Valvole di espansione, pompe, compressori, turbine. mentre per i bilanci stazionari dell energia e dell entropia la forma generale e la seguente:

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1 Valvole di esansione, ome, comressori, turbine. Forma unificata dei bilanci Se si osservano le raresentazioni scematice allegate (agina 4, figure 4.5, 4.6, 4.7 e 4.9) risulta evidente come valvole di esansione, ome, comressori e turbine siano aarecciature con un solo ingresso ed una sola uscita. Il loro bilancio di massa stazionario, riferito ad un volume di controllo ce racciuda l intera aarecciatura resa al momento in esame, riseccia quindi questa struttura unificata dove sono aboliti gli indici distintivi delle ortate d ingresso e d uscita er sottolinearne l effettiva coincidenza: m m m () mentre er i bilanci stazionari dell energia e dell entroia la forma generale e la seguente: Q W ' m g m g j Q j mt j s s g b g irr 0 z z 0 () Dalle formulazioni comuni recedenti si traggono le identita rorie di ogni singola aarecciatura tra quelle elencate, eliminando volta er volta i termini ce mancano o sono trascurabili.. Valvole di esansione Una valvola di esansione viene collocata lungo una conduttura quando occorre creare un brusco salto nella ressione accomagnato dall esandersi del fluido in transito. Per indicarla in uno scema d imianto si usa di solito questa simbologia: ed e costituita da due lamine trasversali ce delimitano una strettoia d amiezza regolabile o da un setto oroso. L attraversamento della valvola di esansione avviene usualmente in condizioni ressoce adiabatice, senza scambi di lavoro e senza variazioni arezzabili nella velocita o nella quota. I bilanci stazionari d energia e di entroia, dedotti dalla formulazione generale (), sono dunque: b 0 irr s s (4) L esansione aare isoentalica (ossia realizza un effetto Joule-Tomson) ed il cambiamento dell entroia e dovuto unicamente alle irersibilita resenti. Esercizio Una valvola di esansione adiabatica sta funzionando in regime stazionario, con ressioni d ingresso e d uscita risettivamente ari a 6 bars e ad bar.

2 Il materiale ce fluisce e costituito da aria con temeratura d ingresso C ed assimilabile nel comortamento ad un gas erfetto (massa molecolare 8.97 g mol - ). Si valutino la temeratura all uscita e la roduzione entroica causata da irersibilita, riferendola al transito di una massa unitaria. Sono del tutto trascurabili le variazioni delle energie cinetica e otenziale connesse al assaggio nella valvola. * * * Il volume di controllo cui verra fatto riferimento avvolge l intera valvola: mentre i bilanci di energia ed entroia anno la forma: b 0 irr s s L aria deve manifestare una temeratura d uscita ce non uo essere diversa da quella in entrata: oice er un gas erfetto l entalia diende solo dalla temeratura all invarianza entalica corrisonde isotermia (T = T = C). Il calcolo della roduzione entroica dovuta ad irersibilita deve tener quindi conto del solo salto di ressione, mancando contributi addebitabili alla temeratura: b irr s 8.34 s Rln xln J g K J g K 3. Pome, comressori, turbine Pome e comressori sono aarecciature utilizzate er accrescere la ressione cui e sottoosto un fluido. Di solito si arla di oma quando il fluido trattato e un liquido, mentre si ricorre al termine comressore quando i fluidi in transito sono gas o vaori. La differenziazione coinvolge ance i simboli imiantistici di uso corrente: Per quanto riguarda la struttura ome e comressori risultano tuttavia molto simili e la caratteristica comune consiste nella resenza al loro interno di elementi ce debbono esercitare azioni comressive sui fluidi trattati. Facendo riferimento alla tiologia dei mezzi con cui sono

