PROFILI DI MOTO PERMANENTE

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1 PROFILI DI MOTO PERMANENTE Alcuni appunti Andrea Defina Novembre 010

2 Prefazione Spesso, gli studenti dei corsi di idraulica mi hanno sottolineato le perplessità e le difficoltà da loro incontrate nella rappresentazione qualitativa dei profili di moto permanente in situazioni geometriche e con condizioni al contorno anche semplici, lamentando l assenza di materiale didattico o l insufficienza di quello disponibile. Questo volumetto raccoglie di fatto alcuni suggerimenti, esempi ed esercizi relativi al tracciamento di profili di moto permanente, in alvei prismatici per tratti. Gli aspetti teorici sono qui solo brevemente richiamati e gli esempi illustrati non sono certamente esaustivi di tutte le possibili situazioni che si possono incontrare nella pratica ingegneristica. Lo scopo è quello di illustrare una metodologia generale per il tracciamento dei profili di moto permanente e di fornire una consistente serie di esempi che consentano un utile esercizio. In questi appunti sono inoltre riportati, sinteticamente, alcuni approfondimenti di problemi legati alle correnti unidimensionali a superficie libera aventi soprattutto lo scopo di suggerire, in qualche caso, una certa cautela nell impiego delle soluzioni fornite dalla classica trattazione teorica qui presentata. L autore è grato fin d ora (o meglio fin dal 000, anno della prima stesura di questi appunti) a quanti, animati da buona volontà e spirito di collaborazione, vorranno inviare correzioni (da questo punto di vista, i comandi copia & incolla di un qualsiasi processore di testi, di cui ho fatto un uso scellerato, sono deleteri), precisazioni, suggerimenti e commenti o vorranno sottopormi questioni particolari o problemi stimolanti da inserire in questa raccolta. Andrea Defina Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima Ambientale e Geotecnica - Università di Padova. via Loredan, PADOVA defina@idra.unipd.it E vietata la riproduzione, integrale o parziale, a meno che la stessa non sia stata preventivamente autorizzata dall autore.

3 Indice 1 Richiami di idraulica delle correnti unidimensionali a superficie libera in moto stazionario 1.1 Alcuni elementi distintivi 1. Moto uniforme 1. Caratteristiche energetiche e dinamiche della corrente 6 Tracciamento dei profili di moto permanente 10.1 Profili di moto gradualmente vario 11. Variazioni localizzate 1. Condizioni al contorno e condizioni interne 1.4 Criteri generali per la ricostruzione dei profili 16 Canali prismatici a portata costante 18.1 Variazioni di pendenza 18. Variazioni di scabrezza. Salto di fondo 6.4 Gradino di fondo 0.5 Breve rialzo di fondo.6 Sbocco in un serbatoio 7.7 Imbocco da un serbatoio 9.8 Variazione di larghezza: allargamento 41.9 Variazione di larghezza: restringimento Breve restringimento localizzato 5.11 Paratoia piana sollevata a battente 56.1 Ostacolo generico 60 4 Alcune precisazioni Isteresi idraulica Stabilità del risalto 68 5 Canali prismatici a portata variabile Sottrazione localizzata di portata 7 5. Immissione localizzata di portata Sottrazione continua di portata Immissione continua di portata 81 6 Altre precisazioni Canali di lunghezza finita Canali non prismatici Considerazioni. non unidimensionali Resistenze idrauliche Canali a forte pendenza Canali con fondo curvo Effetti legati alla distribuzione non idrostatica delle pressioni Considerazioni conclusive 96 7 Canali caratterizzati da sezioni chiuse Inquadramento teorico Il caso di un breve tratto di canale tombato Il caso di un tombino Alcune precisazioni 14 8 Aspetti numerici Integrazione numerica dei profili di moto gradualmente vario 19 9 ESERCIZI 1-1-

4 1 Richiami di idraulica delle correnti unidimensionali a superficie libera in moto stazionario Prima di illustrare le regole generali che è opportuno seguire per il tracciamento dei profili di moto permanente si richiamano molto brevemente alcuni concetti ed alcune nozioni di base relativi alle correnti unidimensionali a superficie libera, in moto stazionario, rimandando, per l illustrazione di dettaglio degli aspetti teorici, ad un qualsiasi testo di Idraulica o di Meccanica dei Fluidi. Questi brevi richiami hanno, infatti, soprattutto lo scopo di introdurre la simbologia e il linguaggio utilizzati nel seguito; e il modo stesso in cui è organizzato questo capitolo presuppone che il lettore conosca già gli aspetti di base relativi alle correnti unidimensionali a superficie libera. 1.1 Alcuni elementi distintivi La maggior parte delle considerazione contenute in questi appunti fanno riferimento a condizioni geometriche schematiche ed utilizzano alcune ipotesi semplificative ce sono qui richiamate. Le considerazioni presentate possono comunque essere facilmente estese a situazioni reali, più complesse di quelle qui discusse. Tranne nei casi in cui è diversamente indicato in modo esplicito, si assumerà che la pendenza e la curvatura della superficie libera siano trascurabilmente piccole potendo così considerare idrostatica la distribuzione delle pressioni in direzione normale al fondo. Si farà inoltre riferimento a canali caratterizzati da una modesta pendenza del fondo per i quali, pertanto, è possibile confondere la direzione verticale con la normale al fondo. In tal caso la superficie libera descrive l andamento della quota piezometrica. Si farà riferimento a canali prismatici (o alvei cilindrici) caratterizzati cioè da una sezione la cui forma e le cui dimensioni sono costanti nello spazio. Saranno inoltre considerati canali caratterizzati da una sezione compatta (Per sezione compatta si intende una sezione per la quale si possa assumere che la velocità sia distribuita in modo sostanzialmente uniforme sulla sezione. Il concetto di compattezza quindi non è associato ad un carattere puramente geometrico, di forma della sezione, ma più strettamente idraulico) e tale per cui, a moto uniforme, il legame tra livello e portata è biunivoco (si veda, a questo proposito, quanto riportato nel paragrafo 6.). Alcune riflessioni relative a correnti in presenza di non trascurabili pendenze e curvature della superficie libera sono riportate nel paragrafo 0 mentre alcune osservazioni riguardanti le correnti su fondo caratterizzato da forti pendenze sono riportate nel paragrafo 0. Per i casi di alveo non prismatico e sezioni non compatte, che rivestono un notevole interesse applicativo, alcune considerazioni sono esposte nei capitoli che seguono. 1. Moto uniforme Le condizioni di moto uniforme in un canale si determinano quando l altezza d acqua e la velocità si mantengono costanti nello spazio e nel tempo; la superficie libera, pertanto, risulta parallela al fondo (Fig. 1). La definizione di moto uniforme, come detto nel paragrafo 1.1, ha senso solo se il canale è prismatico. --

