UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA LA GUERRA DEI TABLET: UN APPROCCIO BASATO SUI GIOCHI DIFFERENZIALI

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA DIPARTIMENTO DI MATEMATICA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN ECONOMIA E FINANZA TESI DI LAUREA LA GUERRA DEI TABLET: UN APPROCCIO BASATO SUI GIOCHI DIFFERENZIALI RELATORE: CH.MO PROF. LUCA GROSSET LAUREANDO: GIAN MARCO MASON MATRICOLA N ANNO ACCADEMICO

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3 Ringraziamenti Desidero esprimere i miei più sentiti ringraziamenti al Prof. Luca Grosset, il quale mi ha guidato nella realizzazione del presente lavoro. Gli sono riconoscente per la disponibilità dimostratami, per i preziosi consigli e per la rilettura critica dell elaborato. Un ringraziamento doveroso, in ne, ai miei genitori, per aver reso possibile il raggiungimento di un traguardo per me così importante. G.M.M.

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5 Indice Ringraziamenti Introduzione i vii 1 Cenni sulla teoria dei giochi Formalizzazione del gioco Alcune de nizioni Classi cazioni Giochi statici Giochi dinamici I giochi di erenziali Strategia Markoviana e strategia open-loop Consistenza nel tempo e perfezione nei sottogiochi Risoluzione di un problema di controllo ottimo Principio del massimo di Pontryagin Principio di ottimalità di Bellman Alcuni esempi Problema di controllo con funzione di stato lineare Problema di controllo con funzione di stato quadratica Problema con relazione moltiplicativa tra stato e controllo Commento dei risultati Risoluzione di un gioco di erenziale Applicazione al mercato del tablet Il modello di Nerlove e Arrow Monopolio Oligopolio Estensione di Chintagunta Formalizzazione del gioco applicato al mercato del tablet L equazione del moto La funzione obiettivo La funzione di costo

6 iv INDICE La funzione di pro tto - prima ipotesi La funzione di pro tto - seconda ipotesi Il gioco - prima ipotesi Risoluzione Il gioco - seconda ipotesi Risoluzione Considerazioni sul controllo ottimo nel caso simmetrico Il caso non simmetrico con e etto predatorio unilaterale Considerazioni sul controllo ottimo nel caso generale non simmetrico 71 4 Conclusioni 73 Appendici 77 A Equilibrio di Nash e consistenza nel tempo 79 B L equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman 81 C Problema di controllo con funzione di stato lineare 85 C.1 Derivazione della soluzione open-loop C.2 Derivazione della soluzione feedback D Problema di controllo con funzione di stato quadratica 89 D.1 Derivazione della soluzione open-loop D.2 Derivazione della soluzione feedback E Problema con relazione moltiplicativa tra stato e controllo 95 E.1 Derivazione della soluzione open-loop E.2 Derivazione della soluzione feedback F Gioco di erenziale a due giocatori 101 F.1 Derivazione della soluzione open-loop F.2 Derivazione della soluzione feedback G Codice MatLab 105 G.1 Istanza di Chintagunta G.2 Il gioco applicato al mercato del tablet - prima ipotesi G.3 Il gioco applicato al mercato del tablet - seconda ipotesi Bibliogra a 119 Sitogra a 123

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9 Introduzione Il tablet è un prodotto che appare sul mercato per la prima volta nel 2010 nel momento in cui Apple lancia l ipad. Fino a quel momento, il tablet era rilegato ad un utilizzo prevalentemente business e la sua di usione era molto limitata. Data la novità del prodotto e la sua rapida di usione, si ritiene sia interessante studiare le peculiarità di questo mercato, per cercare di costruire un modello che possa spiegare la competizione al suo interno. Il motivo principale per cui non ci sembra adatto applicare i modelli già presenti in letteratura è che questo mercato appare diverso da quelli comunemente analizzati, e questo per motivi principalmente riconducibili alla novità del prodotto tablet. Gli attori in questo mercato non sono molti, e sono essenzialmente riconducibili a quattro: Apple, con l ipad, Samsung, con il Galaxy Tab, Amazon, con Kindle Fire, e Google, con il Nexus 7 prodotto da Asus. Analizzando i dati di vendita, emerge che Apple e Samsung, a giugno 2012, detengono circa l 80% del mercato, pertanto queste due aziende saranno supposte, in questo lavoro, le due grandi rivali in quella che è stata de nita la guerra dei tablet. Tale appellativo, nonché la sempli cazione ad un duopolio del mercato di riferimento, sono supportati, oltre che dai dati sopra citati, dalla continua rivalità esistente tra Apple e Samsung anche nelle aule di tribunale, in cui queste due aziende si danno battaglia per avere una il predominio sull altra. Basti pensare che Samsung è stata recentemente condannata negli Stati Uniti a pagare un risarcimento ad Apple di oltre un miliardo di dollari per aver copiato tratti del design e del software dell iphone e dell ipad (Vascellaro 2012), mentre Samsung, in Giappone, ha citato l azienda californiana per aver violato alcuni dei propri brevetti, sempre in riferimento a smartphone e tablet (Tabuchi e Wing eld 2012). La nalità del lavoro, ora che il quadro economico è stato delineato, è quindi quella di introdurre un modello che si adatti a spiegare le interazioni che avvengono tra i principali

