INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI GIOCHI

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1 INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI GIOCHI ANTONIO IANNIZZOTTO Sommario. In questi appunti intendiamo offrire una breve ma rigorosa introduzione alla teoria dei giochi, utilizzabile per i corsi di laurea magistrale o di dottorato di ricerca in matematica. Il corso è incentrato principalmente sugli aspetti teorici della disciplina: definizioni formali di gioco, utilità e soluzione; cenni di analisi multivoca; concetto di equilibrio di Nash; giochi statici non-cooperativi e cooperativi; giochi a somma nulla; teoremi di minimax; giochi dinamici; rappresentazione mediante grafi. Infine vengono presentate diverse applicazioni, con particolare attenzione ai modelli economici. Ringraziamo la Prof.ssa Ornella Naselli, del Dipartimento di Matematica e Informatica dell Università degli Studi di Catania, per i molti e preziosi chiarimenti che ci ha offerto su questo argomento. Indice 1. Introduzione: giochi, soluzioni ed equilibri Notazioni 6 2. Multifunzioni Multifunzioni fra spazi topologici Selezioni continue Punti fissi Il principio KKM Giochi non cooperativi ed equilibri di Nash Strategie miste e teorema di Nash Esempi Equilibri approssimati Giochi a somma nulla e teoria del minimax Alcuni teoremi di minimax Giochi cooperativi Valore di Shapley Esempi Cenni sui giochi dinamici Esempi 51 Riferimenti bibliografici 54 Versione del 16 aprile

2 2 A. IANNIZZOTTO 1. Introduzione: giochi, soluzioni ed equilibri Chi in cento battaglie riporta cento vittorie, non è il più abile in assoluto; al contrario, chi non dà nemmeno battaglia, e sottomette le truppe dell avversario, è il più abile in assoluto. Sun Tzu I primi matematici ad affrontare teoricamente il problema dei giochi furono Zermelo [37] e Borel [3], con particolare enfasi sugli aspetti logici e probabilistici. Tuttavia, il maggior contributo verso la formalizzazione di una teoria matematica dei giochi è dovuto a Von Neumann [36]. La moderna teoria dei giochi rappresenta un tentativo di descrivere le interazioni sociali (specialmente in campo economico) tra soggetti che, in competizione tra loro, effettuano decisioni razionali cercando di ottenere il massimo vantaggio. Lo studio ha finalità predittive: determinare, se possibile, la soluzione o le situazioni di equilibrio di un interazione prima che essa abbia luogo. Per elaborare un modello di queste interazioni si ricorre al concetto di gioco, che può avere diverse caratteristiche (statico, dinamico, non-cooperativo, cooperativo etc.): questo modello risulta efficace in quanto permette di trascurare tutti gli gli aspetti dell interazione non attinenti alla strategia. La teoria è stata applicata con successo, oltre che nelle scienze sociali, anche in biologia (evoluzione di popolazioni di microorganismi), elettronica, scienze militari, psicologia e filosofia morale (teoria della scelta razionale). Per un ampia trattazione della materia rimandiamo alle monografie di Aubin [1], Burger [6], Colombo [10], Gibbons [14], McKinsey [23], Morgenstern [27], Morgenstern & von Neumann [28], e alla raccolta di saggi di Kuhn & Tucker [22]. Per i collegamenti con l analisi moderna, rimandiamo a Rossi [32]. Dal punto di vista teorico, la teoria dei giochi costituisce un interessante crocevia di branche mutuamente indipendenti della matematica quali la topologia, l analisi multivoca, il calcolo delle probabilità e la teoria dei grafi. Introduciamo brevemente le definizioni-assiomi della teoria: Definizione 1.1. Un gioco è un interazione tra due o più decisori razionali e intelligenti, detti giocatori. Un decisore è detto (i) razionale se dispone di una preferenza sull insieme degli esiti (vedi Definizione 1.2); (ii) intelligente se persegue senza commettere errori la massima soddisfazione. Un gioco statico rappresenta una situazione in cui tutti i giocatori effettuano le loro scelte nello stesso momento, mentre in un gioco dinamico i giocatori scelgono secondo un certo ordine temporale, adattando la strategia alle mosse degli altri giocatori. In un gioco deterministico i giocatori scelgono in condizioni di certezza, ovvero sanno che un determinato insieme di strategie conduce invariabilmente a un certo esito, mentre in un gioco stocastico, dato un insieme di strategie, vi sono diversi esiti ciascuno con la sua probabilità. In un gioco non-cooperativo i giocatori non possono stringere accordi vincolanti tra loro, mentre in un gioco cooperativo possono. Un gioco statico deterministico non-cooperativo tra un

3 TEORIA DEI GIOCHI 3 insieme finito di giocatori P 1,... P n (n 2) è rappresentato da un complesso (1.1) Γ = (X 1,... X n, E, h), dove X i è l insieme delle strategie del giocatore P i, E è l insieme degli esiti e h : Π n i=1x i E è la funzione che associa a ogni n-upla di strategie l esito corrispondente. Per compiere le proprie scelte, i giocatori hanno bisogno di un criterio: Definizione 1.2. Una preferenza è una relazione binaria su un insieme E con le seguenti proprietà: (i) e e per ogni e E (riflessiva); (ii) se e 1 e 2 e e 2 e 3 allora e 1 e 3 per ogni e 1, e 2, e 3 E (transitiva); (iii) e 1 e 2 o e 2 e 1 per ogni e 1, e 2 E (completa); (iv) se E è uno spazio topologico, allora l insieme {e E : e ē} è chiuso per ogni ē E (continua). Se e 1 e 2 e non e 2 e 1, si scrive e 1 e 2. Se e 1 e 2 e e 2 e 1, allora e 1, e 2 sono detti equivalenti (e 1 e 2 ). Osservazione 1.3. Una preferenza non è un ordinamento: manca la proprietà antisimmetrica! L ipotesi di razionalità implica che il giocatore P i dispone di una preferenza i su E. In molti casi (come nelle scommesse), tale preferenza può essere quantificata. Definizione 1.4. Un utilità è una funzione u : E R con le seguenti proprietà: (i) per ogni e 1, e 2 E, se e 1 e 2, allora u(e 1 ) u(e 2 ); (ii) per ogni e 1, e 2 E, se e 1 e 2, allora u(e 1 ) < u(e 2 ). L esistenza di una funzione di utilità non è ovvia. Vale in merito il Teorema di Rappresentazione (Kreps [21]): Teorema 1.5. Siano E un insieme non vuoto e una preferenza su E: (i) se E ℵ 0, allora esiste un utilità u : E R; (ii) se E 2 ℵ 0, E è uno spazio topologico e è continua, allora esiste un utilità u : E R continua. Assumeremo sempre l esistenza di un utilità per ogni giocatore. Dunque il complesso (1.1) si riformula come (1.2) Γ = (X 1,... X n, f 1,... f n ), dove f i = u i h : Π n i=1x i R è detta pay-off del giocatore P i. Nel caso n = 2, usualmente denoteremo P, Q i giocatori e Γ = (X, Y, f, g) e rappresenteremo i possibili risultati del gioco in una (bi)matrice. Questa rappresentazione è detta in forma strategica. Esempio 1.6. Il gioco del pari o dispari prevede due giocatori P (che vince se la somma è pari), Q (che vince se la somma è dispari) con lo stesso insieme di strategie X = Y = {p, d} e due esiti E = {vince P, vince Q}. Ovviamente ogni giocatore preferisce vincere, ergo