5 Nel seguito, le caratteristiche cinematiche e dinamiche del moto uniforme saranno evidenziate con il pedice 0. Fig. 1 Nel caso di sezione compatta, il legame tra la velocità (o la portata) e l altezza d acqua può essere espresso da una qualsiasi formula di moto uniforme. Qui, in particolare, si farà riferimento alla formula di Gauckler-Strickler: / Q = k A( y 0 )[ R ( y 0 )] i (1) S H f in cui k S è il coefficiente di scabrezza secondo Strickler, A è l area della sezione trasversale, R H il raggio idraulico (R H =A/c, essendo c il perimetro bagnato) e i f la pendenza del fondo. E importante osservare che se il canale non è prismatico e la portata è variabile lungo il percorso, non è possibile definire una condizione di moto uniforme Il coefficiente di resistenza Come è noto la formula di Gauckler-Strickler (o l equivalente formula di Manning) vale per condizioni di moto turbolento di parete scabra e rappresenta un approssimante della formula di Darcy-Weisbach nella quale la funzione di resistenza è calcolata mediante la formula di Colebrook-White. Il coefficiente k S dovrebbe pertanto essere una misura della scabrezza di parete. In realtà nel coefficiente k S sono normalmente inglobati gli effetti dissipativi di molti fenomeni non inquadrabili come attrito. Tra questi, sono da ricordare gli scambi trasversali di quantità di moto prodotti da variazioni geometriche della sezione, dalla presenza di curve, di forme di fondo, di vegetazione e gli effetti dissipativi associati ad instabilità superficiali (vedi paragrafo 6.4). 1.. Scabrezza non uniforme (sezione compatta) Nel caso in cui la scabrezza non sia uniformemente distribuita lungo il contorno bagnato come, ad esempio, nel caso di un canale di sezione trapezia con sponde realizzate in materiale diverso da quello del fondo, è necessario stimare un coefficiente di resistenza equivalente k eq in grado di descrivere il legame tra altezza y 0 e portata Q in queste particolari condizioni. Nell approccio di Horton-Einstein si suddivide la sezione complessiva in sottosezioni ciascuna delle quali è delimitata da un contorno a scabrezza omogenea, come illustrato in Fig. mentre la rimanente parte di contorno è tale per cui lungo lo stesso non si sviluppino sforzi tangenziali. --

6 Fig. Per ciascuna sottosezione di area A i è possibile scrivere la relativa formula di moto uniforme (che rappresenta semplicemente il bilancio, nella direzione del moto, tra la forza peso e le resistenze d attrito) v i = k Si ( Ai / ci ) / i f () nella quale v i è la velocità media del fluido relativa alla generica sottosezione, c i è la lunghezza del contorno bagnato a cui è associato il coefficiente di resistenza k Si. Nell ipotesi di sezione compatta, per definizione, ogni sottosezione sarà caratterizzata dalla stessa velocità media coincidente con quella media dell intera sezione, espressa anch essa mediante una formula di moto uniforme nella quale è utilizzato un coefficiente di resistenza equivalente k eq v i eq ( A / c) / if = v = Q / A = k () Esplicitata l equazione () rispetto all area A i e l equazione () rispetto all area A, ed essendo A = i Ai si trova A = c k eq v i f / = i A i = i c i k Si v i f / Da cui k eq = i c k / c i / Si / (4) 1.. Il caso di sezione non compatta Nel caso di sezioni non compatte (vedi Fig. ), per le quali la velocità presenta una distribuzione fortemente non uniforme, le considerazioni sviluppate in questo capitolo possono ancora, con qualche cautela e limitatamente alle correnti (molto) lente, essere considerate valide. -4-

7 Fig. Per quanto riguarda il moto uniforme è possibile determinare un coefficiente di resistenza equivalente k eq con un procedimento analogo a quello visto per le sezioni compatte a scabrezza non uniforme (Engelund). Possiamo dividere la sezione in sottosezioni mediante contorni interni lungo i quali sono nulli gli sforzi trasmessi tra sottosezioni. L ipotesi di velocità uniforme su tutta la sezione invocata nella trattazione del caso di sezione compatta viene ovviamente rimossa e sostituita dall ipotesi di poter individuare, con buona approssimazione, l andamento dei contorni interni che separano le diverse sottosezioni. Generalmente si assume che questi contorni siano segmenti verticali opportunamente posizionati come illustrato, ad esempio, in Fig.. Per ogni sottosezione è così possibile scrivere l equazione (). Essendo inoltre Q = va = k si trova k eq = i k eq A ( A / c) / i f = v i Ai = ksi Ai ( Ai / ci ) 5 / / Si Ai ci 5 / / A c i i E da osservare, nella precedente relazione, che anche qualora la scabrezza fosse omogenea lungo tutto il contorno bagnato (k Si =k S ), il valore del coefficiente k eq non è costante ma viene a dipendere dal livello. / i f -5-

8 Nel caso di sezione non compatta, inoltre, è necessario introdurre opportune correzioni ai termini che, in modo più o meno diretto, rappresentano le accelerazioni. In particolare, nelle equazioni dinamiche si fa uso dei coefficienti di correzione α e β (detti coefficienti di Boussinesq o di Coriolis) così definiti 1 v( x, y ) 1 v( x, y ) α = da. β = A v da (5) A v A in cui v è la velocità media sulla sezione e v(x,y) è la velocità in un generico punto della sezione. L impiego di questi coefficienti è descritto nei paragrafi che seguono. Si osservi che nel caso di sezioni compatte, caratterizzate quindi da una velocità sostanzialmente uniforme, (v(x,y) v), i coefficienti α e β si riducono all unità. Per sezioni non compatte, invece, con riferimento all approccio appena visto per la valutazione delle caratteristiche del moto uniforme possiamo scrivere 1 α = A A v( x, y ) v c = A k eq i 1 da A A ksi c i i i v i v A i 1 = A i A k k Si eq ( Ai / ci ) / ( A / c) / i f i f A i = β = 4 / 1 v( x, y) 1 v i c da Ai = 7 / A v A i v A k A eq i k Si A c 7 / i 4 / i e tali coefficienti possono risultare anche sensibilmente superiori all unità. 1. Caratteristiche energetiche e dinamiche della corrente 1..1 Energia specifica rispetto al fondo L energia specifica E e l energia specifica rispetto al fondo H sono definite dalle seguenti relazioni: Q E + ga = z + y. H E z = y + Q = (6) g A in cui z è la quota del fondo. L andamento della funzioni H(y), per una prefissata portata e forma della sezione trasversale, è illustrato in Fig. 4. Nel caso di sezione non compatta, il termine cinetico deve essere corretto mediante l introduzione del coefficiente α E Q ga = z + y + α. H E z = y + α 1.. Spinta totale Q = (7) ga In molte situazioni è utile far riferimento anche alla spinta M, per unità di peso specifico, espressa dalla seguente relazione: -6-