3 realizzati gli effetti di comressione i comressori vengono distinti in assiali, centrifugi, rotativi, alternativi. Analogamente le ome ossono essere centrifuge, rotative, alternative. Una turbina deve realizzare esansioni in grado di rodurre lavoro meccanico. L elemento iu significativo del suo assetto interno e un albero rotante a ale. Su di esse scorre il fluido, risucciato dalla caduta nella ressione ce ne causa l esandersi, ed il moto rotatorio imresso all albero costituisce lavoro meccanico utilizzabile dalle aarecciature cui la turbina e annessa (sesso si tratta di generatori elettrici). Il simbolo imiantistico di una turbina a usualmente questo asetto: Pome, comressori e turbine oerano di solito in condizioni ressoce adiabatice, senza dare origine a cambiamenti rimarcevoli delle energie cinetica e otenziale. Pertanto i loro bilanci stazionari relativi all energia ed all entroia, ottenuti adattando le forme generali (), si resentano in genere cosi : W ' m b s s irr (7) Il lavoro assorbito (ome, comressori) o rodotto (turbine) e valutato da una differenza entalica, mentre la variazione entroica diende soltanto da eventuali effetti di irersibilita. 4. Comressioni ed esansioni ersibili Per valutare in maniera iu agevole il lavoro riguardante ome, comressori e turbine conviene riferirsi a comortamenti ideali, contraddistinti da totale ersibilita, ottenendo risultati alicabili ad aarecciature concrete attraverso moltilicazione er fattori correttivi detti rendimenti isoentroici. Se alle iotesi gia formulate (adiabaticita, irrilevanza dei cambiamenti delle energie cinetica e otenziale) si aggiungono caratteristice oerative ersibili le relazioni (7) diventano: W ' m s s (8) Il lavoro assorbito o rodotto continua ad essere esresso da una variazione entalica, ma tra due stati con identica entroia (er l assenza sia di calore scambiato ce di irersibilta ). Se sono disonibili tabelle termodinamice relative al fluido comresso od esanso il calcolo del lavoro ersibile si realizza sottraendo l uno dall altro i valori dell entalia letti in corrisondenza degli stati iniziale e finale. Il vincolo ce deve essere soddisfatto dall entroia aiuta ad individuare correttamente le due valutazioni entalice necessarie. Quando mancano tabelle idonee il cambiamento manifestato dall entalia va ottenuto in una maniera alternativa del tutto equivalente, facendo ricorso ad un integrale. L identita valida semre: 3

4 d T ds vd (9) assume in questo caso, er l invarianza cui deve sottostare l entroia, una forma semlificata: d v d (0) e quindi il calcolo del salto entalico collegato al lavoro si realizza integrando sulla ressione: d v d () Poice al volume secifico v cometono valori ositivi il segno algebrico riscontrabile nel risultato dell integrazione deve corrisondere a quello, ositivo o negativo, dell elemento infinitesimo d. Si ottiene ertanto un incremento nell entalia ( > ) quando d > 0 (ossia nel caso della comressione), decrescita dell entalia ( < ) quando d < 0 (ossia se si verifica un esansione). Il salto entalico valuta il lavoro doo ce si e rovesciato il suo segno algebrico. Come era da attendersi a ome e comressori viene ad essere attribuito un lavoro negativo (sono sistemi nei quali energia assorbita dall esterno costituisce risorsa er comrimere fluidi), mentre aare ositivo il lavoro di una turbina (ce esande un fluido e ne trae energia da cedere all esterno). L integrale diventa concretamente valutabile quando sia noto come il volume dienda dalla ressione lungo il ercorso isoentroico ce collega gli stati cui corrisondono le entalie ed. La diendenza a una forma molto semlice er un liquido. Il suo volume secifico e infatti da ritenersi a tutti gli effetti costante a causa della ressoce comleta incomressibilita. Si uo quindi attribuirgli il valore rorio dello stato iniziale e mantenerlo ovunque identico: v v () Nel caso di gas o vaori conviene resumere comortamenti ideali ed iotizzare ce i loro calori secifici c e c v assumano valori costanti, se si vuol giungere ad una relazione non troo elaborata. Introducendo questa iotesi ogni stato sulla traiettoria ad entroia invariante vede i valori della sua ressione e del suo volume secifico v connettersi a quelli iniziali e v attraverso un vincolo termodinamico ce rientra nella tiologia olitroica ed in cui si riflette il carattere isoentroico del ercorso di collegamento: v v (3) con: c (4) c v Le identita () e (3) consentono il calcolo dell integrale. Quando il fluido e un liquido si giunge immediatamente al risultato: v d v d v (5) 4