4 4 A. IANNIZZOTTO attribuisce utilità 1 alla vittoria e 1 alla sconfitta. Il gioco è rappresentato dalla tabella simmetrica: P \Q p d p (1, 1) ( 1, 1) d ( 1, 1) (1, 1) Esempio 1.7. Il gioco della morra cinese (o carta, pietra e forbice) prevede due giocatori P, Q con lo stesso insieme di strategie X = Y = {c, p, f} e tre esiti E = {vince P, vince Q, pareggio}. Per ogni giocatore, la vittoria vale 1, il pareggio 0 e la sconfitta 1. Il gioco è rappresentato dalla tabella simmetrica: P \Q c p f c (0, 0) (1, 1) ( 1, 1) p ( 1, 1) (0, 0) (1, 1) f (1, 1) ( 1, 1) (0, 0) In casi semplici, possiamo risolvere un gioco (ovvero, determinare come andranno effettivamente le cose) usando la tabella dei pay-off mediante il metodo delle eliminazioni iterate. In particolare, se P e Q hanno strategie fortemente dominanti x e y, la soluzione del gioco sarà (x, y). Definizione 1.8. Nel gioco (1.2), siano x i, y i X i due strategie. Si dice che (i) x i domina fortemente y i se f i (z 1,... x i,... z n ) > f i (z 1,... y i,... z n ) per ogni (z 1,... z n ) Π j i X j ; (ii) x i domina strettamente y i se f i (z 1,... x i,... z n ) f i (z 1,... y i,... z n ) per ogni (z 1,... z n ) Π j i X j ed esiste ( z 1,... z n ) Π j i X j t.c. f i ( z 1,... x i,... z n ) > f i ( z 1,... y i,... z n ); (iii) x i domina debolmente y i se f i (z 1,... x i,... z n ) f i (z 1,... y i,... z n ) per ogni (z 1,... z n ) Π j i X j. Inoltre, x i è detta fortemente (strettamente, debolmente) dominante se domina fortemente (strettamente, debolmente) ogni altra strategia di X i. Nei giochi considerati negli Esempi 1.6, 1.7 nessun giocatore ha strategie dominanti. Seguono alcuni esempi di soluzione per eliminazioni iterate per giochi con due giocatori: Esempio 1.9. Consideriamo il seguente gioco: P \Q y 1 y 2 x 1 (1, 2) (0, 1) x 2 (0, 2) (2, 1) Sia P il primo a giocare: egli osserva che y 1 è per Q una strategia fortemente dominante, quindi sceglie x 1 (che gli permette la massima utilità). La soluzione del gioco è pertanto (x 1, y 1 ). La stessa soluzione è raggiunta se Q gioca per primo.

5 Esempio Consideriamo il seguente gioco: TEORIA DEI GIOCHI 5 P \Q y 1 y 2 x 1 (3, 3) (2, 2) x 2 (0, 2) (1, 1) x 3 (1, 2) (0, 1) Sia P il primo a giocare: egli osserva che y 2 è fortemente dominata da y 1, dunque sceglie x 1 ; la soluzione è (x 1, y 1 ). Se Q gioca per primo si perviene alla stessa soluzione. Esempio Consideriamo il seguente gioco: P \Q y 1 y 2 x 1 (3, 5) (2, 5) x 2 (3, 0) (0, 2) x 3 (0, 2) (2, 0) Osserviamo che in questo gioco non esistono strategie fortemente dominanti. Sia P il primo a giocare: x 1 domina strettamente x 2 e x 3 ; se P elimina x 2, osserva che nel nuovo gioco (ridotto) y 1 domina strettamente y 2, dunque sceglie x 1 e la soluzione è (x 1, y 1 ); se invece elimina x 3, un ragionamento analogo porta alla soluzione (x 1, y 2 ). Se Q gioca per primo si perviene alle stesse soluzioni. Per risolvere queste ambiguità si introduce un concetto di equilibrio dovuto a Nash [29]: Definizione Nel gioco (1.2), la n-upla (x 1,... x n ) Π n i=1x i è un equilibrio di Nash se per ogni i {1,... n} si ha f i (x 1,... x n ) f i (x 1,... y i,... x n ) per ogni y i X i. L insieme degli equilibri di Nash di Γ si denota Ne(Γ). Nella tabella dei pay-off, un equilibrio di Nash corrisponde a una casella in cui la prima componente è massima tra quelle della stessa colonna e la seconda è massima tra quelle della stessa riga. I giochi degli Esempi 1.6, 1.7 non presentano equilibri di Nash. L unico equilibrio di Nash nell Esempio 1.9 è (x 1, y 1 ), nell Esempio 1.10 è (x 1, y 1 ). Nell Esempio 1.11 ve ne sono due: (x 1, y 1 ) e (x 1, y 2 ). Ne deduciamo che un gioco può non avere alcun equilibrio di Nash; un gioco può avere più di un equilibrio di Nash; una strategia fortemente dominata non può essere componente di un equilibrio di Nash; una strategia debolmente dominata può essere componente di un equilibrio di Nash. Dunque, la risoluzione di un gioco per eliminazione delle strategie fortemente dominate preserva gli equilibri di Nash (se ve ne sono), mentre la risoluzione per eliminazione delle strategie debolmente dominate può sopprimerne alcuni. Esempio Nel gioco noto come battaglia dei sessi, una coppia deve decidere se andare allo stadio (s) o a teatro (t); l uomo (P ) preferisce andare allo stadio in compagnia che

6 6 A. IANNIZZOTTO a teatro in compagnia, ma questo è pur sempre meglio che andare allo stadio da solo; la donna (Q) ha preferenze analoghe. Il gioco è rappresentato dalla seguente tabella: P \Q s t s (10, 5) (0, 0) t (0, 0) (5, 10) Dunque gli equilibri di Nash sono (s, s) e (t, t) (l esperienza insegna, tuttavia, che la coppia andrà a teatro). Altri equilibri si possono determinare cambiando paradigma, cioè consentendo a ciascun giocatore di ripartire la sua scelta tra le varie strategie (come uno speculatore che investe parti del suo capitale su diversi titoli, variando gli investimenti secondo le sue aspettative): questa è la teoria delle strategie miste, su cui torneremo in seguito. Il problema dell esistenza (e, in subordine, dell unicità) dell equilibrio di Nash richiede, per essere risolto, un armamentario matematico alquanto avanzato, che presenteremo nella sua forma più generale Notazioni. Introduciamo qui alcuni simboli e notazioni che saranno usati nel seguito: Sotto- e sopralivelli: se X è un insieme e f : X R, denotiamo f c = {x X : f(x) < c}, f c = {x X : f(x) c}, f c = {x X : f(x) > c}, f c = {x X : f(x) c}. Spazi topologici: in uno spazio topologico (X, τ), denotiamo σ la famiglia dei chiusi; per ogni A X denotiamo int(a) l interno, cl(a) la chiusura, A la frontiera di A, rispettivamente, e τ A la topologia indotta da τ su A; per ogni x X denotiamo U(x) la famiglia degli intorni di x Spazi metrici: in uno spazio metrico (X, d) denotiamo per ogni x X, S, T X d(x, S) = inf{d(x, y) : y S}, d(s, T ) = inf{d(x, y) : x S, y T }, { } d H (S, T ) = max sup d(x, T ), sup d(y, S), x S y T e per ogni r > 0 B r (S) = {x X : d(x, S) < r}. Spazi vettoriali: in uno spazio vettoriale X, per ogni S X denotiamo { n } span(s) = λ i x i : n N, λ 1,... λ n R, x 1,... x n S, i=1 { n aff(s) = λ i x i : n N, λ 1,... λ n R, i=1 { n conv(s) = λ i x i : n N, λ 1,... λ n [0, 1], i=1 n i=1 } λ i = 1, x 1,... x n S, n i=1 } λ i = 1, x 1,... x n S.