9 M = Az G Q + ga (8) in cui z G è la distanza verticale del baricentro dell area A dalla superficie libera. Nel caso di sezione non compatta, il termine di inerzia deve essere corretto mediante l introduzione del coefficiente β M = Az G Q + β ga L andamento della funzioni M(y), per una prefissata portata e forma della sezione trasversale, è illustrato in Fig. 4 (9) 1.. Condizioni critiche Fig. 4 Entrambe le curve H(y) e M(y) definite nei due precedenti paragrafi, come è noto, presentano un minimo che individua la cosiddetta condizione critica. Tale condizione, indicata con il pedice c, è la stessa per entrambe le funzioni H(y) e M(y), e distingue le correnti rapide (y<y c ) da quelle lente (y>y c ) La condizione critica corrisponde all annullarsi della derivata rispetto a y dell energia H(y) o della spinta M(y). Imponendo questa condizione si trova Q B( y c g A ( y c ) = 1 ) in cui B è la larghezza della sezione misurata in corrispondenza della superficie libera. Nota la portata Q e la forma della sezione, nella precedente equazione è presente la sola incognita y c contenuta in B e in A. La precedente relazione vale per il caso di sezione compatta. Per una sezione non compatta l annullarsi della derivata rispetto a y delle equazioni (7) e (9) fornisce, rispettivamente, le seguenti condizioni αq B Q dα = 1+ ga ga dy (10) Q B Q dβ = 1+ (11) g A ga dy β -7-

10 Per una sezione rettangolare (compatta), l equazione (10) si semplifica nella seguente y c = Q g B (1) 1..4 Il numero di Froude Nei moti a superficie libera il gruppo adimensionale più importante è certamente il numero di Froude introdotto, in origine, con riferimento ad una sezione rettangolare. Dal punto di vista dinamico, il numero di Froude (F) rappresenta il rapporto tra le forze di inerzia e le forze di gravità e si scrive v F = (1) gy Dal punto di vista cinematico, il numero di Froude rappresenta il rapporto tra la velocità media della corrente, v e la celerità (relativa) di propagazione di una piccola perturbazione c = gy. E evidente che piccole perturbazioni, caratterizzate da una celerità assoluta a=v±c, possono risalire la corrente (a<0) se il numero di Froude è inferiore all unità. Nel caso contrario (F>1) risulta sempre a>0 e le perturbazioni sono trascinate dalla corrente verso valle. E immediato verificare che, sempre per una sezione rettangolare, il numero di Froude può essere scritto anche nella seguente forma F = Q B ga (14) Questa forma del numero di Froude ne estende comunemente la definizione anche a sezioni compatte diverse da quella rettangolare, assumendo che B misuri la larghezza della sezione in corrispondenza della superficie libera. Il motivo di questa estensione appare chiaro se si confrontano la definizione (14) con la condizione (10). Con questa definizione di numero di Froude, infatti, le condizioni critiche corrispondono alla condizione F=1. E facile verificare inoltre che una corrente rapida è caratterizzata da numeri di Froude superiori all unità (F>1) mentre le correnti lente sono caratterizzate da numeri di Froude inferiori all unità (F<1). Con riferimento al significato cinematico del numero di Froude, e per una sezione rettangolare, possiamo dunque affermare che piccole perturbazioni possono risalire la corrente solo se questa è lenta. Al contrario, in una corrente rapida, piccole perturbazioni sono immancabilmente trascinate verso valle. Queste considerazioni di natura cinematica possono, con qualche cautela (vedi paragrafo 6..), essere estese anche a sezioni compatte diverse da quella rettangolare, e a sezioni non compatte. -8-

11 1..5 Pendenza critica Si definisce pendenza critica (i c ) quella pendenza del fondo a cui corrisponde, per un assegnato valore di portata, un moto uniforme caratterizzato dallo stato critico y 0 =y c. E immediato verificare che, a moto uniforme, quando i f <i c la corrente è lenta, mentre quando i f >i c la corrente è rapida. La pendenza critica può essere determinata combinando una relazione di moto uniforme (per esempio l equazione (1)) con la condizione di moto critico (10). g i c = k S B c A R c 4 / Hc E da osservare, nella precedente equazione (15), che la seconda frazione è solo debolmente dipendente dalle caratteristiche del moto (livello, portata) e assume valori non molto diversi dall unità. In prima approssimazione, quindi, la pendenza critica vale i c g/k s. Nel caso di canali molto scabri la pendenza critica assume valori prossimi a 0.01 (1%), nel caso di canali relativamente lisci (es.: rivestiti in calcestruzzo), la pendenza critica è relativamente più bassa attestandosi intorno al valore (0.5%) Le condizioni di moto uniforme nei diagrammi H-y e M-y E interessante osservare che se i f e k s sono costanti, mentre variano forma della sezione, quote del fondo e portata, le condizioni di moto uniforme, nei diagrammi H-y e M-y, sono rappresentate da una curva monotona crescente (vedi Fig. 4). Sostituendo, infatti, la portata Q espressa dalla (1) nelle equazioni (6) e (8) si trova, rispettivamente H k i S f 4 / 0 = y 0 + α [ RH ( y 0 )] g ks i f M0 = A( y 0 ) zg ( y 0 ) + β [ RH ( y 0 )] g 4 / Il punto di intersezione tra le curve espresse dalle (16) e le curve H-y o M-y rappresentano le condizioni di moto uniforme. Tali punti di intersezione, evidentemente, possono trovarsi sia lungo il ramo delle correnti lente che lungo il ramo delle correnti rapide Dissipazioni continue di energia Per un moto non uniforme, le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j, vengono usualmente stimate con riferimento ad una relazione di moto uniforme sostituendo j al posto della pendenza del fondo i f. Utilizzando in particolare la formula di Gauckler-Strickler, si trova: j = k S Q R 4 / H A E da osservare che, per la maggior parte delle sezioni aperte e compatte (si veda / paragrafo 6.), il prodotto R H A cresce al crescere dell altezza d acqua y. Da ciò segue che per y<y 0 risulta j>i f mentre per y>y 0 risulta j<i f. (15) (16) (17) -9-

