AREA 2: IL CALCOLO DIFFERENZIALE. H Il rapporto incrementale della funzione f x relativo al punto x 0 e all'incremento h eá dato dall'espressione:

Transcript

1 AREA : IL CALCOLO DIFFERENZIALE DERIVATA E DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE Per ricordare H Il raorto incrementale della funzione f relativo al unto 0 e all'incremento h eá dato dall'esressione: y ˆ f 0 h f 0 h Calcolando il limite er h! 0 del raorto incrementale si ottiene la derivata della funzione f nel unto 0 : f 0 0 ˆ lim h!0 f 0 h f 0 h Se questo limite esiste finito, si dice che f eá derivabile in 0 ; quando il limite non eá finito oure non esiste, si dice che f non eá derivabile in 0. Una funzione non derivabile uoá eroá essere derivabile da sinistra o da destra a seconda che esista finito il limite er h! 0 oure er h! 0 del raorto incrementale. Si dimostra oi che se una funzione eá derivabile in un unto 0, allora eá anche continua in 0 ; la continuitaá non eá invece garanzia di derivabilitaá: esistono funzioni continue in un unto che non sono derivabili in tale unto. H Per calcolare la derivata di una funzione si devono conoscere le regole di derivazione delle funzioni elementari: Dk Š ˆ 0 D Š ˆ D sin Š ˆ cos D cos Š ˆ sin D ln Š ˆ e i seguenti teoremi: derivata della somma: derivata del rodotto: derivata del quoziente: De Š ˆ e D f g Š ˆ f 0 g 0 D f g Š ˆ f 0 g f g 0 in articolare Dkf ˆ k f 0 con k R D f g ˆ f 0 g f g 0 in articolare D g g Š ˆ g 0 g Š

2 8 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA derivata della funzione comosta: D g f ˆ g 0 f f 0 In articolare se y ˆ f Š g allora y 0 ˆ f Š g g 0 ln f g f 0 f Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse si ha oi che: D arcsin Š ˆ D arccos Š ˆ D arctan Š ˆ D arccotan Š ˆ H Dal unto di vista geometrico f 0 0, cioeá la derivata calcolata nel unto 0, raresenta il coefficiente angolare della retta t tangente alla curva in quel unto. Se la funzione eá derivabile, l'equazione della retta tangente in P 0, f 0 eá quindi: y f 0 ˆ f 0 0 {z } m 0 Quando la funzione non eá derivabile, si ossono resentare i seguenti casi articolari: f 0 0! allora la retta tangente eá arallela all'asse y la derivata sinistra e quella destra sono finite ma sono diverse, oure una di esse eá finita e l'altra infinita: allora a sinistra del unto P vi eá una tangente e a destra ce n'eá un'altra e si dice che P eá un unto angoloso la derivata sinistra e quella destra sono infinite di segno oosto: allora la tangente in P eá arallela all'asse y e si dice che P eá una cuside. unto angoloso unto angoloso cuside cuside H Il differenziale di una funzione f in un unto eá il rodotto della derivata della funzione er l'incremento : df ˆ f 0 ed essendo ˆ d df ˆ f 0 d Dal unto di vista geometrico il differenziale raresenta l'incremento della variabile diendente y calcolato sulla retta tangente anzicheá sulla funzione.

3 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 9 ESERCIZI SULLE DERIVATE Calcola le derivate delle seguenti funzioni. y ˆ ln y ˆ sin tan y ˆ tan sin tan sin y ˆ ln ; sin cos sin cos cos " # sin cos ; 8 y ˆ 5 " # y ˆ ln ln ; ln ln ln r " # y ˆ ln y ˆ ; 6 " # 5 y ˆ y ˆ ln ln ln ln ; ln 6 ln " 6 y ˆ e ln y ˆ e ln # 6 ; 7 y ˆ sin 8 y ˆ y ˆ ln 9 y ˆ q 0 y ˆ y ˆ ln sin sin cos sin 6 q y ˆ cos ln y ˆ cos ; 6 ; y ˆ e sin r y ˆ ln sin cos sin cos sin ln q 5 cos ln " # 6 " # ; " 6 sin cos e sin sin ; cos # 6 tan ; cos y ˆ e log sin ln cos y ˆ arcsin y ˆ ln arctan y ˆ ln cos ; y ˆ arctan arctan sin ;0 8 7cos cos y ˆ arcsin ln arctan ; arcsin 5

4 0 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 5 y ˆ arctan y ˆ ln arctan 5 ; 6 y ˆ arcsin r 7 y ˆ arctan ln y ˆ ln 6 arctan 5 ; y ˆ arcsin arccos ;0 8 y ˆ sin (Suggerimento: uoi riscrivere la funzione usando l'uguaglianza f g ˆ e ln f g Š ˆ e g ln f, cioeá y ˆ e sin ln ) sin sin ln cos 9 y ˆ y ˆ h ln ; i 6 ln 0 y ˆ ln y ˆ ln h i ln ln ; ln ln Considerate le funzioni f indicate, risolvi le equazioni e disequazioni indicate a fianco di ciascuna di esse. y ˆ y ˆ sin cos y ˆ ln, Š sin f f f 0 ˆ f ˆ Š f 0 e f cos f 0 ˆ h ˆ _ ˆ i 6 ˆ ˆ y ˆ e e f f 0 > f > e Š 5 y ˆ arctan 6 y ˆ 7 y ˆ ln f 0 f 00 < 6 < < f 0 f > < _ < < 0 _ < < f 0 f < 0 < 0Š 8 y ˆ arctan f 0 f 00 < < < 0 _ > Š

5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE SULLA CONTINUITAÁ E DERIVABILITAÁ Studia la continuitaá e la derivabilitaá delle seguenti funzioni classificando i unti di non derivabilitaá. 9 y ˆ j j ˆ 0 unto angolosoš 0 y ˆ j j ˆ 0, ˆ unti angolosi y ˆ jsin j ˆ 0 k unti angolosiš y ˆ jj 8 < 0 y ˆ 0 < < : ( y ˆ 9 j j jj > 5 Data la funzione f ˆ ˆ disc. seconda secie; ˆ 0 unto angolosoš ˆ 0 disc. rima secie; ˆ unto angolosoš ˆ discontinuita rima secie; ˆ cusideš jj 8 < a, determina i valori dei arametri reali a e b er i : > b 8 quali sono continue la funzione f e la sua derivata rima. a ˆ, b ˆ 8Š 6 Data la funzione f ˆ 5 a b < e b er i quali la f eá continua e derivabile. 8 a < 0 >< 7 Data la funzione f ˆ b c 0 >: d >, determina i valori dei arametri reali a a ˆ 7, b ˆ 7Š, determina i valori dei arametri reali a, b, c, d in modo che la funzione sia continua in ˆ 0ein ˆ e derivabile in ˆ 0. Esistono dei valori dei arametri er i quali la funzione eá derivabile anche in ˆ? 8a R, b ˆ 0 ^ c ˆ ^ d ˆ 6Š 8 Data la funzione f ˆ ln a b 0, determina i valori dei arametri reali a, b, arctan c < 0 c, affincheâ la funzione sia derivabile nell'origine. 8a R, c ˆ 0, b ˆ Š cos sin 9 Data la funzione f ˆ, stabilisci er quali valori reali dei arametri a, a b c > b, c la funzione eá continua e derivabile due volte in ˆ. a ˆ, b ˆ, c ˆ 0 Data la funzione f ˆ e cos a sin 0, stabilisci se esistono valori dei arametri reali a e b er i quali la f risulta continua e derivabile in R. a ˆ, b ˆ b > 0