7 TEORIA DEI GIOCHI 7 Spazi vettoriali-topologici: in uno spazio vettoriale-topologico (X, τ), denotiamo X il duale topologico di X, per ogni S X denotiamo cc(s) = cl ( conv(s) ). 2. Multifunzioni Who needs set-valued analysis? J.P. Aubin & H. Frankowska L analisi multivoca estende la tradizionale analisi matematica al caso in cui i valori delle funzioni non sono singoli elementi di un insieme bensì suoi sottoinsiemi: questa scelta corrisponde all esigenza di studiare con i mezzi dell analisi matematica fenomeni caratterizzati da un alto grado di incertezza (come nella teoria dei controlli). Un altro contesto in cui le multifunzioni risultano utili è lo studio di problemi differenziali con discontinuità (ved. Chang [8] e Filippov [13]), con applicazioni in meccanica. In questa sezione introduciamo le definizioni di base dell analisi multivoca e alcuni teoremi di selezione e di punto fisso. Per approfondimenti rimandiamo ai testi di Aubin & Frankowska [2] e di Krein & Thompson [20]. Definizione 2.1. Siano X, Y insiemi non vuoti. Una multifunzione F : X 2 Y funzione i cui valori sono sottoinsiemi di Y. Si denota dom(f ) = {x X : F (x) }, è una F (S) = x S F (x) per ogni S X, F (T ) = {x X : F (x) T }, F + (T ) = {x X : F (x) T } per ogni T 2 Y, La multifunzione inversa I F : Y 2 Y gr(f ) = {(x, y) X Y : y F (x)}. è definita per ogni y Y da I F (y) = {x X : y F (x)}. Osservazione 2.2. Il concetto di multifunzione è, a rigore, identico a quello di relazione binaria. A differenza da quanto avviene per le funzioni (univoche), ogni sottoinsieme di X Y è il grafico di una multifunzione. Spesso, tuttavia, si restringe lo studio alle multifunzioni a valori non vuoti (dom(f ) = X). Alcune proprietà insiemistiche delle multifunzioni: Lemma 2.3. Se F : X 2 Y è una multifunzione, allora: (i) F (T ) = X \ F + (Y \ T ) per ogni T 2 Y ; (ii) F + (T ) = X \ F (Y \ T ) per ogni T 2 Y ; (iii) F ( i I T i ) = i I F (T i ) per ogni (T i ) i I 2 Y ; (iv) F + ( i I T i ) = i I F (T i ) per ogni (T i ) i I 2 Y ; (v) I F (y) = F ({y}) per ogni y Y.

8 8 A. IANNIZZOTTO 2.1. Multifunzioni fra spazi topologici. Per le multifunzioni fra spazi topologici la nozione di continuità ha diverse possibili estensioni: Definizione 2.4. Siano (X, τ X ), (Y, τ Y ) spazi topologici, x X, F : X 2 Y. (i) F è semi-continua inferiormente (s.c.i.) in x se per ogni A τ X t.c. F (x) A esiste U U X (x) t.c. F (z) A per ogni z U; (ii) F è semi-continua superiormente (s.c.s.) in x se per ogni A τ X t.c. F (x) A esiste U U X (x) t.c. F (z) A per ogni z U; (iii) F è semi-continua in x se per ogni A τ X t.c. F (x) A esiste U U X (x) t.c. F (z) A per ogni z U; (iv) F è continua in x se è s.c.i. e s.c.s. in x; (v) F è s.c.i. (s.c.s., semi-continua, continua) in X se è s.c.i. (s.c.s., semi-continua, continua) in ogni punto di X; (vi) F è aperta se F (A) τ Y per ogni A τ X ; (vii) F è chiusa se F (C) σ Y per ogni C σ X. Caratterizzazioni della semi-continuità inferiore: Lemma 2.5. Se (X, τ X ), (Y, τ Y ) sono spazi topologici, F : X 2 Y, allora le seguenti sono equivalenti: (i) F è s.c.i.; (ii) F (A) τ X per ogni A τ Y ; (iii) F + (C) σ X per ogni C σ Y ; (iv) I F è aperta. Caratterizzazioni della semi-continuità superiore: Lemma 2.6. Se (X, τ X ), (Y, τ Y ) sono spazi topologici, F : X 2 Y, allora le seguenti sono equivalenti: (i) F è s.c.s.; (ii) F + (A) τ X per ogni A τ Y ; (iii) F (C) σ X per ogni C σ Y ; (iv) I F è chiusa. Tutte le nozioni di continuità introdotte per le multifunzioni sono equivalenti all usuale continuità nel caso univoco. Un caso speciale è quello delle multifunzioni i cui valori sono intervalli reali: Lemma 2.7. Se (X, τ) è uno spazio topologico, a, b : X R sono funzioni t.c. a(x) b(x) per ogni x X e F : X 2 R è definita da F (x) = [a(x), b(x)] per ogni x X, allora le seguenti sono equivalenti: (i) F è s.c.i.; (ii) a è s.c.s. e b è s.c.i. Dimostrazione. Dimostriamo solo che (ii) implica (i). Siano x X t.c. a(x) < b(x) (per evitare casi banali) e A R aperto t.c. F (x) A. Allora esiste y A t.c.

9 TEORIA DEI GIOCHI 9 a(x) < y < b(x). Poiché a è s.c.s. e b è s.c.i. abbiamo a y, b y τ e x a y b y. Dunque esiste U U(x) t.c. U a y b y. Abbiamo infine y F (z) per ogni z U. Analogamente: Lemma 2.8. Se (X, τ) è uno spazio topologico, a, b : X R sono funzioni t.c. a(x) b(x) per ogni x X e F : X 2 R è definita da F (x) = [a(x), b(x)] per ogni x X, allora le seguenti sono equivalenti: (i) F è s.c.s.; (ii) a è s.c.i. e b è s.c.s. Alcuni esempi illustrano le differenze tra le varie nozioni di contenutià: Esempio 2.9. La multifunzione F : R 2 R definita da {0} se x < 0 F (x) = [0, 1] se x = 0 {1} se x > 0. è s.c.s. ma non s.c.i. Esempio La multifunzione F : R 2 R definita da [0, 1] se x < 0 F (x) = {1/2} se x = 0 [0, 1] se x > 0. è s.c.i. ma non s.c.s. Esempio Sia g : R R convessa. È definito per ogni x R il sub-differenziale g(x) = {y R : y(v x) g(v) g(x) per ogni v R}. La multifunzione g : R 2 R è s.c.s. La semi-continuità è a nozione più debole: Lemma Se (X, τ X ), (Y, τ Y ) sono spazi topologici, F : X 2 Y dom(f ) = X, allora F è semi-continua. è s.c.i. o s.c.s. e La semi-continuità superiore è legata alla chiusura e alla compattezza degli insiemi. Lemma Se (X, τ X ) è uno spazio topologico, (Y, τ Y ) è uno spazio normale, F : X 2 Y è s.c.s. a valori chiusi, allora gr(f ) X Y è chiuso. Dimostrazione. Proviamo che A = (X Y ) \ gr(f ) è aperto. Per ogni (x, y) A, esistono V, W τ Y t.c. y V, F (x) W e V W =. Poiché F è s.c.s. esiste U U X (x) t.c. F (U) W. Dunque U V U(x, y) e U V A. L implicazione non si inverte, fuorché in casi particolari: Lemma Se (X, τ X ) è uno spazio topologico, (Y, τ Y ) è uno spazio compatto e F : X 2 Y ha grafico chiuso, allora F è s.c.s.

