che si considera, nessun ciclo tra due temerature estreme (in questo caso, 0 C e 400 C) uò avere rendimento sueriore a quello di un ciclo di Carnot tra le stesse temerature: C = ( min / max ) = (0+27) / (400+27) = 0,594. Dato che il rendimento rima calcolato non soddisfa a tale condizione, non è ossibile che il calore assorbito in un ciclo abbia il valore indicato. Il lavoro rodotto dalla macchina in un ciclo (o in un numero intero di cicli) è, er definizione, il rodotto del calore scambiato dalla macchina in entrata er il rendimento ( = L/q e ). Per il rimo rinciio è L = q e q u, erciò = = q u /q e. Nel caso articolare del ciclo di Carnot è = ( u / e ). Nel caso quindi del roblema risulta L = q e = [ (00+27)/(00+27)] 0 8 J = 0, J =, J. Osservazione. A riori non è detto che nell intervallo di temo in cui viene assorbito il calore q e = 0 8 J la macchina comia un numero intero di cicli: se così non fosse, il bilancio energetico del sistema termodinamico coinvolto non sarebbe L = q e q u, ma L = q e q u U. Per come erò la domanda è osta, è lecito suorre che la questione non si onga: ossiamo ad esemio immaginare che il numero di cicli comletati sia abbastanza grande da rendere comunque trascurabile U in raorto alla differenza q e q u tra calore comlessiva- 2 mente assorbito e calore comlessivamente ceduto. 4 Sì. Nel caso di un ciclo costituito da due isoterme e due isobare (fig.9), il fatto che sia = 2 significa (er la = nr) che è 2 / = 2 /, e il fatto che Fig.8 4 Fig. 9