6 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 8 a b < 0 >< Determina il iuá vasto insieme numerico in cui la funzione f ˆ a sin c 0 < >: b eá continua e derivabile e er quali valori dei arametri reali a, b, c lo eá. n R o ; a ˆ, b ˆ, c ˆ 0 Descrivi la derivabilitaá delle seguenti funzioni f di cui eá dato il grafico. Il grafico eá cosõá costituito: una semicirconferenza er 0 < un arco di arabola er 5 una semiretta er > 5. Il grafico eá cosõá costituito: una retta er 0 < una semicirconferenza er < un arco di circonferenza (un quadrante) er < 5 un arco di arabola er 5. Il grafico eá cosõá costituito: un arco di ierbole equilatera er 7 < un arco di curva esonenziale < un segmento di retta er < una semicirconferenza er 6. PROBLEMI 5 Scrivi l'equazione della retta tangente alla funzione di equazione y ˆ di ascissa. r 9 nel suo unto P y ˆ 5 6 Scrivi l'equazione delle rette tangenti alla funzione di equazione y ˆ che sono arallele alla retta y ˆ. y ˆ 6 ; y ˆ 5

7 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 7 Determina le ascisse dei unti della curva di equazione y ˆ 5 nei quali la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a., 8 Calcola le coordinate dei unti della funzione f ˆ nei quali la retta tangente eá erendicolare alla retta di equazione 6y ˆ 0. 0,,, 0 Š 9 Determina le coordinate dei unti nei quali la tangente alla curva di equazione y ˆ 7 forma un angolo di con l'asse delle ascisse.,, 0, Š 50 Quali sono i unti della funzione di equazione y ˆ ln 6 in cui la tangente al grafico eá arallela all'asse?, 5ln 5 Trova l'equazione della retta tangente alla curva di equazione y ˆ nel suo unto d'intersezione con l'asse. y ˆ 5 5 Trova le coordinate dei unti in cui il grafico della funzione f ˆ ln ha le tangenti arallele alla retta di equazione y ˆ 0 e determina le loro equazioni. A, ln 6 ; y ln 6 ˆ 0Š 5 Data la arabola di equazione y ˆ a, determina il coefficiente a in modo che l'equazione della retta ad essa tangente nel suo unto di ascissa 0 assi anche er il unto di coordinate,. y ˆ 5 Determina i coefficienti a e b della curva di equazione y ˆ a b in modo che essa abbia come normale nel unto di coordinate, la retta di equazione y ˆ 7 7. a ˆ 5, b ˆ 55 Doo aver determinato il unto P di intersezione delle curve C di equazione y ˆ e C di equazione y ˆ, determina la normale a C in P e le ascisse dei unti in cui la tangente a C eá inclinata di 5 risetto alla direzione ositiva dell'asse delle ascisse. 7y ˆ 0; ˆŠ 56 Trova i coefficienti della curva di equazione y ˆ a b c d in modo che il suo grafico assi er i unti di coordinate 0, e,, e nel unto di ascissa abbia come retta tangente quella di equazione y ˆ 6. y ˆ Considerata la funzione f ˆ ln determina le coordinate dei unti in cui si annulla la derivata seconda e calcola oi le equazioni delle rette tangenti alla f in tali unti. 0, 0 ; y ˆ Š 58 Data la funzione f ˆ a, determina i valori dei arametri reali a e b in modo che il grafico di f assi er il unto A, e che in tale unto la retta tangente sia arallela alla bisettrice b del rimo e terzo quadrante. a ˆ 7 8, b ˆ Considerata la funzione f ˆ log 5, siano A il unto della curva di ascissa 5 e B il unto di ordinata. Determina l'ascissa di un unto P sull'arco AB in modo che la tangente in P alla f sia arallela alla corda AB. P ˆ 5ln 5

8 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 60 Determina i coefficienti dell'equazione y ˆ a b c in modo che la arabola corrisondente abbia vertice di ascissa 5 e sia tangente alla retta di equazione y 5 ˆ 0 nel unto B di ascissa 0. Scrivi oi l'equazione della normale in B alla curva. y ˆ 5 ; 5y 0 ˆ 0 6 Dimostra che se una funzione f eá ari, allora la sua derivata eá disari e, recirocamente, se f eá disari la sua derivata eá ari. 6 8 < a 0 Considerata la funzione f ˆ : b 0 < determina er quali valori dei arametri reali a e b essa eá continua e derivabile; scrivi oi l'equazione della retta tangente a f nel unto ˆ 0. a ˆ, b ˆ, y ˆ Š 6 Date le funzioni f ˆ a ln e g ˆ a b, stabilisci, al variare di a, b R, l'esistenza di unti che ammettono la stessa retta tangente e trova l'equazione di tali rette. 8a R : b ˆ a ln ; y ˆ a ln Š 6 Determina il valore del arametro reale k er il quale le curve di equazioni y ˆ k e y ˆ k sono tangenti nell'origine del sistema di riferimento e trova oi l'equazione della retta tangente comune. k ˆ ; y ˆ 65 Date le funzioni f ˆ ln e g ˆ 6 determina del coordinate dei unti di uguale ascissa in cui i risettivi grafici hanno tangenti arallele; trova oi le equazioni di tali tangenti. A, 0, B, ; y ˆ, y ˆ 5Š 66 Considerata la curva di equazione y ˆ a tan b, determina er quali valori dei arametri reali a e b essa ha nel unto P, tangente arallela alla retta 8 y ˆ 0. Costruisci oi il grafico della curva ottenuta. a ˆ, b ˆ Š 67 Calcola er quale valore del arametro a le curve di equazioni y ˆ a a e y ˆ a 8 sono tangenti nel unto di ascissa e trova oi l'equazione della tangente comune. 5 a ˆ ; 5y 6 ˆ Date le funzioni f ˆ e g ˆ a b, stabilisci er quali valori di a, b R le funzioni f e g hanno la stessa retta tangente nel unto di ascissa. a ˆ, b ˆ Š 69 Stabilisci in quale unto dell'intervallo 0, aš la curva di equazione y ˆ n ha la tangente arallela alla corda AB, essendo A il unto di ascissa 0 e B quello di ascissa a. ˆ n a n 70 Data la funzione f ˆ, calcola l'equazione della retta ad essa tangente nel suo unto di ascissa. La funzione eá continua e derivabile nell'origine? y ˆ ln, in ˆ 0 discontinuita eliminabile e f non derivabileš 7 Determina er quali valori dei arametri reali a, b, c, la funzione y ˆ a b c e le sue derivate successive soddisfano la relazione y y 0 y 00 ˆ 0 er ogni valore reale della variabile. a ˆ ^ b ˆ 7 ^ c ˆ 6Š 7 Determina er quali valori dei arametri reali a e b la funzione di equazione y ˆ e a b a soddisfa le seguenti condizioni:

9 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 5 a. y 0 0 y00 ˆ 0 b. y 0 ˆ0. a ˆ, b ˆ 5 7 Sono date le due funzioni f ˆ e e g ˆ e. Verifica che entrambe soddisfano l'equazione A : y 000 y 00 y 0 y ˆ 0. Mostra oi che anche la funzione h ˆa f b g, soddisfa la A 8a, b R. 7 Determina er quale valore del arametro reale a la funzione f ˆ a sin soddisfa l'equazione A : y 00 y ˆ sin. Mostra oi che anche le funzioni g ˆ e sin e h ˆ e sin sono soluzioni della stessa equazione e stabilisci, motivando adeguatamente la risosta, se lo sono anche le funzioni che hanno le seguenti equazioni: a. y ˆ ae be sin b. y ˆ a g b h dove a e b sono arametri reali. a ˆ ; a: 8a, b R; b: a b ˆ Š 75 Data la funzione f ˆ, determina l'ascissa (ositiva) del unto Q nel quale la retta tangente alla f eá arallela alla retta di equazione 5y ˆ 0; trova oi le coordinate del un- to P di f er il quale la retta PO eá erendicolare a QO. Q, ; P 7 5, 5 76 Doo aver tracciato il grafico della funzione di equazione y ˆ q jj, deduci la resenza di unti di discontinuitaá e/o di non derivabilitaá. continua in R; unti angolosi in ˆ eˆ0š 77 Considerata la funzione f ˆ a b, determina i valori dei arametri reali a e b in modo che il suo grafico risulti tangente nel unto P, alla arabola avente vertice in V,. a ˆ 5, b ˆ 78 Una circonferenza ha centro in un unto C di ascissa ed eá tangente alla curva di equazione y ˆ ln nel unto di ascissa. Trova l'equazione della circonferenza e della tangente comune. y 8 y ˆ 0; y ˆ 79 Data la funzione f ˆ trova, se esistono, le coordinate dei unti P di f nei quali la retta tangente assa er il unto A 0, ; se tali unti esistono, trova le equazioni delle rette tangenti. (Suggerimento: considerato il unto P di f di ascissa k, scrivi l'equazione della retta tangente in P e imoni che assi er il unto A) P,, y ˆ 9 ; l'altra retta tangente e l'asintoto obliquo y ˆ 80 Considerata la funzione f ˆ ln, stabilisci se essa ammette unti nei quali: a. la retta tangente assa er l'origine degli assi b. la retta tangente eá inclinata di risetto alla direzione ositiva dell'asse c. la retta tangente eá arallela all'asse. In caso affermativo, determina le coordinate di tali unti. a: e, e ; b. non esistono unti; c. non esistono untiš

10 6 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 8 L'equazione oraria di un moto rettilineo eá s ˆ cos t ; determina la velocitaá e l'accelerazione doo secondi dall'inizio del moto. v ˆ 6 m/s; a ˆ 6 m/s 8 Due unti materiali si muovono sulla stessa retta con equazioni orarie s ˆ t t e s ˆ t t ; calcola le loro velocitaá e le loro accelerazioni nel momento in cui si incontrano. v ˆ 0m/s; a ˆ 6m/s ; v ˆ ; 5m/s; a ˆ m/s 8 In un moto arabolico la traiettoria ha equazione y ˆ 6; nel unto A di ascissa la comonente della velocitaá lungo l'asse eá di m/s. Calcola la comonente verticale e il valore h della velocitaá tangenziale. v y ˆ m/s; v ˆ i 5 m/s ˆ ln t 8 Un unto materiale P descrive una curva che ha equazioni arametriche y ˆ t con t > 0 ed esresso in secondi e e y esressi in metri. Trova l'equazione y ˆ f della curva e determina: a. la distanza di P dall'origine del sistema di riferimento doo s b. le comonenti cartesiane della velocitaá all'istante t ˆ e la direzione della velocitaá tangenziale c. l'accelerazione di P all'istante t ˆ e la sua direzione. y ˆ e ; a:,m; b: v ˆ m/s, v y ˆ m/s, 75,96 ; c: a ˆ m/s, ˆ SUL DIFFERENZIALE Calcola il differenziale delle seguenti funzioni relativo al unto e all'incremento indicati. 85 y ˆ arctan in ˆ con ˆ 0, df ˆ 0,Š 86 y ˆ 6 87 y ˆ ln in ˆ con ˆ 0,0 df ˆ 0,00Š 9 sin in ˆ 0 con ˆ 0,0 df ˆ 0,08Š 88 y ˆ ln in ˆ 6 con ˆ 0,0 df ˆ 0,005Š 89 Confronta il differenziale della funzione di equazione y ˆ nel unto di ascissa ˆ 8e er un incremento ˆ 0, con l'incremento della funzione. dy ˆ,8; f ˆ,8Š 90 Utilizzando il differenziale, calcola un valore arossimato di cos 6. (Suggerimento: saendo che cos 5 ˆ, uoi determinare la variazione arossimata del valore del coseno nel assaggio da ˆ 5 a ˆ 5 valutando il differenziale della funzione f ˆ cos con ˆ ; ricorda che se un angolo eá esresso in gradi la derivata della funzione coseno eá sin ) 0, Š 9 Utilizzando il differenziale, calcola un valore arossimato di 6, e 0,, ln 0,. 5,;,; 0,58Š

11 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 7 Utilizzando il differenziale, risolvi i seguenti roblemi. 9 Calcola di quanto varia l'area di un triangolo avente un angolo di amiezza inscritto in una semicirconferenza di raggio r ˆ 6m quando il raggio subisce un incremento r ˆ mm. ds ˆ 0,077m 9 Due lati consecutivi di un triangolo ABC sono lunghi 0cm e 0cm e l'angolo fra essi comreso eá di,6. Calcola un valore arossimato dell'area del triangolo. 57,5cm 9 Calcola un valore arossimato della lunghezza di una corda AB di una circonferenza di raggio 0cm che sottende un angolo al centro di 6,. 0,7cmŠ 95 Calcola di quanto aumenta arossimativamente il volume di una sfera che ha raggio rˆ dm in corrisondenza dell'aumento di mm del raggio. ; 0dm 96 Calcola di quanto varia l'area del traezio isoscele di lato obliquo 5m circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r ˆ m quando il raggio subisce un incremento r ˆ 0 m. s ˆ 0,005m 97 L'energia W immagazzinata da un condensatore in funzione del suo otenziale V e della sua caacitaá C eá esressa dalla relazione W ˆ CV.SeC ˆ F, come varia l'energia se il otenziale assa da V a,v?, Joule 98 Un conduttore ai cui estremi eá alicata una differenza di otenziale V ˆ 50V eá attraversato da una corrente di 0 A. Come varia l'intensitaá di corrente se V varia di V? i ˆ 0, 0 A

12 8 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA : IL CALCOLO DIFFERENZIALE TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI Per ricordare H Le funzioni derivabili godono di alcune rorietaá che sono riassunte in una serie di teoremi i iuá imortanti dei quali sono i seguenti. Teorema di Rolle. Se una funzione f eá continua in un intervallo a, bš, derivabile in a, b ed inoltre f a ˆ f b, allora esiste almeno un unto c a, b in cui f 0 c ˆ 0. Il teorema garantisce in sostanza l'esistenza di unti nei quali la retta tangente eá arallela all'asse. Teorema di Lagrange. Se una funzione f eá continua in un intervallo a, bš ed eá derivabile in a, b, allora esiste almeno un unto c a, b er il quale vale la relazione f b f a b a ˆ f 0 c. Il teorema garantisce in sostanza che esistono dei unti nei quali la retta tangente alla curva raresentata dalla funzione eá arallela alla corda che assa er i unti A e B di ascissa a e b. Conseguenze immediate di questo teorema sono le seguenti: ± se f 0 > 0 in un intervallo I, allora f eá crescente in I ± se f 0 < 0 in un intervallo I, allora f eá decrescente in I ± se f 0 ˆ 0 in tutti i unti di un intervallo I, allora f eá costante in I ± se due funzioni f e g hanno derivate uguali in tutti i unti di un intervallo I, allora esse differiscono er una costante. Teorema di Cauchy. Se due funzioni f e g soddisfano le seguenti iotesi: ± sono entrambe continue in a, bš ± sono entrambe derivabili in a, b ± g 0 non si annulla mai in a, b allora esiste almeno un unto c a, b er il quale vale la relazione f b f a g b g a ˆ f 0 c g 0 c. H Altri teoremi imortanti che ermettono di semlificare il calcolo di un limite sono i seguenti. Primo teorema di de L'HoÃital. Se f e g sono due funzioni definite e continue nell'intorno I di un unto 0 (escluso al iuá 0 ) e soddisfano le seguenti iotesi: ± f 0 ˆ g 0 ˆ 0 ± f e g sono derivabili in I escluso al iuá 0