10 10 A. IANNIZZOTTO Estensione del Teorema di Weierstraß: Teorema Se (X, τ X ) è uno spazio compatto, (Y, τ Y ) uno spazio topologico, F : X 2 X s.c.s. a valori compatti, allora F (X) è compatto. Dimostrazione. Sia (A i ) i I una famiglia di aperti in Y t.c. F (X) i I A i. Per ogni x X esiste J x I finito t.c. F (x) i Jx A i. Posto J = x X J x, la famiglia (F + (A i )) i J è un ricoprimento aperto di X, dunque esiste H J finito t.c. X = i H F + (A i ), da cui F (X) i H A i. Perciò, F (X) è compatto. Soffermiamoci sul caso particolare delle multifunzioni fra spazi metrici: Definizione Siano (X, d X ), (Y, d Y ) spazi metrici, d Y H denoti la distanza di Hausdorff su Y, F : X 2 Y : F è lipschitziana se esiste L > 0 t.c. d Y H(F (x), F (z)) Ld X (x, z) per ogni x, z X. Se L = 1, F è detta non-espansiva. Se L < 1, F è detta contrazione multivoca. Lemma Se (X, d X ), (Y, d Y ) sono spazi metrici e F : X 2 Y F è s.c.i. è lipschitziana, allora Dimostrazione. Siano L > 0 una costante di Lipschitz per F, A Y aperto, x F (A). Esistono y F (x) A e r > 0 t.c. Br Y (y) A. Dunque, posto δ = r/l, per ogni z Bδ X(x) ho d Y H(F (z), F (x)) Ld X (x, z) < r, da cui d Y (y, F (z)) < r, che implica F (z) A. Pertanto, Bδ X(x) F (A) e F risulta s.c.i. (Lemma 2.5). Estensione del Teorema di Darboux: Teorema Se (X, τ X ) è uno spazio connesso, (Y, τ Y ) uno spazio topologico, F : X 2 X semi-continua a valori non vuoti e connessi, allora F (X) è connesso. Dimostrazione. Procediamo per assurdo: siano A, B τ Y t.c. F (X) A B, F (X) A, F (X) B e F (X) A B =. Gli insiemi F (A), F (B) sono non vuoti e aperti in X: infatti, per ogni x F (A) si ha in effetti F (x) A, quindi esiste U U X (x) t.c. F (z) A per ogni z U, da cui U F (A) (similmente si prova che F (B) è aperto). Inoltre F (A) F (B) = X, F (A) F (B) =, contro l ipotesi che X è connesso. In vista delle applicazioni, definiamo il prodotto cartesiano di multifunzioni: Definizione Siano X, Y, Z insiemi non vuoti, F : X 2 Y, G : X 2 Z : il prodotto cartesiano di F e G è la multifunzione F G : X 2 Y Z definita per ogni x X da (F G)(x) = F (x) G(x). Lemma Se (X, τ X ), (Y, τ Y ), (Z, τ Z ) sono spazi topologici e F : X 2 Y, G : X 2 Z, allora: (i) se F, G sono s.c.i., F G è s.c.i.; (ii) se F, G sono s.c.s. a valori compatti, F G è s.c.s.;

11 TEORIA DEI GIOCHI 11 (iii) se F, G sono semi-continue a valori compatti, F G è semi-continua. Dimostrazione. Dimostriamo solo (i): siano (A i ) i I, (B i ) i I sottofamiglie di τ Y, τ Z rispettivamente. Si ha (F G) ( i I A i B i ) = i I ( F (A i ) G (B i ) ), e il secondo insieme è aperto. Dalla Definizione 2.19 segue che F G è s.c.i. Una funzione (univoca) continua, definita su un connesso, ha grafico connesso. Questo principio si estende alle multifunzioni, e inaugura una serie di risultati che legano multifunzioni e connessione: Teorema Se (X, τ X ) è uno spazio connesso, (Y, τ Y ) uno spazio topologico, F : X 2 Y s.c.i. a valori non vuoti e connessi, allora gr(f ) è connesso. Dimostrazione. Segue dal Lemma 2.20 e dal Teorema 2.18, una volta osservato che gr(f ) = (id X F )(X). Un applicazione: Lemma Se (X, τ X ), (Y, τ Y ) sono spazi topologici, S X Y e una delle seguenti condizioni è verificata: (i) X è connesso, S x è connesso per ogni x X, S y è aperto per ogni y Y ; (ii) Y è connesso, S y è connesso per ogni y Y, S x è aperto per ogni x X, allora S è connesso. Dimostrazione. Sia verificata (i): definiamo F : X 2 Y ponendo F (x) = S x per ogni x X. Allora F ha valori non vuoti e connessi. Inoltre, per ogni A τ Y l insieme F (A) = {x X : (x, y) S per qualche y A} = y A S y, è aperto, quindi F è s.c.i. La tesi segue dalla Proposizione 2.21, poiché gr(f ) = S. Un lemma di stabilità che sarà utile in seguito: Lemma Se (X, τ) è uno spazio topologico, (Y, d) uno spazio metrico, F, G : X 2 Y s.c.i. a valori non vuoti, r R + 0 e allora la multifunzione H : X 2 Y s.c.i. B r (G(x)) = {y Y : d(y, G(x)) < r} per ogni x X, Dimostrazione. Sia A Y aperto. L insieme è aperto in Y Y. Ho definita da H(x) = F (x) B r (G(x)) per ogni x X è Ã = {(y, z) Y Y : y A, d(y, z) < r} (2.1) H (A) = (F G) (Ã). Infatti, per ogni x H (A) esiste y F (x) A t.c. d(y, G(x)) < r, quindi esiste z G(x) t.c. d(y, z) < r. Allora (y, z) (F (x) G(x)) Ã così che x (F G) (Ã). E viceversa.

12 12 A. IANNIZZOTTO Per la Proposizione 2.20, la multifunzione F G è s.c.i., dunque (F G) (Ã) è aperto in X (Proposizione 2.5). Da (2.1) segue la tesi Selezioni continue. Il legame tra analisi multivoca e univoca è dato dalla seguente nozione: Definizione Siano X, Y insiemi non vuoti, F : X 2 Y, f : X Y : f è una selezione di F se f(x) F (x) per ogni x X. Ovviamente ogni multifunzione a valori non vuoti ammette selezioni. Tuttavia, queste possono in generale essere irregolari: la multifunzione dell Esempio 2.9 non ha alcuna selezione continua. Si deve a Michael [24 26] il principale risultato di esistenza di selezioni continue per una multifunzione. Questo richiede alcune premesse topologiche: Definizione Sia (X, τ) uno spazio di Hausdorff. Esso è detto paracompatto se ogni ricoprimento aperto A di X ammette un raffinamento localmente finito, ovvero un altro ricoprimento aperto B di X con le seguenti proprieà (i) per ogni A A esiste B B t.c. B A; (ii) per ogni x X esistono U U(x), B x B finita t.c. U B = per ogni B B\B x. Ogni spazio paracompatto è normale (T 4 ). Ogni spazio metrico è paracompatto. Si ha inoltre il seguente teorema (di partizione dell unità): Teorema Se (X, τ) è uno spazio normale e {A i } i I è un ricoprimento aperto localmente finito di X, allora esistono una famiglia {ϕ i } i I di funzioni continue ϕ i : X [0, 1] e una famiglia {C i } i I di chiusi t.c. (i) C i A i per ogni i I; (ii) ϕ i (x) = 0 per ogni x X \ C i, i I; (iii) i I ϕ i(x) = 1 per ogni x X. In particolare, se (X, τ) è uno spazio paracompatto e (A i ) i I è un ricoprimento aperto di X, allora esiste una partizione continua dell unità (ϕ i ) i I subordinata ad (A i ) i I (su questa parte, si veda Checcucci, Tognoli & Vesentini [9, p. 157 e p. 223]). Un lemma preparatorio: Lemma Se (X, τ) è uno spazio topologico paracompatto, (Y, ) uno spazio normato, F : X 2 Y s.c.i. a valori non vuoti e convessi, allora per ogni ε > 0 esiste f ε : X Y continua t.c. d(f ε (x), F (x)) < ε per ogni x X. Dimostrazione. Per ogni y Y sia A y = F (B ε (y)). La famiglia (A y ) y Y è un ricoprimento aperto di X, che ammette un raffinamento localmente finito (E y ) y Y (Definizione 2.25), cui è subordinata una partizione continua dell unità (ϕ y ) y Y (Teorema 2.26). Per ogni x X poniamo f ε (x) = y Y ϕ y (x)y.

