Lezioni di Analisi Matematica IV

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1 Lezioni di Analisi Matematica IV Giancarlo Teppati Dipartimento di Matematica del Politecnico di Torino Anno accademico -3

2 Lezione Campi vettoriali Si dice campo vettoriale (nello spazio) una corrispondenza che abbia come dominio e immagine sottoinsiemi di R 3 (x, y, z) (F (x, y, z), F (x, y, z), F 3 (x, y, z)). Tale corrispondenza si può anche indicare con la notazione: r F ( r) ( r = x i + x i + x 3 i 3 ), F = F i + F i + F 3 i 3. Una corrispondenza R 3 R si dice invece campo scalare. Un campo vettoriale piano si scrive, per analogia, come: F = F i + F i. In ogni caso, l intensità di un campo vettoriale F è rappresentata dal suo modulo F. Esempi. ) Campo gravitazionale G(x, y, z) generato da una massa puntiforme m situata in P = (x, y, z ): G(x, y, z) = G( r) = g r r r r 3 m ) Campo elettrostatico E(x, y, z) generato da una carica puntiforme di valore q situata in P = (x, y, z ): E(x, y, z) = E( r) = K r r r r 3 q 3) Campo di velocità di un solido rotante all asse z con velocità angolare ω i 3 : v( r) = ω i 3 r = ωy i + ωx i (tale campo, essendo costante rispetto a z, può essere considerato come campo vettoriale piano).

3 Le linee di campo sono le curve tangenti in ogni punto al vettore F ( r). Le linee di campo di un campo F non dipendono dall intensità di F (che è il modulo di F ) ma solo dalla direzione di ogni vettore del campo. La determinazione delle linee di campo può essere effettuata nel modo seguente. Sia r(t) = (x(t), y(t), (z(t)) l equazione parametrica di una linea di campo. La tangente d r dt deve allora essere parallela, t, a F ( r(t)). Segue: ovvero: d r dt = µ(t) F ( r(t)), dx dt = µ(t)f, da cui, eguagliando: dy dt = µ(t)f, dx = dy = dz. F F F 3 dz dt = µ(t)f 3, Segue che le linee di campo si possono determinare se esiste una funzione f tale che f = P (x), f = Q(y), f = R(z). F F F 3 Esempi. ) Linee di campo di un campo gravitazionale. Sia: G(x, y, z) = G( r) = g r r r r m = gm (x x ) i + (y y ) i + (z z ) i 3 3 ( (x x ) + (y y ) + (z z ) ). 3 Segue: dx x x = dy y y = dz z z, da cui si ottiene: ln x x + ln C = ln y y + ln C = ln z z + ln C 3 e

4 3 C (x x ) = C (y y ) = C 3 (z z ). Si tratta dunque di una famiglia di piani, passanti per il punto (x, y, z ), che danno origine ad una famiglia di rette dipendente da due parametri. ) Le linee di campo del campo di velocità ωy i + ωx i soddisfano a: ovvero a: che equivale a: dx y = dy x xdx + ydy = x + y = C. Si tratta pertanto di cerchi giacenti nel piano (x, y), mentre in R 3 si ha: 3) Linee di campo del campo: x + y = C, z = C F = e xyz (x i + y i + z i 3 ). Si ha: da cui: e si ricava: dx e xyz x = dy e xyz y = dz e xyz z y dx = xdy, zdx = xdz, y dz = zdy cioè: Si ricava infine: ln x + ln C = y, ln x + ln C = ln z, y = ln z + ln C 3, (essendo k e C 3 costanti arbitrarie). e y = C x, z = C x, e y = C3 z. z = kx, y = ln(c 3 z) Nel seguito, utilizzeremo i seguenti operatori: = x i + y i + z i 3 (nabla),

5 4 = x + y + z (laplaciano). Tramite questi operatori, gradiente, divergenza e rotore seguente (F campo scalare, F campo vettoriale): si esprimono nel modo gradf = F = F x i + F y i + F z i 3, div F = F = F x + F y + F 3 z rotf = F = ( F 3 y F z ) i + ( F z F 3 x ) i + ( F x F y ) i 3 Altre utili espressioni sono: div( gradf ) = F = F x + F y + F z rot( rot F ) = ( F ) F = grad( div F ) grad grad( F ). Campi vettoriali piani e coordinate polari nel piano. Le coordinate polari nel piano sono definite da: x = cos θ ρ = x + y y = sin θ θ = arctan y x I versori lungo le direzioni r e θ sono definiti da: i r = cos θ i + sin θ i i θ = sin θ i + cos θ i da cui segue: i r = i θ = i r i θ =. Pertanto, un campo vettoriale piano F (x, y) si può anche esprimere, in coordinate polari, nel modo seguente: F (x, y) = F (ρ cos θ, ρ sin θ) = G(ρ, θ) = G ρ (ρ, θ) i ρ + G θ (ρ, θ) i θ.

6 5 Esempi. ) F (x, y) = (cos arctan y x sin arctan y x ) i + (cos arctan y x + sin arctan y x ) i = = (cos θ sin θ) i + (cos θ + sin θ) i = i r + i θ F = ) F (x, y) = (cos arctan y x x + y sin arctan y x ) i + +(sin arctan y x + x + y cos arctan y x ) i = = (cos θ ρ sin θ) i + (sin θ + ρ cos θ) i = i r + ρ i θ F = + ρ

7 6 Lezione Potenziali Dato un campo vettoriale F è lecito chiedersi se esista un campo scalare V tale che: F = gradv = V x i + V y i + V z i 3. La risposta a questa domanda è, in generale, negativa. Se però, in un dominio D di R 3, dato un campo vettoriale F, esiste un campo scalare V tale che: F = gradv si dice che F è un campo vettoriale conservativo e V si dice potenziale scalare di F. V è ovviamente determinato a meno di una costante arbitraria. Condizione necessaria e sufficiente affinché un campo vettoriale F sia conservativo è che esista un campo scalare V tale che: dv = F dx + F dy + F 3 dz. Esempi. ) Dato il campo scalare: si deduce subito: gradv = gm grad r r = gm V = gm r r grad (x x ) + (y y ) + (z z ) = = gm (x x ) i + (y y ) i + (z z ) i 3 ( (x x ) + (y y ) + (z z ) ) 3 ) (Esempio di un campo non conservativo). Sia dato il campo piano di velocità F = ωy i + ωx i. Cerchiamo un campo scalare V (x, y) tale che: V x = ωy, V y = ωx

8 7 Integrando le due equazioni (la prima rispetto a x, la seconda rispetto a y), si ottiene: V (x, y) = ωxy + ϕ (y), V (x, y) = ωxy + ϕ (x). Eguagliando, si ricava: ωxy = ϕ (y) ϕ (x), equazione impossibile da soddisfare (a primo membro c è il prodotto delle due variabili, che deve eguagliare la differenza di una funzione della sola x con una funzione della sola y). Segue che il campo di velocità non è conservativo. Vista la condizione necessaria e sufficiente affinché F sia conservativo, si deduce una ulteriore condizione necessaria affinché F sia conservativo: rot F =, ( = vettore nullo). Ciò equivale a scrivere: F 3 y = F z, F z = F 3 x, F x = F y. Infatti, se F è conservativo, allora esiste V tale che: e di conseguenza: V x = F, V y = F, V y z = F 3 y = V z y = F z, V z = F 3 purché al campo scalare V sia applicabile il teorema di inversione dell ordine delle derivazioni parziali). Superfici equipotenziali Se F è un campo conservativo e V un suo potenziale, le superfici di livello V (x, y, z, ) = C si dicono superfici equipotenziali di F. Le linee di campo sono ortogonali a tali superfici. Esempi ) Superfici equipotenziali di Sono definite da: e sono sfere di centro r e raggi gm C. etc. G(x, y, z) = G( r) = gm r r r r 3. gm r r = C