10 viii Introduzione attori nel mercato di riferimento, Apple e Samsung, appunto. Tale modello prevederà l utilizzo di una modellizzazione di natura dinamica: una struttura di questo tipo, infatti, appare la più adatta a catturare le interazioni che si creano in un mercato competitivo, in cui ci si attende che ad un azione di un concorrente vi sia la risposta strategica del proprio avversario, ed in cui l azione si sviluppa in tempo continuo. In sostanza, la situazione che si vuole descrivere, è quella di un azienda che massimizza nel tempo la propria funzione di pro tto, tenendo in considerazione le azioni intraprese dal proprio avversario, il quale, a sua volta, agisce allo stesso modo. In base a ciò, quindi, appare appropriato utilizzare una particolare tipologia di modelli dinamici, ovvero i giochi di erenziali, con i quali è possibile gestire sia il problema di massimizzazione del pro tto, sia l interazione tra i giocatori, sia lo sviluppo delle strategie nel tempo. Modelli analoghi sono molto utilizzati in letteratura, come si può vedere negli studi di Dockner et al. (2000), Jorgensen e Zaccour (2004), Cellini e Lambertini (2003), Van Long (2012), e nella recente rassegna di Huang, Leng e Liang (2012). Il modello teorico su cui si basa questo lavoro è il modello di Nerlove e Arrow, il quale prevede che il funzionale obiettivo di un ipotetico giocatore sia una funzione della desiderabilità (goodwill) del proprio prodotto da parte dei consumatori, e che questa grandezza evolva nel tempo in base alla quantità di pubblicità immessa nel mercato dal giocatore stesso, per la quale, ovviamente, egli deve sopportare un costo. Questo modello, tuttavia, era inizialmente pensato per un mercato monopolistico, ed il gioco degenerava dunque in un problema di controllo ottimo. Ci si è basati quindi sull estensione al caso oligopolistico descritta nel libro di Jorgensen e Zaccour (2004), e sul caso duopolistico introdotto da Chintagunta (1993), del quale sono state mantenute alcune intuizioni circa la struttura della funzione obiettivo. A nostro avviso, il mercato del tablet è diverso da quelli descritti nei modelli sopra elencati. In particolare, l elemento che determina la non applicabilità di tali modelli è la modalità di formazione del goodwill, ovvero l equazione del moto. Mentre nei modelli citati, infatti, ciascun giocatore ha il proprio prodotto, e a questo è associato uno speci co goodwill, per quanto riguarda il prodotto tablet si suppone che questo, data la sua novità, non sia ancora ben distinguibile a livello di marchio, e che quindi tablet diversi condividano la stessa desiderabilità presso i consumatori. In altre parole, mentre nei modelli presenti in letteratura i prodotti dei giocatori sono supposti chiaramente distinti dai consumatori, tanto che a ciascun prodotto è associato un proprio goodwill, diverso da quello del rivale, nel mercato di riferimento si ipotizza che questa distinzione si a evolisca (Rosenblatt 2012), tanto da considerare non più goodwill distinti, ma un unica variabile di stato, la quale identi ca la desiderabilità del prodotto tablet generico. Questo elemento distintivo, quindi, caratterizzerà il nostro modello e lo di erenzierà da quelli cui si è ispirato. Data la discreta dimestichezza con i giochi di erenziali che si rende necessaria per comprendere appieno il modello che verrà esposto, questo lavoro prevede nei primi due

