EVOLUZIONE NEL TEMPO DI SISTEMI DINAMICI

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1 CONTROLLI AUTOMATICI LS Ingegneria Informatica EVOLUZIONE NEL TEMPO DI SISTEMI DINAMICI Prof. Claudio Melchiorri DEIS-Università di Bologna Tel

2 Sommario Calcolo della evoluzione nel tempo dello stato x(t) di un sistema dinamico 2 u ingresso Σ x stato y uscita 1) Caso generale non lineare 2) Caso lineare non stazionario 3) Caso lineare stazionario

3 Sistemi a stato vettore 3 Considereremo ora sistemi dinamici in forma ingresso-statouscita, ove x, y, z sono opportuni segnali appartenenti a spazi vettoriali u ingresso Σ x stato y uscita Si hanno dunque: 1. Sistemi monovariabili o SISO (Single-Input Single-Output) se p = q = 1 2. Sistemi multivariabili o MIMO (Multi-Input Multi-Output) se p > 1, q > 1

4 Sistemi a stato vettore 4 Modello matematico Lineare Stazionario Non Stazionario Con A(t), B(t), C(t), D(t) continue a tratti Non lineare Stazionario Non Stazionario

5 Sistemi a stato vettore Un sistema lineare stazionario (caso particolare) è rappresentato: nel caso MIMO da 4 matrici (A, B, C, D) nel caso SISO da (A, b, c, d). 5 B D x(0) u f x + y C + u : ingresso; y : uscita; f : azione forzante; x : stato A : matrice del sistema B : matrice di distribuzione degli ingressi C : matrice di distribuzione delle uscite D : matrice del legame algebrico ingresso/uscita

6 Sistemi a stato vettore Problema: definire (calcolare) l evoluzione dello stato x(t) a partire da date condizioni iniziali x 0 e assegnato un certo ingresso u(.) 6 u t 1 t 2 t 3 t t traiettoria x(t) Insieme delle velocità ammissibili x(0) Spazio degli stati

7 Esempio Robot a 2 gradi di libertà θ 1 θ 2 θ i : variabile di giunto τ i : coppia applicata al giunto m i : massa del braccio a i : lunghezza braccio a ci : posizione baricentro I i : momento di inerzia g: accelerazione gravità S i, C i : sin(θ i ), cos(θ i ) 7 Date le coppie τ 1 e τ 2, determinare gli andamenti di θ 1 e θ 2!!! Problema non semplice Del tipo

8 Sistemi non lineari 8 Teorema. L equazione differenziale ammette una unica soluzione x(t) se 1. La funzione f(x, ) è continua a tratti x R n, t t 0 2. Per ogni t t 0 che non sia punto di discontinuità di f(x, ) e per ogni coppia di vettori x 1, x 2 valga la condizione di Lipschitz Dimostrazione. Basata sulla successione di funzioni convergenti alla soluzione (successione di Peano-Picard) Corollario: La soluzione x(t) è una funzione continua

9 Sistemi non lineari 9 Rimane il problema del calcolo della soluzione della eq. differenziale Metodi numerici Metodi analitici Calcolo numerico dell integrale di una funzione data per campioni f(t 0 ), f(t 1 ),, f(t n ) Metodo dei rettangoli f Metodo dei trapezi (interpolazione lineare nei periodi elementari) f t t

10 Sistemi non lineari 10 Regola di Simpson (interpolazione quadratica nei periodi elementari) (n pari => num. campioni dispari) Funzione h: 0.5 Metodo rettangoli: Metodo trapezi: Metodo Simpson: h: 0.25 Metodo rettangoli: Metodo trapezi: Metodo Simpson: h: 0.1 Metodo rettangoli: Metodo trapezi: Metodo Simpson: h: Metodo rettangoli: Metodo trapezi: Metodo Simpson:

11 Sistemi non lineari Metodi di Runge-Kutta 11 Sostituendo la derivata con il rapporto incrementale relativo al passo di discretizzazione h si ottiene espressione che corrisponde ai primi due termini dello sviluppo in serie di Taylor della funzione x(t i+1 ): I metodi di Runge-Kutta approssimano lo sviluppo in serie di Taylor sostituendo le derivate di ordine superiore al primo con una opportuna combinazione lineare dei valori della derivata prima, calcolati in vari punti dell intervallo elementare.

