Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

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1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 16: Le precipitazioni (parte seconda) Anno Accademico

2 Indice Le analisi elementari delle osservazioni pluviometriche La distribuzione spaziale delle precipitazioni Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata La curva di possibilità pluviometrica Il tempo di ritorno e la probabilità di superamento La linea segnalatrice di probabilità pluviometrica Analisi statistica delle piogge La curva di possibilità pluviometrica La distribuzione di Gumbel La distribuzione TCEV La determinazione della curva di probabilità pluviometrica ragguagliata Gli ietogrammi (ietogrammi storici e sintetici) Tipi di ietogrammi sintetici

3 Materiale didattico Slides delle lezioni frontali Greppi M.: Idrologia. Il ciclo dell acqua e i suoi effetti, Ed. Hoepli, Milano, 1999 Moisello U.: Idrologia tecnica, Ed. La Goliardica Pavese, Pavia, 1999

4 Le analisi elementari delle osservazioni pluviometriche Per poter conseguire gli obiettivi che l idrologo l si prefigge le osservazioni pluviometriche devono essere opportunamente elaborate Periodi di osservazioni di anni sono in generale sufficienti per estrapolare a periodi più lunghi stime dei valori medi annui di precipitazione

5 A seconda dei volumi di precipitazione gli anni si possono classificare in secchi ed umidi dopo l ordinamento in classi dei totali annui: anni molto secchi (15% delle osservazioni) anni secchi (20%) normali (30%) umidi (20%) Le analisi elementari delle osservazioni pluviometriche molto umidi (15%)

6 Le analisi elementari delle osservazioni pluviometriche Si definisce indice di umidità dell anno il rapporto tra il totale annuo e la media dei totali annui Anche i totali mensili possono essere classificati sulla base del coefficiente pluviometrico del mese,, pari al rapporto fra la precipitazione media di ciascun mese ed 1/12 della precipitazione media annua Se tale coefficiente è maggiore di 0,6,, il mese viene considerato piovoso

7 La distribuzione spaziale delle precipitazioni La precipitazione su un area non puntuale,, ma avente una determinata estensione superficiale, non è mai costante Per calcolare l afflussol meteorico su un bacino imbrifero,, occorre passare dalle misure puntuali, eseguite in corrispondenza delle stazioni pluviometriche ricadenti all interno del bacino e supposte coincidenti con il centro di scroscio dell evento evento,, a quelle ragguagliate all intero bacino

8 La distribuzione spaziale delle precipitazioni Si definisce solido di pioggia quel prismoide che ha come base inferiore la proiezione orizzontale dell area in esame e come base superiore una superficie che si trova in ogni punto a una distanza dalla base inferiore pari all altezza altezza di pioggia caduta in quel punto Il solido di pioggia definisce l afflusso meteorico ad un bacino (si deve tuttavia tenere conto dell influenza del vento e della pendenza dei versanti)

9 La distribuzione spaziale delle precipitazioni L afflusso meteorico ad un bacino è anche pari al prodotto della sua area A per l altezza l media della precipitazione ad esso affluita, detta altezza di pioggia ragguagliata h r E possibile passare dall altezza altezza di pioggia puntuale a quella ragguagliata con diverse tecniche, che consentono di tener conto della variabilità spaziale della precipitazione

10 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Media aritmetica w i = 1/N (per N stazioni interne all area) area) Pesatura in funzione della distanza (griglia regolare) w i = f(d i ) Metodo delle isoiete w i = a i /A, dove: a i = superficie compresa fra due isoiete Metodo dei topoieti (Thiessen) w i = a i /A, dove: a i = area di influenza della stazione pluviometrica Metodi geostatistici (Kriging) w i : minima varianza di stima

11 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Metodo della media aritmetica

12 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata

13 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Metodo delle isoiete: si definisce isoieta il luogo dei punti cui compete lo stesso valore di altezza di pioggia in un intervallo di tempo di determinata lunghezza (evento, giorno, mese, anno)

14 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Metodo delle isoiete

15 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Esempio Metodo delle isoiete

16 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Metodo dei topoieti di Thiessen I singoli pluviografi (A) vengono assegnati alle aree più vicine a essi, dopo avere tracciato le linee congiungenti le stazioni e bisezionato tali linee, costruendone le mediane Ogni poligono è formato da tali linee e, se periferico, dai limiti del bacino Il volume della pioggia media è dato dalla somma delle altezze di pioggia pesata sull area

17 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Metodo dei topoieti di Thiessen

18 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Metodo dei topoieti di Thiessen ESEMPIO ANIMATO SUL SITO INTERNET offices/weather/flash/ /flash/thiessen.swf