5 Se si a a ce fare con un gas od un vaore occorre qualce assaggio in iu : v d v RT d v v (6) Sono divenute disonibili sia er un liquido ce er un fluido allo stato gassoso formule nelle quali il valore ottenuto integrando aare roorzionale al volume secifico v rorio del fluido nel momento d avvio della comressione o dell esansione, attraverso fattori il cui ordine di grandezza non e estremamente diverso se vien fatto riferimento alle medesime ressioni e. Poice la roorzionalita si trasferisce al lavoro seso o ricavato, aare ciaro come convenga er quanto ossibile comrimere liquidi (anno un modesto volume secifico e quindi riciedono oco disendio di lavoro) mentre la convenienza si sosta su gas e vaori quando occorre esandere (i volumi secifici elevati garantiscono un maggior lavoro ricavabile). Esercizio Ad una turbina adiabatica ce oera in regime stazionario con modalita totalmente ersibili affluisce aria alla ressione di atm ed alla temeratura di 67 C. La ressione d uscita e atm, l aria a il comortamento d un gas erfetto con massa molecolare 8.97 g mol - e risultano del tutto trascurabili le variazioni delle energie cinetica e otenziale ce accomagnano il suo esandersi. Si ciede di valutare con due metodologie diverse il lavoro rodotto dalla turbina er ogni unita di massa dell aria caricata: a) ricorrendo ai dati contenuti nella tabella A-6 b) integrando il rodotto v d (si assuma ce valga.4 il raorto tra i calori secifici a ressione ed a volume costante). * * * E oortuno scegliere un volume di controllo ce includa l intera turbina: I bilanci d energia e di entroia anno la forma seguente: 5

6 W ' m s s ed il calcolo del lavoro va condotto nelle due maniere rosettate. a) La tabella A-6 fornisce la seguente valutazione dell entalia secifica alla temeratura d ingresso (T = 67 C = 340 K): J g Il vincolo isoentroico consente di ricorrere alle ressioni relative er giungere ad individuare (attraverso interolazione sulla medesima tabella) l entalia secifica in corrisondenza dell uscita: r T r T x.49 x x J g E ora ossibile valutare il lavoro rodotto: W ' m J g 40 b) Al lavoro si erviene attraverso integrazione: W ' m RT x x340 x 6. J g 5. Comressione su iu stadi Il lavoro assorbito da un comressore ce oeri in modo totalmente ersibile, esresso dall identita (6), uo diventare molto rilevante se il raorto tra la ressione d uscita e la ressione d ingresso risulta elevato. Per ridurne l entita si uo ensare di ricorrere ad una comressione ce suddivida su due stadi l ottenimento del medesimo effetto ressorio. Utilizzando un rimo comressore si innalza cioe la ressione dal suo valore iniziale ad un valore intermedio ', si introduce oi un rocesso refrigerante isobaro ce riristina la temeratura T recedente all intervento comressorio, si fa infine ricorso ad un secondo comressore cui setta accrescere la ressione fino al valore atteso. Su un diagramma /v riferito ad un gas ideale la comressione suddivisa in due stadi, entrambi ersibili ed inframmezzati da un raffreddamento isobaro, assume questo asetto: 6

7 7 Ad un tratto adiabatico ' (rima comressione) segue un tratto isobaro ''' (raffreddamento intermedio) ed aare oi un tratto conclusivo ''' (seconda comressione). La comressione adiabatica ersibile adeguata a rirodurre il medesimo effetto ressorio in un unico stadio avrebbe seguito il ercorso '. Pertanto l area racciusa dai riferimenti '''' misura il lavoro risarmiato assando al rocesso a due stadi. Il lavoro da sendere nella comressione riartita su due momenti si valuta sommando due contributi, entrambi esrimibili avvalendosi dell identita (6), in quanto sussiste ersibilita : ' ' RT ' RT' ' RT m W' (8) Nel dedurre il risultato si e tenuto conto del fatto ce deve aversi: T ' T (9) E ossibile scegliere la ressione intermedia ' in maniera tale ce sia minimo il lavoro da sendere. L obiettivo si consegue attraverso l azzeramento della derivata rima risetto a ' dell esressione ce fornisce il lavoro. Nasce l identita : 0 ' ' (0) dalla quale discende ce deve essere: ' ()

