Polo per la Chimica e le Biotecnologie Ambientali e Sanitarie Istituto d Istruzione Superiore Ada Gobetti Marchesini Luigi Casale Torino

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1 Polo per la Chimica e le Biotecnologie Ambientali e Sanitarie Istituto d Istruzione Superiore Ada Gobetti Marchesini Luigi Casale Torino Orientamento Formativo in collaborazione con il Politecnico di Torino Prof. Pietro MANTELLI pietro.mantelli@istruzione.it LEZIONE 5 Tratta da materiale didattico predisposto dal Politecnico di Torino Orario delle lezioni: dal 11/11/2014 al 16/12/14 martedi -14:30 15:50 aula 2 lim 1

2 PM1 Bambini, slittini e piccole mamme stanche ovvero La Fisica del piano inclinato con attrito Attività Orientamento Formativo A.A Dipartimento di Fisica Politecnico di Torino Testi di riferimento: P. A. Tipler, Corso di Fisica vol. I, Zanichelli, 1995 P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica vol. I, EdiSES,

3 Diapositiva 2 PM1 PIETRO MANTELLI; 11/12/2014

4 Il problema iniziale Un papà ed una mamma portano i figli Andrea e Beatrice a sciare con uno slittino. Entrambi riportano i bambini in cima ad una collinetta alta 16.6 m per 10 volte, risalendo un pendio di 80 m. Il padre è molto più alto della madre. Alla fine della giornata la madre ha la netta impressione di aver lavorato più del padre sarà vero? 80.0 m 16.6 m 3

5 I dati del problema sono: Massa dei bambini m A = m B = 20.0 Kg m slittino = 5.0 Kg θ 80.0 m 16.6 m Coefficienti di attrito tra neve e slittino: α Angolo θ (dipende dalla statura di chi tira): Padre θ p =45 Madre θ m =30 dinamico µ d = statico µ s = Numero di risalite: n = 10 (a testa) 4

6 Questo problema semplice ci serve per illustrare un metodo generale per affrontare la risoluzione dei problemi usando le leggi di Newton. Esso è basato su alcuni passi fissi che vanno affrontati sempre nello stesso ordine. 1. Si fa un disegno chiaro che schematizza la situazione fisica spesso sostituendo agli oggetti i loro sistemi fisici equivalenti (punti materiali) s=80 m h=16.6 m Potrei schematizzare lo slittino con una sfera? 5

7 2. Si isola il corpo (punto materiale) che interessa e si disegna un diagramma di corpo libero, indicando ogni forza esterna che agisce sullo slittino. Se più corpi sono presenti nel problema, si disegna un diagramma di corpo libero per ciascuno di essi. N r T r α = arcsin h s f r d s h α W r Dove sono applicate le forze? E importante saperlo? 6

8 3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo y f r d N r T r s x h α W r 7

9 3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo e si scrive la seconda legge di Newton ΣF = ma, poi la si scompone lungo gli assi. r F r = W r r + N + T + M = m + m + m A α B f r d y r f slittino N r d W x T y r = Ma α W r θ W y T r T x r T = T iˆ x + T ˆ y j = T cosθ iˆ + T sinθ ˆj r W = W iˆ x + W ˆ y j = Mg sinα iˆ Mg cosα ˆj r r N = N ˆj f = f iˆ = µ N iˆ s x d d d h 8

10 3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo e si scrive la seconda legge di Newton ΣF = ma, poi la si scompone lungo gli assi. r F r = W r r + N + T + M = m + m + m A B r f slittino d r = Ma + T + T cosθ sinθ Mg sinα f d Mg cosα + N = = Ma Ma x y = = 0 0 α f r d y N r T y W r T r W x T x α θ W y x s Perché si è posto a x = 0? h 9

11 3. Si risolvono simbolicamente le equazioni così ottenute rispetto alle incognite, usando ogni altra informazione disponibile. Le incognite possono essere le masse, le componenti delle accelerazioni, o le componenti di alcune delle forze. In questo caso l incognita è la forza T. 1) 2) + T + T cosθ sinθ Mg sinα µ N Mg cosα + d = N = 0 0 Quanto valgono gli angoli? s α h h = s sinα α = h arcsin = 12 s o θ I valori di θ dipendono dalla statura di chi tira lo slittino. Sono dati del problema e valgono θ θ p m = 45 = 30 o o per il papà per la mamma 10