13 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 9 ± g 0 non si annulla mai in I escluso al iuá 0 ± esiste lim! 0 f 0 g 0 allora esiste anche lim! 0 f g ed eá lim! 0 f g ˆ lim! 0 f 0 g 0. Secondo teorema di de L'HoÃital. Se f e g sono due funzioni definite e continue nell'intorno I di un unto 0 (escluso al iuá 0 ) e soddisfano le seguenti iotesi: ± lim! 0 f ˆ lim! 0 g ˆ ± f e g sono derivabili in I escluso al iuá 0 ± g 0 non si annulla mai in I escluso al iuá 0 ± esiste lim! 0 f 0 g 0 allora esiste anche lim! 0 f g ed eá lim! 0 f g ˆ lim! 0 f 0 g 0. In ratica questi due teoremi affermano che, nelle iotesi indicate, se un limite si resenta nella forma indeterminata 0 0 oure allora si uoá calcolare, a condizione che esista, il limite del raorto delle derivate delle due funzioni che si trovano al numeratore e al denominatore. Per esemio: lim! ln ˆ lim! ˆ lim! ˆ 0 H Ricordiamo che gli zeri di una funzione f sono i valori di er i quali risulta f ˆ 0; dal unto di vista geometrico essi raresentano le ascisse dei unti di intersezione del grafico di f con l'asse. L'esistenza e l'unicitaá degli zeri di una funzione in un certo intervallo sono garantiti dai seguenti teoremi. Teorema (di esistenza). Se una funzione f eá continua in un intervallo chiuso e limitato a, bš ese f a e f b sono di segno oosto, allora esiste almeno un unto c a, b er il quale f ˆ c 0. Teorema (di unicitaá). Se f ammette uno zero c nell'intervallo a, bš e: ± se f eá derivabile in a, b esef 0 non si annulla mai in in tale intervallo, allora c eá il solo zero in a, bš ± se f eá derivabile due volte in a, b esef 00 non si annulla mai in tale intervallo, allora c eá il solo zero in a, bš. H Un altro roblema di grande interesse eá quello che riguarda l'arossimazione di una funzione f nell'intorno di un suo unto 0. Questo roblema uoá essere risolto in rima arossimazione con il calcolo del differenziale di f,mauoá essere affrontato con una recisione maggiore costruendo dei olinomi di grado n, detti olinomi di Taylor, che si ottengono con la formula: P n ˆ f 0 f 0 0! 0 f f 000 0!! 0 ::::::: f n 0 n! 0 n

14 50 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA ESERCIZI SUI TEOREMI DI ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le iotesi del teorema di Rolle nell'intervallo indicato e, in caso affermativo, calcola le ascisse dei unti che ne soddisfano la tesi. f ˆ, f ˆ f ˆ jj f ˆ ( 5 f ˆ < log 6 f ˆ 7 f ˆ 8 >< < 0 ln 0 < >: ln 8 >< < log >: > Š ˆ 7 0, Š ˆ Š, Š non derivabile in ˆ 0Š 0, Š f 0 6ˆ f, non derivabile in ˆ Š, Š f 6ˆ f, Š non derivabile in ˆ Š 8 Data la funzione di equazione y ˆ sin a sin, verifica che il teorema di Rolle eá alicabile nell'intervallo 0, Š er qualunque valore reale di a. Determina oi er quali valori del arametro a esiste un solo c che soddisfa il teorema nell'intervallo dato e calcolane il valore. h a 0 _ a > ; c ˆ i 9 Determina i valori dei arametri reali a e b in modo che alla funzione 8 >< 0 f ˆ a b 0 < < >: si ossa alicare il teorema di Rolle nell'intervallo in cui essa eá definita; trova oi le ascisse dei unti che soddisfano il teorema. a ˆ 0, b ˆ ; ˆ 0, ˆ Š 0 Determina i valori dei arametri reali a, b, c in modo che alla funzione ( f ˆ a b c 0 < si ossa alicare il teorema di Rolle nell'intervallo in cui essa eá definita; trova oi le ascisse dei unti la cui esistenza eá assicurata dal teorema. a ˆ 7 50, b ˆ 9, c ˆ ; ˆ 5 0

15 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 5 Stabilisci er quali valori del arametro reale a la funzione f ˆln ja cos j eá continua; osto oi a ˆ, determina un intervallo nel quale sia alicabile il teorema di Rolle. h h continua er a < _ a > ; un ossibile intervallo, ii j Stabilisci se alla funzione f ˆ 9 j uoá essere alicato il teorema di Lagrange nell'intervallo 0, Š e, in caso affermativo, trova le ascisse dei unti che ne soddisfano la tesi. 6 la funzione non e derivabile in ˆ Š Doo aver determinato er quali valori reali dei arametri a e b eá alicabile il teorema di Lagrange alla funzione 8 < a f ˆ : b > nell'intervallo 0, Š, determina l'ascissa del unto che ne soddisfa la tesi. a ˆ ^ b ˆ ; ˆ 8 Doo aver determinato er quali valori reali dei arametri a e b eá alicabile il teorema di Lagrange alla funzione 8 >< 0 f ˆ >: a b < nell'intervallo 0, Š, determina l'ascissa del unto che ne soddisfa la tesi. a ˆ 0 7, b ˆ 7 ; ˆ Data la funzione di equazione f ˆ 0, determina il valore del arametro a in modo che sia alicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo 0, Š; calcola oi i va- a a < lori di dei quali il teorema garantisce l'esistenza. 0 a ˆ ; ˆ 6 6 Stabilisci er quali valori dei arametri a e b si uoá alicare il teorema di Lagrange alla funzione f ˆ 8 >< sin 0 a a nell'intervallo, Š. a ˆ 5 >: a b < 0 6, b ˆ 6 7 Data la funzione f ˆ a 0 dove a, b, c sono tre arametri reali, stabilisci b c > 0 er quali valori di tali arametri essa soddisfa nell'intervallo, Š : a. il teorema di Rolle e determina oi in tale caso le ascisse dei unti che soddisfano la tesi del teorema a ˆ, b ˆ, c ˆ 6 ; ˆ 8 b. il teorema di Lagrange in modo che il unto che ne soddisfa la tesi abbia ascissa 8. 8a, b ˆ a, c ˆ a