9 8 ) Sia F = e x cos y i + e x sin y i. Essendo: si ricava: F = e x cos y, F = e x sin y, F y = F x = ex sin y e F è conservativo. Possiamo dunque determinare (a meno di costanti) un campo scalare V tale che V = F. Si ha: e V x = ex cos y V (x, y) = e x cos y + ϕ (y) V y = ex sin y e x sin y + ϕ (y) ϕ (y) = ϕ = K V (x, y) = e x cos y + K. Le superfici equipotenziali sono allora definite da: e x cos y = H e su queste superfici giacciono curve equipotenziali definite da: 3) Determinare il campo F con potenziale y = arccos He x. V (x, y, z) = r r. Poiché: segue Esercizio svolto. V x = x x r r 4, F = r r r r 4. etc. Dire se il campo vettoriale: F = x z i + y z i x + y z i 3 è conservativo e in caso affermativo trovare potenziale e superfici equipotenziali, nonché le linee di campo. Soluzione. Si ha subito: F = V x = x z, F = V y = y z, F 3 = V z = + y x z

10 9 da cui: Pertanto: da cui: F y = = F x, F 3 y = y z = F z, F z = x z = F 3 x. V x = x z V = x + A(z, y) z V y = y z y z = A y A = y z + B(z) V z = + y x z = x z + A z A = y z + C V (x, y) = x + y + C. z Le superfici equipotenziali sono allora i paraboloidi: mentre le linee di campo sono le ellissi: z = K(x + y ) y = Ax x + y + z = B contenute in piani verticali passanti per l origine.

11 Lezione 3 Integrali curvilinei Una curva regolare individua una linea ed è individuata dalle equazioni parametriche: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ove t è un parametro reale che varia in un intervallo reale [α, β] e dx dt, dy dt, esistono in [α, β] e non sono mai contemporaneamente nulle in [α, β]. Se α e β sono finiti si parla di arco di curva regolare, indicato di solito con γ. Un arco di curva regolare a tratti, indicato di solito con Γ, è l unione di archi di curva regolari γ i (i I), tali che ogni punto finale di un arco intermedio coincide con il punto iniziale dell arco successivo: in tal caso si dice che gli archi sono raccordati in punti di raccordo, punti nei quali non necessariamente esiste la tangente. Sia dato un arco di curva regolare γ o un arco di curva regolare a tratti Γ. Si può calcolare la lunghezza dell arco suddividendolo in piccoli archi mediante punti che corrispondono a opportuni valori del parametro t: dz dt α = t < t < <...t h < t h < t h+ <...t N = β Se N è molto grande una buona approssimazione della lunghezza L dell arco è data prendendo le lunghezze r h = r h r h dei segmenti di retta che congiungono r h = r(t h ) a r h, ovvero: N L r h h= Al limite per N e max r h r h si ha (se tale limite esiste) la lunghezza esatta L. In tale ipotesi si scrive allora: γ ds = L (oppure ds = L) Γ essendo ds definito da: ds = ( dx dt ) + ( dy dt ) ( ) + dz dt. dt Per una funzione f(x, y, z) l integrale curvilineo si definisce in modo analogo. Sia infatti (x i h, y i h, z i h) un punto intermedio all interno dell h-esimo arco della suddivisione di cui sopra. Consideriamo pertanto la somma: N S = f(x i h, yh, i zh) r i h h=

12 Se questa somma ammette limite per N e max r h r h indipendentemente dalla scelta di (x i h, y i h, z i h), allora tale limite si dice integrale curvilineo di f esteso a γ (oppure esteso a Γ) e si scrive γ f(x, y, z)ds (oppure f(x, y, z)ds). Γ Segue subito la formula per il calcolo esplicito di un integrale curvilineo: I = γ f(x, y, z)ds = α β ) ( dx f(x(t), y(t), z(t)) + dt ( ) dy + dt ( ) dz dt dt Il valore di I non dipende dalla parametrizzazione scelta per rappresentare γ. Sia infatti r = r(t) una parametrizzazione di γ e r = r(u) un altra parametrizzazione (t e u parametri reali, t [α, β], u [a, b]). Se γ è regolare allora r = r(u(t)), con u(α) = a, u(β) = b e du esiste per ogni t in dt [α, β]. Si ricava pertanto: β α d r β f( r(t)) dt dt = d r du b f( r(t)) α du dt dt = d r f( r(u)) a du du. Esempio Calcolare: γ yds lungo la semicirconferenza γ di raggio R e centro l origine, giacente nel semipiano y, percorsa in verso antiorario e individuata dalle seguenti due parametrizzazioni: r(θ) = R cos θ i + R sin θ i, θ π Nel primo caso si ha: e segue: γ r(x) = x i + R x i, d r dθ = R sin θ i + R cos θ i, R x R d r dθ = R π yds = R sin θdθ = R [cosθ] π = R. Nel secondo caso si ottiene invece: R d r yds = R x R γ R dx dx = x R x i i R R x dx = = R R R x + x R x dx = R R Rdx = R.

13 Lezione 4 Integrali di linea dei campi vettoriali Sia F una forza variabile. Il lavoro fatto da tale forza durante lo spostamento di un lungo una curva regolare γ risulta dalla somma di lavori infinitesimi dw calcolati nel modo seguente: dw = F tds essendo t = d r il vettore tangente alla curva γ nel punto prescelto. ds Sommando i contributi dw su tutta la curva si ha: W = F tds = F d r poiché γ d r = tds = d r ds ds = dx i + dy i + dz i 3. In generale, se F è un campo vettoriale e γ una curva regolare, l integrale della componente tangenziale di F lungo la curva regolare γ è definito da: I = F d r = (F (x, y, z)dx + F (x, y, z)dy + F 3 (x, y, z)dz) γ γ In questo tipo di integrazione è fondamentale la scelta dell orientamento di γ. Convenzionalmente il verso positivo è quello antiorario, il verso negativo è quello orario. Un segno negativo che precede γ indica che la curva è percorsa in verso opposto a quello scelto come verso positivo. La proprietà fondamentale dell integrale di linea è la seguente: F d r = F d r γ Una curva γ si dice chiusa se r(α) = r(β): una curva chiusa semplice è una curva chiusa con la proprietà: α < t t < β r(t ) r(t ). Se γ è una curva chiusa semplice allora l integrale di linea di F lungo γ si dice integrale di circuitazione e si indica con il simbolo speciale: F d r. γ Il calcolo di I = γ F d r si esplicita mediante una opportuna parametrizzazione r = r(t). Si ottiene, ricordando la forma generale scritta: I = F d r = γ γ γ

14 3 β = F (x(t), y(t), z(t)) dx α dt + β + F (x(t), y(t), z(t)) dy β α dt + F 3 (x(t), y(t), z(t)) dz α dt. Come già visto per l integrale curvilineo γ ds, tale tipo di integrazione non dipende dalla parametrizzazione scelta per descrivere γ. Esempio Sia F (x, y) = y i + xy i. Calcolare γ F d r essendo γ curva che congiunge (, ) a (, ), quando: ) γ è la retta y = x ) γ è la parabola y = x 3) γ è la spezzata costituita dai segmenti di retta da (, ) a (, ) e da (, ) a (, ). Caso ) Si ha: r = t( i + i ), t, d r = dt( i + i ) F d r = (t i + t i ) ( i + i )dt = 3t dt, F d r = 3t dt = [t 3 ] =. γ Caso ) Si ha: r = t i + t i, t, d r = ( i + t i )dt F d r = (t 4 i + t 3 i ) ( i + t i )dt = 5t 4 dt, F d r = 5t 4 dt = [t 5 ] =. γ Caso 3) Si ha (segmento da (, ) a (, )): x =, t, y = t