12 Tracciamento dei profili di moto permanente Nel seguito si assume, per ipotesi, che la portata fluente vari lungo il percorso, al più, per effetto di immissioni e/o sottrazioni localizzate. E questa una schematizzazione che può essere considerata valida in un grande numero di situazioni pratiche. Alcune situazioni per le quali è invece opportuno considerare variazioni continue di portata sono comunque brevemente trattate nei Capitoli 5. e 5.4 Si assume inoltre che la portata fluente possa essere determinata a priori, in ogni sezione, sulla base della soluzione della sola equazione di continuità. Alcuni casi, per i quali la portata dipende dalla soluzione generale delle equazioni del moto, saranno comunque discussi nel capitolo 5 (si veda, ad esempio, il paragrafo.7.1). In queste ipotesi, pertanto, il tracciamento dei profili di moto permanente consiste nel dare una rappresentazione grafica alla soluzione dell equazione dinamica per le correnti unidimensionali, in moto stazionario, a cui sono associate opportune condizioni al contorno sui livelli (vedi paragrafo.). In generale (Fig. 5), la soluzione è composta da tratti lungo i quali si sviluppano profili che variano gradualmente, seguendo andamenti qualitativamente noti (vedi paragrafo.1) e che rappresentano la soluzione dell equazione E x = j (18) Questi profili, di moto gradualmente vario, sono separati da tratti di lunghezza modesta ove si attuano variazioni brusche delle caratteristiche del moto e tali da poter essere trattate come variazioni localizzate (vedi paragrafo.). Questi tre ingredienti: profili di moto gradualmente vario (GV), variazioni localizzate (LV) e condizioni al contorno, esterne o interne (CC), opportunamente combinati, consentono agevolmente la ricostruzione complessiva di un profilo di moto permanente. A tale proposito si ricorda che la ricostruzione di un profilo di moto permanente deve essere effettuata a partire da valle per i tratti in cui la corrente è lenta, ovvero da monte per i tratti in cui la corrente è rapida 1. Fig. 5 1 A questo proposito sarò grato a chi vorrà fornirmi una giustificazione semplice e convincente del motivo per cui l integrazione (non analitica) deve procedere in questo modo. -10-

13 In qualche caso, nella ricostruzione dei profili, è conveniente utilizzare l equazione che esprime la conservazione della quantità di moto anziché l equazione (18) relativa alla conservazione dell energia. Per un alveo prismatico caratterizzato da una sezione compatta il bilancio delle forze applicato ad un tratto di canale di lunghezza infinitesima si scrive M x = Ai f τ C 0 ρ g in cui C è il contorno bagnato e τ 0 è lo sforzo tangenziale medio alla parete. Ricordando che è τ 0 =ρgr H j, la precedente relazione può essere riscritta come segue M x = A( i j ) f.1 Profili di moto gradualmente vario Nelle ipotesi di piccola pendenza del fondo e variazione graduale della quota della superficie libera (che consentono di assumere distribuzione idrostatica delle pressioni in direzione verticale), l andamento della superficie libera lungo un tronco di canale prismatico è determinato dalla soluzione dell equazione (6) scritta nella seguente forma: dy dx i f j = 1 F I profili di moto permanente che possono svilupparsi sono quelli di tipo M, per pendenze del fondo inferiori a quella critica, e di tipo S, per pendenze superiori a quella critica (Fig. 6). (19) (0) Fig. 6 Oltre ai profili di tipo M e S, appena richiamati, si possono sviluppare profili di tipo C, quando la pendenza del fondo coincide con la pendenza critica, di tipo H quando il fondo è orizzontale e di tipo A quando la pendenza del fondo è negativa (contropendenza). Tali profili sono illustrati in Figura 1.9. E da segnalare che la condizione i f =i c è poco frequente nella pratica. In queste condizioni, per altro, la superficie libera risulta fortemente instabile. -11-

14 Fig. 7 E da osservare, infine, che in presenza di un breve tratto di canale a fondo orizzontale o in contropendenza, i profili H o A e H o A che si sviluppano sono di fatto analoghi ai corrispondenti profili M e M caratteristici della debole pendenza. Per questi motivi, nel seguito, non verranno analizzate le situazioni i f =i c e i f 0. Per quest ultimo caso, peraltro, qualche esempio è riportato negli esercizi raccolti nella seconda parte di questo volumetto..1.1 Una nota sul profilo M1. il profilo M 1 viene rappresentato da una curva monotona decrescente che verso monte tende asintoticamente alle condizioni di moto uniforme e verso valle tende, ancora asintoticamente, a disporsi orizzontalmente. Un profilo, quindi, lungo il quale la quota della superficie libera risulterebbe sempre decrescente. In realtà, se le dissipazioni di energia sono valutate, ad esempio, con la formula di Gauckler- Strickler, il profilo M 1 non risulta essere sempre decrescente. A partire dall equazione (18) e nell ipotesi di canale prismatico e portata costante, si ottiene h i = x f F 1 F j Nel caso di corrente lenta (F<1) il denominatore, nella precedente equazione, risulta sempre positivo e la condizione h/ x>0 si riduce pertanto alla seguente (1) i f F j > 0 () Utilizzando per j la formula di Gauckler-Strickler (17), si ha i Q B g A f > k S Q R 4 / H A () Utilizzando l espressione della pendenza critica fornita dalla (15), esplicitata rispetto a k s, si trova 4 / Bc A RHc i > f i c (4) B Ac RH Se consideriamo, per semplicità, il caso di sezione rettangolare larga, la precedente relazione si semplifica nella seguente i f yc ic y > 1 / (5) Nel caso di profilo S 1, si ha i f >i c e y>y c e la precedente relazione è sempre verificata (lungo il profilo S 1 la quota della superficie libera cresce nella direzione del moto). Nel -1-