16 5 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 8 Considera l'arco di arabola di equazione y ˆ a b c che ha come estremi i unti di ascissa e con <. Dimostra che il unto dell'arco che verifica il teorema di Lagrange nell'intervallo, Š ha ascissa ˆ. 9 Stabilisci se eá ossibile alicare il teorema di Cauchy alle funzioni f ˆ e e g ˆ nell'intervallo, 0Š e, in caso affermativo, trova i valori di dei quali il teorema garantisce l'esistenza. " r # ˆ ln e 0 Considerate le funzioni f ˆ j 5j e y ˆ determina in quale intervallo della forma a, 7Š uoá essere alicato il teorema di Cauchy. 5 a < 7 Date le funzioni f ˆ a sin cos e g ˆ sin, determina il valore del arametro reale a in modo che esse soddisfino il teorema di Cauchy nell'intervallo 0, h i e nel unto ˆ. a ˆ Š SUI TEOREMI DI DE L'HOÃ PITAL Calcola i seguenti limiti alicando quando eá ossibile i teoremi di de L'HoÃital. lim tan sin 0Š! (Suggerimento: trasforma la forma di indeterminazione 0 nella forma 0 scrivendo la funzione come 0 sin ) tan lim e! 0 : ;! 0 : 0Š!0 lim cos cotan 0Š!0 5 lim! sin Š 6 lim!0 ln 7 lim! ln 8 lim! ln 0Š Š Š 9 lim! 9 Š (Suggerimento: tenendo resente che f g ˆ e g e ln 9 e calcola lim ln 9 )! 0 lim!0 e lim ln! ln f, trasforma la funzione nella forma Š Š

17 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 5 lim e!0 lim!0 lim! 5 lim! 6 lim! 7 lim! 5 ln 5 Š 5 5 e Š eš e Š Š Š 8 lim! 9 lim! Š e Š 0 lim ln!0 lim! Š lim cos tan e Š! lim sin Š!0 lim!0 cos 5 lim! cos 6 lim!0 ln 7 lim!0 log Š e e Š Š h i 8 lim sin! 9 ln lim! 50 lim!0 ln 5 lim ln 5 Š Š! sin cos 5 lim! 6 5 lim! 5 lim! Š Š Š Š e 6 ln Š Š

18 5 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 55 lim cos sin tan e! 56 lim sin ln!0 57 lim!0 sin 58 lim cos!0 e 59 lim sin cos!0 60 lim! e 6 lim sin e!0 6Š 6 lim arctan!0 Š 6 lim ln! Š Š Š Š Š PROBLEMI 6 Date le funzioni f ˆ e g ˆ, determina un h R eunc, h in modo che sia f 0 ˆ c g 0. c (Suggerimento: alica il Teorema di Cauchy all'intervallo, hš) h ˆ 5, c ˆ 65 Di un triangolo ABC si conoscono le lunghezze di due lati consecutivi, AB ˆ 5m e BC ˆ m. Esrimi l'area del triangolo in funzione dell'angolo comreso fra i due lati e stabilisci er quali valori di l'area assume valori crescenti. h 0 < < i 66 Calcola il valore di lim! e al variare di in R. < : ; ˆ : e; > : Š 67 Per ognuna delle seguenti funzioni stabilisci se si uoá calcolarne il limite er! e siega se il calcolo uoá essere effettuato ricorrendo al teorema di de L'Hoà ital: a. f ˆ tan tan b. f ˆ sin cos il limite non esisteš ; noš c. f ˆ sin cos sin ; noš 68 Servendoti del teorema di Rolle dimostra che la funzione f ˆ e ammette una sola soluzione nell'intervallo, Š. (Suggerimento: verificato che esiste almeno una soluzione, suoni er assurdo che ne esistano due distinte e ; oicheâ f ˆ f ˆ 0, deve esistere almeno un unto c, in cui la derivata rima della funzione si annulla. Poiche tale unto non esiste...) 69 Servendoti del teorema di Rolle, dimostra che la funzione f ˆ 5 ha quattro unti nei quali la retta tangente eá arallela all'asse delle ascisse.

19 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Dimostra che la funzione y ˆ arctan arctan eá costante e determina il valore di tale costante sia er > 0 che er < 0. h > 0 : ; < 0 : i 7 Determina er quali valori del arametro reale k la funzione f ˆ k eá crescente in ˆ. k 6 6 < k < Considerata la funzione di equazione y ˆ a a a, stabilisci er quali valori del arametro reale a essa eá decrescente 8 R. Esistono dei valori di a er i quali la funzione eá semre crescente? a ;no 7 Studia la crescenza e la decrescenza della funzione f ˆ k al variare di k in R. k > 0 : cresce er < < ; k ˆ 0 : funzione costante y ˆ 0; k < 0 : cresce er < _ > Š 7 Determina quali condizioni devono soddisfare i arametri reali a e b affincheâ la funzione a f ˆ assi er il unto P 0, b e sia decrescente in tale unto. In tali condizioni, osto b ˆ, studia la crescenza e la decrescenza della funzione f. " a ˆ b ^ b < 0 _ b > ; D :, [ # 6,, semre decrescente 75 Verifica che la funzione f ˆ eá simmetrica risetto al suo unto di ascissa e ammette tre zeri; determina quindi gli intervalli di amiezza massima a cui aartiene ciascuna soluzione., 0, 0,, c 7, 9 76 Verifica che la funzione f ˆ e ammette uno zero nell'intervallo, Š e stabiliscine l'unicitaá. 77 Considerata la funzione f ˆ ln, verifica che ammette un solo zero nell'intervallo, Š e che non ne ammette altri. 78 Verifica che la funzione f ˆ 5 ln si annulla in un solo unto che aartiene all'intervallo, 5Š. 79 Un unto ercorre una retta con velocitaá v ˆ t t t. In quale intervallo di temo la velocitaá aumenta? < t < 80 Un coro si muove secondo la legge oraria s ˆ t t. Determina in quali intervalli di temo la velocitaá aumenta ed in quali diminuisce. aumenta se t >, diminuisce se 0 < t < 8 La velocitaá di un coro varia secondo la legge v t ˆt ln t t. Indica in quali intervalli di temo il coro accelera e in quali decelera. 0 < t < : decelera; t > : acceleraš 8 < 5 0 t 8 La velocitaá di un unto materiale varia secondo la legge v t ˆ t < t <. : t 6t t 0 Traccia il grafico della funzione velocitaá e descrivi il moto del coro in funzione di t secificando

20 56 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA gli intervalli di temo in cui il coro accelera o decelera; trova oi in quale istante raggiunge la massima velocitaá e quando la velocitaá eá nulla. v ma in t ˆ ; v nulla in t ˆ 7 SUI POLINOMI DI TAYLOR Determina il olinomio di Taylor di ordine n che arossima la funzione f nel unto 0 indicato. 8 f ˆ n ˆ 0 ˆ 0 P ˆ 8 f ˆ e n ˆ 0 ˆ P ˆ e 85 f ˆ ln n ˆ 0 ˆ P ˆ ln f ˆ e ln n ˆ 0 ˆ P ˆ e f ˆ cos n ˆ 5 0 ˆ 0 P 5 ˆ 5 88 f ˆ cos n ˆ 0 ˆ 0 P ˆ Calcola un valore arossimato di e 0, e valuta l'errore usando il resto di Lagrange. (Suggerimento: scritto lo sviluo della funzione e con n ˆ e 0 ˆ 0, sostituisci il valore 0, f n nel olinomio ottenuto; l'errore eá dato dall'esressione n! n che in questo caso eá uguale a e! ; oicheâ in un intorno sinistro dello zero la funzione e eá minore di, si uoá dire che l'errore eá minore di, cioeá...) 0,7088, E < 0,00088! Š 90 Calcola un valore arossimato di sin 0, e dai una stima dell'errore commesso. 0,9866, E < Š 9 Calcola un valore arossimato di cos 0, e dai una stima dell'errore commesso. 0,95575, E < 0 5 Š 9 Calcola un valore arossimato di ln,0 e dai una stima dell'errore commesso. 0, , E < 0 0 Risultati di alcuni esercizi. 8.