15 4 (segmento da (, ) a (, )): F = t i, d r = i dt, F d r = x = t, t, y = F = i + t i, d r = i dt, F d r = dt, Regioni nel piano reale. γ F d r = dt =. Una regione Ω in R è un insieme non vuoto, aperto e connesso. Un insieme X in R è connesso se per ogni coppia di punti interni a X esiste un arco di curva regolare tutta interna a X che congiunge i punti della coppia. Un insieme X in R è semplicemente connesso se ogni curva chiusa semplice in X può essere ridotta con continuità ad un unico punto. Le regioni semplicemente connesse presentano una sola frontiera, le regioni connesse presentano almeno due frontiere. Una regione Ω con p + frontiere ha ordine di connessione p (pertanto una regione semplicemente connessa ha ordine di connessione ). Una regione semplicemente connessa Ω è tale che ogni curva chiusa semplice tutta interna a Ω è frontiera di una sottoregione semplicemente connessa. Vale il seguente Teorema. Sia Ω una regione semplicemente connessa e F un campo vettoriale su Ω. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti: iii) i) F conservativo in Ω ( V P Ω, F = gradv ); ii) γ F d r =, γ Ω; Se γ è un cammino che congiunge due punti P, P interni a Ω, l integrale γ F d r non dipende dalla scelta di γ.

16 5 Lezione 5 Campi conservativi Conseguenze del Teorema precedente (v.lezione 4): ) se F è un campo vettoriale conservativo ( F = V ) e se γ è una curva regolare che congiunge un punto iniziale P a un punto finale P, allora: F dr = dv = V (P ) V (P ) γ γ ) Se F è conservativo in una regione semplicemente connessa, allora: F y = F x, F z = F 3 x, F z = F 3 y Viceversa se in una regione semplicemente connessa valgono per F le tre equazioni precedenti allora F è conservativo in tale regione. Esercizio svolto. Dire per quali valori delle costanti A e B il campo vettoriale: F = Ax sin y i + (x cos y + Bye z ) i y e z i 3 è conservativo e determinarne il potenziale. Dalle equazioni di condizione segue: F z = F 3 y Bye z = ye z B = F y = F x F z = F 3 x = Ax cos y = x cos y A =. Segue che : F = x sin y i + (x cos y + ye z ) i y e z i 3 ammette potenziale V, da determinare. V si determina osservando che: V x = x sin y V (x, y, z) = x sin y + ϕ (y, z)

17 6 V y = x cos y + ye z V (x, y, z) = x sin y + y e z + ϕ (x, z) V z = y e z V (x, y, z) = y e z + ϕ(x, y) e per confronto si ottengono le equazioni: Dall equazione: si ha: Dall equazione: si ha: x sin y + ϕ (y, z) = x sin y + y e z + ϕ (x, z) = y e z + ϕ 3 (x, y). e, infine, dall equazione si ottiene: x sin y + ϕ (y, z) = x sin y + y e z + ϕ (x, z) ϕ (y, z) ϕ (x, z) = y e z. x sin y + ϕ (y, z) = y e z + ϕ 3 (x, z) ϕ (y, z) ϕ 3 (x, y) = y e z x sin y y e z + ϕ (x, z) = y e z + ϕ 3 (x, y) ϕ 3 (x, z) ϕ (x, z) = x sin y. Risolvendo il sistema delle tre equazioni precedenti nelle tre funzioni incognite: si ottiene: ϕ (y, z), ϕ (x, z), ϕ 3 (x, y) ϕ (y, z) = y e z, ϕ (x, z) =, ϕ 3 (x, y) = x sin y e immediatamente segue l espressione per V : V (x, y, z) = x sin y + y e z. Superfici nello spazio. Abbiamo descritto archi di curva regolare mediante l uso di un parametro (essendo una curva un oggetto unidimensionale); descriveremo ora superfici mediante l uso di due parametri. Una superficie in R 3 è un insieme Σ di punti le cui coordinate (x, y, z) sono individuate dalle equazioni parametriche: x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)

18 7 con α u β e γ v δ. Consideriamo: r u = x u i + y u i + z u i 3 r v = x v i + y v i + z v i 3 I vettori r(p ) u, r(p ) v giacciono allora nel piano tangente a Σ e passante per P (avendo indicato momentaneamente con P il punto di tangenza). Se r u e r non sono paralleli, allora il prodotto vettoriale v r u r v è un vettore normale alla superficie Σ, denotato con N. Pertanto l elemento di area dσ si ottiene prendendo il modulo di r u r e moltiplicandolo per dudv. Poiché: v N = r u r ( y v = z u v z ) ( y z x i + u v u v x ) ( z x y i + u v u v y ) x i 3 u v si ricava subito : ( y z dσ = u v z ) y + u v Esempio. ( z x u v x ) ( z x y + u v u v y u La superficie Σ descritta dalle equazioni parametriche x = R cos u sin v u π y = R sin u sin v v π z = R cos v R > è l intera superficie di una sfera di centro (,, ) e raggio R. Infatti: x + y + z = R cos u sin v + R sin u sin v + R cos u = R. Il vettore normale N ha componenti: y z u v z y u v = R cos u sin v z x u v x z u v = R sin u sin v x y u v y x u v = R sin v cos v ) x dudv v

19 8 e l elemento di area dσ vale: dσ = R cos u sin 4 v + sin u sin 4 v + sin v cos vdudv = = R sin 4 v + sin v cos vdudv = R sin vdudv. Esercizio svolto. Trovare l elemento di area della superficie x = uv y = u v z = u + v Si ha: y z u v z y = u v + v u = 8uv u v z x u v x u z v = u u v v = 4(u v ) x y u v y x u v = v ( v) u u = 4(u + v ) Pertanto l elemento di area vale: dσ = 4 (u + v ) + (v u ) + 4u v dudv = 4 (u 4 + v 4 + u v )dudv = = 4 (u + v )dudv

20 9 Lezione 6 Integrali superficiali e integrali di superficie. Sia data una funzione f e una superficie Σ descritta da equazioni parametriche: x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v). L integrale superficiale di f esteso a Σ è definito da: I = Σ f(x, y, z)dσ = = α u β ( y z u v z ) y + u v γ v δ ( z x u Σ f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))dσ = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) v x ) ( z x y + u v u v y u ) x dudv v e l integrale è allora ricondotto ad un integrale doppio su di un rettangolo definito da: α u β, γ v δ. Se l equazione di una superficie Σ è esprimibile sotto la forma: z = h(x, y) con dom h = D allora si possono scegliere come parametri proprio x.y, da cui: x = u (u, v) D y = v z = h(u, v). e: ( ) ( ) h(x, y h(x, y) dσ = + + dxdy x y Segue che l integrale superficiale di una funzione f(x, y, z) si può scrivere sotto forma di un integrale doppio su D: Σ f(x, y, z)dσ = Esercizio svolto D ( ) ( ) h(x, y h(x, y) f(x, y, h(x, y)) + + dxdy x y Calcolare Σ zds

21 sul cono: compreso tra z = e z = 3. z = (x + y ) Con la rappresentazione parametrica x = u,y = v, z = (x + y ) otteniamo: Segue dσ = + 4x z z x = x z z y = y z. + 4y z dxdy = z + z dxdy = 3dxdy. z Di conseguenza: Σ zdσ = 3 zdxdy. x +y 9 Per il calcolo, si passa a coordinate polari x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, θ π, ρ 3, ottenendo (con z = ρ): Σ zds = 3 π 3 dθ Integrali di superficie per campi vettoriali. ρ dρ = 9π 3. Una superficie regolare Σ nello spazio si dice orientabile quando per ogni punto P di Σ esiste un unico vettore unitario (cioé di modulo ) N(P ) la cui orientazione varia in modo continuo quando P varia su Σ senza subire salti di π quando si ritorni al punto di partenza. Si dice positivo il lato di Σ che lascia al proprio interno il volume eventualmente delimitato da Σ. Una superficie regolare orientata è allora una superficie su cui è assegnata a priori una scelta opportuna del campo vettoriale N(p). Si dice flusso di un campo vettoriale F attraverso una superficie orientata Σ l integrale di superficie: Esempio. Calcolare il flusso di: Φ = Σ F NdΣ = Σ F d Σ. F = x i + y i x + y + i 3 verso l alto, attraverso la superficie Σ definita da:

22 x = u cos v u 4 y = u sin v v π z = u. Si trova subito: Si ricava: r u = cos v i + sin v i + u i 3 r v = u sin v i + u cos v i. Risulta: r u r v = Ora F su Σ vale: e pertanto: i i i 3 cos v sin v u u sin v u cos v = u cos v i u sin v i + u i 3 dσ = ( u cos v i u sin v i + u i 3 )dudv. u cos v i + u sin v i u + i 3 = cos v u i + sin v u i + i 3 F d Σ = 4u cos v 4u sin v + u = 3u Ricordando che u implica N rivolto verso l alto, si ha infine: F d 4π [ ] 4 3u 4 Σ = dv ( 3u)du = π = 4π. Σ Ricordiamo infine alcune utili interpretazioni delle espressioni definite tramite l operatore (gradiente (significato), divergenza e rotore). Innanzitutto f (gradiente del campo scalare f) dà una informazione sulla rapidità di variazione di f. Sia ora F un campo vettoriale e siano F, F divergenza e rotore di F. Il valore della divergenza di un campo vettoriale F in un punto P rappresenta una misura di quanto il campo diverga (ossia si affievolisca) nel punto P. Il valore di tale divergenza può essere misurato dal flusso uscente da una piccola superficie che racchiude P. Un campo vettoriale F è detto solenoidale in un sottoinsieme X di R 3 (o di R ) se: P X, F =. Un campo vettoriale F è detto irrotazionale in un sottoinsieme di R 3 (o di R ) se: P X, F =. Il rotore di F, f, misura infine di quanto il campo F tenda a ruotare attorno ad un punto in cui F è definito.

23 Lezione 7 Teoremi per campi vettoriali. Supponiamo ora che F = V, ovvero che F sia conservativo. Se V è dotato di derivate parziali di ogni tipo e continue sino al secondo ordine in un volume delimitato da una superficie semplicemente connessa, allora: F = V F =. Se invece F si può ricavare dal rotore di un campo vettoriale G dotato di derivate parziali seconde miste, si ha: Infatti: x F = G F =. ( G z G ) 3 + ( G3 y y x G ) + ( G z z y G ) =. x Segue che ogni campo conservativo è irrotazionale e che il rotore di una campo vettoriale G è solenoidale. Quando un campo vettoriale F ammette un campo vettoriale G tale che F = G, si dice che F ammette un potenziale vettore G. G è ovviamente individuato a meno di costanti arbitrarie. Siano ora U,V campi scalari e F, G campi vettoriali dotati di derivate parziali di ogni tipo continue almeno fino al secondo ordine. Sono vere le seguenti identità: ) (UV ) = U V + V U ) ( U F ) = U F + U ( F ) 3) ( U F ) = U F + U ( F ) 4) ( F G ) = ( F ) G F ( G ) 5) ( F G ) = ( G ) F + ( G ) F ( F ) G ( F ) G 6) ( F G ) = F ( G ) + G ( F ) + ( F ) G + ( G ) F 7) ( F ) = 8) ( U ) = 9) ( F ) = ( F ) ( ) F

24 Le formule da ) a 9) si verificano tramite un calcolo diretto, tenendo conto che, ad esempio: ) ( ) G F = (G x + G y + G 3 F z (e altre identità simili). Teorema della divergenza. Il teorema della divergenza (detto anche Teorema di Gauss) rappresenta, in un certo senso, l analogo del teorema fondamentale del calcolo integrale: b f (x)dx = f(b) f(a). a che nel caso di un integrale di linea di un campo vettoriale conservativo assume l aspetto (detti B e A rispettivamente i punti finali e iniziali di γ): U d r = U(B) U(A) γ 3 Nel teorema della divergenza l integrale della derivata F di un campo vettoriale F su di un volume V racchiuso da una superficie chiusa orientata Σ è calcolato come flusso di F uscente da Σ. Se Σ è dotata in ogni punto di un vettore normale N e se F è un campo vettoriale dotato, almeno fino al secondo ordine, di derivate parziali di ogni tipo e continue fino al secondo ordine, si dimostra che: F dv = F NdΣ (teorema della divergenza o di Gauss). V La dimostrazione è basata sul calcolo seguente (sviluppato sulla terza componente, scelta come esempio): = V F 3 z dv = D V Σ f (x,y) f (x,y) F 3 z dz = = [F 3 (x, y, f (x, y) F 3 (x, y, f (x, y)] dxdy = D V F 3 i 3 Nds F 3 i 3 Nds, superficie superiore superficie inferiore essendo D V la regione piana proiettata sul piano (x, y) dalle parti di superficie z = f (x, y) e z = f (x, y) che delimitano V. Il teorema della divergenza in due dimensioni asserisce che, data una regione Ω semplicemente connessa nel piano, data una curva chiusa semplice γ tutta contenuta in Ω e data la regione semplicemente connessa Σ racchiusa da γ, allora: F dσ = F Nds Σ γ

25 4 Lezione 8 Teorema di Green e di Stokes. Il teorema della divergenza in due dimensioni può essere riformulato in modo che l integrale del campo vettoriale F faccia intervenire la componente tangente di F piuttosto che la sua componente normale. Si ottiene allora il seguente risultato (noto sotto il nome di Teorema di Green). Sia Ω una regione (non necessariamente semplicemente connessa), sia γ una curva regolare chiusa semplice tutta contenuta in Ω e sia S la regione racchiusa da γ. Se F è un campo vettoriale dotato di derivate parziali continue in S e su γ, si ha: S ( F x F ) dxdy = (F dx + F dy). y γ Il calcolo è simile a quello effettuato per il teorema della divergenza: S F b x dxdy = a g (y) F dy g (y) b x dx = a [F (g (y)) F (g (y))] dy = γ F dy, etc. Una versione lievemente diversa di questo risultato è rappresentata dal cosiddetto Lemma di Gauss che viene scritto, sotto le ipotesi precedenti, nel modo seguente: S f y γ dxdy = f(x, y)dx S f x γ dxdy = f(x, y)dy (si dimostra con gli stessi calcoli precedenti). Il Lemma di Gauss può essere esteso a tre dimensioni, ottenendo che, se V è un volume nello spazio R 3, la cui superficie di chiusura Σ sia orientata e regolare e f(x, y, z) un campo scalare: V V V f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) N x i dσ Σ f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) N y i dσ Σ f(x, y, z) dxdydz = z Σ f(x, y, z) N i 3 dσ ove N la normale a Σ orientata in verso positivo. Veniamo ora all ultimo importante teorema sui campi vettoriali, noto come Teorema di Stokes. Questo teorema costituisce una generalizzazione del teorema di Green quando si considerino superfici in R 3 non necessariamente piane. Sia Σ una superficie orientata nello spazio, dotata di una frontiera chiusa semplice γ, sia N il campo delle normali a Σ e sia F un campo vettoriale dotato di tutte le