15 caso di profilo M, sarà sempre h/ x<0 in quanto sia l altezza y che la quota del fondo z diminuiscono nella direzione del moto. Nel caso del profilo M 1, per valori molto elevati del tirante, il rapporto y c /y tende a zero e non appena è verificata la seguente condizione y > y c ( ic / i f ) (6) risulta h/ x>0. Questo risultato, per altro, mostra che il profilo M 1 tende asintoticamente all orizzontale da sotto come schematicamente illustrato in Fig. 8 Fig. 8 E da osservare, per completezza, che se in luogo della formula di Gauckler-Strickler per la valutazione di J, fosse stata usata la formula di Chézy, con coefficiente di Chézy costante, la condizione (6) sarebbe stata i f >i c. In questo caso, pertanto, un profilo M 1 risulta sempre decrescente. Nell illustrare le soluzioni presentate nei capitoli che seguono spesso, consapevolmente, il profilo M 1 è disegnato in salita (si veda, ad esempio, Fig. 14); ciò al solo scopo di evidenziare meglio, dal punto di vista grafico, la forma dei profili che si instaurano.. Variazioni localizzate In corrispondenza di una qualsiasi variazione localizzata, delle caratteristiche geometriche o della portata, si determinano modifiche nel comportamento della corrente. Queste ultime, spesso, sono accompagnate da rapide variazioni di velocità e di livello il cui andamento, cadendo l ipotesi di distribuzione idrostatica delle pressioni e lenta variabilità del moto, non è rappresentabile mediante i profili di tipo M o S. In tal caso il tracciamento del profilo tra due sezioni immediatamente a monte e a valle della discontinuità è puramente qualitativo. Il legame tra le caratteristiche idrodinamiche relative alle due suddette sezioni si determina sulla base di un bilancio di energia o, in qualche caso, mediante l applicazione del teorema della quantità di moto come verrà ampiamente illustrato nei paragrafi successivi.. Condizioni al contorno e condizioni interne Assumendo nota la distribuzione spaziale delle portate, le condizioni al contorno necessarie per la soluzione dell equazione (18) vanno poste sui livelli. Possiamo distinguere tra condizioni al contorno esterne, e condizioni al contorno interne. Le prime consistono nell assegnare il livello nella sezione estrema di monte e/o di valle in dipendenza dalla natura della corrente (si veda a tale proposito il paragrafo 6.1). Le seconde sono descritte in dettaglio nei paragrafi

16 ..1 Sezioni di controllo (transizione lenta rapida) Definiamo sezione di controllo una sezione (o un breve tratto di canale) attraverso la quale si ha transizione da corrente lenta a corrente rapida e per la quale, nota la portata, sono univocamente definibili le condizioni che consentono di integrare il profilo di corrente lenta a monte e quello di corrente rapida a valle (vedi Fig. 1a). Infatti, in corrispondenza di una sezione di controllo si stabilisce, in genere, l altezza critica y c (determinabile univocamente quando siano fissate le caratteristiche geometriche della sezione e la portata fluente) ovvero si stabiliscono condizioni diverse da quelle critiche ma comunque facilmente e univocamente quantificabili. E questo, ad esempio, il caso di efflusso libero sotto battente illustrato in Fig. 9 per il quale, nota la portata, è comunque possibile determinare facilmente le condizioni di monte e di valle per l integrazione dei profili. Fig. 9 L altezza di valle, da porre come condizione al contorno, è infatti a c c (vedi Fig. 9), mentre l altezza di monte y M è calcolata mediante un semplice bilancio di energia: Q Q y M + = ac + (7) )] c g[ A( y M )] g[ A( acc Le sezioni di monte e di valle, fisicamente distinte, sono considerate, dal punto di vista concettuale, coincidenti tra loro e coincidenti quindi con la sezione di controllo. Per un assegnato tratto di corso d acqua, solo le sezioni in corrispondenza delle quali si verificano variazioni geometriche o di portata sono potenzialmente sezioni di controllo. Non è però possibile stabilire a priori se in tali sezioni si realizzi effettivamente la transizione da corrente lenta a rapida... Sezioni di sconnessione idraulica (transizione rapida lenta) Definiamo sezione di sconnessione idraulica una sezione (o un breve tratto di canale) attraverso la quale si attua la transizione da corrente rapida a corrente lenta. I profili liquidi a monte e a valle di una sezione di sconnessione idraulica sono determinati in modo indipendente come se i tratti di monte e di valle fossero tra loro isolati (vedi Fig. 1b). In presenza di una sezione di sconnessione idraulica, pertanto, è necessario disporre di un ulteriore condizione al contorno. Come è noto, la transizione da corrente rapida a corrente lenta avviene attraverso la formazione di un risalto idraulico. Mediante l applicazione del teorema della quantità di moto (nella quale, generalmente, si trascurano la componente della forza peso nella direzione del moto e gli sforzi tangenziali al fondo), è possibile stabilire una -14-

17 relazione biunivoca tra le altezze d acqua a monte e a valle del risalto. Tale relazione, per una sezione rettangolare, si scrive: y = y ( )/ (8) 1 F1 in cui i pedici 1 e si riferiscono, indifferentemente, alla sezione di monte (rapida) e di valle (lenta) o viceversa. Le altezze y 1 e y si dicono tra loro coniugate. Nel seguito, l altezza y, coniugata di y 1, sarà indicata con y 1R. Dal punto di vista grafico, il legame tra le altezze coniugate nel risalto è di immediata determinazione se si fa riferimento al diagramma M-y (vedi Fig. 10). Fig. 10 Tra monte e valle di un risalto si ha quindi una dissipazione localizzata di energia che, per sezioni rettangolari, può essere valutata mediante una delle seguente relazioni nelle quali il pedice 1 indica la sezione di monte Δ E = ( y y ) 4y y 1 1 ( 1+ 8F1 ) ΔE = y 1 16( 1+ 8F 1) 1 Va sottolineato, infine, che il legame tra le altezze coniugate y 1 e y è utilizzabile al solo scopo di determinare la posizione del risalto; le sezioni a monte e a valle del risalto, fisicamente distinte, sono considerate, dal punto di vista concettuale, coincidenti tra loro e coincidenti quindi con la sezione di sconnessione idraulica; è possibile, anche se molto improbabile, che le altezze y 1 e y siano praticamente coincidenti tra di loro e coincidenti quindi con l altezza critica. Il tal caso si può avere una transizione da corrente rapida a corrente lenta senza che si abbia il risalto (Fig. 11). (9) -15-