19 Tecniche per il calcolo dell altezza di pioggia ragguagliata Fattore di riduzione areale

20 La curva di possibilità pluviometrica Supponiamo di disporre di un periodo sufficientemente lungo di osservazioni pluviografiche (20-30 anni) per una determinata località Per ognuna di 5 durate (1, 3, 6,12 e 24 ore) ordiniamo gli N valori in ordine decrescente e rappresentiamoli in un diagramma cartesiano avente in ascissa la durata t (ore) ed in ordinata le altezze di pioggia

21 La curva di possibilità pluviometrica La curva che interpola le altezze maggiori è denominata curva dei primi casi critici (rappresenta gli eventi di pioggia raggiunti o superati una sola volta nel periodo di osservazione) Tali eventi hanno una frequenza empirica di raggiungimento o superamento pari ad 1/N Analogamente è possibile definire le curve dei secondi, terzi ed n-esimi n casi critici Tali curve sono denominate curve di possibilità pluviometrica

22 La curva di possibilità pluviometrica

23 La curva di possibilità pluviometrica Tali curve sono con buona precisione rappresentabili con la seguente espressione esponenziale: n h = at dove a ed n sono due parametri caratteristici della stazione pluviografica in esame; il loro valore numerico è determinabile con il metodo dei minimi quadrati, ricorrendo all espressione lineare che si ottiene estraendo il logaritmo della relazione precedente: h = at n log h = loga + nlogt

24 Il tempo di ritorno e la probabilità di superamento L altezza di precipitazione h si tratta in idrologia come una variabile casuale,, facendo corrispondere ad ogni suo valore un valore della probabilità di non superamento (associato ad un certo evento idrologico) è spesso associato a quello di tempo di ritorno T 1 T = P( X dove x T è la variabile caratterizzata da un tempo di ritorno T se P = 0.01, T = 100 anni x T )

25 Il tempo di ritorno e la probabilità di superamento Il tempo di ritorno di un evento di assegnata intensità è quindi interpretabile come: il numero di anni che in media separa il verificarsi di due eventi di intensità eguale o superiore a quella assegnata il numero di anni in cui l evento l di intensità assegnata viene eguagliato o superato in media una volta La probabilità di non superamento P è legata al tempo di ritorno T dalla seguente relazione: T 1 = 1 P

26 Il tempo di ritorno e la probabilità di superamento Quando si deve valutare il rischio intrinseco associato ad un certo evento, si calcola la probabilità che l evento l temibile (evento che eguaglia o supera una assegnata soglia progettuale) si verifichi almeno una volta durante la vita presunta dell opera Per scopi progettuali (ad esempio quando si voglia determinare le caratteristiche dell evento evento che portano all esondazione di un corso d acqua d e quindi insufficienza idraulica della sua sezione), si definisce un evento critico, caratterizzato da un tempo di ritorno T c, da una portata critica Q c, da una durata critica d c e da un altezza di precipitazione critica h c

27 La curva di probabilità pluviometrica Per la determinazione delle curve di probabilità pluviometrica ci si basa sull analisi delle curve di frequenza cumulata (CDF), costruite per le serie storiche dei massimi annuali delle piogge di durata 1, 3, 6, 12, 24 ore, adattando a ciascuna di esse, attraverso la stima dei parametri,, un predefinito modello probabilistico (TCEV, Gumbel,, ecc.) Dalle curve di frequenza, fissato il tempo di ritorno T (tipicamente 10, 20, 50, 100, 200, 1000 anni) e per ogni durata t è possibile, quindi, ricavare il valore h t,t I valori così determinati vengono riportati su un diagramma (h, t) ed interpolati mediante delle curve caratterizzate dall espressione h = t, T at n

28 La curva di probabilità pluviometrica Per la stima dei parametri a ed n di ciascuna curva conviene considerare la trasformata logaritmica dei valori delle precipitazioni e delle durate ed applicare il metodo dei minimi quadrati Una volta stimati i parametri è possibile entrare nella curva di probabilità pluviometrica caratterizzata da un certo tempo di ritorno e ricavare l altezza di pioggia corrispondente a durate differenti da quelle considerate dal servizio idrografico

29 La curva di probabilità pluviometrica Gli eventi di pioggia aventi durata compresa fra 1 e 24 ore vengono denominati eventi lunghi,, mentre quelli di durata inferiore ad 1 h sono denominati eventi brevi Seguendo questi ultimi dinamiche meteorologiche differenti da quelli lunghi, la curva di probabilità pluviometrica non può essere estrapolata per durate inferiori ad 1 h Si può dimostrare che il rapporto tra l altezzal di pioggia h t,t (con t < 60 minuti) e l altezzal di pioggia h 60,T (con durata 60 minuti), entrambe di tempo di ritorno T, è pari a: h h t,t 60,T = (T con s variabile in funzione della regione in esame f ) t = 60 s