8 Si otrebbe verificare ce se il numero degli stadi crescesse, assando da ad un valore iu elevato s, la scelta ottimizzata delle ressioni intermedie, ancora condotta er rendere minimo il lavoro seso, darebbe origine alla catena di identita : ' s '' '''... ' '' () 6. Rendimenti isoentroici di ome, comressori e turbine Pome, comressori e turbine reali resentano inevitabilmente caratteristice iu o meno accentuate di irersibilita. Le relazioni (7) mostrano come una comressione od esansione irersibile sia accomagnata da crescita dell entroia, mentre nei corrisondenti rocessi ideali ersibili l entroia si mantiene costante. Sembra allora oortuno imostare un confronto tra un aarecciatura (oma, comressore o turbina) ce oeri irersibilmente ed un aarecciatura analoga ersibile in cui le ressioni d ingresso e d uscita siano identice. L identita va estesa al fluido in transito ed alle condizioni nelle quali si trova quando raggiunge le due aarecciature (all ingresso oltre alla ressione devono dunque ritenersi coincidenti la temeratura, il volume secifico,...). E il medesimo lo stato riscontrabile sulle due entrate, ma gli stati all uscita sono necessariamente differenti (li accomuna la ressione, er l iotesi dalla quale si e artiti, ma li diversifica il valore entroico). Se si ricorre ad un diagramma bidimensionale entalia/entroia er dare evidenza grafica ad entrambe le situazioni aragonate devono comarire, insieme al unto ce individua l unico stato in entrata, due unti er le uscite su di una medesima isobara. Possono essere indicati come s e (l indice s aosto al rimo secifica la sua ertinenza con un rocesso ideale ersibile in cui rimane costante l entroia s, mentre viene riservata l indicazione senza la s al rocesso effettivo, irersibile). I unti e s devono corrisondere a valori identici della coordinata entroica, mentre al unto setta un entroia iu alta. L entalia del unto e necessariamente inferiore a quelle degli altri due unti in caso di comressione (ce imlica crescita entalica e lavoro negativo), le suera invece entrambe quando vien fatto riferimento ad un esansione (ce crea caduta entalica e lavoro ositivo). Inoltre l entalia del unto e semre e comunque iu elevata risetto a quella del unto s. E un vincolo conseguente al collocarsi di ambedue i unti sulla medesima isobara con entroie differenti (s > s s ). La relazione termodinamica generale (9), alicata a condizioni isobare (d = 0), ermette infatti di dedurre la seguente identita : s T (3) Poice la temeratura assume valori sistematicamente ositivi le variazioni isobare dell entalia e dell entroia debbono manifestare segni algebrici concordi, quindi l aver resuosto s > s s comorta > s. In altre arole all irersibilita si accomagnano entalie di uscita dalle aarecciature maggiori risetto alla ersibilita, sia nella comressione ce nell esansione. Aare d altra arte risettata un evidenza fisica: l irersibilita di ome, comressori e turbine nasce sorattutto da effetti d attrito interni ce rovocano surriscaldamenti, ovvero crescite surie dell entalia dovute ad energie termice arassite. L insieme delle considerazioni aena riortate ermette di concludere ce i unti, e s si osizionano in questo modo su diagrammi entalia/entroia: 8

9 Il aragone tra comressioni ed esansioni ideali isoentroice e comressioni ed esansioni concrete diventa quantitativo attraverso i rendimenti isoentroici di ome, comressori e turbine. Vengono sesso indicati come (rendimento isoentroico di una oma), c (rendimento isoentroico di un comressore), t (rendimento isoentroico di una turbina) e sono definiti cosi : W '/ m W '/ m W '/ m c W '/ m W '/ m t W '/ m (5) con: W '/ m W '/ m s (6) Aaiono dunque come termini frazionari in cui il lavoro rorio di una oma reale, di un comressore reale o di una turbina reale e raortato al lavoro edibile er la corrisondente aarecciatura isoentroica con caratteristice ideali, oerante tra le medesime ressioni, sullo stesso fluido ed a artire da identice condizioni d ingresso. I rendimenti isoentroici sono arametri adimensionali con valori non negativi ce anno l unita come limite sueriore. Lo si verifica agevolmente osservando le situazioni rosettate sulle figure (4). Nel caso di una comressione risulta: s (7) 9