18 Fig Casi particolari (transizione lenta rapida lenta) In qualche caso una sezione di controllo e una sezione di sconnessione idraulica si presentano molto ravvicinate tra di loro al punto da poterle considerare come un unica sezione. Si parla in tal caso di una doppia transizione localizzata lenta rapida lenta (vedi Fig. 1c). Situazioni di questo tipo si incontrano, ad esempio, in presenza di un salto di fondo (vedi Casi A-a e A-b del paragrafo..1) o di un brusco allargamento (vedi Caso A-b del paragrafo.8.1). Non è possibile che si verifichi il caso opposto di doppia transizione localizzata rapida lenta rapida (ma sono pronto a ricredermi se qualcuno mi dimostra il contrario). Fig. 1.4 Criteri generali per la ricostruzione dei profili Si enunciano di seguito e in modo del tutto informale le principali regole che è opportuno seguire per tracciare in modo corretto (anche solo qualitativamente) i profili di moto permanente che si sviluppano lungo un generico tratto di canale. 1) Conviene, preliminarmente, rappresentare per ciascun tratto (prismatico) del canale l altezza di moto uniforme y 0 e quella critica y c ; è opportuno, inoltre, individuare tutte le sezioni che potrebbero risultare sezioni di controllo; ) si procede quindi all integrazione dei profili partendo dalla condizione di valle (se questa è assegnata e la corrente è localmente lenta) e/o dalla condizione di monte (se questa è assegnata e la corrente è localmente rapida); ) si prosegue nell integrazione fin dove è possibile; -16-

19 4) in assenza di condizioni al contorno esterne, o quando si è costretti ad arrestare il procedimento di integrazione, si fissa la condizione critica nella sezione più vicina (a monte, se si stava integrando da valle, a valle, nel caso opposto) in cui vi è una qualche variazione (di geometria o di portata), potendo essere questa una sezione di controllo; 5) a partire dalle sezioni di controllo si procede verso monte e verso valle in accordo con il punto ). Si suggerisce di riconsiderare queste regole dopo aver visto alcuni degli esempi discussi nei successivi capitoli. E utile affiancare alla ricostruzione grafica di un generico profilo la sua rappresentazione nel diagramma H-y. Negli esempi che seguono, la descrizione del profilo con riferimento al diagramma H-y è illustrata a partire dalla sezione di monte indipendentemente dal percorso logico seguito nella ricostruzione del profilo stesso. -17-

20 Canali prismatici a portata costante In questo paragrafo sono illustrati e discussi alcuni esempi relativi al tracciamento dei profili di moto permanente in canali percorsi da una portata costante, prismatici e infinitamente lunghi. Quest ultima condizione introduce una semplificazione del problema legata al fatto che, infinitamente a monte e a valle, e quindi in corrispondenza delle sezioni di estremità del canale, si realizzano condizioni di moto uniforme. Queste rappresentano pertanto le condizioni al contorno esterne per i problemi qui indagati..1 Variazioni di pendenza Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta una variazione di pendenza, come illustrato schematicamente in Fig. 1. I casi possibili sono definiti dalle combinazioni di i f <i c, i f >i c per i due tratti di monte e di valle. Preliminarmente conviene indicare, in modo qualitativo, le altezze di moto uniforme caratteristiche dei due tratti osservando che, a parità di altre condizioni, al crescere della pendenza del fondo i f, l altezza y 0 diminuisce..1.1 Caso A: i f <i c per entrambi i tratti. Per quanto detto in precedenza, essendo la corrente a moto uniforme lenta, procediamo nella ricostruzione del profilo a partire da valle (sez. 1) dove si impone un altezza pari a y 1 =y 0V. Proseguendo verso monte, il moto si mantiene uniforme finchè non si incontra una qualche variazione geometrica. Nella sezione, immediatamente a valle del cambio di pendenza, si avrà pertanto y = y 0V. Fig. 1 Tra la sezione e la sezione, posta immediatamente a monte del cambio di pendenza, consideriamo il bilancio di energia: z + + H = z H (0) il quale, essendo z =z e mantenendosi invariata la natura della corrente, fornisce y =y =y 0V. Nel caso A1 (vedi Fig. 1), in corrispondenza della sezione l altezza d acqua risulta pertanto superiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di monte. Al contrario, nel caso A, essa risulta inferiore. Nel caso A1, si avrà pertanto, a monte della sezione, un profilo di rigurgito M 1 mentre nel caso A si realizzerà un profilo di chiamata M (Fig. 14). Infine, in entrambi i casi, nella sezione 4, posta infinitamente a monte, saranno raggiunte le condizioni di moto uniforme y 4 =y 0M. -18-

21 Fig. 14 La rappresentazione delle caratteristiche energetiche in corrispondenza delle diverse sezioni è riportata nei diagrammi H-y di Fig. 15. A partire dalle condizioni di moto uniforme di monte (punto 4), la corrente lenta segue un profilo M 1 (CASO A1) o M (CASO A) fino a portarsi in corrispondenza della sezione nelle stesse condizioni energetiche che caratterizzano la corrente lenta di valle in moto uniforme. Lo stesso punto (1 ) nel diagramma H-y è quindi rappresentativo dello stato di moto nel tratto a valle della sezione..1. Caso B: i f >i c per entrambi i tratti. Fig. 15 Essendo la corrente a moto uniforme rapida, procediamo alla ricostruzione del profilo a partire da monte (sez. 1 di Fig. 16) dove si impone un altezza pari a y 1 =y 0M. Proseguendo verso valle, il moto si mantiene uniforme finchè non si incontra la variazione geometrica determinata dal cambio di pendenza. Nella sezione, si avrà pertanto y =y 0M. Tra la sezione e la sezione posta immediatamente a valle del cambio di pendenza consideriamo il bilancio di energia espresso, formalmente, dalla stessa eq. (0) Essendo z =z e mantenendosi invariata la natura della corrente, si trova y =y = y 0M. Nella sezione, l altezza d acqua risulta pertanto inferiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di valle nel caso B1, mentre risulta superiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di valle nel caso B (vedi Fig. 16). -19-

22 Fig. 16 Nel caso B1, si avrà pertanto, a valle della sezione, un profilo di corrente decelerata S mentre nel caso B si realizzerà un profilo di corrente accelerata S (Fig. 17). Infine, nella sezione 4, posta infinitamente a valle, saranno raggiunte le condizioni di moto uniforme y 4 =y 0V. Fig. 17 La rappresentazione delle caratteristiche energetiche in corrispondenza delle diverse sezioni è riportata nei diagrammi H-y di Fig. 18. Fig. 18 In entrambi i casi, come si è visto, la condizione di monte (moto uniforme) si mantiene tale fino alla sezione. Lo stesso punto (1 ) nel diagramma H-y è quindi rappresentativo dello stato di moto nel tratto compreso tra queste due sezioni. A partire dalla sezione si segue il ramo delle correnti rapide del diagramma H-y verso la condizione di moto uniforme di monte, rappresentata dal punto Caso C: i f <i c a monte e i f >i c a valle. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del cambio di pendenza di stabiliranno condizioni di moto uniforme rispettivamente di corrente lenta e rapida. Necessariamente quindi si assisterà ad una transizione lenta-rapida ovvero alla -0-