26 derivate (continue) fino al secondo ordine e definito su di un insieme aperto contenente Σ. Si ha: ( ) F NdΣ = F d r. Σ La dimostrazione ricalca quella del teorema della divergenza. Basta scegliere z = z(x, y) come equazione parametrica della superficie Σ e determinare il campo normale N. Dalle formule già viste per N si ha: N = f i x z i y + i 3 + ( ) ( ) z x + z y (la normale deve puntare verso l alto) mentre l elemento di area della superficie Σ vale: ( ) z dσ = + + x γ ( ) z dxdy. y Sostituendo allora nel primo membro e tenendo conto che Σ si proietta su di un rettangolo R nel piano (x, y), si trova: ( ) F NdΣ = = R [( F3 y F ) ( z ) + z x Σ ( F z F ) ( 3 z ) ( F + x y x F )] dxdy. y D altro lato il secondo membro dell equazione può essere calcolato osservando che dz = x z dx + x y dy. Allora, indicando con γ la proiezione di γ sul piano (x, y) si ottiene: γ F d r = = γ γ [ ( )] x z F dx + F dy + F 3 dx + x y dy [( ) ( ) ] z z F + F 3 dx + F + F 3 dy. x y Se si applica ora il teorema di Green nel piano si ha: γ = F d r = R R R ( F x + F z { [ ] z F + F 3 [ ]} z F + F 3 dxdy = x y y x z x + F 3 z x y + F 3 z x x ( F y + F z z y + F 3 z y x + F 3 z z z y = z y + F ) z 3 dxdy x y x + F ) z 3 dxdy. y x Nell integrazione finale si elidono quattro termini, lasciando come termini rimanenti proprio quelli dovuti all espressione per Σ ( F ) NdΣ. 5

27 6 Esercizio svolto. Calcolare: γ F d r, essendo γ la curva ottenuta intersecando la superficie sferica con il piano (x, y) e x + y + (z 3) = 5 F = y 4 ( + tan z) i + x 5 zy i cos z( + e x ) i 3. γ è la circonferenza x + y = 6. Orientiamola in verso antiorario. In questo caso, il cerchio x + y 6 ammette come campo normale N proprio il versore i 3. Si può allora applicare due volte il Teorema di Stokes (indicando con D il cerchio x + y 6 e con Σ la parte della superficie sferica che si trova in z ) e si ottiene: ( ) F d r = F NdΣ = F i 3 dxdy Ora su D risulta: γ Σ [ F i 3 = x (x5 zy) ] y (y4 ( + tan z)) = 5x 4 3y 3 z= e per la proprietà di simmetria della integrazione doppia: y 3 dxdy = si ha: Ora: π γ F d r = 5 = 5 6 cos 4 θdθ = D [ ] ρ 6 4 π π = π + 4 D π 4 x 4 dxdy = 5 cos 4 θdθ ρ 5 dρ cos 4 θdθ = 4 π cos 4 θdθ 3 ( ) + cos θ dθ = [sin θ]π + 4 π π D + cos θ + cos θ dθ 4 ( ) + cos 4θ dθ = π + π [ ] π sin 4θ 4 + = 3π 8 4 e pertanto: γ F d r = 4 3π 3 4 = 56π.

28 7 Esercitazione Esercizi sull integrazione di linea ) Calcolare: ove γ è l ellisse : I = γ (e x sin y + 3y) dx + (e x cos y + x y) dy 4x + y = 4 percorsa una sola volta in verso antiorario. ove: Si ha: I = γ F d r d r = i dx + i dy F = (e x sin y + 3y) i + (e x cos y + x y) i. Si verifica subito che F non è conservativo. Però, se si assume come potenziale: V (x, y) = e x sin y + xy y si ha: F = V + yi. Pertanto: I = γ V d r + γ ydx = γ π π ydx = sin tdt = cost dt = π essendo nullo il primo integrale e avendo parametrizzato il secondo integrale con: x = cos t, y = sin t, t π. con: ) Calcolare l integrale: I = γ F d r F = y i x i lungo i seguenti cammini: i) segmento che unisce il punto (, ) al punto (, ); ii) arco di circonferenza con centro (, ), raggio, percorso in verso antiorario. Soluzione.

29 8 Caso i) Il segmento si può parametrizzare nel modo seguente: r = ( t) i t i, t. Quindi: d r = dti dt i e F d r = [( t)( dt) ( t)( dt)] = dt = Caso ii) Il cammino si parametrizza nel modo seguente: r = cos t i + sin t i, t 3π Risulta: d r = sin t i + cos t i, e segue: F d r = sin tdt cos tdt = dt γ 3π F d r = dt = 3π. Il risultato dipende dal cammino prescelto per andare da (, ) a (, ), pertanto il campo F = y i x i non risulta conservativo. 3) Calcolare γ zds ove γ è la curva nello spazio definita da: r = R cos t i + R sin t i + Rt i 3, t π. Si ha subito: γ π zds = r R sin t + R cos t + R dt = π R tdt = 8π R 4) Calcolare ove γ è la curva: I = (x + y )ds γ x = e t y = t t z = e t.

30 9 Si ha: da cui: ds = e t + + e t dt = I = (x + y )ds = = γ e 3t dt + t e t dt + (e t + e t ) dt = (e t + e t )dt ( e t + t ) (e t + e t )dt = = e6 + 3e 4 3e 3e 3. e t dt + t e t dt =

31 3 Esercitazione Esercizi sui teoremi della divergenza e di Stokes ) Calcolare ove γ F d r F = y 5 i + x 5 i z 5 i 3 e γ è la curva orientata in verso antiorario di intersezione del cilindro x + y = con il piano 3x + 3y + z = 4. Un esercizio simile è già stato svolto. Utilizziamo lo stesso metodo. Detta Σ l intersezione con il piano dato, il campo normale N si individua con: Risulta anche: γ F = NdΣ = (3 i + 3 i + i 3 )dxdy i i i 3 = 5(x 4 + y 4 ) i x y z 3. y 5 x 5 z 5 Usando allora il Teorema di Stokes: F d r = F NdΣ = 5(x +y )dxdy = 5 Infatti: = π = Σ π (cos 4 θ + sin 4 θ)dθ (cos 4 θ + sin 4 θ)dθ = π [ + = Σ [ ] ρ 6 6 π ] + cos 4θ dθ = = 5 6 π π dθ ρ 5 (cos 4 θ +sin 4 θ)dρ (cos 4 θ + sin 4 θ)dθ = 5 4 π. ( ) ( ) + cos θ cos θ + dθ + cos θ dθ π [ ] 3 cos 4θ + dθ = π = 3π. ) Calcolare: Σ F NdΣ ove Σ è la parte di superficie sferica della sfera di centro (,, 3) e raggio 4 che si trova al di sopra del piano (x, y) e F = cos x i + x e z i e xy i 3.

32 3 L equazione della sfera è: e pertanto la frontiera di Σ risulta essere: x + y + (z 3) = 6 x + y = 7 che è anche la frontiera del cerchio aperto D : x + y 7. Con calcoli simili a quelli dell esercizio precedente, otteniamo: F = i i i 3 = (xe xy x e z ) i x y z ye xy i + xe z i 3. cos x x e z e xy Possiamo applicare due volte il teorema di Stokes ottenendo: I = Σ F NdΣ = γ F d r = D F i 3 poiché D ha come campo di normali i 3 (D giace sul piano (x, y)). Allora su D, con z =, ricaviamo: F i 3 = xe z e pertanto:. π 7 I = xdxdy = cos θdθ ρ ρdρ = D Uso del Teorema di Green per il calcolo di aree. Si sa che: γ (F dx + F dy) = Σ ( F x F ) dxdy y Se F è un campo vettoriale con la proprietà si ha allora: area(σ) = Applichiamo questa formula. F x F y = Σ dσ = (F dx + F dy). 3) Calcolare l area di una regione Ω piana la cui frontiera sia una curva chiusa semplice γ, in almeno tre modi differenti, usando le formule sopra ottenute. Modo a). γ

33 3 Consideriamo il campo F = x i. Per questo campo: pertanto: F x =, F y = F x F y = area(ω) = γ xdy = β α x(t) dy(t) dt dt Modo b). Consideriamo il campo: F = y i. Per questo campo: pertanto: F x =, F y = F x F y = β area(ω) = ydx = γ α y(t) dx(t) dt dt Modo c) Consideriamo il campo: F = ( y i + x i ). Per questo campo: pertanto: area(ω) = F x =, F y = F x F y = γ(xdy ydx) = β α x(t) dy(t) dt β dt α y(t) dx(t) dt dt 4) Sia dato il campo vettoriale: F = (x y + y3 3 y) i + ( x3 3 + y x) i. Calcolare, con l uso del Teorema di Green, l integrale: (F dx + F dy). ove γ è l ellisse γ x 4 + y 5 =.