13 TEORIA DEI GIOCHI 13 È definita una funzione f ε : X Y. Proviamo che f ε è continua: per ogni x X esistono U U(x), y 1,... y n Y t.c. U E y = per ogni y Y \ {y i } n i=1; dunque, per ogni z U abbiamo n f ε (z) = ϕ yi (z)y i, i=1 dunque f ε è continua in x. Proviamo infine la formula metrica: procedendo come sopra, assumiamo che per ogni i {1,... n} sia ϕ yi (x) > 0, da cui x A yi ; pertanto esiste w i F (x) t.c. w i y i < ε; sia n w = ϕ yi (x)w i, allora (per convessità di F (x)) abbiamo w F (x) e anche n f ε (x) w ϕ yi (x) w i y i < ε, da cui d(f ε (x), F (x)) < ε. Il teorema di Michael: i=1 i=1 Teorema Se (X, τ) è uno spazio topologico paracompatto, (Y, ) uno spazio di Banach, F : X 2 Y s.c.i. a valori non vuoti, chiusi e convessi, allora F ammette una selezione continua. Dimostrazione. Costruiamo una successione (f n ) di funzioni f n : X Y continue t.c. per ogni x X, n N (2.2) d(f n (x), F (x)) < 1 2, d(f n(x), f n n+1 (x)) < 1 2. n 1 Procediamo per induzione. Per n = 1, dalla Proposizione 2.27 segue l esistenza di f 1 : X Y continua t.c. d(f 1 (x), F (x)) < 1/2 per ogni x X, n N. Fissato n N 0, se esistono f 1,... f n verificanti (2.2), definiamo F n : X 2 Y ponendo per ogni x X F n (x) = F (x) B 1/2 n(f n (x)), così che F n è s.c.i. (Proposizione 2.23) e ha valori non vuoti (per (2.2)) e convessi. Per la Proposizione 2.27 esiste f n+1 : X Y continua t.c. per ogni x X d(f n+1 (x), F n (x)) < 1 2 n+1. In particolare, per ogni x X esiste y x F n (x) t.c. f n+1 (x) y x < 1/2 n+1, da cui f n+1 (x) f n (x) f n+1 (x) y x + y x f n (x) < n 2 < 1 n+1 2. n 1 Dunque f n+1 verifica (2.2). La successione (f n ) è di Cauchy uniformemente in X: per completezza di Y, si ha f n f uniformemente in X per qualche f : X Y continua, per la quale si ha da (2.2) d(f(x), F (x)) = 0 per ogni x X.

14 14 A. IANNIZZOTTO Poiché F ha valori chiusi, f è una selezione continua di F. Una conseguenza importante è il seguente teorema di estensione-selezione: Teorema Se (X, τ) è uno spazio topologico paracompatto, (Y, ) uno spazio di Banach, F : X 2 Y s.c.i. a valori non vuoti, chiusi e convessi, C X chiuso, g : C Y continua t.c. g(x) F (x) per ogni x C, allora F ammette una selezione continua f : X Y t.c. f C = g. Dimostrazione. Sia F : X 2 Y definita ponendo per ogni x X { {g(x)} se x C F (x) = F (x) se x / C. Proviamo che F è s.c.i. Per ogni A Y aperto e ogni x F (A), possono darsi due casi: (a) se x C, allora g(x) A, quindi esiste U U(x) t.c. g(z) A per ogni z U C; inoltre F (x) A, quindi esiste V U(x) t.c. F (z) A per ogni x V ; posto W = U V, abbiamo W U(x) e F (z) A per ogni z W ; (b) se x / C, esiste U U(x) t.c. F (z) A = F (z) A per ogni z U. Inoltre, F ha valori chiusi e convessi. Per il Teorema 2.28, F ha una selezione continua f : X Y, e ovviamente f(x) = g(x) per ogni x C. Di seguito presentiamo alcune applicazioni del Teorema La prima è un teorema di estensione continua per funzioni definite su insiemi chiusi (che generalizza, in un certo senso, il Teorema di Tietze): Corollario Se (X, τ) è uno spazio topologico paracompatto, (Y, ) è uno spazio di Banach, C X è non vuoto e chiuso, g : C Y è continua, allora esiste f : X Y continua t.c. f(x) = g(x) per ogni x C. Dimostrazione. Applichiamo il Teorema 2.29 alla multifunzione costante F (x) = Y per ogni x X. La seconda è un teorema di esistenza di un inversa continua per operatori lineari continui (che trova applicazione nella teoria delle equazioni differenziali lineari): Corollario Se (X, X ), (Y, Y ) sono spazi di Banach e ϕ hom(y, X) è continuo e suriettivo, allora esiste f : X Y continua t.c. ϕ f = id X. Dimostrazione. Applichiamo il Teorema 2.29 alla multifunzione F = ϕ 1, che ha valori non vuoti, chiusi e convessi per le ipotesi su ϕ ed è s.c.i. perché ϕ è aperta (ved. Proposizione 2.5), come segue dal teorema della mappa aperta (si veda Rudin [33, p. 47]) Punti fissi. Nella teoria dei punti fissi per applicazioni univoche, si distinguono due famiglie di risultati: i teoremi metrici di punto fisso dovuti a Banach, Caccioppoli, e quelli algebrico-topologici dovuti a Brouwer, Schauder, Cauty (si veda Granas & Dugundji [16]). Anche il caso multivoco rispecchia questa distinzione.

15 TEORIA DEI GIOCHI 15 Definizione Siano X un insieme non vuoto, F : X 2 X, x X: x è un punto fisso di F se x F (x). L insieme dei punti fissi di F è denotato fix(f ). Il teorema di Nadler estende il teorema di Banach & Caccioppoli rispetto all esistenza di punti fissi, ma si perde l unicità: Teorema Se (X, d) è uno spazio metrico completo e F : X 2 X una contrazione multivoca a valori chiusi, allora fix(f ). Dimostrazione. Siano L (0, 1) una costante di Lipschitz per F, β > 1 un numero reale e x 0 X. Scartando casi banali, supponiamo x 0 / F (x 0 ), da cui d(x 0, F (x : 0)) > 0. Costruiamo una successione (x n ) in X t.c. (2.3) x n F (x n 1 ), d(x n 1, x n ) < βl n 1 d(x 0, F (x 0 )) per ogni n N 0. Procediamo per induzione. L esistenza di x 1 verificante (2.3) è ovvia. Sia n > 1 e siano x 0,... x n X verificanti (2.33): in particolare, d(x n, F (x n )) d H (F (x n 1 ), F (x n )) Ld(x n 1, x n ) < βl n d(x 0, F (x 0 )), da cui segue l esistenza di x n+1 F (x n ) verificante (2.3). Proviamo ora che (x n ) è una successione di Cauchy in X: per ogni n, m N, n < m, ho m m d(x m, x n ) d(x i, x i 1 ) βd(x 0, F (x 0 )) L i 1 ; i=n+1 i=n+1 dal Criterio di Cauchy per le serie (e dalla convergenza della serie geometrica di ragione L) segue che, per ogni ε > 0, esiste ν N t.c. se ν < n < m allora d(x m, x n ) < ε. Poiché X è completo, abbiamo x n x. Da (2.3) ho per ogni n N d(x n, F (x)) d H (F (x n 1 ), F (x)) Ld(x n 1, x), da cui, passando al limite, d(x, F (x)) = 0. Poiché F (x) è chiuso, abbiamo infine x fix(f ). Il primo, basilare risultato: Teorema Se (X, ) è uno spazio di Banach, K X è compatto e convesso e F : K 2 K è s.c.i. a valori non vuoti, chiusi e convessi, allora fix(f ). Dimostrazione. Per il Teorema 2.28, F ammette una selezione continua f : K K. Per il Teorema di Schauder [16, p. 119], esiste x K t.c. f(x) = x. Dunque x fix(f ). Per studiare le multifunzioni s.c.s. occorre richiamare un lemma di approssimazione dovuto a Cellina [7]: Lemma Se K, H R n (n N 0 ) sono compatti, r > 0 e F : K 2 H è s.c.s. a valori non vuoti, chiusi e convessi, allora esiste g : K H continua t.c. gr(g) B r (gr(f )). Il più noto teorema di punto fisso per le multifunzioni è il seguente, dovuto a Kakutani [19]:

16 16 A. IANNIZZOTTO Teorema Se K R n (n N 0 ) è compatto e convesso e F : K 2 K è s.c.s. a valori non vuoti, chiusi e convessi, allora fix(f ). Dimostrazione. Per ogni k N 0, dal Lemma 2.35 segue l esistenza di g k : K K continua t.c. gr(g k ) B 1/k (gr(f )). Per il Teorema di Brouwer [16, p. 95] esiste x k fix(g k ). A meno di estratte, abbiamo x k x per qualche x K, da cui (x k, x k ) (x, x), quindi d((x, x), gr(f )) = lim k d((x k, x k ), gr(f )) lim k 1 k = 0. Poiché gr(f ) è chiuso (Lemma 2.13), abbiamo infine x fix(f ). Il Teorema 2.36 è stato esteso agli spazi vettoriali-topoligici da Glicksberg [15]: Teorema Se (X, τ) è uno spazio vettoriale-topologico localmente convesso di Hausdorff, K X compatto e convesso, F : K 2 K a valori chiusi e convessi t.c. gr(f ) è chiuso, allora fix(f ). Il seguente risultato dovuto a Browder [5] garantisce l esistenza di punti fissi per una multifunzione a fibre aperte: Teorema Se (X, τ) è uno spazio vettoriale-topologico localmente convesso di Haudorff, K X è compatto e convesso, F : K 2 K a valori non vuoti e convessi t.c. F (y) τ per ogni y K, allora fix(f ). Dimostrazione. La famiglia (F (y)) y K è un ricoprimento aperto di K, che è compatto, quindi esistono n N, y 1,... y n K t.c. K n i=1f (y i ). Per il Teorema 2.26 esistono ϕ 1,... ϕ n : K [0, 1] continue t.c. n ϕ i (x) = 1 per ogni x K i=1 e per ogni i {1,... n} si ha ϕ i (x) = 0 per ogni x K \ F (y i ). Sia n f(x) = ϕ i (x)y i per ogni x K. i=1 Poiché K è convesso, f : K K, inoltre f è continua. Osserviamo che f è una selezione di F : infatti, per ogni x K, posto I x = {i {1,... n} : ϕ i (x) 0}, per ogni i I x otteniamo x F (y i ), ovvero y i F (x), da cui per convessità di F (x) f(x) = i I x ϕ i (x)y i F (x). Sia C = conv(y 1,... y n ), Y = span(y 1,... y n ). Chiaramente dim(y ) <, dunque Y è isomorfo a uno spazio euclideo, inoltre f(c) C. Possiamo dunque applicare il teorema di Brouwer [16, p. 95] a f C, trovando x C fix(f). Ne segue x fix(f ). In uno spazio di Banach di dimensione infinita, tutti questi teoremi di punto fisso hanno applicazioni limitate per l estrema rarità dei compatti in tali spazi. Si ricorre dunque ai punti fissi approssimati (si veda Brânzei et Al. [4]).

17 TEORIA DEI GIOCHI 17 Definizione Siano (X, d) uno spazio metrico, F : X 2 X, ε > 0 un numero reale, x X: x è detto ε-punto fisso di F se d(x, F (x)) < ε. L insieme degli ε-punti fissi di F è denotato fix ε (F ). Vale in merito il seguente risultato: Teorema Se (X, ) è uno spazio di Banach riflessivo, S X limitato, convesso t.c. int(s), F : S 2 S a valori non vuoti e convessi, t.c. gr(f ) è debolmente chiuso, allora per ogni ε > 0 si ha fix ε (F ). Dimostrazione. L ultima ipotesi significa che gr(f ) è chiuso rispetto alla topologia prodotto della topologia σ(x, X) per se stessa, relativizzata a S S (leggere due volte aiuta). Supponiamo S = B 1 (0) (il caso generale si tratta con aggiustamenti minori). Fissato ε > 0, trovo δ R t.c. 0 < δ < min{1, ε} e poniamo K = (1 δ)cl(s) = B 1 δ (0), e per ogni x K G(x) = (1 δ)cl(f (x)). Dunque, K è un insieme chiuso, convesso, limitato in X, quindi debolmente compatto (si veda Fabian et Al. [11]) e G : K 2 K ha valori convessi e grafico debolmente chiuso. Per il Teorema 2.37 esiste x fix(g), ovvero esiste y F (x) t.c. x = (1 δ)y, da cui In conclusione x fix ε (F ). d(x, F (x)) x y = δ x < ε Il principio KKM. Concludiamo questa sezione con un celebre risultato di Knaster, Kuratowski & Mazurkiewicz [18], in base al quale la famiglia dei valori di una multifunzione (soggetta a una peculiare ipotesi geometrica) ha la proprietà dell intersezione finita (si veda anche [16, p. 37]). Definizione Siano X uno spazio vettoriale, S X non vuoto, F : S 2 S : F soddisfa KKM se, per ogni n N, x 1,... x n S, si ha conv(x 1,... x n ) n i=1f (x i ). Chiaramente, se F soddisfa KKM, allora fix(f ) = S. Inoltre, l unione di due valori F (x 1 ) e F (x 2 ) contiene il segmento congiungente x 1 e x 2, e così via. Teorema Se X è uno spazio vettoriale, S X è non vuoto, F : S 2 X soddisfa KKM e F (x) è finitamente chiuso 1 per ogni x S, allora per ogni n N 0, x 1,... x n S si ha n i=1f (x i ). Dimostrazione. Procediamo per assurdo: sia dunque (2.4) n i=1 F (x i ) =. 1 In uno spazio vettoriale X, si dice che S X è finitamente chiuso se, per ogni sottospazio Y di X di dimensione finita, l insieme S Y è chiuso in Y (rispetto alla topologia euclidea.

18 18 A. IANNIZZOTTO Denotiamo X = span(x 1,... x n ), C = conv(x 1,... x n ). Su X definiamo una topologia vettoriale di Hausdorff, rendendo X omeomorfo a uno spazio euclideo: in tale spazio, C è chiuso e limitato, quindi compatto. Per ogni i {1,... n} definiamo λ i : X R ponendo λ i (x) = d(x, F (x i ) X) per ogni x X. La funzione λ i è continua. Per ogni x X esiste i {1,... n} t.c. λ i (x) > 0: altrimenti, infatti, si avrebbe x n i=1f (x i ) (rammentiamo che gli insiemi F (x i ) X sono chiusi), contro (2.4). Dunque, per ogni x X è definito un insieme non vuoto Definiamo f : X X ponendo I x = {i {1,... n} : λ i (x) > 0}. f(x) = n i=1 λ i (x) n j=1 λ j(x) x i per ogni x X. La funzione f è continua e si ha f(x) C per ogni x X. Dunque, per il teorema di Brouwer [16, p. 95], esiste x 0 fix(f C ). Applicando la condizione KKM otteniamo x 0 = f(x 0 ) conv ({x i : i I x0 }) i Ix0 F (x i ), così che esiste i I x0 t.c. x 0 F (x i ), da cui λ i (x 0 ) = 0, contro la definizione di λ i. Questo conclude la dimostrazione. Come conseguenza, si può provare che esiste un punto comune a tutti i valori di una multifunzione: Corollario Se (X, τ) è uno spazio vettoriale-topologico di Hausdorff, S X è non vuoto, F : S 2 X soddisfa KKM e ha valori chiusi, ed esiste x 0 S t.c. F (x 0 ) è compatto, allora x S F (x). Dimostrazione. Si vede facilmente che F (x) è finitamente chiuso per ogni x S. F : S 2 F (x0) definita ponendo per ogni x S Sia F (x) = F (x) F (x 0 ). Per il Teorema 2.42, dom( F ) = S. Per ogni n N, x 1,... x n S si ha n i=1 F (x i ) = n i=0f (x i ), dunque ( F (x)) x S è una famiglia di sottoinsiemi chiusi del compatto F (x 0 ) soddisfacente la proprietà dell intersezione finita. Dunque esiste x x S F (x) (si veda [9, p. 135]), in particolare x x S F (x).