30 Analisi statistica delle piogge La curva di probabilità pluviometrica serve ad esprimere in modo sintetico, per: la località a cui si riferiscono un dato tempo di ritorno T ad una data durata di pioggia d le informazioni relative alle: massime altezze di pioggia h massime intensità di pioggia i allo scopo di elaborare poi ietogrammi sintetici che siano significativi per problemi di progetto e di verifica

31 La curva di probabilità pluviometrica L obiettivo è l interpretazione delle registrazioni degli eventi verificatisi in passato in termini di probabilità di futuro accadimento Può avere espressioni: a 2 parametri (es. h = a d n ; i = a d -1 n ) a 3 parametri (es. h = a d/(b+d b+d)c; i = a/(b+d b+d)c)

32 La curva di probabilità pluviometrica L analisi di frequenza si sviluppa secondo i seguenti passi: 1. scelta di una serie campionaria (casuale, indipendente e stazionaria) 2. adattamento della legge di distribuzione di probabilità teorica al campione con l utilizzo l del più idoneo metodo di stima dei parametri 3. uso della distribuzione di probabilità adattata al campione in studio per un analisi di inferenza statistica (stima del valore del quantile x T di assegnato tempo di ritorno T) T

33 La distribuzione di Gumbel Le massime altezze di pioggia annue per assegnata durata possono seguire un legame probabilistico di tipo Gumbel o di tipo log-normale In base alla distribuzione di Gumbel si ha: dove: P(h d ) = exp( exp( (h d u d )/a d )) h d = altezza di pioggia di durata d a d = σ(h d ) u d = µ(h d ) 0.45 σ(h d ) µ(h d ), σ(h d ) = media e s.q.m. della variabile h d Per ogni durata d i parametri a d ed u d della distribuzione di probabilità P(h d ) di Gumbel sono diversi

34 La distribuzione di Gumbel In generale, trattandosi di un legame biunivoco, la distribuzione di probabilità P(h d ) può essere esplicitata rispetto ad h d Nel caso specifico della distribuzione di Gumbel si ottiene con semplici passaggi l espressione l di h d per una generica durata d e per una generica probabilità di non superamento P(h d ): h d = u d a d ln( ln(p( (P(h d ))) Sostituendo al posto di u d ed a d le loro espressioni in funzione di µ(h d ) e σ(h d ) e ricordando che V(h d ) = σ/µ si ha che: h d = µ(h d ) {1 V(h d ) [ ln( ln(p( (P(h d )))]}

35 La distribuzione di Gumbel In generale la probabilità di non superamento P è legata al tempo di ritorno T dalla relazione: P = 1 1/T Così la precedente espressione: h d = µ(h d ) {1 V(h d ) [ ln( ln(p( (P(h d )))]} può essere quindi riscritta come: h d,t = µ(h d ) {1 V(h d ) [ ln( ln(1 1/T ))]} Curva di probabilità pluviometrica di tempo di ritorno T

36 La distribuzione di Gumbel Stazione pluviografica di Trento Cartogramma probabilistico di GUMBEL massimi annuali (1 ora) y: variabile ridotta Extr.Val Expected Observed

37 La distribuzione TCEV Una migliore interpretazione probabilistica di serie caratterizzate dalla presenza di valori eccezionali (outliers) si ha con il modello a doppia componente denominato TCEV (acronimo di Two Component Extreme Value distribution), che si rappresenta con una funzione di probabilità cumulata del tipo: dove: F X (x) = funzione di probabilità cumulata (probabilità di non superamento) della variabile x nel tempo X x = variabile altezza di pioggia di durata d (h( d )

38 La distribuzione TCEV Questa distribuzione, in cui si possono distinguere formalmente una componente base (pedice 1), relativa agli eventi normali e più frequenti,, ed una componente straordinaria (pedice 2), relativa ad eventi più gravosi e rari,, permette di interpretare fisicamente il processo dei massimi annuali tramite due popolazioni distinte

39 La distribuzione TCEV I quattro parametri del modello TCEV hanno un chiaro significato fisico, dal momento che Λ 1 e Λ 2 esprimono il numero medio annuo di eventi della componente base e della straordinaria e θ 1 e θ 2 esprimono il valore medio di tali eventi

40 La distribuzione TCEV L espressione della TCEV si può mettere nella forma: equivalendo formalmente al prodotto di due funzioni di distribuzione cumulata di Gumbel,, avendo posto: con i =1, 2 e

41 La distribuzione TCEV La funzione di probabilità cumulata è esprimibile in altra forma effettuando la trasformazione di variabili: In questo caso, in modo del tutto equivalente, la si può scrivere: e i quattro parametri che caratterizzano il modello diventano Λ 1, Λ *, θ 1 e θ *