23 formazione di una sezione di controllo. Per quanto detto nel paragrafo..1, la sezione di controllo si disporrà in corrispondenza del cambio di pendenza, essendo questa l unica variazione presente nel dominio. Infatti, non esistono profili di moto permanente in grado di descrivere l andamento della superficie libera rispettivamente a monte o a valle della sezione ad altezza critica qualora il tirante yc si stabilisse, per assurdo, a valle (Fig. 19A) ovvero a monte (Fig. 19B) della sezione in cui si realizza il cambio di pendenza. Fig. 19 Necessariamente, quindi, l altezza critica y c si formerà in corrispondenza del cambio di pendenza e da qui si svilupperà, verso monte, un profilo di chiamata M mentre verso valle la corrente proseguirà secondo un profilo S (Fig. 0 CASO C). Fig Caso D: i f >i c a monte e i f <i c a valle. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del cambio di pendenza di stabiliranno condizioni di moto uniforme rispettivamente di corrente rapida e lenta. Necessariamente quindi si assisterà ad una transizione rapida- lenta, cioè alla formazione di una sezione di sconnessione idraulica. A partire da monte, la corrente si mantiene in moto uniforme fino al cambio di pendenza quindi, seguendo un profilo di corrente rapida decelerata M, si porta verso le condizioni critiche (Fig. 0 CASO D). Da qui in poi non è più possibile procedere verso valle. Partendo da valle, invece, la corrente si mantiene in moto uniforme fino al cambio di pendenza quindi, seguendo un profilo di corrente lenta decelerata S 1, si porta verso le condizioni critiche (Fig. 0 CASO D). Da qui in poi non è più possibile procedere verso monte. Da qualche parte, nel tratto a cavallo del cambio di pendenza, dove i due profili si sovrappongono, si assisterà alla formazione del risalto. La posizione di quest ultimo è univocamente determinata dalla condizione di eguaglianza della spinta totale di monte e di valle. Indicate con M 0M e M 0V rispettivamente la spinta della corrente di moto uniforme di monte e quella di valle, si può verificare una delle seguenti situazioni. Nel caso in cui sia: M 0M =M 0V, l equilibrio delle forze si ha esattamente in corrispondenza del cambio di pendenza dove, pertanto, si formerà il risalto. Nel caso in cui sia: M 0M >M 0V, l equilibrio delle forze si avrà a valle del cambio di pendenza. Infatti, a valle della sezione (Fig. 0) la corrente rapida, seguendo un profilo M, -1-

24 riduce progressivamente la sua spinta (al limite raggiunge il valore minimo in condizioni critiche) fino ad eguagliare quella di valle (Fig. 1, CASO D-a). Nel caso, invece, in cui sia: M 0M <M 0V, l equilibrio delle forze si avrà a monte del cambio di pendenza. Infatti, a monte della sezione (Fig. 0) la corrente lenta, seguendo un profilo S 1, riduce progressivamente la sua spinta (al limite raggiunge il valore minimo in condizioni critiche) fino ad eguagliare quella di monte (Fig. 1, CASO D-b). Fig. 1 Per la localizzazione del risalto, in alternativa al procedimento appena descritto, basato sul confronto diretto tra le spinte, si può ricorrere al metodo, del tutto equivalente, che si basa sulla rappresentazione delle altezze coniugate. In tal caso si può far riferimento, indifferentemente, all altezza coniugata della corrente rapida di monte o a quella della corrente lenta di valle. Nel primo caso la soluzione è illustrata graficamente in Fig. nella quale y R indica, sezione per sezione, l altezza coniugata della corrente rapida di monte. Il risalto si localizza in corrispondenza dell intersezione tra la curva delle altezze coniugate e il profilo della corrente lenta di valle. Fig. Nel secondo caso la soluzione è illustrata graficamente in Fig. nella quale y R indica questa volta l altezza coniugata della corrente lenta di valle. Il risalto si localizza in corrispondenza dell intersezione tra la curva delle altezze coniugate e il profilo della corrente rapida di monte. Fig. La descrizione dei due profili illustrati in Fig. 1, rappresentati nel diagramma H-Y a partire da monte, è riportata in Fig. 4. Nel primo caso (CASO D-a), si parte dalle condizioni di moto uniforme y 0M (sezione 1). Tali condizioni si mantengono fino al cambio di pendenza (sezione, sezione ), quindi ci si sposta lungo un profilo M --

25 fino alla sezione 5, immediatamente a monte del risalto. Si salta, con dissipazione di energia, alla sezione 6, immediatamente a valle del risalto, caratterizzata dalle stesse condizioni del moto uniforme di valle (sezione 4). Nel secondo caso (CASO D- b), si parte ancora dalle condizioni di moto uniforme y 0M (sezione 1). Tali condizioni si mantengono fino alla sezione 5, immediatamente a monte del risalto. Si salta, con dissipazione di energia, alla sezione 6, immediatamente a valle del risalto, e si prosegue quindi con un profilo S 1 fino alle sezioni e in corrispondenza del cambio di pendenza. Dalla sezione, verso valle, il moto si mantiene uniforme (sezione 4).. Variazioni di scabrezza Fig. 4 Le considerazioni che verranno fatte in questo paragrafo sono del tutto analoghe a quelle appena viste per il caso di variazione di pendenza. Ciò discende dal fatto che, in moto permanente, la pendenza del fondo i f e il coefficiente di scabrezza k s si presentano sempre accoppiati nel prodotto k i. Si ricorda, inoltre, che la pendenza critica i c è fortemente controllata dal coefficiente di scabrezza k s (vedi equazione (15)). Per un assegnata pendenza del fondo, pertanto, può accadere che k s sia sufficientemente piccolo da determinare una pendenza critica i c maggiore di i f. Viceversa, per valori di k s sufficientemente elevati si può verificare la situazione opposta: i f >i c. Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta una variazione di scabrezza, come illustrato schematicamente in Fig. 5. I casi possibili sono definiti dalle combinazioni di i f <i c, i f >i c per i due tratti di monte e di valle. Preliminarmente conviene indicare, in modo qualitativo, le altezze di moto uniforme caratteristiche dei due tratti osservando che, a parità di altre condizioni, al crescere della scabrezza del fondo, cioè al diminuire di k s, anche l altezza y 0 aumenta...1 Caso A: i f <i c per entrambi i tratti. Essendo la corrente a moto uniforme lenta, procediamo da valle (sezione 1) dove si impone un altezza pari a y 1 =y 0V. Proseguendo verso monte, il moto si mantiene uniforme finchè non si incontra la variazione di scabrezza. Nella sezione, si avrà pertanto y =y 0V. Tra le sezioni e, quest ultima posta immediatamente a monte del s f --