11 Introduzione ix capitoli un introduzione alla materia, nonché una formalizzazione di alcune de nizioni e concetti utili nella trattazione successiva. Il primo capitolo, quindi, è un introduzione alla teoria dei giochi, e in esso sono presentate alcune de nizioni fondamentali. In particolare, si de niscono il controllo, l insieme dei controlli ammissibili, la strategia, la storia del gioco e la funzione payo. Sono poi enunciate le assunzioni alla base di un gioco, ovvero la razionalità di tutti i giocatori (i quali, quindi, agiscono per massimizzare la propria funzione obiettivo, anche detta funzione payo ), la perfetta informazione di ciascuno circa le azioni disponibili ad ogni altro giocatore, e, in ne, l interdipendenza esistente tra la funzione obiettivo di ciascun giocatore con le azioni intraprese dai propri concorrenti. In questa prima parte ci si focalizza poi sulle classi cazioni dei giochi, ed in particolare sulla di erenza esistente tra i giochi statici ed i giochi dinamici, ai quali i giochi di erenziali appartengono. Tale distinzione, che può non essere così immediata come sembra, viene resa più chiara attraverso alcuni esempi. Nel secondo capitolo si passa all analisi dei giochi di erenziali, viene spiegata la loro struttura ed il relativo signi cato; vengono poi esposte le due principali tecniche risolutive disponibili, ovvero quella che sfrutta il principio del massimo di Pontryagin e quella basata sull equazione alle derivate parziali di Hamilton-Jacobi-Bellman. Di entrambe le tecniche sono analizzati i pro e i contro, con particolare riferimento alla di coltà nella derivazione della soluzione da un punto di vista computazionale. In questo capitolo sono de nite inoltre le diverse tipologie di strategie che si possono incontrare, ovvero open-loop e feedback, nonché il concetto fondamentale di perfezione nei sottogiochi. Anche in questo caso, per rendere l esposizione più chiara, e per mostrare in concreto l applicazione dei due metodi risolutivi, ci si serve di numerosi esempi, dapprima applicati ad un gioco con un solo giocatore, ovvero ad un problema di controllo ottimo, e successivamente anche ad un gioco propriamente detto. Il capitolo si conclude con l esposizone delle condizioni per cui un gioco può essere de nito linear state. L appartenenza o meno di un gioco a questa categoria è molto importante, perché, per i giochi di questo tipo, la soluzione ottenuta con il principio del massimo coincide con quella ottenuta attraverso l equazione di Hamilton- Jacobi-Bellman, e risulta quindi perfetta nei sottogiochi. In sostanza, in questo caso, la soluzione è sia robusta sia di facile derivazione. Inoltre, essa è state-redundant, e quindi non richiede alcuna informazione circa la variabile di stato, la quale può essere ignorata dai giocatori. Per quanto riguarda il terzo capitolo, qui viene descritto il modello che è supposto adattarsi alla competizione nel mercato del tablet. Esso inizia con una panoramica dello scenario competitvo internazionale in questo settore, per poi passare ad una rassegna dei modelli che saranno alla base del nostro lavoro. Sono quindi introdotti il modello di Nerlove e Arrow, la relativa estensione al caso oligopolistico di Fershtman (1984), e l estensione al caso duopolistico di Chintagunta (1993). In particolare, quest ultimo

12 x Introduzione modello è quello a cui ci si è riferiti maggiormente, poiché è stata mantenuta l ipotesi che l investimento pubblicitario di un giocatore danneggi il funzionale obiettivo del proprio avversario, attraverso quello che sarà de nito e etto predatorio, ovvero l attitudine della pubblicità ad orientare i consumatori verso il prodotto pubblicizzato, a scapito del prodotto dell avversario. La seconda parte del capitolo è dedicata alla costruzione vera e propria del nostro modello, ed un analisi dettagliata viene proposta per ogni componente della funzione obiettivo e dell equazione del moto, di cui è fornita un interpretazione economica. Il modello è poi formalizzato in due versioni, distinte per la struttura dell e etto predatorio; di entrambe viene calcolata la soluzione, la quale è poi confrontata con quelle derivanti dai modelli presenti in letteratura. In ne, i risultati ottenuti sono rappresentati gra camente tramite l ausilio del software MatLab, ed il capitolo si chiude con un analisi approfondita della seconda versione del gioco, volta ad indagare sotto quali condizioni quest ultimo ammette soluzioni positive, e può quindi assumere signi cato da un punto di vista economico. Nelle conclusioni sono esaminati i punti di forza e di debolezza del nostro modello, ed in particolare si rileva come le due versioni del gioco da un lato condividono la stessa natura linear state, e quindi presentano strategie sia perfette nei sottogiochi sia facilmente trattbili da un punto di vista computazionale, dall altro implicano soluzioni profondamente diverse tra loro. Nella prima ipotesi, infatti, il controllo ottimo non risente della strategia dell avversario, mentre nella seconda formulazione il gioco prevede aggiunte accoppiate, e quindi l investimento pubblicitario ottimale di un giocatore sarà in uenzato da quello del rivale. In ne, si ritiene doveroso precisare che il modello de nito in questo lavoro, se per alcuni aspetti può essere considerato incompleto, quanto meno per la mancanza di una stima di parametri adeguati a veri care la reale applicabilità al mercato del tablet, dall altro fornisce intuizioni che non sono prive di interesse scienti co e che possono essere spunto per analisi e rielaborazioni successive.