12 Sistemi non lineari I metodi di Runge-Kutta sostituiscono le derivate di ordine superiore al primo con una opportuna combinazione lineare dei valori della derivata prima, calcolati in vari punti dell intervallo elementare. 12 Ad esempio, il metodo di Runge-Kutta del terzo ordine consiste nella relazione con

13 Sistemi lineari non stazionari Si consideri ora un sistema lineare non stazionario del tipo 13 Per i sistemi lineari vale la proprietà di scomposizione del moto e della risposta Moto libero Moto forzato Risposta libera Risposta forzata

14 Sistemi lineari non stazionari Da 14 Moto libero Moto forzato Per via della linearità della funzione si deve potere scrivere Dove Φ(.,.) viene detta matrice di transizione di stato e deve ovviamente fornire la soluzione della eq. differenziale omogenea

15 Sistemi lineari non stazionari Si consideri il sistema lineare non stazionario omogeneo 15 x(t) vettore n x 1 A(t) matrice reale n x n di funzioni continue a tratti Si definisce la matrice di transizione dello stato soluzione dell equazione differenziale matriciale come la (unica) dove X(t) è una matrice reale n x n ed I la matrice identità n x n La Φ(t,t 0 ) ha come colonne le n soluzioni corrispondenti alle condizioni iniziali x(t 0 ) = e, i essendo e i la i-esima colonna della matrice identità

16 Sistemi lineari non stazionari La soluzione della (1) è data da: 16 Proprietà della matrice di transizione Nonsingolarità: la matrice è non singolare per ogni coppia (t, t 0 ) conseguenza della unicità della soluzione di (1) Invertibilità: Componibilità: Separabilità: Evoluzione nel tempo del determinante:

17 Sistemi lineari non stazionari Calcolo della matrice di transizione 17 La matrice di transizione si può determinare in due modi: Successione di Peano-Baker Metodi di Runge-Kutta: basati sulla integrazione numerica passo passo di equazioni differenziali del tipo su di un passo di integrazione specificato δt

18 Operazioni su matrici 18 Data una matrice m x n i cui elementi sono funzioni del tempo: La derivata rispetto al tempo o l integrale nel tempo della matrice A(t) sono matrici m x n con elementi le derivate o gli integrali degli elementi a ij (t)

19 Sistemi lineari non stazionari 19 Si consideri il sistema lineare non stazionario non omogeneo Teorema: La soluzione della (2), per u(t) continua a tratti assegnata in [t 0, t 1 ] e x 0, t 0 dati, è Moto libero Moto forzato

20 Sistemi lineari non stazionari Dimostrazione: Data una generica matrice X(t), derivando l uguaglianza X -1 (t) X(t) = I si ottiene: 20 per cui si ha Essendo ed utilizzando la (2) si ha: da cui integrando dove c è un vettore costante che dipende dalle condizioni iniziali. Utilizzando le proprietà di componibilità e invertibilità della Φ si conclude la dimostrazione.

21 Sistemi lineari non stazionari Le precedenti relazioni servono per l analisi dei sistemi MIMO lineari non stazionari: x(0) 21 u f x + y B(t) D(t) C(t) + Si ottiene infatti

22 Sistemi lineari non stazionari 22 Gli integrali nelle (3) e (4) sono integrali di convoluzione. Si definiscono le funzioni δ(t): impulso di Dirac in t = 0 dette rispettivamente: matrice di risposta all impulso ingresso-stato matrice di risposta all impulso ingresso-uscita. Se il sistema non è puramente dinamico, cioè D(t) 0, l impulso agisce direttamente sull uscita; in caso contrario lo stato x(t) è espresso da una funzione continua e l uscita y(t) è continua a tratti

23 Impulso di Dirac Impulso di Dirac 23 Δ(τ,t 0,t) 1/τ Questa funzione, al limite per t, tende ad un segnale di area unitaria e valore infinito, indicato con δ(t-t 0 ) t 0 t 0 + τ t Si dimostra che per il seguente sistema vale Ricordando che, si nota che un ingresso impulsivo equivale ad uno stato iniziale (sistemi a tempo continuo)

24 Impulso di Dirac Si ha dunque: 24 Nel casi di sistemi a tempo discreto, l impulso δ(k-h) è il segnale uguale a 1 per k = h, zero altrimenti. Nel caso dei sistemi a tempo discreto non è vero che un ingresso impulsivo equivale ad uno stato iniziale (ha un effetto ritardato di 1).