26 cambio di scabrezza, consideriamo il bilancio di energia espresso ancora dall equazione (0). Essendo z =z e mantenendosi invariata la natura della corrente, il bilancio fornisce y =y =y 0V. Nel caso A1 (vedi Fig. 5), in corrispondenza della sezione l altezza d acqua risulta pertanto superiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di monte. Al contrario, nel caso A essa risulta inferiore. Fig. 5 Nel caso A1 si avrà pertanto, a monte della sezione, un profilo di rigurgito M 1 mentre nel caso A si realizzerà un profilo di chiamata M (Fig. 6). Infine, nella sezione 4, posta infinitamente a monte, saranno raggiunte le condizioni di moto uniforme y 4 =y 0M. Fig. 6 La rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche energetiche in corrispondenza delle diverse sezioni è analoga a quella riportata in Fig Caso B: i f >i c per entrambi i tratti. La corrente a moto uniforme è rapida, procediamo pertanto da monte (sezione 1) dove si impone un altezza pari a y 1 =y 0M. Proseguendo verso valle, il moto si mantiene uniforme finchè non si incontra la variazione di scabrezza. Nella sezione si avrà pertanto y =y 0M. Tra la sezione e la sezione posta immediatamente a valle del cambio di scabrezza consideriamo il solito bilancio di energia (equazione (0)). il quale, essendo z =z e mantenendosi invariata la natura della corrente, fornisce y =y =y 0M. Nella sezione l altezza d acqua risulta pertanto inferiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di valle nel caso B1, mentre risulta superiore nel caso B (vedi Fig. 7). Fig. 7-4-

27 Nel caso B1 si avrà pertanto, a valle della sezione, un profilo di corrente decelerata S mentre nel caso B si realizzerà un profilo di corrente accelerata S (Fig. 8). Infine, nella sezione 4, posta infinitamente a valle, saranno raggiunte le condizioni di moto uniforme y 4 =y 0V. Fig. 8 Anche in questo caso, la rappresentazione delle caratteristiche energetiche in corrispondenza delle diverse sezioni è analoga a quella riportata nel diagramma H-y di Fig Caso C: i f <i c a monte e i f >i c a valle. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del cambio di scabrezza di stabiliranno condizioni di moto uniforme rispettivamente di corrente lenta e rapida. Necessariamente quindi si assisterà ad una transizione lenta-rapida ovvero alla formazione di una sezione di controllo. Per quanto detto nel paragrafo..1, la sezione di controllo si disporrà in corrispondenza del cambio di scabrezza, essendo questa l unica variazione presente nel dominio (vedi discussione del Caso C, nel precedente paragrafo). Qui si formerà l altezza critica y c. Verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M mentre verso valle la corrente proseguirà secondo un profilo S (Fig. 9, CASO C). Fig Caso D: i f >i c a monte e i f <i c a valle. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del cambio di scabrezza di stabiliranno condizioni di moto uniforme rispettivamente di corrente rapida e lenta. Necessariamente quindi si assisterà ad una transizione rapida-lenta ovvero alla formazione di una sezione di sconnessione idraulica. A partire da monte, la corrente si mantiene in moto uniforme fino al cambio di pendenza quindi, seguendo un profilo di corrente rapida decelerata M, si porta verso le condizioni critiche (Fig. 9, CASO D). Da qui in poi non è più possibile procedere verso valle. Partendo da valle, invece, la corrente si mantiene in moto uniforme fino al cambio di pendenza quindi, seguendo un profilo di corrente lenta decelerata S 1, si porta verso le condizioni critiche (Fig. 9, CASO D). Da qui in poi non è più possibile procedere verso monte. -5-

28 Da qualche parte, nel tratto a cavallo del cambio di scabrezza, dove i due profili si sovrappongono, si assisterà alla formazione del risalto. La posizione di quest ultimo è univocamente determinata dalla condizione di eguaglianza della spinta totale di monte e di valle. Indicate con M 0M e M 0V rispettivamente la spinta della corrente di moto uniforme di monte e quella di valle, si può verificare una delle seguenti situazioni. Nel caso in cui sia: M 0M =M 0V, l equilibrio delle forze si ha esattamente in corrispondenza del cambio di scabrezza dove, pertanto, si formerà il risalto. Nel caso in cui sia: M 0M >M 0V, l equilibrio delle forze si avrà a valle del cambio di scabrezza. Infatti, a valle della sezione (Fig. 9, CASO D) la corrente rapida, seguendo un profilo M, riduce progressivamente la sua spinta (al limite raggiunge il valore minimo in condizioni critiche) fino ad eguagliare quella di valle (Fig. 0, CASO D-a). Nel caso, invece, in cui sia: M 0M <M 0V, l equilibrio delle forze si avrà a monte del cambio di scabrezza. Infatti, a monte della sezione (Fig. 9, CASO D) la corrente lenta, seguendo un profilo S 1, riduce progressivamente la sua spinta (al limite raggiunge il valore minimo in condizioni critiche) fino ad eguagliare quella di monte (Fig. 0, CASO D-b). Fig. 0 Anche in questo caso è possibile localizzare il risalto facendo ricorso alla rappresentazione delle altezze coniugate come illustrato nel paragrafo.1.4. La descrizione dei due profili illustrati in Fig. 0, rappresentati nel diagramma H-Y a partire da monte, è analoga a quella riportata in Fig. 4.. Salto di fondo Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta un salto di fondo, come illustrato schematicamente in Fig Caso A: i f <i c. Analizziamo dapprima il caso di pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del salto di fondo si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Partendo quindi da valle, con un altezza pari a quella di moto uniforme (y 1 =y 0 ), e procedendo verso monte si mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione (y =y 0 ) posta immediatamente a valle del salto (vedi Fig. 1). -6-