13 1 Cenni sulla teoria dei giochi La teoria dei giochi studia situazioni che coinvolgono due o più decisori, detti giocatori, i quali possono con gurarsi in diversi modi: essi possono essere individui, organizzazioni, governi, aziende e, più in generale, ogni entità in grado di compiere decisioni in modo razionale. I giocatori, come vedremo, hanno spesso interessi almeno parzialmente contrastanti, e la caratteristica principale di un gioco è che le ricchezze (in senso lato) dei giocatori sono interconnesse: in tal modo, quindi, le decisioni prese da un giocatore in uenzano anche le sfere patrimoniali degli altri giocatori. Tali sitazioni si possono riscontrare spesso nella realtà, basti pensare, ad esempio, alla relazione tra due aziende che competono per il mercato di riferimento, o tra un azienda e i propri fornitori, tra un azienda e i propri dipendenti. Nella de nizione di teoria dei giochi sopra proposta si è detto che i giocatori sono supposti essere razionali; ciò signi ca che ciascun giocatore ha proprie preferenze, espresse da una funzione payo, la quale può essere intesa come ciò a cui il giocatore è interessato nel momento in cui formula la propria decisione: il payo può quindi, ad esempio, essere espresso da una funzione che rappresenti un pro tto, una quota di mercato, un costo negativo, un ricavo di vendita. Essere razionali signi ca però anche e ettuare le proprie decisioni in accordo con le proprie preferenze, quindi in modo tale da massimizzare il proprio payo, nonché essere a conoscenza del numero dei propri concorrenti (intesi come tutti gli altri giocatori), delle strategie loro disponibili (quindi delle deisioni che possono intraprendere), e del fatto che anch essi, a loro volta, agiscono razionalmente. Ne consegue pertanto che ciascun giocatore, nel momento in cui de nisce la propria strategia, tiene in considerazione tutte le informazioni e le aspettative che possiede circa il comportamento degli avversari. Tali assunzioni sul comportamento dei giocatori sono tuttavia forti e, come rilevano Dockner et al. (2000, pp.12-13), i modelli teorici sono talvolta criticati per le irrealistiche

14 2 1. Cenni sulla teoria dei giochi assunzioni circa le modalità di comportamento dei giocatori, e per l inclusione nel modello di un numero limitato di caratteristiche del mondo reale. Si dovrebbe tuttavia essere consci del fatto che i modelli non sono supposti essere un accurata rappresentazione della realtà, ma che anche modelli molto sempli cati non producono necessariamente predizioni inutili. Le intuizioni che derivano dai modelli sono corrette sulle proprie assunzioni e una forza della modellizzazione formale sta nel fatto che chiunque può veri care la validità delle conclusioni derivanti dal modello. Al contrario, una buona parte delle raccomandazioni di tipo strategico o erte da consulenti circa il processo decisionale non può essere veri cata, e ogni tipo di a damento riposto in tali consulenze è basato quasi esclusivamente sulla ducia. 1.1 Formalizzazione del gioco Si formalizzano di seguito le de nizioni delle principali componenti del gioco, quali le variabili di controllo (tramite cui ogni giocatore esprime le proprie decisioni) o la funzione payo, nonché altre de nizioni utili alla comprensione della trattazione successiva Alcune de nizioni De nizione 1.1 dato un insieme di giocatori I = f1; 2; :::; ng si de nisce controllo (o strategia) del giocatore i-esimo (i 2 I) la funzione u i () : [0; T ]! R mi la quale associa ad ogni istante t l azione u i (t) scelta dal giocatore i-esimo. De nizione 1.2 dato un insieme di giocatori I = f1; 2; :::; ng si de nisce insieme dei controlli ammissibili U i l insieme di tutti i controlli disponibili al giocatore i-esimo in ogni istante; deve pertanto valere la relazione u i (t) 2 U i, 8t: De nizione 1.3 dato un insieme di giocatori I = f1; 2; :::; ng si de nisce pro lo d azione il vettore u(t) = fu 1 (t); u 2 (t); :::; u n (t)g 2 U 1 U 2 ::: U n, il quale contiene le azioni adottate da tutti i giocatori al tempo t. De nizione 1.4 dato un insieme di giocatori I = f1; 2; :::; ng si de nisce h(t) storia del gioco no al tempo t l insieme di tutti i pro li d azione u(1); u(2); :::; u(t 1). De nizione 1.5 dato un insieme di giocatori I = f1; 2; :::; ng si de nisce J i (u(t); t) la funzione payo del giocatore i-esimo al tempo t. Nelle de nizioni sopra esposte si è supposto che il gioco evolva nel tempo, ovvero che sia, come vedremo, un gioco dinamico. In caso ciò non sussistesse, quindi qualora si stia trattando un gioco statico, verranno omesse da tali de nizioni le indicazioni temporali.