25 Sistema lineare stazionario omogeneo 25 La matrice di transizione coincide con l esponenziale di matrice, cioè definita con lo sviluppo in serie di potenze e che converge in norma per ogni t. Infatti, posto m = A, per cui è A i m i, si ha

26 Sistema lineare stazionario omogeneo 26 Nota bene: data una matrice m x n:

27 Perchè esponenziale di matrice? Consideriamo la coppia di equazioni differenziali 27 Nel caso di equazioni scalari del tipo, la soluzione è data da una funzione u(t) = u 0 e at, e ovviamente il suo comportamento per t che tende all infinito dipende dal segno e valore di a (o della sua parte reale). Cerchiamo soluzioni esponenziali anche per il caso matriciale, cioè Se così è, sostituendo nella eq.ne differenziale si ha

28 Autovalori ed autovettori 28 Si ècosìvisto che da eq.nidifferenziali si arriva a formulare un problema algebrico del tipo Per la soluzione del problema occorre quindi che il vettore x sia nello spazio nullo di (λ I - A) λ sia scelto in modo che (λ I - A) abbia uno spazio nullo! Lo scalare λ deve quindi essere tale da verificare det(λ I - A) = 0 autovalore (λ I - A) x = 0 autovettore

29 Autovalori ed autovettori La soluzione al problema di partenza è quindi data da funzioni del tipo 29 dove c 1 e c 2 sono opportuni costanti da definire sulla base delle condizioni iniziali In questo caso si ha Si può verificare che

30 Autovalori ed autovettori 30 Data una matrice A, n x n, reale o complessa, si consideri l equazione: Questa equazione ammette soluzioni x 0 se e solo se (λ I - A) è singolare, cioè se e solo se Il primo membro è un polinomio q(λ) di grado n detto polinomio caratteristico di A. Esso ha coefficienti reali se A è reale. (1) (2) La (2) è detta equazione caratteristica di A ed ammette n radici λ 1,, λ n in generale complesse, dette autovalori o valori caratteristici di A. Se A è reale, gli autovalori complessi sono coniugati a coppie. L insieme σ(a) di tutti gli autovalori di A è detto spettro di A Teorema di Cayley-Hamilton: ogni matrice soddisfa la sua equazione caratteristica, cioè q(a) = 0

31 Autovalori ed autovettori Esempio: Data la matrice A 31

32 Autovalori ed autovettori Ad ogni autovalore λ i corrisponde almeno un vettore x i, reale o complesso, che soddisfa la (1), detto autovettore o vettore caratteristico di A. 32 Se x i è un autovettore, anche α x i lo è. Si possono dunque utilizzare autovettori normalizzati (a norma unitaria, ponendo α = 1/ x ) i. Se A è reale, gli autovettori corrispondenti ad autovalori complessi coniugati sono complessi coniugati. Sia A una matrice n x n reale o complessa. Se gli autovalori di A sono distinti, i corrispondenti autovettori sono linearmente indipendenti.

33 Autovalori ed autovettori Esempio

34 Autovalori ed autovettori Esempio 34 [V, D] = eig(a)

35 Autovalori ed autovettori Esempio 35 [V, D] = eig(a) Essendo v = [0, 1] T un autovettore, questa direzione non è modificata dalla moltiplicazione per A

36 Matrici simili Due matrici A e B si dicono simili se esiste una matrice non singolare T tale che 36 Matrici simili hanno gli stessi autovalori. Infatti da B = T -1 A T con T non singolare segue E quindi det(λ I - A) = 0 sse det(λ I B) = 0 La proprietà di similitudine consente di risolvere più semplicemente un sistema lineare stazionario omogeneo Infatti, posto x = T z, z = T -1 x, si può scrivere:

37 Matrici simili 37 Una importante trasformazione di similitudine è quella che trasforma una generica matrice quadrata A alla forma di Jordan, particolarmente adatta per lo studio di sistemi dinamici. Nel caso in cui, data una matrice A generica, si possa trovare una matrice B simile tale che il corrispondente esponenziale e Bt sia facilmente calcolabile, allora si può ottenere Se A fosse simmetrica, non ci sarebbero problemi in quanto ammetterebbe n autovettori linearmente indipendenti, e dalla relazione Autovettori ponendo T = [t 1,, t n ] si avrebbe A T = T Λ autovalori, quindi con Λ matrice diagonale degli l esponenziale di una matrice reale simmetrica ha tutti gli elementi consistenti in una combinazione lineare delle esponenziali dei suoi autovalori, che sono tutti reali

38 Matrici simili - esempio 38 Data la matrice: Si ha: E quindi In questo modo è semplice calcolare la soluzione z(t) a partire da z 0, e quindi risalire alla soluzione x(t) del problema iniziale

39 Forma di Jordan complessa 39 Caso generale. Una generica matrice reale A n x n ha gli autovalori, in generale, complessi: λ 1,, λ m, m n. La forma di Jordan (complessa) è: Matrice diagonale a blocchi dove J i,j, blocco di Jordan relativo all autovalore λ i, è dato da

40 Forma di Jordan reale 40 La forma di Jordan complessa si può ricondurre a reale, traendo vantaggio dal fatto che valori complessi nei blocchi e in T sono associati ai complessi coniugati. Siano: λ 1, λ 2, λ h gli autovalori reali di A μ 1, μ 2,, μ h i loro ordini di molteplicità σ 1 ± j ω 1, σ 2 ± j ω 2,, σ k ± j ω k, gli autovalori complessi ν 1, ν 2, ν k i loro ordini di molteplicità per cui è n = μ 1 +μ 2 + +μ h + 2 (ν 1 + ν ν k ) Forma di Jordan reale: R 1, R n sono blocchi corrispondenti ad autovalori reali, C 1, C k sono blocchi reali di nuovo tipo, corrispondenti ciascuno a una coppia di blocchi complessi coniugati della forma di Jordan complessa.

41 Forma di Jordan reale I blocchi corrispondenti ad autovalori reali sono del tipo: 41 N.B.:

42 Forma di Jordan reale I blocchi corrispondenti ad autovalori complessi coniugati sono del tipo: 42

43 Forma di Jordan reale Scrivibile anche come 43

44 Forma di Jordan reale 44 In definitiva, in e At si ritroveranno termini del tipo:

45 Soluzione dell equazione equazione differenziale 45 t traiettoria x(t) Insieme delle velocità ammissibili x(0) Spazio degli stati In conclusione, per il calcolo dell evoluzione dello stato x(t): Sistemi non lineari: in generale tecniche numeriche Sistemi lineari non stazionari: Φ(t,t 0 ) (succ. Peano Baker) Sistemi lineari stazionari: e At (forma di Jordan)

46 Esempio 1 46 Determinare la soluzione x(t) del sistema dinamico descritto da Calcolo degli autovalori Gli autovalori λ 1 e λ 2 della matrice A si calcolano uguagliando a zero il determinante della matrice (λ I A), cioè: In questo caso si ha: e quindi cosa del resto ovvia visto che la matrice A è triangolare bassa e quindi i suoi autovalori sono gli elementi sulla diagonale.

47 Esempio 1 Calcolo degli autovettori Detto t il generico autovettore associato all'autovalore λ, deve essere 47 e quindi: per λ = -1 per λ = -2

48 Esempio 1 Si ha dunque 48 Verifica: Dalla relazione x = T z otteniamo z = T -1 x e quindi lo stato iniziale è

49 Esempio 1 49 La soluzione del nuovo sistema (in z) è quindi data da ed in definitiva: Verifica in Matlab/Simulink x' = Ax+Bu y = Cx+Du y Step State-Space To Workspace Clock t To Workspace1 x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space1 K*u Matrix Gain y1 To Workspace2 z To Workspace3