12 3. Si risolvono simbolicamente le equazioni così ottenute rispetto alle incognite, usando ogni altra informazione disponibile. Le incognite possono essere le masse, le componenti delle accelerazioni, o le componenti di alcune delle forze. In questo caso l incognita è la forza T. 1) 2) + T + T cosθ sinθ Mg sinα µ N Mg cosα + d = N = 0 0 Dalla (2) N = Mg cosα T sinθ Che sostituito nella (1) dà ( Mg cosα T sin ) 0 + T cos θ Mg sinα µ θ = T (cosθ µ sinθ ) = Mg( µ cosα + sinα ) + d d d T = Mg sinα + µ d cosα cosθ + µ sinθ d 11

13 4. Si inseriscono i valori numerici e le relative unità di misura nelle equazioni risolutive. Nel nostro caso M θ θ p m = = m 45 A = 30 o o + m B + m h α = arcsin =12 s slittino o = ( ) kg = Per cui la forza con cui il papà tira lo slittino è Mentre la mamma tira con una forza Notiamo che la forza maggiore è applicata dal papà Ma se considero le componenti orizzontali T px = T p cosθ p =136.3 N 45.0 kg T p 193 N T m 167 N T mx = T m cosθ m =144.2 N Perché il papà deve tirare con una forza maggiore, ma con componente orizzontale minore? 12

14 Ora dobbiamo verificare se davvero la mamma compie più lavoro del papà. Ricordiamo che, nel caso semplice di forza costante agente su un corpo in moto rettilineo, il lavoro compiuto dalla forza durante lo spostamento da A a B è espresso dall equazione r = xiˆ r = xiˆ x = x B x A O î L p F r θ L AB P F r Quindi il lavoro compiuto dal papà è e il lavoro compiuto dalla mamma è L m r r r = F = F x cosθ = F x Nel nostro caso - Lo spostamento x è s=80 m per ogni risalita - La forza è T - Le risalite compiute sono n=10 = nt s = N 80 m 10 = J px = nt s = N 80 m 10 = J mx 13

15 La differenza di lavoro (ossia di energia spesa dall organismo) è data da: L = L m L p = 6344 J che equivale al lavoro che si compie sollevando per ben 100 volte una massa di 6.5 Kg da terra ad un metro di altezza!! la madre aveva ragione! 14

16 1) Qual è la forza che lo slittino esercita sulla superficie della neve mentre scende? 2) Se l attrito tra i pattini dello slittino e la neve fosse nullo, quale sarebbe l accelerazione dello slittino durante la discesa? 15

17 Operiamo nel solito modo e costruiamo il diagramma di corpo libero per lo slittino C N Poi scegliamo gli assi e scomponiamo le forze W x = Mgsinα h α W x W y = - Mgcosα N y = N W y W α Poi scriviamo l equazione di Newton lungo gli assi B A lungo x { ΣF x = Mgsinα = Ma x lungo y ΣF y = N - Mgcosα = Ma y = 0 Com è fatta la risultante delle forze? 16

18 Risolviamo le equazioni per ottenere N e l accelerazione { lungo x Mgsinα = Ma x a x = gsinα lungo y N - Mgcosα = 0 N = Mgcosα Usando i valori numerici M = 45.0 kg α = 12 m/s 2 otteniamo g=9.81 a x = 9.81m/s m/s 2 N = 45.0 kg 9.81 m/s N 17

19 Tenendo invece conto dell attrito tra i pattini dello slittino e la neve (µ d =0.150 ), qual è l accelerazione dello slittino quando scende dalla sommità del pendio? 18

20 Operiamo nel solito modo e costruiamo il diagramma di corpo libero per lo slittino. Stavolta c è anche la forza di attrito! Poi scegliamo gli assi, scomponiamo le forze e scriviamo l equazione di Newton in componenti C f d N W x = Mgsinα W y = - Mgcosα h α W x N y = N f d,x = -f d = -µ d N = - µ d Mgcosα W y W α B A lungo x { ΣF x = Mgsinα - µ d Mgcosα = Ma x lungo y ΣF y = N - Mgcosα = Ma y = 0 19

21 Risolviamo le equazioni per ottenere N e l accelerazione { x Mgsinα - µ d Mgcosα = Ma x a x = g(sinα - µ d cosα) y N - Mgcosα = 0 N = mgcosα Con i dati originari: M = 45.0 kg, α = 12, g = 9.81 m/sec 2, µ d = a x = 9.81 m/s 2 ( ) = 1.10 m/sec 2 20

22 Tenendo conto dell attrito con la neve, qual è la velocità dello slittino quando arriva al fondo del pendio? La velocità finale dello slittino si può facilmente ottenere applicando le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato lungo la direzione x parallela al piano inclinato e usando l accelerazione appena calcolata. Proviamo invece qui a fare il calcolo usando considerazioni energetiche. 21