15 1.1 Formalizzazione del gioco Classi cazioni I giochi, in base alle proprie caratteristiche, possono essere suddivisi in numerose categorie. Se consideriamo la funzione payo, ad esempio, un gioco si de nisce a somma zero quando la somma dei payo di tutti i giocatori è nulla; in questo caso vale quindi la relazione: nx J i (u 1 ; u 2 ; :::; u n ) = 0 8(u 1 ; u 2 ; :::; u n ) 2 U 1 U 2 ::: U n. (1.1) i=1 Questo è il tipo di payo associato, ad esempio, ad una scommessa tra due giocatori basata sull esito del lancio di una moneta (testa o croce): in tal modo, infatti, ad ogni vincita di un giocatore corrisponde una perdita di segno opposto per l altro, cosicché la somma dei payo nali sia sempre pari a zero. Esempio Un altro esempio è quello rappresentato nella tabella sottostante, che rappresenta l esito del gioco della morra cinese tra due giocatori, detti A e B, in cui il perdente paga una somma unitaria al vincitore. AnB Carta Forbice Sasso Carta (J A = 0; J B = 0) ( 1; 1) (1; 1) Forbice (1; 1) (0; 0) ( 1; 1) Sasso ( 1; 1) (1; 1) (0; 0) Come si può vedere, qualunque sia l esito del gioco, la (1.1) è rispettata. Analogamente, sempre considerando la struttura dei payo, un gioco è de nito a somma costante quando la somma dei payo di tutti i giocatori è costante. In questo caso, un esempio che può essere fatto è una variante del gioco precedente, in cui i giocatori, invece di impegnarsi a pagare una somma di denaro in caso di scon tta, si giocano la spartizione di un premio loro assegnato, in modo più o meno equo (60%-40%, 70%-30%,...). Al perdente resterà quindi la parte residuale ma la somma dei due payo sarà sempre pari al premio originario; la relazione che vale ora è nx J i (u 1 ; u 2 ; :::; u n ) = k 8(u 1 ; u 2 ; :::; u n ) 2 U 1 U 2 ::: U n, i=1 in cui k è una costante generica. Se si considera invece la modalità con cui i giocatori interagiscono, una distinzione può essere fatta tra due tipologie di giochi: i giochi cooperativi ed i giochi non cooperativi. Per quanto riguarda la prima categoria, questi si contraddistingono per la presenza di un coordinamento tra le azioni dei giocatori: essi infatti capiscono che possono collaborare e agire come un gruppo unitario, in modo da ottenere beni ci reciproci; nei giochi non cooperativi, al contrario, ciascun giocatore è interessato