19 TEORIA DEI GIOCHI Giochi non cooperativi ed equilibri di Nash Ciascuno deve impostare la propria strategia di vita sul presupposto dell ostilità altrui. E. Limonov In questa sezione riprendiamo il concetto di equilibrio di Nash: usando gli strumenti matematici introdotti nelle sezioni precedenti, dimostreremo l esistenza di (almeno) un equilibrio di Nash per un gioco statico non cooperativo deterministico con due giocatori, rappresentato in forma strategica da Γ = (X, Y, f, g) (alcune nozioni qui introdotte si possono estendere al caso di più giocatori). Per approfondimenti rimandiamo ai testi di Aubin [1], Colombo [10] e Gibbons [14]. Specializziamo la Definizione 1.12: Definizione 3.1. Un equilibrio (di Nash) per Γ è una coppia (x, y) X Y t.c. (i) f(x, y) = sup f(, y); X (ii) g(x, y) = sup g(x, ). Y L insieme degli equilibri per Γ si denota Ne(Γ). Una nozione collegata a quella di equilibrio è la seguente: Definizione 3.2. Nel gioco Γ = (X, Y, f, g), la coppia (x, y) X Y è un ottimo (di Pareto) se non esiste un altra coppia (x, y) X Y verificante una delle seguenti condizioni: (i) f(x, y) > f(x, y), g(x, y) g(x, y); (ii) f(x, y) f(x, y), g(x, y) > g(x, y). L insieme degli ottimi per Γ si denota Po(Γ). Queste due nozioni sono indipendenti, come dimostra il più celebre problema della teoria dei giochi, noto come dilemma del prigioniero: Esempio 3.3. Due individui vengono arrestati con l accusa di omicidio e richiusi in celle separate. Il commissario fa a ogni prigioniero la seguente proposta: Se confessi (accusando il tuo complice) vi incriminerò entrambi e sarete condannati a 10 anni di prigione, ma tu sarai liberato per aver collaborato; se confessate entrambi avrete uno sconto di pena e sarete liberi in 5 anni; se nessuno di voi confessa, resterete in galera solo per il tempo del processo, cioè 1 anno. Ogni prigioniero sa che la stessa offerta è stata fatta anche all altro, e deve decidere cercando di ridurre al minimo gli anni che deve passare in cella. Denotati P, Q i prigionieri, X = Y = {c, t} le strategie (confessare e tacere) ed eguagliati i pay-off agli opposti delle durate delle condanne, si ottiene la seguente tabella: P \Q c t c ( 5, 5) (0, 10) t ( 10, 0) ( 1, 1) Si vede che Ne(Γ) = {(c, c)}, mentre Po(Γ) = {(t, t)}. Non potendo comunicare, i due prigionieri sceglieranno di confessare, raggiungendo così un equilibrio inefficiente. Questo

20 20 A. IANNIZZOTTO esito è tipico dei giochi non cooperativi, nei quali la competizione esasperata preclude la possibilità di accordi. Un equilibrio è, di solito, la miglior soluzione raggiungibile nei giochi non cooperativi. Si pone pertanto il problema di individuare condizioni sufficienti per l esistenza di (almeno) un equilibrio. Per ottenere questo risultato occorre estendere il concetto di strategia utilizzato nella Sezione, introducendo il concetto di tipo probabilistico di strategia mista Strategie miste e teorema di Nash. Richiamiamo un elementare nozione dal calcolo delle probabilità (si veda Scozzafava [34]): Definizione 3.4. Sia X = {x 1,... x n } un insieme finito (n N 0, x i x j per ogni i j): una distribuzione di probabilità su X è una funzione p : X [0, 1] t.c. n p(x i ) = 1. i=1 Le strategie miste si possono rappresentare geometricamente: sia ϕ : X R n definita da ϕ(x i ) = e i per ogni i {1,... n} (in particolare, ϕ è iniettiva). Sia Π(X) l insieme di tutte le distribuzioni di probabilità su X, e sia ϕ : Π(X) R n definita da n ϕ(p) = p(x i )ϕ(x i ) per ogni p Π(X). i=1 Chiaramente si ha ϕ(π(x)) = conv(ϕ(x)), ovvero ϕ(π(x)) è il simplesso (n 1)- dimensionale di vertici e 1,... e n (in particolare, esso è un insieme compatto e convesso), e ϕ è un isomorfismo tra Π(X) (con le operazioni formali) e ϕ(π(x)). Identificando, per ogni i {1,... n}, x i con la distribuzione p Π(X) definita da p(x j ) = δ i,j per ogni j {1,... n}, possiamo considerare ϕ come un estensione di ϕ (unica a meno di isomorfismi). Osservazione 3.5. La Definizione 3.4 si può estendere al caso in cui X è infinito: allora una distribuzione di probabilità su X è una misura p su X, t.c. p(x) = 1. Per chiarire: se X rappresenta l insieme dei possibili esiti di un evento aleatorio (ad esempio una corsa di cavalli), la funzione p associa a ogni esito (rappresentato da un elemento o da un sottoinsieme di X) la somma che uno scommettitore punta su tale esito con la prospettiva di vincere 1 se il pronostico si rivela esatto. Introduciamo la seguente nozione: Definizione 3.6. Nel gioco Γ, una strategia mista per il giocatore P (Q) è una distribuzione di probablilità sull insieme delle strategie X (Y ). Gli elementi di X (Y ) sono detti strategie pure. L impiego di strategie miste corrisponde al seguente schema: P è visto come uno speculatore che dispone di un capitale pari a 1, da investire in un insieme X di attività; scegliere una strategia mista p equivale allora a investire la somma p(x i ) nell attività x i, per ogni i {1,... n} (si può formulare lo stesso concetto utilizzando lo schema delle scommesse). Si è visto come l insieme Π(X) si può identificare con un sottoinsieme convesso e compatto di uno

21 TEORIA DEI GIOCHI 21 spazio euclideo: è quindi ragionevole ipotizzare, come faremo in seguito, che l insieme delle strategie (miste) di ciascun giocatore goda di queste proprietà geometriche e topologiche. Esempio 3.7. Nel gioco considerato nell Esempio 1.6, esteso alle strategie miste, si pone X = Y = [0, 1]: per ogni (x, y) [0, 1] 2 (che rappresenta la valutazione da parte di P che l evento p abbia probabilità x e d invece probabilità (1 x), mentre Q attribuisce a p probabilità y e a d probabilità (1 y)) i pay-off dei due giocatori sono rispettivamente f(x, y) = xy x(1 y) (1 x)y + (1 x)(1 y) = 4xy 2x 2y + 1, g(x, y) = xy + x(1 y) + (1 x)y (1 x)(1 y) = 4xy + 2x + 2y 1 (si noti che f(x, y) = g(x, y)). Per determinare gli equilibri di un gioco Γ si fa uso delle multifunzioni di miglior risposta per i singoli giocatori e globale, R P : Y 2 X, R Q : X 2 Y, R : X Y 2 X Y, definite per ogni (x, y) X Y da { R P (y) = R Q (x) = x X : f(x, y) = sup X { y Y } f(, y), : g(x, y) = sup g(x, ) Y R(x, y) = R P (y) R Q (x). Le multifunzioni ora introdotte permettono di rappresentare gli equilibri di Γ: Lemma 3.8. Si ha Ne(Γ) = fix(r). }, Dimostrazione. Sia (x, y) Ne(Γ), allora per la Definizione 3.1 f(x, y) = sup X da cui (x, y) R(x, y). E viceversa. f(, y), g(x, y) = sup g(x, ), Y Il seguente teorema di esistenza di un equilibrio è il più celebre risultato della teoria dei giochi, ed è dovuto a Nash [29]: Teorema 3.9. Se X R n, Y R m (n, m N 0 ) sono convessi e compatti, f, g : X Y R sono continue e (i) f(, y) è quasi-concava 2 per ogni y Y ; (ii) g(x, ) è quasi-concava per ogni x X, allora Ne(Γ). Dimostrazione. Adottiamo su X e su Y le rispettive topologie euclidee, e su X Y la topologia prodotto. Intendiamo applicare alla multifunzione R : X Y 2 X Y il Teorema Se X è un insieme convesso in uno spazio vettoriale e f : X R, allora f è detta quasi-concava (risp. quasi-convessa se f c (risp. f c ) è convesso per ogni c R.