34 33 Osserviamo che: e allora: Pertanto γ F x = x + y F y = x + y F x F y =. [( ) ( ) ] x y + y3 x 3 3 y dx y x dy = Σ dσ =.5.π = π ricordando la formula per il calcolo dell area dell ellisse di semiassi e 5. Esercizi proposti. ) Calcolare: [ (cos x + y dx + (x e xy )dy ] essendo γ la circonferenza x + y =. γ ) Calcolare: [ (x + y )dx + (x y)dy ] ove R è il rettangolo x, y 5. R ove 3) Calcolare: γ F d r F = xe y i + (y + e z ) i + z i 3 e r = ( + sin t) i + ( + cos t) i + ( sin t) i 3, t π. (Suggerimento: si possono usare due modi differenti, o calcolando direttamente l integrale di linea, o eliminando t da : x = + sin t y = + cos t z = sin t ottenendo l equazione in coordinate cartesiane della curva γ: in questo secondo caso si usa allora il teorema di Stokes, una volta determinato il campo normale N). 4) Calcolare: (x y 3 dx x ydy) γ

35 34 ove γ è il cerchio di centro (, ) e raggio 5. 5) Calcolare: (xy dx + yz dy + zx dz) γ ove γ è il rettangolo x, y. 6) Sia γ la frontiera di una regione Ω e siano U,V campi scalari dotati di derivate parziali fino al secondo ordine e continue. Dimostrare che: Ω ( U V ) N = γ U V d r = V U d r γ e determinare un potenziale vettore del campo vettoriale U V 7) Calcolare mediante il teorema di Stokes: γ (zdx + ydz + xdy) ove γ è l intersezione di x + y + z = 4 con il piano x + y + z =.

36 35 Lezione 9 Numeri complessi. Richiami sui numeri complessi. In R consideriamo l insieme delle coppie di punti (x, y), e su tale insieme definiamo due operazioni binarie e commutative, rispettivamente somma e prodotto, nel modo seguente: i) somma: (x, y ) + (x, y ) = (x + x, y + y ) ii) prodotto: (x, y ) (x, y ) = (x x y y, x y + x y ). Con tale definizione, l insieme delle coppie di punti (x, y) diventa un insieme strutturato, che indicheremo con C. In C vale la seguente definizione di eguaglianza tra elementi: (x, y ) = (x, y ) x = x e y = y. L operazione di somma definisce su C una struttura di gruppo abeliano additivo, con elemento neutro (, ): (x, y ) + (, ) = (x, y ) mentre l operazione di prodotto definisce su C una struttura di gruppo abeliano moltiplicativo, con elemento neutro (, ): (x, y ) (, ) = (x, y ). Infine, per ogni (x, y) (, ), esiste sempre la coppia: con la seguente proprietà: x ( x + y, y x + y ) x (x, y) ( x + y, y ) = (, ). x + y Di conseguenza, l insieme strutturato C è un campo. I numeri reali sono un sottocampo di C come risulta dalla corrispondenza: x R (x, )

37 36 che conserva le operazioni di somma e prodotto: (x, ) + (x, ) = (x + x, ) x + x (x, ) (x, ) = (x x, ) x x La coppia (, ) ha la seguente proprietà: (, ) (, ) = (, ). Se indichiamo con j tale coppia, possiamo riscrivere la relazione precedente in questo modo: j j = j =. j è dunque una radice quadrata di - (anche j lo è). Si ha, in generale: (x, ) + (, ) (y, ) = (x, ) + (, y) (x, y). Indicando con z la coppia (x, y) si può dunque scrivere: z = x + jy. In questa scrittura z si dice numero complesso, x si dice parte reale di z e si scrive x = R(z), y si dice parte immaginaria di z e si scrive y = I(z). Pertanto : z = x + jy = R(z) + ji(z) Si dice campo complesso il campo costituto dai numeri complessi di C ottenuti come sopra. Gli elementi neutri rispetto alla somma e alla moltiplicazione sono rispettivamente (, ) e (, ). In C valgono le seguenti proprietà: i) z, z + = z; ii) z, z : z + ( z) = iii) z, z = z iv) z, z : z z = Nell ultima proprietà, la forma esplicita di z = z è: z = z = x jy x + y. In particolare j = j = j. Un numero complesso z scritto come z = x + jy si dice posto sotto forma cartesiana. Esistono altri due modi di scrittura di un numero complesso, che prendono il nome di forma trigonometrica e forma esponenziale: li esamineremo tra poco.

38 37 Si dice coniugazione complessa la corrispondenza: x + jy x jy. z jy si dice allora coniugato complesso di z e si indica con z. Si ha subito R( ) = R(z), I(z ) = I(z). Sono vere le seguenti proprietà: ) (z ± z ) = z ± z ) (z z ) = z z 3) (z ) = z 4) z + z = R(z), z z = ji(z) 5) z = z = z zz Osserviamo che zz = x + y. La quantità zz = x + y si dice modulo di z e si indica con z (la radice è considerata in senso aritmetico, pertanto z ). Proprietà di z. ) z ) z = z = 3) z = z 4) R(z) z, I(z) z 5) z z = z z 6) z + z z + z 7) z ± z = (x ± x ) + (y ± y ) 8) z z z z x x + y y N N N 9) z h w h z h w h h= h= h= [ N ] / [ N ] / [ ) z h + w h N ] / z h + w h h= h= h= Insiemi di numeri complessi di uso frequente. Diremo circonferenza di centro z e raggio R e indicheremo con γ z,r

39 38 l insieme dei punti definito da: z z = R. Diremo cerchio aperto di centro z e raggio R e indicheremo con C z,r l insieme dei punti definito da: z z < R. Diremo cerchio chiuso di centro z e raggio R e indicheremo con C z,r l insieme dei punti definito da: z z R. Diremo corona circolare aperta di centro z e raggi r, R e indicheremo con l insieme dei punti definito da: C z,r,r r < z z < R. Diremo corona circolare chiusa di centro z e raggi r, R e indicheremo con l insieme dei punti definito da: C z,r,r r z z R. Hanno interesse anche altri insiemi particolari: tra questi, semipiani verticali destri definiti da: R(z) x (x R) semipiani verticali sinistri definiti da: semipiani orizzontali inferiori definiti da: semipiani orizzontali superiori definiti da: R(z) x (x R) I(z) y (y R) I(z) y (y R).