16 4 1. Cenni sulla teoria dei giochi esclusivamente alla propria ricchezza, ed agisce nel suo miglior interesse, non curandosi minimamente delle conseguenze che le proprie azioni potranno avere sulle ricchezze degli altri. L appartenenza di un gioco ad una categoria o all altra dipende dal contesto reale in cui tale gioco è implementato: se, ad esempio, si considera uno scenario in cui due aziende collaborano in una joint venture per la creazione di un nuovo prodotto e devono decidere quali caratteristiche dare allo stesso, è logico ritenere che queste collaborino per ottenere il massimo successo del prodotto in oggetto; nel caso in cui, invece, le stesse aziende commercializzino prodotti distinti, che pure condividono lo stesso mercato, è logico aspettarsi che la strategia di un azienda, volta a massimizzare le vendite del proprio prodotto, non contempli gli e etti sulle vendite del prodotto del concorrente, se non nella misura in cui queste non in uiscano nel proprio payo. Un ulteriore classi cazione può essere fatta con riferimento alla dimensione dell insieme dei controlli ammissibili e alla numerosità dei giocatori: se il numero dei giocatori è nito (jij < +1), così come il numero dei controlli ammissibili (ju i j < +1 8i 2 I), si parla di giochi niti. Se invece una, o entrambe, delle precedenti condizioni non sono rispettate si parla di giochi in niti. I giochi in niti spesso non si incontrano in problemi applicati alla realtà, se non come limite di un gioco nito, volendo indagare sulle proprietà asintotiche del gioco stesso; in caso in cui, poi, il numero dei giocatori o il numero dei controlli ammissibili (o entrambi) non sia in nito, ma comunque molto elevato, si parla di large games. Un esempio classico che viene fatto al riguardo è quello di un asta in cui partecipano un numero molto elevato di persone che possono scegliere una somma di denaro non de nita (ma, ovviamente, non in nita) per la propria o erta. In ne, i giochi possono essere, a seconda delle modalità in cui si svolgono, statici o dinamici. La distinzione tra le due tipologie, che in un primo momento può sembrare semplice se non addirittura banale, può invece nascondere delle insidie. Si potrebbe pensare, infatti, che un gioco dinamico sia un gioco in cui le variabili decisionali (i controlli), includano una componente temporale, mentre un gioco in cui il tempo non è contemplato possa essere de ninito statico. Si pensi tuttavia ad un gioco in cui due aziende competono alla Cournot: il gioco consiste nel scegliere un livello di produzione (variabile di controllo) per ogni t dell intervallo [0; T ] in cui il gioco è de nito; le due aziende scelgono simultaneamente ed indipendentemente la quantità da produrre, e tale quantità è nota al concorrente nel momento in cui quest ultimo si troverà a scegliere la quantità da produrre al tempo t + 1. Supponiamo ora che le aziende in questione debbano scegliere prima dell inizio del gioco le quantità da produrre in ogni istante t futuro, no a T, e che tale scelta sia irrevocabile una volta presa. In una tal situazione è indubbio che la componente temporale sia presente, tuttavia i giocatori agiscono una sola volta, e non hanno possibilità di reazione, neppure dopo aver appreso le quantità scelte dal concorrente durante la storia del gioco; per tali motivi un gioco con le suddette caratteristiche dovrebbe essere considerato statico. Nella de nizione di gioco

17 1.2 Giochi statici 5 dinamico che si propone ora, quindi, l elemento cruciale è la possibilità, da parte di almeno un giocatore, di scegliere strategie che tengano in considerazione le informazioni rivelate nel corso dello svolgimento del gioco. Si de nisce pertanto dinamico il gioco in cui almeno un giocatore può adottare una strategia che gli permetta di condizionare la propria azione, in ogni istante in cui si svolge il gioco, alle decisioni prese precedentemente nel corso del gioco stesso. In base a tale de nizione, quindi, il caso del gioco alla Cournot sopra esposto rientra nella categoria residuale dei giochi statici; in caso in cui, invece, ciascuna azienda avesse potuto scegliere in ogni t la quantità da produrre, il gioco sarebbe stato senza dubbio dinamico. Si propone di seguito un approfondimento di queste due categorie, per meglio comprendere le rispettive caratteristiche, nonché le diverse modalità in cui i giochi stessi (in base alla categoria di appartenenza) vengono solitamente rappresentati. 1.2 Giochi statici I giochi statici sono i giochi più semplici e, come visto in precedenza, non consentono ai giocatori di rispondere agli altri partecipanti al gioco; nei giochi di questo tipo, quindi, non c è alcuna storia del gioco, e i giocatori scelgono la propria strategia, che in questo caso coincide con un unica azione, una volta per tutte, senza avere la possibilità di includere nella stessa alcun tipo di informazione circa le decisioni degli altri giocatori. Si cerca di rendere le cose più chiare tramite un esempio: Esempio supponiamo vi siano due aziende, dette azienda 1 e azienda 2, che devono decidere in quale mercato entrare, se nel mercato A o nel mercato B. I due mercati di eriscono per dimensione, supponiamo che il mercato A abbia una capienza di 8 (intesi come pro tti massimi conseguibili dalle aziende), mentre il merato B solamente di 5; supponiamo poi che le aziende, una volta entrate in un mercato, riescano a soddisfare tutta la domanda, conseguendo quindi il massimo dei pro tti. In ne, nel caso in cui le aziende, che scelgono simultaneamente ed in modo indipendente, condividano lo stesso mercato, i pro tti sono divisi equamente. Una rappresentazione gra ca del gioco è quella nella tabella sottostante, in cui il primo valore della coppia che esprime il payo è il pro tto dell azienda 1 (la cui decisione è in riga), mentre il secondo è il pro tto dell azienda 2 (la cui decisione è in colonna). A B A (4,4) (8,5) B (5,8) (2.5,2.5) Come si può vedere, ad entrambe le aziende conviene evitare situazioni in cui entrambe si trovino a competere nello stesso mercato, ma poichè la scelta deve essere fatta