23 Energia e sua conservazione In un sistema isolato soggetto a forze solo conservative (attrito assente*) vale il principio di conservazione dell energia meccanica E: E = U + K = cost E = U + K = 0 dove U = energia potenziale, K = energia cinetica = ½mv 2 ossia: U f U i + K f K i = 0 U i + K i = U f + K f In un sistema che contiene forze non conservative (attrito presente) il lavoro di tali forze dissipative è uguale alla variazione totale di energia meccanica E del sistema: L nc = E = U + K = U f U i + K f K i dove se la forza non-conservativa F nc è costante (vettorialmente!) si ha: L nc r r = F s nc s è lo spostamento (vettore) lungo cui F nc ha lavorato Perché un sistema sia conservativo è proprio necessario che non ci sia attrito? 22

24 Nel nostro caso F n f d C x h P s B y α f d,x = -f d = -µ d N = - µ d Mgcosα L nc = - µ d Mgcosα s E = 0 - Mgh + ½ Mv 2 f - 0 U f U i K f K i A da cui, scrivendo h=s sinα: µ d g s cosα = g s sinα - ½ v f 2 v = 2gs(sinα µ cosα) = 2gh(1 µ cotα) d d Con i dati originari: α = 12, g = 9.81 m/sec 2, µ d = 0.150, s = 80.0 m h=16.6 m v f = 9.80 m/s 35 km/h (senza attrito sarebbe stata v f = 2gh = 18.0 m/sec) 23

25 Quesiti 1) La forza che il papà deve applicare allo slittino per farlo avanzare a velocità costante su un tratto orizzontale è maggiore se spinge come in (a) o se tira come in (b)? Si usino i dati del problema e gli angoli indicati in figura. M = 45.0 kg µ d = µ s = M Immagini tratte da: Raymond A. Serway - John W. Jewett Fisica per scienze ed ingegneria 4 edizione EdiSES

26 Quesiti 2) Lo slittino è inizialmente fermo. La mamma, esausta, riesce solo più ad applicare una forza orizzontale pari a 100 N. (a) Dimostrare che lo slittino non si muove. (b) Il papà cerca di aiutarla tirando verso l alto lo slittino. Quale forza minima verticale deve applicare per far spostare lo slittino? (c) Quale forza addizionale dovrebbe invece applicare il papà se, anziché sollevare, si limitasse a spingere? M = 45.0 kg F p µ d = µ s = F p F m F m Domanda (b) Domanda (c) Immagini tratte da: Raymond A. Serway - John W. Jewett Fisica per scienze ed ingegneria 4 edizione EdiSES

27 Quesiti 3) E corretto dire che la forza di attrito è sempre opposta al moto? Il camion sta accelerando (a= m/s 2 ). La cassa (m= 120 kg) non scivola sul pianale. Quale forza fa accelerare la cassa? Immagini tratte da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7 Edition Wiley Higher Eucation

28 Quesiti 4) Che cosa NON sarebbe possibile fare in un mondo senza attrito? Provate a immaginare Camminare? Andare in bici? Lavarsi i denti? Guidare? Pattinare? Mangiare? Scrivere? Farsi una spremuta? Pulire i vetri? Salire su una scala? Immagini tratte da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7 Edition Wiley Higher Eucation 2007 Raymond A. Serway - John W. Jewett Fisica per scienze ed ingegneria 4 ed. EdiSES

29 Quesiti 5) Quando siete in auto e fate una curva, che cosa vi permette di cambiare la direzione dell auto? Immagine tratta da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7 Edition Wiley Higher Eucation ) Applicando la conservazione dell energia e trascurando l attrito con l aria, stimate a quale velocità arriverebbe a terra una goccia di pioggia. Vi serve sapere la massa della goccia? 28

30 Quesiti 7) Dovete progettare una rotaia di montagne russe con un giro della morte. Chiamate R il raggio del cerchio. Trascurando l attrito, da quale altezza partireste con il vostro carrello per essere sicuri di non cadere? Immagine tratta da: Hugh D. Young, Roger A. Freedman UNIVERSITY PHYS ICS Pearson Addison-Wesley Immagine tratta da: Raymond A. Serway - John W. Jewett Fisica per scienze ed ingegneria 4 edizione EdiSES

31 Quesiti 8) Su quale principio si basa l ABS (sistema anti-bloccaggio delle ruote) nelle auto? Perché è importante che le ruote non scivolino? Con ABS 30

32 Quesiti 8) Su quale principio si basa l ABS (sistema anti-bloccaggio delle ruote) nelle auto? Perché è importante che le ruote non scivolino? Senza ABS 31