40 39 Lezione Rappresentazione trigonometrica ed esponenziale di numeri complessi. Finora abbiamo rappresentato i numeri complessi come vettori nel piano reale R. Pertanto somma e differenza di numeri reali si traducono in somma e differenza di vettori orientati ( questa rappresentazione era stata indicata come rappresentazione cartesiana). Consideriamo ora coordinate polari nel piano: { x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, essendo { ρ = z = x + y θ = arctan y x = arg z L angolo θ, detto anche argomento di z e indicato in questo contesto con arg z, è determinato a meno di multipli di π. Il valore di θ nell intervallo [, π[ si dice valore principale dell argomento di z e si indica con Arg z. La forma trigonometrica di un numero complesso z si ottiene subito sostituendo a x e y i valori ρ cos θ e ρ sin θ, con θ [, π[, ottenendo: z = x + jy = ρ(cos θ + j sin θ) = z (cos Arg z + j sin Arg z) = x + y (cos arctan y x + j sin arctan y x ) Nell intervallo [, π[, i numeri reali positivi hanno Arg z =, i numeri immaginari puri hanno Arg z = π se si trovano in Im(z) >,Arg z = 3π se si trovano in Im(z) <, i numeri reali negativi hanno Arg z = π. z = è l unico numero complesso con modulo nullo e argomento indeterminato. Infine Arg z = Arg z, da cui z = x jy = ρ(cos θ j sin θ). Con la rappresentazione trigonometrica si hanno alcuni vantaggi. Ad esempio: z z = ρ ρ (cos θ + j sin θ )(cos θ + j sin θ ) = ρ ρ (cos θ cos θ sin θ sin θ + j(sin θ cos θ + cos θ sin θ )) = ρ ρ (cos(θ + θ ) + j(sin(θ + θ )). Pertanto il prodotto di due numeri complessi ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti. Ciò si esprime nel modo seguente: z z = ρ ρ, Arg (z z ) = Arg z + Arg z.

41 4 Analogamente, se z : z z = ρ ρ (cos θ + j sin θ )(cos θ j sin θ ) = ρ ρ (cos θ cos θ + sin θ sin θ + j(sin θ cos θ cos θ sin θ )) = ρ ρ (cos(θ θ ) + j(sin(θ θ )). Pertanto il rapporto di due numeri complessi ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti. Ciò si esprime nel modo seguente: z = ρ ( ) z, Arg = Arg z Arg z. ρ z z Una relazione interessante è quella per l elevamento di un numero complesso alla n esima potenza (n intero positivo), che si ricava per induzione dalla formula per il prodotto: z n = ρ n (cos nθ + j sin nθ) Va notato infine che, grazie alle coordinate polari, è possibile mettere in corrispondenza biunivoca i numeri complessi con le matrici di rotazione tramite la legge seguente: ( ) ρ cos θ ρ sin θ z = ρ(cos θ + j sin θ). ρ sin θ ρ cos θ ( ) ( ) In particolare e j. Con questa corrispondenza, che conserva somma e prodotto, si può utilmente interpretare l operazione di prodotto tra numeri complessi come una rotodilatazione (la dilatazione è dovuta alla presenza dei moduli) che ruota il vettore rappresentativo di uno dei due numeri dell ammontare dell argomento dell altro. Infatti: z z = ρ ρ (cos θ + j sin θ )(cos θ + j sin θ ) ( ) ( ) cos θ sin θ ρ ρ cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ ( ) cos(θ + θ = ρ ρ ) sin(θ + θ ). sin(θ + θ ) cos(θ + θ ) Ad esempio jz è il numero z ruotato in verso antiorario di π, jj è il numero j ruotato di π in verso antiorario, cioé il numero, etc. Ancora più utile e significativa è la rappresentazione esponenziale che si ottiene utilizzando la relazione di Eulero che definisce l esponenziale e jθ : e jθ = cos θ + j sin θ

42 4 da cui seguono le formule: cos θ = ejθ + e jθ, sin θ = ejθ e jθ. j Si ottiene la forma esponenziale (o polare) di un numero complesso z: z = ρe jθ. Le proprietà più importanti di e jθ sono: e jθ e jθ = e j(θ +θ ) e jθ e jθ = e j(θ θ ) e jθ e jθ = e jθ = e jθ e πnj =, n N ( e jθ ) = e jθ. Si ha inoltre: Ad esempio, z n = ρ n e jnθ, n >. j n = e jn π. Allora, se (k essendo un arbitrario intero relativo)n = 4k ±,j n = ±, se n = 4k ±, j n = ±j e questi sono gli unici possibili valori per j n. Infine, dato z è possibile trovare numeri complessi w tali che w n = z. Tali numeri sono: w = ρ θ+kπ n e n j, k =,,..n perché n, e n kπ n j = e i soli valori distinti per e θ+kπ n j si ottengono quando k =,,..n. Intorni Per l analisi complessa è necessario definire in C una opportuna classe di intorni di un punto z. Diremo ɛ intorno I(ɛ, z ) di un punto z un cerchio aperto di centro z e raggio ɛ e scriveremo I(ɛ, z ) = C z,ɛ. Dato un insieme Ω un punto z Ω si dice interno se esiste un intorno di z tutto contenuto in Ω. Segue che un generico insieme aperto è un insieme i cui punti sono tutti punti interni di Ω. Si dice punto di frontiera di Ω ogni punto tale che un suo intorno contenga almeno un punto interno a Ω e almeno un punto non appartenente

43 4 ad Ω. Un punto che non è interno o di frontiera per Ω si dice punto esterno. Un punto z si dice punto di accumulazione per Ω se ogni suo intorno contiene infiniti punti di Ω. Non necessariamente un punto di accumulazione di Ω appartiene a Ω. Un insieme Ω si dice chiuso se ogni punto di accumulazione di Ω appartiene a Ω. Un insieme si dice limitato se è contenuto in un cerchio chiuso di raggio finito. Un insieme si dice compatto se è chiuso e limitato. Punto all infinito Al campo complesso è possibile aggiungere un (solo) punto all infinito. Si tratta del numero complesso che si ottiene allontanandosi indefinitamente dall origine lungo una direzione arbitraria. Si conviene di indicare tale punto come z = e gli si attribuisce un modulo infinito e un argomento indeterminato. Si studia il punto all infinito mediante una opportuna proiezione stereografica che consiste nell appoggiare sull origine di R una sfera (di diametro convenzionalmente eguale a ) e nel tracciare il segmento che congiunge il punto della sfera (detto anche Polo Nord) diametralmente opposto all origine con un punto arbitrario P in R. Il segmento interseca la superficie sferica in un punto, che si dice immagine P di P e che si pone in corrispondenza biunivoca con P. Quando si considerano punti indefinitamente lontani dall origine, tutte le loro immagini confluiscono nel polo nord della sfera, che pertanto si interpreta come punto all infinito del campo complesso. Le regole di calcolo con z = sono: z ± = + = se z, z =. = z = = z,,, sono forme indeterminate. Si definisce intorno di z = ogni insieme I della forma: I = {z : z > M, M > } cioé l insieme di tutti i punti esterni ad una circonferenza di centro l origine e raggio M. Da notare un fatto interessante: una circonferenza γ,m = {z : z = M} divide il piano complesso in due regioni disgiunte: quella interna è interpretabile come intorno di z = definito da: C,M = {z : z < M}

44 mentre quella esterna, secondo la definizione sopra scritta, è interpretabile come intorno di z =. Unendo questa considerazione con il fatto che z = è l unico punto con modulo infinito e argomento indeterminato, si può pensare a z = come inverso di z = e reciprocamente, a z = come inverso di z =. Il piano complesso C unito a z = si dice piano complesso esteso e si indica con C. 43