10 da cui segue: W '/ m W '/ m W '/ m c W '/ m s s (8) Quando si assa alle esansioni il quadro diventa: s (9) e ertanto: W '/ m t (30) s W '/ m In una oma od in un comressore con caratteristice di irersibilita il lavoro effettivo da sendere e semre maggiore risetto a quello ce si senderebbe oerando ersibilmente, mentre il lavoro rodotto da una turbina dove siano resenti cause di irersibilita rimane comunque una frazione del lavoro ideale ersibile. Pome, comressori e turbine reali raggiungono rendimenti isoentroici ce di solito si attestano tra il 70% ed il 95%. Quando il rendimento isoentroico di una oma, di un comressore o di una turbina e noto diventa ossibile valutare il lavoro assorbito ovvero rodotto mediante calcoli condotti sulle trasformazioni ersibili collegate. Per valutare invece un rendimento isoentroico occorre avere a disosizione dati riferiti al lavoro reale e raortarli ai valori ideali. Esercizio All interno di un comressore con areti adiabatice transita, in regime stazionario, aria assimilabile ad un gas erfetto. Pressione e temeratura in corrisondenza dell ingresso sono risettivamente atm e 7 C, la ressione d uscita e 5 atm ed il comressore assorbe una quantita di lavoro ari a 00 J er ogni cilogrammo d aria caricato. Si vogliono determinare la temeratura dell aria all uscita ed il rendimento isoentroico del comressore. Sono da ritenersi trascurabili le eventuali variazioni delle energie cinetica e otenziale. * * * Il volume di controllo d aoggio, tratteggiato nel seguente scema, include l intero comressore: 0

11 Il rendimento isoentroico viene esresso dalla formula: W '/ m c W '/ m dove: W '/ m W '/ m con: s s s 00J g s La tabella A-6 fornisce il valore di (da leggere alla temeratura di ingresso T = 7 C = 90 K) : 90. 6J g e oice si conosce il lavoro effettivo er unita di massa diventa ossibile ottenere, da cui si risale alla temeratura d uscita attraverso interolazione sulla tabella A-6: T W '/ m J g x K 4.5C Ad s conducono le ressioni relative riortate dalla tabella A-6, ancora rocedendo interolativamente: r s T x T r x x J g

12 Sono ora tutti disonibili i valori entalici dai quali diende il rendimento isoentroico: c W '/ m W '/ m s Esercizio Una turbina con areti adiabatice e con rendimento isoentroico del 90% funziona in regime stazionario. Vi transita, con una ortata di 5 g s -, acqua ce all ingresso e nello stato di uro vaor saturo alla ressione di 0 bars. La ressione d uscita e bar. Sono del tutto trascurabili le variazioni delle energie cinetica e otenziale causate dall attraversamento della turbina. Si ciedono i valori, riferiti all unita di temo, del lavoro ce uo essere ottenuto dalla turbina e della roduzione entroica causata da irersibilita collegabile al assaggio del fluido. * * * E oortuno riferirsi ad un volume di controllo ce racciuda l intera turbina. Aare tratteggiato nel seguente scema: Al lavoro effettivo rodotto in un temo unitario si uo giungere moltilicando il lavoro ersibile er il rendimento isoentroico: W' m con: s s s t ' W m t Mentre e immediatamente reeribile sulla tabella A-3: s 778. Jg il calcolo di s deve essere receduto da alcune considerazioni ce coinvolgono l entroia. Il valore di s s coincide con il valore di s, tratto dalla tabella A-3: s s s Jg K ed aare comreso tra quelli delle entroie secifice del liquido saturo e del vaor saturo riortati nella tabella A-3 er la ressione di bar. Se ne deduce ce oerando in maniera isoentroica dalla

13 turbina si recuererebbe una miscela bifasica all equilibrio, il cui titolo e valutabile e consente di determinare s : s s g ss s f bar bar s f bar bar bar bar f x x Jg g f A-3. I valori entroici ed entalici relativi alla ressione di bar sono stati tutti letti sulla tabella Si e ora in grado di calcolare il lavoro effettivo ottenibile: ' W 0.90 x5x W t m s 34 Alla roduzione di entroia causata da irersibilita si erviene valutando una differenza entroica: B irr m s s Mentre s e gia noto occorre determinare s avvalendosi di, cui da adito la conoscenza del lavoro svolto: W ' m Jg Il valore ottenuto er va a cadere tra quelli relativi alle entalie secifice del liquido saturo e del vaor saturo leggibili sulla tabella A-3 in corrisondenza della ressione di bar. Ance esandendosi nelle condizioni oerative reali l acqua esce dunque dalla turbina come miscela bifasica all equilibrio. Utilizzando ancora letture sulla tabella A-3 si riescono a calcolare il titolo di tale miscela e subito doo la sua entroia secifica s : s B irr g s f bar bar f bar bar s bar s bar f x x Jg K g f Un ultimo assaggio conduce alla roduzione entroica riciesta: m s s 5x W K

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