50 Esempio Andamento di x 2 Andamento di z Tempo (sec) Andamenti di [x 1 ; x 2 ] Andamento Tempo (sec) di T z Andamenti di [z 1 ; z 2 ] Andamenti di T*[z 1 ; z 2 ] Tempo (sec)

51 Esempio 2 51 Determinare la soluzione x(t) del sistema dinamico descritto da Calcolo degli autovalori Gli autovalori λ 1, λ 2 e λ 3 della matrice A si calcolano uguagliando a zero il determinante della matrice (λ I A), cioè: In questo caso si ha: e quindi

52 Esempio 2 Calcolo degli autovettori Detto t il generico autovettore associato all'autovalore λ, deve essere (λι Α) t = 0 e quindi: 52 per λ = -1 per λ = -2 per λ = -3

53 Esempio 2 Si ha dunque 53 Verifica: Dalla relazione x = T z otteniamo z = T -1 x e quindi lo stato iniziale è

54 Esempio 2 54 La soluzione del nuovo sistema (in z) è quindi data da ed in definitiva: Verifica in Matlab/Simulink x' = Ax+Bu y = Cx+Du y Step State-Space To Workspace Clock t To Workspace1 x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space1 K*u Matrix Gain y1 To Workspace2 z To Workspace3

55 Esempio Andamento di x Tempo (sec) Andamenti di [x 1 ; x 2 ; x 3 ] Andamenti di [z 1 ; z 2 ; z 3 ] Andamento di z Tempo (sec) Andamento di T z Andamenti di T*[z 1 ; z 2 ; z 3 ] Tempo (sec) 0-0.2

56 Sistemi a tempo discreto Si consideri il sistema a tempo discreto lineare non stazionario omogeneo 56 Analogamente al caso tempo continuo, si definisce la matrice di transizione dello stato Φ(k,h) come la matrice che ha come colonne le n soluzioni corrispondenti alle condizioni iniziali x(h) = e i, essendo e i la i-esima colonna della matrice identità. La matrice di transizione soddisfa la Contrariamente al caso a tempo continuo, la matrice di transizione dei sistemi a tempo discreto può essere singolare.

57 Sistemi a tempo discreto Nel caso stazionario, in cui la (1) diviene 57 la matrice di transizione dello stato coincide con la potenza di matrice, cioè si ha Infatti

58 Sistemi a tempo discreto In relazione al sistema lineare stazionario non omogeneo 58 si ricava la relazione facilmente dimostrabile per verifica diretta e, per il sistema complessivo

59 Sistemi a tempo discreto La matrice di risposta all impulso ingresso-stato e la matrice di risposta all impulso ingresso-uscita sono 59

60 Stabilità Definizione: Il sistema omogeneo 60 è asintoticamente stabile se è Teorema: il sistema (1) è asintoticamente stabile se e solo se gli autovalori di A sono tutti con parte reale negativa Dim. Basata sul fatto che λ = ρ, oppure λ = σ + j ω e quindi NB: pure i termini t n e λ t tendono a 0 per t ->

61 Stabilità Definizione: Il sistema omogeneo 61 è asintoticamente stabile se è Teorema: il sistema (2) è asintoticamente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno tutti modulo minore di 1 Dim. Basata sul fatto che λ = ρ, oppure λ = ρ e j ϕ e quindi

62 Appendice 62 Spazi vettoriali e matrici: Definizioni Alcune proprietà geometriche

63 Alcune proprietà geometriche e 3 {e 1, e 2, e 3 }: base principale (colonne della matrice I) V: sottospazio (insieme di vettori) v 1, v 2 : base del sottospazio V V = [v 1. v 2 ]: matrice di base del sottospazio V 63 e 1 h 3 e 1 v 1 v 2 V e 3 h 1 h 2 p e 2 e 2 Data A n x n, V si dice invariante in A se è A V V La somma e l intersezione di due invarianti è un invariante Cambiamenti di base Al posto della base e 1, e 2, e 3 si assume una nuova base h 1, h 2, h 3 con T = [h 1, h 2, h 3 ] non singolare. Si indica con x il vettore delle componenti di un punto p nella base principale, con z le componenti nella nuova. Si ha x = T z, z = T -1 x Nella nuova base, ad A n x n corrisponde A 1 = T -1 A T