21 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 57 AREA : IL CALCOLO DIFFERENZIALE PUNTI ESTREMANTI E PUNTI DI INFLESSIONE Per ricordare H Considerata una funzione f definita in un intervallo a, bš: un unto 0 a, bš eá un unto di minimo relativo er f se f 0 eá il valore iuá iccolo che la funzione assume in un intorno di tale unto, cioeá se esiste un intorno di 0 er tutti i unti del quale f f 0 ; in questo caso f 0 eá il minimo relativo della funzione un unto 0 a, bš eá un unto di massimo relativo er f se f 0 eá il valore iuá grande che la funzione assume in un intorno di tale unto, cioeá se esiste un intorno di 0 er tutti i unti del quale f f 0 ; in questo caso f 0 eá il massimo relativo della funzione. H Per determinare i unti di massimo e di minimo relativi di una funzione continua e derivabile basta studiare il segno della derivata rima in modo da stabilire quando la funzione cresce, quando decresce e quali sono i unti stazionari; dalla tabella dei segni risultano in questo modo evidenti i unti estremanti. Se la funzione eá continua ma non eá derivabile in un unto 0,eÁ necessario studiare il suo comortamento in un intorno di tale unto: se la derivata rima ha un segno nell'intorno sinistro e segno oosto nell'intorno destro, allora 0 eá un unto estremante. Se la funzione non eá continua in un unto 0 si ossono resentare situazioni simili a quelle nella figura in basso; lo studio del segno della derivata rima non eá in questi casi decisivo er l'individuazione dei unti estremanti ed occorre alicare la definizione.

22 58 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA H I unti di massimo o di minimo assoluti di una funzione f in un intervallo a, bš sono i unti in cui la funzione assume il valore iuá grande o il valore iuá iccolo risetto a tutti gli altri unti dell'intervallo; essi, se esistono, vanno ricercati fra i massimi o i minimi relativi, oure fra i valori assunti dalla funzione negli estremi dell'intervallo considerato. H La derivata seconda di una funzione raresenta la concavitaá della curva: se eá negativa la concavitaá eá rivolta verso il basso, se eá ositiva eá rivolta verso l'alto. Essa ci consente oi di trovare i unti di flesso della funzione. In articolare, er individuarli si deve: trovare i unti che annullano la derivata seconda o quelli in cui essa non esiste studiare il segno della derivata seconda dedurre dalla tabella ottenuta quali unti raresentano dei flessi. H Per trovare i unti di massimo e di minimo relativo e i unti di flesso di una funzione f, in alternativa ai metodi recedenti e se esistono le derivate successive di f fino a quella di ordine n, si uoá seguire questa rocedura: si cercano i unti 0 che annullano la derivata rima e si calcolano le derivate successive in 0 fino a che se ne trova una che eá diversa da zero; se questa eá di ordine n, allora: ± se n eá ari e f n 0 > 0! 0 eá un unto di minimo ± se n eá ari e f n 0 < 0! 0 eá un unto di massimo ± se n eá disari! 0 eá un unto di flesso a tangente orizzontale si cercano i unti 0 che annullano la derivata seconda e si calcolano le derivate successive in 0 fino a che se ne trova una che eá diversa da zero; se questa eá di ordine n, allora: ± se n eá disari! 0 eá un unto di flesso ± se n eá ari e f n 0 > 0! in 0 la funzione eá concava verso l'alto ± se n eá ari e f n 0 < 0! in 0 la funzione eá concava verso il basso. ESERCIZI Trova i unti di massimo e di minimo relativi delle seguenti funzioni. f ˆ q f ˆ m, 0, cusideš M 5, 0 ; m,, m, 6 f ˆ j 5j m 5, 0 Š f ˆ e 5 f ˆ sin cos M 6 f ˆ 7 9 m ln, ln Š k, ; m k, M 9 0 0, 6 0 7

23 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 59 7 f ˆ ln m, 0 ; Me,8e 8 f ˆ 7ln e M, 6 e 9 5 f ˆ 5 m, ; M, 0 f ˆ q h M, ; m 0, i, m, entrambi cusidi f ˆ e ne massimi ne minimiš f ˆ M, 0 Š f ˆ m, Š q f ˆ M, 0 ; m, 0 entrambi cusidiš 5 f ˆ h M i, ; M, ; m, 0 ; m, 0 ; m 0, 0, cuside 6 f ˆ M 5, 6 0, m, 0, m 0, f ˆ " r M, ; m,!# 9 8 f ˆ ln M 8, 8ln ln 9 f ˆ e 0 f ˆ e cos f ˆ arccos M,, m, e e in 0, M 0, e, m, m, ; M 0, 0 Determina il minimo e il massimo assoluti delle funzioni date negli intervalli indicati. y ˆ in 0, Š 6 9 ;56 y ˆ sin cos in 0, Š ; y ˆ in 0, Š 0; 5 y ˆ in, Š ; 6 y ˆ 9 in 5, 7 6 ;

24 60 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 7 y ˆ in, Š ; 8 y ˆ cos in 0, Š ; Š 9 y ˆ sin cos in 0, Š 0; Studia la concavitaá e trova i unti di flesso delle seguenti funzioni. 0 f ˆ 6 6 concavita verso l'alto: < _ > ; F 6, ; F 9, y ˆ 5 concavita verso l'alto: 0 < < 5 ; F 0, ; F 5, y ˆ concavita verso l'alto: > 0; F 0, 0 Š y ˆ concavita verso l'alto: < _ > ; non esistono flessiš y ˆ concavita verso l'alto: < _ > ; F, f ˆ concavita verso l'alto: < < ; F, ; F, 6 y ˆ concavita verso l'alto: > 6 08 ; F 6, 7 f ˆ ln h concavita verso l'alto: 0 < < ; F 0, 0 ; F i,ln 8 f ˆ sin concavita verso l'alto: k < < k; unti di flesso in ˆ kš 9 y ˆ e concavita verso l'alto 8 DŠ 0 f ˆ e concavita verso l'alto: < _ > ; F, e 7 ; F, e 7 f ˆ e ln 6 concavita verso l'alto: > ; F 6, 6 e e f ˆ ln concavita verso l'alto: > ; F, 0 Š y ˆ ln sin concavita semre verso il basso in k, k ; non esistono flessiš f ˆ arcsin 6 5 f ˆ arctan concavita semre verso il basso, non ci sono flessiš concavita verso l'alto: > ; F, h 6 f ˆ arccos concavita verso l'alto: 0 < < ; F 0, i