18 6 1. Cenni sulla teoria dei giochi simultaneamente, è impossibile per loro adottare una strategia che permetta, senza ulteriori informazioni circa il comportamento del concorrente, di evitare tale possibile scenario. Un ragionamento da parte di un giocatore potrebbe essere quello di scegliere il mercato più piccolo (B), con dando nell avidità dell altro giocatore, che è quindi supposto scegliere il mercato (A); se ciò avvenisse il primo giocatore otterrebbe un pro tto di 5, mentre il secondo di 8. Tale risultato comporterebbe un pro tto non massimo per il giocatore che ha scelto il mercato B, ma il risultato ottenuto sarebbe comunque maggiore di quello associato al 50% degli scenari possibili (entrambi i giocatori nello stesso mercato). Supponiamo però ora che l altro giocatore ragioni allo stesso modo: il risultato che si ottiene è in questo caso quello peggiore possibile, ovvero entrambi condividono il mercato più piccolo, con un pro tto di soli 2.5 ciascuno. A questo punto, per scongiurare la possibilità di un esito così negativo, entrambi i giocatori possono essere spinti ad entrare nel mercato A, ottenendo un pro tto di 4 ciascuno; da notare tuttavia che tale strategia non può essere ritenuta ottimale, in quanto ben 2 scenari su 4 conferirebbero pro tti maggiori ad entrambi i giocatori. Possiamo quindi concludere che non è possibile prevedere quale sarà l esito del gioco poiché, in assenza di informazioni circa il comportamento del proprio avversario, ciascun giocatore non ha elementi per de nire una strategia ottimale. Esempio Consideriamo però adesso un altro esempio, identico al precedente, ma in cui i due mercati abbiano capienze molto diverse: si suppone quindi che A abbia una capienza di 12, mentre B, come prima, di 5. La rappresentazione del nuovo gioco è quindi la seguente: A B A (6,6) (12,5) B (5,12) (2.5,2.5) In questo caso, al contrario dell esempio 1.2.1, è possibile intuire quale sarà l esito del gioco, vediamo come: ciascun giocatore, al momento della scelta, come prima, non conosce quale sarà la decisione del concorrente, ma riesce a selezionare una strategia ottimale basandosi escusivamente sulla struttura dei possibili payo. Al momento della scelta, infatti, ciascun giocatore sa che se il concorrente sceglie di entrare nel mercato A, egli ottiene un pro tto di 5 se entra nel mercato B, e di 6 se entra nello stesso mercato A; la sua scelta, quindi, ricadrebbe nel mercato A. Se il concorrente sceglie invece di entrare nel mercato B, il giocatore ottiene un pro tto di 12 se sceglie A e di 2.5 se sceglie B: la sua scelta ricadrebbe quindi nuovamente nel mercato A. È quindi evidente che per ogni possibile scelta del proprio avversario, a ciascun giocatore conviene entrare nel mercato A, e l esito del gioco sarà quindi (A,A), con il payo associato (6,6). La strategia A è detta quindi dominante, poiché è la miglior risposta a tutte le possibili decisioni degli