64 Alcune proprietà geometriche 64 Data una matrice A, m x n, si definiscono i sottospazi

65 Pseudoinversa di una matrice 65 Sia dato un sistema lineare espresso dalla relazione A x = b CNS perché esso ammetta almeno una soluzione è che b im A (1) Se questa è soddisfatta, detta x 0 una soluzione particolare, l insieme delle possibili soluzioni è x = x 0 + ker A e in forma parametrica x = x 0 + K α in cui K è una matrice di base di ker A e α R q arbitrario, con q = dim(ker A)

66 Pseudoinversa di una matrice 66 Se la (1) non è soddisfatta, si può ricercare il valore di x tale da minimizzare l errore (norma euclidea) che si commette A x 1 b 2 minima Se A è quadrata e non singolare, allora im A = R n, ker A = {0} per cui la soluzione esiste ed è unica, definita da x = A -1 b R n A R n A -1 im A

67 Pseudoinversa di una matrice 67 Se A non è quadrata o è singolare, allora la sua inversa non esiste e si deve utilizzare la pseudoinversa A + Data la matrice A m x n, vi sono in generale due casi: m < n; m > n 1) m < n rank A = min(m,n) = m im (A) = R m b x t.c. b = A x (ne esiste piu` di uno!) x = A + b ker(a) t.c. x ker(a) -> y = A x = 0 x = A + b + x n -> b = A(A + b + x n ) = b, x n ker(a) x = A + b + (I A + A) α espressione generale della soluzione x = A + b ha norma minima R n A 0 R m ker A A + im A

68 Pseudoinversa di una matrice 68 Se A non è quadrata o è singolare, allora la sua inversa non esiste e si deve utilizzare la pseudoinversa A + Data la matrice A m x n, vi sono in generale due casi: m < n; m > n 2) m > n rank A = min(m,n) = n x! b t.c. b = A x b im (A)! x t.c. b = A x (x = A + b) se b im x t.c. b = A x se pero` b 0 im (A) x 0 = A + b 0 b = A x 0 = A A + b 0 b 0 (A A + I) b b 0 e minima A R n im A R m A +

69 Pseudoinversa di una matrice 69 ker A x 0 x b ker A T x 0 R n im A T im A R m

70 Norme di vettori e matrici Norma: generalizzazione della nozione di distanza (lunghezza). 70 Norma di vettore: La norma di un vettore x R n è una funzione R n R tale che: Norme comuni in R n : Norma euclidea

71 Norme di vettori e matrici Esempio: Dato x = [1, -2, 2] T x 1 = 5, x 2 = 3, x = Lemma: Siano x a e x b due norme di x R n. Esistono infiniti scalari positivi k 1, k 2 tali che Le norme a e b sono dette equivalenti. Vero coppia di norme in R n. Esempio: Dato x = [1, -2, 2] T, allora:

72 Norme di vettori e matrici 72 Un vettore x può essere moltiplicato per la matrice A: y = A x. Per mettere in relazione la `dimensione' di y e di x, si definisce la norma di matrice come segue. Norme di matrici (indotte). Sia x una norma di x R n. Una matrice A R nx n ha la norma indotta da definita come: Segue che:

73 Norme di vettori e matrici Alcune norme di matrici: 73 Se

74 Autovalori, Autovettori, Autospazi 74 Sia A una matrice quadrata n x n a valori in R. Definizione Si chiama polinomio caratteristico di A il polinomio di grado n Definizione Si chiama equazione caratteristica di A l equazione Definizione Le n soluzioni dell equazione caratteristica sono detti autovalori di A

75 Autovalori, Autovettori, Autospazi Definizione Si definisce molteplicità algebrica dell autovalore la sua molteplicità come radice di. Un autovalore con molteplicità algebrica 1 è detto semplice. 75 Si chiama polinomio caratteristico di A il polinomio di grado n Definizione Si chiama equazione caratteristica di A l equazione Definizione Le n soluzioni dell equazione caratteristica sono detti autovalori di A

76 CONTROLLI AUTOMATICI LS EVOLUZIONE NEL TEMPO DI SISTEMI DINAMICI FINE Prof. Claudio Melchiorri DEIS-Università di Bologna Tel