45 44 Lezione Funzioni di variabile complessa. Nel caso dei complessi si possono considerare quattro possibilità: f : X R f(x) R () f : Ω C f(ω) R () f : X R f(x) C (3) f : Ω C f(ω) C (4) Ci occuperemo sostanzialmente della possibilità (4) (funzioni complesse di variabile complessa) anche se non trascureremo le possibilità () (funzioni reali di variabile complessa) e (3) (funzioni complesse di variabile reale). Indicheremo con f(z) sia la funzione che un suo valore. Esempi per funzioni reali di variabile complessa sono: f(z) = z, f(z) = R(z), f(z) = I(z). Esempi per funzioni complesse di variabile reale sono: f(x) = jx, f(x) = e jx, f(x) = cos x + j tan x. Le funzioni elementari di variabile complessa sono: f(z) = C, C costante complessa (5) f(z) = Cz, C costante complessa (6) f(z) = z, z (7) f(z) = z n, n > (8) Componendo i precedenti tipi di funzione tramite somma, prodotto, inversione si ottiene la più generale funzione elementare, che ha la forma: f(z) = p(z) q(z) ove p, q sono polinomi complessi della forma: N a i z i, a i C. i= Tale tipo di funzione si dice funzione razionale (propria se il grado del denominatore è strettamente maggiore del grado del numeratore). Data una funzione complessa di variabile complessa, f(z) = w, z C, w C, essendo w un numero complesso dotato di una parte reale u e di una parte immaginaria

46 v potremo scrivere, tenendo conto che f è funzione delle variabili reali x e y tramite z = x + jy: f(z) = f(x + jy) = u(x, y) + jv(x, y). Esempi. ) 45 f(z) = z = (x + jy) = x y + jxy u(x, y) = x y, v(x, y) = xy. ) f(z) = z = x y + jxy = u(x, y) = x y jxy (x y ) + 4x y x y (x y ) + 4x y, v(x, y) = xy (x y ) + 4x y Al contrario, date due funzioni reali delle variabili x, y, u(x, y) e v(x, y), è possibile, tramite x = z + z, y = z z, j e la combinazione lineare complessa ( z + z u(x, y) + jv(x, y) = u, z ) ( z z + z + jv, z ) z j j risalire ad una funzione di variabile complessa, che però in genere dipende sia da z che da z. Esempi. ) u(x, y) = x + y, v(x, y) = xy u ( z + z, z ) ( z z + z + jv, z ) z j j ) ( z + z ) ( ) z z = + + j z + z z z j j = zz z z. u(x, y) = x, v(x, y) = y u ( z + z, z ) ( z z + z + jv, z ) z j j = z + z + j z z j = 3z z

47 46 Funzioni non elementari La più importante tra le funzioni non elementari è la funzione esponenziale complessa, definita da: e z = e x+jy = def = e x e jy = e x (cos y + j sin y) ove e x è l esponenziale reale e e jy = cos y + j sin y è la formula di Eulero: essendo entrambe le quantità ben definite, l esponenziale e z risulta ben definito. Proprietà fondamentali: e z e z = e z +z, z, z C (9) e z, z C () e z =, se e solo se z = kπj () e z = e z () e z = e z se e solo se z z = kπj (3) (e z ) = e z (4) Una funzione f(z) di variabile complessa si dice periodica con periodo complesso τ se z C, f(z + τ) = f(z). Sorprendentemente, la funzione e z è periodica sull asse immaginario, e il periodo è un numero immaginario puro. Infatti, per le proprietà già viste: f(z + kπj) = e z+kπj = e z = f(z). Funzioni trigonometriche complesse Tramite la funzione esponenziale è possibile definire le funzioni trigonometriche in campo complesso. Osserviamo anzitutto che: e αz = e xr(α) yi(α)+j(xi(α)+yr(α)) = e xr(α) yi(α) e j(xi(α)+yr(α)), α C Pertanto è definito e jz = e jx y e si hanno allora le seguenti definizioni fondamentali: sin z = ejz e jz, cos z = ejz + e jz j Le funzioni sin z e cos z sono periodiche di periodo π; si ha inoltre e jz = cos z+j sin z. La proprietà fondamentale: sin z + cos z = si verifica con un calcolo diretto: ( e jz e jz ) ( e jz + e jz ) + = ejz + e jz e jz e jz =. j 4

48 47 Nello stesso modo si verifica che z, z C: sin(z ± z ) = sin z cos z ± cos z sin z cos(z ± z ) = cos z cos z sin z sin z Da queste formule, ponendo z = x, z = jy, osservando che si ricava: cos jy = ejjy + e jjy sin jy = ejjy e jjy j = e y + e y = e y e y j = cosh y, = j sinh y Segue subito: sin z = sin x cosh y + j cos x sinh y, cos z = cos x cosh y j sin x sinh y. (sin z ) = sin z, (cos z ) = cos z sin z = (sin x cosh y) + (cos x sinh y) = sin x( + sinh y) + cos x sinh y = sin x + sinh y cosz = (cos x cosh y) + (sin x sinh y) = cos x( + sinh y) + sin x cosh y = cos x + sinh y. Tramite sin z, cos z si definiscono poi le altre funzioni trigonometriche complesse: tan z = sin z cos z = e jz e jz, etc. j e jz + e jz Gli zeri di sin z, cioè i punti per cui: e jz e jz = si ricavano da: e jz =, con soluzioni: z = kπj. Analogamente gli zeri di cos z, cioè i punti per cui e jz + e jz = si ricavano da: e jz = = e jπ, con soluzioni z = π j + kπj. Funzioni iperboliche complesse Sono le funzioni definite da: sinh z = ez e z cosh z = ez + e z, e estendono le funzioni iperboliche reali a C. Le funzioni iperboliche complesse sono periodiche con periodo πj; si ha inoltre e z = cos z + sin z. Osserviamo che: cosh z sinh = Inoltre: sinh z = sinh(x + jy) = sinh x cos y + j cosh x sin y cosh z = cosh(x + jy) = cosh x cos y + j sinh x sin y sinh jz = j sin z, sin jz = j sinh z

49 48 cosh jz = cos z, (sinh z ) = sinh z, cos jz = cosh z (cosh z ) = cosh z sinh z = sinh x + sin y, cosh z = sinh x + cos y Le espressioni per sin z, sinh z etc. sono simili. In generale, una funzione f(z) si dice non limitata in un insieme Ω se M, M > z Ω, f(z) < M. Segue che sin z, sinh z, cos z, cosh z sono funzioni non limitate in C.

50 49 Lezione Inversione di funzioni. In genere, funzioni complesse di variabile complessa ammettono funzioni inverse. Però, in casi anche semplici, può essere impossibile trovare la funzione inversa di una funzione data. Un esempio è già stato esaminato: se si considera f(z) = z n, la ricerca della funzione inversa (che di solito si indica con z n ) porta alla conclusione che l inversione non è possibile: infatti la corrispondenza z z n = ρ n e θ+kπ n j, k =,,..n è una corrispondenza uno-a-n, dunque una relazione e non una funzione. La stessa cosa capita nel caso in cui si voglia invertire la funzione esponenziale complessa. Dato z, un numero complesso w si dice un logaritmo complesso di z, e si scrive w = ln z, se e solo se e w = z. Si vede facilmente che esiste una infinità numerabile di numeri complessi w tali che e w = z. Infatti, posto w = u + jv si ha subito: da cui: e u+jv = e u e jv = z = ρe jθ e u = ρ, v = θ + kπ. Segue che: u = ln ρ = ln x + y, v = θ + kπ w = u + jv = ln ρ + jθ + kπj = ln x + y + jargz + kπj. Pertanto la corrispondenza z ln z = ln x + y + jargz + kπj è una corrispondenza uno-a-infinito. Vale tuttavia la proprietà fondamentale dei logaritmi: ln(z z ) = ln z + ln z, ln ( ) z z = ln z ln z Situazioni di questo tipo portano a definire con il termine funzione polidroma ogni corrispondenza funzionale complessa uno-a-molti. Lo studio delle funzioni polidrome esula dagli scopi del presente corso. Nella pratica, però, si supera questa difficoltà definendo tante corrispondenze unoa-uno, dunque funzioni, quanti sono i valori possibili per k. Nel caso della radice n esima si hanno pertanto n funzioni: w : z ρ n e θ n j w : z ρ θ+π n e n j w 3 : z ρ θ+4π n e n j w 4 : z ρ θ+6π n e n j...