25 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 6 Determina le coordinate degli eventuali unti di flesso delle seguenti funzioni e scrivi l'equazione della tangente inflessionale. 7 y ˆ F,,y 5 ˆ 0; F, 5, 5 5y 7 5 ˆ 0 8 y ˆ 8 F, 0 ;6 y ˆ 0Š " 9 y ˆ 5 F 5 5, 5 ; 6 5 5y 55 5 ˆ 0; F, ;5 # 6 8y 7 6 ˆ 0 PROBLEMI 50 Stabilisci er quali valori del arametro reale k, la funzione y ˆ k ha unti estremanti. k < 0 _ k > 6 5 Stabilisci er quali valori dei arametri reali a e b la funzione f ˆ ln a b resenta un massimo relativo nel unto A, 0. a ˆ, b ˆ Š 5 Data la funzione f ˆ a, verifica che ammette tre flessi er qualunque valore non nullo del arametro reale a e che tali flessi aartengono ad una stessa retta di cui si chiede l'equazione. F 0, 0 ; F,, a ; y ˆ a 5 Della funzione f di equazione y ˆ a b c d si sa che ha un minimo nel unto A, e un unto di flesso di ascissa. Qual eá l'equazione di queste curve? y ˆ a a 9a 5a, affinche ina ci sia un minimo deve essere a < 0 5 Determina er quali valori del arametro reale k la funzione di equazione y ˆ e k ammette due estremi relativi distinti. Per tali valori di k, scrivi oi l'equazione del luogo geometrico descritto dal unto di massimo. h i k > 0; y ˆ e 55 Studia e raresenta il luogo dei unti descritto dal unto estremante della funzione di equazione y ˆ k k k. y ˆ 56 Stabilisci er quali valori dei arametri reali a e b la funzione f ˆ a b resenta un flesso nel unto P,. In corrisondenza di tali valori trova oi i unti estremanti della funzione. a ˆ, b ˆ ; unto di massimo in 0,68 57 Determina i valori dei arametri reali a e b in modo che la funzione di equazione y ˆ ln a b abbia un estremo relativo nel unto di ascissa ˆ e un flesso in ˆ. Determina oi l'ulteriore unto di flesso. a ˆ, b ˆ 5; P, ln Š 58 Determina il valore dei arametri reali della funzione f ˆ a b in modo che la curva da essa raresentata abbia un massimo relativo uguale a zero e intersechi l'asse nel unto di ascissa. a ˆ, b ˆ

26 6 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 59 Studia la natura dei unti stazionari della famiglia di funzioni y ˆ 8ke 8k e k al variare del arametro reale k 6ˆ 0. Determina oi l'equazione del luogo descritto da tali unti. unti stazionari (flessi) solo er k < 0; equazione del luogo: y ˆ e 60 Stabilisci se esiste un legame fra i unti estremanti delle funzioni f e e f ; esiste lo stesso legame anche er i unti di flesso? 6 Calcola i massimi, i minimi e gli zeri delle funzioni f ˆ e g ˆ j j. Prendendo sunto da queste due funzioni, descrivi la relazione che esiste in generale tra i unti estremanti delle funzioni f e f. 6 Studia i unti di massimo e minimo, assoluti e relativi, della funzione y ˆ jj nell'intervallo, Š. massimo relativo in ˆ, ˆ 0 (unto angoloso); massimo assoluto in ˆ ; minimo relativo in ˆ 5, minimo assoluto in ˆ 5 6 Studia i unti stazionari della funzione y ˆ sin. infiniti flessi nei unti di ascissa ˆ k, k R 6 Dimostra che qualunque cubica di equazione y ˆ a b c d eá simmetrica risetto al unto di flesso e che, di conseguenza, gli eventuali unti di massimo e di minimo relativi sono simmetrici risetto a tale unto. PROBLEMI DI MASSIMO E DI MINIMO ASSOLUTO 65 Preso un unto P suun segmento AB di lunghezza `, costruisci la semicirconferenza di diametro PB ed il triangolo equilatero APC di lato AP nello stesso semiiano definito dalla retta AB; determina la osizione di P in modo che sia minima l'area della figura ottenuta. Successivamente traccia da C la retta tangente in Q alla semicirconferenza e determina come deve essere scelto il unto P in modo che sia massima l'area del triangolo QOC, essendo O il centro della semicirconferenza. osto BP ˆ, area minima er ˆ ` 9 7 ; area QOC massima er ˆ ` 8 66 Suuna semicirconferenza di diametro AB ˆ r rendi un unto P e un unto Q tali che siano congruenti gli archi PQ e BQ. Determina la osizione del unto P in modo che sia massimo il h erimetro del quadrilatero ABQP. PAB d ˆ i 67 Una circonferenza eá concentrica ad una seconda circonferenza 0 di raggio unitario ed eá ad essa interna. Da un unto R di 0 conduci le rette tangenti alla circonferenza che la incontrano in P e Q. Determina la misura del raggio r di in modo che il triangolo PQR abbia area massima. Valuta oi il erimetro di questo triangolo e verifica che ad esso corrisonde anche il massimo erimetro. r ˆ 68 E' dato il triangolo ABC rettangolo in A con ABC d ˆ e BC ˆ a. Determina un unto P sul lato AC in modo che sia massima l'area del traezio rettangolo BHPK, dove H eá la roiezione di P sull'iotenusa BC e K eá il unto in cui la arallela er P al lato BC interseca AB. PC ˆ a 7 69 Data la semicirconferenza di diametro AB ˆ r e centro O, sia CD una corda arallela al diametro e sia E il unto medio dell'arco AB; indicate con H e K le roiezioni dei unti C e D sul diametro, determina la osizione di CD in modo che l'area del entagono CEDKH sia massima. osto CH ˆ, area massima in ˆ r

27 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE 6 70 Sia XOY un angolo retto di vertice O; considerati i unti A e B sul lato OX in modo che sia OA ˆ a e OB ˆ b, con a < b, sia P un unto del lato OY. Posto OP ˆ, er quale valore di risulta massima l'amiezza dell'angolo APB? d ˆ ab 7 Verifica che fra tutti i traezi isosceli di erimetro dato e di base maggiore data a, quello che ha area maggiore eá il rettangolo. 7 Per il vertice A di un triangolo equilatero di lato ` conduci una retta r che non interseca il triangolo e siano B 0 e C 0 le roiezioni di B e C su r; Posto Bd 0 AB ˆ, determina il valore di in modo che l'area del quadrilatero BCC 0 B 0 h sia massima. ˆ i 7 Fra i traezi inscritti in una semicirconferenza di raggio r, determina quello er il quale eá massima la somma di un lato obliquo con il doio di una diagonale. In corrisondenza di tale valore, calcola il erimetro e l'area del traezio. indicato con l'angolo alla base del traezio, ˆ arctan ; ˆ 5 r 5 ; area ˆ 5 r 7 Sia ABC un triangolo isoscele di base AB con gli angoli alla base di amiezza 6 e lati obliqui AC ˆ CB ˆ. Indicato con M il unto medio della base, determina come deve essere tracciata una corda PQ arallela ad AB in modo che sia massimo il raorto A A, essendo A l'area A A del triangolo PMQ, A l'area del triangolo PCQ e A l'area del triangolo APM. PC ˆ 75 Dimostra che fra i oligoni regolari aventi lo stesso erimetro : a. l'area cresce al crescere del numero dei lati; b. considerati i oligoni regolari che si ossono usare er la tassellatura di un iano, l'esagono eá quello di area massima. 76 Sia P un unto di una semicirconferenza di diametro AB ˆ r e centro O; determina la osizione di P in modo che il solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo AOP di una rotazione comleta attorno alla retta del diametro abbia volume massimo. PAO d ˆ i h 77 Un cono ha come base una circonferenza di centro O e raggio r e altezza h; stabilisci la osizione che deve assumere un iano arallelo alla base se si vuole che il cono che ha er base la sezione ottenuta e er vertice il unto O abbia volume massimo. distanza fra le due basi h 78 Si taglia una sfera di raggio unitario con due iani aralleli situati dalla stessa arte risetto al centro O e distanti risettivamente e da O; calcola il valore di in modo che il segmento sferico delimitato da questi due iani abbia volume massimo. 7 ˆ 7 79 Nel triangolo ABC rettangolo in B la somma dei cateti eá `. Sia V il volume del solido che si ottiene facendo ruotare ABC di una rotazione comleta attorno ad una retta r assante er A e arallela a BC. Esrimi V in funzione della lunghezza dei cateti determinando, in articolare, il suo valore massimo e er quale lunghezza dei cateti si ottiene. osto AB ˆ, V ma ˆ 8 ` er ˆ 8 ` 80 Sia M il unto medio del lato AB ˆ ` del triangolo equilatero ABC; reso un unto D nel lato AC, esrimi in funzione di AD ˆ : a. il erimetro del triangolo DMB b. la somma dei quadrati di MD e BD. Determina er quali valori di le due funzioni ottenute sono minime. a: ˆ `; b: ˆ 8 `