42 La distribuzione TCEV Per la determinazione di x occorre avere in definitiva una stima dei quattro parametri Λ 1, Λ *, θ 1 e θ * (ad esempio con il metodo della massima verosimiglianza) con i quali si può ricostruire integralmente la funzione di probabilità cumulata Per ridurre l incertezza l si utilizzano tecniche di analisi regionale che consentono di stimare almeno alcuni dei parametri sulla base di tutte le serie storiche ricadenti all interno di vaste aree indicate come zone e sottozone omogenee

43 La distribuzione TCEV Al 1 livello di regionalizzazione per i due parametri di forma del modello, Λ * e θ *, si può assumere un valore costante all interno di ampie zone omogenee La stima dei valori che tali parametri assumono nella singola zona omogenea risulta pertanto molto affidabile, perché si può ottenere utilizzando tutti i dati delle serie ricadenti all interno di essa

44 La distribuzione TCEV Al 2 livello di regionalizzazione,, oltre ai valori costanti dei parametri Λ * e θ * nelle zone omogenee, all interno di queste è possibile identificare sottozone omogenee,, entro cui si può ritenere costante anche il parametro di scala Λ 1 Anche in questo caso, utilizzando per la stima di Λ 1 tutti i dati delle serie ricadenti all interno della singola sottozona, risulta essere accresciuta l affidabilitl affidabilità della stima di questo parametro In totale quindi per questo livello di analisi sono tre i parametri di cui si può assumere a priori un valore regionale

45 La distribuzione TCEV Al 3 livello di regionalizzazione,, oltre ai tre parametri Λ 1, Λ * e θ * di cui si può assumere un valore regionale, identificato al livello precedente, si ottiene anche una stima regionale del quarto parametro θ 1

46 La determinazione della curva di probabilità pluviometrica ragguagliata Si procede alla determinazione dell altezza di precipitazione ragguagliata h r relativa ad un assegnata durata t ed ad un assegnato tempo di ritorno T, T moltiplicando l altezza di precipitazione puntuale h relativa alla stessa durata ed allo stesso tempo di ritorno per un opportuno coefficiente di riduzione R (o coefficiente di ragguaglio all area area), funzione del tempo di ritorno T, dell area A e della durata t h r ( t, T, A) = R( t, T, A) h( t, T )

47 La determinazione della curva di probabilità pluviometrica ragguagliata Tale concetto implica che l intera l zona alla quale si riferiscono le osservazioni sperimentali sia soggetta ad un identico regime delle precipitazioni La precipitazione puntuale viene misurata nel centro di scroscio In linea generale R: è pressochè costante con il tempo di ritorno T decresce all aumentare aumentare dell area A cresce all aumentare aumentare della durata della precipitazione t

48 Gli ietogrammi Il grafico che rappresenta l andamentol nel tempo dell intensit intensità di precipitazione (che in pratica è sempre un intensit intensità media, calcolata su intervalli di tempo di una certa durata), prende il nome di ietogramma Per la sua costruzione si procede alla discretizzazione della durata totale della pioggia in intervalli di durata idonea d, in cui si misura l'altezza di pioggia h

49 Gli ietogrammi

50 Gli ietogrammi Il rapporto fra l altezza l e la durata fornisce l'intensit intensità media nell'intervallo di discretizzazione A piccoli intervalli corrisponde un dettaglio maggiore dell'informazione, ma la quantità di dati da gestire aumenta

51 Gli ietogrammi La serie precedente può discretizzarsi in intervalli di 10', secondo la seguente tabella, cui fa fronte il grafico corrispondente

52 I singoli ietogrammi e le serie possono essere: storici,, costruiti mediante serie storiche di piogge sintetici,, costruiti secondo schemi concettuali di diversa natura Ietogrammi storici Gli ietogrammi Derivano da precipitazioni effettivamente registrate, utilizzate per ricostruire gli ietogrammi di eventi reali per: tarare un modello afflussi-deflussi deflussi,, noto l'idrogramma storico alla sezione di chiusura valutare la portata nella sezione di chiusura,, quando l'idrogramma storico non è noto

53 Ietogrammi sintetici Gli ietogrammi Per verificare o dimensionare un'opera, bisogna far riferimento a condizioni critiche Quando queste non possono esser rappresentate da un singolo ietogramma storico, si ricorre allo ietogramma sintetico

54 Tipi di ietogrammi sintetici Ietogramma rettangolare

55 Ietogramma triangolare Tipi di ietogrammi sintetici

56 Ietogramma Chicago Tipi di ietogrammi sintetici

57 Ietogramma Chicago Tipi di ietogrammi sintetici Nella sua forma generale lo ietogramma ha il picco ad un generico tempo T r, minore della durata complessiva T c : r = T r /T c La posizione del picco è determinata sulla base delle caratteristiche degli eventi pluviometrici intensi della località che interessa