22 22 A. IANNIZZOTTO La multifunzione R P : Y 2 X ha valori non vuoti, chiusi e convessi. Infatti, per ogni y Y, la f(, y) : X R è continua su un compatto, quindi Teorema di Weierstraß esiste x X t.c. f(x, y) = sup f(, y) = c, X da cui x R P (y); inoltre l insieme R P (y) = f(, y) c è chiuso e convesso per (i) (in effetti, R P (y) è compatto perché X è compatto). Proviamo ora che gr(r P ) è chiuso in Y X, procedendo per assurdo: sia (y n, x n ) gr(r P ) per ogni n N e (y n, x n ) (y, x), ma (y, x) / gr(r P ). Allora f(x, y) < sup X f(, y). Sia ε R t.c. Esiste x X t.c. 0 < ε < sup f(, y) f(x, y). X f( x, y) > f(x, y) + ε. per continuità di f per n N abbastanza grande abbiamo f(x n, y n ) f(x, y) < ε 3, f( x, y n ) f( x, y) < ε 3. Usando le precedenti diseguaglianze, per n N abbastanza grande otteniamo f(x n, y n ) < f(x, y) + ε 3 < f( x, y) 2ε 3 < f( x, y n), contro l ipotesi che x n R P (y n ). Pertanto gr(r P ) è chiuso, quindi R P è s.c.s. (Lemma 2.14). Similmente si prova che R Q : X 2 Y è s.c.s. a valori non vuoti, compatti e convessi. Ne segue che R : X Y 2 X Y è s.c.s. (Lemma 2.20) a valori non vuoti, compatti e convessi. Sono pertanto soddisfatte le ipotesi del Teorema 2.36, da cui segue che fix(r). Per il Lemma 3.8 ho Ne(Γ). Osservazione Usando un attrezzatura matematica più sofisticata, è possibile provare versioni generalizzate del Teorema 3.9 (per esempio, in cui X e Y sono sottoinsiemi compatti e convessi di uno spazio di Banach di dimensione infinita). Oltre al risultato di esistenza, il metodo sopra illustrato fornisce un algoritmo per individuare gli equilibri, che descriviamo limitandoci al caso semplice in cui X = Y = [0, 1]. I grafici delle multifunzioni R P e R Q si possono rappresentare come curve inscritte nel quadrato [0, 1] [0, 1] (in generale, queste curve potranno contenere tratti verticali). Si ha allora, per il Lemma 3.8, (3.1) Ne(Γ) = gr(r P ) gr(r Q ). Nella Fig. 1, questi punti sono (0, 0) e (1, 1).

23 TEORIA DEI GIOCHI 23 Figura 1. Il metodo dell intersezione Esempi. In questa sezione presentiamo alcuni esempi e applicazioni: alcuni di questi sono veri giochi o esercizi matematici, altri sono modelli realmente usati nelle scienze sociali. Tutti possono essere risolti utilizzando il Teorema 3.9 per provare l esistenza degli equilibri, e la formula (3.1) per determinarli esplicitamente. Esempio Nel gioco della battaglia dei sessi, come abbiamo visto nell Esempio 1.13, (s, s) e (t, t) sono equilibri di Nash. Passando dalle strategie pure a quelle miste, definiamo X = Y = [0, 1] e f, g : [0, 1] 2 R ponendo per ogni (x, y) [0, 1] f(x, y) = 10xy + 0x(1 y) + 0(1 x)y + 5(1 x)(1 y) = 15xy 5x 5y + 5 (si può pensare a x e a (1 x) come al tempo passato allo stadio e a teatro, rispettivamente, da P ). Analogamente, per ogni (x, y) [0, 1] abbiamo g(x, y) = 15xy 10x 10y Il Teorema 3.9 garantisce l esistenza di almeno un equilibrio. In effetti, ve ne sono tre. Semplici calcoli forniscono le multifunzioni di miglior risposta: {0} se y [0, 1/3) R P (y) = [0, 1] se y = 1/3, {1} se y (1/3, 1] {0} se x [0, 2/3) R Q (x) = [0, 1] se x = 2/3. {1} se x (2/3, 1] Gli equilibri si ottengono mediante (3.1): { ( 2 Ne(Γ) = (0, 0), 3, 1 ) }, (1, 1) (due di essi corrispondono a strategie pure). 3 Osserviamo che gli equilibri in strategie miste dipendono dai valori dei pay-off, mentre quelli in strategie pure solo dalle preferenze (Definizione 1.2).

24 24 A. IANNIZZOTTO Esempio Nel gioco noto come caccia al cinghiale, due cacciatori P, Q devono scegliere se andare a caccia di cinghiale o di lepri (X = Y = {c, l}), sapendo che per catturare un cinghiale bisogna essere in due, mentre per catturare molte lepri è meglio separarsi. Si ha la seguente tabella dei pay-off: P \Q c l c (10, 10) (0, 8) l (8, 0) (4, 4) Si ha Ne(Γ) = {(c, c), (l, l)} ma Po(Γ) = {(c, c)}. Passando alle strategie miste si trova un terzo equilibrio (2/3, 2/3). Esempio Nel gioco dei fumatori, due fumatori P, Q si trovano in una piccola stanza: entrambi hanno voglia di fumare, ma sono infastiditi dall aria viziata, pertanto ognuno dei due vorrebbe fumare da solo, ma preferisce comunque fumare insieme all altro piuttosto che astenersi. Si ha la seguente tabella dei pay-off: P \Q f n f (1, 1) (2, 0) n (0, 2) (0, 0) Studiamo Γ direttamente in strategie miste: poniamoo X = Y = [0, 1] e ricaviamo f(x, y) = 2x xy, g(x, y) = 2y xy per ogni (x, y) [0, 1] 2. Ne segue che R P (y) = R Q (x) = {1} per ogni (x, y) [0, 1] 2, così che Ne(Γ) = {(1, 1)}, ovvero P e Q scelgono entrambi di fumare. Si noti che Po(Γ) =. Questo gioco è un caso particolare del cosiddetto paradosso liberale, secondo il quale in assenza di divieti ognuno tende a fare come gli pare senza curarsi del bene comune. Esempio Nel gioco del pollo, reso celebre dal film Rebel without a cause di Nicholas Ray (1955), due personaggi P, Q si sfidano a correre in macchina verso un burrone: perde chi sterza per primo. Ogni giocatore dispone di due strategie, sterzare (s) e tirare dritto (d); i pay-off sono, rispettivamente, 10 per la vittoria, 5 per il pareggio, 1 per la sconfitta e 0 per la morte: P \Q s d s (5, 5) (1, 10) d (10, 1) (0, 0) Come si vede, Ne(Γ) = {(s, d), (d, s)} e Po(Γ) =. Passando alle strategie miste si trova un altro equilibrio, (1/6, 1/6). Questo gioco è un utile schema delle competizioni in cui la deterrenza riveste un ruolo importante (per esempio, la corsa agli armamenti). Esempio Nel gioco dei ragni, due ragni P e Q (di una specie che produce parecchie uova ma poche ragnatele) competono per il possesso di una ragnatela: ciascun ragno può lottare (l) o arrendersi (a); se entrambi lottano, i pay-off assegnati (che rappresentano le propensioni dei ragni a lottare) sono p, q 0, in generale la situazione è descritta dalla