28 6 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 8 Sull'arco della arabola di equazione y ˆ che aartiene al rimo quadrante, determina un unto P in modo che sia massimo il volume del solido che si ottiene da una rotazione comleta del segmento PO intorno all'asse delle ascisse. P 6 5, 5 8 In un iano cartesiano ortogonale sono date la arabole P e P entrambe tangenti nell'origine O alla retta y ˆ e assanti la rima er A, 0, la seconda er B, 0. Conduci er O una retta r che tagli ulteriormente P e P risettivamente nei unti M einnsituati nel terzo quadrante; determina l'equazione di r in modo sia massima l'area del quadrilatero MNM 0 N 0, essendo M 0 e N 0 le roiezioni di M e N sull'asse delle ascisse. y ˆ 8 Una retta r arallela all'asse delle ascisse taglia l'ellisse di equazione 9 y ˆ nei unti A e B; indicati con C e D i vertici dell'ellisse aartenenti all'asse, determina l'equazione di rin modo che il traezio ABCD abbia area massima. y ˆ 8 Scrivi l'equazione della arabola :y ˆ a b c avente vertice nel unto V, e assante er l'origine O degli assi cartesiani; fra le rette er O che intersecano la arabola in un unto P del rimo quadrante, determina: a. quella er la quale eá massima l'area del quadrilatero convesso avente i vertici nei unti O, V, P, A essendo A l'ulteriore unto di intersezione di con l'asse delle ascisse b. indicata con H la roiezione di P sull'asse y, quella er la quale eá massimo il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo OPH di una rotazione comleta attorno all'asse y. Verifica che i due massimi si ottengono in corrisondenza della stessa retta. a: y ˆ ; b: y ˆ 85 Considerate le rette r : y ˆ e s : y ˆ che si intersecano in A, sia t la retta er l'origine degli assi cartesiani il cui coefficiente angolare m eá comreso fra 0 e. Indicato con P il unto di intersezione di r e t e con Q quello di intersezione di s e t, determina er quale valore di m si ha che il rodotto AQ AP eá minimo. m ˆ Š 86 Sia P un unto di ascissa ositiva dell'ierbole equilatera y ˆ e sia P0 il suo simmetrico risetto all'origine degli assi; detto A il unto in cui la retta er P tangente all'ierbole incontra l'asse, determina le coordinate di P in modo che sia minima l'esressione AP PP 0. Esiste un unto P er il quale tale esressione eá massima? minimo in P, ; non esiste valore massimoš 87 Scrivi l'equazione della arabola con asse arallelo all'asse y che assa er l'origine e ha vertice nel unto V, ; detti A e B i suoi unti di intersezione con le rette ˆ eˆ6, determina un unto P sull'arco AB di arabola in modo che la distanza di P dalla retta AB sia massima. In corrisondenza di un tale P, che cosa uoi dire dell'area del triangolo ABP? P 5, 5 88 Data la circonferenza di centro C, 0 e assante er l'origine, siano B la sua ulteriore intersezione con l'asse delle ascisse e P un unto dell'arco OB di ordinata ositiva; la retta tangente in P alla circonferenza interseca l'asse y in H. Costruisci la funzione che esrime il raorto fra l'area del quadrilatero OBPH e l'area del quadrato di lato OH e verifica che il minimo si ottiene in corrisondenza di una delle osizioni limite del unto P. minimo er P BŠ 89 Sia P un unto aartenente alla bisettrice del rimo e terzo quadrante. Traccia la erendicolare alla bisettrice assante er P e siano M ed N i unti di intersezione di tale retta con la arabola di equazione y ˆ (con N interno al segmento PM). Determina le coordinate di P in modo tale che sia minima la lunghezza del segmento PN. P 7 8, 7 8

29 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Sono date la arabola di equazione y ˆ a e l'ierbole equilatera di equazione y ˆ b; determina i valori dei arametri a e b in modo che le due curve si intersechino nel unto A,. Verifica inoltre che esse si intersecano in un ulteriore unto B e che in tale unto sono tangenti. Una retta r arallela alla corda AB interseca la arabola nei unti M e N, l'ierbole nei unti P e Q. Esrimi, in funzione dell'ordinata all'origine q della retta r le misure dei segmenti MN e PQ e determina er quale valore di q il raorto MN eá massimo. PQ MN ˆ 5 q ; PQ ˆ q 5 q ; massimo in q ˆ 57 9 Date le due curve di equazioni y ˆ 6 e ˆ y, sia A il loro unto di intersezione che aartiene al rimo quadrante; le rette tangenti in A alle due curve intersecano l'asse nei unti P e Q. Una retta r arallela a PQ interseca i lati del triangolo APQ nei unti R e S; determina l'equazione di r in modo che il triangolo PRS abbia area massima. y ˆ

30 66 AREA - IL CALCOLO DIFFERENZIALE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA : IL CALCOLO DIFFERENZIALE LO STUDIO DI FUNZIONE Per ricordare H Per studiare in modo comleto una funzione f si deve: determinare il suo dominio stabilirne le eventuali eriodicitaá e simmetrie studiare il comortamento agli estremi degli intervalli del dominio e trovare gli eventuali asintoti studiare il segno della funzione e determinare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani trovare i unti di massimo e di minimo e studiare la crescenza e la decrescenza trovare i unti di flesso e studiare la concavitaá. Occorre oi tenere resente che: tutte le equazioni e le disequazioni che si devono affrontare er gli studi dei segni della funzione e delle sue derivate devono essere risolte nell'ambito del dominio della funzione stessa conviene semre evidenziare le eventuali eriodicitaá, ercheâ in questo caso eá ossibile studiare la funzione in un ambito iuá ristretto, e le simmetrie risetto all'asse y o risetto all'origine, ercheâ in questo caso si uoá studiare la funzione solo er > 0 (o er < 0) il terzo e il quarto unto del recedente elenco ossono anche essere invertiti, vale a dire che eá indifferente studiare rima il comortamento della funzione agli estremi del dominio e oi il segno della funzione o viceversa a volte lo studio della derivata seconda eá molto imegnativo e comorta calcoli laboriosi o confronti grafici non semre immediati; in questi casi, qualora il comortamento della funzione fosse giaá chiaro dallo studio della derivata rima, si uoá omettere l'analisi della derivata seconda da ultimo ricordiamo che l'individuazione delle coordinate di qualche unto eá sesso utile er costruire meglio il grafico della funzione e che a volte eá oortuno usare un sistema dimetrico er evidenziarne le caratteristiche. H Tracciato il grafico C di una funzione f, da esso si ossono dedurre quelli di: y ˆ f mediante una simmetria risetto all'asse delle arti negative di C y ˆ f mediante una simmetria risetto all'asse y ˆ f k mediante una traslazione di vettore ~v 0, k y ˆ f h mediante una traslazione di vettore ~v h, 0 y ˆ f jj mediante una simmetria risetto all'asse y della sola arte di C che aartiene al semiasse ositivo delle ascisse