19 1.2 Giochi statici 7 altri giocatori; il concetto di strategia dominante può essere formalizzato come J i (u i d; u i ) J i (u i ; u i ) 8u i 2 U i, (1.2) dove u i d è la miglior risposta ad ogni possibile set di strategie dei giocatori avversari u i = (u 1 ; :::; u i 1 ; u i+1 ; :::; u n ) 2 U 1 ::: U i 1 U i+1 ::: U n. Se il segno della disuguaglianza nella (1.2) è poi strettamente maggiore, allora si parla di strategia dominante in senso stretto, o di strategia strettamente dominante. Questo principio è ciò che ci ha permesso di giungere, nell esempio 1.2.2, ad un equilibrio, ovvero alla predizione con certezza, data l assunzione di razionalità dei giocatori, dell esito del gioco. Da notare che nell esempio i payo dei giocatori sono simmetrici, quindi il ragionamento precedentemente svolto vale per entrambi i giocatori; per giungere ad una predizione sull esito del gioco, tuttavia, tale simmetria non è necessaria, e non è quindi necessario che esistano stategie dominanti per entrambi i giocatori. Per comprendere meglio questa a ermazione modi chiamo i payo dell esempio 1.2.2, ipotizzando che l azienda 2, in caso entri da sola nel mercato più piccolo B, riesca ad espanderlo no ad ottenere un pro tto di 8. Il gioco diventa quindi: A B A (6,6) (12,8) B (5,12) (2.5,2.5) Il ragionamento ora deve essere distinto per i due giocatori: per l azienda 1 nulla è cambiato e, come si può vedere, mantiene la propria strategia dominante A, ovvero entra nel mercato più grande indipendentemente dall azione dell altro giocatore. L azienda 2, al contrario, non ha una strategia dominante, poiché se il rivale sceglie la strategia A, la cosa migliore è entrare nel mercato più piccolo, ottenendo un pro tto di 8, mentre se il rivale sceglie la strategia B, all azienda 2 conviene entrare nel mercato A con un pro tto di 12. Essendo tuttavia razionale, e sapendo che anche il rivale lo è, l azienda 2 sa che l azienda 1 ha una strategia dominante, e che quindi sceglierà sicuramente la strategia A; a questo punto la cosa migliore per l azienda 2 è scegliere la strategia B. In questo modo, quindi, interiorizzando le scelte del rivale (non note ex ante, ma dedotte razionalmente dalla struttura dei payo ), l azienda 2 riesce a formulare una strategia ottimale, pur non avendo una strategia dominante a disposizione. Anche in questo caso, quindi, pur non avendo tutti i giocatori una strategia dominante, si è riusciti a prevedere l esito del gioco, che sarà dato dalla coppia di strategie (A,B). Il concetto di strategia dominante, tuttavia, seppur potente, è molto forte, e ci si potrebbe aspettare che nella maggior parte dei giochi che si possono incontrare tali strategie possono non esistere per tutti i giocatori, o per lo meno non per un numero di giocatori su ciente a determinare in modo univoco l esito del gioco. Si de nisce quindi

20 8 1. Cenni sulla teoria dei giochi un concetto di equilibrio meno stringente, ovvero l equilibrio di Nash, il quale può essere concepito come un set di strategie tali che, se venissero implementate, nessuno dei giocatori avrebbe incentivo a deviare dalla propria strategia. Formalizzando, un pro lo d azione u = (u 1; u 2; :::; u n) è un equilibrio di Nash se, per ogni i 2 I, la relazione J i (u 1; :::; u n) J i (u 1; :::; u i 1; u i ; u i+1; :::; u n) 8u i 2 U i (1.3) è rispettata. Un secondo modo di pensare all equilibrio di Nash è ipotizzare che il giocatore i-esimo si aspetti che tutti gli altri giocatori scelgano la propria strategia di equilibrio u j6=i : in questo caso il giocatore i-esimo non può fare di meglio che scegliere la propria strategia di equilibrio u i. Come si può notare dal confronto della (1.2) con la (1.3), ogni strategia dominante è anche equilibrio di Nash, ma il contrario non è valido; è quindi dimostrato come un equilibrio di Nash sia una forma meno stringente di equilibrio. In particolare, un equilibrio derivante da strategie dominanti è unico, mentre un equilibrio di Nash non è detto che lo sia. Riprendendo l esempio 1.2.1, abbiamo visto come non sia possibile determinare l esito del gioco, non essendoci strategie dominanti per nessuno dei due giocatori, tuttavia, come vedremo, vi sono due equilibri di Nash. Ipotizziamo quindi che l azienda 1 si aspetti che l azienda 2 scelga la strategia A: per l azienda 1 a questo punto è ottimanle scegliere B, e, una volta che l azienda 1 ha scelto B, la strategia che l azienda 1 ha supposto essere la scelta dell azienda 2 (A) risulta a sua volta ottimale per l azienda 2. La stessa cosa avviene, a strategie invertite, se l azienda 1 si aspetta che l azienda 2 scelga B, o se ad anticipare la scelta del rivale è l azienda 2 invece dell azienda 1. Ne consegue che i due equilibri di Nash sono dati dalle strategie (A,B) e (B,A): utilizzando infatti la de nizione di equilibrio di Nash (1.3), vediamo che le relazioni 8 J 1 (A; B) J 1 (B; B) [8 > 2:5] >< J 2 (A; B) J 2 (B; B) [5 > 2:5] J 1 (B; A) J 1 (A; A) [5 > 4] >: J 2 (B; A) J 2 (A; A) [8 > 4] sono rispettate. Nel seguito della trattazione quando si farà riferimento ad un equilibrio si intenderà equilibrio di Nash. Passiamo ora a descrivere brevemente la forma in cui i giochi n qui considerati sono stati rappresentati; i giochi possono essere rappresentati in forma strategica o in forma estesa: la forma strategica prevede una ra gurazione in forma matriciale, in cui i controlli del primo giocatore sono inseriti nella prima colonna ed i controlli del secondo nella prima riga. All interno della matrice vengono poi inseriti i payo associati alla combinazione

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